संबद्ध बंडल: Difference between revisions

Revision as of 12:18, 10 April 2023

गणित में, संरचना समूह के साथ फाइबर बंडलों का सिद्धांत $G$ (एक सामयिक समूह) के साथ फाइबर बंडलों का सिद्धांत एक संबद्ध बंडल बनाने के संचालन की अनुमति देता है, जिसमें बंडल के विशिष्ट फाइबर से परिवर्तन होता है $F_{1}$ को $F_{2}$ में बदलता है , जो दोनों सामयिक रिक्त स्थान हैं $G$ . की एक समूह क्रिया। संरचना समूह G के साथ एक फाइबर बंडल F के लिए, दो समन्वय प्रणाली U_α और U_β के अतिव्यापन में फाइबर के संक्रमण कार्य (यानी जिससे , कोसायकल (बीजगणितीय टोपोलॉजी)) U_α∩U_β पर G-मूल्यवान फ़ंक्शन g_αβ और आप_β जी-वैल्यू फ़ंक्शन जी के रूप में दिया जाता है_αβ वह यू_α∩U_β. तब एक फाइबर बंडल F' का निर्माण एक नए फाइबर बंडल के रूप में किया जा सकता है जिसमें समान संक्रमण कार्य होते हैं, लेकिन किंतु संभवतः एक अलग फाइबर होता है।।

एक उदाहरण

मोबियस पट्टी के साथ एक साधारण मामला आता है, जिसके लिए $G$ क्रम 2 का चक्रीय समूह है, $\mathbb {Z} _{2}$ . हम के रूप में ले सकते हैं $F$ इनमें से कोई भी: वास्तविक संख्या रेखा $\mathbb {R}$ , अंतराल $[-1,\ 1]$ , वास्तविक संख्या रेखा कम बिंदु 0, या दो-बिंदु सेट $\{-1,\ 1\}$ . की क्रिया $G$ इन पर (गैर-पहचान तत्व अभिनय के रूप में $x\ \rightarrow \ -x$ प्रत्येक मामले में) सहज ज्ञान युक्त अर्थ में तुलनीय है। हम कह सकते हैं कि अधिक औपचारिक रूप से दो आयतों को चिपकाने के संदर्भ में $[-1,\ 1]\times I$ और $[-1,\ 1]\times J$ एक साथ: हमें वास्तव में जिस चीज की जरूरत है, वह है पहचान करने के लिए डेटा $[-1,\ 1]$ सीधे एक छोर पर, और दूसरे छोर पर मोड़ के साथ। इस डेटा को एक पैचिंग फ़ंक्शन के रूप में नीचे लिखा जा सकता है, जी में मान के साथ। 'संबंधित बंडल' निर्माण केवल अवलोकन है कि यह डेटा ठीक उसी तरह करता है $\{-1,\ 1\}$ से संबंधित $[-1,\ 1]$ .

निर्माण

सामान्य तौर पर यह फाइबर के बंडल से संक्रमण की व्याख्या करने के लिए पर्याप्त है $F$ , जिस पर $G$ संबंधित प्रमुख बंडल के लिए कार्य करता है (अर्थात् वह बंडल जहां फाइबर होता है $G$ , स्वयं पर अनुवाद द्वारा कार्य करने के लिए माना जाता है)। उसके लिए हम से जा सकते हैं $F_{1}$ को $F_{2}$ , प्रिंसिपल बंडल के माध्यम से। एक खुले आवरण के लिए डेटा के संदर्भ में विवरण वंश (श्रेणी सिद्धांत) के मामले के रूप में दिए गए हैं।

यह खंड का इस प्रकार से आयोजन किया जाता है। पहले हम किसी दिए गए फाइबर बंडल से, निर्दिष्ट फाइबर के साथ, संबद्ध बंडल के उत्पादन के लिए सामान्य प्रक्रिया का परिचय देते हैं। यह तब मामले में माहिर होता है जब निर्दिष्ट फाइबर समूह की बाईं कार्रवाई के लिए एक प्रमुख सजातीय स्थान होता है, जो संबंधित प्रिंसिपल बंडल को उत्पन्न करता है। यदि, इसके अलावा, प्रमुख बंडल के फाइबर पर एक सही क्रिया दी जाती है, तो हम वर्णन करते हैं कि फाइबर उत्पाद निर्माण के माध्यम से किसी संबद्ध बंडल का निर्माण कैसे किया जाए।^[1]

सामान्य रूप से संबद्ध बंडल

होने देना ${\textstyle \pi :E\to X}$ संरचना समूह जी और विशिष्ट फाइबर एफ के साथ एक सामयिक स्पेस एक्स पर एक फाइबर बंडल हो। परिभाषा के अनुसार, फाइबर एफ पर जी (एक परिवर्तन समूह के रूप में) की एक समूह क्रिया (गणित) है। इसके अलावा मान लीजिए कि यह क्रिया समूह क्रिया है (गणित) # क्रियाओं के प्रकार।^[2]

बंडल ई का एक स्थानीय रूप से तुच्छ है जिसमें एक खुला कवर यू होता है_i एक्स का, और बंडल मानचित्र का संग्रह बंडल ई का एक स्थानीय रूप से तुच्छ है जिसमें एक खुला कवर यू होता है_i एक्स का, और बंडल मानचित्र का संग्रह

\varphi _{i}:\pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times F

जैसे कि संक्रमण मानचित्र G के तत्वों द्वारा दिए गए हैं। अधिक सटीक रूप से, निरंतर कार्य g हैं_ij : (उ_i ∩ यू_j) → जी ऐसा कि

\psi _{ij}(u,f):=\varphi _{i}\circ \varphi _{j}^{-1}(u,f)={\big (}u,g_{ij}(u)f{\big )},\quad {\text{for each }}(u,f)\in (U_{i}\cap U_{j})\times F\,.

अब F' को एक निर्दिष्ट सामयिक स्पेस होने दें, जो G की निरंतर बाईं क्रिया से सुसज्जित है। फिर फाइबर F' के साथ E से जुड़ा बंडल 'एक बंडल E' है, जो कवर U के अधीन एक स्थानीय तुच्छीकरण के साथ है।_i जिसका संक्रमण फलन द्वारा दिया गया है

\psi '_{ij}(u,f')={\big (}u,g_{ij}(u)f'{\big )},\quad {\text{for each }}(u,f')\in (U_{i}\cap U_{j})\times F'\,,

जहां जी-मूल्यवान कार्य जी_ij(यू) वही हैं जो मूल बंडल ई के स्थानीय तुच्छीकरण से प्राप्त हुए हैं। यह परिभाषा संक्रमण कार्यों पर चक्रीय स्थिति का स्पष्ट रूप से सम्मान करती है, क्योंकि प्रत्येक मामले में वे जी-मूल्यवान कार्यों की एक ही प्रणाली द्वारा दी जाती हैं। (एक अन्य स्थानीय तुच्छीकरण का उपयोग करना, और यदि आवश्यक हो तो एक सामान्य परिशोधन के लिए जाना, g_ij उसी कोबाउंड्री के माध्यम से रूपांतरित करें।) इसलिए, फाइबर बंडल निर्माण प्रमेय द्वारा, यह दावा किए गए अनुसार फाइबर एफ' के साथ एक फाइबर बंडल ई' का उत्पादन करता है।

फाइबर बंडल से जुड़ा प्रिंसिपल बंडल

पहले की तरह, मान लें कि E संरचना समूह G के साथ एक फाइबर बंडल है। विशेष मामले में जब G में एक समूह क्रिया (गणित) है # क्रियाओं के प्रकार F' पर कार्रवाई छोड़ दी जाती है, ताकि F' बाईं ओर एक प्रमुख सजातीय स्थान हो G की क्रिया स्वयं पर होती है, तो संबंधित बंडल E' को फाइबर बंडल E से जुड़ा प्रमुख G-बंडल कहा जाता है। साथ ही एक बाईं क्रिया), तो F′ पर G की दाहिनी क्रिया E′ पर G की दाहिनी क्रिया को प्रेरित करती है। पहचान के इस विकल्प के साथ, E' सामान्य अर्थों में एक प्रमुख बंडल बन जाता है। ध्यान दें कि, हालांकि जी के लिए एक प्रमुख सजातीय स्थान पर एक सही कार्रवाई निर्दिष्ट करने के लिए कोई वैधानिक तरीका नहीं है, ऐसी कोई भी दो कार्रवाइयाँ प्रमुख बंडलों का उत्पादन करेंगी जिनमें संरचना समूह जी के साथ समान अंतर्निहित फाइबर बंडल होता है (चूंकि यह बाईं कार्रवाई से आता है) जी), और आइसोमॉर्फिक जी-स्पेस के रूप में इस अर्थ में कि दोनों से संबंधित बंडलों का जी-समतुल्य समरूपता है।

इस तरह, एक सही कार्रवाई से लैस एक प्रमुख जी-बंडल को अक्सर संरचना समूह जी के साथ फाइबर बंडल निर्दिष्ट करने वाले डेटा के हिस्से के रूप में माना जाता है, क्योंकि फाइबर बंडल के लिए संबंधित बंडल निर्माण के माध्यम से प्रमुख बंडल का निर्माण किया जा सकता है। इसके बाद, जैसा कि अगले भाग में है, दूसरे तरीके से जा सकते हैं और फाइबर उत्पाद का उपयोग करके किसी फाइबर बंडल को प्राप्त कर सकते हैं।

प्रिंसिपल बंडल से जुड़ा फाइबर बंडल

मान लीजिए π : P → X एक प्रमुख बंडल है | प्रमुख G-बंडल है और ρ : G → होमियो(F) एक स्थान F पर G की एक सतत समूह क्रिया (गणित) है (चिकनी श्रेणी में, हमें एक सहज होना चाहिए एक चिकनी कई गुना पर कार्रवाई)। सामान्यता खोए बिना, हम प्रभावी होने के लिए यह कार्रवाई कर सकते हैं।

P × F के माध्यम से G की एक सही क्रिया को परिभाषित करें^[3]^[4]

(p,f)\cdot g=(p\cdot g,\rho (g^{-1})f)\,.

फिर हम भागफल स्थान (टोपोलॉजी) द्वारा इस क्रिया द्वारा स्थान E = P × प्राप्त करते हैं_ρ एफ = (पी × एफ) / जी। (p,f) के तुल्यता वर्ग को [p,f] से निरूपित करें। ध्यान दें कि

[p\cdot g,f]=[p,\rho (g)f]{\mbox{ for all }}g\in G.

प्रक्षेपण मानचित्र को परिभाषित करें उदा_ρ : E → X बटा π_ρ([पी, एफ]) = π (पी)। ध्यान दें कि यह अच्छी तरह से परिभाषित है।

फिर प_ρ : E → X फाइबर F और संरचना समूह G के साथ एक फाइबर बंडल है। संक्रमण कार्य ρ(t) द्वारा दिए गए हैं_ij) जहां टी_ij प्रिंसिपल बंडल पी के संक्रमण कार्य हैं।

इस निर्माण को श्रेणी सिद्धांत भी देखा जा सकता है। अधिक सटीक रूप से, दो सतत मानचित्र हैं $P\times G\times F\to P\times F$ , P पर दाईं ओर G के साथ और F पर बाईं ओर अभिनय करके दिया गया है। संबंधित वेक्टर बंडल $P\times _{\rho }F$ तब इन नक्शों का समतुल्य है।

संरचना समूह की कमी

संबद्ध बंडलों की साथी अवधारणा a के संरचना समूह की कमी है $G$ -बंडल $B$ . हम पूछते हैं कि क्या कोई है $H$ -बंडल $C$ , जैसे कि संबद्ध $G$ -बंडल है $B$ , समरूपता तक। अधिक ठोस रूप से, यह पूछता है कि क्या संक्रमण डेटा के लिए $B$ मूल्यों के साथ लगातार लिखा जा सकता है $H$ . दूसरे शब्दों में, हम संबंधित बंडल मैपिंग (जो वास्तव में एक मज़ेदार है) की छवि की पहचान करने के लिए कहते हैं।

कमी के उदाहरण

वेक्टर बंडलों के उदाहरणों में शामिल हैं: एक मीट्रिक की शुरूआत जिसके परिणामस्वरूप संरचना समूह को एक सामान्य रैखिक समूह GL(n) से एक ऑर्थोगोनल समूह O(n) में घटाया गया; और एक वास्तविक बंडल पर जटिल संरचना के अस्तित्व के परिणामस्वरूप संरचना समूह वास्तविक सामान्य रैखिक समूह GL(2n,'R') से जटिल सामान्य रैखिक समूह GL(n,'C') तक कम हो जाता है।

एक अन्य महत्वपूर्ण मामला रैंक एन के एक वेक्टर बंडल वी के एक व्हिटनी योग (प्रत्यक्ष योग) के रूप में रैंक के और एन-के के उप-बंडलों के अपघटन को ढूंढ रहा है, जिसके परिणामस्वरूप जीएल (एन, 'आर') से संरचना समूह में कमी आई है। जीएल (के, 'आर') × जीएल (एन-के, 'आर')।

कोई ब्लॉक मैट्रिक्स उपसमूह में स्पर्शरेखा बंडल की कमी के रूप में परिभाषित होने के लिए एक पत्तियों से सजाना की स्थिति को भी व्यक्त कर सकता है - लेकिन यहां कमी केवल एक आवश्यक शर्त है, एक पूर्णता की स्थिति है ताकि फ्रोबेनियस प्रमेय (अंतर टोपोलॉजी) लागू हो .

यह भी देखें

स्पिनर बंडल

संदर्भ

↑ All of these constructions are due to Ehresmann (1941-3). Attributed by Steenrod (1951) page 36
↑ Effectiveness is a common requirement for fibre bundles; see Steenrod (1951). In particular, this condition is necessary to ensure the existence and uniqueness of the principal bundle associated with E.
↑ Husemoller, Dale (1994), p. 45.
↑ Sharpe, R. W. (1997), p. 37.

पुस्तकें

Steenrod, Norman (1951). फाइबर बंडलों की टोपोलॉजी. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-00548-6.
Husemoller, Dale (1994). फाइबर बंडल (Third ed.). New York: Springer. ISBN 978-0-387-94087-8.
Sharpe, R. W. (1997). डिफरेंशियल ज्योमेट्री: कार्टन का क्लेन के एर्लांगेन प्रोग्राम का सामान्यीकरण. New York: Springer. ISBN 0-387-94732-9.

श्रेणी:बीजगणितीय टोपोलॉजी श्रेणी:विभेदक ज्यामिति श्रेणी:डिफरेंशियल टोपोलॉजी श्रेणी:फाइबर बंडल

[1] All of these constructions are due to Ehresmann (1941-3). Attributed by Steenrod (1951) page 36

[2] Effectiveness is a common requirement for fibre bundles; see Steenrod (1951). In particular, this condition is necessary to ensure the existence and uniqueness of the principal bundle associated with E.

[3] Husemoller, Dale (1994), p. 45.

[4] Sharpe, R. W. (1997), p. 37.

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-गणित में, [[संरचना समूह]] के साथ [[फाइबर बंडल]]ों का सिद्धांत <math>G</math> (एक सामयिक समूह) एक संबद्ध बंडल बनाने के संचालन की अनुमति देता है, जिसमें बंडल के विशिष्ट फाइबर से परिवर्तन होता है <math>F_1</math> को <math>F_2</math>, जो कि [[समूह क्रिया (गणित)]] के साथ दोनों सामयिक स्थान हैं <math>G</math>. संरचना समूह जी के साथ एक फाइबर बंडल एफ के लिए, दो समन्वय प्रणाली यू के ओवरलैप में फाइबर के संक्रमण कार्य (यानी, [[कोसायकल (बीजगणितीय टोपोलॉजी)]])<sub>α</sub> और आप<sub>β</sub> जी-वैल्यू फ़ंक्शन जी के रूप में दिया जाता है<sub>αβ</sub> वह यू<sub>α</sub>∩U<sub>β</sub>. तब एक फाइबर बंडल F' का निर्माण एक नए फाइबर बंडल के रूप में किया जा सकता है जिसमें समान संक्रमण कार्य होते हैं, लेकिन संभवतः एक अलग फाइबर।
+गणित में, [[संरचना समूह]] '''के साथ [[फाइबर बंडल]]ों का सिद्धांत''' <math>G</math> (एक सामयिक समूह) के साथ फाइबर बंडलों का सिद्धांत एक संबद्ध बंडल बनाने के संचालन की अनुमति देता है, जिसमें बंडल के विशिष्ट फाइबर से परिवर्तन होता है <math>F_1</math> को <math>F_2</math> में बदलता है , जो दोनों सामयिक रिक्त स्थान हैं <math>G</math>. की एक समूह क्रिया। संरचना समूह ''G'' के साथ एक फाइबर बंडल ''F''  के लिए, दो समन्वय प्रणाली  ''U''<sub>α</sub> और ''U''<sub>β</sub> के अतिव्यापन में फाइबर के संक्रमण कार्य ('''यानी''' जिससे , [[कोसायकल (बीजगणितीय टोपोलॉजी)]]) ''U''<sub>α</sub>∩''U''<sub>β</sub> पर   G-मूल्यवान फ़ंक्शन ''g''<sub>αβ</sub> '''और आप<sub>β</sub> जी-वैल्यू फ़ंक्शन जी''' के रूप में दिया जाता है'''<sub>αβ</sub> वह यू<sub>α</sub>∩U<sub>β</sub>.''' तब एक फाइबर बंडल F' का निर्माण एक नए फाइबर बंडल के रूप में किया जा सकता है जिसमें समान संक्रमण कार्य होते हैं, '''लेकिन''' किंतु  संभवतः एक अलग फाइबर होता है।।
 == एक उदाहरण ==
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 === सामान्य रूप से संबद्ध बंडल ===
-होने देना <math display="inline">\pi:E\to X</math> संरचना समूह जी और विशिष्ट फाइबर एफ के साथ एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स पर एक फाइबर बंडल हो। परिभाषा के अनुसार, फाइबर एफ पर जी (एक [[परिवर्तन समूह]] के रूप में) की एक समूह क्रिया (गणित) है। इसके अलावा मान लीजिए कि यह क्रिया समूह क्रिया है (गणित) # क्रियाओं के प्रकार।<ref>Effectiveness is a common requirement for fibre bundles; see Steenrod (1951).  In particular, this condition is necessary to ensure the existence and uniqueness of the principal bundle associated with ''E''.</ref>
+होने देना <math display="inline">\pi:E\to X</math> संरचना समूह जी और विशिष्ट फाइबर एफ के साथ एक सामयिक स्पेस एक्स पर एक फाइबर बंडल हो। परिभाषा के अनुसार, फाइबर एफ पर जी (एक [[परिवर्तन समूह]] के रूप में) की एक समूह क्रिया (गणित) है। इसके अलावा मान लीजिए कि यह क्रिया समूह क्रिया है (गणित) # क्रियाओं के प्रकार।<ref>Effectiveness is a common requirement for fibre bundles; see Steenrod (1951).  In particular, this condition is necessary to ensure the existence and uniqueness of the principal bundle associated with ''E''.</ref>
 बंडल ई का एक स्थानीय रूप से तुच्छ है जिसमें एक खुला कवर यू होता है<sub>i</sub> एक्स का, और बंडल मानचित्र का संग्रह
 '''बंडल ई का एक स्थानीय रूप से तुच्छ है जिसमें एक खुला कवर यू होता है<sub>i</sub> एक्स का, और बंडल मानचित्र का संग्रह'''<math display="block">\varphi_i : \pi^{-1}(U_i) \to U_i \times F</math>जैसे कि [[संक्रमण मानचित्र]] G के तत्वों द्वारा दिए गए हैं। अधिक सटीक रूप से, निरंतर कार्य g हैं<sub>ij</sub> : (उ<sub>i</sub> ∩ यू<sub>j</sub>) → जी ऐसा कि<math display="block">\psi_{ij}(u,f) := \varphi_i \circ \varphi_j ^{-1}(u,f) = \big(u, g_{ij}(u) f \big),\quad
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 \text{for each } (u,f')\in (U_i \cap U_j)\times F'\,,</math>जहां जी-मूल्यवान कार्य जी<sub>ij</sub>(यू) वही हैं जो मूल बंडल ई के स्थानीय तुच्छीकरण से प्राप्त हुए हैं।
 यह परिभाषा संक्रमण कार्यों पर चक्रीय स्थिति का स्पष्ट रूप से सम्मान करती है, क्योंकि प्रत्येक मामले में वे जी-मूल्यवान कार्यों की एक ही प्रणाली द्वारा दी जाती हैं। (एक अन्य स्थानीय तुच्छीकरण का उपयोग करना, और यदि आवश्यक हो तो एक सामान्य परिशोधन के लिए जाना, g<sub>ij</sub> उसी कोबाउंड्री के माध्यम से रूपांतरित करें।) इसलिए, [[फाइबर बंडल निर्माण प्रमेय]] द्वारा, यह दावा किए गए अनुसार फाइबर एफ' के साथ एक फाइबर बंडल ई' का उत्पादन करता है।

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