स्थैतिकतः अनिर्धार्य: Difference between revisions

Latest revision as of 11:48, 24 April 2023

स्थिति-विज्ञान और संरचनात्मक यांत्रिकी में, स्थिर संतुलन समीकरणों में एक स्थिर संरचना के रूप से अनिश्चितता होती है बल और क्षण संतुलन की स्थिति मे उस संरचना पर आंतरिक बल और प्रतिक्रिया का निर्धारण करने के प्रति अपर्याप्त हैं।^[1]^[2]

गणित

न्यूटन के गति के नियमों के आधार पर, द्वि-आयामी निकाय के प्रति उपलब्ध संतुलन समीकरण हैं:^[2]

\sum \mathbf {F} =0:

शरीर पर कार्य करने वाली शक्तियों का सदिश योग शून्य के समान होता है। यह इसका अनुवाद करता है:

\sum \mathbf {H} =0:

बलों के क्षैतिज घटकों का योग शून्य के समान होता है;

\sum \mathbf {V} =0:

बलों के ऊर्ध्वाधर घटकों का योग शून्य के समान होता है;

\sum \mathbf {M} =0:

सभी बलों के क्षण का योग शून्य के समान होता है।

स्थिर रूप से अनिश्चित बीम का बल निर्देशक आरेख ।

दाहिनी ओर बीम संरचना के निर्माण में चार अज्ञात अभिक्रियाएँ हैं जो $V A$ , $V B$ , $V C$ , और $H A$ की संतुलन समीकरण हैं:^[2]

{\begin{aligned}\sum \mathbf {V} =0\quad &\implies \quad \mathbf {V} _{A}-\mathbf {F} _{v}+\mathbf {V} _{B}+\mathbf {V} _{C}=0\\\sum \mathbf {H} =0\quad &\implies \quad \mathbf {H} _{A}=0\\\sum \mathbf {M} _{A}=0\quad &\implies \quad \mathbf {F} _{v}\cdot a-\mathbf {V} _{B}\cdot (a+b)-\mathbf {V} _{C}\cdot (a+b+c)=0\end{aligned}}

क्योंकी चार अज्ञात बल हैं $V A$ , $V B$ , $V C$ , और $H A$ परंतु केवल तीन का संतुलन समीकरण हैं, एक साथ समीकरणों की इस प्रणाली का कोई अनूठा समाधान नहीं है। इसलिए संरचना को स्थिर रूप से अनिश्चित रूप में वर्गीकृत किया गया है।

स्थैतिक रूप से अनिश्चित प्रणालियों को हल करने के लिए इसके अंदर विभिन्न क्षण और बल प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करें,तथा भौतिक गुणों और विरूपण इंजीनियरिंग में संगतता पर विचार किया जा सकता है।

स्थैतिकतः निर्धार्य

यदि समर्थन पर $B$ हटा दिया जाता है, प्रतिक्रिया $V B$ नहीं हो सकता है, और प्रणाली स्थिर रूप से निर्धारित या आइसोस्टैटिक हो जाता है।^[3] ध्यान दें कि यहां प्रणाली पूरी तरह से बाधित है।प्रणाली एक सटीक बाधा गतिज युग्मन बन जाती है।यही समस्या का समाधान है:^[2]

{\begin{aligned}\mathbf {H} _{A}&=\mathbf {F} _{h}\\\mathbf {V} _{C}&={\frac {\mathbf {F} _{v}\cdot a}{a+b+c}}\\\mathbf {V} _{A}&=\mathbf {F} _{v}-\mathbf {V} _{C}\end{aligned}}

यदि, इसके अतिरिक्त, पर समर्थन $A$ को एक रोलर सपोर्ट में परवर्तित कर दिया जाता है,तथा $H A$ के अतिरिक्त प्रतिक्रियाओं की संख्या को घटाकर तीन कर दी जाती है, परंतु बीम को क्षैतिज रूप से स्थानांतरित किया जा सकता है; तथा प्रणाली अस्थिर या आंशिक रूप से बाधित हो जाती है ,तथा प्रणाली एक संरचना के अतिरिक्त एक तंत्र है। इस स्थिति के मध्य अंतर करने के लिए जब संतुलन के तहत एक प्रणाली व्याकुल तथा अस्थिर हो जाती है, तो यहां आंशिक रूप से बाधित वाक्यांश का उपयोग करना बेहतर होता है। इस स्थिति में दोनों $V A$ और $V C$ अज्ञात हैं ऊर्ध्वाधर बल समीकरण और क्षण समीकरण को एक साथ हल करके निर्धारित किया जा सकता है। समाधान वही परिणाम देता है जो पहले प्राप्त किए गए थे।। यद्यपि, क्षैतिज बल समीकरण $F h = 0$ को संतुष्ट करना संभव नहीं है।^[2]

स्थैतिक निर्धारण

वर्णनात्मक रूप से, एक स्थिर निर्धारित संरचना को एक संरचना के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जहां बाहरी भार के साथ संतुलन में आंतरिक क्रियाओं को खोज संभव है, तथा वे आंतरिक क्रियाएं अद्वितीय हैं। संरचना में आत्म-तनाव की कोई संभावित अवस्था नहीं है, अर्थात शून्य बाहरी भार के साथ संतुलन में आंतरिक बल संभव नहीं हैं। यद्यपि स्थैतिक अनिश्चितता, संतुलन समीकरणों के रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणाली के गैर-तुच्छ समाधान का अस्तित्व है। यह आत्म-तनाव की संभावना को इंगित करता है जो यांत्रिक या तापीय क्रिया से प्रेरित हो सकता है।

गणितीय रूप से, इसे पूर्ण रैंक प्राप्त करने के लिए कठोरता मैट्रिक्स की आवश्यकता होती है।

भौतिक गुणों और विक्षेपण जैसी अधिक जानकारी को सम्मिलित करके ही एक सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित संरचना का विश्लेषण किया जा सकता है। संख्यात्मक रूप से, यह मैट्रिक्स संरचनात्मक विश्लेषण और परिमित तत्व विश्लेषण जैसी विधियों का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।

व्यावहारिक रूप से, एक संरचना को 'सांख्यिकीय रूप से अतिनिर्धारित' कहा जाता है, जब इसमें अधिक यांत्रिक बाधाएं सम्मिलित होती हैं जेसे दीवार, कॉलम या बोल्ट की तरह स्थिरता के लिए नितांत आवश्यक है।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Matheson, James Adam Louis (1971). Hyperstatic structures: an introduction to the theory of statically indeterminate structures (2nd ed.). London: Butterworths. ISBN 0408701749. OCLC 257600.
↑ ^2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 ^2.4 Megson, Thomas Henry Gordon (2014). "Analysis of statically indeterminate structures". संरचनात्मक और तनाव विश्लेषण (Third ed.). Amsterdam: Elsevier. pp. 489–570. ISBN 9780080999364. OCLC 873568410.
↑ Carpinteri, Alberto (1997). Structural mechanics: a unified approach (1st ed.). London: E & FN Spon. ISBN 0419191607. OCLC 36416368.

बाहरी संबंध

Beam calculation online (Statically indeterminate)

[1] Matheson, James Adam Louis (1971). Hyperstatic structures: an introduction to the theory of statically indeterminate structures (2nd ed.). London: Butterworths. ISBN 0408701749. OCLC 257600.

[:0-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 ^2.4 Megson, Thomas Henry Gordon (2014). "Analysis of statically indeterminate structures". संरचनात्मक और तनाव विश्लेषण (Third ed.). Amsterdam: Elsevier. pp. 489–570. ISBN 9780080999364. OCLC 873568410.

[3] Carpinteri, Alberto (1997). Structural mechanics: a unified approach (1st ed.). London: E & FN Spon. ISBN 0419191607. OCLC 36416368.

[1]

[2]

[3]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|When a structure's static equilibrium equations have no unique solution}}
-[[स्थिति-विज्ञान]] और [[संरचनात्मक यांत्रिकी]] में, [[स्थिर संतुलन]] समीकरणों में एक संरचना स्थिर रूप से अनिश्चित होती है{{snd}} बल और पल संतुलन की स्थिति{{snd}} उस संरचना पर [[आंतरिक बल]]ों और [[प्रतिक्रिया (भौतिकी)]] का निर्धारण करने के लिए अपर्याप्त हैं।<ref>{{Cite book|title=Hyperstatic structures: an introduction to the theory of statically indeterminate structures|last=Matheson|first=James Adam Louis|date=1971|publisher=Butterworths|isbn=0408701749|edition=2nd|location=London|oclc=257600|author-link=Louis Matheson}}</ref><ref name=":0">{{Cite book|title=संरचनात्मक और तनाव विश्लेषण|last=Megson|first=Thomas Henry Gordon|publisher=Elsevier|year=2014|isbn=9780080999364|edition=Third|location=Amsterdam|pages=489–570|chapter=Analysis of statically indeterminate structures|oclc=873568410}}</ref>
+[[स्थिति-विज्ञान]] और [[संरचनात्मक यांत्रिकी]] में, [[स्थिर संतुलन]] समीकरणों में एक स्थिर संरचना के रूप से अनिश्चितता होती है बल और क्षण संतुलन की स्थिति मे उस संरचना पर [[आंतरिक बल]] और [[प्रतिक्रिया (भौतिकी)|प्रतिक्रिया]] का निर्धारण करने के प्रति अपर्याप्त हैं।<ref>{{Cite book|title=Hyperstatic structures: an introduction to the theory of statically indeterminate structures|last=Matheson|first=James Adam Louis|date=1971|publisher=Butterworths|isbn=0408701749|edition=2nd|location=London|oclc=257600|author-link=Louis Matheson}}</ref><ref name=":0">{{Cite book|title=संरचनात्मक और तनाव विश्लेषण|last=Megson|first=Thomas Henry Gordon|publisher=Elsevier|year=2014|isbn=9780080999364|edition=Third|location=Amsterdam|pages=489–570|chapter=Analysis of statically indeterminate structures|oclc=873568410}}</ref>
 == गणित ==
-न्यूटन के गति के नियमों के आधार पर, द्वि-आयामी निकाय के लिए उपलब्ध संतुलन समीकरण हैं:<ref name=":0" />
+न्यूटन के गति के नियमों के आधार पर, द्वि-आयामी निकाय के प्रति उपलब्ध संतुलन समीकरण हैं:<ref name=":0" />
-:<math> \sum \mathbf F = 0 :</math> शरीर पर कार्य करने वाली शक्तियों का सदिश योग शून्य के बराबर होता है। यह इसका अनुवाद करता है:
+:<math> \sum \mathbf F = 0 :</math> शरीर पर कार्य करने वाली शक्तियों का सदिश योग शून्य के समान होता है। यह इसका अनुवाद करता है:
-::<math> \sum \mathbf H = 0 :</math> बलों के क्षैतिज घटकों का योग शून्य के बराबर है;
+::<math> \sum \mathbf H = 0 :</math> बलों के क्षैतिज घटकों का योग शून्य के समान होता है;
-::<math> \sum \mathbf V = 0 :</math> बलों के ऊर्ध्वाधर घटकों का योग शून्य के बराबर होता है;
+::<math> \sum \mathbf V = 0 :</math> बलों के ऊर्ध्वाधर घटकों का योग शून्य के समान होता है;
-:<math> \sum \mathbf M = 0 :</math> सभी बलों के क्षण (भौतिकी) का योग (एक मनमाना बिंदु के बारे में) शून्य के बराबर होता है।
+::<math> \sum \mathbf M = 0 :</math> सभी बलों के क्षण का योग शून्य के समान होता है।
-[[File:Statically Indeterminate Beam.svg|thumb|350px|right|स्थिर रूप से अनिश्चित [[बीम (संरचना)]] का मुक्त शरीर आरेख।]]दाहिनी ओर बीम (संरचना) निर्माण में चार अज्ञात अभिक्रियाएँ हैं {{math|'''V'''{{sub|''A''}}}}, {{math|'''V'''{{sub|''B''}}}}, {{math|'''V'''{{sub|''C''}}}}, और {{math|'''H'''{{sub|''A''}}}}. संतुलन समीकरण हैं:<ref name=":0" />
+[[File:Statically Indeterminate Beam.svg|thumb|350px|right|स्थिर रूप से अनिश्चित [[बीम (संरचना)|बीम]] का बल निर्देशक आरेख ।]]दाहिनी ओर बीम संरचना के निर्माण में चार अज्ञात अभिक्रियाएँ हैं जो {{math|'''V'''{{sub|''A''}}}}, {{math|'''V'''{{sub|''B''}}}}, {{math|'''V'''{{sub|''C''}}}}, और {{math|'''H'''{{sub|''A''}}}} की संतुलन समीकरण हैं:<ref name=":0" />
 : <math>\begin{align}
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   \sum \mathbf M_A = 0 \quad & \implies \quad \mathbf F_v \cdot a - \mathbf V_B \cdot (a + b) - \mathbf V_C \cdot (a + b + c) = 0
 \end{align}</math>
-चूंकि चार अज्ञात बल हैं (या [[चर (गणित)]]) ({{math|'''V'''{{sub|''A''}}}}, {{math|'''V'''{{sub|''B''}}}}, {{math|'''V'''{{sub|''C''}}}}, और {{math|'''H'''{{sub|''A''}}}}) लेकिन केवल तीन संतुलन समीकरण, एक साथ समीकरणों की इस प्रणाली का कोई अनूठा समाधान नहीं है। इसलिए संरचना को स्थिर रूप से अनिश्चित के रूप में वर्गीकृत किया गया है।
+क्योंकी चार अज्ञात बल हैं  {{math|'''V'''{{sub|''A''}}}}, {{math|'''V'''{{sub|''B''}}}}, {{math|'''V'''{{sub|''C''}}}}, और {{math|'''H'''{{sub|''A''}}}} परंतु केवल तीन का संतुलन समीकरण हैं, एक साथ समीकरणों की इस प्रणाली का कोई अनूठा समाधान नहीं है। इसलिए संरचना को स्थिर रूप से अनिश्चित रूप में वर्गीकृत किया गया है।
-सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित प्रणालियों को हल करने के लिए (इसके भीतर विभिन्न पल और बल प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करें), भौतिक गुणों और [[विरूपण (इंजीनियरिंग)]] में संगतता पर विचार करता है।
+स्थैतिक रूप से अनिश्चित प्रणालियों को हल करने के लिए इसके अंदर विभिन्न क्षण और बल प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करें,तथा भौतिक गुणों और [[विरूपण (इंजीनियरिंग)|विरूपण इंजीनियरिंग]] में संगतता पर विचार किया जा सकता है।
-== स्थिर रूप से निर्धारित करें ==
+== स्थैतिकतः निर्धार्य ==
-यदि समर्थन पर {{mvar|B}} हटा दिया जाता है, प्रतिक्रिया {{math|'''V'''{{sub|''B''}}}} नहीं हो सकता है, और सिस्टम स्थिर रूप से निर्धारित (या आइसोस्टैटिक) हो जाता है।<ref>{{Cite book|title=Structural mechanics: a unified approach|last=Carpinteri|first=Alberto|date=1997|publisher=E & FN Spon|isbn=0419191607|edition=1st|location=London|oclc=36416368|author-link=Alberto Carpinteri}}</ref> ध्यान दें कि यहां सिस्टम पूरी तरह से विवश है।
+यदि समर्थन पर {{mvar|B}} हटा दिया जाता है, प्रतिक्रिया {{math|'''V'''{{sub|''B''}}}} नहीं हो सकता है, और प्रणाली स्थिर रूप से निर्धारित या आइसोस्टैटिक हो जाता है।<ref>{{Cite book|title=Structural mechanics: a unified approach|last=Carpinteri|first=Alberto|date=1997|publisher=E & FN Spon|isbn=0419191607|edition=1st|location=London|oclc=36416368|author-link=Alberto Carpinteri}}</ref> ध्यान दें कि यहां प्रणाली पूरी तरह से बाधित है।प्रणाली एक [[सटीक बाधा]] [[गतिज युग्मन]] बन जाती है।यही समस्या का समाधान है:<ref name=":0" />
-प्रणाली एक [[सटीक बाधा]] [[गतिज युग्मन]] बन जाती है।
-समस्या का समाधान है:<ref name=":0" />
 :<math>\begin{align}
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    \mathbf V_A &= \mathbf F_v - \mathbf V_C
 \end{align}</math>
-यदि, इसके अलावा, पर समर्थन {{mvar|A}} को एक रोलर सपोर्ट में बदल दिया जाता है, प्रतिक्रियाओं की संख्या घटाकर तीन (बिना) कर दी जाती है {{math|'''H'''{{sub|''A''}}}}), लेकिन बीम को अब क्षैतिज रूप से स्थानांतरित किया जा सकता है; प्रणाली अस्थिर या आंशिक रूप से विवश हो जाती है - एक संरचना के बजाय एक [[तंत्र (इंजीनियरिंग)]]। इस और स्थिति के बीच अंतर करने के लिए जब संतुलन के तहत एक प्रणाली परेशान हो जाती है और अस्थिर हो जाती है, तो यहां आंशिक रूप से विवश वाक्यांश का उपयोग करना बेहतर होता है। इस मामले में दोनों अज्ञात हैं {{math|'''V'''{{sub|''A''}}}} और {{math|'''V'''{{sub|''C''}}}} ऊर्ध्वाधर बल समीकरण और क्षण समीकरण को एक साथ हल करके निर्धारित किया जा सकता है। समाधान पहले प्राप्त किए गए समान परिणाम देता है। हालांकि, जब तक क्षैतिज बल समीकरण को संतुष्ट करना संभव नहीं है {{math|1='''F'''{{sub|''h''}} = 0}}.<ref name=":0" />
+यदि, इसके अतिरिक्त, पर समर्थन {{mvar|A}} को एक रोलर सपोर्ट में परवर्तित कर दिया जाता है,तथा {{math|'''H'''{{sub|''A''}}}} के अतिरिक्त प्रतिक्रियाओं की संख्या को घटाकर तीन कर दी जाती है, परंतु बीम को क्षैतिज रूप से स्थानांतरित किया जा सकता है; तथा प्रणाली अस्थिर या आंशिक रूप से बाधित हो जाती है ,तथा प्रणाली एक संरचना के अतिरिक्त एक [[तंत्र (इंजीनियरिंग)|तंत्र]] है। इस स्थिति के मध्य अंतर करने के लिए जब संतुलन के तहत एक प्रणाली  व्याकुल तथा अस्थिर हो जाती है, तो यहां आंशिक रूप से बाधित वाक्यांश का उपयोग करना बेहतर होता है। इस स्थिति में दोनों  {{math|'''V'''{{sub|''A''}}}} और {{math|'''V'''{{sub|''C''}}}}  अज्ञात हैं ऊर्ध्वाधर बल समीकरण और क्षण समीकरण को एक साथ हल करके निर्धारित किया जा सकता है। समाधान वही परिणाम देता है जो पहले प्राप्त किए गए थे।। यद्यपि,  क्षैतिज बल समीकरण {{math|1='''F'''{{sub|''h''}} = 0}} को संतुष्ट करना संभव नहीं है।<ref name=":0" />
 == स्थैतिक निर्धारण ==
-वर्णनात्मक रूप से, एक स्थिर रूप से निर्धारित संरचना को एक संरचना के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जहां बाहरी भार के साथ संतुलन में आंतरिक क्रियाओं को खोजना संभव है, वे आंतरिक क्रियाएं अद्वितीय हैं। संरचना में आत्म-तनाव की कोई संभावित अवस्था नहीं है, अर्थात शून्य बाहरी भार के साथ संतुलन में आंतरिक बल संभव नहीं हैं। हालाँकि, स्थैतिक अनिश्चितता, संतुलन समीकरणों के [[रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणाली]] के गैर-तुच्छ (गैर-शून्य) समाधान का अस्तित्व है। यह आत्म-तनाव (बाहरी भार की अनुपस्थिति में तनाव) की संभावना को इंगित करता है जो यांत्रिक या तापीय क्रिया से प्रेरित हो सकता है।{{Disputed inline|date=August 2017}}
+वर्णनात्मक रूप से, एक स्थिर निर्धारित संरचना को एक संरचना के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जहां बाहरी भार के साथ संतुलन में आंतरिक क्रियाओं को खोज संभव है, तथा वे आंतरिक क्रियाएं अद्वितीय हैं। संरचना में आत्म-तनाव की कोई संभावित अवस्था नहीं है, अर्थात शून्य बाहरी भार के साथ संतुलन में आंतरिक बल संभव नहीं हैं। यद्यपि स्थैतिक अनिश्चितता, संतुलन समीकरणों के [[रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणाली]] के गैर-तुच्छ समाधान का अस्तित्व है। यह आत्म-तनाव की संभावना को इंगित करता है जो यांत्रिक या तापीय क्रिया से प्रेरित हो सकता है।
 गणितीय रूप से, इसे पूर्ण रैंक प्राप्त करने के लिए [[कठोरता मैट्रिक्स]] की आवश्यकता होती है।
-भौतिक गुणों और विक्षेपण जैसी अधिक जानकारी को शामिल करके ही एक सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित संरचना का विश्लेषण किया जा सकता है। संख्यात्मक रूप से, यह मैट्रिक्स संरचनात्मक विश्लेषण और परिमित तत्व विश्लेषण जैसी विधियों का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।
+भौतिक गुणों और विक्षेपण जैसी अधिक जानकारी को सम्मिलित करके ही एक सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित संरचना का विश्लेषण किया जा सकता है। संख्यात्मक रूप से, यह मैट्रिक्स संरचनात्मक विश्लेषण और परिमित तत्व विश्लेषण जैसी विधियों का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।
-व्यावहारिक रूप से, एक संरचना को 'सांख्यिकीय रूप से अतिनिर्धारित' कहा जाता है, जब इसमें अधिक यांत्रिक बाधाएं शामिल होती हैं{{snd}} दीवारों, कॉलम या बोल्ट की तरह{{snd}} स्थिरता के लिए नितांत आवश्यक है।
+व्यावहारिक रूप से, एक संरचना को 'सांख्यिकीय रूप से अतिनिर्धारित' कहा जाता है, जब इसमें अधिक यांत्रिक बाधाएं सम्मिलित होती हैं जेसे दीवार, कॉलम या बोल्ट की तरह स्थिरता के लिए नितांत आवश्यक है।
 == यह भी देखें ==
 *[[क्रिश्चियन ओटो मोहर]]
 *[[लचीलापन विधि]]
-* पल वितरण विधि
+* क्षण वितरण विधि
-*[[अत्यधिक विवश तंत्र]]
+*[[अत्यधिक विवश तंत्र|अतिबाधित तंत्र]]
-*[[संरचनागत वास्तुविद्या]]
+* [[संरचनागत वास्तुविद्या|संरचना अभियंता]]
-* विज्ञान संबंधी निर्धारण
+* काइनेमैटिक निर्धारण
 == संदर्भ ==
@@ Line 59: / Line 56: @@
 ==बाहरी संबंध==
 * [http://en.sopromat.org/2008/ Beam calculation online (Statically indeterminate)]
-[[Category: स्थिति-विज्ञान]] [[Category: संरचनात्मक विश्लेषण]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
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