शाखित आवरण

गणित में, शाखित आच्छादन एक ऐसा मानचित्र होता है जो एक छोटे समूह को छोड़कर लगभग एक आच्छादित मानचित्र होता है।

टोपोलॉजी में

टोपोलॉजी में, एक मानचित्र एक शाखित आवरण होता है, यदि यह शाखा समुच्चय के रूप में जाने जाने वाले घने समूह को छोड़कर हर जगह एक आवरण मानचित्र है। उदाहरणों में रोज़ (टोपोलॉजी) से एक वृत्त तक का मानचित्र सम्मिलित है, जहां मानचित्र प्रत्येक वृत्त पर होमियोमोर्फिज्म है।

बीजगणितीय ज्यामिति में

बीजगणितीय ज्यामिति में, शाखित आवरण शब्द का उपयोग एक बीजगणितीय किस्म $V$ दूसरे को $W$ तक रूपवाद $f$ को आकारिता का वर्णन करने के लिए किया जाता है दो आयाम समान होते हैं और $f$ का विशिष्ट फाइबर आयाम 0 का होता है।

उस स्थिति में, $W$ का एक खुला समूह $W'$ होगा (जरिस्की टोपोलॉजी के लिए) जो $W$ में सघन है , जैसे कि $f$ से $W'$ का प्रतिबंध (से $V'=f^{-1}(W')$ को $W'$, अर्थात) रमीकरण (गणित) है। संदर्भ के आधार पर, हम इसे शसक्त टोपोलॉजी के लिए स्थानीय होमोमोर्फिज्म के रूप में ले सकते हैं, जटिल संख्याओं पर, या सामान्य रूप से एक ईटेल रूपवाद के रूप में (कुछ थोड़े शसक्त अनुमानों के तहत, समतल मॉड्यूल और वियोज्य विस्तार पर)। सामान्यतः , इस तरह के आकारिकी सामयिक अर्थों में एक आवरण स्थान जैसा दिखता है। उदाहरण के लिए, यदि $V$ और $W$ दोनों कॉम्पैक्ट रीमैन सतहें हैं, हमें केवल उसी की आवश्यकता है $f$ होलोमॉर्फिक है और स्थिर नहीं है, और फिर $W$ बिंदु $P$ का एक परिमित समूह है , जिसके बाहर हम एक ईमानदार आवरण पाते हैं

$V'\to W'$.

शाखा स्थान

$W$ पर असाधारण बिंदुओं के समूह को परिणाम लोकस कहा जाता है (अर्थात यह सबसे बड़ा संभव ओपन समूह $W'$ का पूरक है)। सामान्य मोनोड्रोमी में $W'$ के मौलिक समूह के अनुसार आवरण की शीट्स पर अभिनय होता है (सामान्य आधार क्षेत्र के स्थिति में भी इस स्थलीय चित्र को स्पष्ट बनाया जा सकता है)।

कुमर विस्तार

शाखित आवरण आसानी से कुमार विस्तार के रूप में निर्मित होते हैं, अर्थात बीजगणितीय विविधता के कार्य क्षेत्र के बीजगणितीय विस्तार के रूप में हाइपरेलिप्टिक वक्र प्रोटोटाइपिक उदाहरण हैं।

असंबद्ध आवरण

एक अविभाजित आवरण तब एक खाली शाखा स्थान की घटना है।

उदाहरण

दीर्घवृत्तीय वक्र

वक्रों के आकारिकी शाखायुक्त आवरणों के कई उदाहरण प्रदान करते हैं। उदाहरण के लिए, चलो C समीकरण का दीर्घवृत्तीय वक्र होने दें

$y^{2}-x(x-1)(x-2)=0.$

का प्रक्षेपण C उस पर x-अक्ष एक शाखायुक्त आवरण है जिसके द्वारा दिए गए शाखास्थल हैं

$x(x-1)(x-2)=0.$

ऐसा इसलिए है क्योंकि इन तीन मानो के लिए x फाइबर दोहरा बिंदु है $y^{2}=0,$ जबकि x के किसी भी अन्य मान के लिए , फाइबर में दो अलग-अलग बिंदु (बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में) होते हैं ।

यह प्रक्षेपण एक बीजगणितीय विविधता के कार्य क्षेत्र के दो डिग्री के बीजगणितीय विस्तार को प्रेरित करता है:

इसके अतिरिक्त , यदि हम अंतर्निहित क्रमविनिमेय छल्लों के अंश क्षेत्रों को लेते हैं, तो हमें आकारिकी मिलती है

$\mathbb {C} (x)\to \mathbb {C} (x)[y]/(y^{2}-x(x-1)(x-2))$

इसलिए यह प्रक्षेपण एक डिग्री 2 शाखित आवरण है। इसे प्रक्षेपी रेखा के संगत प्रक्षेपी दीर्घवृत्तीय वक्र के एक डिग्री 2 शाखित आवरण का निर्माण करने के लिए समरूप बनाया जा सकता है।

समतल बीजगणितीय वक्र

पिछले उदाहरण को निम्नलिखित विधि से किसी भी बीजगणितीय समतल वक्र के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

मान लीजिए C एक समतल वक्र है जो समीकरण f(x,y) = 0, जहाँ f दो अनिर्धारकों में एक वियोज्य बहुपद और अलघुकरणीय बहुपद बहुपद है। अगर n y में f, की डिग्री है, तो x के मानों की परिमित संख्या को छोड़कर फाइबर में n विशिष्ट बिंदु होते है इस प्रकार, यह प्रक्षेपण डिग्री n का एक शाखित आवरण है .

x के असाधारण मान f में $y^{n}$ के गुणांक की जड़ें हैं, और y के संबंध में f के भेदभाव की जड़ें हैं।

विवेचक के मूल r पर, कम से कम एक शाखायुक्त बिंदु होता है, जो या तो एक महत्वपूर्ण बिंदु (गणित) या एकवचन बिंदु होता है। यदि r , f में $y^{n}$ के गुणांक का एक मूल भी है, तो यह शाखित बिंदु अनंत पर बिंदु है।

f में $y^{n}$ के गुणांक के मूल s पर, वक्र C की एक अनंत शाखा है, और s पर फाइबर में n बिंदुओं से कम है। किंतु , यदि कोई प्रक्षेपण को C और x -अक्ष की प्रक्षेप्य पूर्णता तक बढ़ाता है, और यदि s विवेचक की मूल नहीं है, तो प्रक्षेपण s के निकट पर एक आवरण बन जाता है।

तथ्य यह है कि यह प्रक्षेपण डिग्री n का एक शाखित आवरण है, जिसे कार्य क्षेत्रों पर विचार करके भी देखा जा सकता है। वास्तव में, यह प्रक्षेपण डिग्री n के क्षेत्र विस्तार से मेल खाता है

$\mathbb {C} (x)\to \mathbb {C} (x)[y]/f(x,y).$

भिन्न प्रभाव

हम अलग-अलग परिणाम डिग्री के साथ रेखा के शाखित आवरणों का सामान्यीकरण भी कर सकते हैं। प्रपत्र के बहुपद पर विचार करें

$f(x,y)=g(x)$

जैसा कि हम अलग-अलग बिंदु $x=\alpha$ चुनते हैं, $f(\alpha ,y)-g(\alpha )$ के विलुप्त होने वाले स्थान द्वारा दिए गए फाइबर अलग-अलग होते हैं। किसी भी बिंदु पर जहां $f(\alpha ,y)-g(\alpha )$ के गुणनखंड में एक रैखिक शब्द की बहुलता एक से बढ़ जाती है, वहां एक शाखाकरण होता है।

योजना सैद्धांतिक उदाहरण

दीर्घवृत्तीय वक्र

वक्रों के आकारिकी योजनाओं के शाखायुक्त आवरणों के कई उदाहरण प्रदान करते हैं। उदाहरण के लिए, एक सजातीय दीर्घवृत्तीय वक्र से एक रेखा तक आकारिकी

${\text{Spec}}\left({\mathbb {C} [x,y]}/{(y^{2}-x(x-1)(x-2)}\right)\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x])$

एक शाखायुक्त आवरण है जिसके द्वारा दिया गया शाखास्थल है

$X={\text{Spec}}\left({\mathbb {C} [x]}/{(x(x-1)(x-2))}\right)$

ऐसा इसलिए है क्योंकि किसी भी बिंदु पर $X$ में $\mathbb {A} ^{1}$ फाइबर योजना है

${\text{Spec}}\left({\mathbb {C} [y]}/{(y^{2})}\right)$

साथ ही, यदि हम अंतर्निहित क्रमविनिमेय वलयों के भिन्न क्षेत्रों को लेते हैं, तो हमें क्षेत्र समाकारिता प्राप्त होती है

$\mathbb {C} (x)\to {\mathbb {C} (x)[y]}/{(y^{2}-x(x-1)(x-2))},$

जो डिग्री दो का बीजगणितीय विस्तार है; इसलिए हमें एफ़िन लाइन के लिए एक दीर्घवृत्तीय वक्र का एक डिग्री 2 शाखित आवरण मिला। यह $\mathbb {P} ^{1}$ के लिए एक प्रक्षेपी दीर्घवृत्तीय वक्र के आकारिकी के निर्माण के लिए समरूप बनाया जा सकता है।

अतिदीर्घवृत्तीय वक्र

एक हाइपरेलिप्टिक वक्र उपरोक्त डिग्री का सामान्यीकरण प्रदान करता है $2$ एफ़िन रेखा का आवरण , परिभाषित एफ़िन योजना पर विचार करके $\mathbb {C}$ रूप के बहुपद द्वारा

$y^{2}-\prod (x-a_{i})$ जहाँ $a_{i}\neq a_{j}$ के लिए $i\neq j$

एफाइन रेखा की उच्च डिग्री आवरण

हम आकृतिवाद लेकर पिछले उदाहरण का सामान्यीकरण कर सकते हैं

${\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f(y)-g(x))}}\right)\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x])$

जहाँ $g(x)$ कोई दोहराया मूल नहीं है। फिर शाखास्थल द्वारा दिया जाता है

$X={\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x]}{(f(x))}}\right)$

जहां फाइबर द्वारा दिया जाता है

${\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [y]}{(f(y))}}\right)$

फिर, हमें अंश क्षेत्रों का एक प्रेरित आकार मिलता है

$\mathbb {C} (x)\to {\frac {\mathbb {C} (x)[y]}{(f(y)-g(x))}}$

वहाँ है एक $\mathbb {C} (x)$-मॉड्यूल समरूपता लक्ष्य के साथ

$\mathbb {C} (x)\oplus \mathbb {C} (x)\cdot y\oplus \cdots \oplus \mathbb {C} (x)\cdot y^{{\text{deg}}(f(y))}$

इसलिए ${\text{deg}}(f)$ आवरण डिग्री का है .

अतिदीर्घवृत्तीय वक्र

सुपरएलिप्टिक वक्र हाइपरेलिप्टिक वक्र का एक सामान्यीकरण है और उदाहरणों के पिछले परिवार का एक विशेषज्ञता है क्योंकि वे एफाइन योजनाओं $X/\mathbb {C}$ रूप के पॉलीनॉमियल्स से दिए गए हैं।

$y^{k}-f(x)$ जहाँ $k>2$ और $f(x)$ कोई दोहराया मूल नहीं है।

प्रक्षेपी स्थान के संशोधित आवरण

उदाहरणों का एक और उपयोगी वर्ग प्रक्षेपी स्थान के संशोधित आवरण से आता है। एक सजातीय बहुपद $f\in \mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]$ दिया गया है हम $\mathbb {P} ^{n}$ के शाखायुक्त आवरण का निर्माण कर सकते हैं, जिसमें शाखास्थल स्थित है

${\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}{f(x)}}\right)$

प्रक्षेपी योजनाओं के आकारिकी पर विचार करके

${\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}][y]}{y^{{\text{deg}}(f)}-f(x)}}\right)\to \mathbb {P} ^{n}$

फिर से यह ${\text{deg}}(f)$ डिग्री का एक आवरण होगा।

अनुप्रयोग

शाखित आवरण $C\to X$ परिवर्तनों के एक समरूपता समूह $G$ के साथ आते हैं। चूंकि समरूपता समूह में परिणाम लोकस के बिंदुओं पर स्थिरिकारी होते हैं, इसलिए शाखित आवरण का उपयोग ऑर्बिफॉल्ड्स या डेलिग्ने-ममफोर्ड स्टैक के उदाहरणों के निर्माण के लिए किया जा सकता है।

यह भी देखें

• एटेल मोर्फिज्म
• ऑर्बिफोल्ड
• ढेर (गणित)

संदर्भ

• Dimca, Alexandru (1992), Singularities and Topology of Hypersurfaces, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97709-6
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157, OCLC 13348052
• Osserman, Brian, Branched Covers of the Riemann Sphere (PDF)