सब-रीमैनियन मैनिफोल्ड

गणित में, उप-रीमैनियन मैनिफोल्ड, एक रीमैनियन मैनिफोल्ड का निश्चित प्रकार का सामान्यीकरण है। सामान्यतः, उप-रिमानियन मैनिफोल्ड में दूरी को मापने के लिए, आपको केवल तथाकथित क्षैतिज उप-स्थानों के स्पर्शरेखा वक्र के साथ जाने की अनुमति है।

उप-रीमैनियन मैनिफोल्ड्स (और इसलिए, "फोर्टियोरी", रीमैनियन मैनिफोल्ड्स) प्राकृतिक आंतरिक मीट्रिक ले जाते हैं जिसे कार्नोट-कैराथोडोरी का मीट्रिक कहा जाता है। इस प्रकार के मीट्रिक रिक्त स्थान का हौसडॉर्फ आयाम सदैव पूर्णांक होता है और इसके टोपोलॉजिकल आयाम (जब तक कि यह वास्तव में रिमेंनियन मैनिफोल्ड न हो) से बड़ा होता है।

पारंपरिक यांत्रिकी में विवश प्रणालियों के अध्ययन में अधिकांश उप-रीमैनियन मैनिफोल्ड होते हैं, जैसे सतह पर वाहनों की गति, रोबोट हथियारों की गति और उपग्रहों की कक्षीय गतिशीलता। बेरी चरण जैसी ज्यामितीय मात्राओं को उप-रीमैनियन ज्यामिति की भाषा में समझा जा सकता है। हाइजेनबर्ग समूह, क्वांटम यांत्रिकी के लिए महत्वपूर्ण, प्राकृतिक उप-रीमैनियन संरचना रखता है।

परिभाषाएँ

$M$ पर वितरण से हमारा मतलब $M$ के स्पर्शरेखा बंडल का एक उपबंडल है।

दिए गए वितरण $H(M)\subset T(M)$ में $H(M)$ में सदिश क्षेत्र को क्षैतिज कहा जाता है। $M$ पर एक वक्र $\gamma$ को क्षैतिज कहा जाता है यदि किसी $t$ के लिए ${\dot {\gamma }}(t)\in H_{\gamma (t)}(M)$ है।

$H(M)$ पर एक वितरण को पूरी तरह से गैर-पूर्णांक कहा जाता है यदि किसी भी $x\in M$ के लिए हमारे पास है कि किसी भी स्पर्शरेखा वेक्टर को निम्नलिखित प्रकार $A(x),\ [A,B](x),\ [A,[B,C]](x),\ [A,[B,[C,D]]](x),\dotsc \in T_{x}(M)$ के वैक्टरों के रैखिक संयोजन के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है जहां सभी वेक्टर फ़ील्ड $A,B,C,D,\dots$ क्षैतिज हैं।

एक उप-रीमैनियन मैनिफोल्ड एक ट्रिपल $(M,H,g)$ है, जहां $M$ एक अलग-अलग मैनिफोल्ड है, $H$ पूरी तरह से गैर-पूर्णांक "क्षैतिज" वितरण है और $g$ $H$ पर धनात्मक-निश्चित द्विघात रूपों का एक चिकना खंड है।

कोई भी उप-रीमैनियन मैनिफोल्ड प्राकृतिक आंतरिक मीट्रिक को वहन करता है, जिसे कार्नोट-कैराथोडोरी का मीट्रिक कहा जाता है, जिसे परिभाषित किया गया है

$d(x,y)=\inf \int _{0}^{1}{\sqrt {g({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}\,dt,$

जहां न्यूनतम को सभी क्षैतिज वक्र $\gamma :[0,1]\to M$ के साथ लिया जाता है जैसे कि $\gamma (0)=x$, $\gamma (1)=y$।

उदाहरण

विमान पर कार की स्थिति तीन मापदंडों द्वारा निर्धारित की जाती है: दो निर्देशांक $x$ और $y$ स्थान और कोण के लिए $\alpha$ जो कार के उन्मुखीकरण का वर्णन करता है। इसलिए, कार की स्थिति को मैनिफोल्ड में बिंदु से वर्णित किया जा सकता है

$\mathbb {R} ^{2}\times S^{1}.$

कोई पूछ सकता है कि एक स्थान से दूसरे स्थान पर जाने के लिए न्यूनतम कितनी दूरी तय करनी चाहिए? यह मैनिफोल्ड पर कार्नाट-कैराथोडोरी मीट्रिक को परिभाषित करता है

$\mathbb {R} ^{2}\times S^{1}.$

हाइजेनबर्ग समूह पर उप-रीमैनियन मीट्रिक का निकट से संबंधित उदाहरण बनाया जा सकता है: दो तत्व $\alpha$ और $\beta$ लें इसी लाई बीजगणित में ऐसा है कि

$\{\alpha ,\beta ,[\alpha ,\beta ]\}$

पूरे बीजगणित को फैलाता है। $\alpha$ और $\beta$ की बाईं पारियों द्वारा फैला हुआ क्षैतिज वितरण $H$ पूरी तरह से गैर-अभिन्न है। फिर $H$ पर किसी भी चिकने धनात्मक द्विघात रूप को चुनने से समूह पर एक उप-रिमेंनियन मीट्रिक मिलता है।

गुण

प्रत्येक उप-रिमैनियन मैनिफोल्ड के लिए, हैमिल्टनियन यांत्रिकी उपस्थित है, जिसे उप-रीमैनियन हैमिल्टनियन कहा जाता है, जो मैनिफोल्ड के लिए मीट्रिक से निर्मित होता है। इसके विपरीत, इस प्रकार के प्रत्येक द्विघात हैमिल्टनियन उप-रीमैनियन मैनिफोल्ड प्रेरित करता है। उप-रीमैनियन हैमिल्टनियन के लिए संबंधित हैमिल्टन-जैकोबी समीकरणों के भूगर्भ विज्ञान का अस्तित्व चाउ-राशेव्स्की प्रमेय द्वारा दिया गया है।

यह भी देखें

• कार्नोट समूह, लाई समूहों का वर्ग जो उप-रीमैनियन मैनिफोल्ड बनाते हैं
• वितरण_(अंतर_ज्यामिति)

संदर्भ

• Bellaïche, André; Risler, Jean-Jacques, eds. (1996), Sub-Riemannian geometry, Progress in Mathematics, vol. 144, Birkhäuser Verlag, ISBN 978-3-7643-5476-3, MR 1421821
• Gromov, Mikhael (1996), "Carnot-Carathéodory spaces seen from within", in Bellaïche, André; Risler., Jean-Jacques (eds.), Sub-Riemannian geometry (PDF), Progr. Math., vol. 144, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, pp. 79–323, ISBN 3-7643-5476-3, MR 1421823, archived from the original (PDF) on July 9, 2015
• Le Donne, Enrico, Lecture notes on sub-Riemannian geometry (PDF)
• Montgomery, Richard (2002), A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesics and Applications, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 91, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1391-9