द्विपक्षीय लाप्लास परिवर्तन

गणित में, दो तरफा लाप्लास परिवर्तन या द्विपक्षीय लाप्लास परिवर्तन संभाव्यता के क्षण उत्पन्न करने वाले फलन के समतुल्य एक अभिन्न परिवर्तन होता है। दो तरफा लाप्लास रूपांतरण फूरियर रूपांतरण, मेलिन रूपांतरण, जेड-रूपांतरण और साधारण या एक तरफा लाप्लास रूपांतर से निकटता से संबंधित होता हैं। यदि f(t) सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित वास्तविक चर t का एक वास्तविक-या जटिल-मूल्यवान फलन होता है, तो दो तरफा लाप्लास परिवर्तन को अभिन्न द्वारा परिभाषित किया जा सकता है

${\mathcal {B}}\{f\}(s)=F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$

समाकलन को सामान्यतः एक अनुचित समाकलन के रूप में समझा जाता है, जो दोनों समाकलन होने पर केवल अभिसरण करता है

$\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt,\quad \int _{-\infty }^{0}e^{-st}f(t)\,dt$

अस्तित्व दो तरफा परिवर्तन के लिए सामान्यतः स्वीकृत संकेतन प्रतीत नहीं होता है यहाँ $B$ का उपयोग द्विपक्षीय रूप में करते हैं। कुछ लेखकों द्वारा उपयोग किया जाने वाला दो तरफा परिवर्तन है

${\mathcal {T}}\{f\}(s)=s{\mathcal {B}}\{f\}(s)=sF(s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$

शुद्ध गणित में तर्क t कोई भी चर हो सकता है, और लाप्लास रूपांतरण का उपयोग यह अध्ययन करने के लिए किया जाता है कि अंतर ऑपरेटर फलन को कैसे बदल सकते हैं।

विज्ञान और अभियांत्रिकी अनुप्रयोगों में, तर्क सदैव समय t सेकंड मे प्रतिनिधित्व करता है, और फलन f(t) अधिकांशतः एक संकेत (सूचना सिद्धांत) या तरंग का प्रतिनिधित्व किया करता है जो समय के साथ बदलता रहता है। इन स्थितियों में, सिग्नल फ़िल्टर (सिग्नल प्रोसेसिंग) द्वारा रूपांतरित किया जाता हैं, जो एक गणितीय ऑपरेटर की तरह काम करता हैं, लेकिन एक प्रतिबंध के रूप में कारण होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि किसी दिए गए समय टी में आउटपुट उस आउटपुट पर निर्भर नहीं हो सकता है जो t का उच्च मूल्य होता है। जनसंख्या पारिस्थितिकी में, तर्क t अधिकांशतः फैलाव कर्नेल में स्थानिक विस्थापन का प्रतिनिधित्व किया करता है।

समय के फलन के साथ काम करते समय, f(t) को सिग्नल का 'टाइम डोमेन' प्रतिनिधित्व कहा जाता है, जबकि F(s) को 'एस-डोमेन' या लाप्लास डोमेन का प्रतिनिधित्व कहा जाता है। और इस प्रकार व्युत्क्रम परिवर्तन तब संकेत के संश्लेषण का प्रतिनिधित्व करता है क्योंकि इसके आवृत्ति घटकों का योग सभी आवृत्तियों पर लिया जाता है, जबकि आगे का परिवर्तन संकेत के आवृत्ति घटकों में विश्लेषण का प्रतिनिधित्व किया करता है।

फूरियर ट्रांसफॉर्म से संबंध

फूरियर रूपांतरण को दो तरफा लाप्लास परिवर्तन के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है

${\mathcal {F}}\{f(t)\}=F(s=i\omega )=F(\omega ).$

ध्यान दें कि फूरियर रूपांतरण की परिभाषाएँ भिन्न रूप में होती है, और विशेष रूप से इस प्रकार दिखाया गया है

${\mathcal {F}}\{f(t)\}=F(s=i\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\mathcal {B}}\{f(t)\}(s)$

इसके अतिरिक्त अधिकांशतः प्रयोग किया जाता है। फूरियर रूपांतरण के संदर्भ में, हम दो तरफा लाप्लास रूपांतरण भी प्राप्त कर सकते हैं, जैसा कि

${\mathcal {B}}\{f(t)\}(s)={\mathcal {F}}\{f(t)\}(-is).$

फूरियर रूपांतरण को सामान्य रूप से परिभाषित किया जा सकता है जिससे कि यह वास्तविक मूल्यों के लिए उपस्थित रहे; उपरोक्त परिभाषा छवि को एक पट्टी में परिभाषित करती है $a<\Im (s)<b$ जिसमें वास्तविक धुरी सम्मलित नहीं हो सकती है जहां फूरियर ट्रांसफॉर्म को अभिसरण माना जाता है।

यही कारण है कि लाप्लास रूपांतरण नियंत्रण सिद्धांत और सिग्नल प्रोसेसिंग में अपने मूल्य को बनाए रखता है: एक फूरियर ट्रांसफॉर्म समाकलन के अपने डोमेन के भीतर अभिसरण का मतलब केवल यह है कि इसके द्वारा वर्णित एक रैखिक, शिफ्ट-इनवेरिएंट सिस्टम स्थिर या महत्वपूर्ण होता है। दूसरी ओर लाप्लास हर आवेग प्रतिक्रिया के लिए अभिसरण करेगा जो सबसे अधिक तेजी से बढ़ रहा होता है, क्योंकि इसमें एक अतिरिक्त शब्द सम्मलित होता है जिसे एक घातीय नियामक के रूप में लिया जा सकता है। चूंकि सुपरएक्सपोनेंशियल रूप से बढ़ते रैखिक प्रतिक्रिया नेटवर्क नहीं होता हैं, लाप्लास ट्रांसफॉर्म आधारित विश्लेषण और रैखिक, शिफ्ट-इनवेरिएंट सिस्टम का समाधान, लाप्लास के संदर्भ में अपना सबसे सामान्य रूप लेता है, फूरियर नहीं, ट्रांसफॉर्म करता है।

ठीक उसी समय, आजकल लाप्लास रूपांतरण सिद्धांत अधिक सामान्य अभिन्न रूपांतरण, या यहां तक ​​कि सामान्य हार्मोनिकल विश्लेषण के दायरे में आता है। उस ढांचे और नामकरण में, लाप्लास रूपांतरण फूरियर विश्लेषण का एक और रूप है, भले ही दृष्टि में अधिक सामान्य हो सकता है।

अन्य अभिन्न रूपांतरणों से संबंध

यदि यू हीविसाइड चरण फलन है, शून्य के बराबर जब इसका तर्क शून्य से कम होता है, एक-आधा जब इसका तर्क शून्य के बराबर होता है, और एक जब इसका तर्क शून्य से अधिक होता है, तो लाप्लास रूपांतरण ${\mathcal {L}}$ द्वारा दो तरफा लाप्लास परिवर्तन के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है

${\mathcal {L}}\{f\}={\mathcal {B}}\{fu\}.$

दूसरी ओर, हमारे पास भी है

${\mathcal {B}}\{f\}={\mathcal {L}}\{f\}+{\mathcal {L}}\{f\circ m\}\circ m,$

कहाँ $m:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ वह फलन है जो ऋण एक से गुणा करता है ($m(x)=-x$), इसलिए लाप्लास रूपांतरण के किसी भी संस्करण को दूसरे के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है।

मेलिन परिवर्तन को दो तरफा लाप्लास परिवर्तन द्वारा परिभाषित किया जा सकता है

${\mathcal {M}}\{f\}={\mathcal {B}}\{f\circ {\exp }\circ m\},$

साथ $m$ ऊपर के रूप में, और इसके विपरीत हम मेलिन परिवर्तन से दो तरफा परिवर्तन प्राप्त कर सकते हैं

${\mathcal {B}}\{f\}={\mathcal {M}}\{f\circ m\circ \log \}.$

एक सतत संभाव्यता घनत्व फलन ƒ(x) के क्षण-उत्पन्न करने वाले फलन को व्यक्त किया जा सकता है ${\mathcal {B}}\{f\}(-s)$.

गुण

Properties of the bilateral Laplace transform

Property	Time domain	s domain	Strip of convergence	Comment
Definition	$f(t)$	$F(s)={\mathcal {B}}\{f\}(s)=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,e^{-st}\,dt$	$\alpha <\Re s<\beta$
Time scaling	$f(at)$	${\frac {1}{|a|}}F\left({s \over a}\right)$	$\alpha <a^{-1}\,\Re s<\beta$	$a\in \mathbb {R}$
Reversal	$f(-t)$	$F(-s)$	$-\beta <\Re s<-\alpha$
Frequency-domain derivative	$tf(t)$	$-F'(s)$	$\alpha <\Re s<\beta$
Frequency-domain general derivative	$t^{n}f(t)$	$(-1)^{n}\,F^{(n)}(s)$	$\alpha <\Re s<\beta$
Derivative	$f'(t)$	$sF(s)$	$\alpha <\Re s<\beta$
General derivative	$f^{(n)}(t)$	$s^{n}\,F(s)$	$\alpha <\Re s<\beta$
Frequency-domain integration	${\frac {1}{t}}\,f(t)$	$\int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma$		only valid if the integral exists
Time-domain integral	$\int _{-\infty }^{t}f(\tau )\,d\tau$	${1 \over s}F(s)$	$\max(\alpha ,0)<\Re s<\beta$
Time-domain integral	$\int _{t}^{\infty }f(\tau )\,d\tau$	${1 \over s}F(s)$	$\alpha <\Re s<\min(\beta ,0)$
Frequency shifting	$e^{at}\,f(t)$	$F(s-a)$	$\alpha +\Re a<\Re s<\beta +\Re a$
Time shifting	$f(t-a)$	$e^{-as}\,F(s)$	$\alpha <\Re s<\beta$	$a\in \mathbb {R}$
Modulation	$\cos(at)\,f(t)$	${\tfrac {1}{2}}F(s-ia)+{\tfrac {1}{2}}F(s+ia)$	$\alpha <\Re s<\beta$	$a\in \mathbb {R}$
Finite difference	$f(t+{\tfrac {1}{2}}a)-f(t-{\tfrac {1}{2}}a)$	$2\sinh({\tfrac {1}{2}}as)\,F(s)$	$\alpha <\Re s<\beta$	$a\in \mathbb {R}$
Multiplication	$f(t)\,g(t)$	${\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }F(\sigma )G(s-\sigma )\,d\sigma \$	$\alpha _{f}+\alpha _{g}<\Re s<\beta _{f}+\beta _{g}$	$\alpha _{f}<c<\beta _{f}$. The integration is done along the vertical line Re(σ) = c inside the region of convergence.
Complex conjugation	${\overline {f(t)}}$	${\overline {F({\overline {s}})}}$	$\alpha <\Re s<\beta$
Convolution	$(f*g)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,g(t-\tau )\,d\tau$	$F(s)\cdot G(s)\$	$\max(\alpha _{f},\alpha _{g})<\Re s<\min(\beta _{f},\beta _{g})$
Cross-correlation	$(f\star g)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(\tau )}}\,g(t+\tau )\,d\tau$	${\overline {F(-{\overline {s}})}}\cdot G(s)$	$\max(-\beta _{f},\alpha _{g})<\Re s<\min(-\alpha _{f},\beta _{g})$

द्विपक्षीय लाप्लास परिवर्तन के अधिकांश गुण एकतरफा लाप्लास परिवर्तन के गुणों के समान हैं, लेकिन कुछ महत्वपूर्ण अंतर हैं:

Properties of the unilateral transform vs. properties of the bilateral transform

	unilateral time domain	bilateral time domain	unilateral-'s' domain	bilateral-'s' domain
Differentiation	$f'(t)\$	$f'(t)\$	$sF(s)-f(0)\$	$sF(s)\$
Second-order differentiation	$f''(t)\$	$f''(t)\$	$s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)\$	$s^{2}F(s)\$
Convolution	$\int _{0}^{t}f(\tau )\,g(t-\tau )\,d\tau \$	$\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,g(t-\tau )\,d\tau \$	$F(s)\cdot G(s)\$	$F(s)\cdot G(s)\$
Cross-correlation	$\int _{0}^{\infty }{\overline {f(\tau )}}\,g(t+\tau )\,d\tau \$	$\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(\tau )}}\,g(t+\tau )\,d\tau \$	${\overline {F(-{\overline {s}})}}\cdot G(s)\$	${\overline {F(-{\overline {s}})}}\cdot G(s)\$

पारसेवल का प्रमेय और प्लांकरेल का प्रमेय

Let $f_{1}(t)$ and $f_{2}(t)$ be functions with bilateral Laplace transforms $F_{1}(s)$ and $F_{2}(s)$ in the strips of convergence $\alpha _{1,2}<\Re s<\beta _{1,2}$. Let $c\in \mathbb {R}$ with $\max(-\beta _{1},\alpha _{2})<c<\min(-\alpha _{1},\beta _{2})$. Then Parseval's theorem holds:

$\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f_{1}(t)}}\,f_{2}(t)\,dt={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\overline {F_{1}(-{\overline {s}})}}\,F_{2}(s)\,ds$

This theorem is proved by applying the inverse Laplace transform on the convolution theorem in form of the cross-correlation.

Let $f(t)$ be a function with bilateral Laplace transform $F(s)$ in the strip of convergence $\alpha <\Re s<\beta$. Let $c\in \mathbb {R}$ with $\alpha <c<\beta$. Then the Plancherel theorem holds:

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2c\,t}\,|f(t)|^{2}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|F(c+ir)|^{2}\,dr$

विशिष्टता

किन्हीं दो फलन के लिए ${\textstyle f,g}$ जिसके लिए दो तरफा लाप्लास रूपांतरित होता है ${\textstyle {\mathcal {T}}\{f\},{\mathcal {T}}\{g\}}$ उपस्थित हैं, यदि ${\textstyle {\mathcal {T}}\{f\}={\mathcal {T}}\{g\},}$ अर्थात। ${\textstyle {\mathcal {T}}\{f\}(s)={\mathcal {T}}\{g\}(s)}$ के प्रत्येक मूल्य के लिए ${\textstyle s\in \mathbb {R} ,}$ तब ${\textstyle f=g}$ लगभग हर जगह।

अभिसरण का क्षेत्र

अभिसरण के लिए द्विपक्षीय परिवर्तन की आवश्यकताएं एकतरफा परिवर्तनों की तुलना में अधिक कठिन हैं। अभिसरण का क्षेत्र सामान्य रूप से छोटा होगा।

यदि f एक स्थानीय रूप से समाकलित फलन है (या अधिक सामान्यतः स्थानीय रूप से परिबद्ध भिन्नता का एक बोरेल उपाय है), तो f का लाप्लास रूपांतरण F(s) अभिसरण करता है बशर्ते कि सीमा

$\lim _{R\to \infty }\int _{0}^{R}f(t)e^{-st}\,dt$

उपस्थित । लाप्लास रूपांतरण पूरी तरह से अभिन्न अंग को अभिसरण करता है

$\int _{0}^{\infty }\left|f(t)e^{-st}\right|\,dt$

उपस्थित है (एक उचित Lebesgue अभिन्न के रूप में)। लाप्लास परिवर्तन को सामान्यतः सशर्त रूप से अभिसरण के रूप में समझा जाता है, जिसका अर्थ है कि यह बाद के भाव के अतिरिक्त पूर्व में अभिसरण करता है।

मानों मूल्यों का वह सेट जिसके लिए F(s) पूरी तरह से अभिसरित होता है या तो Re(s) > a या फिर Re(s) ≥ a के रूप में होता है, जहां a एक विस्तारित वास्तविक संख्या है, −∞ ≤ a ≤ ∞। (यह प्रभुत्व अभिसरण प्रमेय से अनुसरण

किया करता है।) निरंतर a को पूर्ण अभिसरण के भुज के रूप में जाना जाता है, और यह f(t) के विकास व्यवहार पर निर्भर किया करता है। अनुरूप रूप से, दो तरफा परिवर्तन a <Re(s) <b के रूप की एक पट्टी में पूरी तरह से अभिसरण किया करता है, और संभवतः Re(s) = a या Re(s) = b लाइनों सहित। एस के मूल्यों का सबसेट जिसके लिए लाप्लास पूरी तरह से परिवर्तित हो जाता है उसे पूर्ण अभिसरण का क्षेत्र या पूर्ण अभिसरण का डोमेन कहा जाता है। दो तरफा स्थिति में, इसे कभी-कभी निरपेक्ष अभिसरण की पट्टी कहा जाता है। लाप्लास परिवर्तन पूर्ण अभिसरण के क्षेत्र में विश्लेषणात्मक फलन है।

इसी तरह, मूल्यों का वह सेट जिसके लिए F(s) अभिसरण (सशर्त या पूर्ण रूप से) को सशर्त अभिसरण के क्षेत्र के रूप में जाना जाता है, या केवल 'अभिसरण का क्षेत्र' (ROC) के रूप में जाना जाता है। यदि लाप्लास रूपांतरण (सशर्त रूप से) s = s पर अभिसरित होता है₀, तो यह स्वचालित रूप से Re(s) > Re(s) के साथ सभी s के लिए अभिसरित हो जाता है₀). इसलिए, अभिसरण का क्षेत्र Re(s) > a के रूप का आधा-तल है, संभवतः सीमा रेखा Re(s) = a के कुछ बिंदुओं सहित। अभिसरण के क्षेत्र में Re(s) > Re(s₀), एफ के लाप्लास परिवर्तन को अभिन्न के रूप में भागों द्वारा एकीकरण द्वारा व्यक्त किया जा सकता है

$F(s)=(s-s_{0})\int _{0}^{\infty }e^{-(s-s_{0})t}\beta (t)\,dt,\quad \beta (u)=\int _{0}^{u}e^{-s_{0}t}f(t)\,dt.$

अर्थात्, अभिसरण के क्षेत्र में F(s) को प्रभावी रूप से किसी अन्य फलन के बिल्कुल अभिसारी लाप्लास रूपांतरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। विशेष रूप से, यह विश्लेषणात्मक है।

अभिसरण के क्षेत्र के भीतर एफ के क्षय गुणों और लाप्लास के गुणों के बीच संबंध के संबंध में कई पाले-वीनर प्रमेय हैं।

इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों में, एक रैखिक समय-अपरिवर्तनीय एक एलटीआई प्रणाली से संबंधित एक फलन स्थिर होता हैं। रैखिक समय-अपरिवर्तनीय (एलटीआई) प्रणाली स्थिर है यदि प्रत्येक बाध्य इनपुट एक बाध्य आउटपुट उत्पन्न करता है।

करणीयता

द्विपक्षीय परिवर्तन फलन -कारण का सम्मान नहीं करते हैं। सामान्य फलन पर लागू होने पर वे समझ में आते हैं लेकिन समय के फलन (संकेतों) के साथ काम करते समय एकतरफा परिवर्तन को प्राथमिकता दी जाती है।

चयनित द्विपक्षीय लाप्लास रूपांतरणों की तालिका

द्विपक्षीय लाप्लास परिवर्तन के लिए दिलचस्प उदाहरणों की निम्नलिखित सूची को इसी फूरियर या से घटाया जा सकता है एकतरफा लाप्लास परिवर्तन (यह सभी देखें Bracewell (2000)):

Selected bilateral Laplace transforms

Function	Time domain $f(t)={\mathcal {B}}^{-1}\{F\}(t)$	Laplace s-domain $F(s)={\mathcal {B}}\{f\}(s)$	Region of convergence	Comment
Rectangular impulse	$f(t)=\left\{{\begin{aligned}1&\quad {\text{if}}\;|t|<{\tfrac {1}{2}}\\{\tfrac {1}{2}}&\quad {\text{if}}\;|t|={\tfrac {1}{2}}\\0&\quad {\text{if}}\;|t|>{\tfrac {1}{2}}\end{aligned}}\right.$	$2s^{-1}\,\sinh {\frac {s}{2}}$	$-\infty <\Re s<\infty$
Triangular impulse	$f(t)=\left\{{\begin{aligned}1-|t|&\quad {\text{if}}\;|t|\leq 1\\0&\quad {\text{if}}\;|t|>1\end{aligned}}\right.$	$\left(2s^{-1}\,\sinh {\frac {s}{2}}\right)^{2}$	$-\infty <\Re s<\infty$
Gaussian impulse	$\exp \left(-a^{2}\,t^{2}-b\,t\right)$	${\frac {\sqrt {\pi }}{a}}\,\exp {\frac {(s+b)^{2}}{4\,a^{2}}}$	$-\infty <\Re s<\infty$	$\Re (a^{2})>0$
Exponential decay	$e^{-at}\,u(t)=\left\{{\begin{aligned}&0&&\;{\text{if}}\;t<0&\\&e^{-at}&&\;{\text{if}}\;0<t&\end{aligned}}\right.$	${\frac {1}{s+a}}$	$-\Re a<\Re s<\infty$	$u(t)$ is the Heaviside step function
Exponential growth	$-e^{-at}\,u(-t)=\left\{{\begin{aligned}&-e^{-at}&&\;{\text{if}}\;t<0&\\&0&&\;{\text{if}}\;0<t&\end{aligned}}\right.$	${\frac {1}{s+a}}$	$-\infty <\Re s<-\Re a$
	$e^{-|t|}$	${\frac {2}{1-s^{2}}}$	$-1<\Re s<1$
	$e^{-a|t|}$	${\frac {2a}{a^{2}-s^{2}}}$	$-\Re a<\Re s<\Re a$	$\Re a>0$
	${\frac {1}{\cosh t}}$	${\frac {\pi }{\cos(\pi s/2)}}$	$-1<\Re s<1$
	${\frac {1}{1+e^{-t}}}$	${\frac {\pi }{\sin(\pi s)}}$	$0<\Re s<1$

यह भी देखें

• कारण फ़िल्टर
• [[कारण प्रणाली]]
• कारण प्रणाली
• सिंक फिल्टर - आदर्श सिन फ़िल्टर (उर्फ आयताकार फ़िल्टर) आकस्मिक होता है और इसमें अनंत विलंब होता है।

संदर्भ

• LePage, Wilbur R. (1980). Complex Variables and the Laplace Transform for Engineers. Dover Publications.
• Van der Pol, Balthasar, and Bremmer, H., Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral, Chelsea Pub. Co., 3rd ed., 1987.
• Widder, David Vernon (1941), The Laplace Transform, Princeton Mathematical Series, v. 6, Princeton University Press, MR 0005923.
• Bracewell, Ronald N. (2000). The Fourier Transform and Its Applications (3rd ed.).
• Oppenheim, Alan V.; Willsky, Alan S. (1997). Signals & Systems (2nd ed.).