चेबीशेव दूरी: Difference between revisions

Latest revision as of 11:19, 3 May 2023

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एक शतरंज पटल पर दो स्थानों के बीच असतत चेबीशेव दूरी चालों की न्यूनतम संख्या देती है राजा को उनके बीच चलने की आवश्यकता होती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक राजा तिरछे चल सकता है, ताकि एक पंक्ति या स्तंभ के समानांतर छोटी दूरी को आच्छादित करने के लिए छलांग प्रभावी रूप से बड़े को आच्छादन करने वाली छलांग में अवशोषित हो जाए। ऊपर वर्ग f6 से प्रत्येक वर्ग की चेबिशेव दूरियां हैं।

गणित में, चेबीशेव दूरी (या चेबीचेव दूरी), अधिकतम माप, या L_∞ माप^[1] जो एक सदिश स्थान पर परिभाषित माप (गणित) है जहाँ दो निर्देशांक सदिशों के बीच की दूरी किसी भी निर्देशांक विमा के साथ उनके अंतरों में सबसे बड़ी है।^[2] इसका नाम पफन्युटी चेबीशेव के नाम पर है।

इसे शतरंज की बिसात के रूप में भी जाना जाता है, क्योंकि शतरंज के खेल में एक राजा (शतरंज) को शतरंज की बिसात पर एक वर्ग से दूसरे वर्ग तक जाने के लिए आवश्यक चालों की न्यूनतम संख्या चौकों के केंद्रों के बीच चेबीशेव की दूरी के बराबर होती है, यदि वर्गों की भुजा लंबाई है, जैसा कि पटल के किनारों से संरेखित अक्षों के साथ 2-डी स्थानिक निर्देशांक में दर्शाया गया है।^[3] उदाहरण के लिए, f6 और e2 के बीच चेबीशेव की दूरी 4 के बराबर है।

परिभाषा

मानक निर्देशांक $x_{i}$ और $y_{i}$ के साथ क्रमशः दो सदिश या बिंदु x और y के बीच की चेबीशेव दूरी

D_{\rm {Chebyshev}}(x,y):=\max _{i}(|x_{i}-y_{i}|)\

है।

यह L_p मिति:

\lim _{p\to \infty }{\bigg (}\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}{\bigg )}^{1/p}

की सीमा के बराबर है, इसलिए इसे L_∞ माप के रूप में भी जाना जाता है।

गणितीय रूप से, चेबीशेव दूरी एक माप (गणित) है जो सर्वोच्च मानक या समान मानक से प्रेरित है। यह अंतःक्षेपक माप स्थान का एक उदाहरण है।

दो विमाओं में, अर्थात समतल ज्यामिति, यदि बिंदु p और q में कार्तीय निर्देशांक $(x_{1},y_{1})$ और $(x_{2},y_{2})$ हैं, तो उनकी चेबीशेव दूरी

D_{\rm {Chebyshev}}=\max \left(\left|x_{2}-x_{1}\right|,\left|y_{2}-y_{1}\right|\right)

है।

इस माप के अंतर्गत, त्रिज्या r का एक वृत्त, जो केंद्र बिंदु से चेबीशेव दूरी r के साथ बिंदुओं का समूह है, एक वर्ग है जिसकी भुजाओं की लंबाई 2r है और समन्वय अक्षों के समानांतर हैं।

एक शतरंज की बिसात पर, जहां निरंतर एक के अतिरिक्त असतत चेबीशेव दूरी का उपयोग कर रहा है, त्रिज्या r का चक्र भुजाओं की लंबाई 2r का एक वर्ग है, जो वर्गों के केंद्रों से मापते है, और इस प्रकार प्रत्येक पक्ष में 2r + 1 वर्ग होते हैं; उदाहरण के लिए, शतरंज की बिसात पर त्रिज्या 1 का वृत्त एक 3×3 वर्ग है।

गुण

एक विमा में, सभी L_p मिति समान हैं - वे मात्र अंतर का निरपेक्ष मान हैं।

द्विविमीय मैनहटन दूरी में वृत्त होते हैं अर्थात वर्गों के रूप में स्तर समूह, लंबाई √2r के किनारों के साथ, समन्वय अक्षों के लिए π/4 (45°) के कोण पर उन्मुख होते हैं, इसलिए तलीय चेबीशेव दूरी को घूर्णन और सोपानी द्वारा तलीय मैनहट्टन दूरी के बराबर देखा जा सकता है (अर्थात एक रैखिक परिवर्तन)।

यद्यपि, L₁ और L_∞ माप के बीच यह ज्यामितीय तुल्यता उच्च विमा के लिए सामान्यीकृत नहीं होती हैं। माप के रूप में चेबीशेव दूरी का उपयोग करके बनाया गया एक गोला घन है जिसका प्रत्येक फलक समन्वय अक्षों में से एक के लंबवत होते है, परन्तु मैनहट्टन दूरी का उपयोग करके बनाया गया गोला अष्टफलक होता है: ये दोहरे बहुफलकीय हैं, परन्तु घनक्षेत्र के बीच, मात्र वर्ग (और 1) -विमा रेखा खंड स्वतः-दोहरी बहुतलीय हैं। फिर भी, यह सत्य है कि सभी परिमित-विमा स्थानों में L₁ और L_∞ मिति गणितीय रूप से एक दूसरे के दोहरे हैं।

एक ग्रिड पर (जैसे शतरंज की बिसात), एक बिंदु के 1 की चेबीशेव दूरी पर बिंदु उस बिंदु के मूर प्रतिवैस हैं।

चेबीशेव दूरी कोटि- $p$ मिन्कोव्स्की दूरी की सीमित स्थिति है, जब $p$ अनंत तक पहुँचता है।

अनुप्रयोग

चेबीशेव दूरी का उपयोग कभी-कभी गोदाम संभार में किया जाता है,^[4] क्योंकि यह किसी वस्तु को स्थानांतरित करने के लिए ऊपरी भारोत्तोलन यंत्र के समय को प्रभावी रूप से मापता है (क्योंकि भारोत्तोलन यंत्र एक ही समय में x और y अक्षों पर प्रत्येक अक्ष के साथ समान गति से चल सकती है)।

यह विशेष रूप से इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर सहायतायुक्त विनिर्माण, अनुप्रयोगों में, इनके लिए अनुकूलन एल्गोरिदम में भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। कई उपकरण, जैसे आलेखन या प्रवेधन यंत्र, प्रकाशआलेखन, आदि, तल में कार्य कर रहे हैं, सामान्यतः ऊपरी भारोत्तोलन यंत्र के समान x और y दिशाओं में दो मोटरों द्वारा नियंत्रित होते हैं।^[5]

यह भी देखें

राजा का ग्राफ
समान मानक
टैक्सीकैब ज्यामिति

संदर्भ

↑ Cyrus. D. Cantrell (2000). भौतिकविदों और इंजीनियरों के लिए आधुनिक गणितीय तरीके. Cambridge University Press. ISBN 0-521-59827-3.
↑ Abello, James M.; Pardalos, Panos M.; Resende, Mauricio G. C., eds. (2002). Handbook of Massive Data Sets. Springer. ISBN 1-4020-0489-3.
↑ David M. J. Tax; Robert Duin; Dick De Ridder (2004). Classification, Parameter Estimation and State Estimation: An Engineering Approach Using MATLAB. John Wiley and Sons. ISBN 0-470-09013-8.
↑ André Langevin; Diane Riopel (2005). रसद प्रणाली. Springer. ISBN 0-387-24971-0.
↑ Seitz, Charles L. (1989). Advanced Research in VLSI: Proceedings of the Decennial Caltech Conference on VLSI, March 1989. ISBN 9780262192828.

[1] Cyrus. D. Cantrell (2000). भौतिकविदों और इंजीनियरों के लिए आधुनिक गणितीय तरीके. Cambridge University Press. ISBN 0-521-59827-3.

[2] Abello, James M.; Pardalos, Panos M.; Resende, Mauricio G. C., eds. (2002). Handbook of Massive Data Sets. Springer. ISBN 1-4020-0489-3.

[3] David M. J. Tax; Robert Duin; Dick De Ridder (2004). Classification, Parameter Estimation and State Estimation: An Engineering Approach Using MATLAB. John Wiley and Sons. ISBN 0-470-09013-8.

[4] André Langevin; Diane Riopel (2005). रसद प्रणाली. Springer. ISBN 0-387-24971-0.

[5] Seitz, Charles L. (1989). Advanced Research in VLSI: Proceedings of the Decennial Caltech Conference on VLSI, March 1989. ISBN 9780262192828.

[1]

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   | year = 2002}}</ref> इसका नाम [[पफन्युटी चेबीशेव]] के नाम पर है।
-इसे [[शतरंज]] की [[बिसात]] के रूप में भी जाना जाता है, क्योंकि शतरंज के खेल में एक [[राजा (शतरंज)|राजा (शतरंज]]) को शतरंज की बिसात पर एक वर्ग से दूसरे वर्ग तक जाने के लिए आवश्यक चालों की न्यूनतम संख्या चौकों के केंद्रों के बीच चेबीशेव की दूरी के बराबर होती है, यदि वर्गों की भुजा लंबाई है, जैसा कि बोर्ड के किनारों से संरेखित अक्षों के साथ 2-डी स्थानिक निर्देशांक में दर्शाया गया है।<ref>{{cite book | title = Classification, Parameter Estimation and State Estimation: An Engineering Approach Using MATLAB |author1=David M. J. Tax |author2=Robert Duin |author3=Dick De Ridder | isbn = 0-470-09013-8 | publisher = John Wiley and Sons | year = 2004}}</ref> उदाहरण के लिए, f6 और e2 के बीच चेबीशेव की दूरी 4 के बराबर है।
+इसे [[शतरंज]] की [[बिसात]] के रूप में भी जाना जाता है, क्योंकि शतरंज के खेल में एक [[राजा (शतरंज)|राजा (शतरंज]]) को शतरंज की बिसात पर एक वर्ग से दूसरे वर्ग तक जाने के लिए आवश्यक चालों की न्यूनतम संख्या चौकों के केंद्रों के बीच चेबीशेव की दूरी के बराबर होती है, यदि वर्गों की भुजा लंबाई है, जैसा कि पटल के किनारों से संरेखित अक्षों के साथ 2-डी स्थानिक निर्देशांक में दर्शाया गया है।<ref>{{cite book | title = Classification, Parameter Estimation and State Estimation: An Engineering Approach Using MATLAB |author1=David M. J. Tax |author2=Robert Duin |author3=Dick De Ridder | isbn = 0-470-09013-8 | publisher = John Wiley and Sons | year = 2004}}</ref> उदाहरण के लिए, f6 और e2 के बीच चेबीशेव की दूरी 4 के बराबर है।
 == परिभाषा ==
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 की सीमा के बराबर है, इसलिए इसे L<sub>∞</sub> माप के रूप में भी जाना जाता है।
-गणितीय रूप से, चेबीशेव दूरी एक माप (गणित) है जो सर्वोच्च मानदंड या [[समान मानदंड]] से प्रेरित है। यह [[इंजेक्शन मीट्रिक स्थान|अंतःक्षेपक माप स्थान]] का एक उदाहरण है।
+गणितीय रूप से, चेबीशेव दूरी एक माप (गणित) है जो सर्वोच्च मानक या [[समान मानदंड|समान मानक]] से प्रेरित है। यह [[इंजेक्शन मीट्रिक स्थान|अंतःक्षेपक माप स्थान]] का एक उदाहरण है।
-दो विमा में, अर्थात [[समतल ज्यामिति]], यदि बिंदु p और q में कार्तीय निर्देशांक <math>(x_1,y_1)</math> और <math>(x_2,y_2)</math> हैं, तो उनकी चेबीशेव दूरी
+दो विमाओं में, अर्थात [[समतल ज्यामिति]], यदि बिंदु p और q में कार्तीय निर्देशांक <math>(x_1,y_1)</math> और <math>(x_2,y_2)</math> हैं, तो उनकी चेबीशेव दूरी
 :<math>D_{\rm Chebyshev} = \max \left ( \left | x_2 - x_1 \right | , \left | y_2 - y_1 \right | \right ) </math> है।
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 द्विविमीय मैनहटन दूरी में वृत्त होते हैं अर्थात वर्गों के रूप में [[स्तर सेट|स्तर समूह]], लंबाई {{sqrt|''2''}}r के किनारों के साथ, समन्वय अक्षों के लिए π/4 (45°) के कोण पर उन्मुख होते हैं, इसलिए तलीय चेबीशेव दूरी को घूर्णन और सोपानी द्वारा तलीय मैनहट्टन दूरी के बराबर देखा जा सकता है (अर्थात एक [[रैखिक परिवर्तन]])।
-यद्यपि, L<sub>1</sub> और L<sub>∞</sub> माप के बीच यह ज्यामितीय तुल्यता उच्च विमा के लिए सामान्यीकृत नहीं होती हैं। माप के रूप में चेबीशेव दूरी का उपयोग करके बनाया गया एक गोला एक घन है जिसका प्रत्येक फलक समन्वय अक्षों में से एक के लंबवत होते है, परन्तु मैनहट्टन दूरी का उपयोग करके बनाया गया गोला [[अष्टफलक]] होता है: ये दोहरे बहुफलकीय हैं, परन्तु [[ घनक्षेत्र |घनक्षेत्र]] के बीच, मात्र वर्ग (और 1) -विमा रेखा खंड स्व-[[दोहरी पॉलीहेड्रा|दोहरी बहुतलीय]] हैं। फिर भी, यह सत्य है कि सभी परिमित-विमा स्थानों में L<sub>1</sub> और L<sub>∞</sub> मिति गणितीय रूप से एक दूसरे के दोहरे हैं।
+यद्यपि, L<sub>1</sub> और L<sub>∞</sub> माप के बीच यह ज्यामितीय तुल्यता उच्च विमा के लिए सामान्यीकृत नहीं होती हैं। माप के रूप में चेबीशेव दूरी का उपयोग करके बनाया गया एक गोला घन है जिसका प्रत्येक फलक समन्वय अक्षों में से एक के लंबवत होते है, परन्तु मैनहट्टन दूरी का उपयोग करके बनाया गया गोला [[अष्टफलक]] होता है: ये दोहरे बहुफलकीय हैं, परन्तु [[ घनक्षेत्र |घनक्षेत्र]] के बीच, मात्र वर्ग (और 1) -विमा रेखा खंड स्वतः-[[दोहरी पॉलीहेड्रा|दोहरी बहुतलीय]] हैं। फिर भी, यह सत्य है कि सभी परिमित-विमा स्थानों में L<sub>1</sub> और L<sub>∞</sub> मिति गणितीय रूप से एक दूसरे के दोहरे हैं।
 एक ग्रिड पर (जैसे शतरंज की बिसात), एक बिंदु के 1 की चेबीशेव दूरी पर बिंदु उस बिंदु के [[मूर पड़ोस|मूर प्रतिवैस]] हैं।
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 == अनुप्रयोग ==
-[[गोदाम]] संभार में कभी-कभी चेबीशेव दूरी का उपयोग किया जाता है,<ref>{{cite book | title = रसद प्रणाली|author1=André Langevin |author2=Diane Riopel | publisher = Springer | year = 2005 | isbn = 0-387-24971-0 | url = https://books.google.com/books?id=9I8HvNfSsk4C&q=Chebyshev+distance++warehouse+logistics&pg=PA96 }}</ref> क्योंकि यह प्रभावी रूप से उस समय को मापता है जब एक [[ ऊपरी भारोत्तोलन यंत्र |ऊपरी भारोत्तोलन यंत्र]] किसी वस्तु को स्थानांतरित करने में लेता है (क्योंकि भारोत्तोलन यंत्र एक ही समय में x और y अक्षों पर प्रत्येक अक्ष के साथ समान गति से चल सकती है)।
+चेबीशेव दूरी का उपयोग कभी-कभी [[गोदाम]] संभार में किया जाता है,<ref>{{cite book | title = रसद प्रणाली|author1=André Langevin |author2=Diane Riopel | publisher = Springer | year = 2005 | isbn = 0-387-24971-0 | url = https://books.google.com/books?id=9I8HvNfSsk4C&q=Chebyshev+distance++warehouse+logistics&pg=PA96 }}</ref> क्योंकि यह किसी वस्तु को स्थानांतरित करने के लिए [[ ऊपरी भारोत्तोलन यंत्र |ऊपरी भारोत्तोलन यंत्र]] के समय को प्रभावी रूप से मापता है (क्योंकि भारोत्तोलन यंत्र एक ही समय में x और y अक्षों पर प्रत्येक अक्ष के साथ समान गति से चल सकती है)।
 यह विशेष रूप से इलेक्ट्रॉनिक [[कंप्यूटर सहायतायुक्त विनिर्माण]], अनुप्रयोगों में, इनके लिए अनुकूलन एल्गोरिदम में भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। कई उपकरण, जैसे आलेखन या प्रवेधन यंत्र, [[ photoplotter |प्रकाशआलेखन]], आदि, तल में कार्य कर रहे हैं, सामान्यतः ऊपरी भारोत्तोलन यंत्र के समान x और y दिशाओं में दो मोटरों द्वारा नियंत्रित होते हैं।<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=vCRGAQAAIAAJ&q=%22chebyshev+metric%22|title=Advanced Research in VLSI: Proceedings of the Decennial Caltech Conference on VLSI, March 1989|isbn=9780262192828|last1=Seitz|first1=Charles L.|year=1989}}</ref>
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