डोमेन का व्युत्क्रम: Difference between revisions

Latest revision as of 20:51, 26 April 2023

यूक्लिडियन अंतरिक्ष के समरूपी उपसमुच्चय के बारे में संस्थित विज्ञान में डोमेन की एक प्रमेय है

अगर

U

का एक खुला समूह

\mathbb {R} ^{n}

है और

f:U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}

एक अंतक्षेपण निरंतर नक्शा है फिर

V:=f(U)

में खुला है तथा

\mathbb {R} ^{n}

और

f

के बीच एक समंलैंगिगता के प्रति प्रबल घृणा

U

और

V

है।

प्रमेय और इसका प्रमाण 1912 में प्रकाशित हुआ ^[1] बीजगणितीय उपसमुच्चय के उपकरण का उपयोग ब्रौवर निश्चित बिंदु प्रमेय के रूप में प्रयोग करता है।

सामान्य तौर पर यह जांचने के लिए एक समलैंगिकता को यह सत्यापित करना होगा कि दोनों कार्य निरंतर हैं तो प्रमेय कहता है कि यदि डोमेन का एक खुला उपसमुच्चय और छवि अंदर है तथा निरंतरता स्वचालित हैं यदि दो उपसमुच्चय हैं।

परिणाम

डोमेन अपरिवर्तनीय प्रमेय का एक महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि $\mathbb {R} ^{n}$ के लिए उपसमुच्चय नहीं हो सकता यदि $\mathbb {R} ^{m}$ तथा $m\neq n.$ कोई गैर-रिक्त खुला उपसमुच्चय नहीं है $\mathbb {R} ^{n}$ के किसी भी खुले उपसमुच्चय के लिए यह समरूपी भी हो सकता है ।

सामान्यीकरण

डोमेन अपरिवर्तनीय प्रमेय को कई गुना सामान्यीकृत किया जा सकता है यदि $M$ और $N$ संस्थिति विज्ञान हैं तो $n$ -कई गुना $f:M\to N$ एक सतत नक्शा है जो स्थानीय रूप से अंतःक्षेपण है

कुछ प्रकार के निरंतर नक्शों के लिए यह सामान्यीकरण भी हैं।^[2]

यह भी देखें

Template:उपसमुच्चयअन्य शर्तों के लिए जो यह सुनिश्चित करती हैं कि दिया गया निरंतर नक्शा खुला है।

↑ Brouwer L.E.J. Beweis der Invarianz des $n$ -dimensionalen Gebiets, Mathematische Annalen 71 (1912), pages 305–315; see also 72 (1912), pages 55–56
↑ Leray J. Topologie des espaces abstraits de M. Banach. C. R. Acad. Sci. Paris, 200 (1935) pages 1083–1093

संदर्भ

Bredon, Glen E. (1993). Topology and geometry. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 139. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3. MR 1224675.
Cao Labora, Daniel (2020). "When is a continuous bijection a homeomorphism?". Amer. Math. Monthly. 127 (6): 547–553. doi:10.1080/00029890.2020.1738826. MR 4101407. S2CID 221066737.
Cartan, Henri (1945). "Méthodes modernes en topologie algébrique". Comment. Math. Helv. (in français). 18: 1–15. doi:10.1007/BF02568096. MR 0013313. S2CID 124671921.
Deo, Satya (2018). Algebraic topology: A primer. Texts and Readings in Mathematics. Vol. 27 (Second ed.). New Delhi: Hindustan Book Agency. ISBN 978-93-86279-67-5. MR 3887626.
Dieudonné, Jean (1982). "8. Les théorèmes de Brouwer". Éléments d'analyse. Cahiers Scientifiques (in français). Vol. IX. Paris: Gauthier-Villars. pp. 44–47. ISBN 2-04-011499-8. MR 0658305.
Hirsch, Morris W. (1988). Differential Topology. New York: Springer. ISBN 978-0-387-90148-0. (see p. 72–73 for Hirsch's proof utilizing non-existence of a differentiable retraction)
Hilton, Peter J.; Wylie, Sean (1960). Homology theory: An introduction to algebraic topology. New York: Cambridge University Press. ISBN 0521094224. MR 0115161.
Hurewicz, Witold; Wallman, Henry (1941). Dimension Theory. Princeton Mathematical Series. Vol. 4. Princeton University Press. MR 0006493.
Kulpa, Władysław (1998). "Poincaré and domain invariance theorem" (PDF). Acta Univ. Carolin. Math. Phys. 39 (1): 129–136. MR 1696596.
Madsen, Ib; Tornehave, Jørgen (1997). From calculus to cohomology: de Rham cohomology and characteristic classes. Cambridge University Press. ISBN 0-521-58059-5. MR 1454127.
Munkres, James R. (1966). Elementary differential topology. Annals of Mathematics Studies. Vol. 54 (Revised ed.). Princeton University Press. MR 0198479.
Spanier, Edwin H. (1966). Algebraic topology. New York-Toronto-London: McGraw-Hill.
Tao, Terence (2011). "Brouwer's fixed point and invariance of domain theorems, and Hilbert's fifth problem". terrytao.wordpress.com. Retrieved 2 February 2022.

बाहरी संबंध

Mill, J. van (2001) [1994], "Domain invariance", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

[1] Brouwer L.E.J. Beweis der Invarianz des $n$ -dimensionalen Gebiets, Mathematische Annalen 71 (1912), pages 305–315; see also 72 (1912), pages 55–56

[2] Leray J. Topologie des espaces abstraits de M. Banach. C. R. Acad. Sci. Paris, 200 (1935) pages 1083–1093

[1]

[2]

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 {{Short description|Theorem in topology about homeomorphic subsets of Euclidean space}}
-[[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] के [[होमियोमॉर्फिक]] [[सबसेट]] के बारे में [[टोपोलॉजी]] में डोमेन का एक प्रमेय है <math>\R^n</math>.
+[[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] के [[होमियोमॉर्फिक|समरूपी]] [[सबसेट|उपसमुच्चय]] के बारे में [[टोपोलॉजी|संस्थित विज्ञान]] में डोमेन की एक प्रमेय है
-वो कहता है:
+:अगर <math>U</math> का एक [[खुला सेट|खुला]] समूह <math>\R^n</math> है और <math>f : U \rarr \R^n</math> एक अंतक्षेपण [[निरंतर नक्शा]] है फिर <math>V := f(U)</math> में खुला है तथा <math>\R^n</math> और <math>f</math> के बीच एक [[होमियोमोर्फिज्म|समंलैंगिगता के प्रति प्रबल घृणा]] <math>U</math> और <math>V</math> है।
-:अगर <math>U</math> का एक [[खुला सेट]] है <math>\R^n</math> और <math>f : U \rarr \R^n</math> एक [[इंजेक्शन]] [[निरंतर नक्शा]] है, फिर <math>V := f(U)</math> में खुला है <math>\R^n</math> और <math>f</math> के बीच एक [[होमियोमोर्फिज्म]] है <math>U</math> और <math>V</math>.
-प्रमेय और इसका प्रमाण 1912 में प्रकाशित L. E. J. Brouwer के कारण है।<ref>{{aut|[[L.E.J. Brouwer|Brouwer L.E.J.]]}} Beweis der Invarianz des <math>n</math>-dimensionalen Gebiets, ''[[Mathematische Annalen]]'' 71 (1912), pages 305–315; see also 72 (1912), pages 55–56</ref> सबूत [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] के उपकरण का उपयोग करता है, विशेष रूप से ब्रौवर निश्चित बिंदु प्रमेय।
+प्रमेय और इसका प्रमाण 1912 में प्रकाशित हुआ <ref>{{aut|[[L.E.J. Brouwer|Brouwer L.E.J.]]}} Beweis der Invarianz des <math>n</math>-dimensionalen Gebiets, ''[[Mathematische Annalen]]'' 71 (1912), pages 305–315; see also 72 (1912), pages 55–56</ref> [[बीजगणितीय टोपोलॉजी|बीजगणितीय उपसमुच्चय]] के उपकरण का उपयोग ब्रौवर निश्चित बिंदु प्रमेय के रूप में प्रयोग करता है।
-==टिप्पणियाँ==
+== टिप्पणियाँ ==
+प्रमेय का निष्कर्ष समान रूप से तैयार किया जा सकता है जैसे एक खुला नक्शा
-The conclusion of the theorem can equivalently be formulated as: "<math>f</math> is an [[open map]]".
-Normally, to check that <math>f</math> is a homeomorphism, one would have to verify that both <math>f</math> and its [[inverse function]] <math>f^{-1}</math> are continuous;
-the theorem says that if the domain is an {{em|open}} subset of <math>\R^n</math> and the image is also in <math>\R^n,</math> then continuity of <math>f^{-1}</math> is automatic.
-Furthermore, the theorem says that if two subsets <math>U</math> and <math>V</math> of <math>\R^n</math> are homeomorphic, and <math>U</math> is open, then <math>V</math> must be open as well.
-(Note that <math>V</math> is open as a subset of <math>\R^n,</math> and not just in the subspace topology.
-Openness of <math>V</math> in the subspace topology is automatic.)
-Both of these statements are not at all obvious and are not generally true if one leaves Euclidean space.
-[[File:A map which is not a homeomorphism onto its image.png|thumb|alt=Not a homeomorphism onto its image|A map which is not a homeomorphism onto its image: <math>g : (-1.1, 1) \to \R^2</math> with <math>g(t) = \left(t^2 - 1, t^3 - t\right).</math>]]
-It is of crucial importance that both [[Domain of a function|domain]] and [[Image of a function|image]] of <math>f</math> are contained in Euclidean space {{em|of the same dimension}}.
-Consider for instance the map <math>f : (0, 1) \to \R^2</math> defined by <math>f(t) = (t, 0).</math>
-This map is injective and continuous, the domain is an open subset of <math>\R</math>, but the image is not open in <math>\R^2.</math>
-A more extreme example is the map <math>g : (-1.1, 1) \to \R^2</math> defined by <math>g(t) = \left(t^2 - 1, t^3 - t\right)</math> because here <math>g</math> is injective and continuous but does not even yield a homeomorphism onto its image.
-The theorem is also not generally true in infinitely many dimensions. Consider for instance the [[Banach space|Banach]] [[lp space|L<sup>p</sup> space]] <math>\ell^{\infty}</math> of all bounded real [[sequence]]s.
-Define <math>f : \ell^\infty \to \ell^\infty</math> as the shift <math>f\left(x_1, x_2, \ldots\right) = \left(0, x_1, x_2, \ldots\right).</math>
-Then <math>f</math> is injective and continuous, the domain is open in <math>\ell^{\infty}</math>, but the image is not.
+सामान्य तौर पर यह जांचने के लिए एक समलैंगिकता को यह सत्यापित करना होगा कि दोनों कार्य निरंतर हैं तो प्रमेय कहता है कि यदि डोमेन का एक ''खुला'' उपसमुच्चय और छवि अंदर है तथा निरंतरता स्वचालित हैं यदि दो उपसमुच्चय हैं।
 == परिणाम ==
-डोमेन इनवैरियंस प्रमेय का एक महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि <math>\R^n</math> के लिए होमियोमॉर्फिक नहीं हो सकता <math>\R^m</math> अगर <math>m \neq n.</math> दरअसल, का कोई गैर-रिक्त खुला उपसमुच्चय नहीं है <math>\R^n</math> के किसी भी खुले उपसमुच्चय के लिए होमोमोर्फिक हो सकता है <math>\R^m</math> इस मामले में।
+डोमेन अपरिवर्तनीय प्रमेय का एक महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि <math>\R^n</math> के लिए उपसमुच्चय नहीं हो सकता यदि <math>\R^m</math> तथा <math>m \neq n.</math>  कोई गैर-रिक्त खुला उपसमुच्चय नहीं है <math>\R^n</math> के किसी भी खुले उपसमुच्चय के लिए यह समरूपी भी हो सकता है ।
 == सामान्यीकरण ==
-डोमेन इनवैरियंस प्रमेय को [[कई गुना]] सामान्यीकृत किया जा सकता है: यदि <math>M</math> और <math>N</math> टोपोलॉजिकल हैं {{mvar|n}}-कई गुना सीमा के बिना और <math>f : M \to N</math> एक सतत नक्शा है जो स्थानीय रूप से इंजेक्शन फ़ंक्शन है | स्थानीय रूप से एक-से-एक (जिसका अर्थ है कि प्रत्येक बिंदु में <math>M</math> एक नेबरहुड (टोपोलॉजी) ऐसा है <math>f</math> इस पड़ोस तक सीमित इंजेक्शन है), फिर <math>f</math> एक [[खुला नक्शा]] है (जिसका अर्थ है कि <math>f(U)</math> में खुला है <math>N</math> जब कभी भी <math>U</math> का खुला उपसमुच्चय है <math>M</math>) और एक [[स्थानीय होमोमोर्फिज्म]]।
+डोमेन अपरिवर्तनीय प्रमेय को [[कई गुना]] सामान्यीकृत किया जा सकता है यदि <math>M</math> और <math>N</math> संस्थिति विज्ञान हैं तो {{mvar|n}}-कई गुना <math>f : M \to N</math> एक सतत नक्शा है जो स्थानीय रूप से अंतःक्षेपण है
-कुछ प्रकार के निरंतर नक्शों के लिए एक [[बनच स्थान]] से स्वयं के लिए सामान्यीकरण भी हैं।<ref>{{aut|[[Jean Leray|Leray J.]]}} Topologie des espaces abstraits de M. Banach. ''C. R. Acad. Sci. Paris'', 200 (1935)  pages 1083–1093</ref>
+कुछ प्रकार के निरंतर नक्शों के लिए यह सामान्यीकरण भी हैं।<ref>{{aut|[[Jean Leray|Leray J.]]}} Topologie des espaces abstraits de M. Banach. ''C. R. Acad. Sci. Paris'', 200 (1935)  pages 1083–1093</ref>
 == यह भी देखें ==
-* {{annotated link|Open mapping theorem (complex analysis)|Open mapping theorem}} अन्य शर्तों के लिए जो यह सुनिश्चित करती हैं कि दिया गया निरंतर नक्शा खुला है।
+* {{उपसमुच्चय}}अन्य शर्तों के लिए जो यह सुनिश्चित करती हैं कि दिया गया निरंतर नक्शा खुला है।
-==टिप्पणियाँ==
 {{reflist|30em}}
@@ Line 73: / Line 53: @@
 {{Topology}}
-[[Category: बीजगणितीय टोपोलॉजी]] [[Category: निरंतर कार्यों का सिद्धांत]] [[Category: होमोमोर्फिज्म]] [[Category: टोपोलॉजी में प्रमेय]]
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