बटालिन-विलकोविस्की औपचारिकता

सैद्धांतिक भौतिकी में, बटालिन-विल्कोविस्की (बीवी) औपचारिकता (इगोर बटलिन और ग्रिगोरी विलकोविस्की के नाम पर) को गुरुत्वाकर्षण और अतिगुरुत्वाकर्षण जैसे लैग्रैंगियन गेज सिद्धांतों के लिए फैडीव-पोपोव भूत संरचना का निर्धारण करने के लिए विधि के रूप में विकसित किया गया था, जिसका संबंधित हैमिल्टनियन औपचारिकता है झूठ बीजगणित से संबंधित बाधाएं नहीं हैं (यानी, झूठ बीजगणित संरचना स्थिरांक की भूमिका अधिक सामान्य संरचना कार्यों द्वारा निभाई जाती है)। क्रिया (भौतिकी) पर आधारित बीवी औपचारिकता, जिसमें फील्ड (भौतिकी) और एंटीफिल्ड दोनों शामिल हैं, को यांग-मिल्स सिद्धांत के लिए मूल बीआरएसटी औपचारिकता के विशाल सामान्यीकरण के रूप में माना जा सकता है। लिखित। बटालिन-विलकोविस्की औपचारिकता के लिए अन्य नाम फ़ील्ड-एंटीफिल्ड औपचारिकता, लाग्रैंगियन बीआरएसटी औपचारिकता, या बीवी-बीआरएसटी औपचारिकता हैं। इसे बटालिन-फ्राडकिन-विलकोविस्की औपचारिकता के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। बटालिन-फ्राडकिन-विलकोविस्की (बीएफवी) औपचारिकता, जो हैमिल्टनियन समकक्ष है।

बटालिन-विलकोविस्की बीजगणित

गणित में, बटालिन-विलकोविस्की बीजगणित ग्रेडेड बीजगणित सुपरकॉम्यूटेटिव बीजगणित है (एक इकाई 1 के साथ) दूसरे क्रम के निलपोटेंट ऑपरेटर Δ की डिग्री -1 के साथ। अधिक सटीक रूप से, यह पहचानों को संतुष्ट करता है

• $|ab|=|a|+|b|$ (उत्पाद की डिग्री 0 है)
• $|\Delta (a)|=|a|-1$ (Δ के पास डिग्री -1 है)
• $(ab)c=a(bc)$ (उत्पाद साहचर्य है)
• $ab=(-1)^{|a||b|}ba$ (उत्पाद (सुपर-) क्रमविनिमेय है)
• $\Delta ^{2}=0$ (निर्बलता (क्रम 2 का))
• $\Delta (abc)-\Delta (ab)c+\Delta (a)bc-(-1)^{|a|}a\Delta (bc)-(-1)^{(|a|+1)|b|}b\Delta (ac)+(-1)^{|a|}a\Delta (b)c+(-1)^{|a|+|b|}ab\Delta (c)-\Delta (1)abc=0$(Δ ऑपरेटर दूसरे क्रम का है)

एक को अक्सर सामान्यीकरण की भी आवश्यकता होती है:

• $\Delta (1)=0$ (सामान्यीकरण)

एंटीब्रैकेट

एक बटालिन-विलकोविस्की बीजगणित गेरस्टेनहेबर बीजगणित बन जाता है यदि कोई गेरस्टेनहैबर बीजगणित को परिभाषित करता है

$(a,b):=(-1)^{\left|a\right|}\Delta (ab)-(-1)^{\left|a\right|}\Delta (a)b-a\Delta (b)+a\Delta (1)b.$

जेरस्टेनहैबर ब्रैकेट के अन्य नाम बटिन ब्रैकेट, एंटीब्रैकेट, या अजीब पॉसॉन ब्रैकेट हैं। एंटीब्रैकेट संतुष्ट करता है

• $|(a,b)|=|a|+|b|-1$ (प्रतिकोष्ठक (,) की डिग्री -1 है)
• $(a,b)=-(-1)^{(|a|+1)(|b|+1)}(b,a)$ (तिरछा सममित)
• $(-1)^{(|a|+1)(|c|+1)}(a,(b,c))+(-1)^{(|b|+1)(|a|+1)}(b,(c,a))+(-1)^{(|c|+1)(|b|+1)}(c,(a,b))=0$ (जैकोबी पहचान)
• $(ab,c)=a(b,c)+(-1)^{|a||b|}b(a,c)$ (पोइसन संपत्ति; लीबनिज नियम)

विषम लाप्लासियन

सामान्यीकृत ऑपरेटर के रूप में परिभाषित किया गया है

${\Delta }_{\rho }:=\Delta -\Delta (1).$

इसे अक्सर विषम लाप्लासियन कहा जाता है, विशेष रूप से विषम पॉसों ज्यामिति के संदर्भ में। यह एंटीब्रैकेट को अलग करता है

• ${\Delta }_{\rho }(a,b)=({\Delta }_{\rho }(a),b)-(-1)^{\left|a\right|}(a,{\Delta }_{\rho }(b))$ ( ${\Delta }_{\rho }$ h> ऑपरेटर अंतर करता है (,))

चौराहा ${\Delta }_{\rho }^{2}=(\Delta (1),\cdot )$ सामान्यीकृत की ${\Delta }_{\rho }$ ऑपरेटर विषम हैमिल्टनियन Δ(1) के साथ हैमिल्टनियन वेक्टर फ़ील्ड है

• ${\Delta }_{\rho }^{2}(ab)={\Delta }_{\rho }^{2}(a)b+a{\Delta }_{\rho }^{2}(b)$ (लीबनिज नियम)

जिसे मॉड्यूलर वेक्टर फील्ड के रूप में भी जाना जाता है। सामान्यीकरण मानकर Δ(1)=0, विषम लाप्लासियन ${\Delta }_{\rho }$ केवल Δ संचालिका है, और मॉड्यूलर सदिश क्षेत्र है ${\Delta }_{\rho }^{2}$ गायब हो जाता है।

== नेस्टेड कम्यूटेटर == के संदर्भ में कॉम्पैक्ट फॉर्मूलेशन यदि कोई बाएं गुणन संकारक का परिचय देता है $L_{a}$ जैसा

$L_{a}(b):=ab,$

और supercommutator [,] के रूप में

$[S,T]:=ST-(-1)^{\left|S\right|\left|T\right|}TS$

दो मनमानी ऑपरेटरों एस और टी के लिए, फिर एंटीब्रैकेट की परिभाषा को संक्षिप्त रूप से लिखा जा सकता है

$(a,b):=(-1)^{\left|a\right|}[[\Delta ,L_{a}],L_{b}]1,$

और Δ के लिए दूसरे क्रम की स्थिति को संक्षेप में लिखा जा सकता है

$[[[\Delta ,L_{a}],L_{b}],L_{c}]1=0$ (Δ ऑपरेटर दूसरे क्रम का है)

जहां यह समझा जाता है कि प्रासंगिक ऑपरेटर इकाई तत्व 1 पर कार्य करता है। दूसरे शब्दों में, $[\Delta ,L_{a}]$ प्रथम-क्रम (affine) ऑपरेटर है, और $[[\Delta ,L_{a}],L_{b}]$ शून्य-क्रम ऑपरेटर है।

मास्टर समीकरण

बटालिन-विलकोविस्की बीजगणित के समान डिग्री तत्व एस (जिसे क्रिया (भौतिकी) कहा जाता है) के लिए शास्त्रीय मास्टर समीकरण समीकरण है

$(S,S)=0.$

बैटलिन-विलकोविस्की बीजगणित के सम अंश तत्व W के लिए क्वांटम मास्टर समीकरण समीकरण है

$\Delta \exp \left[{\frac {i}{\hbar }}W\right]=0,$

या समकक्ष,

${\frac {1}{2}}(W,W)=i\hbar {\Delta }_{\rho }(W)+\hbar ^{2}\Delta (1).$

सामान्यीकरण मानकर Δ(1) = 0, क्वांटम मास्टर समीकरण पढ़ता है

${\frac {1}{2}}(W,W)=i\hbar \Delta (W).$

सामान्यीकृत बीवी बीजगणित

सामान्यीकृत बीवी बीजगणित की परिभाषा में, Δ के लिए दूसरे क्रम की धारणा को हटा दिया जाता है। इसके बाद डिग्री -1 के उच्च कोष्ठकों के अनंत पदानुक्रम को परिभाषित किया जा सकता है

$\Phi ^{n}(a_{1},\ldots ,a_{n}):=\underbrace {[[\ldots [\Delta ,L_{a_{1}}],\ldots ],L_{a_{n}}]} _{n~{\rm {nested~commutators}}}1.$

कोष्ठक (वर्गीकृत) सममित हैं

$\Phi ^{n}(a_{\pi (1)},\ldots ,a_{\pi (n)})=(-1)^{\left|a_{\pi }\right|}\Phi ^{n}(a_{1},\ldots ,a_{n})$ (सममित कोष्ठक)

कहाँ $\pi \in S_{n}$ क्रमचय है, और $(-1)^{\left|a_{\pi }\right|}$ क्रमपरिवर्तन का कोज़ुल चिह्न है

$a_{\pi (1)}\ldots a_{\pi (n)}=(-1)^{\left|a_{\pi }\right|}a_{1}\ldots a_{n}$.

कोष्ठक होमोटॉपी लाइ बीजगणित का गठन करते हैं, जिसे के रूप में भी जाना जाता है $L_{\infty }$ बीजगणित, जो सामान्यीकृत जैकोबी सर्वसमिकाओं को संतुष्ट करता है

$\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!(n\!-\!k)!}}\sum _{\pi \in S_{n}}(-1)^{\left|a_{\pi }\right|}\Phi ^{n-k+1}\left(\Phi ^{k}(a_{\pi (1)},\ldots ,a_{\pi (k)}),a_{\pi (k+1)},\ldots ,a_{\pi (n)}\right)=0.$ (सामान्यीकृत जैकोबी पहचान)

पहले कुछ कोष्ठक हैं:

• $\Phi ^{0}:=\Delta (1)$ (शून्य-कोष्ठक)
• $\Phi ^{1}(a):=[\Delta ,L_{a}]1=\Delta (a)-\Delta (1)a=:{\Delta }_{\rho }(a)$ (एक-कोष्ठक)
• $\Phi ^{2}(a,b):=[[\Delta ,L_{a}],L_{b}]1=:(-1)^{\left|a\right|}(a,b)$ (दो कोष्ठक)
• $\Phi ^{3}(a,b,c):=[[[\Delta ,L_{a}],L_{b}],L_{c}]1$ (तीन कोष्ठक)
• $\vdots$

विशेष रूप से, एक-कोष्ठक $\Phi ^{1}={\Delta }_{\rho }$ विषम लाप्लासियन है, और दो-कोष्ठक है $\Phi ^{2}$ चिह्न तक का प्रतिकोष्ठक है। पहली कुछ सामान्यीकृत जैकोबी पहचानें हैं:

• $\Phi ^{1}(\Phi ^{0})=0$ ($\Delta (1)$ है $\Delta _{\rho }$-बंद किया हुआ)
• $\Phi ^{2}(\Phi ^{0},a)+\Phi ^{1}\left(\Phi ^{1}(a)\right)$ ($\Delta (1)$ मॉड्यूलर वेक्टर क्षेत्र के लिए हैमिल्टनियन है ${\Delta }_{\rho }^{2}$)
• $\Phi ^{3}(\Phi ^{0},a,b)+\Phi ^{2}\left(\Phi ^{1}(a),b\right)+(-1)^{|a|}\Phi ^{2}\left(a,\Phi ^{1}(b)\right)+\Phi ^{1}\left(\Phi ^{2}(a,b)\right)=0$ ( ${\Delta }_{\rho }$ h> ऑपरेटर अंतर करता है (,) सामान्यीकृत)
• $\Phi ^{4}(\Phi ^{0},a,b,c)+{\rm {Jac}}(a,b,c)+\Phi ^{1}\left(\Phi ^{3}(a,b,c)\right)+\Phi ^{3}\left(\Phi ^{1}(a),b,c\right)+(-1)^{\left|a\right|}\Phi ^{3}\left(a,\Phi ^{1}(b),c\right)+(-1)^{\left|a\right|+\left|b\right|}\Phi ^{3}\left(a,b,\Phi ^{1}(c)\right)=0$ (सामान्यीकृत जैकोबी पहचान)
• $\vdots$

जहां जैकबिएटर दो-कोष्ठक के लिए है $\Phi ^{2}$ परिभाषित किया जाता है

${\rm {Jac}}(a_{1},a_{2},a_{3}):={\frac {1}{2}}\sum _{\pi \in S_{3}}(-1)^{\left|a_{\pi }\right|}\Phi ^{2}\left(\Phi ^{2}(a_{\pi (1)},a_{\pi (2)}),a_{\pi (3)}\right).$

बी.वी. n-बीजगणित

Δ संचालिका 'n'वें क्रम' की परिभाषा के अनुसार है यदि और केवल यदि (n + 1)-कोष्ठक $\Phi ^{n+1}$ गायब हो जाता है। उस स्थिति में, कोई BV n-बीजगणित की बात करता है। इस प्रकार BV 2-बीजगणित परिभाषा के अनुसार केवल BV बीजगणित है। जैकबिएटर ${\rm {Jac}}(a,b,c)=0$ बीवी बीजगणित के भीतर गायब हो जाता है, जिसका अर्थ है कि यहां एंटीब्रैकेट जैकोबी पहचान को संतुष्ट करता है। BV 1-बीजगणित जो सामान्यीकरण Δ(1) = 0 को संतुष्ट करता हैअंतर वर्गीकृत बीजगणित बीजगणित के समान है। डिफरेंशियल ग्रेडेड बीजगणित (DGA) डिफरेंशियल Δ के साथ। बीवी 1-बीजगणित में लुप्त एंटीब्रैकेट है।

मात्रा घनत्व के साथ विषम पोइसन कई गुना

एक विषम पोइसन द्वि-वेक्टर के साथ (n | n) supermanifold दिया जाए $\pi ^{ij}$ और बेरेज़िन आयतन घनत्व $\rho$, जिसे क्रमशः पी-संरचना और एस-संरचना के रूप में भी जाना जाता है। स्थानीय निर्देशांक कहलाने दें $x^{i}$. डेरिवेटिव चलो $\partial _{i}f$ और

$f{\stackrel {\leftarrow }{\partial }}_{i}:=(-1)^{\left|x^{i}\right|(|f|+1)}\partial _{i}f$

फ़ंक्शन f wrt के सही व्युत्पन्न और दाएँ डेरिवेटिव को निरूपित करें। $x^{i}$, क्रमश। विषम प्वासों द्वि-वेक्टर $\pi ^{ij}$ अधिक सटीक रूप से संतुष्ट करता है

• $\left|\pi ^{ij}\right|=\left|x^{i}\right|+\left|x^{j}\right|-1$ (विषम पोइसन संरचना की डिग्री -1 है)
• $\pi ^{ji}=-(-1)^{(\left|x^{i}\right|+1)(\left|x^{j}\right|+1)}\pi ^{ij}$ (तिरछा सममित)
• $(-1)^{(\left|x^{i}\right|+1)(\left|x^{k}\right|+1)}\pi ^{i\ell }\partial _{\ell }\pi ^{jk}+{\rm {cyclic}}(i,j,k)=0$ (जैकोबी पहचान)

निर्देशांक के परिवर्तन के तहत $x^{i}\to x^{\prime i}$ विषम पोइसन द्वि-वेक्टर $\pi ^{ij}$ और बेरेज़िन आयतन घनत्व $\rho$ के रूप में रूपांतरित करें

• $\pi ^{\prime k\ell }=x^{\prime k}{\stackrel {\leftarrow }{\partial }}_{i}\pi ^{ij}\partial _{j}x^{\prime \ell }$
• $\rho ^{\prime }=\rho /{\rm {sdet}}(\partial _{i}x^{\prime j})$

जहां sdet overdetermine को दर्शाता है, जिसे बेरेज़िनियन भी कहा जाता है। तब 'विषम प्वासों कोष्ठक' के रूप में परिभाषित किया गया है

$(f,g):=f{\stackrel {\leftarrow }{\partial }}_{i}\pi ^{ij}\partial _{j}g.$

एक हैमिल्टनियन वेक्टर क्षेत्र $X_{f}$ हैमिल्टनियन एफ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

$X_{f}[g]:=(f,g).$

सदिश क्षेत्र का (सुपर-) विचलन $X=X^{i}\partial _{i}$ परिभाषित किया जाता है

${\rm {div}}_{\rho }X:={\frac {(-1)^{\left|x^{i}\right|(|X|+1)}}{\rho }}\partial _{i}(\rho X^{i})$

याद रखें कि लिउविले के प्रमेय के कारण हैमिल्टनियन वेक्टर फ़ील्ड भी पॉइसन ज्यामिति में विचलन मुक्त हैं। विषम प्वासों ज्यामिति में संगत कथन सही नहीं है। अजीब लाप्लासियन ${\Delta }_{\rho }$ लिउविल के प्रमेय की विफलता को मापता है। साइन फैक्टर तक, इसे संबंधित हैमिल्टन वेक्टर क्षेत्र के आधे विचलन के रूप में परिभाषित किया गया है,

${\Delta }_{\rho }(f):={\frac {(-1)^{\left|f\right|}}{2}}{\rm {div}}_{\rho }X_{f}={\frac {(-1)^{\left|x^{i}\right|}}{2\rho }}\partial _{i}\rho \pi ^{ij}\partial _{j}f.$

विषम पोइसन संरचना $\pi ^{ij}$ और बेरेज़िन आयतन घनत्व $\rho$ मॉड्यूलर वेक्टर फ़ील्ड होने पर संगत कहा जाता है ${\Delta }_{\rho }^{2}$ गायब हो जाता है। उस स्थिति में विषम लाप्लासियन ${\Delta }_{\rho }$ सामान्यीकरण के साथ बीवी Δ ऑपरेटर है Δ(1)=0। संबंधित बीवी बीजगणित कार्यों का बीजगणित है।

विषम सहानुभूति बहुगुण

यदि विषम प्वासों द्वि-वेक्टर $\pi ^{ij}$ व्युत्क्रमणीय है, किसी के पास विषम सहानुभूतिपूर्ण ज्यामिति मैनिफोल्ड है। उस स्थिति में, विषम डार्बौक्स प्रमेय मौजूद है। यही है, वहां स्थानीय डार्बौक्स निर्देशांक मौजूद हैं, यानी निर्देशांक $q^{1},\ldots ,q^{n}$, और क्षण $p_{1},\ldots ,p_{n}$, डिग्री का

$\left|q^{i}\right|+\left|p_{i}\right|=1,$

जैसे कि विषम पोइसन ब्रैकेट डार्बौक्स फॉर्म पर है

$(q^{i},p_{j})=\delta _{j}^{i}.$

सैद्धांतिक भौतिकी में, निर्देशांक $q^{i}$ और क्षण $p_{j}$ फ़ील्ड्स और एंटीफ़िल्ड्स कहलाते हैं, और आमतौर पर निरूपित होते हैं $\phi ^{i}$ और $\phi _{j}^{*}$, क्रमश।

$\Delta _{\pi }:=(-1)^{\left|q^{i}\right|}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}$

अर्ध-घनत्व के वेक्टर स्थान पर कार्य करता है, और डार्बौक्स पड़ोस के एटलस पर विश्व स्तर पर अच्छी तरह से परिभाषित ऑपरेटर है। खुदावेरडियन का $\Delta _{\pi }$ ऑपरेटर केवल पी-संरचना पर निर्भर करता है। यह स्पष्ट रूप से शून्य है $\Delta _{\pi }^{2}=0$, और डिग्री −1. फिर भी, यह तकनीकी रूप से बीवी Δ संचालिका नहीं है क्योंकि अर्द्धघनत्व के सदिश स्थान में कोई गुणन नहीं है। (दो अर्ध-घनत्वों का गुणनफल अर्ध-घनत्व के बजाय घनत्व है।) निश्चित घनत्व दिया गया है $\rho$, निलपोटेंट बीवी Δ ऑपरेटर का निर्माण कर सकता है

$\Delta (f):={\frac {1}{\sqrt {\rho }}}\Delta _{\pi }({\sqrt {\rho }}f),$

जिसका संबंधित बीवी बीजगणित कार्यों का बीजगणित है, या समकक्ष, स्केलर (भौतिकी) है। विषम सहानुभूतिपूर्ण संरचना $\pi ^{ij}$ और घनत्व $\rho$ संगत हैं यदि और केवल यदि Δ(1) विषम स्थिरांक है।

उदाहरण

• मल्टी-वेक्टर फ़ील्ड्स के लिए स्काउटन-निजेनहुइस ब्रैकेट एंटीब्रैकेट का उदाहरण है।
• यदि L लाइ सुपरएलजेब्रा है, और Π सुपर स्पेस के सम और विषम भागों का आदान-प्रदान करने वाला ऑपरेटर है, तो Π (L) (L का बाहरी बीजगणित) का सममित बीजगणित बैटलिन-विलकोविस्की बीजगणित है जिसमें Δ दिया गया है लाई बीजगणित सह-समरूपता की गणना करने के लिए इस्तेमाल किया जाने वाला सामान्य अंतर।

यह भी देखें

• बीआरएसटी परिमाणीकरण
• गेरस्टेनहैबर बीजगणित
• सुपरमैनीफोल्ड
• प्रवाह का विश्लेषण
• ज़हर कई गुना

संदर्भ

शैक्षणिक

• कॉस्टेलो, के. (2011)। पुनर्सामान्यीकरण और प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत। ISBN 978-0-8218-5288-0 (परेशान करने वाले क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और कठोर पहलुओं की व्याख्या करता है, जैसे कि चेर्न-सीमन्स सिद्धांत को परिमाणित करना | चेर्न-सिमंस सिद्धांत और यांग-मिल्स सिद्धांत | बीवी-औपचारिकता का उपयोग करते हुए यांग-मिल्स सिद्धांत)

संदर्भ

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• Batalin, I. A.; Vilkovisky, G. A. (1983). "Quantization of Gauge Theories with Linearly Dependent Generators". Physical Review D. 28 (10): 2567–2582. Bibcode:1983PhRvD..28.2567B. doi:10.1103/PhysRevD.28.2567. Erratum-ibid. 30 (1984) 508 doi:10.1103/PhysRevD.30.508.
• Getzler, E. (1994). "Batalin-Vilkovisky algebras and two-dimensional topological field theories". Communications in Mathematical Physics. 159 (2): 265–285. arXiv:hep-th/9212043. Bibcode:1994CMaPh.159..265G. doi:10.1007/BF02102639. S2CID 14823949.
• Brandt, Friedemann; Barnich, Glenn; Henneaux, Marc (2000), "Local BRST cohomology in gauge theories", Physics Reports, 338 (5): 439–569, arXiv:hep-th/0002245, Bibcode:2000PhR...338..439B, doi:10.1016/S0370-1573(00)00049-1, ISSN 0370-1573, MR 1792979, S2CID 119420167
• Weinberg, Steven (2005). The Quantum Theory of Fields Vol. II. New York: Cambridge Univ. Press. ISBN 0-521-67054-3.