ट्रांसवर्सलिटी प्रमेय

अवकल सांस्थितिकी में ट्रांसवर्सलिटी प्रमेय जिसे फ्रांसीसी गणितज्ञ रेने थॉम के बाद से थॉम-ट्रांसवर्सलिटी प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है इसका एक प्रमुख परिणाम है जो समतल मानचित्र के समतल समूह के तिर्यक् प्रतिच्छेदन गुणों का वर्णन करता है यह कहता है कि अनुप्रस्थ (गणित) एक सामान्य संपत्ति है किसी भी समतल मानचित्र $f\colon X\rightarrow Y$ को अपेक्षाकृत रूप से छोटी राशि से एक मानचित्र में विकृत किया जा सकता है जो किसी दिए गए बहुआयामी $Z\subseteq Y$ के लिए तिर्यक है पोंट्रीगिन-थॉम निर्माण के साथ, यह सह-बोर्डवाद सिद्धांत का तकनीकी मुख्य भाग है और शल्य सिद्धांत के लिए प्रारम्भिक बिंदु है ट्रांसवर्सलिटी प्रमेय का परिमित-आयामी विवरण भी एक विशेषता की सामान्यतः स्थापित करने के लिए बहुत ही उपयोगी उपकरण है जो वास्तविक मापदंडों की एक सीमित संख्या पर निर्भर होता है और जो गैर-रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है ट्रांसवर्सलिटी प्रमेय के अनंत-आयामी विवरण का उपयोग करके इसे एक अनंत-आयामी समीकरणों तक विस्तृत किया जा सकता है।

परिमित-आयामी विवरण

पूर्ववर्ती परिभाषाएँ

माना कि $f\colon X\rightarrow Y$ समतल बहुआयामी के बीच एक समतल मानचित्र है और माना कि $Z$ का बहुआयामी $Y$ है तब $f$ का अनुप्रस्थ $Z$ है इस प्रकार से $f\pitchfork Z$ को निर्धारित किया गया है यदि प्रत्येक समतल के लिए बहुआयामी $x\in f^{-1}\left(Z\right)$ है तब:

$\operatorname {im} \left(df_{x}\right)+T_{f\left(x\right)}Z=T_{f\left(x\right)}Y$.

यह अनुप्रस्थ के विषय में एक महत्वपूर्ण परिणाम बताता है कि यदि एक साधारण मानचित्र $f$ के अनुप्रस्थ $Z$ है तब $f^{-1}\left(Z\right)$ का एक नियमित बहुआयामी $X$ है।

यदि $X$ सीमा के साथ बहुआयामी है तो हम मानचित्र के प्रतिबंध को $f$ सीमा तक परिभाषित कर सकते हैं जैसे $\partial f\colon \partial X\rightarrow Y$ मानचित्र $\partial f$ के लिए सहज है और यह हमें पिछले परिणाम का विस्तार करने की स्वीकृति देता है यदि दोनों $f\pitchfork Z$ और $\partial f\pitchfork Z$ है तब $f^{-1}\left(Z\right)$ का $X$ सीमा के साथ एक नियमित बहुआयामी है:

$\partial f^{-1}\left(Z\right)=f^{-1}\left(Z\right)\cap \partial X$.

पैरामीट्रिक ट्रांसवर्सलिटी प्रमेय

मानचित्र $F\colon X\times S\rightarrow Y$ पर विचार करें और $f_{s}\left(x\right)=F\left(x,s\right)$ को परिभाषित करें कि यह मानचित्र का एक समुच्चय $f_{s}\colon X\rightarrow Y$ उत्पन्न करता है हमें आवश्यकता है कि $S$ को एक समतल बहुआयामी और $F$ को समतल मानकर समुच्चय समतल रूप से भिन्न हो जिसके लिए पैरामीट्रिक ट्रांसवर्सलिटी प्रमेय का एक कथन है:

मान लीजिए कि $F\colon X\times S\rightarrow Y$ बहुआयामी का एक समतल मानचि है जहाँ $X$ केवल सीमा है और माना $Z$ का कोई उप बहुआयामी $Y$ हो और यदि दोनों $F$ और $\partial F$ के अनुप्रस्थ $Z$ हैं तो लगभग प्रत्येक $s\in S$ के लिए दोनों $f_{s}$ और $\partial f_{s}$ का अनुप्रस्थ $Z$ होता है।

अधिक सामान्य ट्रांसवर्सलिटी प्रमेय

उपरोक्त पैरामीट्रिक ट्रांसवर्सलिटी प्रमेय कई प्राथमिक अनुप्रयोगों (गिलेमिन और पोलैक द्वारा पुस्तक देखें) के लिए पर्याप्त है अधिक सामान्य कथन हैं (सामूहिक रूप से ट्रांसवर्सलिटी प्रमेय के रूप में जाने जाते हैं) जो पैरामीट्रिक ट्रांसवर्सलिटी प्रमेय को प्रयुक्त करते हैं और अधिक सामान्य अनुप्रयोगों के लिए आवश्यक होता हैं।

अनौपचारिक रूप से, ट्रांसवर्सलिटी प्रमेय कहता है कि मानचित्र का समुच्चय जो किसी दिए गए उप बहुआयामी के लिए अनुप्रस्थ है एक सघन या कुछ स्थितियों में केवल सघन $G_{\delta }$) मानचित्र के समुच्चय का उप समुच्चय है इस प्रकार के कथन को शुद्ध बनाने के लिए, मानचित्र के विचाराधीन समष्टि को परिभाषित करना आवश्यक है और इसमें सांस्थिति क्या है कई संभावनाएं हैं इसके लिए हिर्श की पुस्तक देखें।

सामान्यतः थॉम्स ट्रांसवर्सलिटी प्रमेय द्वारा जो समझा जाता है वह जेट (गणित) अनुप्रस्थ के विषय में एक अधिक प्रभावशाली कथन है हिर्श, गोलूबिट्स्की और गुइलेमिन की पुस्तकें देखें। जिसका मूल संदर्भ थॉम बीओएल एसओसी मैट मेक्सिकाना (2) 1 (1956) पीपी. 59-71 है।

जॉन माथेर (गणितज्ञ) ने 1970 के दशक में एक और भी सामान्य परिणाम सिद्ध किया जिसे बहुआयामी जेट ट्रांसवर्सलिटी प्रमेय कहा जाता है जिसके लिए गोलूबित्सकी और गुइलेमिन की पुस्तक देखें।

अनंत-आयामी विवरण

ट्रांसवर्सलिटी प्रमेय का अनंत-आयामी विवरण इस विषय को ध्यान में रखता है कि बहुआयामी को बानाख बीजगणित समष्टि में मॉडल किया जा सकता है।

औपचारिक कथन

मान लीजिए कि $F:X\times S\to Y$ बनाच बहुआयामी का एक $C^{k}$ मानचित्र है।

मान लीजिए:

1. $X,S$ और $Y$ गैर-रिक्त हैं और $C^{\infty }$ एक क्षेत्र में रिक्त समष्टि के साथ बनाच बहुआयामी $\mathbb {K}$ है।
2. $C^{k}$ मानचित्र $F:X\times S\to Y$ के साथ $k\geq 1$ में नियमित मान के रूप में $y$ है।
3. प्रत्येक पैरामीटर के लिए $s\in S$, मानचित्र $f_{s}(x)=F(x,s)$ का एक फ्रेडहोम संक्रियक है जहाँ $\operatorname {ind} Df_{s}(x)<k$ प्रत्येक के लिए $x\in f_{s}^{-1}(\{y\})$ है।
4. अभिसरण $s_{n}\to s$ पर $S$ जैसा कि $n\to \infty$ और $F(x_{n},s_{n})=y$ सभी के लिए $n$ एक अभिसरण अनुक्रम के अस्तित्व का तात्पर्य यह है कि $x_{n}\to x$ जैसा $n\to \infty$ साथ $x\in X$ है।

यदि (1)-(4) को प्रयुक्त करें, तो $S_{0}\subset S$ एक विवृत सघन उप समुच्चय सम्मिलित है जैसे कि $y$ प्रत्येक पैरामीटर $s\in S_{0}.$ के लिए $f_{s}$ का एक नियमित मान है।

अब, एक तत्व $s\in S_{0}$ को ठीक करें यदि कोई संख्या $n\geq 0$ सम्मिलित है साथ ही $\operatorname {ind} Df_{s}(x)=n$ के सभी हल के लिए $x\in X$ का $f_{s}(x)=y$ हल समुच्चय $f_{s}^{-1}(\{y\})$ एक के लिए $n$ बहुआयामी हैं और $C^{k}$ बनाच बहुआयामी या हल रिक्त समुच्चय है।

ध्यान दें कि यदि $\operatorname {ind} Df_{s}(x)=0$ के सभी हल के लिए $f_{s}(x)=y,$ है तो वहाँ एक विवृत सघन उपसमुच्चय $S_{0}$ का $S$ सम्मिलित है जैसे कि प्रत्येक निश्चित पैरामीटर $s\in S_{0}$ के लिए अधिक से अधिक सूक्ष्म रूप से कई हल हैं इसके अतिरिक्त ये सभी हल नियमित होते हैं।

संदर्भ

• Arnold, Vladimir I. (1988). Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations. Springer. ISBN 0-387-96649-8.
• Golubitsky, Martin; Guillemin, Victor (1974). Stable Mappings and Their Singularities. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90073-X.
• Guillemin, Victor; Pollack, Alan (1974). Differential Topology. Prentice-Hall. ISBN 0-13-212605-2.
• Hirsch, Morris W. (1976). Differential Topology. Springer. ISBN 0-387-90148-5.
• Thom, René (1954). "Quelques propriétés globales des variétés differentiables". Commentarii Mathematici Helvetici. 28 (1): 17–86. doi:10.1007/BF02566923.
• Thom, René (1956). "Un lemme sur les applications différentiables". Bol. Soc. Mat. Mexicana. 2 (1): 59–71.
• Zeidler, Eberhard (1997). Nonlinear Functional Analysis and Its Applications: Part 4: Applications to Mathematical Physics. Springer. ISBN 0-387-96499-1.