5-पॉलीटॉप

तीन नियमित और तीन समान 5-बहुतलीय के रेखांकन।

5-प्रसमुच्चय (हेक्साटेरॉन)	5-ऑर्थोप्लेक्स, 211 (पेंटाक्रॉस)	5-घन (पेंटरैक्ट)
विस्तारित 5-प्रसमुच्चय	संशोधित 5-ऑर्थोप्लेक्स	5-डेमीक्यूब। 121 (डेमिपेंटेरैक्ट)

ज्यामिति में, पांच-आयामी बहुतलीय (या 5-बहुतलीय) पांच-आयामी अंतराल में एक बहुतलीय है, जो (4-बहुतलीय) फलकों से घिरा है, जिनमें से जोड़े एक बहुफलकीय सेल साझा करते हैं।

परिभाषा

5-बहुतलीय शीर्षों, किनारों, फलकों और सेलों और 4-फलकों के साथ एक बंद पांच-आयामी आकृति है। शीर्ष वह बिंदु होता है जहाँ पाँच या अधिक किनारे मिलते हैं। किनारा रेखा खंड है जहां चार या अधिक फलक मिलते हैं, और एक फलक बहुभुज होता है जहां तीन या अधिक सेल मिलती हैं। सेल बहुफलक है, और 4-फलक 4-बहुतलीय है। इसके अलावा, निम्नलिखित आवश्यकताओं को पूरा किया जाना चाहिए-

1. प्रत्येक सेल को ठीक दो 4-फलकों में सम्मिलित होना चाहिए।
2. आसन्न 4-फलक समान चार-आयामी अधिसमतल में नहीं हैं।
3. आंकड़ा अन्य आंकड़ों का एक संयोजन नहीं है जो आवश्यकताओं को पूरा करता है।

विशेषताएँ

किसी दिए गए 5- बहुतलीय की टोपोलॉजी को उसकी बेट्टी संख्याओं और बलाघूर्ण गुणांक द्वारा परिभाषित किया गया है।

बहुफलकीय की विशेषता के लिए उपयोग की जाने वाली यूलर विशेषता का मान उच्च आयामों के लिए उपयोगी नहीं है, चाहे उनकी अंतर्निहित टोपोलॉजी कुछ भी हो। उच्च आयामों में विभिन्न टोपोलॉजी के बीच विश्वसनीय ढंग से अंतर करने के लिए यूलर विशेषता की यह अपर्याप्तता अधिक परिष्कृत बेट्टी संख्याओं की खोज का कारण बनी।

इसी तरह, बहुफलक की उन्मुखता की धारणा टोरॉयडल बहुतलीय की सतह के घुमावों को चिह्नित करने के लिए अपर्याप्त है, और इसके कारण बलाघूर्ण गुणांक का उपयोग हुआ।

वर्गीकरण

5-बहुतलीय को "उत्तलता" और "समरूपता" जैसे गुणों के आधार पर वर्गीकृत किया जा सकता है।

• 5-बहुतलीय उत्तल होता है यदि इसकी सीमा (इसकी सेलों, फलकों और किनारों सहित) स्वयं को प्रतिच्छेद नहीं करती है और 5-बहुतलीय के किसी भी दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा खंड 5-बहुतलीय या इसके आंतरिक भाग में निहित है अन्यथा, यह गैर-उत्तल है। स्व-प्रतिच्छेदित 5-बहुतलीय को गैर-उत्तल केप्लर-पॉइन्सॉट बहुफलकीय के स्टार-जैसे आकार के अनुरूप, स्टार बहुतलीय के रूप में भी जाना जाता है।
• एक समान 5-बहुतलीय में समरूपता समूह होता है जिसके अंतर्गत सभी शीर्ष समतुल्य होते हैं, और इसके फलक समान 4-बहुतलीय होते हैं। एकसमान बहुतलीय के फलक नियमित होने चाहिए।

Main article: एकसमान 5-बहुतलीय

• एक अर्ध-नियमित 5-बहुतलीय में दो या दो से अधिक प्रकार के नियमित 4-बहुतलीय फलक होते हैं। ऐसी केवल एक ही आकृति होती है, जिसे डेमिपेंटेरैक्ट कहा जाता है।
• एक नियमित 5-बहुतलीय में सभी समान नियमित 4-बहुतलीय फलक होते हैं। सभी नियमित 5-बहुतलीय उत्तल हैं।

Main article: नियमित_बहुतलीय_की_सूची § उत्तल_4

• प्रिज्मीय 5-बहुतलीय का निर्माण दो निम्न-आयामी बहुतलीय के कार्तीय उत्पाद द्वारा किया जाता है। प्रिज्मीय 5-बहुतलीय एकसमान होता है यदि इसके गुणनखंड एकसमान हों। अतिविम प्रिज्मीय (वर्ग और घन का उत्पाद) है, लेकिन इसे अलग से माना जाता है क्योंकि इसके कारकों से विरासत में मिली समरूपता के अलावा अन्य समरूपताएं हैं।
• 4-अंतराल टेसलेशन, चार-आयामी यूक्लिडियन अंतराल का पॉलीकोरल फलकों के एक नियमित ग्रिड में विभाजन है। दृढ़ता से बोलते हुए, टेसलेशन बहुतलीय नहीं हैं क्योंकि वे "5D" आयतन को बाध्य नहीं करते हैं, लेकिन हम उन्हें पूर्णता के लिए यहां सम्मिलित करते हैं क्योंकि वे बहुतलीय के कई तरीकों से समान हैं। एक समान 4-अंतराल टेसलेशन वह होता है जिसके कोने एक अंतराल समूह से संबंधित होते हैं और जिनके फलक समान 4-बहुतलीय होते हैं।

नियमित 5-बहुतलीय

नियमित 5-बहुतलीय को श्लाफली प्रतीक {p, q, r, s} द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिसमें प्रत्येक फलकों के चारों ओर s {p,q,r} पॉलीकोरल फलक हैं।

ऐसे तीन उत्तल नियमित 5-बहुतलीय हैं-

1. {3,3,3,3} - 5-प्रसमुच्चय
2. {4,3,3,3} - 5-घन
3. {3,3,3,4} - 5-ऑर्थोप्लेक्स

3 उत्तल नियमित 5-बहुतलीय और तीन अर्ध नियमित 5-बहुतलीय के लिए, उनके तत्व हैं-

नाम	श्लाफली प्रतीक(ओं)	कॉक्सेटर आरेख(ओं)	शीर्ष	किनारे	फलक	सेल	4-फलक	सममिति (क्रम)
5-प्रसमुच्चय	{3,3,3,3}		6	15	20	15	6	A5, (120)
5-घन	{4,3,3,3}		32	80	80	40	10	BC5, (3820)
5-ऑर्थोप्लेक्स	{3,3,3,4} {3,3,31,1}		10	40	80	80	32	BC5, (3840) 2×D5

एकसमान 5-बहुतलीय

Main article: एकसमान 5-बहुतलीय

अर्ध नियमित 5-बहुतलीय में से तीन के लिए, उनके तत्व हैं-

नाम	श्लाफली प्रतीक(ओं)	कॉक्सेटर आरेख(ओं)	शीर्ष	किनारे	फलक	सेल	4-फलक	सममिति (क्रम)
विस्तारित 5-प्रसमुच्चय	t0,4{3,3,3,3}		30	120	210	180	162	2×A5, (240)
5-डेमीक्यूब	{3,32,1} h{4,3,3,3}		16	80	160	120	26	D5, (1920) ½BC5
संशोधित 5-ऑर्थोप्लेक्स	t1{3,3,3,4} t1{3,3,31,1}		40	240	400	240	42	BC5, (3840) 2×D5

विस्तारित 5-प्रसमुच्चय एकसमान 5-प्रसमुच्चय मधुकोश का शीर्ष आंकड़ा है। 5-डेमीक्यूब मधुकोश, , शीर्ष आकृति संशोधित 5-ऑर्थोप्लेक्स है और फलक 5-ऑर्थोप्लेक्स और 5-डेमीक्यूब हैं।

पिरामिड

पिरामिड 5-बहुतलीय, या 5-पिरामिड, 4-बहुतलीय आधार द्वारा अधिसमतल से दूर एक बिंदु से जुड़े 4-अंतराल अधिसमतल में उत्पन्न किए जा सकते हैं। 5-प्रसमुच्चय 4-प्रसमुच्चय आधार के साथ सबसे सरल उदाहरण है।

यह भी देखें

• नियमित बहुतलीय की सूची#पांच-आयामी नियमित बहुतलीय और उच्चतर

संदर्भ

• T. Gosset: On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions, Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900
• A. Boole Stott: Geometrical deduction of semiregular from regular polytopes and space fillings, Verhandelingen of the Koninklijke academy van Wetenschappen width unit Amsterdam, Eerste Sectie 11,1, Amsterdam, 1910
• H.S.M. Coxeter:
  • H.S.M. Coxeter, M.S. Longuet-Higgins und J.C.P. Miller: Uniform Polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954
  • H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, 3rd Edition, Dover New York, 1973
• Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
  • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• N.W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
• Klitzing, Richard. "5D uniform polytopes (polytera)".

बाहरी संबंध

• Polytopes of Various Dimensions, Jonathan Bowers
• Uniform Polytera, Jonathan Bowers
• Multi-dimensional Glossary, Garrett Jones