शिफ्ट प्रमेय

गणित में, (एक्सपोनेंशियल) शिफ्ट प्रमेय बहुपद अवकल संचालकों (डी-संचालकों) और घातीय कार्यों के बारे में एक प्रमेय है। यह कुछ स्थितियों में 'डी'-ऑपरेटर्स के अनुसार घातांक प्रकार्य खत्म करने की अनुमति देता है।

कथन

प्रमेय कहता है कि, यदि P(D) एक बहुपद D-संचालक है, तो, किसी भी पर्याप्त रूप से भिन्न फलन y के लिए,

$P(D)(e^{ax}y)\equiv e^{ax}P(D+a)y.$

परिणाम सिद्ध करने के लिए, गणितीय आगमन द्वारा आगे बढ़ें। ध्यान दें कि मात्र विशेष स्थिति

$P(D)=D^{n}$

सिद्ध करने की जरूरत है, क्योंकि सामान्य परिणाम डी-ऑपरेटरों के भेदभाव की रैखिकता के बाद होता है।

परिणाम n = 1 के लिए स्पष्ट रूप से सत्य है

$D(e^{ax}y)=e^{ax}(D+a)y.$

अब मान लीजिए कि परिणाम n = k के लिए सही है, अर्थात,

$D^{k}(e^{ax}y)=e^{ax}(D+a)^{k}y.$

तब,

${\begin{aligned}D^{k+1}(e^{ax}y)&\equiv {\frac {d}{dx}}\left\{e^{ax}\left(D+a\right)^{k}y\right\}\\&{}=e^{ax}{\frac {d}{dx}}\left\{\left(D+a\right)^{k}y\right\}+ae^{ax}\left\{\left(D+a\right)^{k}y\right\}\\&{}=e^{ax}\left\{\left({\frac {d}{dx}}+a\right)\left(D+a\right)^{k}y\right\}\\&{}=e^{ax}(D+a)^{k+1}y.\end{aligned}}$

यह प्रमाण को पूरा करता है।

शिफ्ट प्रमेय को व्युत्क्रम संचालकों के लिए समान रूप से अच्छी तरह से लागू किया जा सकता है:

${\frac {1}{P(D)}}(e^{ax}y)=e^{ax}{\frac {1}{P(D+a)}}y.$

संबंधित

लाप्लास परिवर्तन के लिए शिफ्ट प्रमेय का एक समान संस्करण है ($t<a$):

$e^{-as}{\mathcal {L}}\{f(t)\}={\mathcal {L}}\{f(t-a)\}.$

उदाहरण

एक्सपोनेंशियल शिफ्ट प्रमेय का उपयोग फ़ंक्शन के उच्च डेरिवेटिव की गणना को गति देने के लिए किया जा सकता है जो एक एक्सपोनेंशियल और अन्य फ़ंक्शन के उत्पाद द्वारा दिया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि $f(x)=\sin(x)e^{x}$, एक के पास है

$${\begin{aligned}D^{3}f&=D^{3}(e^{x}\sin(x))=e^{x}(D+1)^{3}\sin(x)\\&=e^{x}\left(D^{3}+3D^{2}+3D+1\right)\sin(x)\\&=e^{x}\left(-\cos(x)-3\sin(x)+3\cos(x)+\sin(x)\right)\end{aligned}}$$

एक्सपोनेंशियल शिफ्ट प्रमेय का एक अन्य अनुप्रयोग रेखीय अंतर समीकरणों को हल करना है, जिनकी विशेषता समीकरण (कैलकुलस) में बार-बार जड़ें होती हैं।

संदर्भ

• Morris, Tenenbaum; Pollard, Harry (1985). Ordinary differential equations : an elementary textbook for students of mathematics, engineering, and the sciences. New York: Dover Publications. ISBN 0486649407. OCLC 12188701.