संबद्ध बंडल: Difference between revisions

Revision as of 12:43, 10 April 2023

गणित में, संरचना समूह $G$ (एक सामयिक समूह) के साथ फाइबर बंडलों का सिद्धांत एक संबद्ध समूह बनाने के संचालन की अनुमति देता है, जिसमें समूह के विशिष्ट फाइबर से परिवर्तन होता है $F_{1}$ को $F_{2}$ में बदलता है , जो दोनों सामयिक रिक्त स्थान हैं $G$ . की एक समूह क्रिया। संरचना समूह G के साथ एक फाइबर समूह F के लिए, दो समन्वय प्रणाली U_α और U_β के अतिव्यापन में फाइबर के संक्रमण कार्य ( जिससे , कोसायकल (बीजगणितीय टोपोलॉजी)) U_α∩U_β पर G-मूल्यवान कार्य g_αβ के रूप में दिया जाता है तब एक फाइबर समूह F' का निर्माण एक नए फाइबर समूह के रूप में किया जा सकता है जिसमें समान संक्रमण कार्य होते हैं, किंतु संभवतः एक अलग फाइबर होता है।।

एक उदाहरण

मोबियस पट्टी के साथ एक साधारण स्थितिया आता है, जिसके लिए $G$ क्रम 2 का चक्रीय समूह है, $\mathbb {Z} _{2}$ . हम $F$ के रूप में ले सकते हैं इनमें से कोई भी ले सकते हैं: वास्तविक संख्या रेखा $\mathbb {R}$ , अंतराल $[-1,\ 1]$ , वास्तविक संख्या रेखा कम बिंदु 0, या दो-बिंदु समूह $\{-1,\ 1\}$ . इन पर $G$ की क्रिया (प्रत्येक स्थितियों में $x\ \rightarrow \ -x$ के रूप में कार्य करने वाला गैर-पहचान तत्व) एक सहज अर्थ में तुलनीय है। हम कह सकते हैं कि अधिक औपचारिक रूप से दो आयतों को चिपकाने के संदर्भ में $[-1,\ 1]\times I$ और $[-1,\ 1]\times J$ की पहचान करने के लिए हमें वास्तव में जिस चीज की जरूरत है, वह है पहचान करने के लिए डेटा $[-1,\ 1]$ सीधे एक छोर पर, और दूसरे छोर पर मोड़ के साथ। इस डेटा को एक पैचिंग कार्य के रूप में नीचे लिखा जा सकता है, G में मान के साथ। 'संबंधित समूह ' निर्माण केवल अवलोकन है कि यह डेटा $\{-1,\ 1\}$ के लिए उतना ही अच्छा करता है जितना कि $[-1,\ 1]$ .के लिए है|

निर्माण

सामान्यतः यह फाइबर $F$ के समूह से संक्रमण की व्याख्या करने के लिए पर्याप्त है , जिस पर $G$ संबंधित प्रमुख समूह के लिए कार्य करता है (अर्थात् वह समूह जहां फाइबर होता है $G$ , स्वयं पर अनुवाद द्वारा कार्य करने के लिए माना जाता है)। इसके लिए हम मुख्य समूह के माध्यम से $F_{1}$ को $F_{2}$ , तक जा सकते हैं एक खुले आवरण के लिए डेटा के संदर्भ में विवरण वंश (श्रेणी सिद्धांत) के स्थितियों के रूप में दिए गए हैं।

यह खंड का इस प्रकार से आयोजन किया जाता है। पहले हम किसी दिए गए फाइबर समूह से, निर्दिष्ट फाइबर के साथ, संबद्ध समूह के उत्पादन के लिए सामान्य प्रक्रिया का परिचय देते हैं। यह तब स्थितियों में माहिर होता है जब निर्दिष्ट फाइबर समूह की बाईं कार्रवाई के लिए एक प्रमुख सजातीय स्थान होता है, जो संबंधित प्रिंसिपल समूह को उत्पन्न करता है। यदि, इसके अतिरिक्त , प्रमुख समूह के फाइबर पर एक सही क्रिया दी जाती है, तो हम वर्णन करते हैं कि फाइबर उत्पाद निर्माण के माध्यम से किसी संबद्ध समूह का निर्माण कैसे किया जाए।^[1]

सामान्य रूप से संबद्ध समूह

होने देना ${\textstyle \pi :E\to X}$ संरचना समूह जी और विशिष्ट फाइबर एफ के साथ एक सामयिक स्पेस एक्स पर एक फाइबर समूह हो। परिभाषा के अनुसार, फाइबर एफ पर जी (एक परिवर्तन समूह के रूप में) की एक समूह क्रिया (गणित) है। इसके अतिरिक्त मान लीजिए कि यह क्रिया समूह क्रिया है (गणित) # क्रियाओं के प्रकार।^[2]

समूह ई का एक स्थानीय रूप से तुच्छ है जिसमें एक खुला कवर यू होता है_i एक्स का, और समूह मानचित्र का संग्रह समूह ई का एक स्थानीय रूप से तुच्छ है जिसमें एक खुला कवर यू होता है_i एक्स का

\varphi _{i}:\pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times F

जैसे कि संक्रमण मानचित्र G के तत्वों द्वारा दिए गए हैं। अधिक सटीक रूप से, निरंतर कार्य g हैं_ij : (उ_i ∩ यू_j) → जी ऐसा कि

\psi _{ij}(u,f):=\varphi _{i}\circ \varphi _{j}^{-1}(u,f)={\big (}u,g_{ij}(u)f{\big )},\quad {\text{for each }}(u,f)\in (U_{i}\cap U_{j})\times F\,.

अब F' को एक निर्दिष्ट सामयिक स्पेस होने दें, जो G की निरंतर बाईं क्रिया से सुसज्जित है। फिर फाइबर F' के साथ E से जुड़ा समूह 'एक समूह E' है, जो कवर U के अधीन एक स्थानीय तुच्छीकरण के साथ है।_i जिसका संक्रमण फलन द्वारा दिया गया है

\psi '_{ij}(u,f')={\big (}u,g_{ij}(u)f'{\big )},\quad {\text{for each }}(u,f')\in (U_{i}\cap U_{j})\times F'\,,

जहां जी-मूल्यवान कार्य जी_ij(यू) वही हैं जो मूल समूह ई के स्थानीय तुच्छीकरण से प्राप्त हुए हैं। यह परिभाषा संक्रमण कार्यों पर चक्रीय स्थिति का स्पष्ट रूप से सम्मान करती है, क्योंकि प्रत्येक स्थितियों में वे जी-मूल्यवान कार्यों की एक ही प्रणाली द्वारा दी जाती हैं। (एक अन्य स्थानीय तुच्छीकरण का उपयोग करना, और यदि आवश्यक हो तो एक सामान्य परिशोधन के लिए जाना, g_ij उसी कोबाउंड्री के माध्यम से रूपांतरित करें।) इसलिए, फाइबर समूह निर्माण प्रमेय द्वारा, यह दावा किए गए अनुसार फाइबर एफ' के साथ एक फाइबर समूह ई' का उत्पादन करता है।

फाइबर समूह से जुड़ा प्रिंसिपल समूह

पहले की तरह, मान लें कि E संरचना समूह G के साथ एक फाइबर समूह है। विशेष स्थितियों में जब G में एक समूह क्रिया (गणित) है # क्रियाओं के प्रकार F' पर कार्रवाई छोड़ दी जाती है, ताकि F' बाईं ओर एक प्रमुख सजातीय स्थान हो G की क्रिया स्वयं पर होती है, तो संबंधित समूह E' को फाइबर समूह E से जुड़ा प्रमुख G-समूह कहा जाता है। साथ ही एक बाईं क्रिया), तो F′ पर G की दाहिनी क्रिया E′ पर G की दाहिनी क्रिया को प्रेरित करती है। पहचान के इस विकल्प के साथ, E' सामान्य अर्थों में एक प्रमुख समूह बन जाता है। ध्यान दें कि, हालांकि जी के लिए एक प्रमुख सजातीय स्थान पर एक सही कार्रवाई निर्दिष्ट करने के लिए कोई वैधानिक तरीका नहीं है, ऐसी कोई भी दो कार्रवाइयाँ प्रमुख बंडलों का उत्पादन करेंगी जिनमें संरचना समूह जी के साथ समान अंतर्निहित फाइबर समूह होता है (चूंकि यह बाईं कार्रवाई से आता है) जी), और आइसोमॉर्फिक जी-स्पेस के रूप में इस अर्थ में कि दोनों से संबंधित बंडलों का जी-समतुल्य समरूपता है।

इस तरह, एक सही कार्रवाई से लैस एक प्रमुख जी-समूह को अक्सर संरचना समूह जी के साथ फाइबर समूह निर्दिष्ट करने वाले डेटा के हिस्से के रूप में माना जाता है, क्योंकि फाइबर समूह के लिए संबंधित समूह निर्माण के माध्यम से प्रमुख समूह का निर्माण किया जा सकता है। इसके बाद, जैसा कि अगले भाग में है, दूसरे तरीके से जा सकते हैं और फाइबर उत्पाद का उपयोग करके किसी फाइबर समूह को प्राप्त कर सकते हैं।

प्रिंसिपल समूह से जुड़ा फाइबर समूह

मान लीजिए π : P → X एक प्रमुख समूह है | प्रमुख G-समूह है और ρ : G → होमियो(F) एक स्थान F पर G की एक सतत समूह क्रिया (गणित) है (चिकनी श्रेणी में, हमें एक सहज होना चाहिए एक चिकनी कई गुना पर कार्रवाई)। सामान्यता खोए बिना, हम प्रभावी होने के लिए यह कार्रवाई कर सकते हैं।

P × F के माध्यम से G की एक सही क्रिया को परिभाषित करें^[3]^[4]

(p,f)\cdot g=(p\cdot g,\rho (g^{-1})f)\,.

फिर हम भागफल स्थान (टोपोलॉजी) द्वारा इस क्रिया द्वारा स्थान E = P × प्राप्त करते हैं_ρ एफ = (पी × एफ) / जी। (p,f) के तुल्यता वर्ग को [p,f] से निरूपित करें। ध्यान दें कि

[p\cdot g,f]=[p,\rho (g)f]{\mbox{ for all }}g\in G.

प्रक्षेपण मानचित्र को परिभाषित करें उदा_ρ : E → X बटा π_ρ([पी, एफ]) = π (पी)। ध्यान दें कि यह अच्छी तरह से परिभाषित है।

फिर प_ρ : E → X फाइबर F और संरचना समूह G के साथ एक फाइबर समूह है। संक्रमण कार्य ρ(t) द्वारा दिए गए हैं_ij) जहां टी_ij प्रिंसिपल समूह पी के संक्रमण कार्य हैं।

इस निर्माण को श्रेणी सिद्धांत भी देखा जा सकता है। अधिक सटीक रूप से, दो सतत मानचित्र हैं $P\times G\times F\to P\times F$ , P पर दाईं ओर G के साथ और F पर बाईं ओर अभिनय करके दिया गया है। संबंधित वेक्टर समूह $P\times _{\rho }F$ तब इन नक्शों का समतुल्य है।

संरचना समूह की कमी

संबद्ध बंडलों की साथी अवधारणा a के संरचना समूह की कमी है $G$ -समूह $B$ . हम पूछते हैं कि क्या कोई है $H$ -समूह $C$ , जैसे कि संबद्ध $G$ -समूह है $B$ , समरूपता तक। अधिक ठोस रूप से, यह पूछता है कि क्या संक्रमण डेटा के लिए $B$ मूल्यों के साथ लगातार लिखा जा सकता है $H$ . दूसरे शब्दों में, हम संबंधित समूह मैपिंग (जो वास्तव में एक मज़ेदार है) की छवि की पहचान करने के लिए कहते हैं।

कमी के उदाहरण

वेक्टर बंडलों के उदाहरणों में शामिल हैं: एक मीट्रिक की शुरूआत जिसके परिणामस्वरूप संरचना समूह को एक सामान्य रैखिक समूह GL(n) से एक ऑर्थोगोनल समूह O(n) में घटाया गया; और एक वास्तविक समूह पर जटिल संरचना के अस्तित्व के परिणामस्वरूप संरचना समूह वास्तविक सामान्य रैखिक समूह GL(2n,'R') से जटिल सामान्य रैखिक समूह GL(n,'C') तक कम हो जाता है।

एक अन्य महत्वपूर्ण स्थितियों रैंक एन के एक वेक्टर समूह वी के एक व्हिटनी योग (प्रत्यक्ष योग) के रूप में रैंक के और एन-के के उप-बंडलों के अपघटन को ढूंढ रहा है, जिसके परिणामस्वरूप जीएल (एन, 'आर') से संरचना समूह में कमी आई है। जीएल (के, 'आर') × जीएल (एन-के, 'आर')।

कोई ब्लॉक मैट्रिक्स उपसमूह में स्पर्शरेखा समूह की कमी के रूप में परिभाषित होने के लिए एक पत्तियों से सजाना की स्थिति को भी व्यक्त कर सकता है - लेकिन यहां कमी केवल एक आवश्यक शर्त है, एक पूर्णता की स्थिति है ताकि फ्रोबेनियस प्रमेय (अंतर टोपोलॉजी) लागू हो .

यह भी देखें

स्पिनर समूह

संदर्भ

↑ All of these constructions are due to Ehresmann (1941-3). Attributed by Steenrod (1951) page 36
↑ Effectiveness is a common requirement for fibre bundles; see Steenrod (1951). In particular, this condition is necessary to ensure the existence and uniqueness of the principal bundle associated with E.
↑ Husemoller, Dale (1994), p. 45.
↑ Sharpe, R. W. (1997), p. 37.

पुस्तकें

Steenrod, Norman (1951). फाइबर बंडलों की टोपोलॉजी. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-00548-6.
Husemoller, Dale (1994). फाइबर बंडल (Third ed.). New York: Springer. ISBN 978-0-387-94087-8.
Sharpe, R. W. (1997). डिफरेंशियल ज्योमेट्री: कार्टन का क्लेन के एर्लांगेन प्रोग्राम का सामान्यीकरण. New York: Springer. ISBN 0-387-94732-9.

श्रेणी:बीजगणितीय टोपोलॉजी श्रेणी:विभेदक ज्यामिति श्रेणी:डिफरेंशियल टोपोलॉजी श्रेणी:फाइबर समूह

[1] All of these constructions are due to Ehresmann (1941-3). Attributed by Steenrod (1951) page 36

[2] Effectiveness is a common requirement for fibre bundles; see Steenrod (1951). In particular, this condition is necessary to ensure the existence and uniqueness of the principal bundle associated with E.

[3] Husemoller, Dale (1994), p. 45.

[4] Sharpe, R. W. (1997), p. 37.

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 == निर्माण ==
-'''सामान्य तौर पर''' सामान्यतः यह फाइबर <math>F</math> के समूह से संक्रमण की व्याख्या करने के लिए पर्याप्त है , जिस पर <math>G</math> संबंधित [[प्रमुख बंडल|प्रमुख]] समूह के लिए कार्य करता है (अर्थात् वह समूह जहां फाइबर होता है <math>G</math>, स्वयं पर अनुवाद द्वारा कार्य करने के लिए माना जाता है)। इसके लिए हम मुख्य समूह के माध्यम से <math>F_1</math> को <math>F_2</math>, तक जा सकते हैं  एक खुले आवरण के लिए डेटा के संदर्भ में विवरण [[वंश (श्रेणी सिद्धांत)]] के स्थितियों के रूप में दिए गए हैं।
+सामान्यतः यह फाइबर <math>F</math> के समूह से संक्रमण की व्याख्या करने के लिए पर्याप्त है , जिस पर <math>G</math> संबंधित [[प्रमुख बंडल|प्रमुख]] समूह के लिए कार्य करता है (अर्थात् वह समूह जहां फाइबर होता है <math>G</math>, स्वयं पर अनुवाद द्वारा कार्य करने के लिए माना जाता है)। इसके लिए हम मुख्य समूह के माध्यम से <math>F_1</math> को <math>F_2</math>, तक जा सकते हैं  एक खुले आवरण के लिए डेटा के संदर्भ में विवरण [[वंश (श्रेणी सिद्धांत)]] के स्थितियों के रूप में दिए गए हैं।
-यह खंड का इस प्रकार से आयोजन किया जाता है। पहले हम किसी दिए गए फाइबर समूह से, निर्दिष्ट फाइबर के साथ, संबद्ध समूह के उत्पादन के लिए सामान्य प्रक्रिया का परिचय देते हैं। यह तब स्थितियों में माहिर होता है जब निर्दिष्ट फाइबर समूह की बाईं कार्रवाई के लिए एक [[प्रमुख सजातीय स्थान]] होता है, जो संबंधित प्रिंसिपल समूह को उत्पन्न करता है। यदि, इसके अलावा, प्रमुख समूह के फाइबर पर एक सही क्रिया दी जाती है, तो हम वर्णन करते हैं कि [[फाइबर उत्पाद]] निर्माण के माध्यम से किसी संबद्ध समूह का निर्माण कैसे किया जाए।<ref>All of these constructions are due to [[Charles Ehresmann|Ehresmann]]  (1941-3). Attributed by Steenrod (1951) page 36</ref>
+यह खंड का इस प्रकार से आयोजन किया जाता है। पहले हम किसी दिए गए फाइबर समूह से, निर्दिष्ट फाइबर के साथ, संबद्ध समूह के उत्पादन के लिए सामान्य प्रक्रिया का परिचय देते हैं। यह तब स्थितियों में माहिर होता है जब निर्दिष्ट फाइबर समूह की बाईं कार्रवाई के लिए एक [[प्रमुख सजातीय स्थान]] होता है, जो संबंधित प्रिंसिपल समूह को उत्पन्न करता है। यदि, इसके अतिरिक्त , प्रमुख समूह के फाइबर पर एक सही क्रिया दी जाती है, तो हम वर्णन करते हैं कि [[फाइबर उत्पाद]] निर्माण के माध्यम से किसी संबद्ध समूह का निर्माण कैसे किया जाए।<ref>All of these constructions are due to [[Charles Ehresmann|Ehresmann]]  (1941-3). Attributed by Steenrod (1951) page 36</ref>
 === सामान्य रूप से संबद्ध समूह ===
-होने देना <math display="inline">\pi:E\to X</math> संरचना समूह जी और विशिष्ट फाइबर एफ के साथ एक सामयिक स्पेस एक्स पर एक फाइबर समूह हो। परिभाषा के अनुसार, फाइबर एफ पर जी (एक [[परिवर्तन समूह]] के रूप में) की एक समूह क्रिया (गणित) है। इसके अलावा मान लीजिए कि यह क्रिया समूह क्रिया है (गणित) # क्रियाओं के प्रकार।<ref>Effectiveness is a common requirement for fibre bundles; see Steenrod (1951).  In particular, this condition is necessary to ensure the existence and uniqueness of the principal bundle associated with ''E''.</ref>
+होने देना <math display="inline">\pi:E\to X</math> संरचना समूह जी और विशिष्ट फाइबर एफ के साथ एक सामयिक स्पेस एक्स पर एक फाइबर समूह हो। परिभाषा के अनुसार, फाइबर एफ पर जी (एक [[परिवर्तन समूह]] के रूप में) की एक समूह क्रिया (गणित) है। इसके अतिरिक्त मान लीजिए कि यह क्रिया समूह क्रिया है (गणित) # क्रियाओं के प्रकार।<ref>Effectiveness is a common requirement for fibre bundles; see Steenrod (1951).  In particular, this condition is necessary to ensure the existence and uniqueness of the principal bundle associated with ''E''.</ref>
 समूह ई का एक स्थानीय रूप से तुच्छ है जिसमें एक खुला कवर यू होता है<sub>i</sub> एक्स का, और समूह मानचित्र का संग्रह
-'''समूह ई का एक स्थानीय रूप से तुच्छ है जिसमें एक खुला कवर यू होता है<sub>i</sub> एक्स का, और समूह मानचित्र का संग्रह'''<math display="block">\varphi_i : \pi^{-1}(U_i) \to U_i \times F</math>जैसे कि [[संक्रमण मानचित्र]] G के तत्वों द्वारा दिए गए हैं। अधिक सटीक रूप से, निरंतर कार्य g हैं<sub>ij</sub> : (उ<sub>i</sub> ∩ यू<sub>j</sub>) → जी ऐसा कि<math display="block">\psi_{ij}(u,f) := \varphi_i \circ \varphi_j ^{-1}(u,f) = \big(u, g_{ij}(u) f \big),\quad
+'''समूह ई का एक स्थानीय रूप से तुच्छ है जिसमें एक खुला कवर यू होता है<sub>i</sub> एक्स का'''<math display="block">\varphi_i : \pi^{-1}(U_i) \to U_i \times F</math>जैसे कि [[संक्रमण मानचित्र]] G के तत्वों द्वारा दिए गए हैं। अधिक सटीक रूप से, निरंतर कार्य g हैं<sub>ij</sub> : (उ<sub>i</sub> ∩ यू<sub>j</sub>) → जी ऐसा कि<math display="block">\psi_{ij}(u,f) := \varphi_i \circ \varphi_j ^{-1}(u,f) = \big(u, g_{ij}(u) f \big),\quad
 \text{for each } (u,f)\in (U_i \cap U_j)\times F\, .</math> अब F' को एक निर्दिष्ट सामयिक स्पेस होने दें, जो G की निरंतर बाईं क्रिया से सुसज्जित है। फिर फाइबर F' के साथ E से जुड़ा समूह 'एक समूह E' है, जो कवर U के अधीन एक स्थानीय तुच्छीकरण के साथ है।<sub>i</sub> जिसका संक्रमण फलन द्वारा दिया गया है<math display="block">\psi'_{ij}(u,f') = \big(u, g_{ij}(u) f' \big),\quad
 \text{for each } (u,f')\in (U_i \cap U_j)\times F'\,,</math>जहां जी-मूल्यवान कार्य जी<sub>ij</sub>(यू) वही हैं जो मूल समूह ई के स्थानीय तुच्छीकरण से प्राप्त हुए हैं।

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