बिंदु से समतल की दूरी: Difference between revisions

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[[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन]] स्पेस में, एक समतल से एक बिंदु की दूरी समतल पर दिए गए बिंदु और उसके [[ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण]] के बीच की दूरी है, जो समतल पर निकटतम बिंदु के लिए [[लंबवत दूरी]] है।
[[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन]] स्पेस में, समतल से एक बिंदु की दूरी समतल पर दिए गए बिंदु और उसके [[ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण]] के बीच की दूरी है, जो समतल पर निकटतम बिंदु के लिए [[लंबवत दूरी]] है।


यह उन चरों के परिवर्तन से शुरू किया जा सकता है जो मूल को दिए गए बिंदु के साथ मेल खाने के लिए ले जाते हैं, फिर स्थानांतरित समतल पर बिंदु को ढूंढते हुए <math>ax + by + cz = d</math> जो मूल के सबसे निकट है। परिणामी बिंदु में कार्टेशियन निर्देशांक <math>(x,y,z)</math> हैं:
यह उन चरों के परिवर्तन से प्रांरम्भ किया जा सकता है जो मूल को दिए गए बिंदु के साथ मेल खाने के लिए ले जाते हैं, फिर स्थानांतरित समतल पर बिंदु को ढूंढते हुए <math>ax + by + cz = d</math> जो मूल के सबसे निकट है। परिणामी बिंदु में कार्टेशियन निर्देशांक <math>(x,y,z)</math> हैं:
:<math>\displaystyle x = \frac {ad}{{a^2+b^2+c^2}}, \quad \quad \displaystyle y = \frac {bd}{{a^2+b^2+c^2}}, \quad \quad \displaystyle z = \frac {cd}{{a^2+b^2+c^2}}</math>.
:<math>\displaystyle x = \frac {ad}{{a^2+b^2+c^2}}, \quad \quad \displaystyle y = \frac {bd}{{a^2+b^2+c^2}}, \quad \quad \displaystyle z = \frac {cd}{{a^2+b^2+c^2}}</math>.
मूल और बिंदु <math>(x,y,z)</math> के बीच की दूरी <math>\sqrt{x^2+y^2+z^2}</math> है।
मूल और बिंदु <math>(x,y,z)</math> के बीच की दूरी <math>\sqrt{x^2+y^2+z^2}</math> है।
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== सामान्य समस्या को मूल समस्या से दूरी में परिवर्तित करना ==
== सामान्य समस्या को मूल समस्या से दूरी में परिवर्तित करना ==


मान लीजिए कि हम एक समतल पर बिंदु <math>X_0, Y_0, Z_0</math> के निकटतम बिंदु को अन्वेषण करना चाहते हैं, जहाँ तल को <math>aX + bY + cZ = D</math> द्वारा दिया गया है। हम <math>x = X - X_0</math>, को परिभाषित करते हैं। <math>y = Y - Y_0</math>, <math>z = Z - Z_0</math>, और <math>d = D - aX_0 - bY_0  - cZ_0</math>, <math>ax + by + cz = d</math> को समतल के रूप में प्राप्त करने के लिए परिवर्तित चरों के रूप में व्यक्त किया गया। अब समस्या इस तल पर मूल बिंदु के निकटतम बिंदु और मूल बिंदु से इसकी दूरी को अन्वेषण करने की हो गई है। मूल निर्देशांक के संदर्भ में समतल पर बिंदु इस बिंदु से <math>x</math> और <math>X</math> के बीच, <math>y</math> और <math>Y</math> के बीच, और <math>z</math> और <math>Z</math> के बीच उपरोक्त संबंधों का उपयोग करके पाया जा सकता है; मूल निर्देशांकों के संदर्भ में दूरी वही है जो संशोधित निर्देशांकों के संदर्भ में दूरी है।
मान लीजिए कि हम समतल पर बिंदु <math>X_0, Y_0, Z_0</math> के निकटतम बिंदु को अन्वेषण करना चाहते हैं, जहाँ तल को <math>aX + bY + cZ = D</math> द्वारा दिया गया है। हम <math>x = X - X_0</math>, को परिभाषित करते हैं। <math>y = Y - Y_0</math>, <math>z = Z - Z_0</math>, और <math>d = D - aX_0 - bY_0  - cZ_0</math>, <math>ax + by + cz = d</math> को समतल के रूप में प्राप्त करने के लिए परिवर्तित चरों के रूप में व्यक्त किया गया। अब समस्या इस तल पर मूल बिंदु के निकटतम बिंदु और मूल बिंदु से इसकी दूरी को अन्वेषण करने की हो गई है। मूल निर्देशांक के संदर्भ में समतल पर बिंदु इस बिंदु से <math>x</math> और <math>X</math> के बीच, <math>y</math> और <math>Y</math> के बीच, और <math>z</math> और <math>Z</math> के बीच उपरोक्त संबंधों का उपयोग करके पाया जा सकता है; मूल निर्देशांकों के संदर्भ में दूरी वही है जो संशोधित निर्देशांकों के संदर्भ में दूरी है।


==रैखिक बीजगणित का प्रयोग करते हुए पुनर्कथन==
==रैखिक बीजगणित का प्रयोग करते हुए पुनर्कथन==
मूल के निकटतम बिंदु के सूत्र को रेखीय बीजगणित से अंकन का उपयोग करके अधिक संक्षेप में व्यक्त किया जा सकता है। इजहार <math>ax+by+cz</math> एक विमान की परिभाषा में एक [[डॉट उत्पाद]] है <math>(a,b,c)\cdot(x,y,z)</math>, और अभिव्यक्ति <math>a^2+b^2+c^2</math> समाधान में दिखने वाला वर्ग नॉर्म (गणित) है <math>|(a,b,c)|^2</math>. इस प्रकार, यदि <math>\mathbf{v}=(a,b,c)</math> एक दिया हुआ सदिश है, तल को सदिशों के समुच्चय के रूप में वर्णित किया जा सकता है <math>\mathbf{w}</math> जिसके लिए <math>\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=d</math> और इस तल पर मूल बिंदु का निकटतम बिंदु सदिश है
मूल के निकटतम बिंदु के सूत्र को रैखिक बीजगणित से संकेतन का उपयोग करके अधिक संक्षेप में व्यक्त किया जा सकता है। समतल की परिभाषा में व्यंजक <math>ax+by+cz</math> [[डॉट उत्पाद|डॉट]] गुणनफल <math>(a,b,c)\cdot(x,y,z)</math> है, और व्यंजक <math>a^2+b^2+c^2</math> दिख रहा है समाधान में वर्ग मानदंड है | <math>|(a,b,c)|^2</math> इस प्रकार, यदि <math>\mathbf{v}=(a,b,c)</math> दिया हुआ सदिश है, तो समतल को सदिशों के समुच्चय के रूप में वर्णित किया जा सकता है जिसके लिए <math>\mathbf{w}</math> <math>\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=d</math> और पर निकटतम बिंदु मूल के लिए यह समतल सदिश है
:<math>\mathbf{p}=\frac{\mathbf{v}d}{|\mathbf{v}|^2}</math>.<ref name=sb>{{citation|title=Linear Algebra, Geodesy, and GPS|first1=Gilbert|last1=Strang|first2=Kai|last2=Borre|publisher=SIAM|year=1997|isbn=9780961408862|url=https://books.google.com/books?id=MjNwWUY8jx4C&pg=PA22|pages=22–23}}.</ref><ref name=sa>{{citation|title=Linear Algebra: A Geometric Approach|first1=Ted|last1=Shifrin|first2=Malcolm|last2=Adams|edition=2nd|publisher=Macmillan|year=2010|isbn=9781429215213|page=32|url=https://books.google.com/books?id=QwHcZ7cegD4C&pg=PA32}}.</ref>
:<math>\mathbf{p}=\frac{\mathbf{v}d}{|\mathbf{v}|^2}</math>.<ref name=sb>{{citation|title=Linear Algebra, Geodesy, and GPS|first1=Gilbert|last1=Strang|first2=Kai|last2=Borre|publisher=SIAM|year=1997|isbn=9780961408862|url=https://books.google.com/books?id=MjNwWUY8jx4C&pg=PA22|pages=22–23}}.</ref><ref name=sa>{{citation|title=Linear Algebra: A Geometric Approach|first1=Ted|last1=Shifrin|first2=Malcolm|last2=Adams|edition=2nd|publisher=Macmillan|year=2010|isbn=9781429215213|page=32|url=https://books.google.com/books?id=QwHcZ7cegD4C&pg=PA32}}.</ref>
मूल से समतल तक [[यूक्लिडियन दूरी]] इस बिंदु का मानदंड है,
मूल बिंदु से तल तक की [[यूक्लिडियन दूरी]] इस बिंदु का मानक है,
:<math>\frac{|d|}{|\mathbf{v}|} = \frac{|d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math>.
:<math>\frac{|d|}{|\mathbf{v}|} = \frac{|d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math>.


== यह निकटतम बिंदु == क्यों है
== यह निकटतम बिंदु क्यों है ==
या तो समन्वय या सदिश योगों में, कोई यह सत्यापित कर सकता है कि दिया गया बिंदु दिए गए तल पर स्थित है, बिंदु को समतल के समीकरण में प्लग करके।
या तो समन्वय या सदिश योगों में, एक बिंदु को समतल के समीकरण में प्लग करके, यह सत्यापित किया जा सकता है कि दिया गया बिंदु किसी दिए गए समतल पर स्थित है।


यह देखने के लिए कि यह विमान पर उत्पत्ति के निकटतम बिंदु है, इसे देखें <math>\mathbf{p}</math> सदिश का एक अदिश गुणक है <math>\mathbf{v}</math> समतल को परिभाषित करता है, और इसलिए तल के लिए ओर्थोगोनल है।
यह देखने के लिए कि यह तल पर मूल बिंदु का निकटतम बिंदु है, निरीक्षण करें कि <math>\mathbf{p}</math> समतल को परिभाषित करने वाले सदिश <math>\mathbf{v}</math> का अदिश गुणक है, और इसलिए तल के लिए ऑर्थोगोनल है। इस प्रकार, यदि <math>\mathbf{q}</math> स्वयं <math>\mathbf{p}</math> के अलावा समतल पर कोई बिंदु है, तो मूल से <math>\mathbf{p}</math> तक और <math>\mathbf{p}</math> से <math>\mathbf{q}</math> तक के रेखा खंड एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं, और [[पाइथागोरस प्रमेय]] द्वारा मूल से <math>q</math> तक की दूरी है
इस प्रकार, यदि <math>\mathbf{q}</math> के अलावा विमान पर कोई बिंदु है <math>\mathbf{p}</math> स्वयं, फिर मूल से रेखा खंड <math>\mathbf{p}</math> और से <math>\mathbf{p}</math> को <math>\mathbf{q}</math> एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं, और [[पाइथागोरस प्रमेय]] द्वारा मूल से दूरी तक <math>q</math> है
:<math>\sqrt{|\mathbf{p}|^2+|\mathbf{p}-\mathbf{q}|^2}</math>.
:<math>\sqrt{|\mathbf{p}|^2+|\mathbf{p}-\mathbf{q}|^2}</math>.
तब से <math>|\mathbf{p}-\mathbf{q}|^2</math> एक धनात्मक संख्या होनी चाहिए, यह दूरी इससे अधिक है <math>|\mathbf{p}|</math>, मूल से दूरी <math>\mathbf{p}</math>.<ref name=sa/>
चूंकि <math>|\mathbf{p}-\mathbf{q}|^2</math> धनात्मक संख्या होनी चाहिए, यह दूरी <math>|\mathbf{p}|</math> से अधिक है, मूल बिंदु से <math>\mathbf{p}</math> तक की दूरी है<ref name="sa" /> 


वैकल्पिक रूप से, डॉट उत्पादों का उपयोग करके विमान के समीकरण को फिर से लिखना संभव है <math>\mathbf{p}</math> के साथ मूल डॉट उत्पाद के स्थान पर <math>\mathbf{v}</math> (क्योंकि ये दोनों सदिश एक दूसरे के अदिश गुणक हैं) जिसके बाद तथ्य यह है कि <math>\mathbf{p}</math> निकटतम बिंदु कॉची-श्वार्ज असमानता का तत्काल परिणाम बन जाता है।<ref name=sb/>
वैकल्पिक रूप से, <math>\mathbf{v}</math> के साथ मूल डॉट उत्पाद के स्थान पर डॉट उत्पादों का उपयोग करके समतल के समीकरण को फिर से लिखना संभव है (क्योंकि ये दो वैक्टर एक दूसरे के स्केलर गुणक हैं) जिसके बाद यह तथ्य कि <math>\mathbf{p}</math> निकटतम बिंदु है, कॉची-श्वार्ज असमानता का तात्कालिक परिणाम बन जाता है।<ref name="sb" />  


== हाइपरप्लेन और मनमाने बिंदु के लिए निकटतम बिंदु और दूरी ==
सामान्य सदिश <math>\mathbf{a} \ne \mathbf{0}</math> के साथ बिंदु <math>\mathbf{p}</math> के माध्यम से <math>n</math>-आयामी यूक्लिडियन स्पेस <math>\mathbb{R}^n</math> में हाइपरप्लेन के लिए सदिश समीकरण है <math>(\mathbf{x}-\mathbf{p})\cdot\mathbf{a} = 0</math> या <math>\mathbf{x}\cdot\mathbf{a}=d</math> जहां <math>d=\mathbf{p}\cdot\mathbf{a}</math> है।<ref name="Cheney2010" />


== एक [[ hyperplane ]] और मनमाना बिंदु == के लिए निकटतम बिंदु और दूरी
संबंधित कार्टेशियन रूप <math>a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=d</math> है जहां <math>d=\mathbf{p}\cdot\mathbf{a}=a_1p_1+a_2p_2+\cdots a_np_n</math><ref name="Cheney2010">{{cite book|last1=Cheney|first1=Ward|last2=Kincaid|first2=David|title=Linear Algebra: Theory and Applications|date=2010|publisher=Jones & Bartlett Publishers|isbn=9781449613525|pages=450,451}}</ref>


हाइपरप्लेन के लिए वेक्टर समीकरण <math>n</math>-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष <math>\mathbb{R}^n</math> एक बिंदु के माध्यम से <math>\mathbf{p}</math> सामान्य वेक्टर के साथ <math>\mathbf{a} \ne \mathbf{0}</math> है <math>(\mathbf{x}-\mathbf{p})\cdot\mathbf{a} = 0</math> या <math>\mathbf{x}\cdot\mathbf{a}=d</math> कहाँ <math>d=\mathbf{p}\cdot\mathbf{a}</math>.<ref name=Cheney2010>{{cite book|last1=Cheney|first1=Ward|last2=Kincaid|first2=David|title=Linear Algebra: Theory and Applications|date=2010|publisher=Jones & Bartlett Publishers|isbn=9781449613525|pages=450,451}}</ref>
इस हाइपरप्लेन पर अनियमित बिंदु <math>\mathbf{y}</math> का निकटतम बिंदु है
संबंधित कार्तीय रूप है <math>a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=d</math> कहाँ <math>d=\mathbf{p}\cdot\mathbf{a}=a_1p_1+a_2p_2+\cdots a_np_n</math>.<ref name=Cheney2010/>
 
इस हाइपरप्लेन पर एक मनमाना बिंदु के निकटतम बिंदु <math>\mathbf{y}</math> है
:<math>\mathbf{x}=\mathbf{y}-\left[\dfrac{(\mathbf{y}-\mathbf{p})\cdot\mathbf{a}}{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}\right]\mathbf{a}=\mathbf{y}-\left[\dfrac{\mathbf{y}\cdot\mathbf{a}-d}{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}\right]\mathbf{a}</math>
:<math>\mathbf{x}=\mathbf{y}-\left[\dfrac{(\mathbf{y}-\mathbf{p})\cdot\mathbf{a}}{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}\right]\mathbf{a}=\mathbf{y}-\left[\dfrac{\mathbf{y}\cdot\mathbf{a}-d}{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}\right]\mathbf{a}</math>
और से दूरी <math>\mathbf{y}</math> हाइपरप्लेन के लिए है
और <math>\mathbf{y}</math> से हाइपरप्लेन तक की दूरी है
:<math>\left\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\right\| = \left\|\left[\dfrac{(\mathbf{y}-\mathbf{p})\cdot\mathbf{a}}{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}\right]\mathbf{a}\right\|=\dfrac{\left|(\mathbf{y}-\mathbf{p})\cdot\mathbf{a}\right|}{\left\|\mathbf{a}\right\|}=\dfrac{\left|\mathbf{y}\cdot\mathbf{a}-d\right|}{\left\|\mathbf{a}\right\|}</math>.<ref name=Cheney2010/>
:<math>\left\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\right\| = \left\|\left[\dfrac{(\mathbf{y}-\mathbf{p})\cdot\mathbf{a}}{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}\right]\mathbf{a}\right\|=\dfrac{\left|(\mathbf{y}-\mathbf{p})\cdot\mathbf{a}\right|}{\left\|\mathbf{a}\right\|}=\dfrac{\left|\mathbf{y}\cdot\mathbf{a}-d\right|}{\left\|\mathbf{a}\right\|}</math>.<ref name="Cheney2010" />


कार्तीय रूप में लिखा गया, निकटतम बिंदु द्वारा दिया गया है <math>x_i=y_i-ka_i</math> के लिए <math>1\le i\le n</math> कहाँ
कार्टेशियन  रूप में लिखा गया, निकटतम बिंदु <math>x_i=y_i-ka_i</math>द्वारा <math>1\le i\le n</math> के लिए दिया गया है, जहां
:<math>k=\dfrac{\mathbf{y}\cdot\mathbf{a}-d}{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}=\dfrac{a_1y_1+a_2y_2+\cdots a_ny_n-d}{a_1^2+a_2^2+\cdots a_n^2}</math>,
:<math>k=\dfrac{\mathbf{y}\cdot\mathbf{a}-d}{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}=\dfrac{a_1y_1+a_2y_2+\cdots a_ny_n-d}{a_1^2+a_2^2+\cdots a_n^2}</math>,
और से दूरी <math>\mathbf{y}</math> हाइपरप्लेन के लिए है
और <math>\mathbf{y}</math> से हाइपरप्लेन तक की दूरी है
:<math>\dfrac{\left|a_1y_1+a_2y_2+\cdots a_ny_n-d\right|}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots a_n^2}}</math>.
:<math>\dfrac{\left|a_1y_1+a_2y_2+\cdots a_ny_n-d\right|}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots a_n^2}}</math>.


इस प्रकार में <math>\mathbb{R}^3</math> एक विमान पर बिंदु <math>ax+by+cz=d</math> मनमाना बिंदु के सबसे करीब <math>(x_1,y_1,z_1)</math> है <math>(x,y,z)</math> द्वारा दिए गए
इस प्रकार <math>\mathbb{R}^3</math> में समतल पर बिंदु <math>ax+by+cz=d</math> अनियमित बिंदु <math>(x_1,y_1,z_1)</math> के सबसे निकट <math>(x,y,z)</math> द्वारा दिया गया है
:<math>\left.\begin{array}{l}x=x_1-ka\\y=y_1-kb\\z=z_1-kc\end{array}\right\}</math>
:<math>\left.\begin{array}{l}x=x_1-ka\\y=y_1-kb\\z=z_1-kc\end{array}\right\}</math>
कहाँ
जहाँ
:<math>k=\dfrac{ax_1+by_1+cz_1-d}{a^2+b^2+c^2}</math>,
:<math>k=\dfrac{ax_1+by_1+cz_1-d}{a^2+b^2+c^2}</math>,
और बिंदु से विमान की दूरी है
और बिंदु से समतल की दूरी है
:<math>\dfrac{\left|ax_1+by_1+cz_1-d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math>.
:<math>\dfrac{\left|ax_1+by_1+cz_1-d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math>.


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* बिंदु से रेखा तक की दूरी
* बिंदु से रेखा तक की दूरी
* हेसे सामान्य रूप
* हेसे सामान्य रूप
* तिरछी रेखाएँ # दूरी
* विकर्ण रेखाएँ # दूरी


==संदर्भ==
==संदर्भ==
{{Reflist}}
{{Reflist}}


{{DEFAULTSORT:Point On Plane Closest To Origin}}[[Category: यूक्लिडियन ज्यामिति]] [[Category: दूरी]] [[Category: विमान (ज्यामिति)]]
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[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 24/04/2023|Point On Plane Closest To Origin]]
[[Category:Created On 24/04/2023]]
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Latest revision as of 11:46, 3 May 2023

यूक्लिडियन स्पेस में, समतल से एक बिंदु की दूरी समतल पर दिए गए बिंदु और उसके ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण के बीच की दूरी है, जो समतल पर निकटतम बिंदु के लिए लंबवत दूरी है।

यह उन चरों के परिवर्तन से प्रांरम्भ किया जा सकता है जो मूल को दिए गए बिंदु के साथ मेल खाने के लिए ले जाते हैं, फिर स्थानांतरित समतल पर बिंदु को ढूंढते हुए जो मूल के सबसे निकट है। परिणामी बिंदु में कार्टेशियन निर्देशांक हैं:

.

मूल और बिंदु के बीच की दूरी है।

सामान्य समस्या को मूल समस्या से दूरी में परिवर्तित करना

मान लीजिए कि हम समतल पर बिंदु के निकटतम बिंदु को अन्वेषण करना चाहते हैं, जहाँ तल को द्वारा दिया गया है। हम , को परिभाषित करते हैं। , , और , को समतल के रूप में प्राप्त करने के लिए परिवर्तित चरों के रूप में व्यक्त किया गया। अब समस्या इस तल पर मूल बिंदु के निकटतम बिंदु और मूल बिंदु से इसकी दूरी को अन्वेषण करने की हो गई है। मूल निर्देशांक के संदर्भ में समतल पर बिंदु इस बिंदु से और के बीच, और के बीच, और और के बीच उपरोक्त संबंधों का उपयोग करके पाया जा सकता है; मूल निर्देशांकों के संदर्भ में दूरी वही है जो संशोधित निर्देशांकों के संदर्भ में दूरी है।

रैखिक बीजगणित का प्रयोग करते हुए पुनर्कथन

मूल के निकटतम बिंदु के सूत्र को रैखिक बीजगणित से संकेतन का उपयोग करके अधिक संक्षेप में व्यक्त किया जा सकता है। समतल की परिभाषा में व्यंजक डॉट गुणनफल है, और व्यंजक दिख रहा है समाधान में वर्ग मानदंड है | इस प्रकार, यदि दिया हुआ सदिश है, तो समतल को सदिशों के समुच्चय के रूप में वर्णित किया जा सकता है जिसके लिए और पर निकटतम बिंदु मूल के लिए यह समतल सदिश है

.[1][2]

मूल बिंदु से तल तक की यूक्लिडियन दूरी इस बिंदु का मानक है,

.

यह निकटतम बिंदु क्यों है

या तो समन्वय या सदिश योगों में, एक बिंदु को समतल के समीकरण में प्लग करके, यह सत्यापित किया जा सकता है कि दिया गया बिंदु किसी दिए गए समतल पर स्थित है।

यह देखने के लिए कि यह तल पर मूल बिंदु का निकटतम बिंदु है, निरीक्षण करें कि समतल को परिभाषित करने वाले सदिश का अदिश गुणक है, और इसलिए तल के लिए ऑर्थोगोनल है। इस प्रकार, यदि स्वयं के अलावा समतल पर कोई बिंदु है, तो मूल से तक और से तक के रेखा खंड एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं, और पाइथागोरस प्रमेय द्वारा मूल से तक की दूरी है

.

चूंकि धनात्मक संख्या होनी चाहिए, यह दूरी से अधिक है, मूल बिंदु से तक की दूरी है[2] 

वैकल्पिक रूप से, के साथ मूल डॉट उत्पाद के स्थान पर डॉट उत्पादों का उपयोग करके समतल के समीकरण को फिर से लिखना संभव है (क्योंकि ये दो वैक्टर एक दूसरे के स्केलर गुणक हैं) जिसके बाद यह तथ्य कि निकटतम बिंदु है, कॉची-श्वार्ज असमानता का तात्कालिक परिणाम बन जाता है।[1]

हाइपरप्लेन और मनमाने बिंदु के लिए निकटतम बिंदु और दूरी

सामान्य सदिश के साथ बिंदु के माध्यम से -आयामी यूक्लिडियन स्पेस में हाइपरप्लेन के लिए सदिश समीकरण है या जहां है।[3]

संबंधित कार्टेशियन रूप है जहां [3]

इस हाइपरप्लेन पर अनियमित बिंदु का निकटतम बिंदु है

और से हाइपरप्लेन तक की दूरी है

.[3]

कार्टेशियन रूप में लिखा गया, निकटतम बिंदु द्वारा के लिए दिया गया है, जहां

,

और से हाइपरप्लेन तक की दूरी है

.

इस प्रकार में समतल पर बिंदु अनियमित बिंदु के सबसे निकट द्वारा दिया गया है

जहाँ

,

और बिंदु से समतल की दूरी है

.

यह भी देखें

  • बिंदु से रेखा तक की दूरी
  • हेसे सामान्य रूप
  • विकर्ण रेखाएँ # दूरी

संदर्भ

  1. 1.0 1.1 Strang, Gilbert; Borre, Kai (1997), Linear Algebra, Geodesy, and GPS, SIAM, pp. 22–23, ISBN 9780961408862.
  2. 2.0 2.1 Shifrin, Ted; Adams, Malcolm (2010), Linear Algebra: A Geometric Approach (2nd ed.), Macmillan, p. 32, ISBN 9781429215213.
  3. 3.0 3.1 3.2 Cheney, Ward; Kincaid, David (2010). Linear Algebra: Theory and Applications. Jones & Bartlett Publishers. pp. 450, 451. ISBN 9781449613525.