कप उत्पाद: Difference between revisions

Latest revision as of 20:57, 26 April 2023

गणित में, विशेष रूप से बीजगणितीय संस्थितिविज्ञान में, कप उत्पाद डिग्री p और q के दो सहचक्रों को जोड़ने की एक विधि है, डिग्री p + q के एक समग्र सहचक्र बनता है। यह सह समरूपता में एक सहयोगी (और वितरण) श्रेणीबद्ध क्रमविनिमेय उत्पाद संचालन को परिभाषित करता है, एक समष्टि X के सह समरूपता को श्रेणीबद्ध वलय, H^∗(X), जिसे सह समरूपता वलय कहा जाता है। कप उत्पाद 1935-1938 तक जे. डब्ल्यू. अलेक्जेंडर, एडुआर्ड सीच और हस्लर व्हिटनी के काम में प्रस्तावित किया गया था, और, पूर्ण सामान्यता में, 1944 में सैमुअल एलेनबर्ग द्वारा प्रस्तावित किया गया था।

परिभाषा

विलक्षण सह समरूपता में, कप उत्पाद एक रचना है जो एक सांस्थितिक समष्टि X के श्रेणीबद्ध सह समरूपता वलय H^∗(X) पर एक उत्पाद देता है।

रचना कोचेन (बीजीय संस्थितिविज्ञान) के उत्पाद से साथ प्रारंभ होता है: यदि $\alpha ^{p}$ एक p-कोचेन है और $\beta ^{q}$ एक q-कोचैन है, तो

(\alpha ^{p}\smile \beta ^{q})(\sigma )=\alpha ^{p}(\sigma \circ \iota _{0,1,...p})\cdot \beta ^{q}(\sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q})

जहां σ एक विलक्षण (p + q) -संकेतन है और $\iota _{S},S\subset \{0,1,...,p+q\}$ S द्वारा विस्तरित किए गए संकेतन का विहित अंतःस्थापित है $(p+q)$ -संकेतन जिसका शीर्षों को $\{0,...,p+q\}$ द्वारा अनुक्रमित किया जाता है।

अनौपचारिक रूप से, $\sigma \circ \iota _{0,1,...,p}$ p-वाँ अग्र फलक है और $\sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q}$ क्रमशः σ का q-वाँ पार्श्व फलक है।

कोचेन $\alpha ^{p}$ और $\beta ^{q}$ के कप उत्पाद की सहसीमा किसके द्वारा दी गई है

\delta (\alpha ^{p}\smile \beta ^{q})=\delta {\alpha ^{p}}\smile \beta ^{q}+(-1)^{p}(\alpha ^{p}\smile \delta {\beta ^{q}}).

दो सह चक्र का कप उत्पाद फिर से एक सह चक्र है, और एक सह चक्र के साथ एक सहसीमा का उत्पाद (किसी भी क्रम में) एक सहसीमा है। कप उत्पाद संचालन सह समरूपता पर द्विरैखिक संचालन को प्रेरित करता है,

H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X).

गुण

सह समरूपता में कप उत्पाद संचालन अस्मिता को संतुष्ट करता है

\alpha ^{p}\smile \beta ^{q}=(-1)^{pq}(\beta ^{q}\smile \alpha ^{p})

ताकि संबंधित गुणन श्रेणीबद्ध-क्रमविनिमेय हो।

कप उत्पाद क्रियात्मक है, निम्नलिखित अर्थों में: यदि

f\colon X\to Y

एक सतत फलन है, और

f^{*}\colon H^{*}(Y)\to H^{*}(X)

सह समरूपता में प्रेरित समरूपता है, तब

f^{*}(\alpha \smile \beta )=f^{*}(\alpha )\smile f^{*}(\beta ),

H ^*(Y) में सभी वर्गों α, β के लिए है। दूसरे शब्दों में, f ^* एक (श्रेणीबद्ध) वलय समरूपता है।

व्याख्या

कप उत्पाद को देखना संभव है $\smile \colon H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X)$ जैसा कि निम्नलिखित संयोजना से प्रेरित है:

$\displaystyle C^{\bullet }(X)\times C^{\bullet }(X)\to C^{\bullet }(X\times X){\overset {\Delta ^{*}}{\to }}C^{\bullet }(X)$

$X$ और $X\times X$ के श्रृंखला परिसरों के संदर्भ में, जहां पहला मानचित्र कुनेथ मानचित्र है और दूसरा विकर्ण $\Delta \colon X\to X\times X$ द्वारा प्रेरित मानचित्र है।

यह संयोजना सह समरूपता के संदर्भ में एक अच्छी तरह से परिभाषित मानचित्र देने के लिए भागफल से पारित होती है, यह कप उत्पाद है। यह दृष्टिकोण समरूपता के लिए एक कप उत्पाद के अस्तित्व की व्याख्या करता है, लेकिन समरूपता के लिए नहीं: $\Delta \colon X\to X\times X$ एक मानचित्र प्रेरित करता है $\Delta ^{*}\colon H^{\bullet }(X\times X)\to H^{\bullet }(X)$ लेकिन एक मानचित्र भी प्रेरित करेगा $\Delta _{*}\colon H_{\bullet }(X)\to H_{\bullet }(X\times X)$ , जो किसी उत्पाद को परिभाषित करने की अनुमति देने के लिए असत् प्रकार से जाता है। हालांकि यह कैप उत्पाद को परिभाषित करने में उपयोगी है।

कप उत्पाद की इस प्रस्तुति से द्विरेखीयता आती है, अर्थात $(u_{1}+u_{2})\smile v=u_{1}\smile v+u_{2}\smile v$ और $u\smile (v_{1}+v_{2})=u\smile v_{1}+u\smile v_{2}.$

उदाहरण

कप उत्पादों का उपयोग समान सह समरूपता समूहों के साथ समष्टि के वैज से बहुरूपता को अलग करने के लिए किया जा सकता है। समष्टि $X:=S^{2}\vee S^{1}\vee S^{1}$ में टोरस T के समान सह समरूपता समूह हैं, लेकिन एक अलग कप उत्पाद के साथ है। X के प्रकरण में $S^{1}$ प्रतियों से जुड़े कोचेन का गुणन पतित है, जबकि T गुणा में पहले सह समरूपता समूह में टोरस को 2-सेल आरेख के रूप में विघटित करने के लिए उपयोजित किया जा सकता है, इस प्रकार Z के समान उत्पाद होता है (अधिक सामान्यतः M जहां यह आधार प्रतिरूपक है)।

अन्य परिभाषाएँ

कप उत्पाद और अंतर रूप

डी रम सह समरूपता में, विभेदक रूपों के कप उत्पाद वैज उत्पाद से प्रेरित होते हैं। दूसरे शब्दों में, दो बंद अंतर रूपों का वैज उत्पाद दो मूल डे राम वर्गों के कप उत्पाद के डे राम वर्ग से संबंधित है।

कप उत्पाद और ज्यामितीय प्रतिच्छेदन

योजक संख्या को शृंखला के पूरक पर गैर-लुप्त होने वाले कप उत्पाद के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है।

\mathbb {R} ^{3}

विरूपण में इन दो जुड़े मंडलियों का पूरक एक टोरस और 2-गोले के एक वैज योग के लिए वापस जाता है, जिसमें डिग्री 1 में एक गैर-लुप्त होने वाला कप उत्पाद होता है।

अभिविन्यस्त बहुरूपता के लिए, एक ज्यामितीय अनुमान है कि ''कप उत्पाद प्रतिच्छेदन के लिए द्वैध है''।^[1]^[2]

वास्तव में, $M$ को आयाम $n$ के एक उन्मुख सुचारू बहुरूपता होने दें। यदि दो उपबहुरूपता $A,B$ सहआयाम $i$ और $j$ अनुप्रस्थतः प्रतिच्छेद करते हैं, तो उनका प्रतिच्छेदन $A\cap B$ फिर से सहआयाम $i+j$ का एक उपबहुरूपता है। समावेशन के अंतर्गत इन बहुरूपता के मौलिक समरूपता वर्गों की प्रतिबिंबो को लेकर, समरूपता पर एक द्विरैखिक उत्पाद प्राप्त कर सकते हैं। यह उत्पाद कप उत्पाद के लिए पॉइनकेयर द्वैध है, इस अर्थ में कि पॉइनकेयर की जोड़ी $[A]^{*},[B]^{*}\in H^{i},H^{j}$ लेने पर निम्नलिखित समानता है:

$[A]^{*}\smile [B]^{*}=[A\cap B]^{*}\in H^{i+j}(X,\mathbb {Z} )$ .^[1]

इसी तरह, योजक संख्या को प्रतिच्छेदन के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है, आयामों को 1 से स्थानांतरित किया जा सकता है, या वैकल्पिक रूप से शृंखला के पूरक पर गैर-लुप्त होने वाले कप उत्पाद के संदर्भ में किया जा सकता है।

मैसी उत्पाद

मैसी उत्पाद कप उत्पाद का सामान्यीकरण करते हैं, जिससे किसी को उच्च क्रम योजक संख्या, मिल्नोर अपरिवर्तनीय को परिभाषित करने की अनुमति मिलती है।

कप उत्पाद एक द्विआधारी (2-एरी) संचालन है; एक त्रिगुट (3-एरी) और उच्च क्रम संचालन को परिभाषित कर सकता है जिसे मैसी उत्पाद कहा जाता है, जो कप उत्पाद को सामान्य करता है। यह एक उच्च क्रम सह समरूपता संचालन है, जो केवल आंशिक रूप से परिभाषित है (केवल कुछ त्रिगुणों के लिए परिभाषित)।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Hutchings, Michael. "कप उत्पाद और चौराहों" (PDF).
↑ Ciencias TV (2016-12-10), Informal talk in Derived Geometry (Jacob Lurie), archived from the original on 2021-12-21, retrieved 2018-04-26

James R. Munkres, "Elements of Algebraic Topology", Perseus Publishing, Cambridge Massachusetts (1984) ISBN 0-201-04586-9 (hardcover) ISBN 0-201-62728-0 (paperback)
Glen E. Bredon, "Topology and Geometry", Springer-Verlag, New York (1993) ISBN 0-387-97926-3
Allen Hatcher, "Algebraic Topology", Cambridge Publishing Company (2002) ISBN 0-521-79540-0

[:0-1] 1.0 ^1.1 Hutchings, Michael. "कप उत्पाद और चौराहों" (PDF).

[2] Ciencias TV (2016-12-10), Informal talk in Derived Geometry (Jacob Lurie), archived from the original on 2021-12-21, retrieved 2018-04-26

[1]

[2]

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-गणित में, विशेष रूप से [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] में, कप उत्पाद डिग्री ''p'' और ''q'' के दो चक्रों को जोड़ने की एक विधि है, जिससे डिग्री ''p'' + ''q'' का एक समग्र चक्र बनता है। यह कोहोलॉजी में एक सहयोगी (और वितरण) ग्रेडेड कम्यूटेटिव उत्पाद संचालन को परिभाषित करता है, एक अंतरिक्ष '' एक्स '' के कोहोलॉजी को ग्रेडेड रिंग '' एच '' में बदल देता है।<sup>∗</sup>(X), [[कोहोलॉजी रिंग]] कहा जाता है। कप उत्पाद जेम्स वैडेल अलेक्जेंडर II|जे के काम में पेश किया गया था। 1935-1938 तक डब्ल्यू अलेक्जेंडर, एडुअर्ड चेक और [[हस्लर व्हिटनी]], और 1944 में [[सैमुअल एलेनबर्ग]] द्वारा पूर्ण सामान्यता में।
+गणित में, विशेष रूप से [[बीजगणितीय टोपोलॉजी|बीजगणितीय संस्थितिविज्ञान]] में, कप उत्पाद डिग्री ''p'' और ''q'' के दो सहचक्रों को जोड़ने की एक विधि है, डिग्री ''p'' + ''q'' के एक समग्र सहचक्र बनता है। यह सह समरूपता में एक सहयोगी (और वितरण) श्रेणीबद्ध क्रमविनिमेय उत्पाद संचालन को परिभाषित करता है, एक समष्टि ''X '' के सह समरूपता को श्रेणीबद्ध वलय,'' H<sup>∗</sup>(X),'' जिसे [[कोहोलॉजी रिंग|सह समरूपता वलय]] कहा जाता है। कप उत्पाद 1935-1938 तक जे. डब्ल्यू. अलेक्जेंडर, एडुआर्ड सीच और [[हस्लर व्हिटनी]] के काम में प्रस्तावित किया गया था, और, पूर्ण सामान्यता में, 1944 में [[सैमुअल एलेनबर्ग]] द्वारा प्रस्तावित किया गया था।
 == परिभाषा ==
-[[एकवचन कोहोलॉजी]] में, कप उत्पाद एक निर्माण है जो [[ वर्गीकृत अंगूठी ]] कोहोलॉजी रिंग ''एच'' पर एक उत्पाद देता है।<sup>∗</sup>(X) एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] X का।
+[[एकवचन कोहोलॉजी|विलक्षण सह समरूपता]] में, कप उत्पाद एक रचना है जो एक[[ वर्गीकृत अंगूठी | सांस्थितिक समष्टि]] X के श्रेणीबद्ध सह [[समरूपता वलय]] ''H''<sup>∗</sup>(''X'') पर एक उत्पाद देता है।
-निर्माण [[कोचेन (बीजीय टोपोलॉजी)]] के उत्पाद से शुरू होता है: यदि <math>\alpha^p</math> एक पी-कोचेन है और
+रचना [[कोचेन (बीजीय टोपोलॉजी)|कोचेन (बीजीय संस्थितिविज्ञान)]] के उत्पाद से साथ प्रारंभ होता है: यदि <math>\alpha^p</math> एक ''p''-कोचेन है और <math>\beta^q</math> एक ''q''-कोचैन है, तो
- <math>\beta^q</math> एक क्यू-कोचैन है, तो
 :<math>(\alpha^p \smile \beta^q)(\sigma) = \alpha^p(\sigma \circ \iota_{0,1, ... p}) \cdot \beta^q(\sigma \circ \iota_{p, p+1 ,..., p + q})</math>
-जहां σ एक [[ एकवचन समरूपता ]] (p + q) [[संकेतन]] है और <math>\iota_S , S \subset \{0,1,...,p+q \} </math> S द्वारा फैलाए गए सिम्प्लेक्स का विहित [[एम्बेडिंग]] है <math>(p+q)</math>-सिम्प्लेक्स जिसका वर्टिकल द्वारा अनुक्रमित किया जाता है <math>\{0,...,p+q \}</math>.
+जहां σ एक[[ एकवचन समरूपता | विलक्षण]] (p + q) [[संकेतन|-संकेतन]] है और <math>\iota_S , S \subset \{0,1,...,p+q \} </math> S द्वारा विस्तरित किए गए संकेतन का विहित [[एम्बेडिंग|अंतःस्थापित]] है <math>(p+q)</math>-[[संकेतन]] जिसका शीर्षों को <math>\{0,...,p+q \}</math> द्वारा अनुक्रमित किया जाता है।
-अनौपचारिक रूप से, <math> \sigma \circ \iota_{0,1, ..., p}</math> पी-वें 'फ्रंट फेस' है और <math>\sigma \circ \iota_{p, p+1, ..., p + q}</math> क्रमशः σ का q-वाँ 'पिछला फलक' है।
+अनौपचारिक रूप से, <math> \sigma \circ \iota_{0,1, ..., p}</math> ''p''-वाँ अग्र फलक है और <math>\sigma \circ \iota_{p, p+1, ..., p + q}</math> क्रमशः σ का q-वाँ पार्श्व फलक है।
-कोचेन के कप उत्पाद की [[सीमा]] <math>\alpha^p</math> और <math>\beta^q</math> द्वारा दिया गया है
+कोचेन <math>\alpha^p</math> और <math>\beta^q</math> के कप उत्पाद की [[सीमा|सहसीमा]] किसके द्वारा दी गई है
 :<math>\delta(\alpha^p \smile \beta^q) = \delta{\alpha^p} \smile \beta^q + (-1)^p(\alpha^p \smile \delta{\beta^q}).</math>
-दो कोसायकल का कप उत्पाद फिर से एक कोसायकल है, और एक कोसायकल के साथ एक कोबाउंड्री का उत्पाद (किसी भी क्रम में) एक कोबाउंड्री है। कप उत्पाद संचालन कोहोलॉजी पर बिलिनियर ऑपरेशन को प्रेरित करता है,
+दो सह चक्र का कप उत्पाद फिर से एक सह चक्र है, और एक सह चक्र के साथ एक सहसीमा का उत्पाद (किसी भी क्रम में) एक सहसीमा है। कप उत्पाद संचालन सह समरूपता पर द्विरैखिक संचालन को प्रेरित करता है,
 : <math> H^p(X) \times H^q(X) \to H^{p+q}(X). </math>
 == गुण ==
-कोहोलॉजी में कप उत्पाद संचालन पहचान को संतुष्ट करता है
+सह समरूपता में कप उत्पाद संचालन अस्मिता को संतुष्ट करता है
 :<math>\alpha^p \smile \beta^q = (-1)^{pq}(\beta^q \smile \alpha^p)</math>
-ताकि संबंधित गुणन [[ supercommutative ]] | ग्रेडेड-कम्यूटेटिव हो।
+ताकि संबंधित गुणन श्रेणीबद्ध-क्रमविनिमेय हो।
 कप उत्पाद क्रियात्मक है, निम्नलिखित अर्थों में: यदि
 :<math>f\colon X\to Y</math>
-एक सतत कार्य है, और
+एक सतत फलन है, और
 :<math>f^*\colon H^*(Y)\to H^*(X)</math>
-कोहोलॉजी में प्रेरित [[समरूपता]] है, तब
+सह समरूपता में प्रेरित [[समरूपता]] है, तब
 :<math>f^*(\alpha \smile \beta) =f^*(\alpha) \smile f^*(\beta),</math>
-एच में सभी वर्गों α, β के लिए <sup>*</sup>(वाई). दूसरे शब्दों में, एफ <sup>*</sup> एक (ग्रेडेड) [[रिंग समरूपता]] है।
+''H'' <sup>*</sup>(''Y'') में सभी वर्गों α, β के लिए है। दूसरे शब्दों में, ''f'' <sup>*</sup> एक (श्रेणीबद्ध) [[रिंग समरूपता|वलय समरूपता]] है।
 == व्याख्या ==
-कप उत्पाद को देखना संभव है <math> \smile \colon H^p(X) \times H^q(X) \to H^{p+q}(X)</math> जैसा कि निम्नलिखित रचना से प्रेरित है: <ब्लॉककोट><math> \displaystyle C^\bullet(X) \times C^\bullet(X) \to C^\bullet(X \times X) \overset{\Delta^*}{\to} C^\bullet(X) </math></blockquote>की श्रृंखला परिसरों के संदर्भ में <math>X</math> और <math>X \times X</math>, जहां पहला नक्शा कुनेथ सूत्र है | कुनेथ नक्शा और दूसरा विकर्ण फ़ैक्टर द्वारा प्रेरित नक्शा है <math> \Delta \colon X \to X \times X</math>.
+कप उत्पाद को देखना संभव है <math> \smile \colon H^p(X) \times H^q(X) \to H^{p+q}(X)</math> जैसा कि निम्नलिखित संयोजना से प्रेरित है:
-यह रचना कोहोलॉजी के संदर्भ में एक अच्छी तरह से परिभाषित मानचित्र देने के लिए भागफल से गुजरती है, यह कप उत्पाद है। यह दृष्टिकोण समरूपता के लिए एक कप उत्पाद के अस्तित्व की व्याख्या करता है, लेकिन समरूपता के लिए नहीं: <math> \Delta \colon X \to X \times X</math> नक्शा प्रेरित करता है <math>\Delta^* \colon H^\bullet(X \times X) \to H^\bullet(X)</math> लेकिन एक नक्शा भी प्रेरित करेगा <math>\Delta_* \colon H_\bullet(X) \to H_\bullet(X \times X)</math>, जो हमें किसी उत्पाद को परिभाषित करने की अनुमति देने के लिए गलत तरीके से जाता है। हालांकि यह कैप उत्पाद को परिभाषित करने में उपयोगी है।
+<math> \displaystyle C^\bullet(X) \times C^\bullet(X) \to C^\bullet(X \times X) \overset{\Delta^*}{\to} C^\bullet(X) </math>
-कप उत्पाद की इस प्रस्तुति से द्विरेखीयता आती है, अर्थात <math> (u_1 + u_2) \smile v = u_1 \smile v + u_2 \smile v </math> और <math> u \smile (v_1 + v_2) = u \smile v_1 + u \smile v_2. </math>
+<math>X</math> और <math>X \times X</math> के श्रृंखला परिसरों के संदर्भ में, जहां पहला मानचित्र कुनेथ मानचित्र है और दूसरा विकर्ण <math> \Delta \colon X \to X \times X</math> द्वारा प्रेरित मानचित्र है।
+यह संयोजना सह समरूपता के संदर्भ में एक अच्छी तरह से परिभाषित मानचित्र देने के लिए भागफल से पारित होती है, यह कप उत्पाद है। यह दृष्टिकोण समरूपता के लिए एक कप उत्पाद के अस्तित्व की व्याख्या करता है, लेकिन समरूपता के लिए नहीं: <math> \Delta \colon X \to X \times X</math> एक मानचित्र प्रेरित करता है <math>\Delta^* \colon H^\bullet(X \times X) \to H^\bullet(X)</math> लेकिन एक मानचित्र भी प्रेरित करेगा <math>\Delta_* \colon H_\bullet(X) \to H_\bullet(X \times X)</math>, जो किसी उत्पाद को परिभाषित करने की अनुमति देने के लिए असत् प्रकार से जाता है। हालांकि यह कैप उत्पाद को परिभाषित करने में उपयोगी है।
+कप उत्पाद की इस प्रस्तुति से द्विरेखीयता आती है, अर्थात <math> (u_1 + u_2) \smile v = u_1 \smile v + u_2 \smile v </math> और <math> u \smile (v_1 + v_2) = u \smile v_1 + u \smile v_2. </math>
 == उदाहरण ==
-कप उत्पादों का उपयोग समान कोहोलॉजी समूहों के साथ रिक्त स्थान के वेजेज से मैनिफोल्ड्स को अलग करने के लिए किया जा सकता है। अंतरिक्ष <math>X:= S^2\vee S^1\vee S^1</math> टोरस टी के समान कोहोलॉजी समूह हैं, लेकिन एक अलग कप उत्पाद के साथ। X के मामले में कॉपी से जुड़े [[cochain]] का गुणन <math>S^1</math> पतित है, जबकि पहले कोहोलॉजी समूह में टी गुणा में टोरस को 2-सेल आरेख के रूप में विघटित करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है, इस प्रकार उत्पाद 'जेड' के बराबर होता है (आमतौर पर एम जहां यह आधार मॉड्यूल है)।
+कप उत्पादों का उपयोग समान सह समरूपता समूहों के साथ समष्टि के वैज से बहुरूपता को अलग करने के लिए किया जा सकता है। समष्टि <math>X:= S^2\vee S^1\vee S^1</math> में टोरस T के समान सह समरूपता समूह हैं, लेकिन एक अलग कप उत्पाद के साथ है। X के प्रकरण में <math>S^1</math> प्रतियों से जुड़े [[cochain|कोचेन]] का गुणन पतित है, जबकि T गुणा में पहले सह समरूपता समूह में टोरस को 2-सेल आरेख के रूप में विघटित करने के लिए उपयोजित किया जा सकता है, इस प्रकार Z के समान उत्पाद होता है (अधिक सामान्यतः M जहां यह आधार प्रतिरूपक है)।
 == अन्य परिभाषाएँ ==
 === कप उत्पाद और अंतर रूप ===
-[[डॉ कहलमज गर्भाशय]] में, [[विभेदक रूप]]ों के कप उत्पाद [[कील उत्पाद]] से प्रेरित होते हैं। दूसरे शब्दों में, कील उत्पाद
+[[डॉ कहलमज गर्भाशय|डी रम सह समरूपता]] में, [[विभेदक रूप|विभेदक रूपों]] के कप उत्पाद [[कील उत्पाद|वैज उत्पाद]] से प्रेरित होते हैं। दूसरे शब्दों में, दो बंद अंतर रूपों का वैज उत्पाद दो मूल डे राम वर्गों के कप उत्पाद के डे राम वर्ग से संबंधित है।
-दो [[बंद और सटीक अंतर रूप]] विभेदक रूप दो मूल डी राम वर्गों के कप उत्पाद के डे राम वर्ग से संबंधित हैं।
-=== कप उत्पाद और ज्यामितीय चौराहे ===
+=== कप उत्पाद और ज्यामितीय प्रतिच्छेदन ===
-[[File:Linking Number 1.svg|thumb|[[लिंकिंग नंबर]] को लिंक के पूरक पर गैर-लुप्त होने वाले कप उत्पाद के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। इन दो जुड़े मंडलियों का पूरक <math>\mathbb{R}^3</math> विरूपण एक टोरस और 2-गोले के एक पच्चर योग में वापस आ जाता है, जिसमें डिग्री 1 में एक गैर-लुप्त होने वाला कप उत्पाद होता है।]]ओरिएंटेड मैनिफोल्ड्स के लिए, एक ज्यामितीय अनुमान है कि कप उत्पाद चौराहों के लिए दोहरी है।<ref name=":0">{{Cite web|url=https://math.berkeley.edu/~hutching/teach/215b-2011/cup.pdf|title=कप उत्पाद और चौराहों|last=Hutchings|first=Michael|date=|website=|archive-url=|archive-date=|access-date=}}</ref><ref>{{Citation|last=Ciencias TV|title=Informal talk in Derived Geometry (Jacob Lurie)|date=2016-12-10|url=https://www.youtube.com/watch?v=YWpD6c69k_M |archive-url=https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211221/YWpD6c69k_M |archive-date=2021-12-21 |url-status=live|accessdate=2018-04-26}}{{cbignore}}</ref>
+[[File:Linking Number 1.svg|thumb|[[लिंकिंग नंबर|योजक संख्या]] को शृंखला के पूरक पर गैर-लुप्त होने वाले कप उत्पाद के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। <math>\mathbb{R}^3</math> विरूपण में इन दो जुड़े मंडलियों का पूरक एक टोरस और 2-गोले के एक वैज योग के लिए वापस जाता है, जिसमें डिग्री 1 में एक गैर-लुप्त होने वाला कप उत्पाद होता है।]]अभिविन्यस्त बहुरूपता के लिए, एक ज्यामितीय अनुमान है कि <nowiki>''कप उत्पाद प्रतिच्छेदन के लिए द्वैध है''</nowiki>।<ref name=":0">{{Cite web|url=https://math.berkeley.edu/~hutching/teach/215b-2011/cup.pdf|title=कप उत्पाद और चौराहों|last=Hutchings|first=Michael|date=|website=|archive-url=|archive-date=|access-date=}}</ref><ref>{{Citation|last=Ciencias TV|title=Informal talk in Derived Geometry (Jacob Lurie)|date=2016-12-10|url=https://www.youtube.com/watch?v=YWpD6c69k_M |archive-url=https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211221/YWpD6c69k_M |archive-date=2021-12-21 |url-status=live|accessdate=2018-04-26}}{{cbignore}}</ref>
-वास्तव में, चलो <math>M</math> आयाम का एक उन्मुख चिकनी कई गुना हो <math>n</math>. यदि दो सबमेनिफोल्ड <math>A,B</math> कोडिमेंशन का <math>i</math> और <math>j</math> [[ट्रांसवर्सलिटी (गणित)]] को प्रतिच्छेद करें, फिर उनका प्रतिच्छेदन <math>A \cap B</math> फिर से कोडिमेंशन का एक सबमेनफोल्ड है <math>i+j</math>. समावेशन के तहत इन मैनिफोल्ड्स के मौलिक समरूपता वर्गों की छवियों को लेकर, समरूपता पर एक बिलिनियर उत्पाद प्राप्त कर सकते हैं। यह उत्पाद Poincare द्वैत है | Poincare दोहरा कप उत्पाद के लिए, इस अर्थ में कि Poincare युग्मों को ले रहा है <math>[A]^*, [B]^* \in H^{i},H^{j}</math> तो निम्नलिखित समानता है:
+वास्तव में, <math>M</math> को आयाम <math>n</math> के एक उन्मुख सुचारू बहुरूपता होने दें। यदि दो उपबहुरूपता <math>A,B</math> सहआयाम <math>i</math> और <math>j</math> [[ट्रांसवर्सलिटी (गणित)|अनुप्रस्थतः]] प्रतिच्छेद करते हैं, तो उनका प्रतिच्छेदन <math>A \cap B</math> फिर से सहआयाम <math>i+j</math> का एक उपबहुरूपता है। समावेशन के अंतर्गत इन बहुरूपता के मौलिक समरूपता वर्गों की प्रतिबिंबो को लेकर, समरूपता पर एक द्विरैखिक उत्पाद प्राप्त कर सकते हैं। यह उत्पाद कप उत्पाद के लिए पॉइनकेयर द्वैध है, इस अर्थ में कि पॉइनकेयर की जोड़ी <math>[A]^*, [B]^* \in H^{i},H^{j}</math> लेने पर निम्नलिखित समानता है:
 <math>[A]^* \smile [B]^*=[A \cap B]^* \in H^{i+j}(X, \mathbb Z)</math>.<ref name=":0" />
-इसी तरह, लिंकिंग संख्या को चौराहों के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है, आयामों को 1 से स्थानांतरित किया जा सकता है, या वैकल्पिक रूप से लिंक के पूरक पर गैर-लुप्त होने वाले कप उत्पाद के संदर्भ में।
+इसी तरह, योजक संख्या को प्रतिच्छेदन के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है, आयामों को 1 से स्थानांतरित किया जा सकता है, या वैकल्पिक रूप से शृंखला के पूरक पर गैर-लुप्त होने वाले कप उत्पाद के संदर्भ में किया जा सकता है।
 == मैसी उत्पाद ==
-[[File:BorromeanRings.svg|thumb|[[मैसी उत्पाद]] कप उत्पाद का सामान्यीकरण करते हैं, जिससे किसी को उच्च ऑर्डर लिंकिंग संख्या, [[मिल्नोर इनवेरिएंट्स]] को परिभाषित करने की अनुमति मिलती है।]]
+[[File:BorromeanRings.svg|thumb|[[मैसी उत्पाद]] कप उत्पाद का सामान्यीकरण करते हैं, जिससे किसी को उच्च क्रम योजक संख्या, [[मिल्नोर इनवेरिएंट्स|मिल्नोर अपरिवर्तनीय]] को परिभाषित करने की अनुमति मिलती है।]]
-{{main|Massey product}}
+{{main|मैसी उत्पाद}}
-कप उत्पाद एक बाइनरी (2-एरी) ऑपरेशन है; एक त्रिगुट (3-एरी) और उच्च क्रम संचालन को परिभाषित कर सकता है जिसे मैसी उत्पाद कहा जाता है, जो कप उत्पाद को सामान्य करता है। यह एक उच्च क्रम [[कोहोलॉजी ऑपरेशन]] है, जो केवल आंशिक रूप से परिभाषित है (केवल कुछ त्रिगुणों के लिए परिभाषित)।
+कप उत्पाद एक द्विआधारी (2-एरी) संचालन है; एक त्रिगुट (3-एरी) और उच्च क्रम संचालन को परिभाषित कर सकता है जिसे मैसी उत्पाद कहा जाता है, जो कप उत्पाद को सामान्य करता है। यह एक उच्च क्रम [[कोहोलॉजी ऑपरेशन|सह समरूपता संचालन]] है, जो केवल आंशिक रूप से परिभाषित है (केवल कुछ त्रिगुणों के लिए परिभाषित)।
 == यह भी देखें ==
-* एकवचन समरूपता
+* [[विलक्षण समरूपता]]
 * [[होमोलॉजी सिद्धांत]]
-* कैप उत्पाद
+* [[कैप उत्पाद]]
-* मैसी उत्पाद
+* [[मैसी उत्पाद]]
 * [[टोरेली समूह]]
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 * [[Glen E. Bredon]], "Topology and Geometry", Springer-Verlag, New York (1993) {{ISBN|0-387-97926-3}}
 * Allen Hatcher, "[http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html Algebraic Topology]", Cambridge Publishing Company (2002) {{ISBN|0-521-79540-0}}
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