मास्को गणितीय पेपिरस

मास्को गणितीय पेपिरस
Pushkin State Museum of Fine Arts in Moscow
मास्को गणितीय पेपिरस की 14वीं समस्या (वी. स्ट्रुवे, 1930)
Date	13वाँ राजवंश , मिस्र का दूसरा मध्यवर्ती काल
Place of origin	थेब्स
Language(s)	हिएरेटिक
Size	Length: 5.5 metres (18 ft) Width: 3.8 to 7.6 cm (1.5 to 3 in)

मास्को गणितीय पेपिरस, जिसे इसके पहले गैर-मिस्र के मालिक, मिस्र के वैज्ञानिक व्लादिमीर गोलेनिश्चेव के नाम पर गोलेनिश्चेव गणितीय पेपिरस भी कहा जाता है, एक प्राचीन मिस्र का गणितीय पेपिरस है जिसमें अंकगणित, ज्यामिति और बीजगणित में कई समस्याएं हैं। गोलेनिश्चेव ने 1892 या 1893 में थेब्स में पेपाइरस खरीदा था। यह बाद में मास्को में पुष्किन राज्य संग्रहालय ललित कला के संग्रह में प्रवेश किया, जहां यह आज भी बना हुआ है।

श्रेणीबद्ध टेक्स्ट की पैलियोग्राफी (प्राचीन शिलालेखों का अध्ययन) और शुद्ध वर्ण विन्यास के आधार पर, टेक्स्ट को संभवतः 13वें राजवंश में लिखा गया था और पुरानी वस्तु के आधार पर संभवतः मिस्र के बारहवें राजवंश से लगभग 1850 ईसा पूर्व में काल-निर्धारण किया गया था। लगभग 5½ मीटर (18 फीट) लंबा और 3.8 और 7.6 सेमी (1.5 और 3 इंच) चौड़ा के बीच अलग-अलग, इसका प्रारूप 1930 में सोवियत संघ के सोवियत प्राच्यविद वसीली वासिलिविच स्ट्रुवे द्वार समाधान के साथ 25 समस्याओं में विभाजित किया गया था।

यह एक प्रसिद्ध गणितीय पपाइरस है, जिसे सामान्य रूप से रिहंद गणितीय पेपिरस के साथ संदर्भित किया जाता है। मास्को गणितीय पेपिरस रिहंद गणितीय पेपिरस से पुराना है, जबकि बाद वाला दोनों में से बड़ा है।

मॉस्को पपीरस में निहित अभ्यास

मास्को पेपाइरस में समस्याएं किसी विशेष क्रम का अनुसरण नहीं करती हैं, और समस्याओं के समाधान रिहंद गणितीय पेपिरस की तुलना में बहुत कम विवरण प्रदान करते हैं। पपाइरस अपनी ज्यामिति की कुछ समस्याओं के लिए प्रचलित है। प्रश्न 10 और 14 क्रमशः एक सतह क्षेत्र और एक छिन्नक के आयतन की गणना करते हैं। शेष समस्याएं प्रकृति में अधिक सामान्य हैं।

जहाज के भागों की समस्या

समस्याएँ 2 और 3 जहाज के भाग की समस्याएँ हैं। समस्याओं में से एक जहाज के दिक्‍नियंत्रक की लंबाई की गणना करता है और दूसरा जहाज के एरियल की लंबाई की गणना करता है, यह देखते हुए कि यह सीडर लॉग की लंबाई का 1/3 + 1/5 मूल रूप से 30 क्यूबिट (हाथ) लंबा है।

एएचए की समस्याएं

<hiero>P6-a:M35</hiero>
ꜥḥꜥ (aha)
Era: New Kingdom (1550–1069 BC)
Egyptian hieroglyphs

एएचए की समस्याओं में अज्ञात राशियों को खोजना सम्मिलित है (एएचए, राशि के रूप में संदर्भित) यदि राशि और उसके भाग (ओं) का योग दिया गया हो। रिहंद गणितीय पेपिरस में भी इस प्रकार की चार समस्याएँ हैं। मास्को पेपाइरस की समस्या 1, 19, और 25 एएचए समस्याएँ हैं। उदाहरण के लिए, समस्या 19 एक व्यक्ति को 1 और ½ बार ली गई मात्रा की गणना करने और 10 बनाने के लिए 4 जोड़ने के लिए कहती है। दूसरे शब्दों में, आधुनिक गणितीय संकेतन में किसी ${\frac {3}{2}}x+4=10$ को हल करने के लिए कहा जाता है

पेप्सू समस्या

अधिकांश समस्याएं 25 समस्याओं (सेट: मिस्र बीजगणित) में से 10 पेफ्सू समस्याएं हैं। पेफ्सू एक हेकट कणों से बनी बियर की संख्या को मापता है

${\mbox{pefsu}}={\frac {\mbox{number loaves of bread (or jugs of beer)}}{\mbox{number of heqats of grain}}}$

उच्च पेफ्सू संख्या का अर्थ दुर्बल ब्रेड या बीयर है। कई प्रस्तुत सूचियों में पेफ्सू संख्या का उल्लेख किया गया है। उदाहरण के लिए, समस्या 8 का रूपांतरण इस प्रकार है:

(1) पेफ्सू 20 की 100 लोफ़ की गणना का उदाहरण

(2) यदि कोई आपसे कहे: आपके पास पेफ्सू 20 के 100 लोफ़ हैं

(3) पेफ्सू 4 की बीयर के बदले में

(4) 1/2 1/4 माल्ट-डेट बियर की तरह

(5) पहले पेफ्सू 20 की 100 लोफ़ के लिए आवश्यक कणों की गणना करें

(6) परिणाम 5 हेकाट है। फिर बियर के डेस-जग के लिए आपको क्या चाहिए, जैसे बियर को 1/2 1/4 माल्ट-डेट बियर कहा जाता है

(7) परिणाम ऊपरी-मिस्र के कणों से बने बीयर के डेस-जग के लिए आवश्यक हेकाट माप का 1/2 है।

(8) 5 हेकाट का 1/2 मे गणना करो तो परिणाम 2 1/2 होगा

(9) इसे 2 1/2 चार बार लें

(10) परिणाम 10 है। फिर आप उससे कहें:

(11) ध्यान पूर्वक देखो! बियर की मात्रा सही पाई गई है।

बाकू समस्याएं

समस्याएँ 11 और 23 बाकू समस्याएँ हैं। ये श्रमिकों के उत्पादन की गणना करते हैं। समस्या 11 पूछती है कि यदि कोई 5 गुणा 5 माप कर 100 लॉग लाता है, तो यह कितने लॉग 4 गुणा 4 मापता है? समस्या 23 में एक शूमेकर (मोची) के उत्पादन का पता चलता है जिसे देखते हुए उसे सैंडल को काटना और सजाना होता है।

ज्यामिति समस्याएं

पच्चीस समस्याओं में से सात ज्यामिति की समस्याएं हैं और त्रिकोण के क्षेत्रों की गणना से लेकर गोलार्ध की सतह का क्षेत्रफल (समस्या 10) और एक छिन्नक (एक छोटा पिरामिड) का आयतन ज्ञात करना है।

दो ज्यामिति समस्याएं

समस्या 10

मास्को गणितीय पेपिरस की दसवीं समस्या एक क्षेत्र (स्ट्रूव, गिलिंग्स) या संभवतः अर्द्ध बेलन (पीट) के क्षेत्र की सतह क्षेत्र की गणना करने के लिए कहती है। नीचे हम मानते हैं कि समस्या एक गोलार्द्ध के क्षेत्र को संदर्भित करती है।

समस्या 10 का सूत्र इस प्रकार है: टोकरी की गणना का उदाहरण है। आपको 4 1/2 के शीर्ष वाली एक टोकरी दी जाती है। इसकी सतह क्या है? 9 का 1/9 लें (चूंकि) टोकरी मे अंडे का आधे छिलका है। आपको 1 मिलता है। शेषफल की गणना करें जो 8 है। 8 का 1/9 की गणना करें। आपको 2/3 + 1/6 + 1/18 मिलता है। 2/3 + 1/6 + 1/18 घटाने के बाद इस 8 का शेषफल ज्ञात कीजिए। आपको 7 + 1/9 मिलता है। 7 + 1/9 को 4 + 1/2 से गुणा करें। आपको 32 मिलता है। देखिए यह इसका क्षेत्रफल है। आपने इसे सही प्राप्त किया है।

समाधान के रूप में क्षेत्र की गणना करने के बराबर है

${\text{Area}}=(((2\times {\text{diameter}})\times {\frac {8}{9}})\times {\frac {8}{9}})\times {\text{diameter}}={\frac {128}{81}}({\text{diameter}})^{2}$

सूत्र एक गोलार्द्ध के क्षेत्र के लिए गणना करता है, जहां मॉस्को पपाइरस के लेखक ने π का अनुमान लगाने के लिए ${\frac {256}{81}}\approx 3.16049$ का उपयोग किया था।

समस्या 14: वर्गाकार पिरामिड के टुकड़े का आयतन

मास्को गणित की चौदहवीं समस्या एक छिन्नक के आयतन की गणना करती है।

समस्या 14 बताती है कि एक पिरामिड को इस तरह से छोटा किया गया है कि शीर्ष क्षेत्र लंबाई 2 इकाइयों का एक वर्ग है, लंबाई 4 इकाइयों का एक वर्ग है, और ऊंचाई 6 इकाई है, जैसा कि दिखाया गया है। आयतन 56 घन इकाई पाया गया है, जो सही है।

उदाहरण का टेक्स्ट इस तरह संक्रियक है "यदि आपको शीर्ष पर 2 से आधार पर ऊर्ध्वाधर ऊंचाई के लिए 6 का एक छोटा पिरामिड कहा जाता है, तो आपको 4 परिणाम 16 का वर्ग करना है। आपको 4 परिणाम 8 को दोगुना करना है। आप इस 2 परिणाम 4 का वर्ग करना है। आपको 16 और 8 को जोड़ना है और 4 परिणाम 28 को जोड़ना है। आपको 6 परिणाम 2 का 1/3 लेना है। आपको 28 को दो बार परिणाम 56 लेना है। देखिए यह 56 का है। आप [इसे] सही पाएंगे"

समस्या का समाधान प्रदर्शित करता है कि मिस्र के लोग छिन्नक (छोटे पिरामिड) का आयतन प्राप्त करने का सही सूत्र जानते थे:

$V={\frac {1}{3}}h(a^{2}+ab+b^{2})$

जहां a और b काटे गए पिरामिड के आधार और शीर्ष पार्श्व लंबाई हैं और h ऊंचाई है। शोधकर्ताओं ने अनुमान लगाया है कि कैसे मिस्र के लोग एक छिन्नक के आयतन के सूत्र तक पहुँचे होंगे लेकिन इस सूत्र की व्युत्पत्ति पपाइरस में नहीं दी गई है।

संक्षिप्त विवरण

रिचर्ड जे. गिलिंग्स ने पैपाइरस की विषयवस्तु का त्वरित विवरण दिया। चित्र शीर्षक वाली संख्याएँ उस इकाई अंश को दर्शाती हैं जिसमें वह संख्या हर के रूप में होती है, उदाहरण ${\bar {4}}={\frac {1}{4}}$ है; इकाई भिन्न प्राचीन मिस्र के गणित में अध्ययन की सामान्य वस्तुएँ थीं।

मास्को गणितीय पेपिरस की प्रकरण

No.	Detail
1	त्रुटिपूर्ण और अपठनीय
2	त्रुटिपूर्ण और अपठनीय
3	सीडर एरियल ${\bar {3}}\;{\bar {5}}$ of $30=16$ अस्पष्ट
4	एक त्रिकोण का क्षेत्र ${\bar {2}}$ of $4\times 10=20$ है।
5	लोफ और ब्रेड का पेसो संख्या 8 के समान
6	आयत, क्षेत्रफल $=12,b={\bar {2}}\;{\bar {4}}l$. 𝑙 और 𝑏 को खोजें
7	त्रिभुज, क्षेत्र $=20,h=2\;{\bar {2}}b$. $h$ और $b$ को खोजें
8	लोफ और ब्रेड का पेसो
9	लोफ और ब्रेड का पेसो
10	अर्धगोले (या बेलन) की वक्र सतह का क्षेत्रफल।
11	लोफ और अंक अस्पष्ट
12	बीयर का पेसू अस्पष्ट
13	लोफ और बियर के पीसस संख्या 9 के समान
14	एक कटे हुए पिरामिड का आयतन $V=(h/3)(a^{2}+ab+b^{2})$.
15	बीयर का पेसू।
16	बीयर का पेसू संख्या 15 के समान
17	त्रिभुज, क्षेत्र $=20,b=({\bar {3}}\;{\bar {15}})h$ है, $h$ और $b$ खोजे
18	कपड़े को हाथ और हथेलियों में नापना अस्पष्ट
19	समीकरण को $1\;{\bar {2}}x+4=10$ हल करें, और स्पष्ट करें।
20	1000 लोफ का पेसू होरस-नेत्र का भिन्न।
21	उत्सर्ग ब्रेड का सम्मिश्रण
22	लोफ़ और बियर के पीसस विनिमय।
23	कॉबलर के कार्य की गणना करना, अस्पष्ट, पीत कहना बहुत कठिन है।
24	लोफ और बीयर का आदान-प्रदान।
25	समीकरण $2x+x=9$ प्राथमिक और स्पष्ट हल करें

अन्य पपाइरी

प्राचीन मिस्र के अन्य गणितीय ग्रंथों में सम्मिलित हैं:

• बर्लिन पेपाइरस 6619
• मिस्र का गणितीय चमड़ा रोल
• लाहुँ गणितीय पपायरी
• रहिंद गणितीय पेपिरस

सामान्य पपाइरी:

• पेपिरस हैरिसI
• रोलिन पेपिरस

2/n तालिकाओं के लिए देखें:

• आरएमपी 2/n तालिका

यह भी देखें

• प्राचीन मिस्र के पिपरी की सूची

संदर्भ

मॉस्को गणितीय पेपिरस का पूरा पाठ

• स्ट्रुवे, वासिलिज वासिलिविक, और बोरिस तुराएव। 1930. मास्को में ललित कला के राज्य संग्रहालय का गणितीय पेपिरस। गणित के इतिहास पर स्रोत और अध्ययन; खंड ए: स्रोत 1. बर्लिन: जे स्प्रिंगर

अन्य संदर्भ

• एलन, डॉन। अप्रैल 2001. मास्को पेपाइरस और /history/egypt/node5.html मिस्र के गणित का सारांश।
• एनेट इम्हौसेन|इम्हौसेन, ए., मिस्री एल्गोरिदम। मध्य मिस्र के गणितीय ग्रंथों की एक जाँच, विस्बादेन 2003।
• Mathpages.com। प्रिज्मॉयडल फॉर्मूला।
• ओ'कॉनर और रॉबर्टसन, 2000।
• ट्रूमैन स्टेट यूनिवर्सिटी, गणित और कंप्यूटर साइंस डिवीजन। 'गणित और उदार कलाएँ:' प्राचीन मिस्र और मास्को गणितीय पेपिरस।
• विलियम्स, स्कॉट डब्ल्यू। अफ्रीकी डायस्पोरा के गणितज्ञ, जिसमें पर एक पृष्ठ है। प्राचीन-अफ्रीका/mad_ancient_egyptpapyrus.html मिस्र का गणित पापीरी।
• जाहर्ट, किम आर.डब्ल्यू. प्राचीन मिस्री गणित पर विचार Archived 2011-09-27 at the Wayback Machine.

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