उत्तल विश्लेषण

एक 3-आयामी उत्तल बहुतलीय उत्तल विश्लेषण में न केवल यूक्लिडियन रिक्त समष्टि के उत्तल उपसमुच्चय का अध्ययन सम्मिलित है बल्कि अमूर्त रिक्त समष्टि पर अवमुख फलनों का अध्ययन भी सम्मिलित है।

उत्तल विश्लेषण अवमुख फलन और अवमुख समुच्चय के गुणों के अध्ययन के लिए समर्पित गणित की शाखा है प्रायः उत्तल न्यूनीकरण में अनुप्रयोगों के साथ अनुकूलन सिद्धांत का उपडोमेन होता है।

अवमुख समुच्चय

Main article: अवमुख समुच्चय

कुछ सदिश समष्टि $X$ का एक उपसमुच्चय $C\subseteq X$ अवमुख होता है यदि यह निम्नलिखित समतुल्य शर्तों में से किसी को भी संतुष्ट करता है:

1. यदि $0\leq r\leq 1$ वास्तविक है तब $x,y\in C$ के साथ $rx+(1-r)y\in C$ है।
2. यदि $0<r<1$ वास्तविक है तब $x,y\in C$ और $x\neq y,$ के साथ $rx+(1-r)y\in C$ है।

एक अंतराल पर अवमुख फलन

Main article: अवमुख फलन

संपूर्ण $f:X\to [-\infty ,\infty ]$ विस्तारित वास्तविक संख्या रेखाओं में एक मानचित्र $[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ एक डोमेन के साथ $\operatorname {domain} f=X$ है जो कि कुछ सदिश समष्टि का अवमुख उपसमुच्चय है यदि मानचित्र $f:X\to [-\infty ,\infty ]$ एक अवमुख फलन है:

$f(rx+(1-r)y)\leq rf(x)+(1-r)f(y)$

(Convexity ≤)

कोई भी वास्तविक संख्या $0<r<1$ और $x,y\in X$ के साथ यदि किसी भी $x\neq y.$ के लिए मान्य है जिसको $f$ की परिभाषित असमानता (Convexity ≤) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है तब $f$ को प्रबल अवमुख फलन कहा जाता है:

$f(rx+(1-r)y)<rf(x)+(1-r)f(y)$

(Convexity <)

अवमुख फलन अवमुख समुच्चय से संबंधित हैं विशेष रूप से फलन $f$ उत्तल है यदि और केवल यदि इसका एपिग्राफ फलन है:

एक फलन (काले रंग में) उत्तल होता है यदि और केवल यदि इसका एपीग्राफ जो इसके फलन के आरेख (हरे रंग में) के ऊपर का क्षेत्र है एक अवमुख समुच्चय है।

बहुपद का आरेख चर की संख्या $x^{2}+xy+y^{2}.$ का अवमुख फलन

$\operatorname {epi} f:=\left\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~f(x)\leq r\right\}$

(Epigraph def.)

यह एक अवमुख समुच्चय है यदि विस्तारित वास्तविक-मान फलन के एपिग्राफ उत्तल विश्लेषण में एक भूमिका निभाते हैं जो वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक-मान फलन के आरेख द्वारा निभाई गई भूमिका के अनुरूप है विशेष रूप से एक विस्तारित वास्तविक मान फलन का एपिग्राफ ज्यामितीय अंतर्ज्ञान प्रदान करता है जिसका उपयोग सूत्र की सहायता करने या अनुमानों को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है।

किसी फलन का डोमेन $f:X\to [-\infty ,\infty ]$ द्वारा निरूपित किया जाता है जबकि $\operatorname {domain} f$ इसका प्रभावी डोमेन समुच्चय है:

$\operatorname {dom} f:=\{x\in X~:~f(x)<\infty \}.$

(dom f def.)

फलन $f:X\to [-\infty ,\infty ]$ उपयुक्त फलन कहलाता है यदि $\operatorname {dom} f\neq \varnothing$ और $f(x)>-\infty$ के लिए $x\in \operatorname {domain} f$ है वैकल्पिक रूप से इसकातात्पर्य यह है कि $f$ के डोमेन में कुछ $x$ सम्मिलित है जिस पर $f(x)\in \mathbb {R}$ और $f$ कभी भी $-\infty$ के बराबर नहीं है दूसरे शब्दों में यह एक उपयुक्त फलन है यदि इसका डोमेन रिक्त नहीं है तो यह कभी भी मान $-\infty ,$ नहीं लेता है और यह $+\infty .$ के समान नहीं है यदि $f:\mathbb {R} ^{n}\to [-\infty ,\infty ]$ एक उपयुक्त अवमुख फलन है तब कुछ सदिश $b\in \mathbb {R} ^{n}$ और $r\in \mathbb {R}$ सम्मिलित हैं जैसे कि $f(x)\geq x\cdot b-r$ के लिए $x$ है।

जहाँ $x\cdot b$ सदिश के अदिश गुणनफल को दर्शाता है।

उत्तल संयुग्म

Main article: उत्तल संयुग्म

एक विस्तारित वास्तविक-मान फलन का उत्तल संयुग्म $f:X\to [-\infty ,\infty ]$ (आवश्यक रूप से उत्तल नहीं) फलन $f^{*}:X^{*}\to [-\infty ,\infty ]$ की द्वैतसमष्‍टि $X^{*}$ का $X,$ है:

$f^{*}\left(x^{*}\right)=\sup _{z\in X}\left\{\left\langle x^{*},z\right\rangle -f(z)\right\}$

जहां कोष्ठक $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$ विहित द्विविधता को दर्शाता है और $\left\langle x^{*},z\right\rangle :=x^{*}(z)$, $f$ का द्विसंयुग्मक मानचित्र है जो $f^{**}=\left(f^{*}\right)^{*}:X\to [-\infty ,\infty ]$ द्वारा परिभाषित $f^{**}(x):=\sup _{z^{*}\in X^{*}}\left\{\left\langle x,z^{*}\right\rangle -f\left(z^{*}\right)\right\}$ के प्रत्येक $x\in X$ के लिए $\operatorname {Func} (X;Y)$ के समुच्चय को दर्शाता है तब $X,$ मान वाले फलन मानचित्र $\operatorname {Func} (X;[-\infty ,\infty ])\to \operatorname {Func} \left(X^{*};[-\infty ,\infty ]\right)$ द्वारा परिभाषित लिजेंड्रे-फेनचेल रूपांतरण कहलाते हैं।

उप-अवकल समुच्चय और फेनशेल-यंग असमानता

यदि $f:X\to [-\infty ,\infty ]$ और $x\in X$ उप-अवकल समुच्चय है:

${\begin{alignedat}{4}\partial f(x):&=\left\{x^{*}\in X^{*}~:~f(z)\geq f(x)+\left\langle x^{*},z-x\right\rangle {\text{ for all }}z\in X\right\}&&({\text{“}}z\in X{\text{''}}{\text{ can be replaced with: }}{\text{“}}z\in X{\text{ such that }}z\neq x{\text{''}})\\&=\left\{x^{*}\in X^{*}~:~\left\langle x^{*},x\right\rangle -f(x)\geq \left\langle x^{*},z\right\rangle -f(z){\text{ for all }}z\in X\right\}&&\\&=\left\{x^{*}\in X^{*}~:~\left\langle x^{*},x\right\rangle -f(x)\geq \sup _{z\in X}\left\langle x^{*},z\right\rangle -f(z)\right\}&&{\text{ The right hand side is }}f^{*}\left(x^{*}\right)\\&=\left\{x^{*}\in X^{*}~:~\left\langle x^{*},x\right\rangle -f(x)=f^{*}\left(x^{*}\right)\right\}&&{\text{ Taking }}z:=x{\text{ in the }}\sup {}{\text{ gives the inequality }}\leq .\\\end{alignedat}}$

उदाहरण के लिए महत्वपूर्ण विशेष स्थितियों में जहां $f=\|\cdot \|$ एक प्रतिरूप है जिसे $X$ द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है यदि $0\neq x\in X$ तब यह परिभाषा कम हो जाती है:

$\partial f(x)=\left\{x^{*}\in X^{*}~:~\left\langle x^{*},x\right\rangle =\|x\|{\text{ and }}\left\|x^{*}\right\|=1\right\}$ और $\partial f(0)=\left\{x^{*}\in X^{*}~:~\left\|x^{*}\right\|\leq 1\right\}.$ अन्य के लिए $x\in X$ और $x^{*}\in X^{*},$ $f(x)+f^{*}\left(x^{*}\right)\geq \left\langle x^{*},x\right\rangle ,$ जिसे फेनशेल-यंग असमानता कहा जाता है यह असमानता एक समानता है अर्थात $f(x)+f^{*}\left(x^{*}\right)=\left\langle x^{*},x\right\rangle$) यदि और केवल यदि $x^{*}\in \partial f(x)$ इस प्रकार से है कि उप-अवकल समुच्चय $\partial f(x)$ उत्तल संयुग्म $f^{*}\left(x^{*}\right)$ से संबंधित है।

द्विसंयुग्मी

एक फलन $f:X\to [-\infty ,\infty ]$ का द्विसंयुग्मक का संयुग्म है जिसे सामान्यतः $f^{**}:X\to [-\infty ,\infty ]$ के रूप मे लिखा जाता है यह दृढ़ या द्वैत होता है तब इसे दिखाने के लिए द्विसंयुग्मी फलन उपयोगी होता है।

किसी भी $x\in X,$ के लिए असमानता $f^{**}(x)\leq f(x)$ फेनचेल-यंग असमानता का अनुसरण करता है उपयुक्त फलन के लिए $f=f^{**}$ यदि और केवल यदि $f$ उत्तल है और फेन्शेल-मोरो प्रमेय द्वारा निम्न अर्ध-निरंतर है।

उत्तल न्यूनीकरण

Main article: अवमुख अनुकूलन

उत्तल न्यूनीकरण (प्रारंभिक) समस्या रूपों में से एक है:

जब एक अवमुख फलन $\inf _{x\in M}f(x)$ दिया जाता है तब $f:X\to [-\infty ,\infty ]$ अवमुख उपसमुच्चय $M\subseteq X$ होता है।

द्वैत समस्या

Main article: द्वैत (अनुकूलन)

अनुकूलन सिद्धांत में, द्वैत सिद्धांत बताता है कि अनुकूलन समस्याओं को दो दृष्टिकोणों, मूल समस्या या द्वैत समस्या के रूप मे देखा जा सकता है।

सामान्यतः पर द्वैत सिद्धांत युग्म स्थानीय रूप से उत्तल समष्टि $\left(X,X^{*}\right)$ और $\left(Y,Y^{*}\right)$ को अलग करते हैं फिर दिया गया फलन $f:X\to [-\infty ,\infty ],$ को मूल समस्या $x$ खोजने के रूप में परिभाषित कर सकते हैं जैसे कि

$\inf _{x\in X}f(x).$

यदि प्रतिबंध स्थितियां हैं तो इन्हें $f=f+I_{\mathrm {constraints} }$ फलन $f$ के रूप में बनाया जा सकता है, जहां $I$ संकेतक फलन है माना कि $F:X\times Y\to [-\infty ,\infty ]$ एक फलन है जैसे कि $F(x,0)=f(x).$

चयनित अस्तव्यस्तता फलन के संबंध में द्वैत समस्या इसके द्वारा दी गई है:

$\sup _{y^{*}\in Y^{*}}-F^{*}\left(0,y^{*}\right)$

जहाँ $F^{*}$ के दोनों चरों में उत्तल संयुग्म $F$ है द्वैत अवकल असमानता के दाएं और बाएं पक्षों का अंतर है:

$\sup _{y^{*}\in Y^{*}}-F^{*}\left(0,y^{*}\right)\leq \inf _{x\in X}F(x,0).$

यह सिद्धांत दुर्बल द्वैत सिद्धांत के समान है यदि दोनों पक्ष एक दूसरे के बराबर हैं तो समस्या को प्रबल द्वैत संतुष्ट करने वाला कहा जाता है।

प्रबल द्वैत धारण करने की कई शर्तें होती हैं जैसे:

• $F=F^{**}$ जहाँ $F$ प्रारंभिक और द्वैत समस्याओं से संबंधित अस्तव्यस्तता फलन है और $F^{**}$ का उत्तल संयुग्मी $F$ है।
• मूल समस्या एक रेखीय अनुकूलन है।
• उत्तल अनुकूलन के लिए स्लेटर की स्थिति है।

लाग्रंगियन द्वैत

असमता प्रतिबंध के साथ उत्तल न्यूनीकरण समस्या के लिए $\min {}_{x}f(x)$ का विषय है जो $g_{i}(x)\leq 0$ के लिए $i=1,\ldots ,m.$ की लाग्रंगियन द्वैत समस्या है:

$\sup {}_{u}\inf {}_{x}L(x,u)$ $u_{i}(x)\geq 0$ के लिए $i=1,\ldots ,m.$

जहां फलन $L(x,u)$ लैग्रेंज द्वैत फलन है जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$L(x,u)=f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}g_{j}(x)$

यह भी देखें

• अर्थशास्त्र में उत्तलता
  • गैर-उत्तलता (अर्थशास्त्र)
• उत्तल विषयों की सूची
• वर्नर फेन्शेल

संदर्भ

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• Hiriart-Urruty, J.-B.; Lemaréchal, C. (2001). Fundamentals of convex analysis. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42205-1.
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बाहरी संबंध

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