लिउविल संख्या: Difference between revisions

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[[संख्या सिद्धांत]] में, लिउविल संख्या एक [[वास्तविक संख्या]] है <math>x</math> संपत्ति के साथ कि, प्रत्येक सकारात्मक [[पूर्णांक]] के लिए <math>n</math>, पूर्णांकों की एक जोड़ी मौजूद है <math>(p,q)</math> साथ <math>q>1</math> ऐसा है कि
[[संख्या सिद्धांत]] में, एक लिउविल संख्या संपत्ति के साथ एक [[वास्तविक संख्या]] <math>x</math> है,जो की प्रत्येक सकारात्मक [[पूर्णांक]] <math>n</math> के लिए <math>q>1</math>के साथ पूर्णांकों <math>(p,q)</math> की एक जोड़ी उपथित है जैसे कि
<math display=block>0 < \left|x-\frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^{n}} .</math>
<math display="block">0 < \left|x-\frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^{n}} .</math>
लिउविल संख्याएं लगभग परिमेय संख्या हैं, और इस प्रकार परिमेय संख्याओं के [[अनुक्रम]]ों द्वारा काफी निकटता से अनुमान लगाया जा सकता है। वे सटीक रूप से वे [[पारलौकिक संख्या]]एँ हैं जिन्हें परिमेय संख्याओं द्वारा किसी भी [[बीजगणितीय संख्या]] [[अपरिमेय संख्या]] की तुलना में अधिक बारीकी से अनुमानित किया जा सकता है। 1844 में, [[जोसेफ लिउविल]] ने दिखाया कि सभी लिउविल नंबर ट्रान्सेंडैंटल हैं,<ref>{{cite journal <!--DUPLICATE| url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/cb343481087/date1844.liste--> | url=http://www.bibnum.education.fr/mathematiques/theorie-des-nombres/propos-de-l-existence-des-nombres-transcendants | author=Joseph Liouville | title=Mémoires et communications | journal=[[Comptes rendus de l'Académie des Sciences]] | volume=18 | number=20,21 | pages=883&ndash;885,910&ndash;911 | date=May 1844 | language=French}}</ref> इस प्रकार पहली बार पारलौकिक संख्याओं के अस्तित्व की स्थापना।<ref>
 
लिउविल संख्याएं लगभग परिमेय संख्या हैं, और इस प्रकार परिमेय संख्याओं के [[अनुक्रम|अनुक्रमों]] द्वारा अधिक निकटता से अनुमान लगाया जा सकता है। वे स्पष्ट रूप से वे [[पारलौकिक संख्या]]एँ हैं जिन्हें परिमेय संख्याओं द्वारा किसी भी [[बीजगणितीय संख्या]] [[अपरिमेय संख्या]] की तुलना में अधिक स्पष्टता से अनुमानित किया जा सकता है। 1844 में, [[जोसेफ लिउविल]] ने दिखाया कि सभी लिउविल नंबर पारलौकिक हैं,<ref>{{cite journal <!--DUPLICATE| url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/cb343481087/date1844.liste--> | url=http://www.bibnum.education.fr/mathematiques/theorie-des-nombres/propos-de-l-existence-des-nombres-transcendants | author=Joseph Liouville | title=Mémoires et communications | journal=[[Comptes rendus de l'Académie des Sciences]] | volume=18 | number=20,21 | pages=883&ndash;885,910&ndash;911 | date=May 1844 | language=French}}</ref> इस प्रकार पहली बार पारलौकिक संख्याओं के अस्तित्व की स्थापना की थी।<ref>
{{cite book
{{cite book
  |first=Alan |last=Baker
  |first=Alan |last=Baker
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}}
}}
</ref>
</ref>
यह ज्ञात है कि पाई |{{pi}} और ई (संख्या) |{{mvar|e}} लिउविल नंबर नहीं हैं।{{sfn|Baker|1990|p=86}}
 
यह ज्ञात है कि {{pi}} और {{mvar|e}} लिउविल संख्या नहीं हैं।{{sfn|Baker|1990|p=86}}


== लिउविल संख्याओं का अस्तित्व (लिउविल का स्थिरांक) ==
== लिउविल संख्याओं का अस्तित्व (लिउविल का स्थिरांक) ==
लिउविल नंबरों को एक स्पष्ट निर्माण द्वारा अस्तित्व में दिखाया जा सकता है।
लिउविल नंबरों को एक स्पष्ट निर्माण द्वारा अस्तित्व में दिखाया जा सकता है।


किसी पूर्णांक के लिए <math>b\ge 2</math> और पूर्णांकों का कोई क्रम <math>(a_1,a_2,\dots)</math> ऐसा है कि <math>a_k\in\{0,1,2,\dots,b-1\}</math> सभी के लिए <math>k</math> और <math>a_k\ne 0</math> असीम रूप से बहुतों के लिए <math>k</math>, संख्या परिभाषित करें
किसी भी पूर्णांक <math>b\ge 2</math> और पूर्णांकों के किसी भी अनुक्रम के लिए <math>(a_1,a_2,\dots)</math> जैसे कि<math>a_k\in\{0,1,2,\dots,b-1\}</math> सभी <math>k</math> के लिए और <math>a_k\ne 0</math> अनगिनत <math>k</math> के लिए संख्या परिभाषित करें
<math display=block>x = \sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{b^{k!}}.</math>
<math display=block>x = \sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{b^{k!}}.</math>
विशेष मामले में जब <math>b=10</math>, और <math>a_k=1</math> सभी के लिए <math>k</math>, परिणामी संख्या <math>x</math> लिउविल का स्थिरांक कहा जाता है:
विशेष स्थिति में जब <math>b=10</math>, और <math>a_k=1</math> सभी के लिए <math>k</math>, परिणामी संख्या <math>x</math> लिउविल का स्थिरांक कहा जाता है:


:''L'' = 0.110001000000000000000001000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000...
:''L'' = 0.110001000000000000000001000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000...


यह की परिभाषा से आता है <math>x</math> कि इसका [[संख्या आधार]]-<math>b</math> प्रतिनिधित्व है
यह <math>x</math> की परिभाषा से इस प्रकार है कि इसका आधार-<math>b</math> प्रतिनिधित्व है


:<math>x = \left(0.a_{1}a_{2}000a_{3}00000000000000000a_{4}0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000a_{5}\ldots\right)_b\;</math>
:<math>x = \left(0.a_{1}a_{2}000a_{3}00000000000000000a_{4}0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000a_{5}\ldots\right)_b\;</math>
जहां <math>n</math>वें पद में है <math>(n!)</math>वें स्थान।
जहां <math>n</math>वाँ पद <math>(n!)</math>वें स्थान पर है।


चूंकि यह आधार-<math>b</math> प्रतिनिधित्व गैर-दोहराव है यह इस प्रकार है <math>x</math> परिमेय संख्या नहीं है। इसलिए, किसी भी परिमेय संख्या के लिए <math>p/q</math>, अपने पास <math>|x-p/q|>0</math>.
चूंकि यह आधार-<math>b</math> प्रतिनिधित्व गैर-दोहराव है, यह इस प्रकार है कि <math>x</math> एक परिमेय संख्या नहीं है। इसलिए, किसी भी परिमेय संख्या <math>p/q</math> के लिए, हमारे पास <math>|x-p/q|>0</math> है।


अब, किसी पूर्णांक के लिए <math>n\ge 1</math>, परिभाषित करना <math>q_n</math> और <math>p_n</math> निम्नलिखित नुसार:
अब, किसी पूर्णांक<math>n\ge 1</math> के लिए, <math>q_n</math> और <math>p_n</math>को निम्नानुसार परिभाषित करें:
<math display=block>q_n = b^{n!}\,; \quad p_n = q_n \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b^{k!}} = \sum_{k=1}^n {a_k}{b^{n!-k!}} \; .</math>
<math display=block>q_n = b^{n!}\,; \quad p_n = q_n \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b^{k!}} = \sum_{k=1}^n {a_k}{b^{n!-k!}} \; .</math>
तब
तब
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इसलिए, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि ऐसा कोई भी <math>x</math> एक लिउविल संख्या है।
इसलिए, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि ऐसा कोई भी <math>x</math> एक लिउविल संख्या है।


=== सबूत पर नोट्स ===
=== प्रमाण पर नोट्स ===


# असमानता <math>\sum_{k=n+1}^\infty \frac{a_k}{b^{k!}} \le \sum_{k=n+1}^\infty \frac{b-1}{b^{k!}}</math> ए के बाद से<sub>''k''</sub>∈ {0, 1, 2, …, b−1} सभी k के लिए, इसलिए ज़्यादा से ज़्यादा a<sub>''k''</sub>= बी−1। यदि पूर्णांकों का क्रम (a<sub>1</sub>, ए<sub>2</sub>, …) थे (b−1, b−1, ...), यानी a<sub>''k''</sub>= b−1, सभी k के लिए। <math>\sum_{k=n+1}^\infty \frac{a_k}{b^{k!}}</math> इस प्रकार इस सबसे बड़ी संभव राशि से कम या उसके बराबर होगा।
# असमानता <math>\sum_{k=n+1}^\infty \frac{a_k}{b^{k!}} \le \sum_{k=n+1}^\infty \frac{b-1}{b^{k!}}</math>अनुसरण करता है क्योंकि ''a<sub>k</sub>'' ∈ {0, 1, 2, , ''b''−1} सभी k के लिए, इसलिए अधिक से अधिक ''a<sub>k</sub>'' = ''b''−1. । सबसे बड़ा संभव योग होगा यदि पूर्णांकों का अनुक्रम (a1, a2, ) (b−1, b−1, ...), जिससे ''a<sub>k</sub>'' = ''b''−1. सभी k के लिए था।<math>\sum_{k=n+1}^\infty \frac{a_k}{b^{k!}}</math> इस प्रकार इस सबसे बड़ी संभव राशि से कम या उसके समान होगा।
#मजबूत असमानता <math>\begin{align}
#शसक्त असमानता <math>\begin{align}
\sum_{k=n+1}^\infty \frac{b-1}{b^{k!}} < \sum_{k=(n+1)!}^\infty \frac{b-1}{b^k}
\sum_{k=n+1}^\infty \frac{b-1}{b^{k!}} < \sum_{k=(n+1)!}^\infty \frac{b-1}{b^k}
\end{align}</math> [[श्रृंखला (गणित)]] को समाप्त करने के लिए इसे एक श्रृंखला में कम करने के लिए हमारी प्रेरणा से अनुसरण करता है जिसके लिए हम एक सूत्र जानते हैं। अब तक के प्रमाण में 1. में असमानता का परिचय देने का उद्देश्य अंतर्ज्ञान से आता है कि <math>\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{b^{k}} = \frac{b}{b-1}</math> (ज्यामितीय श्रृंखला सूत्र); इसलिए, अगर हम से एक असमानता पा सकते हैं <math>\sum_{k=n+1}^\infty \frac{a_k}{b^{k!}}</math> जो अंश में (b−1) के साथ एक श्रृंखला का परिचय देता है, और यदि हम भाजक शब्द को और कम करने के लिए काम कर सकते हैं <math>b^{k!}</math>को <math>b^{k}</math>, साथ ही श्रृंखला सूचकांकों को 0 से <math>\infty</math>, तब हम श्रृंखला और (b−1) दोनों पदों को हटाने में सक्षम होंगे, जिससे हम रूप के एक अंश के करीब पहुंचेंगे <math>\frac{1}{b^{\text{exponent}\times n}}</math>, जो प्रमाण का अंतिम लक्ष्य है। हम इस प्रेरणा को यहाँ अब योग से चुनकर आगे बढ़ा रहे हैं <math>\sum_{k=n+1}^\infty \frac{b-1}{b^{k!}}</math> एक आंशिक योग। ध्यान दें कि, किसी भी पद के लिए <math>\sum_{k=n+1}^\infty \frac{b-1}{b^{k!}}</math>, चूँकि b ≥ 2, तब <math>\frac{b-1}{b^{k!}} < \frac{b-1}{b^{k}}</math>, सभी k के लिए (जब n = 1 को छोड़कर)। इसलिए, <math>\begin{align}
\end{align}</math> [[श्रृंखला (गणित)]] को समाप्त करने के लिए इसे एक श्रृंखला में कम करने के लिए हमारी प्रेरणा से अनुसरण करता है जिसके लिए हम एक सूत्र जानते हैं। अब तक के प्रमाण में 1. में असमानता का परिचय देने का उद्देश्य अंतर्ज्ञान से आता है कि <math>\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{b^{k}} = \frac{b}{b-1}</math> (ज्यामितीय श्रृंखला सूत्र); इसलिए, यदि हम से एक असमानता पा सकते हैं <math>\sum_{k=n+1}^\infty \frac{a_k}{b^{k!}}</math> जो अंश में (b−1) के साथ एक श्रृंखला का परिचय देता है, और यदि हम भाजक शब्द को और कम करने के लिए काम कर सकते हैं <math>b^{k!}</math> को <math>b^{k}</math>, साथ ही श्रृंखला सूचकांकों को 0 से <math>\infty</math>, तब हम श्रृंखला और (b−1) दोनों पदों को हटाने में सक्षम होंगे, जिससे हम रूप के एक अंश के समीप पहुंचेंगे <math>\frac{1}{b^{\text{exponent}\times n}}</math>, जो प्रमाण का अंतिम लक्ष्य है। हम इस प्रेरणा को यहाँ अब योग से चुनकर आगे बढ़ा रहे हैं <math>\sum_{k=n+1}^\infty \frac{b-1}{b^{k!}}</math> एक आंशिक योग। ध्यान दें कि, किसी भी पद के लिए <math>\sum_{k=n+1}^\infty \frac{b-1}{b^{k!}}</math>, चूँकि b ≥ 2, तब <math>\frac{b-1}{b^{k!}} < \frac{b-1}{b^{k}}</math>, सभी k के लिए (जब n = 1 को छोड़कर)। इसलिए, <math>\begin{align}
\sum_{k=n+1}^\infty \frac{b-1}{b^{k!}} < \sum_{k=n+1}^\infty \frac{b-1}{b^k}
\sum_{k=n+1}^\infty \frac{b-1}{b^{k!}} < \sum_{k=n+1}^\infty \frac{b-1}{b^k}
\end{align}</math> (चूंकि, भले ही एन = 1, बाद की सभी शर्तें छोटी हों)। सूचकांकों में हेरफेर करने के लिए ताकि k 0 से शुरू हो, हम भीतर से एक आंशिक योग का चयन करते हैं <math>
\end{align}</math> (चूंकि, भले ही ''n''=1, बाद की सभी नियम छोटी हों)। सूचकांकों में हेरफेर करने के लिए जिससे k 0 से प्रारंभ हो, हम अंदर से एक आंशिक योग का चयन करते हैं <math>
\sum_{k=n+1}^\infty \frac{b-1}{b^k}
\sum_{k=n+1}^\infty \frac{b-1}{b^k}
</math> (कुल मान से भी कम है क्योंकि यह एक ऐसी श्रृंखला का आंशिक योग है जिसके सभी पद धनात्मक हैं)। हम k = (n+1) से शुरू करके गठित आंशिक योग का चयन करेंगे! जो k = 0 के साथ एक नई श्रृंखला लिखने के लिए हमारी प्रेरणा से अनुसरण करता है, अर्थात यह ध्यान में रखते हुए <math>b^{(n+1)!} = b^{(n+1)!}b^0</math>.
</math> (कुल मान से भी कम है क्योंकि यह एक ऐसी श्रृंखला का आंशिक योग है जिसके सभी पद धनात्मक हैं)। हम k = (n+1) से प्रारंभ करके गठित आंशिक योग का चयन करेंगे! जो k = 0 के साथ एक नई श्रृंखला लिखने के लिए हमारी प्रेरणा से अनुसरण करता है, अर्थात <math>b^{(n+1)!} = b^{(n+1)!}b^0</math> यह ध्यान में रखते हुए ..
# अंतिम असमानता के लिए <math>\frac{b}{b^{(n+1)!}} \le \frac{b^{n!}}{b^{(n+1)!}}</math>, हमने इस विशेष असमानता को चुना है (सत्य है क्योंकि b ≥ 2, जहां समानता का पालन होता है [[अगर और केवल अगर]] n = 1) क्योंकि हम हेरफेर करना चाहते हैं <math>\frac{b}{b^{(n+1)!}}</math> कुछ रूप में <math>\frac{1}{b^{\text{exponent}\times n}}</math>. यह विशेष असमानता हमें (n+1) को खत्म करने की अनुमति देती है! और अंश, संपत्ति का उपयोग करके कि (n+1)! - एन! = (n!)n, इस प्रकार प्रतिस्थापन के लिए भाजक को आदर्श रूप में रखना <math>q_n = b^{n!}</math>.
#अंतिम असमानता <math>\frac{b}{b^{(n+1)!}} \le \frac{b^{n!}}{b^{(n+1)!}}</math> के लिए हमने इस विशेष असमानता को चुना है (सत्य है क्योंकि b ≥ 2, जहाँ समानता का पालन होता है यदि और केवल यदि n = 1) क्योंकि हम <math>\frac{b}{b^{(n+1)!}}</math>को किसी रूप में बदलना चाहते हैं <math>\frac{1}{b^{\text{exponent}\times n}}</math> यह विशेष असमानता हमें (n+1) को खत्म करने की अनुमति देता है! और अंश, संपत्ति का उपयोग करके कि (''n''+1)! – ''n''! = (''n''!)''n'', इस प्रकार प्रतिस्थापन <math>q_n = b^{n!}</math> के लिए हर को आदर्श रूप में रखना है ।


== तर्कहीनता ==
== तर्कहीनता ==
यहां हम दिखाएंगे कि संख्या <math>~ x = c / d ~,</math> कहाँ {{mvar|c}} और {{mvar|d}} पूर्णांक हैं और <math>~ d > 0 ~,</math> लिउविल संख्या को परिभाषित करने वाली असमानताओं को संतुष्ट नहीं कर सकता। चूँकि प्रत्येक परिमेय संख्या को इस प्रकार निरूपित किया जा सकता है  <math>~ c / d ~,</math> हम यह सिद्ध कर चुके होंगे कि कोई लिउविल संख्या परिमेय नहीं हो सकती।
यहां हम दिखाएंगे कि संख्या <math>~ x = c / d ~,</math> जहां {{mvar|c}} और {{mvar|d}} पूर्णांक हैं और <math>~ d > 0 ~,</math>लिउविल संख्या को परिभाषित करने वाली असमानताओं को संतुष्ट नहीं कर सकते। चूँकि प्रत्येक परिमेय संख्या को <math>~ c / d ~,</math> के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है, हम सिद्ध कर चुके होंगे कि कोई लिउविल संख्या परिमेय नहीं हो सकती है ।


अधिक विशेष रूप से, हम दिखाते हैं कि किसी भी सकारात्मक पूर्णांक के लिए {{mvar|n}} काफी बड़ा है <math>~ 2^{n - 1} > d > 0~</math> [समतुल्य, किसी भी सकारात्मक पूर्णांक के लिए <math>~ n > 1 + \log_2(d) ~</math>)], पूर्णांकों का कोई युग्म नहीं <math>~(\,p,\,q\,)~</math> मौजूद है जो एक साथ ब्रैकेटिंग असमानताओं की जोड़ी को संतुष्ट करता है
विशेष रूप से, हम दिखाते हैं कि किसी धनात्मक पूर्णांक {{mvar|n}} के लिए इतना बड़ा कि <math>~ 2^{n - 1} > d > 0~</math> समतुल्य रूप से, किसी धनात्मक पूर्णांक के लिए <math>~ n > 1 + \log_2(d) ~</math>, पूर्णांकों की कोई भी जोड़ी <math>~(\,p,\,q\,)~</math> उपस्थित नहीं है जो एक साथ ब्रैकेटिंग असमानताओं की जोड़ी को संतुष्ट करती है


:<math>0 < \left|x - \frac{\,p\,}{q}\right| < \frac{1}{\;q^n\,}~.</math>
:<math>0 < \left|x - \frac{\,p\,}{q}\right| < \frac{1}{\;q^n\,}~.</math>
यदि दावा सत्य है, तो वांछित निष्कर्ष अनुसरण करता है।
यदि दावा सत्य है, तो वांछित निष्कर्ष अनुसरण करता है।


होने देना {{mvar|p}} और {{mvar|q}} के साथ कोई भी पूर्णांक हो <math>~q > 1~.</math> तो हमारे पास हैं,
मान लीजिए {{mvar|p}} और {{mvar|q}} <math>~q > 1~.</math> के साथ कोई पूर्णांक हैं तो हमारे पास है


:<math> \left| x - \frac{\,p\,}{q} \right| = \left| \frac{\,c\,}{d} - \frac{\,p\,}{q}  \right| = \frac{\,|c\,q - d\,p|\,}{ d\,q }</math>
:<math> \left| x - \frac{\,p\,}{q} \right| = \left| \frac{\,c\,}{d} - \frac{\,p\,}{q}  \right| = \frac{\,|c\,q - d\,p|\,}{ d\,q }</math>
अगर <math>  \left| c\,q - d\,p \right| = 0~,</math> तब हमारे पास होगा
यदि <math>  \left| c\,q - d\,p \right| = 0~,</math> तब हमारे पास होगा


:<math>\left| x - \frac{\,p\,}{q}\right|= \frac{\,|c\,q - d\,p|\,}{ d\,q } = 0 ~,</math>
:<math>\left| x - \frac{\,p\,}{q}\right|= \frac{\,|c\,q - d\,p|\,}{ d\,q } = 0 ~,</math>
जिसका अर्थ है कि पूर्णांकों की ऐसी जोड़ी <math>~(\,p,\,q\,)~</math> किसी भी विकल्प के बावजूद, लिउविल संख्या की परिभाषा में पहली असमानता का उल्लंघन करेगा {{mvar|n}} .
इसका अर्थ है कि पूर्णांकों की ऐसी जोड़ी <math>~(\,p,\,q\,)~</math> लिउविल संख्या की परिभाषा में पहली असमानता का उल्लंघन करेगी, चाहे {{mvar|n}} का कोई भी विकल्प हो। यदि, दूसरी ओर, चूँकि<math>~\left| c\,q - d\,p \right| > 0 ~,</math> तब, चूँकि <math>c\,q - d\,p</math> एक पूर्णांक है, हम तीव्र असमानता पर जोर दे सकते हैं <math>\left| c\,q - d\,p \right| \ge 1 ~.</math> इससे यह पता चलता है कि
 
अगर, दूसरी ओर, के बाद से <math>~\left| c\,q - d\,p \right| > 0 ~,</math> तब से <math>c\,q - d\,p</math> एक पूर्णांक है, हम तीव्र असमानता पर जोर दे सकते हैं <math>\left| c\,q - d\,p \right| \ge 1 ~.</math> इससे यह अनुसरण करता है


:<math>\left| x - \frac{\,p\,}{q}\right|= \frac{\,| c\,q - d\,p |\,}{d\,q} \ge \frac{1}{\,d\,q\,}</math>
:<math>\left| x - \frac{\,p\,}{q}\right|= \frac{\,| c\,q - d\,p |\,}{d\,q} \ge \frac{1}{\,d\,q\,}</math>
Line 74: Line 74:


:<math>\left| x - \frac{\,p\,}{q} \right| \ge \frac{1}{\,d\,q\,} > \frac{1}{\,2^{n-1}q\,} \ge \frac{1}{\;q^n\,} ~.</math>
:<math>\left| x - \frac{\,p\,}{q} \right| \ge \frac{1}{\,d\,q\,} > \frac{1}{\,2^{n-1}q\,} \ge \frac{1}{\;q^n\,} ~.</math>
इसलिए मामले में <math>~ \left| c\,q - d\,p \right| > 0 ~</math> पूर्णांकों की ऐसी जोड़ी <math>~(\,p,\,q\,)~</math> कुछ सकारात्मक पूर्णांक के लिए लिउविल संख्या की परिभाषा में दूसरी असमानता का उल्लंघन करेगा {{mvar|n}}.
इसलिए, स्थिति में <math>~ \left| c\,q - d\,p \right| > 0 ~</math> पूर्णांकों की ऐसी जोड़ी <math>~(\,p,\,q\,)~</math> उल्लंघन करेगी किसी धनात्मक पूर्णांक {{mvar|n}} के लिए लिउविल संख्या की परिभाषा में दूसरी असमानता है
 
हम निष्कर्ष निकालते हैं कि पूर्णांकों का कोई युग्म नहीं है <math>~(\,p,\,q\,)~,</math> साथ <math>~ q > 1 ~,</math> जो इस तरह योग्य होगा <math>~ x = c / d ~,</math> लिउविल संख्या के रूप में।


इसलिए एक लिउविल संख्या, यदि यह मौजूद है, परिमेय नहीं हो सकती।
हम निष्कर्ष निकालते हैं कि<math>~(\,p,\,q\,)~,</math> <math>~ q > 1 ~,</math>के साथ पूर्णांकों की कोई जोड़ी नहीं है जो इस तरह के <math>~ x = c / d ~,</math> एक लिउविल संख्या के रूप में। इसलिए एक लिउविल संख्या, यदि यह उपस्थित है, तर्कसंगत नहीं हो सकती है ।


(#Liouville संख्याओं के अस्तित्व पर खंड (लिउविल का स्थिरांक) | लिउविल का स्थिरांक एक के निर्माण को प्रदर्शित करके यह साबित करता है कि लिउविल संख्याएं मौजूद हैं। इस खंड में दिए गए प्रमाण का अर्थ है कि यह संख्या अपरिमेय संख्या होनी चाहिए।)
(लिउविल के स्थिरांक पर अनुभाग यह सिद्ध करता है कि एक के निर्माण को प्रदर्शित करके लिउविल संख्याएं उपस्थित हैं। इस खंड में दिए गए प्रमाण का अर्थ है कि यह संख्या अपरिमेय होनी चाहिए।)


== बेशुमारता ==
== बेशुमारता ==
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3.14(3 शून्य)1(17 शून्य)5(95 शून्य)9(599 शून्य)2(4319 शून्य)6...
3.14(3 शून्य)1(17 शून्य)5(95 शून्य)9(599 शून्य)2(4319 शून्य)6...


जहां स्थिति n को छोड़कर अंक शून्य हैं! जहां अंक के दशमलव विस्तार में दशमलव बिंदु के बाद nवें अंक के बराबर है{{pi}}.
जहां स्थिति n! को छोड़कर अंक शून्य हैं जहां अंक {{pi}} के दशमलव विस्तार में दशमलव बिंदु के बाद n वें अंक के समान होता है।


जैसा कि #लिउविले संख्याओं (लिउविल का स्थिरांक) के अस्तित्व पर अनुभाग में दिखाया गया है, यह संख्या, साथ ही इसके गैर-शून्य अंकों के साथ समान रूप से स्थित कोई अन्य गैर-समाप्ति दशमलव, लिउविल संख्या की परिभाषा को संतुष्ट करता है। चूंकि गैर-शून्य अंकों के सभी अनुक्रमों के सेट में [[सातत्य की प्रमुखता]] होती है, वही बात सभी लिउविल संख्याओं के सेट के साथ होती है।
जैसा कि लिउविले संख्याओं (लिउविल का स्थिरांक) के अस्तित्व पर अनुभाग में दिखाया गया है, यह संख्या, साथ ही इसके गैर-शून्य अंकों के साथ समान रूप से स्थित कोई अन्य गैर-समाप्ति दशमलव, लिउविल संख्या की परिभाषा को संतुष्ट करता है। चूंकि गैर-शून्य अंकों के सभी अनुक्रमों के समूह में [[सातत्य की प्रमुखता]] होती है, वही बात सभी लिउविल संख्याओं के समूह के साथ होती है।


इसके अलावा, लिउविल संख्याएं वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का एक सघन समुच्चय बनाती हैं।
इसके अतिरिक्त , लिउविल संख्याएं वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का एक सघन समुच्चय बनाती हैं।


== लिउविल संख्या और माप ==
== लिउविल संख्या और माप ==
[[माप सिद्धांत]] के दृष्टिकोण से, सभी लिउविल संख्याओं का समुच्चय <math>L</math> छोटा है। अधिक सटीक रूप से, इसका लेबेस्गु उपाय, <math>\lambda(L)</math>, शून्य है। दिया गया प्रमाण जॉन सी. ओक्सटॉबी के कुछ विचारों का अनुसरण करता है।<ref name="oxtoby">{{Cite book | last = Oxtoby | first = John C. | year = 1980 | title = उपाय और श्रेणी| series = Graduate Texts in Mathematics | volume = 2 | edition = Second | publisher = Springer-Verlag | isbn = 0-387-90508-1 | location = New York-Berlin | mr=0584443 | doi=10.1007/978-1-4684-9339-9}}</ref>{{Rp|8}}
[[माप सिद्धांत]] के दृष्टिकोण से, सभी लिउविल संख्याओं का समुच्चय <math>L</math> छोटा है। अधिक स्पष्ट रूप से, इसका लेबेस्गु उपाय, <math>\lambda(L)</math>, शून्य है। दिया गया प्रमाण जॉन सी. ओक्सटॉबी के कुछ विचारों का अनुसरण करता है।<ref name="oxtoby">{{Cite book | last = Oxtoby | first = John C. | year = 1980 | title = उपाय और श्रेणी| series = Graduate Texts in Mathematics | volume = 2 | edition = Second | publisher = Springer-Verlag | isbn = 0-387-90508-1 | location = New York-Berlin | mr=0584443 | doi=10.1007/978-1-4684-9339-9}}</ref>{{Rp|8}}


सकारात्मक पूर्णांकों के लिए <math>n>2</math> और <math>q\geq2</math> तय करना:
सकारात्मक पूर्णांकों के लिए <math>n>2</math> और <math>q\geq2</math> तय करना:
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:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{4m+1}{n-2}=0</math>
:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{4m+1}{n-2}=0</math>
और यह प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक के लिए इसका अनुसरण करता है <math>m</math>, <math>L\cap (-m,m)</math> Lebesgue माप शून्य है। नतीजतन, ऐसा हुआ है <math>L</math>.
और यह इस प्रकार है कि प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक <math>m</math>, <math>L\cap (-m,m)</math>के लिए लेबेस्ग माप शून्य है। नतीजतन, इसलिए <math>L</math> इसके विपरीत, सभी वास्तविक पारलौकिक संख्याओं के समूह का लेबेस्ग माप अनंत है (चूंकि बीजगणितीय संख्याओं का समूह एक शून्य समूह है)।
 
इसके विपरीत, सभी वास्तविक पारलौकिक संख्याओं के समुच्चय का लेबेस्ग माप अनंत है (चूंकि बीजगणितीय संख्याओं का समुच्चय एक शून्य समुच्चय है)।


==लिउविल संख्याओं के समुच्चय की संरचना==
==लिउविल संख्याओं के समुच्चय की संरचना==
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:<math>~ L ~=~ \bigcap\limits_{n=1}^\infty U_n ~=~ \bigcap\limits_{n \in \mathbb{N}_1} ~ \bigcup\limits_{ q \geqslant 2} ~ \bigcup \limits_{ p \in \mathbb{Z} }\,\left(\,\left(\,\frac{\,p\,}{q} - \frac{1}{\;q^n\,}~,~ \frac{\,p\,}{q} + \frac{1}{\;q^n\,} \,\right) \setminus \left\{\,\frac{\,p\,}{q}\,\right\} \,\right) ~.</math>
:<math>~ L ~=~ \bigcap\limits_{n=1}^\infty U_n ~=~ \bigcap\limits_{n \in \mathbb{N}_1} ~ \bigcup\limits_{ q \geqslant 2} ~ \bigcup \limits_{ p \in \mathbb{Z} }\,\left(\,\left(\,\frac{\,p\,}{q} - \frac{1}{\;q^n\,}~,~ \frac{\,p\,}{q} + \frac{1}{\;q^n\,} \,\right) \setminus \left\{\,\frac{\,p\,}{q}\,\right\} \,\right) ~.</math>
प्रत्येक <math>~ U_n ~</math> एक [[खुला सेट]] है; क्योंकि इसके समापन में सभी परिमेय (the <math>~p / q~</math> प्रत्येक छिद्रित अंतराल से), यह वास्तविक रेखा का एक सघन समुच्चय भी है। चूंकि यह कई ऐसे खुले घने सेटों का चौराहा है, {{mvar|L}} अल्प समुच्चय है, अर्थात यह सघन G-डेल्टा समुच्चय है|G<sub>δ</sub>तय करना।
प्रत्येक <math>~ U_n ~</math> एक खुला समूह है; चूंकि इसके बंद होने में सभी परिमेय <math>~p / q~</math> प्रत्येक छिद्रित अंतराल से) सम्मिलित हैं, यह वास्तविक रेखा का एक सघन उपसमुच्चय भी है। चूँकि यह कई ऐसे खुले सघन समूहों का प्रतिच्छेदन है, {{mvar|L}} कमएग्रे है, अर्थात यह एक सघन G<sub>δ</sub> समुच्चय है।


== तर्कहीनता माप ==
== तर्कहीनता माप ==
वास्तविक संख्या का लिउविल-रोथ अपरिमेयता माप (तर्कहीनता प्रतिपादक, सन्निकटन प्रतिपादक, या लिउविल-रोथ स्थिरांक) <math>x</math> यह इस बात का माप है कि परिमेय द्वारा इसे कितनी बारीकी से अनुमानित किया जा सकता है। किसी को अनुमति देने के बजाय लिउविल संख्याओं की परिभाषा का सामान्यीकरण <math>n</math> की शक्ति में <math>q</math>, हम इसके लिए सबसे बड़ा संभव मान पाते हैं <math>\mu</math> ऐसा है कि <math>0< \left| x- \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^\mu} </math> सहअभाज्य पूर्णांक युग्मों की अनंत संख्या से संतुष्ट होता है <math>(p,q)</math> साथ <math>q>0</math>. यह अधिकतम मूल्य <math>\mu</math> की तर्कहीनता माप के रूप में परिभाषित किया गया है <math>x</math>.<ref name=bugeaud>{{cite book | last=Bugeaud | first=Yann | title=डिस्ट्रीब्यूशन मोडुलो वन और डायोफैंटाइन सन्निकटन| series=Cambridge Tracts in Mathematics | volume=193 | location=Cambridge | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=2012 | isbn=978-0-521-11169-0 | zbl=1260.11001 | mr=2953186 | doi=10.1017/CBO9781139017732}}</ref>{{rp|246}} किसी भी मूल्य के लिए <math>\mu</math> इस ऊपरी सीमा से कम, सभी परिमेय का अनंत सेट <math>p/q</math> उपरोक्त असमानता को संतुष्ट करने से एक अनुमान प्राप्त होता है <math>x</math>. इसके विपरीत यदि <math>\mu</math> ऊपरी सीमा से अधिक है, तो अधिक से अधिक परिमित संख्या में हैं <math>(p,q)</math> साथ <math>q>0</math> जो असमानता को संतुष्ट करता है; इस प्रकार, विपरीत असमानता के सभी बड़े मूल्यों के लिए लागू होती है <math>q</math>. दूसरे शब्दों में, तर्कहीनता माप को देखते हुए <math>\mu</math> एक वास्तविक संख्या का <math>x</math>, जब भी एक तर्कसंगत सन्निकटन <math>x\approx p/q</math>, <math>p,q\in\N</math> पैदावार <math>n+1</math> सटीक दशमलव अंक, हमारे पास है
वास्तविक संख्या <math>x</math> का लिउविल-रोथ अपरिमेयता माप (तर्कहीनता प्रतिपादक, सन्निकटन प्रतिपादक, या लिउविल-रोथ स्थिरांक) इस बात का एक माप है कि इसे परिमेय द्वारा "निकटता से" कैसे अनुमानित किया जा सकता है। लिउविल संख्याओं की परिभाषा को सामान्यीकृत करते हुए, <math>q</math> की शक्ति में किसी भी <math>n</math> की अनुमति देने के अतिरिक्त , हम <math>\mu</math> के लिए सबसे बड़ा संभव मान पाते हैं जैसे कि <math>0< \left| x- \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^\mu} </math> , <math>q>0</math> के साथ अनंत संख्या में कोप्राइम पूर्णांक जोड़े <math>(p,q)</math> से संतुष्ट है। <math>\mu</math> के इस अधिकतम मान को <math>x</math> के अपरिमेयता माप के रूप में परिभाषित किया गया है। <ref name=bugeaud>{{cite book | last=Bugeaud | first=Yann | title=डिस्ट्रीब्यूशन मोडुलो वन और डायोफैंटाइन सन्निकटन| series=Cambridge Tracts in Mathematics | volume=193 | location=Cambridge | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=2012 | isbn=978-0-521-11169-0 | zbl=1260.11001 | mr=2953186 | doi=10.1017/CBO9781139017732}}</ref>{{rp|246}}  इस ऊपरी सीमा से कम <math>\mu</math> के किसी भी मान के लिए, उपरोक्त असमानता को संतुष्ट करने वाले सभी परिमेय <math>p/q</math> के अनंत समूह से <math>x</math>का एक सन्निकटन प्राप्त होता है। इसके विपरीत, यदि <math>\mu</math> ऊपरी सीमा से अधिक है, तो अधिक से अधिक सूक्ष्म रूप से कई <math>(p,q)</math> <math>q>0</math> हैं जो असमानता को संतुष्ट करते हैं; इस प्रकार, विपरीत असमानता <math>q</math> के सभी बड़े मान के लिए प्रयुक्त होती है। दूसरे शब्दों में, एक वास्तविक संख्या <math>x</math> का अपरिमेयता माप दिया गया है, जब भी एक परिमेय सन्निकटन<math>x\approx p/q</math> <math>p,q\in\N</math> स्पष्ट दशमलव अंक देता है, हमारे पास है


:<math>\frac{1}{10^n} \ge \left| x- \frac{p}{q} \right| \ge \frac{1}{q^{\mu+\varepsilon}} </math>
:<math>\frac{1}{10^n} \ge \left| x- \frac{p}{q} \right| \ge \frac{1}{q^{\mu+\varepsilon}} </math>
किसी के लिए <math>\varepsilon >0</math>, भाग्यशाली जोड़ियों की सीमित संख्या को छोड़कर <math>(p,q)</math>.
किसी भी <math>\varepsilon >0</math> के लिए, "सौभाग्यशाली" जोड़े <math>(p,q)</math> की सीमित संख्या को छोड़कर।


डिरिचलेट के सन्निकटन प्रमेय के परिणामस्वरूप प्रत्येक अपरिमेय संख्या में अपरिमेयता माप कम से कम 2 होता है। दूसरी ओर, [[बोरेल-कैंटेली लेम्मा]] के एक अनुप्रयोग से पता चलता है कि लगभग सभी संख्याओं में 2 के बराबर एक अपरिमेयता माप होती है।<ref name="bugeaud" />{{rp|246}}
डिरिचलेट के सन्निकटन प्रमेय के परिणामस्वरूप प्रत्येक अपरिमेय संख्या में अपरिमेयता माप कम से कम 2 होता है। दूसरी ओर, [[बोरेल-कैंटेली लेम्मा]] के एक अनुप्रयोग से पता चलता है कि लगभग सभी संख्याओं में 2 के समान एक अपरिमेयता माप होती है।<ref name="bugeaud" />{{rp|246}}


नीचे कुछ संख्याओं की अपरिमेयता मापों के लिए ज्ञात ऊपरी और निचली सीमाओं की तालिका दी गई है।
नीचे कुछ संख्याओं की अपरिमेयता मापों के लिए ज्ञात ऊपरी और निचली सीमाओं की तालिका दी गई है।
{| class="wikitable sortable"
{| class="wikitable sortable"
|+
|+
! rowspan="2" |Number <math>x</math>
! rowspan="2" |संख्या <math>x</math>
! colspan="2" |Irrationality measure <math>\mu(x)</math>
! colspan="2" |तर्कहीनता
! rowspan="2" |Simple continued fraction <math>[a_0;a_1,a_2,...]</math>
उपाय <math>\mu(x)</math>
! rowspan="2" |Notes
! rowspan="2" |सरल निरंतर अंश
<math>[a_0;a_1,a_2,...]</math>
! rowspan="2" |टिप्पणियाँ
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!Lower bound
!निम्न परिबंध
!Upper bound
!ऊपरी परिबंध
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|[[Rational number]] <math>\frac{p}q</math> where <math>p,q \in \mathbb{Z}</math> and <math>q\neq0</math>
|[[Rational number|तर्कसंगत संख्या]] <math>\frac{p}q</math> जहाँ <math>p,q \in \mathbb{Z}</math> और <math>q\neq0</math>
| colspan="2" style="text-align: center;" |1
| colspan="2" style="text-align: center;" |1
|Finite [[continued fraction]].
|परिमित निरंतर अंश।
|Every rational number <math>\frac{p}q</math> has an irrationality measure of exactly 1.
|हर तर्कसंगत संख्या <math>\frac{p}q</math> ठीक 1 का अपरिमेयता माप है।.


Examples include 1, 2 and 0.5  
उदाहरणों में 1, 2 और 0.5 सम्मिलित हैं
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|Irrational [[algebraic number]] <math>a</math>
|अपरिमेय बीजगणितीय संख्या
𝑎
| colspan="2" style="text-align: center;" |2
| colspan="2" style="text-align: center;" |2
|Infinite continued fraction. Periodic if [[Quadratic irrational number|quadratic irrational]].
|अनंत निरंतर अंश। आवधिक यदि द्विघात अपरिमेय है।
|By the [[Thue–Siegel–Roth theorem]] the irrationality measure of any irrational algebraic number is exactly 2. Examples include [[square root]]s like <math>\sqrt{2}, \sqrt{3}</math> and <math>\sqrt{5}</math> and the [[golden ratio]] <math>\varphi</math>.
|थू-सीगल-रोथ प्रमेय द्वारा किसी भी अपरिमेय बीजगणितीय संख्या की अपरिमेयता माप बिल्कुल 2 है। उदाहरणों में वर्गमूल सम्मिलित हैं जैसे <math>\sqrt{2}, \sqrt{3}</math> and <math>\sqrt{5}</math> और सुनहरा अनुपात <math>\varphi</math>.
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|<math>e^{2/k}, k\in\mathbb{Z}^+</math>
|<math>e^{2/k}, k\in\mathbb{Z}^+</math>
| colspan="2" style="text-align: center;" |2
| colspan="2" style="text-align: center;" |2
| rowspan="3" |Infinite continued fraction.
| rowspan="3" |अनंत निरंतर अंश।
| rowspan="3" |If the elements <math>a_n</math> of the continued fraction expansion of an irrational number <math>x</math> satisfy <math>a_n<cn+d</math> for positive <math>c</math> and <math>d</math>, the irrationality measure <math>\mu(x)=2</math>.
| rowspan="3" |यदि एक अपरिमेय संख्या <math>x</math> के निरंतर अंश विस्तार के तत्व <math>a_n</math>सकारात्मक <math>c</math> और <math>d</math> के लिए <math>a_n<cn+d</math> को संतुष्ट करते हैं तो अपरिमेयता माप <math>\mu(x)=2</math> है।


Examples include <math>e</math> or <math>I_0(1)/I_1(1)</math> where the continued fractions behave predictably:
उदाहरणों में <math>I_0(1)/I_1(1)</math> या <math>e</math> सम्मिलित हैं जहां निरंतर भिन्न अनुमानित रूप से व्यवहार करते हैं:


<math>e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,...]</math> and <math>I_0(1)/I_1(1)=[2;4,6,8,10,12,14,16,18,20,22...]</math>
<math>e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,...]</math> और <math>I_0(1)/I_1(1)=[2;4,6,8,10,12,14,16,18,20,22...]</math>
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|<math>\tanh\left(\frac{1}{k}\right), k\in\mathbb{Z}^+</math>
|<math>\tanh\left(\frac{1}{k}\right), k\in\mathbb{Z}^+</math>
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|2
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|2.49846...
|2.49846...
| rowspan="3" |Infinite continued fraction.
| rowspan="3" |अनंत निरंतर अंश।
|<math>q\in\{\pm2,\pm3,\pm4,...\}</math>, <math>h_q(1)</math> is a <math>q</math>-harmonic series.
|<math>q\in\{\pm2,\pm3,\pm4,...\}</math>, <math>h_q(1)</math> एक <math>q</math>- हार्मोनिक श्रृंखला है .
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|<math>\text{ln}_q(2)</math><ref name=":0" /><ref name=":1">{{Cite journal|last1=Matala-aho|first1=Tapani|last2=Väänänen|first2=Keijo|last3=Zudilin|first3=Wadim|date=2006|title=New irrationality measures for 𝑞-logarithms|url=https://www.ams.org/mcom/2006-75-254/S0025-5718-05-01812-0/|journal=Mathematics of Computation|language=en|volume=75|issue=254|pages=879–889|doi=10.1090/S0025-5718-05-01812-0|issn=0025-5718|doi-access=free}}</ref>
|<math>\text{ln}_q(2)</math><ref name=":0" /><ref name=":1">{{Cite journal|last1=Matala-aho|first1=Tapani|last2=Väänänen|first2=Keijo|last3=Zudilin|first3=Wadim|date=2006|title=New irrationality measures for 𝑞-logarithms|url=https://www.ams.org/mcom/2006-75-254/S0025-5718-05-01812-0/|journal=Mathematics of Computation|language=en|volume=75|issue=254|pages=879–889|doi=10.1090/S0025-5718-05-01812-0|issn=0025-5718|doi-access=free}}</ref>
|2
|2
|2.93832...
|2.93832...
|<math>q\in\left\{\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{3},\pm\frac{1}{4},...\right\}</math>, <math>\ln_q(x)</math> is a <math>q</math>-logarithm.
|<math>q\in\left\{\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{3},\pm\frac{1}{4},...\right\}</math>, <math>\ln_q(x)</math> एक <math>q</math>-लघुगणक है .
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|<math>\ln_q(1-z)</math><ref name=":0" /><ref name=":1" />
|<math>\ln_q(1-z)</math><ref name=":0" /><ref name=":1" />
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<math>[1;1,1,1,4,2,4,7,1,4,2,...]</math>
<math>[1;1,1,1,4,2,4,7,1,4,2,...]</math>
|<math>\pi^2</math> and <math>\zeta(2)=\pi^2/6</math> are linearly dependent over <math>\mathbb{Q}</math>.
|<math>\pi^2</math> और <math>\zeta(2)=\pi^2/6</math> पर रैखिक रूप से <math>\mathbb{Q}</math> पर आश्रित हैं .
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|-
|<math>\pi</math><ref name=":0" /><ref>{{cite journal|last1=Zeilberger|first1=Doron|last2=Zudilin|first2=Wadim|date=2020-01-07|title=The irrationality measure of ''π'' is at most 7.103205334137…|journal=Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory|volume=9|issue=4|pages=407–419|doi=10.2140/moscow.2020.9.407|arxiv=1912.06345|s2cid=209370638}}</ref>
|<math>\pi</math><ref name=":0" /><ref>{{cite journal|last1=Zeilberger|first1=Doron|last2=Zudilin|first2=Wadim|date=2020-01-07|title=The irrationality measure of ''π'' is at most 7.103205334137…|journal=Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory|volume=9|issue=4|pages=407–419|doi=10.2140/moscow.2020.9.407|arxiv=1912.06345|s2cid=209370638}}</ref>
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|7.10320...
|7.10320...
|<math>[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,...]</math>
|<math>[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,...]</math>
|It has been proven that if the series <math>\displaystyle\sum^\infty_{n=1}\frac{\csc^2 n}{n^3}</math> (where ''n'' is in radians) converges, then <math>\pi</math>'s irrationality measure is at most 2.5;<ref>{{cite arXiv |first=Max A. |last=Alekseyev |title=On convergence of the Flint Hills series |eprint=1104.5100 |date=2011 |class=math.CA }}</ref><ref>{{MathWorld|FlintHillsSeries|Flint Hills Series}}</ref> and that if it diverges, the irrationality measure is at least 2.5.<ref>{{cite arXiv |first=Alex |last=Meiburg| title=Bounds on Irrationality Measures and the Flint-Hills Series|eprint=2208.13356| date=2022 |class=math.NT}}</ref>
|यह सिद्ध हो चुका है कि यदि श्रृंखला <math>\displaystyle\sum^\infty_{n=1}\frac{\csc^2 n}{n^3}</math> (जहाँ ''n'' रेडियंस में है) अभिसरण करता है, तो <math>\pi</math> का तर्कहीनता माप अधिकतम 2.5 है;<ref>{{cite arXiv |first=Max A. |last=Alekseyev |title=On convergence of the Flint Hills series |eprint=1104.5100 |date=2011 |class=math.CA }}</ref><ref>{{MathWorld|FlintHillsSeries|Flint Hills Series}}</ref> और यदि यह विचलन करता है, तो अपरिमेयता माप कम से कम 2.5 है।<ref>{{cite arXiv |first=Alex |last=Meiburg| title=Bounds on Irrationality Measures and the Flint-Hills Series|eprint=2208.13356| date=2022 |class=math.NT}}</ref>
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|-
|<math>\arctan(1/3)</math><ref>{{Cite journal|last1=Salikhov|first1=V. Kh.|last2=Bashmakova|first2=M. G.|date=2019-01-01|title=On Irrationality Measure of arctan 1/3|url=https://doi.org/10.3103/S1066369X19010079|journal=Russian Mathematics|language=en|volume=63|issue=1|pages=61–66|doi=10.3103/S1066369X19010079|s2cid=195131482|issn=1934-810X}}</ref>
|<math>\arctan(1/3)</math><ref>{{Cite journal|last1=Salikhov|first1=V. Kh.|last2=Bashmakova|first2=M. G.|date=2019-01-01|title=On Irrationality Measure of arctan 1/3|url=https://doi.org/10.3103/S1066369X19010079|journal=Russian Mathematics|language=en|volume=63|issue=1|pages=61–66|doi=10.3103/S1066369X19010079|s2cid=195131482|issn=1934-810X}}</ref>
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|6.09675...
|6.09675...
|<math>[0;3,9,3,1,5,1,6,3,1,2,...]</math>
|<math>[0;3,9,3,1,5,1,6,3,1,2,...]</math>
| rowspan="5" |Of the form <math>\arctan(1/k)</math>
| rowspan="5" |<math>\arctan(1/k)</math> रूप का है
|-
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|<math>\arctan(1/5)</math><ref name=":2">{{Cite web|last=Tomashevskaya|first=E. B.|title=On the irrationality measure of the number log 5+pi/2 and some other numbers|url=http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=cheb&paperid=245&option_lang=eng|access-date=2020-10-14|website=www.mathnet.ru}}</ref>
|<math>\arctan(1/5)</math><ref name=":2">{{Cite web|last=Tomashevskaya|first=E. B.|title=On the irrationality measure of the number log 5+pi/2 and some other numbers|url=http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=cheb&paperid=245&option_lang=eng|access-date=2020-10-14|website=www.mathnet.ru}}</ref>
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|5.793...
|5.793...
|<math>[0;4,12,5,12,1,1,1,3,2,1,...]</math>
|<math>[0;4,12,5,12,1,1,1,3,2,1,...]</math>
| rowspan="3" |Of the form <math>\arctan(1/2^k)</math>
| rowspan="3" |<math>\arctan(1/2^k)</math> रूप का है
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|<math>\arctan(1/8)</math><ref name=":2" />
|<math>\arctan(1/8)</math><ref name=":2" />
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|4.60105...
|4.60105...
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|<math>[1;1,4,2,1,2,3,7,3,3,30,...]</math>
| rowspan="6" |Of the form <math>\sqrt{2k-1}\arctan\left({\frac{\sqrt{2k-1}}{k-1}}\right)</math>
| rowspan="6" |<math>\sqrt{2k-1}\arctan\left({\frac{\sqrt{2k-1}}{k-1}}\right)</math>रूप का है
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|<math>\sqrt{7}\arctan({\sqrt{7}/3})</math><ref name=":3" />
|<math>\sqrt{7}\arctan({\sqrt{7}/3})</math><ref name=":3" />
Line 304: Line 303:
|6.64610...  
|6.64610...  
|<math>[2;9,1,1,2,2,8,2,1,3,2,...]</math>
|<math>[2;9,1,1,2,2,8,2,1,3,2,...]</math>
| rowspan="9" |Of the form <math>\sqrt{2k+1}\ln\left(\frac{\sqrt{2k+1}+1}{\sqrt{2k+1}-1}\right)</math>
| rowspan="9" |<math>\sqrt{2k+1}\ln\left(\frac{\sqrt{2k+1}+1}{\sqrt{2k+1}-1}\right)</math>रूप का है
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|<math>\sqrt{11}\ln\left(\frac{6+\sqrt{11}}{5}\right)</math><ref name=":3" />
|<math>\sqrt{11}\ln\left(\frac{6+\sqrt{11}}{5}\right)</math><ref name=":3" />
Line 367: Line 366:
|2
|2
|4
|4
|Infinite continued fraction.
|अनंत निरंतर अंश।
|<math>T_2(1/b):=\sum_{n=1}^\infty t_nb^{n-1}</math> where <math>t_n</math> is the <math>n</math>-th term of the [[Thue–Morse sequence]].
|<math>T_2(1/b):=\sum_{n=1}^\infty t_nb^{n-1}</math> जहाँ <math>t_n</math> [[Thue–Morse sequence|थ्यू-मोर्स अनुक्रम]] का n-वाँ पद है
 
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|[[Champernowne constant]]s <math>C_b</math> in base <math>b\geq2</math><ref>{{Cite journal|last=Amou|first=Masaaki|date=1991-02-01|title=Approximation to certain transcendental decimal fractions by algebraic numbers|journal=Journal of Number Theory|language=en|volume=37|issue=2|pages=231–241|doi=10.1016/S0022-314X(05)80039-3|issn=0022-314X|doi-access=free}}</ref>
|[[Champernowne constant]]s <math>C_b</math> in base <math>b\geq2</math><ref>{{Cite journal|last=Amou|first=Masaaki|date=1991-02-01|title=Approximation to certain transcendental decimal fractions by algebraic numbers|journal=Journal of Number Theory|language=en|volume=37|issue=2|pages=231–241|doi=10.1016/S0022-314X(05)80039-3|issn=0022-314X|doi-access=free}}</ref>
| colspan="2" style="text-align: center;" |<math>b</math>
| colspan="2" style="text-align: center;" |<math>b</math>
|Infinite continued fraction.
|अनंत निरंतर अंश।
|Examples include <math>C_{10}=0.1234567891011...=[0;8,9,1,149083,1,...]</math>
|उदाहरणों में सम्मिलित <math>C_{10}=0.1234567891011...=[0;8,9,1,149083,1,...]</math>
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|Liouville numbers <math>L</math>
|Liouville numbers <math>L</math>
| colspan="2" style="text-align: center;" |<math>\infty</math>
| colspan="2" style="text-align: center;" |<math>\infty</math>
|Infinite continued fraction, not behaving predictable.
|अनंत निरंतर अंश, पूर्वानुमेय व्यवहार नहीं कर रहा है।
|The Liouville numbers are precisely those numbers having infinite irrationality measure.<ref name="bugeaud" />{{rp|248}}
|लिउविल संख्याएं स्पष्ट रूप से वे संख्याएं होती हैं जिनमें अनंत अपरिमेयता होती है:<ref name="bugeaud" />{{rp|248}}
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=== तर्कहीनता आधार ===
=== तर्कहीनता आधार ===


तर्कहीनता का आधार जे सोंडो द्वारा प्रस्तुत तर्कहीनता का एक उपाय है<ref>{{cite arXiv |last=Sondow |first=Jonathan |year=2004 |title=तर्कहीनता के उपाय, तर्कहीनता के आधार और जार्निक की एक प्रमेय|eprint=math/0406300}}</ref> लिउविल संख्या के लिए एक तर्कहीनता उपाय के रूप में। इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
अपरिमेयता का आधार जे. सोंडो द्वारा लिउविल संख्याओं के लिए एक अपरिमेयता माप के रूप में पेश की गई तर्कहीनता का एक उपाय है<ref>{{cite arXiv |last=Sondow |first=Jonathan |year=2004 |title=तर्कहीनता के उपाय, तर्कहीनता के आधार और जार्निक की एक प्रमेय|eprint=math/0406300}}</ref>इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है: मान लीजिए <math>\alpha </math> एक अपरिमेय संख्या है। यदि किसी <math> \varepsilon >0 </math> के गुण के साथ एक वास्तविक संख्या <math> \beta \geq 1 </math> उपस्थित है, तो एक धनात्मक पूर्णांक<math> q(\varepsilon)</math> है जैसे कि


होने देना <math>\alpha </math> एक अपरिमेय संख्या हो। यदि कोई वास्तविक संख्या मौजूद है <math> \beta \geq 1 </math> संपत्ति के साथ कि किसी के लिए <math> \varepsilon >0 </math>, एक सकारात्मक पूर्णांक है <math> q(\varepsilon)</math> ऐसा है कि
: <math> \left| \alpha-\frac{p}{q} \right| > \frac 1 {(\beta+\varepsilon)^q} \text{ for all integers } p,q \text{ with } q \geq q(\varepsilon) </math>,


: <math> \left| \alpha-\frac{p}{q} \right| > \frac 1 {(\beta+\varepsilon)^q} \text{ for all integers } p,q \text{ with } q \geq q(\varepsilon) </math>,
तब <math>\beta</math> को <math>\alpha</math> का अपरिमेय आधार कहा जाता है और इसे <math>\beta(\alpha)</math> के रूप में दर्शाया जाता है।


तब <math>\beta</math> का तर्कहीनता आधार कहा जाता है <math>\alpha</math> और के रूप में दर्शाया गया है <math>\beta(\alpha)</math>
यदि ऐसा कोई <math>\beta</math> उपस्थित नहीं है, तो <math>\alpha</math> को सुपर लिउविल संख्या कहा जाता है।
यदि ऐसा नहीं है <math>\beta</math> मौजूद है, तो <math>\alpha</math> सुपर लिउविल नंबर कहा जाता है।


'उदाहरण': श्रृंखला <math>\varepsilon_{2e}=1+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{4^{2^1}}+\frac{1}{8^{4^{2^1}}}+\frac{1}{16^{8^{4^{2^1}}}}+\frac{1}{32^{16^{8^{4^{2^1}}}}}+\ldots</math> एक सुपर लिउविल संख्या है, जबकि श्रृंखला <math>\tau_2 = \sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{^{n}2}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^{2^2}} + \frac{1}{2^{2^{2^2}}} + \frac{1}{2^{2^{2^{2^2}}}} + \ldots</math> अपरिमेयता आधार 2 के साथ एक लिउविल संख्या है। (<math>{^{b}a}</math> [[टेट्रेशन]] का प्रतिनिधित्व करता है।)
'उदाहरण': श्रृंखला <math>\varepsilon_{2e}=1+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{4^{2^1}}+\frac{1}{8^{4^{2^1}}}+\frac{1}{16^{8^{4^{2^1}}}}+\frac{1}{32^{16^{8^{4^{2^1}}}}}+\ldots</math> एक सुपर लिउविल संख्या है, जबकि श्रृंखला <math>\tau_2 = \sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{^{n}2}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^{2^2}} + \frac{1}{2^{2^{2^2}}} + \frac{1}{2^{2^{2^{2^2}}}} + \ldots</math> अपरिमेयता आधार 2 के साथ एक लिउविल संख्या है। (<math>{^{b}a}</math> [[टेट्रेशन]] का प्रतिनिधित्व करता है।)


== लिउविल नंबर और ट्रान्सेंडेंस ==
== लिउविल नंबर और ट्रान्सेंडेंस ==
यह स्थापित करना कि दी गई संख्या एक लिउविल संख्या है, दी गई संख्या को साबित करने के लिए एक उपयोगी उपकरण प्रदान करता है जो अनुवांशिक है। हालाँकि, प्रत्येक ट्रान्सेंडैंटल संख्या एक लिउविल संख्या नहीं है। प्रत्येक लिउविल संख्या के [[निरंतर अंश]] विस्तार की शर्तें अबाधित हैं; एक गिनती तर्क का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि बेशुमार रूप से कई पारलौकिक संख्याएँ होनी चाहिए जो लिउविल नहीं हैं। ई (गणितीय स्थिरांक) के स्पष्ट निरंतर अंश विस्तार का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि ई एक पारलौकिक संख्या का एक उदाहरण है जो लिउविल नहीं है। [[कर्ट महलर]] ने 1953 में सिद्ध किया कि पाई|{{pi}} ऐसा ही एक और उदाहरण है।<ref>The irrationality measure of {{pi}} does not exceed 7.6304, according to {{MathWorld |title=Irrationality Measure |urlname=IrrationalityMeasure}}</ref>
यह स्थापित करना कि दी गई संख्या एक लिउविल संख्या है, दी गई संख्या को सिद्ध करने के लिए एक उपयोगी उपकरण प्रदान करता है जो अनुवांशिक है। चूँकि , प्रत्येक पारलौकिक संख्या एक लिउविल संख्या नहीं है। प्रत्येक लिउविल संख्या के [[निरंतर अंश]] विस्तार की नियम अबाधित हैं; एक गिनती तर्क का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि अगणनीय रूप से कई पारलौकिक संख्याएँ होनी चाहिए जो लिउविल नहीं हैं। ई (गणितीय स्थिरांक) के स्पष्ट निरंतर अंश विस्तार का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि ई एक पारलौकिक संख्या का एक उदाहरण है जो लिउविल नहीं है। [[कर्ट महलर]] ने 1953 में सिद्ध किया कि {{pi}} ऐसा ही एक और उदाहरण है।<ref>The irrationality measure of {{pi}} does not exceed 7.6304, according to {{MathWorld |title=Irrationality Measure |urlname=IrrationalityMeasure}}</ref>
सबूत पहले अपरिमेय संख्या बीजगणितीय संख्याओं की एक संपत्ति स्थापित करके आगे बढ़ता है। यह संपत्ति अनिवार्य रूप से कहती है कि अपरिमेय बीजगणितीय संख्याओं को परिमेय संख्याओं द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित नहीं किया जा सकता है, जहां बड़े भाजक के लिए अच्छी तरह से अनुमानित स्थिति अधिक कठोर हो जाती है। एक लिउविल संख्या अपरिमेय है लेकिन इसमें यह गुण नहीं है, इसलिए यह बीजगणितीय नहीं हो सकता है और पारलौकिक होना चाहिए। निम्नलिखित [[लेम्मा (गणित)]] को आमतौर पर लिउविल के प्रमेय (डायोफैंटाइन सन्निकटन पर) के रूप में जाना जाता है, लिउविल के प्रमेय (बहुविकल्पी) के रूप में जाने जाने वाले कई परिणाम हैं। लिउविल का प्रमेय<!--intentional link to DAB page-->.
 
प्रमाण पहले अपरिमेय संख्या बीजगणितीय संख्याओं की एक संपत्ति स्थापित करके आगे बढ़ता है। यह संपत्ति अनिवार्य रूप से कहती है कि अपरिमेय बीजगणितीय संख्याओं को परिमेय संख्याओं द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित नहीं किया जा सकता है, जहां बड़े भाजक के लिए अच्छी तरह से अनुमानित स्थिति अधिक कठोर हो जाती है। एक लिउविल संख्या अपरिमेय है किंतु इसमें यह गुण नहीं है, इसलिए यह बीजगणितीय नहीं हो सकता है और पारलौकिक होना चाहिए। निम्नलिखित [[लेम्मा (गणित)]] को सामान्यतः लिउविल के प्रमेय (डायोफैंटाइन सन्निकटन पर) के रूप में जाना जाता है, वहाँ कई परिणाम लिउविल के प्रमेय के रूप में जाने जाते हैं।.


नीचे, हम दिखाएंगे कि कोई लिउविल संख्या बीजगणितीय नहीं हो सकती।
नीचे, हम दिखाएंगे कि कोई लिउविल संख्या बीजगणितीय नहीं हो सकती।


लेम्मा: यदि ''α'' एक अपरिमेय संख्या है जो पूर्णांक गुणांकों के साथ डिग्री ''n'' > 0 के इरेड्यूसिबल [[बहुपद]] ''f'' की जड़ है, तो एक वास्तविक संख्या ''A'' मौजूद है। 0 ऐसा है कि, सभी पूर्णांक ''p'', ''q'', ''q'' > 0 के साथ,
लेम्मा: यदि ''α'' एक अपरिमेय संख्या है जो पूर्णांक गुणांकों के साथ डिग्री ''n'' > 0 के इरेड्यूसिबल [[बहुपद]] ''f'' की जड़ है, तो एक वास्तविक संख्या ''A'' उपथित है। 0 ऐसा है कि, सभी पूर्णांक ''p'', ''q'', ''q'' > 0 के साथ,


: <math>  \left| \alpha - \frac{p}{q}  \right | > \frac{A}{q^n} </math>
: <math>  \left| \alpha - \frac{p}{q}  \right | > \frac{A}{q^n} </math>
लेम्मा का सबूत: मान लें कि ''एम'' का अधिकतम मूल्य है |''f'' ′(''x'')| ([[अंतराल (गणित)]] [''α'' − 1, ''α'' + 1] पर ''f'' के व्युत्पन्न का निरपेक्ष मान)। चलो ''α''<sub>1</sub>, <sub>2</sub>, ..., <sub>''m''</sub> f के विशिष्ट मूल हैं जो α से भिन्न हैं। कुछ मान A > 0 संतोषजनक चुनें
लेम्मा का प्रमाण : ''M'' को अधिकतम मान होने दें f '(x)( ''f'' के व्युत्पन्न का निरपेक्ष मान) [[अंतराल (गणित)|(गणित)]] [''α'' − 1, ''α'' + 1] पर। चलो ''α''<sub>1</sub>, ''α''<sub>2</sub>, ..., ''α<sub>m</sub>'' f के विशिष्ट मूल हैं जो α से भिन्न हैं। कुछ मान A > 0 संतोषजनक चुनें


: <math>A< \min \left(1, \frac{1}{M}, \left| \alpha - \alpha_1 \right|, \left| \alpha - \alpha_2 \right|, \ldots , \left| \alpha-\alpha_m \right| \right)  </math>
: <math>A< \min \left(1, \frac{1}{M}, \left| \alpha - \alpha_1 \right|, \left| \alpha - \alpha_2 \right|, \ldots , \left| \alpha-\alpha_m \right| \right)  </math>
अब मान लें कि लेम्मा के विपरीत कुछ पूर्णांक p, q मौजूद हैं। तब
अब मान लें कि लेम्मा के विपरीत कुछ पूर्णांक p, q उपथित हैं। तब


: <math>\left| \alpha - \frac{p}{q}\right| \le \frac{A}{q^n} \le A< \min\left(1, \frac{1}{M}, \left| \alpha - \alpha_1 \right|, \left|\alpha - \alpha_2 \right|, \ldots , \left| \alpha-\alpha_m \right| \right) </math>
: <math>\left| \alpha - \frac{p}{q}\right| \le \frac{A}{q^n} \le A< \min\left(1, \frac{1}{M}, \left| \alpha - \alpha_1 \right|, \left|\alpha - \alpha_2 \right|, \ldots , \left| \alpha-\alpha_m \right| \right) </math>
तब p/q अंतराल [α - 1, α + 1] में है; और p/q {α में नहीं है<sub>1</sub>, ए<sub>2</sub>, ..., ए<sub>''m''</sub>}, इसलिए p/q f का मूल नहीं है; और α और p/q के बीच f का कोई मूल नहीं है।
तब p/q अंतराल [α - 1, α + 1] में है; और p/q {α में नहीं है<sub>1</sub>, ए<sub>2</sub>, ..., ए<sub>''m''</sub>}, इसलिए p/q f का मूल नहीं है; और α और p/q के बीच f का कोई मूल नहीं है।


माध्य मान प्रमेय के अनुसार, एक x का अस्तित्व है<sub>0</sub> p/q और α के बीच ऐसा है कि
औसत मान प्रमेय के अनुसार, p/q और α के बीच एक x<sub>0</sub> उपस्थित है जैसे कि


: <math>f(\alpha)-f(\tfrac{p}{q}) = (\alpha - \frac{p}{q}) \cdot f'(x_0)</math>
: <math>f(\alpha)-f(\tfrac{p}{q}) = (\alpha - \frac{p}{q}) \cdot f'(x_0)</math>
चूंकि α f का मूल है लेकिन p/q नहीं है, हम देखते हैं कि |f '(x<sub>0</sub>)| > 0 और हम पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं:
चूंकि α f का मूल है किंतु p/q नहीं है, हम देखते हैं कि |f '(x<sub>0</sub>)| > 0 और हम पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं:


: <math>\left|\alpha -\frac{p}{q}\right |= \frac{\left | f(\alpha)- f(\tfrac{p}{q})\right |}{|f'(x_0)|} = \left | \frac{f(\tfrac{p}{q})}{f'(x_0)} \right |</math>
: <math>\left|\alpha -\frac{p}{q}\right |= \frac{\left | f(\alpha)- f(\tfrac{p}{q})\right |}{|f'(x_0)|} = \left | \frac{f(\tfrac{p}{q})}{f'(x_0)} \right |</math>
Line 421: Line 421:


: <math>\left|f \left (\frac{p}{q} \right) \right| = \left| \sum_{i=0}^n c_i p^i q^{-i} \right| = \frac{1}{q^n} \left| \sum_{i=0}^n c_i p^i q^{n-i} \right | \ge \frac {1}{q^n} </math>
: <math>\left|f \left (\frac{p}{q} \right) \right| = \left| \sum_{i=0}^n c_i p^i q^{-i} \right| = \frac{1}{q^n} \left| \sum_{i=0}^n c_i p^i q^{n-i} \right | \ge \frac {1}{q^n} </math>
अंतिम असमानता धारण करती है क्योंकि p/q f और c का मूल नहीं है<sub>''i''</sub> पूर्णांक हैं।
अंतिम असमानता धारण करती है क्योंकि p/q f का मूल नहीं है और c<sub>''i''</sub> पूर्णांक हैं।


इस प्रकार हमारे पास |f(p/q)| है ≥ 1/क्यू<sup>एन</sup>. चूँकि |f'(x<sub>0</sub>)| ≤ M, M की परिभाषा से, और 1/M > A, A की परिभाषा से, हमारे पास वह है
इस प्रकार हमारे पास |f(p/q)| है ≥ 1/''q<sup>n</sup>''. चूँकि |f'(x<sub>0</sub>)| ≤ M, M की परिभाषा से, और 1/M > A, A की परिभाषा से, हमारे पास वह है


: <math>\left | \alpha - \frac{p}{q} \right | = \left|\frac{f(\tfrac{p}{q})}{f'(x_0)}\right| \ge \frac{1}{Mq^n} > \frac{A}{q^n} \ge \left| \alpha - \frac{p}{q} \right|</math>
: <math>\left | \alpha - \frac{p}{q} \right | = \left|\frac{f(\tfrac{p}{q})}{f'(x_0)}\right| \ge \frac{1}{Mq^n} > \frac{A}{q^n} \ge \left| \alpha - \frac{p}{q} \right|</math>
जो एक विरोधाभास है; इसलिए, ऐसा कोई p, q मौजूद नहीं है; लेम्मा साबित करना।
जो एक विरोधाभास है; इसलिए, ऐसा कोई p, q उपथित नहीं है; लेम्मा सिद्ध करना।


'अभिकथन का प्रमाण:' इस लेम्मा के परिणामस्वरूप, मान लीजिए कि x एक लिउविल संख्या है; जैसा कि लेख पाठ में उल्लेख किया गया है, x तब अपरिमेय है। यदि x बीजगणितीय है, तो प्रमेयिका द्वारा, कुछ पूर्णांक n और कुछ धनात्मक वास्तविक A का अस्तित्व होता है जैसे कि सभी p, q के लिए
'अभिकथन का प्रमाण:' इस लेम्मा के परिणामस्वरूप, मान लीजिए कि x एक लिउविल संख्या है; जैसा कि लेख पाठ में उल्लेख किया गया है, x तब अपरिमेय है। यदि x बीजगणितीय है, तो प्रमेयिका द्वारा, कुछ पूर्णांक n और कुछ धनात्मक वास्तविक A का अस्तित्व होता है जैसे कि सभी p, q के लिए


: <math>  \left| x - \frac{p}{q}  \right|> \frac{A}{q^{n}} </math>
: <math>  \left| x - \frac{p}{q}  \right|> \frac{A}{q^{n}} </math>
आर को एक सकारात्मक पूर्णांक होने दें जैसे कि 1/(2<sup>r</sup>) ≤ A. यदि हम मान लें कि m = r + n, और चूँकि x एक लिउविल संख्या है, तो पूर्णांक a, b जहाँ b > 1 ऐसा मौजूद है
मान लीजिए कि r एक सकारात्मक पूर्णांक होने दें जैसे कि 1/(2<sup>r</sup>) ≤ A. यदि हम मान लें कि m = r + n, और चूँकि x एक लिउविल संख्या है, तो पूर्णांक a, b जहाँ b > 1 ऐसा उपथित है


: <math>\left|x-\frac ab\right|<\frac1{b^m}=\frac1{b^{r+n}}=\frac1{b^rb^n} \le \frac1{2^r}\frac1{b^n} \le \frac A{b^n} </math>
: <math>\left|x-\frac ab\right|<\frac1{b^m}=\frac1{b^{r+n}}=\frac1{b^rb^n} \le \frac1{2^r}\frac1{b^n} \le \frac A{b^n} </math>                                                              
जो लेम्मा के विपरीत है। इसलिए, यदि कोई लिउविल संख्या मौजूद है, तो यह बीजगणितीय नहीं हो सकती है, और इसलिए पारलौकिक होनी चाहिए।
जो लेम्मा के विपरीत है। इसलिए, यदि कोई लिउविल संख्या उपथित है, तो यह बीजगणितीय नहीं हो सकती है, और इसलिए पारलौकिक होनी चाहिए।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें                                                                                                 ==
* [[ब्रजुनो संख्या]]
* [[ब्रजुनो संख्या]]
* [[डायोफैंटाइन सन्निकटन]]
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{{Irrational number}}
{{Irrational number}}


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Latest revision as of 13:33, 1 May 2023

संख्या सिद्धांत में, एक लिउविल संख्या संपत्ति के साथ एक वास्तविक संख्या है,जो की प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक के लिए के साथ पूर्णांकों की एक जोड़ी उपथित है जैसे कि

लिउविल संख्याएं लगभग परिमेय संख्या हैं, और इस प्रकार परिमेय संख्याओं के अनुक्रमों द्वारा अधिक निकटता से अनुमान लगाया जा सकता है। वे स्पष्ट रूप से वे पारलौकिक संख्याएँ हैं जिन्हें परिमेय संख्याओं द्वारा किसी भी बीजगणितीय संख्या अपरिमेय संख्या की तुलना में अधिक स्पष्टता से अनुमानित किया जा सकता है। 1844 में, जोसेफ लिउविल ने दिखाया कि सभी लिउविल नंबर पारलौकिक हैं,[1] इस प्रकार पहली बार पारलौकिक संख्याओं के अस्तित्व की स्थापना की थी।[2]

यह ज्ञात है कि π और e लिउविल संख्या नहीं हैं।[3]

लिउविल संख्याओं का अस्तित्व (लिउविल का स्थिरांक)

लिउविल नंबरों को एक स्पष्ट निर्माण द्वारा अस्तित्व में दिखाया जा सकता है।

किसी भी पूर्णांक और पूर्णांकों के किसी भी अनुक्रम के लिए जैसे कि सभी के लिए और अनगिनत के लिए संख्या परिभाषित करें

विशेष स्थिति में जब , और सभी के लिए , परिणामी संख्या लिउविल का स्थिरांक कहा जाता है:

L = 0.110001000000000000000001000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000...

यह की परिभाषा से इस प्रकार है कि इसका आधार- प्रतिनिधित्व है

जहां वाँ पद वें स्थान पर है।

चूंकि यह आधार- प्रतिनिधित्व गैर-दोहराव है, यह इस प्रकार है कि एक परिमेय संख्या नहीं है। इसलिए, किसी भी परिमेय संख्या के लिए, हमारे पास है।

अब, किसी पूर्णांक के लिए, और को निम्नानुसार परिभाषित करें:

तब
इसलिए, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि ऐसा कोई भी एक लिउविल संख्या है।

प्रमाण पर नोट्स

  1. असमानता अनुसरण करता है क्योंकि ak ∈ {0, 1, 2, …, b−1} सभी k के लिए, इसलिए अधिक से अधिक ak = b−1. । सबसे बड़ा संभव योग होगा यदि पूर्णांकों का अनुक्रम (a1, a2, …) (b−1, b−1, ...), जिससे ak = b−1. सभी k के लिए था। इस प्रकार इस सबसे बड़ी संभव राशि से कम या उसके समान होगा।
  2. शसक्त असमानता श्रृंखला (गणित) को समाप्त करने के लिए इसे एक श्रृंखला में कम करने के लिए हमारी प्रेरणा से अनुसरण करता है जिसके लिए हम एक सूत्र जानते हैं। अब तक के प्रमाण में 1. में असमानता का परिचय देने का उद्देश्य अंतर्ज्ञान से आता है कि (ज्यामितीय श्रृंखला सूत्र); इसलिए, यदि हम से एक असमानता पा सकते हैं जो अंश में (b−1) के साथ एक श्रृंखला का परिचय देता है, और यदि हम भाजक शब्द को और कम करने के लिए काम कर सकते हैं को , साथ ही श्रृंखला सूचकांकों को 0 से , तब हम श्रृंखला और (b−1) दोनों पदों को हटाने में सक्षम होंगे, जिससे हम रूप के एक अंश के समीप पहुंचेंगे , जो प्रमाण का अंतिम लक्ष्य है। हम इस प्रेरणा को यहाँ अब योग से चुनकर आगे बढ़ा रहे हैं एक आंशिक योग। ध्यान दें कि, किसी भी पद के लिए , चूँकि b ≥ 2, तब , सभी k के लिए (जब n = 1 को छोड़कर)। इसलिए, (चूंकि, भले ही n=1, बाद की सभी नियम छोटी हों)। सूचकांकों में हेरफेर करने के लिए जिससे k 0 से प्रारंभ हो, हम अंदर से एक आंशिक योग का चयन करते हैं (कुल मान से भी कम है क्योंकि यह एक ऐसी श्रृंखला का आंशिक योग है जिसके सभी पद धनात्मक हैं)। हम k = (n+1) से प्रारंभ करके गठित आंशिक योग का चयन करेंगे! जो k = 0 के साथ एक नई श्रृंखला लिखने के लिए हमारी प्रेरणा से अनुसरण करता है, अर्थात यह ध्यान में रखते हुए ..
  3. अंतिम असमानता के लिए हमने इस विशेष असमानता को चुना है (सत्य है क्योंकि b ≥ 2, जहाँ समानता का पालन होता है यदि और केवल यदि n = 1) क्योंकि हम को किसी रूप में बदलना चाहते हैं यह विशेष असमानता हमें (n+1) को खत्म करने की अनुमति देता है! और अंश, संपत्ति का उपयोग करके कि (n+1)! – n! = (n!)n, इस प्रकार प्रतिस्थापन के लिए हर को आदर्श रूप में रखना है ।

तर्कहीनता

यहां हम दिखाएंगे कि संख्या जहां c और d पूर्णांक हैं और लिउविल संख्या को परिभाषित करने वाली असमानताओं को संतुष्ट नहीं कर सकते। चूँकि प्रत्येक परिमेय संख्या को के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है, हम सिद्ध कर चुके होंगे कि कोई लिउविल संख्या परिमेय नहीं हो सकती है ।

विशेष रूप से, हम दिखाते हैं कि किसी धनात्मक पूर्णांक n के लिए इतना बड़ा कि समतुल्य रूप से, किसी धनात्मक पूर्णांक के लिए , पूर्णांकों की कोई भी जोड़ी उपस्थित नहीं है जो एक साथ ब्रैकेटिंग असमानताओं की जोड़ी को संतुष्ट करती है

यदि दावा सत्य है, तो वांछित निष्कर्ष अनुसरण करता है।

मान लीजिए p और q के साथ कोई पूर्णांक हैं तो हमारे पास है

यदि तब हमारे पास होगा

इसका अर्थ है कि पूर्णांकों की ऐसी जोड़ी लिउविल संख्या की परिभाषा में पहली असमानता का उल्लंघन करेगी, चाहे n का कोई भी विकल्प हो। यदि, दूसरी ओर, चूँकि तब, चूँकि एक पूर्णांक है, हम तीव्र असमानता पर जोर दे सकते हैं इससे यह पता चलता है कि

अब किसी पूर्णांक के लिए उपरोक्त अंतिम असमानता का तात्पर्य है

इसलिए, स्थिति में पूर्णांकों की ऐसी जोड़ी उल्लंघन करेगी किसी धनात्मक पूर्णांक n के लिए लिउविल संख्या की परिभाषा में दूसरी असमानता है ।

हम निष्कर्ष निकालते हैं कि के साथ पूर्णांकों की कोई जोड़ी नहीं है जो इस तरह के एक लिउविल संख्या के रूप में। इसलिए एक लिउविल संख्या, यदि यह उपस्थित है, तर्कसंगत नहीं हो सकती है ।

(लिउविल के स्थिरांक पर अनुभाग यह सिद्ध करता है कि एक के निर्माण को प्रदर्शित करके लिउविल संख्याएं उपस्थित हैं। इस खंड में दिए गए प्रमाण का अर्थ है कि यह संख्या अपरिमेय होनी चाहिए।)

बेशुमारता

उदाहरण के लिए, संख्या पर विचार करें

3.1400010000000000000000050000....

3.14(3 शून्य)1(17 शून्य)5(95 शून्य)9(599 शून्य)2(4319 शून्य)6...

जहां स्थिति n! को छोड़कर अंक शून्य हैं जहां अंक π के दशमलव विस्तार में दशमलव बिंदु के बाद n वें अंक के समान होता है।

जैसा कि लिउविले संख्याओं (लिउविल का स्थिरांक) के अस्तित्व पर अनुभाग में दिखाया गया है, यह संख्या, साथ ही इसके गैर-शून्य अंकों के साथ समान रूप से स्थित कोई अन्य गैर-समाप्ति दशमलव, लिउविल संख्या की परिभाषा को संतुष्ट करता है। चूंकि गैर-शून्य अंकों के सभी अनुक्रमों के समूह में सातत्य की प्रमुखता होती है, वही बात सभी लिउविल संख्याओं के समूह के साथ होती है।

इसके अतिरिक्त , लिउविल संख्याएं वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का एक सघन समुच्चय बनाती हैं।

लिउविल संख्या और माप

माप सिद्धांत के दृष्टिकोण से, सभी लिउविल संख्याओं का समुच्चय छोटा है। अधिक स्पष्ट रूप से, इसका लेबेस्गु उपाय, , शून्य है। दिया गया प्रमाण जॉन सी. ओक्सटॉबी के कुछ विचारों का अनुसरण करता है।[4]: 8 

सकारात्मक पूर्णांकों के लिए और तय करना:

अपने पास

ध्यान दें कि प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक के लिए और , हमारे पास भी है

तब से

और अपने पास

अब

और यह इस प्रकार है कि प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक , के लिए लेबेस्ग माप शून्य है। नतीजतन, इसलिए इसके विपरीत, सभी वास्तविक पारलौकिक संख्याओं के समूह का लेबेस्ग माप अनंत है (चूंकि बीजगणितीय संख्याओं का समूह एक शून्य समूह है)।

लिउविल संख्याओं के समुच्चय की संरचना

प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक के लिए n, तय करना

सभी लिउविल संख्याओं के समुच्चय को इस प्रकार लिखा जा सकता है

प्रत्येक एक खुला समूह है; चूंकि इसके बंद होने में सभी परिमेय प्रत्येक छिद्रित अंतराल से) सम्मिलित हैं, यह वास्तविक रेखा का एक सघन उपसमुच्चय भी है। चूँकि यह कई ऐसे खुले सघन समूहों का प्रतिच्छेदन है, L कमएग्रे है, अर्थात यह एक सघन Gδ समुच्चय है।

तर्कहीनता माप

वास्तविक संख्या का लिउविल-रोथ अपरिमेयता माप (तर्कहीनता प्रतिपादक, सन्निकटन प्रतिपादक, या लिउविल-रोथ स्थिरांक) इस बात का एक माप है कि इसे परिमेय द्वारा "निकटता से" कैसे अनुमानित किया जा सकता है। लिउविल संख्याओं की परिभाषा को सामान्यीकृत करते हुए, की शक्ति में किसी भी की अनुमति देने के अतिरिक्त , हम के लिए सबसे बड़ा संभव मान पाते हैं जैसे कि , के साथ अनंत संख्या में कोप्राइम पूर्णांक जोड़े से संतुष्ट है। के इस अधिकतम मान को के अपरिमेयता माप के रूप में परिभाषित किया गया है। [5]: 246   इस ऊपरी सीमा से कम के किसी भी मान के लिए, उपरोक्त असमानता को संतुष्ट करने वाले सभी परिमेय के अनंत समूह से का एक सन्निकटन प्राप्त होता है। इसके विपरीत, यदि ऊपरी सीमा से अधिक है, तो अधिक से अधिक सूक्ष्म रूप से कई हैं जो असमानता को संतुष्ट करते हैं; इस प्रकार, विपरीत असमानता के सभी बड़े मान के लिए प्रयुक्त होती है। दूसरे शब्दों में, एक वास्तविक संख्या का अपरिमेयता माप दिया गया है, जब भी एक परिमेय सन्निकटन स्पष्ट दशमलव अंक देता है, हमारे पास है

किसी भी के लिए, "सौभाग्यशाली" जोड़े की सीमित संख्या को छोड़कर।

डिरिचलेट के सन्निकटन प्रमेय के परिणामस्वरूप प्रत्येक अपरिमेय संख्या में अपरिमेयता माप कम से कम 2 होता है। दूसरी ओर, बोरेल-कैंटेली लेम्मा के एक अनुप्रयोग से पता चलता है कि लगभग सभी संख्याओं में 2 के समान एक अपरिमेयता माप होती है।[5]: 246 

नीचे कुछ संख्याओं की अपरिमेयता मापों के लिए ज्ञात ऊपरी और निचली सीमाओं की तालिका दी गई है।

संख्या तर्कहीनता

उपाय

सरल निरंतर अंश

टिप्पणियाँ
निम्न परिबंध ऊपरी परिबंध
तर्कसंगत संख्या जहाँ और 1 परिमित निरंतर अंश। हर तर्कसंगत संख्या ठीक 1 का अपरिमेयता माप है।.

उदाहरणों में 1, 2 और 0.5 सम्मिलित हैं

अपरिमेय बीजगणितीय संख्या

𝑎

2 अनंत निरंतर अंश। आवधिक यदि द्विघात अपरिमेय है। थू-सीगल-रोथ प्रमेय द्वारा किसी भी अपरिमेय बीजगणितीय संख्या की अपरिमेयता माप बिल्कुल 2 है। उदाहरणों में वर्गमूल सम्मिलित हैं जैसे and और सुनहरा अनुपात .
2 अनंत निरंतर अंश। यदि एक अपरिमेय संख्या के निरंतर अंश विस्तार के तत्व सकारात्मक और के लिए को संतुष्ट करते हैं तो अपरिमेयता माप है।

उदाहरणों में या सम्मिलित हैं जहां निरंतर भिन्न अनुमानित रूप से व्यवहार करते हैं:

और

2
2
[6][7] 2 2.49846... अनंत निरंतर अंश। , एक - हार्मोनिक श्रृंखला है .
[6][8] 2 2.93832... , एक -लघुगणक है .
[6][8] 2 3.76338... ,
[6][9] 2 3.57455...
[6][10] 2 5.11620...
[6] 2 5.51389...
and [6][11] 2 5.09541... and

और पर रैखिक रूप से पर आश्रित हैं .
[6][12] 2 7.10320... यह सिद्ध हो चुका है कि यदि श्रृंखला (जहाँ n रेडियंस में है) अभिसरण करता है, तो का तर्कहीनता माप अधिकतम 2.5 है;[13][14] और यदि यह विचलन करता है, तो अपरिमेयता माप कम से कम 2.5 है।[15]
[16] 2 6.09675... रूप का है
[17] 2 4.788...
[17] 2 6.24...
[17] 2 4.076...
[17] 2 4.595...
[17] 2 5.793... रूप का है
[17] 2 3.673...
[17] 2 3.068...
[18][19] 2 4.60105... रूप का है
[19] 2 3.94704...
[19] 2 3.76069...
[19] 2 3.66666...
[19] 2 3.60809...
[19] 2 3.56730...
[19] 2 6.64610... रूप का है
[19] 2 5.82337...
[19] 2 3.51433...
[19] 2 5.45248...
[19] 2 3.47834...
[19] 2 5.23162...
[19] 2 3.45356...
[19] 2 5.08120...
[19] 2 3.43506...
[17] 4.5586... and
[17] 6.1382... and
[17] 59.976...
[20] 2 4 अनंत निरंतर अंश। जहाँ थ्यू-मोर्स अनुक्रम का n-वाँ पद है
Champernowne constants in base [21] अनंत निरंतर अंश। उदाहरणों में सम्मिलित
Liouville numbers अनंत निरंतर अंश, पूर्वानुमेय व्यवहार नहीं कर रहा है। लिउविल संख्याएं स्पष्ट रूप से वे संख्याएं होती हैं जिनमें अनंत अपरिमेयता होती है:[5]: 248 


तर्कहीनता आधार

अपरिमेयता का आधार जे. सोंडो द्वारा लिउविल संख्याओं के लिए एक अपरिमेयता माप के रूप में पेश की गई तर्कहीनता का एक उपाय है[22]। इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है: मान लीजिए एक अपरिमेय संख्या है। यदि किसी के गुण के साथ एक वास्तविक संख्या उपस्थित है, तो एक धनात्मक पूर्णांक है जैसे कि

,

तब को का अपरिमेय आधार कहा जाता है और इसे के रूप में दर्शाया जाता है।

यदि ऐसा कोई उपस्थित नहीं है, तो को सुपर लिउविल संख्या कहा जाता है।

'उदाहरण': श्रृंखला एक सुपर लिउविल संख्या है, जबकि श्रृंखला अपरिमेयता आधार 2 के साथ एक लिउविल संख्या है। ( टेट्रेशन का प्रतिनिधित्व करता है।)

लिउविल नंबर और ट्रान्सेंडेंस

यह स्थापित करना कि दी गई संख्या एक लिउविल संख्या है, दी गई संख्या को सिद्ध करने के लिए एक उपयोगी उपकरण प्रदान करता है जो अनुवांशिक है। चूँकि , प्रत्येक पारलौकिक संख्या एक लिउविल संख्या नहीं है। प्रत्येक लिउविल संख्या के निरंतर अंश विस्तार की नियम अबाधित हैं; एक गिनती तर्क का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि अगणनीय रूप से कई पारलौकिक संख्याएँ होनी चाहिए जो लिउविल नहीं हैं। ई (गणितीय स्थिरांक) के स्पष्ट निरंतर अंश विस्तार का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि ई एक पारलौकिक संख्या का एक उदाहरण है जो लिउविल नहीं है। कर्ट महलर ने 1953 में सिद्ध किया कि π ऐसा ही एक और उदाहरण है।[23]

प्रमाण पहले अपरिमेय संख्या बीजगणितीय संख्याओं की एक संपत्ति स्थापित करके आगे बढ़ता है। यह संपत्ति अनिवार्य रूप से कहती है कि अपरिमेय बीजगणितीय संख्याओं को परिमेय संख्याओं द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित नहीं किया जा सकता है, जहां बड़े भाजक के लिए अच्छी तरह से अनुमानित स्थिति अधिक कठोर हो जाती है। एक लिउविल संख्या अपरिमेय है किंतु इसमें यह गुण नहीं है, इसलिए यह बीजगणितीय नहीं हो सकता है और पारलौकिक होना चाहिए। निम्नलिखित लेम्मा (गणित) को सामान्यतः लिउविल के प्रमेय (डायोफैंटाइन सन्निकटन पर) के रूप में जाना जाता है, वहाँ कई परिणाम लिउविल के प्रमेय के रूप में जाने जाते हैं।.

नीचे, हम दिखाएंगे कि कोई लिउविल संख्या बीजगणितीय नहीं हो सकती।

लेम्मा: यदि α एक अपरिमेय संख्या है जो पूर्णांक गुणांकों के साथ डिग्री n > 0 के इरेड्यूसिबल बहुपद f की जड़ है, तो एक वास्तविक संख्या A उपथित है। 0 ऐसा है कि, सभी पूर्णांक p, q, q > 0 के साथ,

लेम्मा का प्रमाण : M को अधिकतम मान होने दें f '(x)( f के व्युत्पन्न का निरपेक्ष मान) (गणित) [α − 1, α + 1] पर। चलो α1, α2, ..., αm f के विशिष्ट मूल हैं जो α से भिन्न हैं। कुछ मान A > 0 संतोषजनक चुनें

अब मान लें कि लेम्मा के विपरीत कुछ पूर्णांक p, q उपथित हैं। तब

तब p/q अंतराल [α - 1, α + 1] में है; और p/q {α में नहीं है1, ए2, ..., एm}, इसलिए p/q f का मूल नहीं है; और α और p/q के बीच f का कोई मूल नहीं है।

औसत मान प्रमेय के अनुसार, p/q और α के बीच एक x0 उपस्थित है जैसे कि

चूंकि α f का मूल है किंतु p/q नहीं है, हम देखते हैं कि |f '(x0)| > 0 और हम पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं:

अब, f रूप का है ci xi जहां प्रत्येक ci एक पूर्णांक है; इसलिए हम |f(p/q)| व्यक्त कर सकते हैं जैसा

अंतिम असमानता धारण करती है क्योंकि p/q f का मूल नहीं है और ci पूर्णांक हैं।

इस प्रकार हमारे पास |f(p/q)| है ≥ 1/qn. चूँकि |f'(x0)| ≤ M, M की परिभाषा से, और 1/M > A, A की परिभाषा से, हमारे पास वह है

जो एक विरोधाभास है; इसलिए, ऐसा कोई p, q उपथित नहीं है; लेम्मा सिद्ध करना।

'अभिकथन का प्रमाण:' इस लेम्मा के परिणामस्वरूप, मान लीजिए कि x एक लिउविल संख्या है; जैसा कि लेख पाठ में उल्लेख किया गया है, x तब अपरिमेय है। यदि x बीजगणितीय है, तो प्रमेयिका द्वारा, कुछ पूर्णांक n और कुछ धनात्मक वास्तविक A का अस्तित्व होता है जैसे कि सभी p, q के लिए

मान लीजिए कि r एक सकारात्मक पूर्णांक होने दें जैसे कि 1/(2r) ≤ A. यदि हम मान लें कि m = r + n, और चूँकि x एक लिउविल संख्या है, तो पूर्णांक a, b जहाँ b > 1 ऐसा उपथित है

जो लेम्मा के विपरीत है। इसलिए, यदि कोई लिउविल संख्या उपथित है, तो यह बीजगणितीय नहीं हो सकती है, और इसलिए पारलौकिक होनी चाहिए।

यह भी देखें

संदर्भ

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बाहरी संबंध