गोले की पैकिंग: Difference between revisions

Latest revision as of 16:59, 3 May 2023

वृत्त की पैकिंग तोप के वृत्त के ढेर में व्यावहारिक अनुप्रयोग पाती है।

ज्यामिति में, वृत्त की पैकिंग स्थान के अंदर गैर-अतिव्यापी क्षेत्रों की व्यवस्था है। माने जाने वाले वृत्त सामान्यतः सभी समान आकार के होते हैं, और स्थान सामान्यतः त्रि-आयाम यूक्लिडियन स्थान होता है। चूँकि , वृत्त पैकिंग समस्याओं को असमान क्षेत्रों, अन्य आयामों के रिक्त स्थान (जहां समस्या दो आयामों में वृत्त पैकिंग, या उच्च आयामों में अति वृत्त पैकिंग) या गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति रिक्त स्थान जैसे अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान पर विचार करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

वृत्त पैकिंग की विशिष्ट समस्या ऐसी व्यवस्था का पता लगाना है जिसमें वृत्त जितना संभव हो उतना स्थान भरते हैं। गोलों द्वारा भरे गए स्थान के अनुपात को व्यवस्था का संकुलन घनत्व कहा जाता है। जैसा कि अनंत स्थान में पैकिंग का स्थानीय घनत्व उस मात्रा के आधार पर भिन्न हो सकता है जिस पर इसे मापा जाता है, समस्या सामान्यतः औसत या स्पर्शोन्मुख घनत्व को अधिकतम करने के लिए होती है, जिसे पर्याप्त मात्रा में मापा जाता है।

तीन आयामों में समान क्षेत्रों के लिए, सबसे सघन पैकिंग लगभग 74% मात्रा का उपयोग करती है। समान क्षेत्रों की यादृच्छिक पैकिंग घनत्व सामान्यतः लगभग 63.5% घनत्व होता है।^[1]

वर्गीकरण और शब्दावली

एक जाली (समूह) व्यवस्था (सामान्यतः नियमित व्यवस्था कहा जाता है) वह है जिसमें वृत्त के केंद्र बहुत ही सममित प्रतिरूप बनाते हैं जिसे केवल n वैक्टर को विशिष्ट रूप से परिभाषित करने की आवश्यकता होती है ( n -आयामी यूक्लिडियन में) स्थान )। जाली व्यवस्था आवधिक हैं। ऐसी व्यवस्था जिसमें वृत्त जाली नहीं बनाते हैं (अधिकांशतः अनियमित के रूप में संदर्भित) अभी भी आवधिक हो सकते हैं, किंतु अनावधिक (ठीक से गैर-आवधिक बोलना) या यादृच्छिकता भी हो सकती है। उनके उच्च स्तर की समरूपता के कारण, गैर-जाली वाले की तुलना में जाली पैकिंग को वर्गीकृत करना आसान है। आवधिक जालक सदैव अच्छी तरह से परिभाषित घनत्व होते हैं।

नियमित पैकिंग

एचसीपी जाली (बाएं) और एफसीसी जाली (दाएं) दो सबसे आम उच्चतम घनत्व व्यवस्थाएं हैं।

वृत्त से बने तीन विमानों को ढेर करने के दो तरीके

घनी पैकिंग

त्रि-आयामी यूक्लिडियन स्थान में, समान क्षेत्रों का सबसे घना पैकिंग संरचनाओं के वर्ग द्वारा प्राप्त किया जाता है जिसे गोलाकारों की समीप -पैकिंग कहा जाता है समीप -पैक्ड संरचनाएं ऐसी संरचना बनाने की विधि इस प्रकार है। उस पर वृत्त की कॉम्पैक्ट व्यवस्था के साथ स्थान पर विचार करें। इसे A कहते हैं। किसी भी तीन निकट क्षेत्रों के लिए, चौथे वृत्त को तीन निचले वृत्त के बीच खोखले में शीर्ष पर रखा जा सकता है। यदि हम पहले से ऊपर दूसरे तल में आधे छिद्रों के लिए ऐसा करते हैं, तो हम नई सघन परत बनाते हैं। ऐसा करने के लिए दो संभावित विकल्प हैं, उन्हें B और सी कहते हैं। मान लीजिए कि हमने B को चुना फिर B के खोखले का आधा भाग A में गेंदों के केंद्रों के ऊपर स्थित है और आधा A के खोखले के ऊपर स्थित है जो नहीं थे B के लिए उपयोग किया जाता है। इस प्रकार तीसरी परत की गेंदों को या तो सीधे पहले वाली गेंदों के ऊपर रखा जा सकता है, जिससे टाइप A की परत निकल सकती है, या पहली परत के छिद्रों के ऊपर जो दूसरी परत द्वारा अधिकृत नहीं किया गया था, उपज प्रकार सी की परत प्रकार A , B , और सी की परतों का संयोजन विभिन्न बंद-पैक संरचनाओं का निर्माण करता है।

समीप -पैक वर्ग के अंदर दो सरल व्यवस्थाएं नियमित जाली के अनुरूप होती हैं। को क्यूबिक समीप पैकिंग (या चेहरा केंद्रित घन, एफसीसी) कहा जाता है - जहां परतें एबीसीएबीसी... अनुक्रम में वैकल्पिक होती हैं। दूसरे को हेक्सागोनल समीप पैकिंग (एचसीपी) कहा जाता है - जहां एबीएबी अनुक्रम में परतें वैकल्पिक होती हैं। किंतु कई लेयर स्टैकिंग अनुक्रम संभव हैं (एबीएसी, एबीसीबीए, एबीसीबीएसी, आदि), और फिर भी समीप -पैक्ड संरचना उत्पन्न करते हैं। इन सभी व्यवस्थाओं में प्रत्येक गोला 12 निकट क्षेत्रों को छूता है, और औसत घनत्व है^[2]

{\frac {\pi }{3{\sqrt {2}}}}\simeq 0.74048.

कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने 1831 में सिद्ध किया कि इन पैकिंग में सभी संभावित जाली पैकिंग के बीच उच्चतम घनत्व है।^[3]

1611 में, जोहान्स केप्लर ने अनुमान लगाया कि यह नियमित और अनियमित दोनों व्यवस्थाओं के बीच अधिकतम संभव घनत्व है- इसे केप्लर अनुमान के रूप में जाना जाता है। 1998 में, थॉमस कॉलिस्टर हेल्स ने 1953 में लेज़्लो फेजेस टोथ द्वारा सुझाए गए दृष्टिकोण का अनुसरण करते हुए केप्लर अनुमान के प्रमाण की घोषणा की हेल्स का प्रमाण जटिल कंप्यूटर गणनाओं का उपयोग करके कई अलग-अलग स्थितियों की जाँच से संबंधित क्षय का प्रमाण है। रेफरी ने कहा कि वे हेल्स के प्रमाण की शुद्धता के बारे में 99% निश्चित थे। 10 अगस्त 2014 को, हेल्स ने किसी भी संदेह को दूर करते हुए, स्वचालित प्रमाण जाँच का उपयोग करके औपचारिक प्रमाण पूरा करने की घोषणा की थी ।^[4]

अन्य सामान्य जाली पैकिंग

कुछ अन्य जालक संकुलन प्राय: भौतिक तंत्रों में पाए जाते हैं। इनमें घनत्व के साथ घन जाली सम्मिलित है ${\frac {\pi }{6}}\approx 0.5236$ , हेक्सागोनल जाली के घनत्व के साथ ${\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}\approx 0.6046$ और घनत्व के साथ टेट्राहेड्रल जाली ${\frac {\pi {\sqrt {3}}}{16}}\approx 0.3401$ , और 0.0555 के घनत्व पर सबसे कम संभव है।^[5]

कम घनत्व के साथ जाम पैकिंग

पैकिंग जहां सभी क्षेत्रों को उनके निकटतम द्वारा स्थान पर रहने के लिए विवश किया जाता है, उन्हें कठोर या जैमिंग (भौतिकी) कहा जाता है। सबसे कम घनत्व वाला कड़ाई से जाम किया हुआ गोला पैकिंग केवल 0.49365 के घनत्व के साथ पतला (सुरंगयुक्त) एफसीसी क्रिस्टल है।^[6]

अनियमित पैकिंग

यदि हम गोलों का सघन रूप से संकुलित संग्रह बनाने का प्रयास करते हैं, तो हम अगले वृत्त को सदैव तीन भरे हुए गोलों के बीच खोखले में रखने के लिए प्रलोभित होंगे। यदि पांच गोलों को इस तरह से जोड़ा जाता है, तो वे ऊपर वर्णित नियमित रूप से पैक की गई व्यवस्थाओं में से के अनुरूप होंगे। चूँकि , इस तरह से रखा गया छठा गोला संरचना को किसी भी नियमित व्यवस्था के साथ असंगत बना देगा। इसके परिणामस्वरूप गोलाकारों की यादृच्छिक बंद पैकिंग की संभावना होती है जो संपीड़न के विरुद्ध स्थिर होती है।^[7] यादृच्छिक अव्यवस्थित पैकिंग के कंपन के परिणामस्वरूप वृत्त कणों की नियमित पैकिंग में व्यवस्था हो सकती है, इस प्रक्रिया को दानेदार पदार्थ या प्रतिरूप गठन के रूप में जाना जाता है। ऐसी प्रक्रियाएं वृत्त अनाज रखने वाले कंटेनर की ज्यामिति पर निर्भर करती हैं।^[2]

जब गोलों को अनायास से कंटेनर में जोड़ा जाता है और फिर संकुचित किया जाता है, तो वे सामान्यतः अनियमित या जाम पैकिंग विन्यास के रूप में जाने जाते हैं, जब उन्हें और अधिक संपीड़ित नहीं किया जा सकता है। इस अनियमित पैकिंग में सामान्यतः लगभग 64% घनत्व होगा। वर्तमान के शोध ने विश्लेषणात्मक रूप से पूर्वानुमानित है कि यह 63.4% की घनत्व सीमा से अधिक नहीं हो सकता^[8] यह स्थिति या दो आयामों के स्थिति के विपरीत है, जहां 1-आयामी या 2-आयामी क्षेत्रों (जिससे , रेखा खंड या मंडल) के संग्रह को संपीड़ित करने से नियमित पैकिंग प्राप्त होगी।

हाइपरस्फेयर पैकिंग

व्रत पैकिंग समस्या स्वैच्छिक आयामों में बॉल-पैकिंग समस्याओं के वर्ग का त्रि-आयामी संस्करण है। दो आयामों में, समतुल्य समस्या समतल पर वृत्त पैकिंग है। आयाम में यह लाइन सेगमेंट को रैखिक ब्रह्मांड में पैक कर रहा है।^[9]

तीन से अधिक आयामों में, अतिसक्रिय के सबसे घने नियमित पैकिंग को 8 आयामों तक जाना जाता है।^[10] अनियमित अतिसक्रिय पैकिंग के बारे में बहुत कम जानकारी है; यह संभव है कि कुछ आयामों में सघन पैकिंग अनियमित हो सकती है। इस अनुमान के लिए कुछ समर्थन इस तथ्य से मिलता है कि कुछ आयामों (जैसे 10) में सबसे घनी ज्ञात अनियमित पैकिंग सघन ज्ञात नियमित पैकिंग से सघन होती है।^[11]

2016 में, मरीना वियाज़ोव्स्का ने प्रमाण की घोषणा की कि E8 जाली E₈ जाली आठ-आयामी स्थान में इष्टतम पैकिंग (नियमितता की परवाह किए बिना) प्रदान करती है,^[12] और इसके तुरंत बाद उसने और सहयोगियों के समूह ने इसी तरह के प्रमाण की घोषणा की कि जोंक जाली 24 आयामों में इष्टतम है।^[13] यह परिणाम पिछले विधि पर निर्मित और उत्तम हुआ जिससे पता चला कि ये दो जाली इष्टतम के बहुत समीप हैं।^[14]

नए प्रमाणों में घूर्णी समरूपता कार्य $f$ के निर्माण के लिए सावधानी से चुने गए मॉड्यूलर कार्य के लाप्लास परिवर्तन का उपयोग करना सम्मिलित है ऐसा है कि $f$ और इसका फूरियर रूपांतरण $f̂$ मूल (गणित) पर दोनों बराबर एक, और दोनों इष्टतम जाली के अन्य सभी बिंदुओं पर गायब हो जाते हैं, $f$ के साथ पैकिंग के केंद्रीय वृत्त के बाहर नकारात्मक और $f̂$ सकारात्मक। फिर, $f$ के लिए प्वासों योग सूत्र का उपयोग किसी अन्य पैकिंग के साथ इष्टतम जाली के घनत्व की तुलना करने के लिए किया जाता है।^[15] इससे पहले कि प्रमाण विद्वान सहकर्मी समीक्षा और प्रकाशित होता, गणितज्ञ पीटर इतिहास ने प्रमाण को आश्चर्यजनक रूप से सरल कहा और लिखा कि आप बस पेपर पढ़ना प्रारंभ करें और आप जानते हैं कि यह सही है।^[16]

उच्च आयामों में अनुसंधान की अन्य पंक्ति सघन पैकिंग के घनत्व के लिए स्पर्शोन्मुख सीमा खोजने की प्रयाश कर रही है। 2017 तक, यह ज्ञात है कि बड़े के लिए $n$ , आयाम में सबसे घनी जाली $n$ के बीच घनत्व है $cn \cdot 2 - n$ (कुछ स्थिरांक के लिए $c$ ) और $2 -0.599 n$ .^[17] अनुमानित सीमाएं बीच में हैं।^[18]

असमान वृत्त पैकिंग

0.64799 के त्रिज्या अनुपात और 0.74786 के घनत्व के साथ गोलों की सघन पैकिंग^[19]

रासायनिक और भौतिक विज्ञान में कई समस्याएँ पैकिंग समस्याओं से संबंधित हो सकती हैं जहाँ से अधिक आकार के वृत्त उपलब्ध हैं। यहाँ गोलों को निकट संकुलित समान गोलों के क्षेत्रों में अलग करने, या अनेक आकारों के गोलों को यौगिक या अंतरालीय यौगिक पैकिंग में संयोजित करने के बीच विकल्प है। जब कई आकार के वृत्त (या कण आकार वितरण) उपलब्ध होते हैं, तो समस्या जल्दी से जटिल हो जाती है, किंतु बाइनरी हार्ड क्षेत्रों (दो आकार) के कुछ अध्ययन उपलब्ध हैं।

जब दूसरा गोला पहले की तुलना में बहुत छोटा होता है, तो बड़े वृत्त को बंद-संकुलित व्यवस्था में व्यवस्थित करना संभव है, और फिर छोटे वृत्त को ऑक्टाहेड्रल और टेट्राहेड्रल अंतराल के अंदर व्यवस्थित करें। इस अंतरालीय पैकिंग का घनत्व त्रिज्या अनुपात पर संवेदनशील रूप से निर्भर करता है, किंतु चरम आकार के अनुपात की सीमा में, छोटे वृत्त उसी घनत्व के साथ अंतराल को भर सकते हैं जैसे बड़े वृत्त भरे हुए स्थान^[20] भले ही बड़े वृत्त बंद-संकुलित व्यवस्था में न हों, फिर भी बड़े वृत्त की त्रिज्या के 0.29099 तक के कुछ छोटे वृत्त सम्मिलित करना सदैव संभव होता है।^[21]

जब छोटे वृत्त का सीमा बड़े वृत्त के त्रिज्या के 0.41421 से अधिक होता है, तो यह अब बंद-पैक संरचना के ऑक्टाहेड्रल छिद्रों में भी स्थित होना संभव नहीं है। इस प्रकार, इस बिंदु से परे, या तो होस्ट संरचना को अंतरालीय (जो समग्र घनत्व से समझौता करता है) को समायोजित करने के लिए विस्तारित होना चाहिए, या अधिक जटिल क्रिस्टलीय मिश्रित संरचना में पुनर्व्यवस्थित करना चाहिए। ऐसी संरचनाएं ज्ञात हैं जो 0.659786 तक रेडियस अनुपात के लिए समीप पैकिंग घनत्व से अधिक हैं।^[19]^[22]

ऐसे बाइनरी पैकिंग में प्राप्त किए जा सकने वाले घनत्व के लिए ऊपरी सीमाएं भी प्राप्त की गई हैं।^[23]

कई रासायनिक स्थितियों में जैसे आयनिक क्रिस्टल, स्तुईचिओमेटरी को घटक आयनों के आवेशों द्वारा विवश किया जाता है। पैकिंग पर यह अतिरिक्त बाधा, परस्पर क्रिया करने वाले आवेश की कूलम्ब ऊर्जा को कम करने की आवश्यकता के साथ इष्टतम पैकिंग व्यवस्था की विविधता की ओर ले जाती है।

अतिपरवलिक स्थान

यद्यपि हलकों और क्षेत्रों की अवधारणा को अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान तक बढ़ाया जा सकता है, किंतु सघन पैकिंग को खोजना अधिक कठिन हो जाता है। अतिपरवलयिक स्थान में वृत्त की संख्या की कोई सीमा नहीं होती है जो किसी अन्य वृत्त को घेर सकते हैं (उदाहरण के लिए, फोर्ड वृत्त को समान अतिपरवलयिक हलकों की व्यवस्था के रूप में माना जा सकता है जिसमें प्रत्येक चक्र अन्य मंडलियों की अनंत संख्या से घिरा हुआ है)। औसत घनत्व की अवधारणा को भी स्पष्ट रूप से परिभाषित करना अधिक कठिन हो जाता है। किसी भी अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान में सबसे घनी पैकिंग लगभग सदैव अनियमित होती है।^[24]

इस कठिनाई के अतिरिक्त ,के. बोरोज़्स्की अतिशयोक्तिपूर्ण n-स्थान के वृत्त के घनत्व के लिए सार्वभौमिक ऊपरी सीमा देता है जहाँ n ≥ 2।^[25] तीन आयामों में बोरोज़्स्की बाउंड लगभग 85.327613% है, और श्लाफली प्रतीक {3,3,6} के साथ गण - 6 चतुष्फलकीय मधुकोश मधुकोश के होरोस्फीयर पैकिंग द्वारा अनुभव किया जाता है।^[26] इस विन्यास के अतिरिक्त कम से कम तीन अन्य होरोस्फीयर पैकिंग हाइपरबोलिक 3-स्पेस में उपस्थित हैं जो घनत्व ऊपरी सीमा का अनुभव करते हैं।^[27]

मार्मिक जोड़े, त्रिक, और चौगुनी

ईकाई बॉल्स की इच्छानुसार परिमित पैकिंग का संपर्क ग्राफ वह ग्राफ है जिसके कोने पैकिंग तत्वों के अनुरूप होते हैं और जिनके दो कोने किनारे से जुड़े होते हैं यदि संबंधित दो पैकिंग तत्व दूसरे को स्पर्श करते हैं। संपर्क ग्राफ़ के किनारे समूह की प्रमुखता स्पर्श करने वाले जोड़े की संख्या देती है, संपर्क ग्राफ़ में 3-चक्रों की संख्या स्पर्श करने वाले ट्रिपल की संख्या देती है, और संपर्क ग्राफ़ में टेट्राहेड्रॉन की संख्या स्पर्श करने वाले चतुष्कोणों की संख्या देती है ( सामान्यतः n आयामों में वृत्त पैकिंग से जुड़े संपर्क ग्राफ के लिए जो संपर्क ग्राफ में n -सरलताओं के समूह की कार्डिनालिटी वृत्त पैकिंग में स्पर्श करने की संख्या (n + 1) -ट्यूपल देता है)। 3-आयामी यूक्लिडियन स्थान के स्थिति में, स्पर्श करने वाले जोड़े, ट्रिपल और चौगुनी की संख्या पर गैर-तुच्छ ऊपरी सीमाएं^[28] कैलगरी विश्वविद्यालय में केरोली बेजडेक और सैमुअल रीड द्वारा सिद्ध किया गया था।

वृत्त के बीच संपर्क बिंदुओं की संख्या को अधिकतम करने वाले n समान क्षेत्रों की व्यवस्था को खोजने की समस्या को कठिन-गोला समस्या के रूप में जाना जाता है। अधिकतम n ≤ 11 के लिए जाना जाता है, और केवल अनुमानित मान बड़े n के लिए जाने जाते हैं।^[29]

अन्य रिक्त स्थान

अतिविम के कोनों पर वृत्त पैकिंग (हैमिंग दूरी द्वारा परिभाषित क्षेत्रों के साथ) योजना त्रुटि-सुधार कोड से मेल खाती है: यदि क्षेत्रों में त्रिज्या t है, तो उनके केंद्र (2t + 1)-त्रुटि-सुधार कोड के कोडवर्ड हैं। जाली पैकिंग रैखिक कोड के अनुरूप होती है। यूक्लिडियन वृत्त पैकिंग और त्रुटि-सुधार कोड के बीच अन्य, सूक्ष्म संबंध हैं। उदाहरण के लिए, बाइनरी भाषा में कोड 24-आयामी जोंक जाली से निकटता से संबंधित है।

इन संबंध के बारे में अधिक जानकारी के लिए, जॉन हॉर्टन कॉनवे और नील स्लोएन की पुस्तक स्फीयर पैकिंग्स, लैटिस और समूह देखें।^[30]

यह भी देखें

संदर्भ

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बाहरी संबंध

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"Densest Packing of spheres into a sphere" java applet
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[3] Gauß, C. F. (1831). "Besprechung des Buchs von L. A. Seeber: Untersuchungen über die Eigenschaften der positiven ternären quadratischen Formen usw" [Discussion of L. A. Seeber's book: Studies on the characteristics of positive ternary quadratic forms etc]. Göttingsche Gelehrte Anzeigen.

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[nature-8] Song, C.; Wang, P.; Makse, H. A. (29 May 2008). "जाम पदार्थ के लिए एक चरण आरेख". Nature. 453 (7195): 629–632. arXiv:0808.2196. Bibcode:2008Natur.453..629S. doi:10.1038/nature06981. PMID 18509438. S2CID 4420652.

[9] Griffith, J.S. (1962). "समान 0-गोले की पैकिंग". Nature. 196 (4856): 764–765. Bibcode:1962Natur.196..764G. doi:10.1038/196764a0. S2CID 4262056.

[10] Weisstein, Eric W. "Hypersphere Packing". MathWorld.

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[13] Cohn, Henry; Kumar, Abhinav; Miller, Stephen; Radchenko, Danylo; Viazovska, Maryna (1 January 2017). "The sphere packing problem in dimension 24". Annals of Mathematics (in English). 185 (3): 1017–1033. arXiv:1603.06518. doi:10.4007/annals.2017.185.3.8. ISSN 0003-486X. S2CID 119281758.

[14] Cohn, Henry; Kumar, Abhinav (2009), "Optimality and uniqueness of the Leech lattice among lattices", Annals of Mathematics, 170 (3): 1003–1050, arXiv:math.MG/0403263, doi:10.4007/annals.2009.170.1003, ISSN 1939-8980, MR 2600869, S2CID 10696627, Zbl 1213.11144 Cohn, Henry; Kumar, Abhinav (2004), "The densest lattice in twenty-four dimensions", Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, 10 (7): 58–67, arXiv:math.MG/0408174, Bibcode:2004math......8174C, doi:10.1090/S1079-6762-04-00130-1, ISSN 1079-6762, MR 2075897, S2CID 15874595

[15] Miller, Stephen D. (4 April 2016), The solution to the sphere packing problem in 24 dimensions via modular forms, Institute for Advanced Study, archived from the original on 2021-12-21. Video of an hour-long talk by one of Viazovska's co-authors explaining the new proofs.

[16] Klarreich, Erica (30 March 2016), "Sphere Packing Solved in Higher Dimensions", Quanta Magazine

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[18] Torquato, S.; Stillinger, F. H. (2006), "New conjectural lower bounds on the optimal density of sphere packings", Experimental Mathematics, 15 (3): 307–331, arXiv:math/0508381, doi:10.1080/10586458.2006.10128964, MR 2264469, S2CID 9921359

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[29] "चिपचिपा क्षेत्रों का विज्ञान". American Scientist (in English). 2017-02-06. Retrieved 2020-07-14.

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 {{Short description|An arrangement of non-overlapping spheres within a containing space}}
-[[File:Rye Castle, Rye, East Sussex, England-6April2011 (1) (cropped).jpg|thumb|वृत्त की पैकिंग तोप के वृत्त के ढेर में व्यावहारिक अनुप्रयोग पाती है।]][[ज्यामिति]] में, वृत्त की पैकिंग स्थान के अंदर गैर-अतिव्यापी क्षेत्रों की व्यवस्था है। माने जाने वाले वृत्त सामान्यतः  सभी समान आकार के होते हैं, और स्थान  सामान्यतः  त्रि-[[आयाम]] [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन स्थान]]  होता है। चूँकि  , वृत्त    पैकिंग समस्याओं को असमान क्षेत्रों, अन्य आयामों के रिक्त स्थान (जहां समस्या दो आयामों में [[सर्कल पैकिंग|वृत्त  पैकिंग]], या उच्च आयामों में [[ अति क्षेत्र |अति]] वृत्त  पैकिंग) या [[गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति]] रिक्त स्थान जैसे [[अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान]]  पर विचार करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।
+[[File:Rye Castle, Rye, East Sussex, England-6April2011 (1) (cropped).jpg|thumb|वृत्त की पैकिंग तोप के वृत्त के ढेर में व्यावहारिक अनुप्रयोग पाती है।]][[ज्यामिति]] में, वृत्त की पैकिंग स्थान के अंदर गैर-अतिव्यापी क्षेत्रों की व्यवस्था है। माने जाने वाले वृत्त सामान्यतः सभी समान आकार के होते हैं, और स्थान सामान्यतः त्रि-[[आयाम]] [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन स्थान]] होता है। चूँकि , वृत्त    पैकिंग समस्याओं को असमान क्षेत्रों, अन्य आयामों के रिक्त स्थान (जहां समस्या दो आयामों में [[सर्कल पैकिंग|वृत्त पैकिंग]], या उच्च आयामों में [[ अति क्षेत्र |अति]] वृत्त पैकिंग) या [[गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति]] रिक्त स्थान जैसे [[अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान]] पर विचार करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।
-वृत्त    पैकिंग की विशिष्ट समस्या ऐसी व्यवस्था का पता लगाना है जिसमें वृत्त जितना संभव हो उतना स्थान भरते हैं। गोलों द्वारा भरे गए स्थान के अनुपात को व्यवस्था का ''संकुलन घनत्व'' कहा जाता है। जैसा कि अनंत स्थान में पैकिंग का स्थानीय घनत्व उस मात्रा के आधार पर भिन्न हो सकता है जिस पर इसे मापा जाता है, समस्या सामान्यतः  [[औसत]] या स्पर्शोन्मुख घनत्व को अधिकतम करने के लिए होती है, जिसे पर्याप्त मात्रा में मापा जाता है।
+वृत्त    पैकिंग की विशिष्ट समस्या ऐसी व्यवस्था का पता लगाना है जिसमें वृत्त जितना संभव हो उतना स्थान भरते हैं। गोलों द्वारा भरे गए स्थान के अनुपात को व्यवस्था का ''संकुलन घनत्व'' कहा जाता है। जैसा कि अनंत स्थान में पैकिंग का स्थानीय घनत्व उस मात्रा के आधार पर भिन्न हो सकता है जिस पर इसे मापा जाता है, समस्या सामान्यतः [[औसत]] या स्पर्शोन्मुख घनत्व को अधिकतम करने के लिए होती है, जिसे पर्याप्त मात्रा में मापा जाता है।
-तीन आयामों में समान क्षेत्रों के लिए, सबसे सघन पैकिंग लगभग 74% मात्रा का उपयोग करती है। समान क्षेत्रों की यादृच्छिक [[पैकिंग घनत्व]] सामान्यतः  लगभग 63.5% घनत्व होता है।<ref>{{Cite journal |last1=Wu |first1=Yugong |last2=Fan |first2=Zhigang |last3=Lu |first3=Yuzhu |date=2003-05-01 |title=कठोर क्षेत्रों के यादृच्छिक करीब पैकिंग के थोक और आंतरिक पैकिंग घनत्व|url=https://doi.org/10.1023/A:1023597707363 |journal=Journal of Materials Science |language=en |volume=38 |issue=9 |pages=2019–2025 |doi=10.1023/A:1023597707363 |s2cid=137583828 |issn=1573-4803}}</ref>
+तीन आयामों में समान क्षेत्रों के लिए, सबसे सघन पैकिंग लगभग 74% मात्रा का उपयोग करती है। समान क्षेत्रों की यादृच्छिक [[पैकिंग घनत्व]] सामान्यतः लगभग 63.5% घनत्व होता है।<ref>{{Cite journal |last1=Wu |first1=Yugong |last2=Fan |first2=Zhigang |last3=Lu |first3=Yuzhu |date=2003-05-01 |title=कठोर क्षेत्रों के यादृच्छिक करीब पैकिंग के थोक और आंतरिक पैकिंग घनत्व|url=https://doi.org/10.1023/A:1023597707363 |journal=Journal of Materials Science |language=en |volume=38 |issue=9 |pages=2019–2025 |doi=10.1023/A:1023597707363 |s2cid=137583828 |issn=1573-4803}}</ref>
 == वर्गीकरण और शब्दावली ==
-एक [[जाली (समूह)]] व्यवस्था (सामान्यतः  नियमित व्यवस्था कहा जाता है) वह है जिसमें वृत्त के केंद्र बहुत ही सममित प्रतिरूप बनाते हैं जिसे केवल ''n'' वैक्टर को विशिष्ट रूप से परिभाषित करने की आवश्यकता होती है ('' n ''-आयामी यूक्लिडियन में) स्थान )। जाली व्यवस्था आवधिक हैं। ऐसी व्यवस्था जिसमें वृत्त जाली नहीं बनाते हैं (अधिकांशतः अनियमित के रूप में संदर्भित) अभी भी आवधिक हो सकते हैं, किंतु [[अनावधिक]] (ठीक से गैर-आवधिक बोलना) या यादृच्छिकता भी हो सकती है। उनके उच्च स्तर की [[समरूपता]] के कारण, गैर-जाली वाले की तुलना में जाली पैकिंग को वर्गीकृत करना आसान है। आवधिक जालक सदैव अच्छी तरह से परिभाषित घनत्व होते हैं।
+एक [[जाली (समूह)]] व्यवस्था (सामान्यतः नियमित व्यवस्था कहा जाता है) वह है जिसमें वृत्त के केंद्र बहुत ही सममित प्रतिरूप बनाते हैं जिसे केवल ''n'' वैक्टर को विशिष्ट रूप से परिभाषित करने की आवश्यकता होती है ('' n ''-आयामी यूक्लिडियन में) स्थान )। जाली व्यवस्था आवधिक हैं। ऐसी व्यवस्था जिसमें वृत्त जाली नहीं बनाते हैं (अधिकांशतः अनियमित के रूप में संदर्भित) अभी भी आवधिक हो सकते हैं, किंतु [[अनावधिक]] (ठीक से गैर-आवधिक बोलना) या यादृच्छिकता भी हो सकती है। उनके उच्च स्तर की [[समरूपता]] के कारण, गैर-जाली वाले की तुलना में जाली पैकिंग को वर्गीकृत करना आसान है। आवधिक जालक सदैव अच्छी तरह से परिभाषित घनत्व होते हैं।
 == नियमित पैकिंग ==
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 {{main|समान गोलों की संकुलन}}
-त्रि-आयामी यूक्लिडियन स्थान  में, समान क्षेत्रों का सबसे घना पैकिंग संरचनाओं के वर्ग द्वारा प्राप्त किया जाता है जिसे गोलाकारों की समीप -पैकिंग कहा जाता है समीप -पैक्ड संरचनाएं ऐसी संरचना बनाने की विधि इस प्रकार है। उस पर वृत्त की कॉम्पैक्ट व्यवस्था के साथ स्थान पर विचार करें। इसे A कहते हैं। किसी भी तीन निकट क्षेत्रों के लिए, चौथे वृत्त को तीन निचले वृत्त के बीच खोखले में शीर्ष पर रखा जा सकता है। यदि हम पहले से ऊपर दूसरे तल में आधे छिद्रों के लिए ऐसा करते हैं, तो हम नई सघन परत बनाते हैं। ऐसा करने के लिए दो संभावित विकल्प हैं, उन्हें  B  और सी कहते हैं। मान लीजिए कि हमने  B  को चुना फिर B के खोखले का आधा भाग A  में गेंदों के केंद्रों के ऊपर स्थित है और आधा A के खोखले के ऊपर स्थित है जो नहीं थे  B  के लिए उपयोग किया जाता है। इस प्रकार तीसरी परत की गेंदों को या तो सीधे पहले वाली गेंदों के ऊपर रखा जा सकता है, जिससे टाइप A की परत निकल सकती है, या पहली परत के छिद्रों के ऊपर जो दूसरी परत द्वारा अधिकृत नहीं किया गया था, उपज प्रकार सी की परत प्रकार A ,  B , और सी की परतों का संयोजन विभिन्न बंद-पैक संरचनाओं का निर्माण करता है।
+त्रि-आयामी यूक्लिडियन स्थान में, समान क्षेत्रों का सबसे घना पैकिंग संरचनाओं के वर्ग द्वारा प्राप्त किया जाता है जिसे गोलाकारों की समीप -पैकिंग कहा जाता है समीप -पैक्ड संरचनाएं ऐसी संरचना बनाने की विधि इस प्रकार है। उस पर वृत्त की कॉम्पैक्ट व्यवस्था के साथ स्थान पर विचार करें। इसे A कहते हैं। किसी भी तीन निकट क्षेत्रों के लिए, चौथे वृत्त को तीन निचले वृत्त के बीच खोखले में शीर्ष पर रखा जा सकता है। यदि हम पहले से ऊपर दूसरे तल में आधे छिद्रों के लिए ऐसा करते हैं, तो हम नई सघन परत बनाते हैं। ऐसा करने के लिए दो संभावित विकल्प हैं, उन्हें B और सी कहते हैं। मान लीजिए कि हमने B को चुना फिर B के खोखले का आधा भाग A में गेंदों के केंद्रों के ऊपर स्थित है और आधा A के खोखले के ऊपर स्थित है जो नहीं थे B के लिए उपयोग किया जाता है। इस प्रकार तीसरी परत की गेंदों को या तो सीधे पहले वाली गेंदों के ऊपर रखा जा सकता है, जिससे टाइप A की परत निकल सकती है, या पहली परत के छिद्रों के ऊपर जो दूसरी परत द्वारा अधिकृत नहीं किया गया था, उपज प्रकार सी की परत प्रकार A , B , और सी की परतों का संयोजन विभिन्न बंद-पैक संरचनाओं का निर्माण करता है।
-समीप -पैक वर्ग के अंदर दो सरल व्यवस्थाएं नियमित जाली के अनुरूप होती हैं। को क्यूबिक समीप  पैकिंग (या [[चेहरा केंद्रित घन]], एफसीसी) कहा जाता है - जहां परतें एबीसीएबीसी... अनुक्रम में वैकल्पिक होती हैं। दूसरे को हेक्सागोनल समीप  पैकिंग (एचसीपी) कहा जाता है - जहां एबीएबी अनुक्रम में परतें वैकल्पिक होती हैं। किंतु कई लेयर स्टैकिंग अनुक्रम  संभव हैं (एबीएसी, एबीसीबीए, एबीसीबीएसी, आदि), और फिर भी समीप -पैक्ड संरचना उत्पन्न करते हैं। इन सभी व्यवस्थाओं में प्रत्येक गोला 12 निकट क्षेत्रों को छूता है, और औसत घनत्व है<ref name=grancrys>Granular crystallisation in vibrated packings [https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02355176/document/#page=6 Granular Matter (2019), 21(2), 26] HAL Archives Ouvertes</ref>
+समीप -पैक वर्ग के अंदर दो सरल व्यवस्थाएं नियमित जाली के अनुरूप होती हैं। को क्यूबिक समीप पैकिंग (या [[चेहरा केंद्रित घन]], एफसीसी) कहा जाता है - जहां परतें एबीसीएबीसी... अनुक्रम में वैकल्पिक होती हैं। दूसरे को हेक्सागोनल समीप पैकिंग (एचसीपी) कहा जाता है - जहां एबीएबी अनुक्रम में परतें वैकल्पिक होती हैं। किंतु कई लेयर स्टैकिंग अनुक्रम संभव हैं (एबीएसी, एबीसीबीए, एबीसीबीएसी, आदि), और फिर भी समीप -पैक्ड संरचना उत्पन्न करते हैं। इन सभी व्यवस्थाओं में प्रत्येक गोला 12 निकट क्षेत्रों को छूता है, और औसत घनत्व है<ref name=grancrys>Granular crystallisation in vibrated packings [https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02355176/document/#page=6 Granular Matter (2019), 21(2), 26] HAL Archives Ouvertes</ref>
 :<math>\frac{\pi}{3\sqrt{2}} \simeq 0.74048.</math>
 [[कार्ल फ्रेडरिक गॉस]] ने 1831 में सिद्ध किया कि इन पैकिंग में सभी संभावित जाली पैकिंग के बीच उच्चतम घनत्व है।<ref>{{cite journal|first=C. F.|last=Gauß|author-link=Carl Friedrich Gauss|title=Besprechung des Buchs von L. A. Seeber: ''Untersuchungen über die Eigenschaften der positiven ternären quadratischen Formen'' usw|trans-title=Discussion of L. A. Seeber's book: ''Studies on the characteristics of positive ternary quadratic forms'' etc|journal=Göttingsche Gelehrte Anzeigen|year=1831}}</ref>
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 === कम घनत्व के साथ जाम पैकिंग ===
-पैकिंग जहां सभी क्षेत्रों को उनके निकटतम  द्वारा स्थान पर रहने के लिए विवश किया जाता है, उन्हें कठोर या [[जैमिंग (भौतिकी)]] कहा जाता है। सबसे कम घनत्व वाला कड़ाई से जाम किया हुआ गोला पैकिंग केवल 0.49365 के घनत्व के साथ पतला (सुरंगयुक्त) एफसीसी क्रिस्टल है।<ref>{{Cite journal | last1 = Torquato | first1 = S. | author-link1 = Salvatore Torquato | last2 = Stillinger | first2 = F. H. | title = Toward the jamming threshold of sphere packings: Tunneled crystals | journal = Journal of Applied Physics | volume = 102 | year = 2007 | issue = 9 | pages = 093511–093511–8 | doi = 10.1063/1.2802184 | arxiv = 0707.4263 | bibcode = 2007JAP...102i3511T | s2cid = 5704550 }}
+पैकिंग जहां सभी क्षेत्रों को उनके निकटतम द्वारा स्थान पर रहने के लिए विवश किया जाता है, उन्हें कठोर या [[जैमिंग (भौतिकी)]] कहा जाता है। सबसे कम घनत्व वाला कड़ाई से जाम किया हुआ गोला पैकिंग केवल 0.49365 के घनत्व के साथ पतला (सुरंगयुक्त) एफसीसी क्रिस्टल है।<ref>{{Cite journal | last1 = Torquato | first1 = S. | author-link1 = Salvatore Torquato | last2 = Stillinger | first2 = F. H. | title = Toward the jamming threshold of sphere packings: Tunneled crystals | journal = Journal of Applied Physics | volume = 102 | year = 2007 | issue = 9 | pages = 093511–093511–8 | doi = 10.1063/1.2802184 | arxiv = 0707.4263 | bibcode = 2007JAP...102i3511T | s2cid = 5704550 }}
 </ref>
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 {{main|यादृच्छिक बंद पैक}}
-यदि हम गोलों का सघन रूप से संकुलित संग्रह बनाने का प्रयास करते हैं, तो हम अगले वृत्त को सदैव तीन भरे हुए गोलों के बीच खोखले में रखने के लिए प्रलोभित होंगे। यदि पांच गोलों को इस तरह से जोड़ा जाता है, तो वे ऊपर वर्णित नियमित रूप से पैक की गई व्यवस्थाओं में से के अनुरूप होंगे। चूँकि , इस तरह से रखा गया छठा गोला संरचना को किसी भी नियमित व्यवस्था के साथ असंगत बना देगा। इसके परिणामस्वरूप गोलाकारों की यादृच्छिक बंद पैकिंग की संभावना होती है जो संपीड़न के विरुद्ध स्थिर होती है।<ref>{{cite journal|title=एकाएक विचार|first=Paul|last=Chaikin|date=June 2007|journal=Physics Today|page=8|issn=0031-9228|publisher=American Institute of Physics|volume=60|issue=6|doi=10.1063/1.2754580|bibcode = 2007PhT....60f...8C }}</ref> यादृच्छिक अव्यवस्थित पैकिंग के कंपन के परिणामस्वरूप वृत्त    कणों की नियमित पैकिंग में व्यवस्था हो सकती है, इस प्रक्रिया को दानेदार पदार्थ  या  प्रतिरूप गठन के रूप में जाना जाता है। ऐसी प्रक्रियाएं वृत्त    अनाज रखने वाले कंटेनर की ज्यामिति पर निर्भर करती हैं।<ref name=grancrys/>
+यदि हम गोलों का सघन रूप से संकुलित संग्रह बनाने का प्रयास करते हैं, तो हम अगले वृत्त को सदैव तीन भरे हुए गोलों के बीच खोखले में रखने के लिए प्रलोभित होंगे। यदि पांच गोलों को इस तरह से जोड़ा जाता है, तो वे ऊपर वर्णित नियमित रूप से पैक की गई व्यवस्थाओं में से के अनुरूप होंगे। चूँकि , इस तरह से रखा गया छठा गोला संरचना को किसी भी नियमित व्यवस्था के साथ असंगत बना देगा। इसके परिणामस्वरूप गोलाकारों की यादृच्छिक बंद पैकिंग की संभावना होती है जो संपीड़न के विरुद्ध स्थिर होती है।<ref>{{cite journal|title=एकाएक विचार|first=Paul|last=Chaikin|date=June 2007|journal=Physics Today|page=8|issn=0031-9228|publisher=American Institute of Physics|volume=60|issue=6|doi=10.1063/1.2754580|bibcode = 2007PhT....60f...8C }}</ref> यादृच्छिक अव्यवस्थित पैकिंग के कंपन के परिणामस्वरूप वृत्त    कणों की नियमित पैकिंग में व्यवस्था हो सकती है, इस प्रक्रिया को दानेदार पदार्थ या प्रतिरूप गठन के रूप में जाना जाता है। ऐसी प्रक्रियाएं वृत्त    अनाज रखने वाले कंटेनर की ज्यामिति पर निर्भर करती हैं।<ref name=grancrys/>
-जब गोलों को अनायास से कंटेनर में जोड़ा जाता है और फिर संकुचित किया जाता है, तो वे सामान्यतः  अनियमित या जाम पैकिंग विन्यास  के रूप में जाने जाते हैं, जब उन्हें और अधिक संपीड़ित नहीं किया जा सकता है। इस अनियमित पैकिंग में सामान्यतः  लगभग 64% घनत्व होगा। वर्तमान के शोध ने विश्लेषणात्मक रूप से पूर्वानुमानित है कि यह 63.4% की घनत्व सीमा से अधिक नहीं हो सकता<ref name="nature">{{cite journal |last1=Song |first1=C. |last2=Wang |first2=P. |last3=Makse |first3=H. A. |date=29 May 2008 |title=जाम पदार्थ के लिए एक चरण आरेख|journal=[[Nature (journal)|Nature]] |volume=453 |pages=629–632 |doi=10.1038/nature06981 |pmid=18509438 |issue=7195 |bibcode = 2008Natur.453..629S |arxiv = 0808.2196 |s2cid=4420652 }}</ref> यह स्थिति या दो आयामों के स्थिति के विपरीत है, जहां 1-आयामी या 2-आयामी क्षेत्रों (जिससे , रेखा खंड या मंडल) के संग्रह को संपीड़ित करने से नियमित पैकिंग प्राप्त होगी।
+जब गोलों को अनायास से कंटेनर में जोड़ा जाता है और फिर संकुचित किया जाता है, तो वे सामान्यतः अनियमित या जाम पैकिंग विन्यास के रूप में जाने जाते हैं, जब उन्हें और अधिक संपीड़ित नहीं किया जा सकता है। इस अनियमित पैकिंग में सामान्यतः लगभग 64% घनत्व होगा। वर्तमान के शोध ने विश्लेषणात्मक रूप से पूर्वानुमानित है कि यह 63.4% की घनत्व सीमा से अधिक नहीं हो सकता<ref name="nature">{{cite journal |last1=Song |first1=C. |last2=Wang |first2=P. |last3=Makse |first3=H. A. |date=29 May 2008 |title=जाम पदार्थ के लिए एक चरण आरेख|journal=[[Nature (journal)|Nature]] |volume=453 |pages=629–632 |doi=10.1038/nature06981 |pmid=18509438 |issue=7195 |bibcode = 2008Natur.453..629S |arxiv = 0808.2196 |s2cid=4420652 }}</ref> यह स्थिति या दो आयामों के स्थिति के विपरीत है, जहां 1-आयामी या 2-आयामी क्षेत्रों (जिससे , रेखा खंड या मंडल) के संग्रह को संपीड़ित करने से नियमित पैकिंग प्राप्त होगी।
 == हाइपरस्फेयर पैकिंग ==
 व्रत पैकिंग समस्या स्वैच्छिक आयामों में बॉल-पैकिंग समस्याओं के वर्ग का त्रि-आयामी संस्करण है। दो आयामों में, समतुल्य समस्या समतल पर वृत्त पैकिंग है। आयाम में यह लाइन सेगमेंट को रैखिक ब्रह्मांड में पैक कर रहा है।<ref>{{cite journal | last1 = Griffith | first1 = J.S. | year = 1962 | title = समान 0-गोले की पैकिंग| journal = Nature | volume = 196 | issue = 4856| pages = 764–765 | doi = 10.1038/196764a0 | bibcode = 1962Natur.196..764G | s2cid = 4262056 }}</ref>
-तीन से अधिक आयामों में, अतिसक्रिय के सबसे घने नियमित पैकिंग को 8 आयामों तक जाना जाता है।<ref>{{MathWorld |title=Hypersphere Packing|urlname=HyperspherePacking}}</ref> अनियमित अतिसक्रिय  पैकिंग के बारे में बहुत कम जानकारी है; यह संभव है कि कुछ आयामों में सघन पैकिंग अनियमित हो सकती है। इस अनुमान के लिए कुछ समर्थन इस तथ्य से मिलता है कि कुछ आयामों (जैसे 10) में सबसे घनी ज्ञात अनियमित पैकिंग सघन ज्ञात नियमित पैकिंग से सघन होती है।<ref>{{cite journal | last=Sloane |first=N. J. A. | title=क्षेत्र-पैकिंग समस्या| year=1998 | pages=387–396 | journal=Documenta Mathematica|volume=3 | arxiv=math/0207256|bibcode = 2002math......7256S }}</ref>
+तीन से अधिक आयामों में, अतिसक्रिय के सबसे घने नियमित पैकिंग को 8 आयामों तक जाना जाता है।<ref>{{MathWorld |title=Hypersphere Packing|urlname=HyperspherePacking}}</ref> अनियमित अतिसक्रिय पैकिंग के बारे में बहुत कम जानकारी है; यह संभव है कि कुछ आयामों में सघन पैकिंग अनियमित हो सकती है। इस अनुमान के लिए कुछ समर्थन इस तथ्य से मिलता है कि कुछ आयामों (जैसे 10) में सबसे घनी ज्ञात अनियमित पैकिंग सघन ज्ञात नियमित पैकिंग से सघन होती है।<ref>{{cite journal | last=Sloane |first=N. J. A. | title=क्षेत्र-पैकिंग समस्या| year=1998 | pages=387–396 | journal=Documenta Mathematica|volume=3 | arxiv=math/0207256|bibcode = 2002math......7256S }}</ref>
-में, [[मरीना वियाज़ोव्स्का]] ने प्रमाण की घोषणा की कि E8 जाली E<sub>8</sub> जाली आठ-आयामी स्थान  में इष्टतम पैकिंग (नियमितता की परवाह किए बिना) प्रदान करती है,<ref>{{Cite journal|last=Viazovska|first=Maryna|date=1 January 2017|title=The sphere packing problem in dimension 8|url=http://annals.math.princeton.edu/2017/185-3/p07|journal=Annals of Mathematics|language=en-US|volume=185|issue=3|pages=991–1015|arxiv=1603.04246|doi=10.4007/annals.2017.185.3.7|s2cid=119286185|issn=0003-486X}}</ref> और इसके तुरंत बाद उसने और सहयोगियों के समूह ने इसी तरह के प्रमाण की घोषणा की कि [[जोंक जाली]] 24 आयामों में इष्टतम है।<ref>{{Cite journal|last1=Cohn|first1=Henry|last2=Kumar|first2=Abhinav|last3=Miller|first3=Stephen|last4=Radchenko|first4=Danylo|last5=Viazovska|first5=Maryna|date=1 January 2017|title=The sphere packing problem in dimension 24|url=http://annals.math.princeton.edu/2017/185-3/p08|journal=Annals of Mathematics|language=en-US|volume=185|issue=3|pages=1017–1033|arxiv=1603.06518|doi=10.4007/annals.2017.185.3.8|s2cid=119281758|issn=0003-486X}}</ref> यह परिणाम पिछले विधि पर निर्मित और उत्तम हुआ जिससे पता चला कि ये दो जाली इष्टतम के बहुत समीप हैं।<ref>{{Citation | last1=Cohn | first1=Henry | last2=Kumar | first2=Abhinav | title=Optimality and uniqueness of the Leech lattice among lattices | doi=10.4007/annals.2009.170.1003 | mr=2600869 | zbl=1213.11144 | year=2009 | journal=Annals of Mathematics | issn=1939-8980 | volume=170 | issue=3 | pages=1003–1050 | arxiv=math.MG/0403263 | s2cid=10696627 }} {{Citation | last1=Cohn | first1=Henry | last2=Kumar | first2=Abhinav | title=The densest lattice in twenty-four dimensions | doi=10.1090/S1079-6762-04-00130-1 | mr=2075897 | year=2004 | journal=Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society | issn=1079-6762 | volume=10 | issue=7 | pages=58–67 |arxiv=math.MG/0408174 | bibcode=2004math......8174C | s2cid=15874595 }}</ref>
+में, [[मरीना वियाज़ोव्स्का]] ने प्रमाण की घोषणा की कि E8 जाली E<sub>8</sub> जाली आठ-आयामी स्थान में इष्टतम पैकिंग (नियमितता की परवाह किए बिना) प्रदान करती है,<ref>{{Cite journal|last=Viazovska|first=Maryna|date=1 January 2017|title=The sphere packing problem in dimension 8|url=http://annals.math.princeton.edu/2017/185-3/p07|journal=Annals of Mathematics|language=en-US|volume=185|issue=3|pages=991–1015|arxiv=1603.04246|doi=10.4007/annals.2017.185.3.7|s2cid=119286185|issn=0003-486X}}</ref> और इसके तुरंत बाद उसने और सहयोगियों के समूह ने इसी तरह के प्रमाण की घोषणा की कि [[जोंक जाली]] 24 आयामों में इष्टतम है।<ref>{{Cite journal|last1=Cohn|first1=Henry|last2=Kumar|first2=Abhinav|last3=Miller|first3=Stephen|last4=Radchenko|first4=Danylo|last5=Viazovska|first5=Maryna|date=1 January 2017|title=The sphere packing problem in dimension 24|url=http://annals.math.princeton.edu/2017/185-3/p08|journal=Annals of Mathematics|language=en-US|volume=185|issue=3|pages=1017–1033|arxiv=1603.06518|doi=10.4007/annals.2017.185.3.8|s2cid=119281758|issn=0003-486X}}</ref> यह परिणाम पिछले विधि पर निर्मित और उत्तम हुआ जिससे पता चला कि ये दो जाली इष्टतम के बहुत समीप हैं।<ref>{{Citation | last1=Cohn | first1=Henry | last2=Kumar | first2=Abhinav | title=Optimality and uniqueness of the Leech lattice among lattices | doi=10.4007/annals.2009.170.1003 | mr=2600869 | zbl=1213.11144 | year=2009 | journal=Annals of Mathematics | issn=1939-8980 | volume=170 | issue=3 | pages=1003–1050 | arxiv=math.MG/0403263 | s2cid=10696627 }} {{Citation | last1=Cohn | first1=Henry | last2=Kumar | first2=Abhinav | title=The densest lattice in twenty-four dimensions | doi=10.1090/S1079-6762-04-00130-1 | mr=2075897 | year=2004 | journal=Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society | issn=1079-6762 | volume=10 | issue=7 | pages=58–67 |arxiv=math.MG/0408174 | bibcode=2004math......8174C | s2cid=15874595 }}</ref>
-नए प्रमाणों में [[घूर्णी समरूपता]] कार्य {{mvar|f}} के निर्माण के लिए सावधानी से चुने गए [[मॉड्यूलर समारोह|मॉड्यूलर कार्य]]  के लाप्लास परिवर्तन का उपयोग करना सम्मिलित है   ऐसा है कि {{mvar|f}} और इसका [[फूरियर रूपांतरण]] {{mvar|f̂}} मूल (गणित) पर दोनों बराबर एक, और दोनों इष्टतम जाली के अन्य सभी बिंदुओं पर गायब हो जाते हैं, {{mvar|f}} के साथ पैकिंग के केंद्रीय वृत्त  के बाहर नकारात्मक और {{mvar|f̂}}  सकारात्मक। फिर,{{mvar|f}}  के लिए प्वासों योग सूत्र  का उपयोग किसी अन्य पैकिंग के साथ इष्टतम जाली के घनत्व की तुलना करने के लिए किया जाता है।<ref>{{citation|url=https://www.youtube.com/watch?v=8qlZjarkS_g |archive-url=https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211221/8qlZjarkS_g |archive-date=2021-12-21 |url-status=live|first=Stephen D.|last=Miller|date=4 April 2016|title=The solution to the sphere packing problem in 24 dimensions via modular forms|publisher=[[Institute for Advanced Study]]}}{{cbignore}}. Video of an hour-long talk by one of Viazovska's co-authors explaining the new proofs.</ref> इससे पहले कि  प्रमाण [[विद्वान सहकर्मी समीक्षा]] और प्रकाशित होता, गणितज्ञ [[ पीटर इतिहास |पीटर इतिहास]] ने  प्रमाण को आश्चर्यजनक रूप से सरल कहा और लिखा कि आप बस पेपर पढ़ना प्रारंभ करें और आप जानते हैं कि यह सही है।<ref>{{citation|last1=Klarreich|first1=Erica|author-link1=Erica Klarreich|title=Sphere Packing Solved in Higher Dimensions|url=https://www.quantamagazine.org/20160330-sphere-packing-solved-in-higher-dimensions|magazine=Quanta Magazine|date=30 March 2016}}</ref>
+नए प्रमाणों में [[घूर्णी समरूपता]] कार्य {{mvar|f}} के निर्माण के लिए सावधानी से चुने गए [[मॉड्यूलर समारोह|मॉड्यूलर कार्य]] के लाप्लास परिवर्तन का उपयोग करना सम्मिलित है   ऐसा है कि {{mvar|f}} और इसका [[फूरियर रूपांतरण]] {{mvar|f̂}} मूल (गणित) पर दोनों बराबर एक, और दोनों इष्टतम जाली के अन्य सभी बिंदुओं पर गायब हो जाते हैं, {{mvar|f}} के साथ पैकिंग के केंद्रीय वृत्त के बाहर नकारात्मक और {{mvar|f̂}} सकारात्मक। फिर,{{mvar|f}} के लिए प्वासों योग सूत्र का उपयोग किसी अन्य पैकिंग के साथ इष्टतम जाली के घनत्व की तुलना करने के लिए किया जाता है।<ref>{{citation|url=https://www.youtube.com/watch?v=8qlZjarkS_g |archive-url=https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211221/8qlZjarkS_g |archive-date=2021-12-21 |url-status=live|first=Stephen D.|last=Miller|date=4 April 2016|title=The solution to the sphere packing problem in 24 dimensions via modular forms|publisher=[[Institute for Advanced Study]]}}{{cbignore}}. Video of an hour-long talk by one of Viazovska's co-authors explaining the new proofs.</ref> इससे पहले कि प्रमाण [[विद्वान सहकर्मी समीक्षा]] और प्रकाशित होता, गणितज्ञ [[ पीटर इतिहास |पीटर इतिहास]] ने प्रमाण को आश्चर्यजनक रूप से सरल कहा और लिखा कि आप बस पेपर पढ़ना प्रारंभ करें और आप जानते हैं कि यह सही है।<ref>{{citation|last1=Klarreich|first1=Erica|author-link1=Erica Klarreich|title=Sphere Packing Solved in Higher Dimensions|url=https://www.quantamagazine.org/20160330-sphere-packing-solved-in-higher-dimensions|magazine=Quanta Magazine|date=30 March 2016}}</ref>
 उच्च आयामों में अनुसंधान की अन्य पंक्ति सघन पैकिंग के घनत्व के लिए स्पर्शोन्मुख सीमा खोजने की प्रयाश कर रही है। 2017 तक, यह ज्ञात है कि बड़े के लिए {{mvar|n}}, आयाम में सबसे घनी जाली {{mvar|n}} के बीच घनत्व है {{math|''cn'' &sdot; 2<sup>−''n''</sup>}} (कुछ स्थिरांक के लिए {{mvar|c}}) और {{math|2<sup>−0.599''n''</sup>}}.<ref>{{Citation | last1=Cohn | first1=Henry | title=A conceptual breakthrough in sphere packing | doi=10.1090/noti1474 | mr=3587715 | year=2017 | journal=Notices of the American Mathematical Society| url=https://www.ams.org/journals/notices/201702/rnoti-p102.pdf| issn=0002-9920| volume=64 | issue=2 | pages=102–115 |arxiv=1611.01685| s2cid=16124591 }}</ref> अनुमानित सीमाएं बीच में हैं।<ref>{{Citation| last1=Torquato| first1=S.| last2=Stillinger |first2=F. H.| title=New conjectural lower bounds on the optimal density of sphere packings| journal=Experimental Mathematics| year=2006| volume=15| issue=3| pages=307&ndash;331 | url=https://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.1080/10586458.2006.10128964|doi=10.1080/10586458.2006.10128964| arxiv=math/0508381| mr=2264469| s2cid=9921359}}</ref>
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-== असमान वृत्त  पैकिंग==
+== असमान वृत्त पैकिंग==
 {{see also|असमान वृत्त पैकिंग}}
 [[File:Binary sphere packing LS3.png|thumb|0.64799 के त्रिज्या अनुपात और 0.74786 के घनत्व के साथ गोलों की सघन पैकिंग<ref name= doi10.1021/jp206115p>{{Cite journal | last1 = O'Toole | first1 = P. I. | last2 = Hudson | first2 = T. S. | doi = 10.1021/jp206115p | title = समान आकार के बाइनरी क्षेत्रों की नई उच्च-घनत्व पैकिंग| journal = The Journal of Physical Chemistry C | volume = 115 | issue = 39 | pages = 19037 | year = 2011 }}</ref>]]रासायनिक और भौतिक विज्ञान में कई समस्याएँ पैकिंग समस्याओं से संबंधित हो सकती हैं जहाँ से अधिक आकार के वृत्त उपलब्ध हैं। यहाँ गोलों को निकट संकुलित समान गोलों के क्षेत्रों में अलग करने, या अनेक आकारों के गोलों को यौगिक या [[अंतरालीय यौगिक]] पैकिंग में संयोजित करने के बीच विकल्प है। जब कई आकार के वृत्त (या कण आकार वितरण) उपलब्ध होते हैं, तो समस्या जल्दी से जटिल हो जाती है, किंतु बाइनरी हार्ड क्षेत्रों (दो आकार) के कुछ अध्ययन उपलब्ध हैं।
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 जब दूसरा गोला पहले की तुलना में बहुत छोटा होता है, तो बड़े वृत्त को बंद-संकुलित व्यवस्था में व्यवस्थित करना संभव है, और फिर छोटे वृत्त को ऑक्टाहेड्रल और टेट्राहेड्रल अंतराल के अंदर व्यवस्थित करें। इस अंतरालीय पैकिंग का घनत्व त्रिज्या अनुपात पर संवेदनशील रूप से निर्भर करता है, किंतु चरम आकार के अनुपात की सीमा में, छोटे वृत्त उसी घनत्व के साथ अंतराल को भर सकते हैं जैसे बड़े वृत्त भरे हुए स्थान<ref>{{Cite journal | last1 = Hudson | first1 = D. R. | title = मिश्रित क्षेत्रों के समुच्चय में घनत्व और पैकिंग| doi = 10.1063/1.1698327 | journal = Journal of Applied Physics | volume = 20 | issue = 2 | pages = 154–162| year = 1949 |bibcode = 1949JAP....20..154H }}</ref> भले ही बड़े वृत्त बंद-संकुलित व्यवस्था में न हों, फिर भी बड़े वृत्त की त्रिज्या के 0.29099 तक के कुछ छोटे वृत्त सम्मिलित करना सदैव संभव होता है।<ref>{{Cite journal | last1 = Zong | first1 = C. | title = गहरे छेद से मुक्त विमानों तक| doi = 10.1090/S0273-0979-02-00950-3 | journal = Bulletin of the American Mathematical Society | volume = 39 | issue = 4 | pages = 533–555 | year = 2002 | doi-access = free }}</ref>
-जब छोटे वृत्त का सीमा बड़े वृत्त के त्रिज्या के 0.41421 से अधिक होता है, तो यह अब बंद-पैक संरचना के ऑक्टाहेड्रल छिद्रों में भी स्थित होना संभव नहीं है। इस प्रकार, इस बिंदु से परे, या तो होस्ट संरचना को अंतरालीय (जो समग्र घनत्व से समझौता करता है) को समायोजित करने के लिए विस्तारित होना चाहिए, या अधिक जटिल क्रिस्टलीय मिश्रित संरचना में पुनर्व्यवस्थित करना चाहिए। ऐसी संरचनाएं ज्ञात हैं जो 0.659786 तक रेडियस अनुपात के लिए समीप  पैकिंग घनत्व से अधिक हैं।<ref name="doi10.1021/jp206115p" /><ref>{{cite journal|first1=G. W.|last1=Marshall|first2=T. S.|last2=Hudson|journal=Contributions to Algebra and Geometry|title=घने बाइनरी क्षेत्र पैकिंग|volume=51|issue=2|pages=337–344|year=2010|url=http://www.emis.de/journals/BAG/vol.51/no.2/3.html}}</ref>
+जब छोटे वृत्त का सीमा बड़े वृत्त के त्रिज्या के 0.41421 से अधिक होता है, तो यह अब बंद-पैक संरचना के ऑक्टाहेड्रल छिद्रों में भी स्थित होना संभव नहीं है। इस प्रकार, इस बिंदु से परे, या तो होस्ट संरचना को अंतरालीय (जो समग्र घनत्व से समझौता करता है) को समायोजित करने के लिए विस्तारित होना चाहिए, या अधिक जटिल क्रिस्टलीय मिश्रित संरचना में पुनर्व्यवस्थित करना चाहिए। ऐसी संरचनाएं ज्ञात हैं जो 0.659786 तक रेडियस अनुपात के लिए समीप पैकिंग घनत्व से अधिक हैं।<ref name="doi10.1021/jp206115p" /><ref>{{cite journal|first1=G. W.|last1=Marshall|first2=T. S.|last2=Hudson|journal=Contributions to Algebra and Geometry|title=घने बाइनरी क्षेत्र पैकिंग|volume=51|issue=2|pages=337–344|year=2010|url=http://www.emis.de/journals/BAG/vol.51/no.2/3.html}}</ref>
 ऐसे बाइनरी पैकिंग में प्राप्त किए जा सकने वाले घनत्व के लिए ऊपरी सीमाएं भी प्राप्त की गई हैं।<ref>{{cite journal |last1=de Laat |first1=David |last2=de Oliveira Filho |first2=Fernando Mário |last3=Vallentin |first3=Frank |title=कई रेडी के गोले की पैकिंग के लिए ऊपरी सीमा|arxiv=1206.2608|date=12 June 2012 |doi=10.1017/fms.2014.24 |volume=2 |journal=Forum of Mathematics, Sigma|s2cid=11082628 }}</ref>
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 == अतिपरवलिक स्थान ==
-यद्यपि हलकों और क्षेत्रों की अवधारणा को अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान तक बढ़ाया जा सकता है, किंतु सघन पैकिंग को खोजना अधिक कठिन हो जाता है। अतिपरवलयिक स्थान में वृत्त की संख्या की कोई सीमा नहीं होती है जो किसी अन्य वृत्त  को घेर सकते हैं (उदाहरण के लिए, [[फोर्ड सर्कल|फोर्ड]] वृत्त  को समान अतिपरवलयिक हलकों की व्यवस्था के रूप में माना जा सकता है जिसमें प्रत्येक चक्र अन्य मंडलियों की अनंत संख्या से घिरा हुआ है)। औसत घनत्व की अवधारणा को भी स्पष्ट रूप से परिभाषित करना अधिक कठिन हो जाता है। किसी भी अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान में सबसे घनी पैकिंग लगभग सदैव अनियमित होती है।<ref>{{Cite journal | last1 = Bowen | first1 = L. | last2 = Radin | first2 = C. | doi = 10.1007/s00454-002-2791-7 | title = हाइपरबोलिक स्पेस में समान क्षेत्रों की सघन पैकिंग| journal = Discrete and Computational Geometry | volume = 29 | pages = 23–39 | year = 2002 | doi-access = free }}</ref>
+यद्यपि हलकों और क्षेत्रों की अवधारणा को अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान तक बढ़ाया जा सकता है, किंतु सघन पैकिंग को खोजना अधिक कठिन हो जाता है। अतिपरवलयिक स्थान में वृत्त की संख्या की कोई सीमा नहीं होती है जो किसी अन्य वृत्त को घेर सकते हैं (उदाहरण के लिए, [[फोर्ड सर्कल|फोर्ड]] वृत्त को समान अतिपरवलयिक हलकों की व्यवस्था के रूप में माना जा सकता है जिसमें प्रत्येक चक्र अन्य मंडलियों की अनंत संख्या से घिरा हुआ है)। औसत घनत्व की अवधारणा को भी स्पष्ट रूप से परिभाषित करना अधिक कठिन हो जाता है। किसी भी अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान में सबसे घनी पैकिंग लगभग सदैव अनियमित होती है।<ref>{{Cite journal | last1 = Bowen | first1 = L. | last2 = Radin | first2 = C. | doi = 10.1007/s00454-002-2791-7 | title = हाइपरबोलिक स्पेस में समान क्षेत्रों की सघन पैकिंग| journal = Discrete and Computational Geometry | volume = 29 | pages = 23–39 | year = 2002 | doi-access = free }}</ref>
 इस कठिनाई के अतिरिक्त ,के. बोरोज़्स्की अतिशयोक्तिपूर्ण n-स्थान के वृत्त के घनत्व के लिए सार्वभौमिक ऊपरी सीमा देता है जहाँ n ≥ 2।<ref>{{Cite journal | last1 = Böröczky | first1 = K. | title = स्थिर वक्रता वाले स्थानों में गोलों की पैकिंग| doi = 10.1007/BF01902361 | doi-access=free | journal = [[Acta Mathematica Hungarica|Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae]] | volume = 32 | issue = 3–4 | pages = 243–261 | year = 1978 | s2cid = 122561092 }}</ref> तीन आयामों में बोरोज़्स्की बाउंड लगभग 85.327613% है, और श्लाफली प्रतीक {3,3,6} के साथ [[गण - 6 चतुष्फलकीय मधुकोश]] मधुकोश के [[राशिफल|होरोस्फीयर]] पैकिंग द्वारा अनुभव किया जाता है।<ref>{{Cite journal | last1 = Böröczky | first1 = K. | last2 = Florian | first2 = A. | doi = 10.1007/BF01897041 | doi-access=free | title = Über die dichteste Kugelpackung im hyperbolischen Raum | journal = [[Acta Mathematica Hungarica|Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae]] | volume = 15 | pages = 237–245 | year = 1964 | issue = 1–2 | s2cid = 122081239 }}</ref> इस विन्यास के अतिरिक्त कम से कम तीन अन्य होरोस्फीयर पैकिंग हाइपरबोलिक 3-स्पेस में उपस्थित हैं जो घनत्व ऊपरी सीमा का अनुभव करते हैं।<ref>{{Cite journal | last1 = Kozma | first1 = R. T. | last2 = Szirmai | first2 = J. | doi = 10.1007/s00605-012-0393-x | title = विभिन्न प्रकार के होरोबॉल द्वारा पूरी तरह से स्पर्शोन्मुख कॉक्सेटर टाइलिंग के लिए वैकल्पिक रूप से सघन पैकिंग| journal = Monatshefte für Mathematik | volume = 168 | pages = 27–47 | year = 2012 | arxiv = 1007.0722 | s2cid = 119713174 }}</ref>
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 == मार्मिक जोड़े, त्रिक, और चौगुनी ==
-ईकाई बॉल्स की इच्छानुसार परिमित पैकिंग का [[संपर्क ग्राफ]] वह ग्राफ है जिसके कोने पैकिंग तत्वों के अनुरूप होते हैं और जिनके दो कोने किनारे से जुड़े होते हैं यदि संबंधित दो पैकिंग तत्व दूसरे को स्पर्श करते हैं। संपर्क ग्राफ़ के किनारे समूह की प्रमुखता स्पर्श करने वाले जोड़े की संख्या देती है, संपर्क ग्राफ़ में 3-चक्रों की संख्या स्पर्श करने वाले ट्रिपल की संख्या देती है, और संपर्क ग्राफ़ में टेट्राहेड्रॉन की संख्या स्पर्श करने वाले चतुष्कोणों की संख्या देती है ( सामान्यतः  n आयामों में वृत्त    पैकिंग से जुड़े संपर्क ग्राफ के लिए जो संपर्क ग्राफ में n -सरलताओं के समूह की कार्डिनालिटी वृत्त  पैकिंग में स्पर्श करने की संख्या (n + 1) -ट्यूपल देता है)। 3-आयामी यूक्लिडियन स्थान  के स्थिति में, स्पर्श करने वाले जोड़े, ट्रिपल और चौगुनी की संख्या पर गैर-तुच्छ ऊपरी सीमाएं<ref>{{cite journal| last1 = Bezdek | first1 = Karoly | last2 = Reid | first2 = Samuel | title=स्फेयर पैकिंग के कॉन्टैक्ट ग्राफ पर दोबारा गौर किया गया| year = 2013 |arxiv=1210.5756 |journal=Journal of Geometry |volume = 104 |issue = 1 | pages = 57–83 |doi = 10.1007/s00022-013-0156-4| s2cid = 14428585 }}</ref> कैलगरी विश्वविद्यालय में [[केरोली बेजडेक]] और सैमुअल रीड द्वारा सिद्ध किया गया था।
+ईकाई बॉल्स की इच्छानुसार परिमित पैकिंग का [[संपर्क ग्राफ]] वह ग्राफ है जिसके कोने पैकिंग तत्वों के अनुरूप होते हैं और जिनके दो कोने किनारे से जुड़े होते हैं यदि संबंधित दो पैकिंग तत्व दूसरे को स्पर्श करते हैं। संपर्क ग्राफ़ के किनारे समूह की प्रमुखता स्पर्श करने वाले जोड़े की संख्या देती है, संपर्क ग्राफ़ में 3-चक्रों की संख्या स्पर्श करने वाले ट्रिपल की संख्या देती है, और संपर्क ग्राफ़ में टेट्राहेड्रॉन की संख्या स्पर्श करने वाले चतुष्कोणों की संख्या देती है ( सामान्यतः n आयामों में वृत्त    पैकिंग से जुड़े संपर्क ग्राफ के लिए जो संपर्क ग्राफ में n -सरलताओं के समूह की कार्डिनालिटी वृत्त पैकिंग में स्पर्श करने की संख्या (n + 1) -ट्यूपल देता है)। 3-आयामी यूक्लिडियन स्थान के स्थिति में, स्पर्श करने वाले जोड़े, ट्रिपल और चौगुनी की संख्या पर गैर-तुच्छ ऊपरी सीमाएं<ref>{{cite journal| last1 = Bezdek | first1 = Karoly | last2 = Reid | first2 = Samuel | title=स्फेयर पैकिंग के कॉन्टैक्ट ग्राफ पर दोबारा गौर किया गया| year = 2013 |arxiv=1210.5756 |journal=Journal of Geometry |volume = 104 |issue = 1 | pages = 57–83 |doi = 10.1007/s00022-013-0156-4| s2cid = 14428585 }}</ref> कैलगरी विश्वविद्यालय में [[केरोली बेजडेक]] और सैमुअल रीड द्वारा सिद्ध किया गया था।
 वृत्त के बीच संपर्क बिंदुओं की संख्या को अधिकतम करने वाले n समान क्षेत्रों की व्यवस्था को खोजने की समस्या को कठिन-गोला समस्या के रूप में जाना जाता है। अधिकतम n ≤ 11 के लिए जाना जाता है, और केवल अनुमानित मान बड़े n के लिए जाने जाते हैं।<ref>{{Cite web|date=2017-02-06|title=चिपचिपा क्षेत्रों का विज्ञान|url=https://www.americanscientist.org/article/the-science-of-sticky-spheres|access-date=2020-07-14|website=American Scientist|language=en}}</ref>
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 == अन्य रिक्त स्थान                                                 ==
-अतिविम के कोनों पर वृत्त    पैकिंग ([[हैमिंग दूरी]] द्वारा परिभाषित क्षेत्रों के साथ) योजना त्रुटि-सुधार कोड से मेल खाती है: यदि क्षेत्रों में त्रिज्या ''t'' है, तो उनके केंद्र (2t + 1)-त्रुटि-सुधार कोड के कोडवर्ड हैं। जाली पैकिंग रैखिक कोड के अनुरूप होती है। यूक्लिडियन वृत्त  पैकिंग और त्रुटि-सुधार कोड के बीच अन्य, सूक्ष्म संबंध हैं। उदाहरण के लिए, [[ बाइनरी भाषा में कोड |बाइनरी भाषा में कोड]] 24-आयामी जोंक जाली से निकटता से संबंधित है।
+अतिविम के कोनों पर वृत्त    पैकिंग ([[हैमिंग दूरी]] द्वारा परिभाषित क्षेत्रों के साथ) योजना त्रुटि-सुधार कोड से मेल खाती है: यदि क्षेत्रों में त्रिज्या ''t'' है, तो उनके केंद्र (2t + 1)-त्रुटि-सुधार कोड के कोडवर्ड हैं। जाली पैकिंग रैखिक कोड के अनुरूप होती है। यूक्लिडियन वृत्त पैकिंग और त्रुटि-सुधार कोड के बीच अन्य, सूक्ष्म संबंध हैं। उदाहरण के लिए, [[ बाइनरी भाषा में कोड |बाइनरी भाषा में कोड]] 24-आयामी जोंक जाली से निकटता से संबंधित है।
 इन संबंध के बारे में अधिक जानकारी के लिए, [[जॉन हॉर्टन कॉनवे]] और [[नील स्लोएन]] की पुस्तक स्फीयर पैकिंग्स, लैटिस और समूह देखें।<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=ITDvBwAAQBAJ|title=क्षेत्र पैकिंग, जाली और समूह|last1=Conway|first1=John H.|author-link=John Horton Conway|last2=Sloane|first2=Neil J. A.|author-link2=Neil Sloane|publisher=Springer Science & Business Media|year=1998|isbn=0-387-98585-9|edition=3rd}}</ref>
-'''<br />त्रों के साथ) योजना त्रुटि-सुधार कोड से मेल खाती है: यदि क्षेत्रों में त्रिज्या ''t'' है, तो उनके केंद्र (2t + 1)-त्रुटि-सुधार कोड के कोडवर्ड हैं। जाली पैकिंग रैखिक कोड के अनुरूप होती'''
 == यह भी देखें                                                    ==
 * [[बराबर गोलों की क्लोज-पैकिंग|बराबर गोलों की समीप -पैकिंग]]
-* [[Apollonian क्षेत्र पैकिंग|Apollonian वृत्त  पैकिंग]]
+* [[Apollonian क्षेत्र पैकिंग|Apollonian वृत्त पैकिंग]]
-* [[परिमित क्षेत्र पैकिंग|परिमित वृत्त  पैकिंग]]
+* [[परिमित क्षेत्र पैकिंग|परिमित वृत्त पैकिंग]]
 * हर्मिट स्थिरांक
 * [[खुदा हुआ गोला]]
 * [[चुंबन संख्या]]
-* वृत्त  -पैकिंग बाध्य
+* वृत्त -पैकिंग बाध्य
-* [[रैंडम क्लोज पैक|रैंडम समीप  पैक]]
+* [[रैंडम क्लोज पैक|रैंडम समीप पैक]]
-* [[सिलेंडर क्षेत्र पैकिंग|सिलेंडर वृत्त  पैकिंग]]
+* [[सिलेंडर क्षेत्र पैकिंग|सिलेंडर वृत्त पैकिंग]]
 ==संदर्भ==
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 {{Packing problem}}
-[[Category: असतत ज्यामिति]] [[Category: क्रिस्टलोग्राफी]] [[Category: पैकिंग की समस्या]] [[Category: क्षेत्रों]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
+[[Category:CS1 English-language sources (en)]]
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 [[Category:Created On 24/04/2023]]
+[[Category:Lua-based templates]]
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+[[Category:असतत ज्यामिति]]
+[[Category:क्रिस्टलोग्राफी]]
+[[Category:क्षेत्रों]]
+[[Category:पैकिंग की समस्या]]

v t e Packing problems
Abstract packing	Bin Set
Circle packing	In a circle / equilateral triangle / isosceles right triangle / square Apollonian gasket Circle packing theorem Tammes problem (on sphere)
Sphere packing	Apollonian Finite In a sphere In a cube In a cylinder Close-packing Kissing number Sphere-packing (Hamming) bound
Other 2-D packing	Square packing in a square
Other 3-D packing	Tetrahedron Ellipsoid
Puzzles	Conway Slothouber–Graatsma

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