गोले की पैकिंग: Difference between revisions

Revision as of 10:12, 27 April 2023

गोले की पैकिंग तोप के गोले के ढेर में व्यावहारिक अनुप्रयोग पाती है।

ज्यामिति में, गोले की पैकिंग स्थान के भीतर गैर-अतिव्यापी क्षेत्रों की व्यवस्था है। माने जाने वाले गोले आमतौर पर सभी समान आकार के होते हैं, और अंतरिक्ष आमतौर पर त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष होता है। हालांकि, गोलाकार पैकिंग समस्याओं को असमान क्षेत्रों, अन्य आयामों के रिक्त स्थान (जहां समस्या दो आयामों में सर्कल पैकिंग, या उच्च आयामों में अति क्षेत्र पैकिंग) या गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति पर विचार करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। गैर-यूक्लिडियन रिक्त स्थान जैसे अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान .

गोलाकार पैकिंग की विशिष्ट समस्या ऐसी व्यवस्था का पता लगाना है जिसमें गोले जितना संभव हो उतना स्थान भरते हैं। गोलों द्वारा भरे गए स्थान के अनुपात को व्यवस्था का संकुलन घनत्व कहा जाता है। जैसा कि अनंत स्थान में पैकिंग का स्थानीय घनत्व उस मात्रा के आधार पर भिन्न हो सकता है जिस पर इसे मापा जाता है, समस्या आमतौर पर औसत या स्पर्शोन्मुख घनत्व को अधिकतम करने के लिए होती है, जिसे पर्याप्त मात्रा में मापा जाता है।

तीन आयामों में समान क्षेत्रों के लिए, सबसे सघन पैकिंग लगभग 74% मात्रा का उपयोग करती है। समान क्षेत्रों की यादृच्छिक पैकिंग घनत्व आमतौर पर लगभग 63.5% घनत्व होता है।^[1]

वर्गीकरण और शब्दावली

एक जाली (समूह) व्यवस्था (आमतौर पर नियमित व्यवस्था कहा जाता है) वह है जिसमें गोले के केंद्र बहुत ही सममित पैटर्न बनाते हैं जिसे केवल n वैक्टर को विशिष्ट रूप से परिभाषित करने की आवश्यकता होती है ( n -आयामी यूक्लिडियन में) अंतरिक्ष)। जाली व्यवस्था आवधिक हैं। ऐसी व्यवस्था जिसमें गोले जाली नहीं बनाते हैं (अक्सर अनियमित के रूप में संदर्भित) अभी भी आवधिक हो सकते हैं, लेकिन अनावधिक (ठीक से गैर-आवधिक बोलना) या यादृच्छिकता भी हो सकती है। उनके उच्च स्तर की समरूपता के कारण, गैर-जाली वाले की तुलना में जाली पैकिंग को वर्गीकृत करना आसान है। आवधिक जालक हमेशा अच्छी तरह से परिभाषित घनत्व होते हैं।

नियमित पैकिंग

फ़ाइल:आदेश और अराजकता।tif|अंगूठे|असमान क्षेत्रों (बुलबुले) की अनियमित व्यवस्था में बदलते विमान में समान क्षेत्रों की नियमित व्यवस्था।

एचसीपी जाली (बाएं) और एफसीसी जाली (दाएं) दो सबसे आम उच्चतम घनत्व व्यवस्थाएं हैं।

गोले से बने तीन विमानों को ढेर करने के दो तरीके

घनी पैकिंग

त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, समान क्षेत्रों का सबसे घना पैकिंग संरचनाओं के परिवार द्वारा प्राप्त किया जाता है जिसे गोलाकारों की क्लोज-पैकिंग कहा जाता है|क्लोज-पैक्ड संरचनाएं। ऐसी संरचना बनाने की विधि इस प्रकार है। उस पर गोले की कॉम्पैक्ट व्यवस्था के साथ विमान पर विचार करें। इसे ए कहते हैं। किसी भी तीन पड़ोसी क्षेत्रों के लिए, चौथे गोले को तीन निचले गोले के बीच खोखले में शीर्ष पर रखा जा सकता है। यदि हम पहले से ऊपर दूसरे तल में आधे छिद्रों के लिए ऐसा करते हैं, तो हम नई सघन परत बनाते हैं। ऐसा करने के लिए दो संभावित विकल्प हैं, उन्हें बी और सी कहते हैं। मान लीजिए कि हमने बी को चुना। फिर बी के खोखले का आधा हिस्सा ए में गेंदों के केंद्रों के ऊपर स्थित है और आधा ए के खोखले के ऊपर स्थित है जो नहीं थे बी के लिए उपयोग किया जाता है। इस प्रकार तीसरी परत की गेंदों को या तो सीधे पहले वाली गेंदों के ऊपर रखा जा सकता है, जिससे टाइप ए की परत निकल सकती है, या पहली परत के छिद्रों के ऊपर जो दूसरी परत द्वारा कब्जा नहीं किया गया था, उपज प्रकार सी की परत। प्रकार ए, बी, और सी की परतों का संयोजन विभिन्न बंद-पैक संरचनाओं का निर्माण करता है।

क्लोज-पैक परिवार के भीतर दो सरल व्यवस्थाएं नियमित जाली के अनुरूप होती हैं। को क्यूबिक क्लोज पैकिंग (या चेहरा केंद्रित घन, एफसीसी) कहा जाता है - जहां परतें एबीसीएबीसी... अनुक्रम में वैकल्पिक होती हैं। दूसरे को हेक्सागोनल क्लोज पैकिंग (एचसीपी) कहा जाता है - जहां एबीएबी अनुक्रम में परतें वैकल्पिक होती हैं। लेकिन कई लेयर स्टैकिंग सीक्वेंस संभव हैं (ABAC, ABCBA, ABCBAC, आदि), और फिर भी क्लोज-पैक्ड संरचना उत्पन्न करते हैं। इन सभी व्यवस्थाओं में प्रत्येक गोला 12 पड़ोसी क्षेत्रों को छूता है,^[2] और औसत घनत्व है

{\frac {\pi }{3{\sqrt {2}}}}\simeq 0.74048.

कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने 1831 में साबित किया कि इन पैकिंग में सभी संभावित जाली पैकिंग के बीच उच्चतम घनत्व है।^[3] 1611 में, जोहान्स केप्लर ने अनुमान लगाया कि यह नियमित और अनियमित दोनों व्यवस्थाओं के बीच अधिकतम संभव घनत्व है- इसे केप्लर अनुमान के रूप में जाना जाता है। 1998 में, थॉमस कॉलिस्टर हेल्स ने 1953 में लेज़्लो फेजेस टोथ द्वारा सुझाए गए दृष्टिकोण का अनुसरण करते हुए केप्लर अनुमान के प्रमाण की घोषणा की। हेल्स का प्रमाण जटिल कंप्यूटर गणनाओं का उपयोग करके कई अलग-अलग मामलों की जाँच से संबंधित थकावट का प्रमाण है। रेफरी ने कहा कि वे हेल्स के सबूत की शुद्धता के बारे में 99% निश्चित थे। 10 अगस्त 2014 को, हेल्स ने किसी भी संदेह को दूर करते हुए, स्वचालित प्रूफ़ चेकिंग का उपयोग करके औपचारिक प्रूफ पूरा करने की घोषणा की।^[4]

अन्य सामान्य जाली पैकिंग

कुछ अन्य जालक संकुलन प्राय: भौतिक तंत्रों में पाए जाते हैं। इनमें घनत्व के साथ घन जाली शामिल है ${\frac {\pi }{6}}\approx 0.5236$ , हेक्सागोनल जाली के घनत्व के साथ ${\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}\approx 0.6046$ और घनत्व के साथ टेट्राहेड्रल जाली ${\frac {\pi {\sqrt {3}}}{16}}\approx 0.3401$ , और 0.0555 के घनत्व पर सबसे कम संभव है।^[5]

कम घनत्व के साथ जाम पैकिंग

पैकिंग जहां सभी क्षेत्रों को उनके पड़ोसियों द्वारा स्थान पर रहने के लिए विवश किया जाता है, उन्हें कठोर या जैमिंग (भौतिकी) कहा जाता है। सबसे कम घनत्व वाला कड़ाई से जाम किया हुआ गोला पैकिंग केवल 0.49365 के घनत्व के साथ पतला (सुरंगयुक्त) एफसीसी क्रिस्टल है।^[6]

अनियमित पैकिंग

यदि हम गोलों का सघन रूप से संकुलित संग्रह बनाने का प्रयास करते हैं, तो हम अगले गोले को हमेशा तीन भरे हुए गोलों के बीच खोखले में रखने के लिए प्रलोभित होंगे। यदि पांच गोलों को इस तरह से जोड़ा जाता है, तो वे ऊपर वर्णित नियमित रूप से पैक की गई व्यवस्थाओं में से के अनुरूप होंगे। हालाँकि, इस तरह से रखा गया छठा गोला संरचना को किसी भी नियमित व्यवस्था के साथ असंगत बना देगा। इसके परिणामस्वरूप गोलाकारों की यादृच्छिक बंद पैकिंग की संभावना होती है जो संपीड़न के विरुद्ध स्थिर होती है।^[7] यादृच्छिक ढीली पैकिंग के कंपन के परिणामस्वरूप गोलाकार कणों की नियमित पैकिंग में व्यवस्था हो सकती है, इस प्रक्रिया को दानेदार सामग्री # पैटर्न गठन के रूप में जाना जाता है। ऐसी प्रक्रियाएं गोलाकार अनाज रखने वाले कंटेनर की ज्यामिति पर निर्भर करती हैं।^[2]

जब गोलों को बेतरतीब ढंग से कंटेनर में जोड़ा जाता है और फिर संकुचित किया जाता है, तो वे आम तौर पर अनियमित या जाम पैकिंग कॉन्फ़िगरेशन के रूप में जाने जाते हैं, जब उन्हें और अधिक संपीड़ित नहीं किया जा सकता है। इस अनियमित पैकिंग में आम तौर पर लगभग 64% घनत्व होगा। हाल के शोध ने विश्लेषणात्मक रूप से भविष्यवाणी की है कि यह 63.4% की घनत्व सीमा से अधिक नहीं हो सकता^[8] यह स्थिति या दो आयामों के मामले के विपरीत है, जहां 1-आयामी या 2-आयामी क्षेत्रों (यानी, रेखा खंड या मंडल) के संग्रह को संपीड़ित करने से नियमित पैकिंग प्राप्त होगी।

हाइपरस्फेयर पैकिंग

स्फेयर पैकिंग समस्या स्वैच्छिक आयामों में बॉल-पैकिंग समस्याओं के वर्ग का त्रि-आयामी संस्करण है। दो आयामों में, समतुल्य समस्या समतल पर वृत्त पैकिंग है। आयाम में यह लाइन सेगमेंट को रैखिक ब्रह्मांड में पैक कर रहा है।^[9] तीन से अधिक आयामों में, हाइपरस्फीयर के सबसे घने नियमित पैकिंग को 8 आयामों तक जाना जाता है।^[10] अनियमित हाइपरस्फीयर पैकिंग के बारे में बहुत कम जानकारी है; यह संभव है कि कुछ आयामों में सघन पैकिंग अनियमित हो सकती है। इस अनुमान के लिए कुछ समर्थन इस तथ्य से मिलता है कि कुछ आयामों (जैसे 10) में सबसे घनी ज्ञात अनियमित पैकिंग सघन ज्ञात नियमित पैकिंग से सघन होती है।^[11] 2016 में, मरीना वियाज़ोव्स्का ने प्रमाण की घोषणा की कि E8 जाली|E₈ जाली आठ-आयामी अंतरिक्ष में इष्टतम पैकिंग (नियमितता की परवाह किए बिना) प्रदान करती है,^[12] और इसके तुरंत बाद उसने और सहयोगियों के समूह ने इसी तरह के प्रमाण की घोषणा की कि जोंक जाली 24 आयामों में इष्टतम है।^[13] यह परिणाम पिछले तरीकों पर निर्मित और बेहतर हुआ जिससे पता चला कि ये दो जाली इष्टतम के बहुत करीब हैं।^[14] नए प्रमाणों में घूर्णी समरूपता फ़ंक्शन के निर्माण के लिए सावधानी से चुने गए मॉड्यूलर समारोह के लाप्लास परिवर्तन का उपयोग करना शामिल है $f$ ऐसा है कि $f$ और इसका फूरियर रूपांतरण $f̂$ मूल (गणित) पर दोनों बराबर एक, और दोनों इष्टतम जाली के अन्य सभी बिंदुओं पर गायब हो जाते हैं, साथ में $f$ पैकिंग के केंद्रीय क्षेत्र के बाहर नकारात्मक और $f̂$ सकारात्मक। फिर, के लिए प्वासों योग सूत्र $f$ का उपयोग किसी अन्य पैकिंग के साथ इष्टतम जाली के घनत्व की तुलना करने के लिए किया जाता है।^[15] इससे पहले कि प्रूफ विद्वान सहकर्मी समीक्षा और प्रकाशित होता, गणितज्ञ पीटर इतिहास ने प्रूफ को आश्चर्यजनक रूप से सरल कहा और लिखा कि आप बस पेपर पढ़ना शुरू करें और आप जानते हैं कि यह सही है।^[16] उच्च आयामों में अनुसंधान की अन्य पंक्ति सघन पैकिंग के घनत्व के लिए स्पर्शोन्मुख सीमा खोजने की कोशिश कर रही है। 2017 तक, यह ज्ञात है कि बड़े के लिए $n$ , आयाम में सबसे घनी जाली $n$ के बीच घनत्व है $cn \cdot 2 - n$ (कुछ स्थिरांक के लिए $c$ ) और $2 -0.599 n$ .^[17] अनुमानित सीमाएं बीच में हैं।^[18]

असमान क्षेत्र पैकिंग

0.64799 के त्रिज्या अनुपात और 0.74786 के घनत्व के साथ गोलों की सघन पैकिंग^[19]

रासायनिक और भौतिक विज्ञान में कई समस्याएँ पैकिंग समस्याओं से संबंधित हो सकती हैं जहाँ से अधिक आकार के गोले उपलब्ध हैं। यहाँ गोलों को निकट संकुलित समान गोलों के क्षेत्रों में अलग करने, या अनेक आकारों के गोलों को यौगिक या अंतरालीय यौगिक पैकिंग में संयोजित करने के बीच विकल्प है। जब कई आकार के गोले (या कण आकार वितरण) उपलब्ध होते हैं, तो समस्या जल्दी से जटिल हो जाती है, लेकिन बाइनरी हार्ड क्षेत्रों (दो आकार) के कुछ अध्ययन उपलब्ध हैं।

जब दूसरा गोला पहले की तुलना में बहुत छोटा होता है, तो बड़े गोले को बंद-संकुलित व्यवस्था में व्यवस्थित करना संभव है, और फिर छोटे गोले को ऑक्टाहेड्रल और टेट्राहेड्रल अंतराल के भीतर व्यवस्थित करें। इस अंतरालीय पैकिंग का घनत्व त्रिज्या अनुपात पर संवेदनशील रूप से निर्भर करता है, लेकिन चरम आकार के अनुपात की सीमा में, छोटे गोले उसी घनत्व के साथ अंतराल को भर सकते हैं जैसे बड़े गोले भरे हुए स्थान।^[20] भले ही बड़े गोले बंद-संकुलित व्यवस्था में न हों, फिर भी बड़े गोले की त्रिज्या के 0.29099 तक के कुछ छोटे गोले सम्मिलित करना हमेशा संभव होता है।^[21] जब छोटे गोले का दायरा बड़े गोले के त्रिज्या के 0.41421 से अधिक होता है, तो यह अब बंद-पैक संरचना के ऑक्टाहेड्रल छिद्रों में भी फिट होना संभव नहीं है। इस प्रकार, इस बिंदु से परे, या तो मेजबान संरचना को अंतरालीय (जो समग्र घनत्व से समझौता करता है) को समायोजित करने के लिए विस्तारित होना चाहिए, या अधिक जटिल क्रिस्टलीय मिश्रित संरचना में पुनर्व्यवस्थित करना चाहिए। ऐसी संरचनाएं ज्ञात हैं जो 0.659786 तक रेडियस अनुपात के लिए क्लोज पैकिंग घनत्व से अधिक हैं।^[19]^[22] ऐसे बाइनरी पैकिंग में प्राप्त किए जा सकने वाले घनत्व के लिए ऊपरी सीमाएं भी प्राप्त की गई हैं।^[23] कई रासायनिक स्थितियों में जैसे आयनिक क्रिस्टल, स्तुईचिओमेटरी को घटक आयनों के आवेशों द्वारा विवश किया जाता है। पैकिंग पर यह अतिरिक्त बाधा, परस्पर क्रिया करने वाले चार्ज की कूलम्ब ऊर्जा को कम करने की आवश्यकता के साथ इष्टतम पैकिंग व्यवस्था की विविधता की ओर ले जाती है।

हाइपरबॉलिक स्पेस

यद्यपि हलकों और क्षेत्रों की अवधारणा को अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान तक बढ़ाया जा सकता है, लेकिन सघन पैकिंग को खोजना अधिक कठिन हो जाता है। अतिपरवलयिक स्थान में गोले की संख्या की कोई सीमा नहीं होती है जो किसी अन्य क्षेत्र को घेर सकते हैं (उदाहरण के लिए, फोर्ड सर्कल को समान अतिपरवलयिक हलकों की व्यवस्था के रूप में माना जा सकता है जिसमें प्रत्येक चक्र अन्य मंडलियों की अनंत संख्या से घिरा हुआ है)। औसत घनत्व की अवधारणा को भी सटीक रूप से परिभाषित करना अधिक कठिन हो जाता है। किसी भी अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान में सबसे घनी पैकिंग लगभग हमेशा अनियमित होती है।^[24] इस कठिनाई के बावजूद, K. Böröczky अतिशयोक्तिपूर्ण n-स्थान के गोले के घनत्व के लिए सार्वभौमिक ऊपरी सीमा देता है जहाँ n ≥ 2।^[25] तीन आयामों में बोरोज़्स्की बाउंड लगभग 85.327613% है, और श्लाफली प्रतीक {3,3,6} के साथ गण - 6 चतुष्फलकीय मधुकोश मधुकोश के राशिफल पैकिंग द्वारा महसूस किया जाता है।^[26] इस विन्यास के अलावा कम से कम तीन अन्य होरोस्फीयर पैकिंग हाइपरबोलिक 3-स्पेस में मौजूद हैं जो घनत्व ऊपरी सीमा का एहसास करते हैं।^[27]

मार्मिक जोड़े, त्रिक, और चौगुनी

यूनिट बॉल्स की मनमाना परिमित पैकिंग का संपर्क ग्राफ वह ग्राफ है जिसके कोने पैकिंग तत्वों के अनुरूप होते हैं और जिनके दो कोने किनारे से जुड़े होते हैं यदि संबंधित दो पैकिंग तत्व दूसरे को स्पर्श करते हैं। संपर्क ग्राफ़ के किनारे सेट की कार्डिनैलिटी स्पर्श करने वाले जोड़े की संख्या देती है, संपर्क ग्राफ़ में 3-चक्रों की संख्या स्पर्श करने वाले ट्रिपल की संख्या देती है, और संपर्क ग्राफ़ में टेट्राहेड्रॉन की संख्या स्पर्श करने वाले चतुष्कोणों की संख्या देती है ( आम तौर पर एन आयामों में गोलाकार पैकिंग से जुड़े संपर्क ग्राफ के लिए जो संपर्क ग्राफ में एन-सरलताओं के सेट की कार्डिनालिटी क्षेत्र पैकिंग में स्पर्श करने की संख्या (एन + 1) -ट्यूपल देता है)। 3-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष के मामले में, स्पर्श करने वाले जोड़े, ट्रिपल और चौगुनी की संख्या पर गैर-तुच्छ ऊपरी सीमाएं^[28] कैलगरी विश्वविद्यालय में केरोली बेजडेक और सैमुअल रीड द्वारा सिद्ध किया गया था।

गोले के बीच संपर्क बिंदुओं की संख्या को अधिकतम करने वाले एन समान क्षेत्रों की व्यवस्था को खोजने की समस्या को चिपचिपा-गोला समस्या के रूप में जाना जाता है। अधिकतम n ≤ 11 के लिए जाना जाता है, और केवल अनुमानित मान बड़े n के लिए जाने जाते हैं।^[29]

अन्य रिक्त स्थान

हाइपरक्यूब के कोनों पर गोलाकार पैकिंग (हैमिंग दूरी द्वारा परिभाषित क्षेत्रों के साथ) डिजाइनिंग त्रुटि-सुधार कोड से मेल खाती है: यदि क्षेत्रों में त्रिज्या टी है, तो उनके केंद्र (2t + 1)-त्रुटि-सुधार कोड के कोडवर्ड हैं। जाली पैकिंग रैखिक कोड के अनुरूप होती है। यूक्लिडियन क्षेत्र पैकिंग और त्रुटि-सुधार कोड के बीच अन्य, सूक्ष्म संबंध हैं। उदाहरण के लिए, बाइनरी भाषा में कोड 24-आयामी जोंक जाली से निकटता से संबंधित है।

इन कनेक्शनों के बारे में अधिक जानकारी के लिए, जॉन हॉर्टन कॉनवे और नील स्लोएन की पुस्तक स्फीयर पैकिंग्स, लैटिस एंड ग्रुप्स देखें।^[30]

यह भी देखें

संदर्भ

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बाहरी संबंध

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"Database of sphere packings" (Erik Agrell)

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[grancrys-2] 2.0 ^2.1 Granular crystallisation in vibrated packings Granular Matter (2019), 21(2), 26 HAL Archives Ouvertes

[3] Gauß, C. F. (1831). "Besprechung des Buchs von L. A. Seeber: Untersuchungen über die Eigenschaften der positiven ternären quadratischen Formen usw" [Discussion of L. A. Seeber's book: Studies on the characteristics of positive ternary quadratic forms etc]. Göttingsche Gelehrte Anzeigen.

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[5] "वोल्फ्राम मैथ वर्ल्ड, स्फीयर पैकिंग".

[6] Torquato, S.; Stillinger, F. H. (2007). "Toward the jamming threshold of sphere packings: Tunneled crystals". Journal of Applied Physics. 102 (9): 093511–093511–8. arXiv:0707.4263. Bibcode:2007JAP...102i3511T. doi:10.1063/1.2802184. S2CID 5704550.

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[nature-8] Song, C.; Wang, P.; Makse, H. A. (29 May 2008). "जाम पदार्थ के लिए एक चरण आरेख". Nature. 453 (7195): 629–632. arXiv:0808.2196. Bibcode:2008Natur.453..629S. doi:10.1038/nature06981. PMID 18509438. S2CID 4420652.

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[13] Cohn, Henry; Kumar, Abhinav; Miller, Stephen; Radchenko, Danylo; Viazovska, Maryna (1 January 2017). "The sphere packing problem in dimension 24". Annals of Mathematics (in English). 185 (3): 1017–1033. arXiv:1603.06518. doi:10.4007/annals.2017.185.3.8. ISSN 0003-486X. S2CID 119281758.

[14] Cohn, Henry; Kumar, Abhinav (2009), "Optimality and uniqueness of the Leech lattice among lattices", Annals of Mathematics, 170 (3): 1003–1050, arXiv:math.MG/0403263, doi:10.4007/annals.2009.170.1003, ISSN 1939-8980, MR 2600869, S2CID 10696627, Zbl 1213.11144 Cohn, Henry; Kumar, Abhinav (2004), "The densest lattice in twenty-four dimensions", Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, 10 (7): 58–67, arXiv:math.MG/0408174, Bibcode:2004math......8174C, doi:10.1090/S1079-6762-04-00130-1, ISSN 1079-6762, MR 2075897, S2CID 15874595

[15] Miller, Stephen D. (4 April 2016), The solution to the sphere packing problem in 24 dimensions via modular forms, Institute for Advanced Study, archived from the original on 2021-12-21. Video of an hour-long talk by one of Viazovska's co-authors explaining the new proofs.

[16] Klarreich, Erica (30 March 2016), "Sphere Packing Solved in Higher Dimensions", Quanta Magazine

[17] Cohn, Henry (2017), "A conceptual breakthrough in sphere packing" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 64 (2): 102–115, arXiv:1611.01685, doi:10.1090/noti1474, ISSN 0002-9920, MR 3587715, S2CID 16124591

[18] Torquato, S.; Stillinger, F. H. (2006), "New conjectural lower bounds on the optimal density of sphere packings", Experimental Mathematics, 15 (3): 307–331, arXiv:math/0508381, doi:10.1080/10586458.2006.10128964, MR 2264469, S2CID 9921359

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[29] "चिपचिपा क्षेत्रों का विज्ञान". American Scientist (in English). 2017-02-06. Retrieved 2020-07-14.

[30] Conway, John H.; Sloane, Neil J. A. (1998). क्षेत्र पैकिंग, जाली और समूह (3rd ed.). Springer Science & Business Media. ISBN 0-387-98585-9.

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 {{Short description|An arrangement of non-overlapping spheres within a containing space}}
-{{Use dmy dates|date=November 2017}}
-[[File:Rye Castle, Rye, East Sussex, England-6April2011 (1) (cropped).jpg|thumb|गोले की पैकिंग तोप के गोले के ढेर में व्यावहारिक अनुप्रयोग पाती है।]][[ज्यामिति]] में, एक गोले की पैकिंग एक स्थान के भीतर गैर-अतिव्यापी क्षेत्रों की व्यवस्था है। माने जाने वाले गोले आमतौर पर सभी समान आकार के होते हैं, और अंतरिक्ष आमतौर पर त्रि-[[आयाम]]ी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] होता है। हालांकि, गोलाकार पैकिंग समस्याओं को असमान क्षेत्रों, अन्य आयामों के रिक्त स्थान (जहां समस्या दो आयामों में [[सर्कल पैकिंग]], या उच्च आयामों में [[ अति क्षेत्र ]] पैकिंग) या [[गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति]] पर विचार करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। गैर-यूक्लिडियन रिक्त स्थान जैसे [[अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान]] .
-गोलाकार पैकिंग की एक विशिष्ट समस्या एक ऐसी व्यवस्था का पता लगाना है जिसमें गोले जितना संभव हो उतना स्थान भरते हैं। गोलों द्वारा भरे गए स्थान के अनुपात को व्यवस्था का ''संकुलन घनत्व'' कहा जाता है। जैसा कि एक अनंत स्थान में एक पैकिंग का स्थानीय घनत्व उस मात्रा के आधार पर भिन्न हो सकता है जिस पर इसे मापा जाता है, समस्या आमतौर पर [[औसत]] या स्पर्शोन्मुख घनत्व को अधिकतम करने के लिए होती है, जिसे पर्याप्त मात्रा में मापा जाता है।
+[[File:Rye Castle, Rye, East Sussex, England-6April2011 (1) (cropped).jpg|thumb|गोले की पैकिंग तोप के गोले के ढेर में व्यावहारिक अनुप्रयोग पाती है।]][[ज्यामिति]] में, गोले की पैकिंग स्थान के भीतर गैर-अतिव्यापी क्षेत्रों की व्यवस्था है। माने जाने वाले गोले आमतौर पर सभी समान आकार के होते हैं, और अंतरिक्ष आमतौर पर त्रि-[[आयाम]]ी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] होता है। हालांकि, गोलाकार पैकिंग समस्याओं को असमान क्षेत्रों, अन्य आयामों के रिक्त स्थान (जहां समस्या दो आयामों में [[सर्कल पैकिंग]], या उच्च आयामों में [[ अति क्षेत्र |अति क्षेत्र]] पैकिंग) या [[गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति]] पर विचार करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। गैर-यूक्लिडियन रिक्त स्थान जैसे [[अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान]] .
-तीन आयामों में समान क्षेत्रों के लिए, सबसे सघन पैकिंग लगभग 74% मात्रा का उपयोग करती है। समान क्षेत्रों की एक यादृच्छिक [[पैकिंग घनत्व]] आमतौर पर लगभग 63.5% घनत्व होता है।<ref>{{Cite journal |last1=Wu |first1=Yugong |last2=Fan |first2=Zhigang |last3=Lu |first3=Yuzhu |date=2003-05-01 |title=कठोर क्षेत्रों के यादृच्छिक करीब पैकिंग के थोक और आंतरिक पैकिंग घनत्व|url=https://doi.org/10.1023/A:1023597707363 |journal=Journal of Materials Science |language=en |volume=38 |issue=9 |pages=2019–2025 |doi=10.1023/A:1023597707363 |s2cid=137583828 |issn=1573-4803}}</ref>
+गोलाकार पैकिंग की विशिष्ट समस्या ऐसी व्यवस्था का पता लगाना है जिसमें गोले जितना संभव हो उतना स्थान भरते हैं। गोलों द्वारा भरे गए स्थान के अनुपात को व्यवस्था का ''संकुलन घनत्व'' कहा जाता है। जैसा कि अनंत स्थान में पैकिंग का स्थानीय घनत्व उस मात्रा के आधार पर भिन्न हो सकता है जिस पर इसे मापा जाता है, समस्या आमतौर पर [[औसत]] या स्पर्शोन्मुख घनत्व को अधिकतम करने के लिए होती है, जिसे पर्याप्त मात्रा में मापा जाता है।
+तीन आयामों में समान क्षेत्रों के लिए, सबसे सघन पैकिंग लगभग 74% मात्रा का उपयोग करती है। समान क्षेत्रों की यादृच्छिक [[पैकिंग घनत्व]] आमतौर पर लगभग 63.5% घनत्व होता है।<ref>{{Cite journal |last1=Wu |first1=Yugong |last2=Fan |first2=Zhigang |last3=Lu |first3=Yuzhu |date=2003-05-01 |title=कठोर क्षेत्रों के यादृच्छिक करीब पैकिंग के थोक और आंतरिक पैकिंग घनत्व|url=https://doi.org/10.1023/A:1023597707363 |journal=Journal of Materials Science |language=en |volume=38 |issue=9 |pages=2019–2025 |doi=10.1023/A:1023597707363 |s2cid=137583828 |issn=1573-4803}}</ref>
 == वर्गीकरण और शब्दावली ==
-एक [[जाली (समूह)]] व्यवस्था (आमतौर पर एक नियमित व्यवस्था कहा जाता है) वह है जिसमें गोले के केंद्र एक बहुत ही सममित पैटर्न बनाते हैं जिसे केवल '' n '' वैक्टर को विशिष्ट रूप से परिभाषित करने की आवश्यकता होती है ('' n ''-आयामी यूक्लिडियन में) अंतरिक्ष)। जाली व्यवस्था आवधिक हैं। ऐसी व्यवस्था जिसमें गोले जाली नहीं बनाते हैं (अक्सर अनियमित के रूप में संदर्भित) अभी भी आवधिक हो सकते हैं, लेकिन [[अनावधिक]] (ठीक से गैर-आवधिक बोलना) या यादृच्छिकता भी हो सकती है। उनके उच्च स्तर की [[समरूपता]] के कारण, गैर-जाली वाले की तुलना में जाली पैकिंग को वर्गीकृत करना आसान है। आवधिक जालक हमेशा अच्छी तरह से परिभाषित घनत्व होते हैं।
+एक [[जाली (समूह)]] व्यवस्था (आमतौर पर नियमित व्यवस्था कहा जाता है) वह है जिसमें गोले के केंद्र बहुत ही सममित पैटर्न बनाते हैं जिसे केवल ''n'' वैक्टर को विशिष्ट रूप से परिभाषित करने की आवश्यकता होती है ('' n ''-आयामी यूक्लिडियन में) अंतरिक्ष)। जाली व्यवस्था आवधिक हैं। ऐसी व्यवस्था जिसमें गोले जाली नहीं बनाते हैं (अक्सर अनियमित के रूप में संदर्भित) अभी भी आवधिक हो सकते हैं, लेकिन [[अनावधिक]] (ठीक से गैर-आवधिक बोलना) या यादृच्छिकता भी हो सकती है। उनके उच्च स्तर की [[समरूपता]] के कारण, गैर-जाली वाले की तुलना में जाली पैकिंग को वर्गीकृत करना आसान है। आवधिक जालक हमेशा अच्छी तरह से परिभाषित घनत्व होते हैं।
 == नियमित पैकिंग ==
-फ़ाइल:आदेश और अराजकता।tif|अंगूठे|असमान क्षेत्रों (बुलबुले) की एक अनियमित व्यवस्था में बदलते एक विमान में समान क्षेत्रों की नियमित व्यवस्था।
+फ़ाइल:आदेश और अराजकता।tif|अंगूठे|असमान क्षेत्रों (बुलबुले) की अनियमित व्यवस्था में बदलते विमान में समान क्षेत्रों की नियमित व्यवस्था।
 [[Image:close packing box.svg|thumb|right|160px| एचसीपी जाली (बाएं) और एफसीसी जाली (दाएं) दो सबसे आम उच्चतम घनत्व व्यवस्थाएं हैं।]]
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 === घनी पैकिंग ===
 {{main|Close-packing of equal spheres}}
-त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, समान क्षेत्रों का सबसे घना पैकिंग संरचनाओं के एक परिवार द्वारा प्राप्त किया जाता है जिसे गोलाकारों की क्लोज-पैकिंग कहा जाता है|क्लोज-पैक्ड संरचनाएं। ऐसी संरचना बनाने की एक विधि इस प्रकार है। उस पर गोले की एक कॉम्पैक्ट व्यवस्था के साथ एक विमान पर विचार करें। इसे ए कहते हैं। किसी भी तीन पड़ोसी क्षेत्रों के लिए, चौथे गोले को तीन निचले गोले के बीच खोखले में शीर्ष पर रखा जा सकता है। यदि हम पहले से ऊपर दूसरे तल में आधे छिद्रों के लिए ऐसा करते हैं, तो हम एक नई सघन परत बनाते हैं। ऐसा करने के लिए दो संभावित विकल्प हैं, उन्हें बी और सी कहते हैं। मान लीजिए कि हमने बी को चुना। फिर बी के खोखले का आधा हिस्सा ए में गेंदों के केंद्रों के ऊपर स्थित है और एक आधा ए के खोखले के ऊपर स्थित है जो नहीं थे बी के लिए उपयोग किया जाता है। इस प्रकार तीसरी परत की गेंदों को या तो सीधे पहले वाली गेंदों के ऊपर रखा जा सकता है, जिससे टाइप ए की एक परत निकल सकती है, या पहली परत के छिद्रों के ऊपर जो दूसरी परत द्वारा कब्जा नहीं किया गया था, एक उपज प्रकार सी की परत। प्रकार ए, बी, और सी की परतों का संयोजन विभिन्न बंद-पैक संरचनाओं का निर्माण करता है।
+त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, समान क्षेत्रों का सबसे घना पैकिंग संरचनाओं के परिवार द्वारा प्राप्त किया जाता है जिसे गोलाकारों की क्लोज-पैकिंग कहा जाता है|क्लोज-पैक्ड संरचनाएं। ऐसी संरचना बनाने की विधि इस प्रकार है। उस पर गोले की कॉम्पैक्ट व्यवस्था के साथ विमान पर विचार करें। इसे ए कहते हैं। किसी भी तीन पड़ोसी क्षेत्रों के लिए, चौथे गोले को तीन निचले गोले के बीच खोखले में शीर्ष पर रखा जा सकता है। यदि हम पहले से ऊपर दूसरे तल में आधे छिद्रों के लिए ऐसा करते हैं, तो हम नई सघन परत बनाते हैं। ऐसा करने के लिए दो संभावित विकल्प हैं, उन्हें बी और सी कहते हैं। मान लीजिए कि हमने बी को चुना। फिर बी के खोखले का आधा हिस्सा ए में गेंदों के केंद्रों के ऊपर स्थित है और आधा ए के खोखले के ऊपर स्थित है जो नहीं थे बी के लिए उपयोग किया जाता है। इस प्रकार तीसरी परत की गेंदों को या तो सीधे पहले वाली गेंदों के ऊपर रखा जा सकता है, जिससे टाइप ए की परत निकल सकती है, या पहली परत के छिद्रों के ऊपर जो दूसरी परत द्वारा कब्जा नहीं किया गया था, उपज प्रकार सी की परत। प्रकार ए, बी, और सी की परतों का संयोजन विभिन्न बंद-पैक संरचनाओं का निर्माण करता है।
-क्लोज-पैक परिवार के भीतर दो सरल व्यवस्थाएं नियमित जाली के अनुरूप होती हैं। एक को क्यूबिक क्लोज पैकिंग (या [[चेहरा केंद्रित घन]], एफसीसी) कहा जाता है - जहां परतें एबीसीएबीसी... अनुक्रम में वैकल्पिक होती हैं। दूसरे को हेक्सागोनल क्लोज पैकिंग (एचसीपी) कहा जाता है - जहां एबीएबी अनुक्रम में परतें वैकल्पिक होती हैं।{{Dubious|FCC and HCP are not both lattices?|date=April 2022}} लेकिन कई लेयर स्टैकिंग सीक्वेंस संभव हैं (ABAC, ABCBA, ABCBAC, आदि), और फिर भी एक क्लोज-पैक्ड संरचना उत्पन्न करते हैं। इन सभी व्यवस्थाओं में प्रत्येक गोला 12 पड़ोसी क्षेत्रों को छूता है,<ref name=grancrys>Granular crystallisation in vibrated packings [https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02355176/document/#page=6 Granular Matter (2019), 21(2), 26] HAL Archives Ouvertes</ref> और औसत घनत्व है
+क्लोज-पैक परिवार के भीतर दो सरल व्यवस्थाएं नियमित जाली के अनुरूप होती हैं। को क्यूबिक क्लोज पैकिंग (या [[चेहरा केंद्रित घन]], एफसीसी) कहा जाता है - जहां परतें एबीसीएबीसी... अनुक्रम में वैकल्पिक होती हैं। दूसरे को हेक्सागोनल क्लोज पैकिंग (एचसीपी) कहा जाता है - जहां एबीएबी अनुक्रम में परतें वैकल्पिक होती हैं। लेकिन कई लेयर स्टैकिंग सीक्वेंस संभव हैं (ABAC, ABCBA, ABCBAC, आदि), और फिर भी क्लोज-पैक्ड संरचना उत्पन्न करते हैं। इन सभी व्यवस्थाओं में प्रत्येक गोला 12 पड़ोसी क्षेत्रों को छूता है,<ref name=grancrys>Granular crystallisation in vibrated packings [https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02355176/document/#page=6 Granular Matter (2019), 21(2), 26] HAL Archives Ouvertes</ref> और औसत घनत्व है
 :<math>\frac{\pi}{3\sqrt{2}} \simeq 0.74048.</math>
 [[कार्ल फ्रेडरिक गॉस]] ने 1831 में साबित किया कि इन पैकिंग में सभी संभावित जाली पैकिंग के बीच उच्चतम घनत्व है।<ref>{{cite journal|first=C. F.|last=Gauß|author-link=Carl Friedrich Gauss|title=Besprechung des Buchs von L. A. Seeber: ''Untersuchungen über die Eigenschaften der positiven ternären quadratischen Formen'' usw|trans-title=Discussion of L. A. Seeber's book: ''Studies on the characteristics of positive ternary quadratic forms'' etc|journal=Göttingsche Gelehrte Anzeigen|year=1831}}</ref>
-में, [[जोहान्स केप्लर]] ने अनुमान लगाया कि यह नियमित और अनियमित दोनों व्यवस्थाओं के बीच अधिकतम संभव घनत्व है- इसे [[केप्लर अनुमान]] के रूप में जाना जाता है। 1998 में, [[ थॉमस कॉलिस्टर हेल्स ]] ने 1953 में लेज़्लो फेजेस टोथ द्वारा सुझाए गए दृष्टिकोण का अनुसरण करते हुए केप्लर अनुमान के प्रमाण की घोषणा की। हेल्स का प्रमाण जटिल कंप्यूटर गणनाओं का उपयोग करके कई अलग-अलग मामलों की जाँच से संबंधित थकावट का प्रमाण है। रेफरी ने कहा कि वे हेल्स के सबूत की शुद्धता के बारे में 99% निश्चित थे। 10 अगस्त 2014 को, हेल्स ने किसी भी संदेह को दूर करते हुए, स्वचालित प्रूफ़ चेकिंग का उपयोग करके एक औपचारिक प्रूफ पूरा करने की घोषणा की।<ref>{{cite web|url=https://code.google.com/p/flyspeck/wiki/AnnouncingCompletion|website=Google Code Archive|title=Long-term storage for Google Code Project Hosting}}</ref>
+में, [[जोहान्स केप्लर]] ने अनुमान लगाया कि यह नियमित और अनियमित दोनों व्यवस्थाओं के बीच अधिकतम संभव घनत्व है- इसे [[केप्लर अनुमान]] के रूप में जाना जाता है। 1998 में, [[ थॉमस कॉलिस्टर हेल्स |थॉमस कॉलिस्टर हेल्स]] ने 1953 में लेज़्लो फेजेस टोथ द्वारा सुझाए गए दृष्टिकोण का अनुसरण करते हुए केप्लर अनुमान के प्रमाण की घोषणा की। हेल्स का प्रमाण जटिल कंप्यूटर गणनाओं का उपयोग करके कई अलग-अलग मामलों की जाँच से संबंधित थकावट का प्रमाण है। रेफरी ने कहा कि वे हेल्स के सबूत की शुद्धता के बारे में 99% निश्चित थे। 10 अगस्त 2014 को, हेल्स ने किसी भी संदेह को दूर करते हुए, स्वचालित प्रूफ़ चेकिंग का उपयोग करके औपचारिक प्रूफ पूरा करने की घोषणा की।<ref>{{cite web|url=https://code.google.com/p/flyspeck/wiki/AnnouncingCompletion|website=Google Code Archive|title=Long-term storage for Google Code Project Hosting}}</ref>
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 === कम घनत्व के साथ जाम पैकिंग ===
-पैकिंग जहां सभी क्षेत्रों को उनके पड़ोसियों द्वारा एक स्थान पर रहने के लिए विवश किया जाता है, उन्हें कठोर या [[जैमिंग (भौतिकी)]] कहा जाता है। सबसे कम घनत्व वाला कड़ाई से जाम किया हुआ गोला पैकिंग केवल 0.49365 के घनत्व के साथ एक पतला (सुरंगयुक्त) एफसीसी क्रिस्टल है।<ref>{{Cite journal | last1 = Torquato | first1 = S. | author-link1 = Salvatore Torquato | last2 = Stillinger | first2 = F. H. | title = Toward the jamming threshold of sphere packings: Tunneled crystals | journal = Journal of Applied Physics | volume = 102 | year = 2007 | issue = 9 | pages = 093511–093511–8 | doi = 10.1063/1.2802184 | arxiv = 0707.4263 | bibcode = 2007JAP...102i3511T | s2cid = 5704550 }}
+पैकिंग जहां सभी क्षेत्रों को उनके पड़ोसियों द्वारा स्थान पर रहने के लिए विवश किया जाता है, उन्हें कठोर या [[जैमिंग (भौतिकी)]] कहा जाता है। सबसे कम घनत्व वाला कड़ाई से जाम किया हुआ गोला पैकिंग केवल 0.49365 के घनत्व के साथ पतला (सुरंगयुक्त) एफसीसी क्रिस्टल है।<ref>{{Cite journal | last1 = Torquato | first1 = S. | author-link1 = Salvatore Torquato | last2 = Stillinger | first2 = F. H. | title = Toward the jamming threshold of sphere packings: Tunneled crystals | journal = Journal of Applied Physics | volume = 102 | year = 2007 | issue = 9 | pages = 093511–093511–8 | doi = 10.1063/1.2802184 | arxiv = 0707.4263 | bibcode = 2007JAP...102i3511T | s2cid = 5704550 }}
 </ref>
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 == अनियमित पैकिंग ==
 {{main|Random close pack}}
-यदि हम गोलों का एक सघन रूप से संकुलित संग्रह बनाने का प्रयास करते हैं, तो हम अगले गोले को हमेशा तीन भरे हुए गोलों के बीच एक खोखले में रखने के लिए प्रलोभित होंगे। यदि पांच गोलों को इस तरह से जोड़ा जाता है, तो वे ऊपर वर्णित नियमित रूप से पैक की गई व्यवस्थाओं में से एक के अनुरूप होंगे। हालाँकि, इस तरह से रखा गया छठा गोला संरचना को किसी भी नियमित व्यवस्था के साथ असंगत बना देगा। इसके परिणामस्वरूप गोलाकारों की एक यादृच्छिक बंद पैकिंग की संभावना होती है जो संपीड़न के विरुद्ध स्थिर होती है।<ref>{{cite journal|title=एकाएक विचार|first=Paul|last=Chaikin|date=June 2007|journal=Physics Today|page=8|issn=0031-9228|publisher=American Institute of Physics|volume=60|issue=6|doi=10.1063/1.2754580|bibcode = 2007PhT....60f...8C }}</ref> एक यादृच्छिक ढीली पैकिंग के कंपन के परिणामस्वरूप गोलाकार कणों की नियमित पैकिंग में व्यवस्था हो सकती है, इस प्रक्रिया को दानेदार सामग्री # पैटर्न गठन के रूप में जाना जाता है। ऐसी प्रक्रियाएं गोलाकार अनाज रखने वाले कंटेनर की ज्यामिति पर निर्भर करती हैं।<ref name=grancrys/>
+यदि हम गोलों का सघन रूप से संकुलित संग्रह बनाने का प्रयास करते हैं, तो हम अगले गोले को हमेशा तीन भरे हुए गोलों के बीच खोखले में रखने के लिए प्रलोभित होंगे। यदि पांच गोलों को इस तरह से जोड़ा जाता है, तो वे ऊपर वर्णित नियमित रूप से पैक की गई व्यवस्थाओं में से के अनुरूप होंगे। हालाँकि, इस तरह से रखा गया छठा गोला संरचना को किसी भी नियमित व्यवस्था के साथ असंगत बना देगा। इसके परिणामस्वरूप गोलाकारों की यादृच्छिक बंद पैकिंग की संभावना होती है जो संपीड़न के विरुद्ध स्थिर होती है।<ref>{{cite journal|title=एकाएक विचार|first=Paul|last=Chaikin|date=June 2007|journal=Physics Today|page=8|issn=0031-9228|publisher=American Institute of Physics|volume=60|issue=6|doi=10.1063/1.2754580|bibcode = 2007PhT....60f...8C }}</ref> यादृच्छिक ढीली पैकिंग के कंपन के परिणामस्वरूप गोलाकार कणों की नियमित पैकिंग में व्यवस्था हो सकती है, इस प्रक्रिया को दानेदार सामग्री # पैटर्न गठन के रूप में जाना जाता है। ऐसी प्रक्रियाएं गोलाकार अनाज रखने वाले कंटेनर की ज्यामिति पर निर्भर करती हैं।<ref name=grancrys/>
-जब गोलों को बेतरतीब ढंग से एक कंटेनर में जोड़ा जाता है और फिर संकुचित किया जाता है, तो वे आम तौर पर अनियमित या जाम पैकिंग कॉन्फ़िगरेशन के रूप में जाने जाते हैं, जब उन्हें और अधिक संपीड़ित नहीं किया जा सकता है। इस अनियमित पैकिंग में आम तौर पर लगभग 64% घनत्व होगा। हाल के शोध ने विश्लेषणात्मक रूप से भविष्यवाणी की है कि यह 63.4% की घनत्व सीमा से अधिक नहीं हो सकता<ref name="nature">{{cite journal |last1=Song |first1=C. |last2=Wang |first2=P. |last3=Makse |first3=H. A. |date=29 May 2008 |title=जाम पदार्थ के लिए एक चरण आरेख|journal=[[Nature (journal)|Nature]] |volume=453 |pages=629–632 |doi=10.1038/nature06981 |pmid=18509438 |issue=7195 |bibcode = 2008Natur.453..629S |arxiv = 0808.2196 |s2cid=4420652 }}</ref> यह स्थिति एक या दो आयामों के मामले के विपरीत है, जहां 1-आयामी या 2-आयामी क्षेत्रों (यानी, रेखा खंड या मंडल) के संग्रह को संपीड़ित करने से नियमित पैकिंग प्राप्त होगी।
+जब गोलों को बेतरतीब ढंग से कंटेनर में जोड़ा जाता है और फिर संकुचित किया जाता है, तो वे आम तौर पर अनियमित या जाम पैकिंग कॉन्फ़िगरेशन के रूप में जाने जाते हैं, जब उन्हें और अधिक संपीड़ित नहीं किया जा सकता है। इस अनियमित पैकिंग में आम तौर पर लगभग 64% घनत्व होगा। हाल के शोध ने विश्लेषणात्मक रूप से भविष्यवाणी की है कि यह 63.4% की घनत्व सीमा से अधिक नहीं हो सकता<ref name="nature">{{cite journal |last1=Song |first1=C. |last2=Wang |first2=P. |last3=Makse |first3=H. A. |date=29 May 2008 |title=जाम पदार्थ के लिए एक चरण आरेख|journal=[[Nature (journal)|Nature]] |volume=453 |pages=629–632 |doi=10.1038/nature06981 |pmid=18509438 |issue=7195 |bibcode = 2008Natur.453..629S |arxiv = 0808.2196 |s2cid=4420652 }}</ref> यह स्थिति या दो आयामों के मामले के विपरीत है, जहां 1-आयामी या 2-आयामी क्षेत्रों (यानी, रेखा खंड या मंडल) के संग्रह को संपीड़ित करने से नियमित पैकिंग प्राप्त होगी।
 == हाइपरस्फेयर पैकिंग ==
-स्फेयर पैकिंग समस्या स्वैच्छिक आयामों में बॉल-पैकिंग समस्याओं के एक वर्ग का त्रि-आयामी संस्करण है। दो आयामों में, समतुल्य समस्या एक समतल पर वृत्त पैकिंग है। एक आयाम में यह लाइन सेगमेंट को एक रैखिक ब्रह्मांड में पैक कर रहा है।<ref>{{cite journal | last1 = Griffith | first1 = J.S. | year = 1962 | title = समान 0-गोले की पैकिंग| journal = Nature | volume = 196 | issue = 4856| pages = 764–765 | doi = 10.1038/196764a0 | bibcode = 1962Natur.196..764G | s2cid = 4262056 }}</ref>
+स्फेयर पैकिंग समस्या स्वैच्छिक आयामों में बॉल-पैकिंग समस्याओं के वर्ग का त्रि-आयामी संस्करण है। दो आयामों में, समतुल्य समस्या समतल पर वृत्त पैकिंग है। आयाम में यह लाइन सेगमेंट को रैखिक ब्रह्मांड में पैक कर रहा है।<ref>{{cite journal | last1 = Griffith | first1 = J.S. | year = 1962 | title = समान 0-गोले की पैकिंग| journal = Nature | volume = 196 | issue = 4856| pages = 764–765 | doi = 10.1038/196764a0 | bibcode = 1962Natur.196..764G | s2cid = 4262056 }}</ref>
 तीन से अधिक आयामों में, हाइपरस्फीयर के सबसे घने नियमित पैकिंग को 8 आयामों तक जाना जाता है।<ref>{{MathWorld |title=Hypersphere Packing|urlname=HyperspherePacking}}</ref> अनियमित हाइपरस्फीयर पैकिंग के बारे में बहुत कम जानकारी है; यह संभव है कि कुछ आयामों में सघन पैकिंग अनियमित हो सकती है। इस अनुमान के लिए कुछ समर्थन इस तथ्य से मिलता है कि कुछ आयामों (जैसे 10) में सबसे घनी ज्ञात अनियमित पैकिंग सघन ज्ञात नियमित पैकिंग से सघन होती है।<ref>{{cite journal | last=Sloane |first=N. J. A. | title=क्षेत्र-पैकिंग समस्या| year=1998 | pages=387–396 | journal=Documenta Mathematica|volume=3 | arxiv=math/0207256|bibcode = 2002math......7256S }}</ref>
-में, [[मरीना वियाज़ोव्स्का]] ने एक प्रमाण की घोषणा की कि E8 जाली|E<sub>8</sub> जाली आठ-आयामी अंतरिक्ष में इष्टतम पैकिंग (नियमितता की परवाह किए बिना) प्रदान करती है,<ref>{{Cite journal|last=Viazovska|first=Maryna|date=1 January 2017|title=The sphere packing problem in dimension 8|url=http://annals.math.princeton.edu/2017/185-3/p07|journal=Annals of Mathematics|language=en-US|volume=185|issue=3|pages=991–1015|arxiv=1603.04246|doi=10.4007/annals.2017.185.3.7|s2cid=119286185|issn=0003-486X}}</ref> और इसके तुरंत बाद उसने और सहयोगियों के एक समूह ने इसी तरह के प्रमाण की घोषणा की कि [[जोंक जाली]] 24 आयामों में इष्टतम है।<ref>{{Cite journal|last1=Cohn|first1=Henry|last2=Kumar|first2=Abhinav|last3=Miller|first3=Stephen|last4=Radchenko|first4=Danylo|last5=Viazovska|first5=Maryna|date=1 January 2017|title=The sphere packing problem in dimension 24|url=http://annals.math.princeton.edu/2017/185-3/p08|journal=Annals of Mathematics|language=en-US|volume=185|issue=3|pages=1017–1033|arxiv=1603.06518|doi=10.4007/annals.2017.185.3.8|s2cid=119281758|issn=0003-486X}}</ref> यह परिणाम पिछले तरीकों पर निर्मित और बेहतर हुआ जिससे पता चला कि ये दो जाली इष्टतम के बहुत करीब हैं।<ref>{{Citation | last1=Cohn | first1=Henry | last2=Kumar | first2=Abhinav | title=Optimality and uniqueness of the Leech lattice among lattices | doi=10.4007/annals.2009.170.1003 | mr=2600869 | zbl=1213.11144 | year=2009 | journal=Annals of Mathematics | issn=1939-8980 | volume=170 | issue=3 | pages=1003–1050 | arxiv=math.MG/0403263 | s2cid=10696627 }} {{Citation | last1=Cohn | first1=Henry | last2=Kumar | first2=Abhinav | title=The densest lattice in twenty-four dimensions | doi=10.1090/S1079-6762-04-00130-1 | mr=2075897 | year=2004 | journal=Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society | issn=1079-6762 | volume=10 | issue=7 | pages=58–67 |arxiv=math.MG/0408174 | bibcode=2004math......8174C | s2cid=15874595 }}</ref>
+में, [[मरीना वियाज़ोव्स्का]] ने प्रमाण की घोषणा की कि E8 जाली|E<sub>8</sub> जाली आठ-आयामी अंतरिक्ष में इष्टतम पैकिंग (नियमितता की परवाह किए बिना) प्रदान करती है,<ref>{{Cite journal|last=Viazovska|first=Maryna|date=1 January 2017|title=The sphere packing problem in dimension 8|url=http://annals.math.princeton.edu/2017/185-3/p07|journal=Annals of Mathematics|language=en-US|volume=185|issue=3|pages=991–1015|arxiv=1603.04246|doi=10.4007/annals.2017.185.3.7|s2cid=119286185|issn=0003-486X}}</ref> और इसके तुरंत बाद उसने और सहयोगियों के समूह ने इसी तरह के प्रमाण की घोषणा की कि [[जोंक जाली]] 24 आयामों में इष्टतम है।<ref>{{Cite journal|last1=Cohn|first1=Henry|last2=Kumar|first2=Abhinav|last3=Miller|first3=Stephen|last4=Radchenko|first4=Danylo|last5=Viazovska|first5=Maryna|date=1 January 2017|title=The sphere packing problem in dimension 24|url=http://annals.math.princeton.edu/2017/185-3/p08|journal=Annals of Mathematics|language=en-US|volume=185|issue=3|pages=1017–1033|arxiv=1603.06518|doi=10.4007/annals.2017.185.3.8|s2cid=119281758|issn=0003-486X}}</ref> यह परिणाम पिछले तरीकों पर निर्मित और बेहतर हुआ जिससे पता चला कि ये दो जाली इष्टतम के बहुत करीब हैं।<ref>{{Citation | last1=Cohn | first1=Henry | last2=Kumar | first2=Abhinav | title=Optimality and uniqueness of the Leech lattice among lattices | doi=10.4007/annals.2009.170.1003 | mr=2600869 | zbl=1213.11144 | year=2009 | journal=Annals of Mathematics | issn=1939-8980 | volume=170 | issue=3 | pages=1003–1050 | arxiv=math.MG/0403263 | s2cid=10696627 }} {{Citation | last1=Cohn | first1=Henry | last2=Kumar | first2=Abhinav | title=The densest lattice in twenty-four dimensions | doi=10.1090/S1079-6762-04-00130-1 | mr=2075897 | year=2004 | journal=Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society | issn=1079-6762 | volume=10 | issue=7 | pages=58–67 |arxiv=math.MG/0408174 | bibcode=2004math......8174C | s2cid=15874595 }}</ref>
-नए प्रमाणों में [[घूर्णी समरूपता]] फ़ंक्शन के निर्माण के लिए सावधानी से चुने गए [[मॉड्यूलर समारोह]] के लाप्लास परिवर्तन का उपयोग करना शामिल है {{mvar|f}} ऐसा है कि {{mvar|f}} और इसका [[फूरियर रूपांतरण]] {{mvar|f̂}} मूल (गणित) पर दोनों बराबर एक, और दोनों इष्टतम जाली के अन्य सभी बिंदुओं पर गायब हो जाते हैं, साथ में {{mvar|f}} पैकिंग के केंद्रीय क्षेत्र के बाहर नकारात्मक और {{mvar|f̂}} सकारात्मक। फिर, के लिए प्वासों योग सूत्र {{mvar|f}} का उपयोग किसी अन्य पैकिंग के साथ इष्टतम जाली के घनत्व की तुलना करने के लिए किया जाता है।<ref>{{citation|url=https://www.youtube.com/watch?v=8qlZjarkS_g |archive-url=https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211221/8qlZjarkS_g |archive-date=2021-12-21 |url-status=live|first=Stephen D.|last=Miller|date=4 April 2016|title=The solution to the sphere packing problem in 24 dimensions via modular forms|publisher=[[Institute for Advanced Study]]}}{{cbignore}}. Video of an hour-long talk by one of Viazovska's co-authors explaining the new proofs.</ref> इससे पहले कि प्रूफ [[विद्वान सहकर्मी समीक्षा]] और प्रकाशित होता, गणितज्ञ [[ पीटर इतिहास ]] ने प्रूफ को आश्चर्यजनक रूप से सरल कहा और लिखा कि आप बस पेपर पढ़ना शुरू करें और आप जानते हैं कि यह सही है।<ref>{{citation|last1=Klarreich|first1=Erica|author-link1=Erica Klarreich|title=Sphere Packing Solved in Higher Dimensions|url=https://www.quantamagazine.org/20160330-sphere-packing-solved-in-higher-dimensions|magazine=Quanta Magazine|date=30 March 2016}}</ref>
+नए प्रमाणों में [[घूर्णी समरूपता]] फ़ंक्शन के निर्माण के लिए सावधानी से चुने गए [[मॉड्यूलर समारोह]] के लाप्लास परिवर्तन का उपयोग करना शामिल है {{mvar|f}} ऐसा है कि {{mvar|f}} और इसका [[फूरियर रूपांतरण]] {{mvar|f̂}} मूल (गणित) पर दोनों बराबर एक, और दोनों इष्टतम जाली के अन्य सभी बिंदुओं पर गायब हो जाते हैं, साथ में {{mvar|f}} पैकिंग के केंद्रीय क्षेत्र के बाहर नकारात्मक और {{mvar|f̂}} सकारात्मक। फिर, के लिए प्वासों योग सूत्र {{mvar|f}} का उपयोग किसी अन्य पैकिंग के साथ इष्टतम जाली के घनत्व की तुलना करने के लिए किया जाता है।<ref>{{citation|url=https://www.youtube.com/watch?v=8qlZjarkS_g |archive-url=https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211221/8qlZjarkS_g |archive-date=2021-12-21 |url-status=live|first=Stephen D.|last=Miller|date=4 April 2016|title=The solution to the sphere packing problem in 24 dimensions via modular forms|publisher=[[Institute for Advanced Study]]}}{{cbignore}}. Video of an hour-long talk by one of Viazovska's co-authors explaining the new proofs.</ref> इससे पहले कि प्रूफ [[विद्वान सहकर्मी समीक्षा]] और प्रकाशित होता, गणितज्ञ [[ पीटर इतिहास |पीटर इतिहास]] ने प्रूफ को आश्चर्यजनक रूप से सरल कहा और लिखा कि आप बस पेपर पढ़ना शुरू करें और आप जानते हैं कि यह सही है।<ref>{{citation|last1=Klarreich|first1=Erica|author-link1=Erica Klarreich|title=Sphere Packing Solved in Higher Dimensions|url=https://www.quantamagazine.org/20160330-sphere-packing-solved-in-higher-dimensions|magazine=Quanta Magazine|date=30 March 2016}}</ref>
-उच्च आयामों में अनुसंधान की एक अन्य पंक्ति सघन पैकिंग के घनत्व के लिए स्पर्शोन्मुख सीमा खोजने की कोशिश कर रही है। 2017 तक, यह ज्ञात है कि बड़े के लिए {{mvar|n}}, आयाम में सबसे घनी जाली {{mvar|n}} के बीच घनत्व है {{math|''cn'' &sdot; 2<sup>−''n''</sup>}} (कुछ स्थिरांक के लिए {{mvar|c}}) और {{math|2<sup>−0.599''n''</sup>}}.<!--<ref>{{cite journal|last=Rogers|first=C. A.|title=Existence Theorems in the Geometry of Numbers|journal=Annals of Mathematics |series=Second Series|volume=48|issue=4|year=1947|pages=994–1002|jstor=1969390|doi=10.2307/1969390}}</ref>--><ref>{{Citation | last1=Cohn | first1=Henry | title=A conceptual breakthrough in sphere packing | doi=10.1090/noti1474 | mr=3587715 | year=2017 | journal=Notices of the American Mathematical Society| url=https://www.ams.org/journals/notices/201702/rnoti-p102.pdf| issn=0002-9920| volume=64 | issue=2 | pages=102–115 |arxiv=1611.01685| s2cid=16124591 }}</ref> अनुमानित सीमाएं बीच में हैं।<ref>{{Citation| last1=Torquato| first1=S.| last2=Stillinger |first2=F. H.| title=New conjectural lower bounds on the optimal density of sphere packings| journal=Experimental Mathematics| year=2006| volume=15| issue=3| pages=307&ndash;331 | url=https://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.1080/10586458.2006.10128964|doi=10.1080/10586458.2006.10128964| arxiv=math/0508381| mr=2264469| s2cid=9921359}}</ref>
+उच्च आयामों में अनुसंधान की अन्य पंक्ति सघन पैकिंग के घनत्व के लिए स्पर्शोन्मुख सीमा खोजने की कोशिश कर रही है। 2017 तक, यह ज्ञात है कि बड़े के लिए {{mvar|n}}, आयाम में सबसे घनी जाली {{mvar|n}} के बीच घनत्व है {{math|''cn'' &sdot; 2<sup>−''n''</sup>}} (कुछ स्थिरांक के लिए {{mvar|c}}) और {{math|2<sup>−0.599''n''</sup>}}.<ref>{{Citation | last1=Cohn | first1=Henry | title=A conceptual breakthrough in sphere packing | doi=10.1090/noti1474 | mr=3587715 | year=2017 | journal=Notices of the American Mathematical Society| url=https://www.ams.org/journals/notices/201702/rnoti-p102.pdf| issn=0002-9920| volume=64 | issue=2 | pages=102–115 |arxiv=1611.01685| s2cid=16124591 }}</ref> अनुमानित सीमाएं बीच में हैं।<ref>{{Citation| last1=Torquato| first1=S.| last2=Stillinger |first2=F. H.| title=New conjectural lower bounds on the optimal density of sphere packings| journal=Experimental Mathematics| year=2006| volume=15| issue=3| pages=307&ndash;331 | url=https://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.1080/10586458.2006.10128964|doi=10.1080/10586458.2006.10128964| arxiv=math/0508381| mr=2264469| s2cid=9921359}}</ref>
-== असमान क्षेत्र पैकिंग{{anchor|Unequal}}==
+== असमान क्षेत्र पैकिंग==
 {{see also|Unequal circle packing}}
-[[File:Binary sphere packing LS3.png|thumb|0.64799 के त्रिज्या अनुपात और 0.74786 के घनत्व के साथ गोलों की सघन पैकिंग<ref name= doi10.1021/jp206115p>{{Cite journal | last1 = O'Toole | first1 = P. I. | last2 = Hudson | first2 = T. S. | doi = 10.1021/jp206115p | title = समान आकार के बाइनरी क्षेत्रों की नई उच्च-घनत्व पैकिंग| journal = The Journal of Physical Chemistry C | volume = 115 | issue = 39 | pages = 19037 | year = 2011 }}</ref>]]रासायनिक और भौतिक विज्ञान में कई समस्याएँ पैकिंग समस्याओं से संबंधित हो सकती हैं जहाँ एक से अधिक आकार के गोले उपलब्ध हैं। यहाँ गोलों को निकट संकुलित समान गोलों के क्षेत्रों में अलग करने, या अनेक आकारों के गोलों को एक यौगिक या [[अंतरालीय यौगिक]] पैकिंग में संयोजित करने के बीच एक विकल्प है। जब कई आकार के गोले (या एक कण आकार वितरण) उपलब्ध होते हैं, तो समस्या जल्दी से जटिल हो जाती है, लेकिन बाइनरी हार्ड क्षेत्रों (दो आकार) के कुछ अध्ययन उपलब्ध हैं।
+[[File:Binary sphere packing LS3.png|thumb|0.64799 के त्रिज्या अनुपात और 0.74786 के घनत्व के साथ गोलों की सघन पैकिंग<ref name= doi10.1021/jp206115p>{{Cite journal | last1 = O'Toole | first1 = P. I. | last2 = Hudson | first2 = T. S. | doi = 10.1021/jp206115p | title = समान आकार के बाइनरी क्षेत्रों की नई उच्च-घनत्व पैकिंग| journal = The Journal of Physical Chemistry C | volume = 115 | issue = 39 | pages = 19037 | year = 2011 }}</ref>]]रासायनिक और भौतिक विज्ञान में कई समस्याएँ पैकिंग समस्याओं से संबंधित हो सकती हैं जहाँ से अधिक आकार के गोले उपलब्ध हैं। यहाँ गोलों को निकट संकुलित समान गोलों के क्षेत्रों में अलग करने, या अनेक आकारों के गोलों को यौगिक या [[अंतरालीय यौगिक]] पैकिंग में संयोजित करने के बीच विकल्प है। जब कई आकार के गोले (या कण आकार वितरण) उपलब्ध होते हैं, तो समस्या जल्दी से जटिल हो जाती है, लेकिन बाइनरी हार्ड क्षेत्रों (दो आकार) के कुछ अध्ययन उपलब्ध हैं।
-जब दूसरा गोला पहले की तुलना में बहुत छोटा होता है, तो बड़े गोले को एक बंद-संकुलित व्यवस्था में व्यवस्थित करना संभव है, और फिर छोटे गोले को ऑक्टाहेड्रल और टेट्राहेड्रल अंतराल के भीतर व्यवस्थित करें। इस अंतरालीय पैकिंग का घनत्व त्रिज्या अनुपात पर संवेदनशील रूप से निर्भर करता है, लेकिन चरम आकार के अनुपात की सीमा में, छोटे गोले उसी घनत्व के साथ अंतराल को भर सकते हैं जैसे बड़े गोले भरे हुए स्थान।<ref>{{Cite journal | last1 = Hudson | first1 = D. R. | title = मिश्रित क्षेत्रों के समुच्चय में घनत्व और पैकिंग| doi = 10.1063/1.1698327 | journal = Journal of Applied Physics | volume = 20 | issue = 2 | pages = 154–162| year = 1949 |bibcode = 1949JAP....20..154H }}</ref> भले ही बड़े गोले एक बंद-संकुलित व्यवस्था में न हों, फिर भी बड़े गोले की त्रिज्या के 0.29099 तक के कुछ छोटे गोले सम्मिलित करना हमेशा संभव होता है।<ref>{{Cite journal | last1 = Zong | first1 = C. | title = गहरे छेद से मुक्त विमानों तक| doi = 10.1090/S0273-0979-02-00950-3 | journal = Bulletin of the American Mathematical Society | volume = 39 | issue = 4 | pages = 533–555 | year = 2002 | doi-access = free }}</ref>
+जब दूसरा गोला पहले की तुलना में बहुत छोटा होता है, तो बड़े गोले को बंद-संकुलित व्यवस्था में व्यवस्थित करना संभव है, और फिर छोटे गोले को ऑक्टाहेड्रल और टेट्राहेड्रल अंतराल के भीतर व्यवस्थित करें। इस अंतरालीय पैकिंग का घनत्व त्रिज्या अनुपात पर संवेदनशील रूप से निर्भर करता है, लेकिन चरम आकार के अनुपात की सीमा में, छोटे गोले उसी घनत्व के साथ अंतराल को भर सकते हैं जैसे बड़े गोले भरे हुए स्थान।<ref>{{Cite journal | last1 = Hudson | first1 = D. R. | title = मिश्रित क्षेत्रों के समुच्चय में घनत्व और पैकिंग| doi = 10.1063/1.1698327 | journal = Journal of Applied Physics | volume = 20 | issue = 2 | pages = 154–162| year = 1949 |bibcode = 1949JAP....20..154H }}</ref> भले ही बड़े गोले बंद-संकुलित व्यवस्था में न हों, फिर भी बड़े गोले की त्रिज्या के 0.29099 तक के कुछ छोटे गोले सम्मिलित करना हमेशा संभव होता है।<ref>{{Cite journal | last1 = Zong | first1 = C. | title = गहरे छेद से मुक्त विमानों तक| doi = 10.1090/S0273-0979-02-00950-3 | journal = Bulletin of the American Mathematical Society | volume = 39 | issue = 4 | pages = 533–555 | year = 2002 | doi-access = free }}</ref>
 जब छोटे गोले का दायरा बड़े गोले के त्रिज्या के 0.41421 से अधिक होता है, तो यह अब बंद-पैक संरचना के ऑक्टाहेड्रल छिद्रों में भी फिट होना संभव नहीं है। इस प्रकार, इस बिंदु से परे, या तो मेजबान संरचना को अंतरालीय (जो समग्र घनत्व से समझौता करता है) को समायोजित करने के लिए विस्तारित होना चाहिए, या अधिक जटिल क्रिस्टलीय मिश्रित संरचना में पुनर्व्यवस्थित करना चाहिए। ऐसी संरचनाएं ज्ञात हैं जो 0.659786 तक रेडियस अनुपात के लिए क्लोज पैकिंग घनत्व से अधिक हैं।<ref name= doi10.1021/jp206115p /><ref>{{cite journal|first1=G. W.|last1=Marshall|first2=T. S.|last2=Hudson|journal=Contributions to Algebra and Geometry|title=घने बाइनरी क्षेत्र पैकिंग|volume=51|issue=2|pages=337–344|year=2010|url=http://www.emis.de/journals/BAG/vol.51/no.2/3.html}}</ref>
 ऐसे बाइनरी पैकिंग में प्राप्त किए जा सकने वाले घनत्व के लिए ऊपरी सीमाएं भी प्राप्त की गई हैं।<ref>{{cite journal |last1=de Laat |first1=David |last2=de Oliveira Filho |first2=Fernando Mário |last3=Vallentin |first3=Frank |title=कई रेडी के गोले की पैकिंग के लिए ऊपरी सीमा|arxiv=1206.2608|date=12 June 2012 |doi=10.1017/fms.2014.24 |volume=2 |journal=Forum of Mathematics, Sigma|s2cid=11082628 }}</ref>
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 == हाइपरबॉलिक स्पेस ==
-यद्यपि हलकों और क्षेत्रों की अवधारणा को अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान तक बढ़ाया जा सकता है, लेकिन सघन पैकिंग को खोजना अधिक कठिन हो जाता है। एक अतिपरवलयिक स्थान में गोले की संख्या की कोई सीमा नहीं होती है जो किसी अन्य क्षेत्र को घेर सकते हैं (उदाहरण के लिए, [[फोर्ड सर्कल]] को समान अतिपरवलयिक हलकों की व्यवस्था के रूप में माना जा सकता है जिसमें प्रत्येक चक्र अन्य मंडलियों की अनंत संख्या से घिरा हुआ है)। औसत घनत्व की अवधारणा को भी सटीक रूप से परिभाषित करना अधिक कठिन हो जाता है। किसी भी अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान में सबसे घनी पैकिंग लगभग हमेशा अनियमित होती है।<ref>{{Cite journal | last1 = Bowen | first1 = L. | last2 = Radin | first2 = C. | doi = 10.1007/s00454-002-2791-7 | title = हाइपरबोलिक स्पेस में समान क्षेत्रों की सघन पैकिंग| journal = Discrete and Computational Geometry | volume = 29 | pages = 23–39 | year = 2002 | doi-access = free }}</ref>
+यद्यपि हलकों और क्षेत्रों की अवधारणा को अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान तक बढ़ाया जा सकता है, लेकिन सघन पैकिंग को खोजना अधिक कठिन हो जाता है। अतिपरवलयिक स्थान में गोले की संख्या की कोई सीमा नहीं होती है जो किसी अन्य क्षेत्र को घेर सकते हैं (उदाहरण के लिए, [[फोर्ड सर्कल]] को समान अतिपरवलयिक हलकों की व्यवस्था के रूप में माना जा सकता है जिसमें प्रत्येक चक्र अन्य मंडलियों की अनंत संख्या से घिरा हुआ है)। औसत घनत्व की अवधारणा को भी सटीक रूप से परिभाषित करना अधिक कठिन हो जाता है। किसी भी अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान में सबसे घनी पैकिंग लगभग हमेशा अनियमित होती है।<ref>{{Cite journal | last1 = Bowen | first1 = L. | last2 = Radin | first2 = C. | doi = 10.1007/s00454-002-2791-7 | title = हाइपरबोलिक स्पेस में समान क्षेत्रों की सघन पैकिंग| journal = Discrete and Computational Geometry | volume = 29 | pages = 23–39 | year = 2002 | doi-access = free }}</ref>
-इस कठिनाई के बावजूद, K. Böröczky अतिशयोक्तिपूर्ण n-स्थान के गोले के घनत्व के लिए एक सार्वभौमिक ऊपरी सीमा देता है जहाँ n ≥ 2।<ref>{{Cite journal | last1 = Böröczky | first1 = K. | title = स्थिर वक्रता वाले स्थानों में गोलों की पैकिंग| doi = 10.1007/BF01902361 | doi-access=free | journal = [[Acta Mathematica Hungarica|Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae]] | volume = 32 | issue = 3–4 | pages = 243–261 | year = 1978 | s2cid = 122561092 }}</ref> तीन आयामों में बोरोज़्स्की बाउंड लगभग 85.327613% है, और श्लाफली प्रतीक {3,3,6} के साथ [[गण - 6 चतुष्फलकीय मधुकोश]] मधुकोश के [[राशिफल]] पैकिंग द्वारा महसूस किया जाता है।<ref>{{Cite journal | last1 = Böröczky | first1 = K. | last2 = Florian | first2 = A. | doi = 10.1007/BF01897041 | doi-access=free | title = Über die dichteste Kugelpackung im hyperbolischen Raum | journal = [[Acta Mathematica Hungarica|Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae]] | volume = 15 | pages = 237–245 | year = 1964 | issue = 1–2 | s2cid = 122081239 }}</ref> इस विन्यास के अलावा कम से कम तीन अन्य होरोस्फीयर पैकिंग हाइपरबोलिक 3-स्पेस में मौजूद हैं जो घनत्व ऊपरी सीमा का एहसास करते हैं।<ref>{{Cite journal | last1 = Kozma | first1 = R. T. | last2 = Szirmai | first2 = J. | doi = 10.1007/s00605-012-0393-x | title = विभिन्न प्रकार के होरोबॉल द्वारा पूरी तरह से स्पर्शोन्मुख कॉक्सेटर टाइलिंग के लिए वैकल्पिक रूप से सघन पैकिंग| journal = Monatshefte für Mathematik | volume = 168 | pages = 27–47 | year = 2012 | arxiv = 1007.0722 | s2cid = 119713174 }}</ref>
+इस कठिनाई के बावजूद, K. Böröczky अतिशयोक्तिपूर्ण n-स्थान के गोले के घनत्व के लिए सार्वभौमिक ऊपरी सीमा देता है जहाँ n ≥ 2।<ref>{{Cite journal | last1 = Böröczky | first1 = K. | title = स्थिर वक्रता वाले स्थानों में गोलों की पैकिंग| doi = 10.1007/BF01902361 | doi-access=free | journal = [[Acta Mathematica Hungarica|Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae]] | volume = 32 | issue = 3–4 | pages = 243–261 | year = 1978 | s2cid = 122561092 }}</ref> तीन आयामों में बोरोज़्स्की बाउंड लगभग 85.327613% है, और श्लाफली प्रतीक {3,3,6} के साथ [[गण - 6 चतुष्फलकीय मधुकोश]] मधुकोश के [[राशिफल]] पैकिंग द्वारा महसूस किया जाता है।<ref>{{Cite journal | last1 = Böröczky | first1 = K. | last2 = Florian | first2 = A. | doi = 10.1007/BF01897041 | doi-access=free | title = Über die dichteste Kugelpackung im hyperbolischen Raum | journal = [[Acta Mathematica Hungarica|Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae]] | volume = 15 | pages = 237–245 | year = 1964 | issue = 1–2 | s2cid = 122081239 }}</ref> इस विन्यास के अलावा कम से कम तीन अन्य होरोस्फीयर पैकिंग हाइपरबोलिक 3-स्पेस में मौजूद हैं जो घनत्व ऊपरी सीमा का एहसास करते हैं।<ref>{{Cite journal | last1 = Kozma | first1 = R. T. | last2 = Szirmai | first2 = J. | doi = 10.1007/s00605-012-0393-x | title = विभिन्न प्रकार के होरोबॉल द्वारा पूरी तरह से स्पर्शोन्मुख कॉक्सेटर टाइलिंग के लिए वैकल्पिक रूप से सघन पैकिंग| journal = Monatshefte für Mathematik | volume = 168 | pages = 27–47 | year = 2012 | arxiv = 1007.0722 | s2cid = 119713174 }}</ref>
 == मार्मिक जोड़े, त्रिक, और चौगुनी ==
-यूनिट बॉल्स की मनमाना परिमित पैकिंग का [[संपर्क ग्राफ]] वह ग्राफ है जिसके कोने पैकिंग तत्वों के अनुरूप होते हैं और जिनके दो कोने एक किनारे से जुड़े होते हैं यदि संबंधित दो पैकिंग तत्व एक दूसरे को स्पर्श करते हैं। संपर्क ग्राफ़ के किनारे सेट की कार्डिनैलिटी स्पर्श करने वाले जोड़े की संख्या देती है, संपर्क ग्राफ़ में 3-चक्रों की संख्या स्पर्श करने वाले ट्रिपल की संख्या देती है, और संपर्क ग्राफ़ में टेट्राहेड्रॉन की संख्या स्पर्श करने वाले चतुष्कोणों की संख्या देती है ( आम तौर पर एन आयामों में गोलाकार पैकिंग से जुड़े एक संपर्क ग्राफ के लिए जो संपर्क ग्राफ में एन-सरलताओं के सेट की कार्डिनालिटी क्षेत्र पैकिंग में स्पर्श करने की संख्या (एन + 1) -ट्यूपल देता है)। 3-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष के मामले में, स्पर्श करने वाले जोड़े, ट्रिपल और चौगुनी की संख्या पर गैर-तुच्छ ऊपरी सीमाएं<ref>{{cite journal| last1 = Bezdek | first1 = Karoly | last2 = Reid | first2 = Samuel | title=स्फेयर पैकिंग के कॉन्टैक्ट ग्राफ पर दोबारा गौर किया गया| year = 2013 |arxiv=1210.5756 |journal=Journal of Geometry |volume = 104 |issue = 1 | pages = 57–83 |doi = 10.1007/s00022-013-0156-4| s2cid = 14428585 }}</ref> कैलगरी विश्वविद्यालय में [[केरोली बेजडेक]] और सैमुअल रीड द्वारा सिद्ध किया गया था।
+यूनिट बॉल्स की मनमाना परिमित पैकिंग का [[संपर्क ग्राफ]] वह ग्राफ है जिसके कोने पैकिंग तत्वों के अनुरूप होते हैं और जिनके दो कोने किनारे से जुड़े होते हैं यदि संबंधित दो पैकिंग तत्व दूसरे को स्पर्श करते हैं। संपर्क ग्राफ़ के किनारे सेट की कार्डिनैलिटी स्पर्श करने वाले जोड़े की संख्या देती है, संपर्क ग्राफ़ में 3-चक्रों की संख्या स्पर्श करने वाले ट्रिपल की संख्या देती है, और संपर्क ग्राफ़ में टेट्राहेड्रॉन की संख्या स्पर्श करने वाले चतुष्कोणों की संख्या देती है ( आम तौर पर एन आयामों में गोलाकार पैकिंग से जुड़े संपर्क ग्राफ के लिए जो संपर्क ग्राफ में एन-सरलताओं के सेट की कार्डिनालिटी क्षेत्र पैकिंग में स्पर्श करने की संख्या (एन + 1) -ट्यूपल देता है)। 3-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष के मामले में, स्पर्श करने वाले जोड़े, ट्रिपल और चौगुनी की संख्या पर गैर-तुच्छ ऊपरी सीमाएं<ref>{{cite journal| last1 = Bezdek | first1 = Karoly | last2 = Reid | first2 = Samuel | title=स्फेयर पैकिंग के कॉन्टैक्ट ग्राफ पर दोबारा गौर किया गया| year = 2013 |arxiv=1210.5756 |journal=Journal of Geometry |volume = 104 |issue = 1 | pages = 57–83 |doi = 10.1007/s00022-013-0156-4| s2cid = 14428585 }}</ref> कैलगरी विश्वविद्यालय में [[केरोली बेजडेक]] और सैमुअल रीड द्वारा सिद्ध किया गया था।
 गोले के बीच संपर्क बिंदुओं की संख्या को अधिकतम करने वाले एन समान क्षेत्रों की व्यवस्था को खोजने की समस्या को चिपचिपा-गोला समस्या के रूप में जाना जाता है। अधिकतम n ≤ 11 के लिए जाना जाता है, और केवल अनुमानित मान बड़े n के लिए जाने जाते हैं।<ref>{{Cite web|date=2017-02-06|title=चिपचिपा क्षेत्रों का विज्ञान|url=https://www.americanscientist.org/article/the-science-of-sticky-spheres|access-date=2020-07-14|website=American Scientist|language=en}}</ref>
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 == अन्य रिक्त स्थान ==
-हाइपरक्यूब के कोनों पर गोलाकार पैकिंग ([[हैमिंग दूरी]] द्वारा परिभाषित क्षेत्रों के साथ) डिजाइनिंग त्रुटि-सुधार कोड से मेल खाती है: यदि क्षेत्रों में त्रिज्या टी है, तो उनके केंद्र एक (2t + 1)-त्रुटि-सुधार कोड के कोडवर्ड हैं। जाली पैकिंग रैखिक कोड के अनुरूप होती है। यूक्लिडियन क्षेत्र पैकिंग और त्रुटि-सुधार कोड के बीच अन्य, सूक्ष्म संबंध हैं। उदाहरण के लिए, [[ बाइनरी भाषा में कोड ]] 24-आयामी जोंक जाली से निकटता से संबंधित है।
+हाइपरक्यूब के कोनों पर गोलाकार पैकिंग ([[हैमिंग दूरी]] द्वारा परिभाषित क्षेत्रों के साथ) डिजाइनिंग त्रुटि-सुधार कोड से मेल खाती है: यदि क्षेत्रों में त्रिज्या टी है, तो उनके केंद्र (2t + 1)-त्रुटि-सुधार कोड के कोडवर्ड हैं। जाली पैकिंग रैखिक कोड के अनुरूप होती है। यूक्लिडियन क्षेत्र पैकिंग और त्रुटि-सुधार कोड के बीच अन्य, सूक्ष्म संबंध हैं। उदाहरण के लिए, [[ बाइनरी भाषा में कोड |बाइनरी भाषा में कोड]] 24-आयामी जोंक जाली से निकटता से संबंधित है।
 इन कनेक्शनों के बारे में अधिक जानकारी के लिए, [[जॉन हॉर्टन कॉनवे]] और [[नील स्लोएन]] की पुस्तक स्फीयर पैकिंग्स, लैटिस एंड ग्रुप्स देखें।<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=ITDvBwAAQBAJ|title=क्षेत्र पैकिंग, जाली और समूह|last1=Conway|first1=John H.|author-link=John Horton Conway|last2=Sloane|first2=Neil J. A.|author-link2=Neil Sloane|publisher=Springer Science & Business Media|year=1998|isbn=0-387-98585-9|edition=3rd}}</ref>

v t e Packing problems
Abstract packing	Bin Set
Circle packing	In a circle / equilateral triangle / isosceles right triangle / square Apollonian gasket Circle packing theorem Tammes problem (on sphere)
Sphere packing	Apollonian Finite In a sphere In a cube In a cylinder Close-packing Kissing number Sphere-packing (Hamming) bound
Other 2-D packing	Square packing in a square
Other 3-D packing	Tetrahedron Ellipsoid
Puzzles	Conway Slothouber–Graatsma

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