शेल पुनर्सामान्यीकरण योजना

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, और विशेष रूप से क्वांटम विद्युतगतिकी में, अंतःक्रियात्मक सिद्धांत अनंत मात्राओं की ओर ले जाती है, जिन्हें मापने योग्य मात्राओं की भविष्यवाणी करने में सक्षम होने के लिए एक पुनर्सामान्यीकरण प्रक्रिया में अवशोषित किया जाना है। पुनर्सामान्यीकरण योजना उस प्रकार के कणों पर निर्भर कर सकती है जिन पर विचार किया जा रहा है। कणों के लिए जो असीमित रूप से बड़ी दूरी तय कर सकते हैं, या कम ऊर्जा प्रक्रियाओं के लिए, ऑन-शेल योजना, जिसे भौतिक योजना भी कहा जाता है, उचित है। यदि ये शर्तें पूरी नहीं होती हैं, तो अन्य योजनाओं की ओर रुख किया जा सकता है, जैसे न्यूनतम घटाव योजना (एमएस योजना) हैं।

अंतःक्रियात्मक सिद्धांत में फर्मियन प्रचारक

विभिन्न प्रचारकों को जानना फेनमैन आरेखों की गणना करने में सक्षम होने का आधार है जो भविष्यवाणी के लिए उपयोगी उपकरण हैं, उदाहरण के लिए, बिखरने वाले प्रयोगों का परिणाम। एक सिद्धांत में जहां एकमात्र क्षेत्र डायराक क्षेत्र है, फेनमैन उपदेशक पढ़ता है

$\langle 0|T(\psi (x){\bar {\psi }}(0))|0\rangle =iS_{F}(x)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {ie^{-ip\cdot x}}{p\!\!\!/-m+i\epsilon }}$

जहां $T$ टाइम-ऑर्डरिंग ऑपरेटर है, | 0 ⟩ गैर-अंतःक्रियात्मक सिद्धांत में वैक्यूम, $\psi (x)$ और ${\bar {\psi }}(x)$ डायराक क्षेत्र और इसका डायराक संलग्न है, और जहां समीकरण के बाईं ओर डिराक क्षेत्र का दो-बिंदु सहसंबंध फलन है।

एक नए सिद्धांत में, डिराक क्षेत्र दूसरे क्षेत्र के साथ बातचीत कर सकता है, उदाहरण के लिए क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के साथ, और बातचीत की ताकत को एक पैरामीटर द्वारा मापा जाता है, क्यूईडी के मामले में यह अरक्षित इलेक्ट्रॉन चार्ज है, $e$। प्रचारक का सामान्य रूप अपरिवर्तित रहना चाहिए, जिसका अर्थ है कि $|\Omega \rangle$ अब अंतःक्रियात्मक सिद्धांत में निर्वात का प्रतिनिधित्व करता है, दो-बिंदु सहसंबंध फलन अब पढ़ेगा

$\langle \Omega |T(\psi (x){\bar {\psi }}(0))|\Omega \rangle =\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {iZ_{2}e^{-ip\cdot x}}{p\!\!\!/-m_{r}+i\epsilon }}$

दो नई मात्राएं पेश की गई हैं। पहले पुनर्निर्मित द्रव्यमान $m_{r}$ फेनमैन प्रचारक के फूरियर रूपांतरण में ध्रुव के रूप में परिभाषित किया गया है। यह ऑन-शेल रेनॉर्मलाइज़ेशन स्कीम का मुख्य नुस्खा है (तब न्यूनतम घटाव योजना की तरह अन्य बड़े पैमानों को पेश करने की कोई आवश्यकता नहीं है)। मात्रा $Z_{2}$ डिराक क्षेत्र की नई ताकत का प्रतिनिधित्व करता है। जैसा कि बातचीत करने से शून्य हो जाता है $e\rightarrow 0$, इन नए मापदंडों को एक मूल्य की ओर प्रवृत्त होना चाहिए ताकि मुक्त फ़र्मियन के प्रसारक को पुनर्प्राप्त किया जा सके, अर्थात् $m_{r}\rightarrow m$ और $Z_{2}\rightarrow 1$.

इस का मतलब है कि $m_{r}$ और $Z_{2}$ में एक श्रृंखला के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $e$ यदि यह पैरामीटर काफी छोटा है (यूनिट सिस्टम में जहां $\hbar =c=1$, $e={\sqrt {4\pi \alpha }}\simeq 0.3$, कहाँ $\alpha$ ठीक-संरचना स्थिर है)। इस प्रकार इन मापदंडों को व्यक्त किया जा सकता है

$Z_{2}=1+\delta _{2}$

$m_{r}=m+\delta m$

दूसरी ओर, प्रचारक में संशोधन की गणना एक निश्चित क्रम तक की जा सकती है $e$ फेनमैन आरेखों का उपयोग करना। इन संशोधनों को फर्मियन आत्म ऊर्जा में अभिव्यक्त किया गया है $\Sigma (p)$

$\langle \Omega |T(\psi (x){\bar {\psi }}(0))|\Omega \rangle =\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {ie^{-ip\cdot x}}{p\!\!\!/-m-\Sigma (p)+i\epsilon }}$

ये सुधार अक्सर भिन्न होते हैं क्योंकि इनमें वन-लूप फेनमैन आरेख होता है। सहसंबंध के दो भावों की पहचान करके एक निश्चित क्रम तक कार्य करता है $e$, प्रतिपदार्थों को परिभाषित किया जा सकता है, और वे फ़र्मियन प्रचारक के सुधारों के भिन्न योगदानों को अवशोषित करने जा रहे हैं। इस प्रकार, पुनर्सामान्यीकृत मात्रा, जैसे $m_{r}$, परिमित रहेगा, और प्रयोगों में मापी गई मात्राएँ होंगी।

फोटॉन प्रचारक

जैसा कि फर्मियन प्रोपेगेटर के साथ किया गया है, फ्री फोटॉन फील्ड से प्रेरित फोटॉन प्रोपेगेटर के रूप की तुलना एक निश्चित क्रम में गणना किए गए फोटॉन प्रोपेगेटर से की जाएगी। $e$ अंतःक्रियात्मक सिद्धांत में। फोटॉन स्व ऊर्जा नोट की जाती है $\Pi (q^{2})$ और मिन्कोवस्की अंतरिक्ष $\eta ^{\mu \nu }$ (यहां +--- सम्मेलन ले रहे हैं)

$\langle \Omega |T(A^{\mu }(x)A^{\nu }(0))|\Omega \rangle =\int {\frac {d^{4}q}{(2\pi )^{4}}}{\frac {-i\eta ^{\mu \nu }e^{-ip\cdot x}}{q^{2}(1-\Pi (q^{2}))+i\epsilon }}=\int {\frac {d^{4}q}{(2\pi )^{4}}}{\frac {-iZ_{3}\eta ^{\mu \nu }e^{-ip\cdot x}}{q^{2}+i\epsilon }}$

प्रतिवाद का व्यवहार $\delta _{3}=Z_{3}-1$ आने वाले फोटॉन की गति से स्वतंत्र है $q$. इसे ठीक करने के लिए, बड़ी दूरी पर QED का व्यवहार (जो शास्त्रीय इलेक्ट्रोडायनामिक्स को ठीक करने में मदद करता है), यानी जब $q^{2}\rightarrow 0$, प्रयोग किया जाता है :

${\frac {-i\eta ^{\mu \nu }e^{-ip\cdot x}}{q^{2}(1-\Pi (q^{2}))+i\epsilon }}\sim {\frac {-i\eta ^{\mu \nu }e^{-ip\cdot x}}{q^{2}}}$

इस प्रकार प्रतिवाद $\delta _{3}$ के मान से निश्चित है $\Pi (0)$.

वर्टेक्स फ़ंक्शन

वर्टेक्स फ़ंक्शन का उपयोग करने वाला एक समान तर्क विद्युत आवेश के पुनर्सामान्यीकरण की ओर जाता है $e_{r}$. यह पुनर्सामान्यीकरण, और पुनर्सामान्यीकरण की शर्तों का निर्धारण बड़े अंतरिक्ष पैमानों पर शास्त्रीय इलेक्ट्रोडायनामिक्स से ज्ञात का उपयोग करके किया जाता है। यह काउंटरटर्म के मूल्य की ओर जाता है $\delta _{1}$, जो वास्तव में के बराबर है $\delta _{2}$ वार्ड-ताकाहाशी पहचान के कारण। यह वह गणना है जो फ़र्मियन के विषम चुंबकीय द्विध्रुवीय क्षण के लिए जिम्मेदार है।

==QED Lagrangian== का पुनर्विक्रय

हमने कुछ आनुपातिकता कारकों पर विचार किया है (जैसे $Z_{i}$) जिसे प्रचारक के रूप से परिभाषित किया गया है। हालाँकि उन्हें QED Lagrangian से भी परिभाषित किया जा सकता है, जो इस खंड में किया जाएगा, और ये परिभाषाएँ समतुल्य हैं। लैग्रेंजियन जो क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स के भौतिकी का वर्णन करता है

${\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\bar {\psi }}(i\partial \!\!\!/-m)\psi +e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }$

कहाँ $F_{\mu \nu }$ विद्युत चुम्बकीय टेंसर है, $\psi$ डिराक स्पिनर (तरंग क्रिया के सापेक्षवादी समकक्ष) है, और $A$ विद्युत चुम्बकीय चार-संभावित। सिद्धांत के पैरामीटर हैं $\psi$, $A$, $m$ और $e$. रेनॉर्मलाइज़ेशन#A_loop_divergence (नीचे देखें) के कारण ये मात्राएँ अनंत हो जाती हैं। कोई पुनर्सामान्यीकृत मात्रा को परिभाषित कर सकता है (जो सीमित और देखने योग्य होगा):

$\psi ={\sqrt {Z_{2}}}\psi _{r}\;\;\;\;\;A={\sqrt {Z_{3}}}A_{r}\;\;\;\;\;m=m_{r}+\delta m\;\;\;\;\;e={\frac {Z_{1}}{Z_{2}{\sqrt {Z_{3}}}}}e_{r}\;\;\;\;\;{\text{with}}\;\;\;\;\;Z_{i}=1+\delta _{i}$

$\delta _{i}$ h> को प्रतिपदार्थ कहा जाता है (उनकी कुछ अन्य परिभाषाएँ संभव हैं)। उन्हें पैरामीटर में छोटा माना जाता है $e$. Lagrangian अब पुनर्सामान्यीकृत मात्राओं के संदर्भ में पढ़ता है (काउंटरटर्म्स में पहले क्रम के लिए):

${\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}Z_{3}F_{\mu \nu ,r}F_{r}^{\mu \nu }+Z_{2}{\bar {\psi }}_{r}(i\partial \!\!\!/-m_{r})\psi _{r}-{\bar {\psi }}_{r}\delta m\psi _{r}+Z_{1}e_{r}{\bar {\psi }}_{r}\gamma ^{\mu }\psi _{r}A_{\mu ,r}$

एक रेनॉर्मलाइज़ेशन प्रिस्क्रिप्शन नियमों का एक सेट है जो बताता है कि डायवर्जेंस का कौन सा हिस्सा रेनॉर्मलाइज़्ड मात्रा में होना चाहिए और कौन से हिस्से काउंटरटर्म में होने चाहिए। नुस्खा अक्सर मुक्त क्षेत्रों के सिद्धांत पर आधारित होता है, जो कि व्यवहार का है $\psi$ और $A$ जब वे बातचीत नहीं करते हैं (जो शब्द को हटाने से मेल खाता है $e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }$ Lagrangian में)।

संदर्भ

• M. Peskin; D. Schroeder (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Reading: Addison-Weasley.
• M. Srednicki. Quantum Field Theory.
• T. Gehrmann. Quantum Field Theory 1.