टॉरॉयडल पॉलीहेड्रॉन: Difference between revisions

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{{Short description|Partition of a toroidal surface into polygons}}
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[[File:Hexagonal torus.png|thumb|इस 6x4 उदाहरण की तरह चतुर्भुज चेहरों के [[नेट (पॉलीहेड्रॉन)]] से, एक [[टोरस्र्स]] सतह का अनुमान लगाने के लिए एक पॉलीहेड्रल टोरस का निर्माण किया जा सकता है।]][[ज्यामिति]] में, एक [[Index.php?title=टोरॉयडल|टोरॉयडल]] [[Index.php?title=पॉलीहेड्रॉन|पॉलीहेड्रॉन]] होता है जो एक टोरॉयड (एक {{mvar|g}}-होलेड टोरस) भी होता है, जिसमें 1 या उससे अधिक का [[Index.php?title=टोपोलॉजी|टोपोलॉजी]] [[Index.php?title= वर्ग|वर्ग]] ({{mvar|g}}) होता है। उल्लेखनीय उदाहरणों में सेस्ज़ार और [[Index.php?title=सिलासी बहुफलक|सिलासी बहुफलक]] सम्मलित हैं।
[[File:Hexagonal torus.png|thumb|इस 6x4 उदाहरण की तरह चतुर्भुज चेहरों के [[नेट (पॉलीहेड्रॉन)]] से, एक [[टोरस्र्स]] सतह का अनुमान लगाने के लिए एक पॉलीहेड्रल टोरस का निर्माण किया जा सकता है।]][[ज्यामिति]] में, एक [[Index.php?title=टोरॉयडल|टोरॉयडल]] [[Index.php?title=Index.php?title=बहुफलक|बहुफलक]] होता है जो एक टोरॉयड (एक {{mvar|g}}-होलेड टोरस) भी होता है, जिसमें 1 या उससे अधिक का [[Index.php?title=टोपोलॉजी|टोपोलॉजी]] [[Index.php?title= वर्ग|वर्ग]] ({{mvar|g}}) होता है। उल्लेखनीय उदाहरणों में सेस्ज़ार और [[Index.php?title=सिलासी बहुफलक|सिलासी बहुफलक]] सम्मलित हैं।


== परिभाषा में स्थानान्तरण ==
== परिभाषा में स्थानान्तरण ==
टॉरॉयडल पॉलीहेड्रा को [[Index.php?title=बहुभुजों|बहुभुजों]] के संग्रह के रूप में परिभाषित किया जाता है जो उनके किनारों और कोने पर मिलते हैं, जैसा कि वे करते हैं। अर्थात्, प्रत्येक किनारे को पूर्णतया दो बहुभुजों द्वारा  सहभाजित किया जाना चाहिए, और प्रत्येक शीर्ष पर किनारे और फलक जो शीर्ष पर मिलते हैं, उन्हें वैकल्पिक किनारों और चेहरों के एक चक्र में एक साथ जोड़ा जाना चाहिए, शीर्ष का [[Index.php?title=लिंक|लिंक]]। टोरॉयडल पॉलीहेड्रा के लिए, यह कई गुना एक [[Index.php?title=ओरिएंटेबल|ओरिएंटेबल]] सतह है।<ref>{{harvtxt|Whiteley|1979}}; {{harvtxt|Stewart|1980}}, p.&nbsp;15.</ref> कुछ लेखक "टोरॉयडल पॉलीहेड्रा" वाक्यांश को अधिक विशेष रूप से पॉलीहेड्रा के रूप में (जीनस 1) टोरस के समतुल्य के रूप में प्रतिबंधित करते हैं।<ref>{{citation
टॉरॉयडल बहुफलक को [[Index.php?title=बहुभुजों|बहुभुजों]] के संग्रह के रूप में परिभाषित किया जाता है जो उनके किनारों और कोने पर मिलते हैं, जैसा कि वे करते हैं। अर्थात्, प्रत्येक किनारे को पूर्णतया दो बहुभुजों द्वारा  सहभाजित किया जाना चाहिए, जो प्रत्येक शीर्ष और फलक पर मिलते हैं, उन्हें वैकल्पिक किनारों और आकृतियों के एक चक्र में एक साथ जोड़ा जाना चाहिए, शीर्ष का लिंक है। टोरॉयडल बहुफलक के लिए, यह कई गुना [[Index.php?title=ओरिएंटेबल|ओरिएंटेबल]] सतह है।<ref>{{harvtxt|Whiteley|1979}}; {{harvtxt|Stewart|1980}}, p.&nbsp;15.</ref> कुछ लेखक "टोरॉयडल बहुफलक" वाक्यांश को अधिक विशेष रूप से बहुफलक के रूप में (जीनस 1) टोरस के समतुल्य के रूप में प्रतिबंधित करते हैं।<ref>{{citation
| last=Webber | first=William T.
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}}.</ref>
इस क्षेत्र में, [[एम्बेडिंग]] टोरॉयडल पॉलीहेड्रा को अलग करना महत्वपूर्ण है, जिनके चेहरे त्रि-आयामी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में समतल बहुभुज हैं जो खुद को या एक दूसरे को पार नहीं करते हैं, बिना किसी निर्दिष्ट ज्यामितीय प्राप्ति के [[सार पॉलीहेड्रा]] से, टोपोलॉजिकल सतहों से।<ref>{{citation
 
इस क्षेत्र में, [[Index.php?title=अंत:स्थापन|अंत:स्थापन]] टोरॉयडल बहुफलक को अलग करना महत्वपूर्ण है, जिनके चेहरे त्रि-आयामी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में समतल बहुभुज हैं जो खुद को या एक दूसरे को पार नहीं करते हैं, बिना किसी निर्दिष्ट ज्यामितीय प्राप्ति के [[Index.php?title=सार बहुफलक|बहुफलक]] से, टोपोलॉजिकल सतहों से है।<ref>{{citation
| last=Whiteley | first=Walter | authorlink=Walter Whiteley
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| issue=1
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| title=Realizability of polyhedra
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| year=1979}}.</ref> इन दो चरम सीमाओं के बीच इंटरमीडिएट यूक्लिडियन अंतरिक्ष में ज्यामितीय बहुभुज या स्टार बहुभुज द्वारा गठित पॉलीहेड्रा हैं जो एक दूसरे को पार करने की अनुमति देते हैं।
| year=1979}}.</ref> इन दो चरम सीमाओं के बीच इंटरमीडिएट यूक्लिडियन अंतरिक्ष में ज्यामितीय बहुभुज या स्टार बहुभुज द्वारा गठित बहुकोणीय आकृति हैं जो एक दूसरे को पार करने की अनुमति देते हैं।


इन सभी स्थितियों में पॉलीहेड्रॉन की टोरॉयडल प्रकृति को इसकी उन्मुखता और इसकी यूलर विशेषता के गैर-सकारात्मक होने से सत्यापित किया जा सकता है। [[Index.php?title=यूलर की विशेषता|यूलर की विशेषता]] ''V'' − ''E'' + ''F'' = 2 − 2''N'', के लिए सामान्यीकृत होती है, जहां N आयोजनों की संख्या है।
इन सभी स्थितियों में बहुफलक की टोरॉयडल प्रकृति को इसकी उन्मुखता और इसकी यूलर विशेषता के गैर-सकारात्मक होने से सत्यापित किया जा सकता है। [[Index.php?title=यूलर की विशेषता|यूलर की विशेषता]] ''V'' − ''E'' + ''F'' = 2 − 2''N'', के लिए सामान्यीकृत होती है, जहां N आयोजनों की संख्या है।


==ज़ाज़र और ज़िलास्सी पॉलीहेड्रा ==
==ज़ाज़र और ज़िलास्सी पॉलीहेड्रा ==
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| doi=10.11575/cdm.v4i1.61986 | doi-access=free}}</ref>]]
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|}
|}
सबसे सरल संभव  अंतः स्थापित टोरॉयडल पॉलीहेड्रा में से दो ज़ाज़र और ज़िलास्सी पॉलीहेड्रा हैं।
सबसे सरल संभव  अंतः स्थापित टोरॉयडल बहुफलक में से दो ज़ाज़र और ज़िलास्सी बहुफलक होते हैं।


सेस्ज़ार पॉलीहेड्रॉन 21 किनारों और 14 त्रिकोणीय चेहरों वाला एक सात-शीर्ष टोरॉयडल पॉलीहेड्रॉन है।<ref>{{Citation
सेस्ज़ार बहुफलक 21 किनारों और 14 त्रिकोणीय आकृतियों वाला एक सात-शीर्ष टोरॉयडल बहुफलक है।<ref>{{Citation
| author=Császár, A. | authorlink=Ákos Császár
| author=Császár, A. | authorlink=Ákos Császár
| title=A polyhedron without diagonals
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| volume=13
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| year=1949
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| pages=140–142}}.</ref> यह और चतुष्फलक एकमात्र ज्ञात बहुफलक हैं जिसमें दो शीर्षों को जोड़ने वाला प्रत्येक संभव रेखा खंड बहुफलक योजक बनाता है।<ref>{{citation |last=Ziegler |first=Günter M. |authorlink=Günter M. Ziegler |title=Discrete Differential Geometry |series=Oberwolfach Seminars |volume=38 |pages=191–213 |editor1-first=A. I. |editor1-last=Bobenko |editor2-first=P. |editor2-last=Schröder |editor3-first=J. M. |editor3-last=Sullivan|editor3-link=John M. Sullivan (mathematician) |editor4-first=G. M. |editor4-last=Ziegler |publisher=Springer-Verlag |doi=10.1007/978-3-7643-8621-4_10 | arxiv=math.MG/0412093 |year=2008 |chapter=Polyhedral Surfaces of High Genus |isbn=978-3-7643-8620-7|s2cid=15911143 }}.</ref> इसके दोहरे, स्ज़ीलासी पॉलीहेड्रॉन में सात हेक्सागोनल चेहरे हैं जो सभी एक दूसरे से जुड़े हुए हैं,<ref>{{citation
| pages=140–142}}.</ref> यह और चतुष्फलक एकमात्र ज्ञात बहुफलक हैं जिसमें दो शीर्षों को जोड़ने वाला प्रत्येक संभव रेखा खंड बहुफलक योजक बनाता है।<ref>{{citation |last=Ziegler |first=Günter M. |authorlink=Günter M. Ziegler |title=Discrete Differential Geometry |series=Oberwolfach Seminars |volume=38 |pages=191–213 |editor1-first=A. I. |editor1-last=Bobenko |editor2-first=P. |editor2-last=Schröder |editor3-first=J. M. |editor3-last=Sullivan|editor3-link=John M. Sullivan (mathematician) |editor4-first=G. M. |editor4-last=Ziegler |publisher=Springer-Verlag |doi=10.1007/978-3-7643-8621-4_10 | arxiv=math.MG/0412093 |year=2008 |chapter=Polyhedral Surfaces of High Genus |isbn=978-3-7643-8620-7|s2cid=15911143 }}.</ref> इसके दोहरे, स्ज़ीलासी बहुफलक में सात हेक्सागोनल आकृति हैं जो सभी एक दूसरे से जुड़े हुए हैं,<ref>{{citation
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}}{{Dead link|date=July 2018 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=no}}.</ref> इसलिए अस्तित्व को आधा प्रमेय प्रदान करते हैं कि एक (जीनस वन) टोरस पर एक मानचित्र के लिए आवश्यक रंगों की अधिकतम संख्या सात है। <ref>{{citation | author=Heawood, P. J. | authorlink=Percy John Heawood | title=Map colouring theorems | journal=Quarterly Journal of Mathematics |series=First Series | year=1890 | volume=24 | pages=322–339}}</ref>
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ज़ाज़र पॉलीहेड्रॉन में किसी भी  अंतः स्थापित टॉरॉयडल पॉलीहेड्रॉन के सबसे कम संभव कोने हैं, और स्ज़ीलासी पॉलीहेड्रॉन में किसी भी अंतः स्थापित टॉरॉयडल पॉलीहेड्रॉन के सबसे कम संभव बाह्य अर्थ हैं।
 
ज़ाज़र बहुफलक में किसी भी  अंतः स्थापित टॉरॉयडल बहुफलक के सबसे कम संभव कोने हैं, और स्ज़ीलासी बहुफलक में किसी भी अंतः स्थापित टॉरॉयडल बहुफलक के सबसे कम संभव बाह्य अर्थ हैं।


== स्टीवर्ट टॉरॉयड्स ==
== स्टीवर्ट टॉरॉयड्स ==
टोरॉयडल पॉलीहेड्रा की एक विशेष श्रेणी विशेष रूप से [[नियमित बहुभुज]] चेहरों द्वारा बनाई जाती है, क्रॉसिंग के बिना, और एक और प्रतिबंध के साथ कि आसन्न चेहरे एक दूसरे के समान विमान में नहीं हो सकते हैं। इन्हें स्टीवर्ट टॉरॉयड्स कहा जाता है,<ref>{{citation
टोरॉयडल बहुफलक की एक विशेष श्रेणी विशेष रूप से [[नियमित बहुभुज]] आकृतियों द्वारा बनाई जाती है, प्रसंकरण के बिना, और एक और प्रतिबंध के साथ कि आसन्न आकृति एक दूसरे के समान सतह में नहीं हो सकते हैं। इन्हें स्टीवर्ट टॉरॉयड्स कहा जाता है,<ref>{{citation
| last=Webb | first=Robert
| last=Webb | first=Robert
| issue=1–4
| issue=1–4
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| volume=11
| year=2000}}.</ref> [[बोनी स्टीवर्ट]] के नाम पर, जिन्होंने उनका गहन अध्ययन किया।<ref>{{citation|first=B. M.|last=Stewart|title=Adventures Among the Toroids: A Study of Orientable Polyhedra with Regular Faces|title-link= Adventures Among the Toroids |edition=2nd|year=1980|isbn=978-0-686-11936-4|publisher=B. M. Stewart}}.</ref> उत्तल पॉलीहेड्रॉन के मामले में वे [[जॉनसन ठोस]] के समान हैं; हालांकि, जॉनसन सॉलिड्स के विपरीत, असीम रूप से कई स्टीवर्ट टॉरॉयड्स हैं।<ref>{{harvtxt|Stewart|1980}}, p.&nbsp;15.</ref> इनमें टॉरॉयडल [[डेल्टाहेड्रोन]], पॉलीहेड्रा भी शामिल हैं जिनके चेहरे सभी समबाहु त्रिभुज हैं।
| year=2000}}.</ref> [[बोनी स्टीवर्ट]] के नाम पर रखा गया, जिन्होंने इनका गहन अध्ययन किया।<ref>{{citation|first=B. M.|last=Stewart|title=Adventures Among the Toroids: A Study of Orientable Polyhedra with Regular Faces|title-link= Adventures Among the Toroids |edition=2nd|year=1980|isbn=978-0-686-11936-4|publisher=B. M. Stewart}}.</ref> उत्तल बहुफलक के स्थिति में वे [[जॉनसन ठोस]] के समान हैं; चूंकि, जॉनसन सॉलिड्स के विपरीत, असीम रूप से कई स्टीवर्ट टॉरॉयड्स हैं।<ref>{{harvtxt|Stewart|1980}}, p.&nbsp;15.</ref> इनमें टॉरॉयडल डेल्टाहेड्रोन, बहुफलक भी सम्मलित हैं जिनकी आकृति सभी समबाहु त्रिभुज हैं।


स्टीवर्ट टोरॉयड्स का एक प्रतिबंधित वर्ग, जिसे स्टीवर्ट द्वारा भी परिभाषित किया गया है, अर्ध-उत्तल टॉरॉयडल पॉलीहेड्रा हैं। ये स्टीवर्ट टॉरॉयड्स हैं जिनमें उनके उत्तल हल्स के सभी किनारे शामिल हैं। ऐसे पॉलीहेड्रॉन के लिए, [[उत्तल पतवार]] का प्रत्येक चेहरा या तो टॉरॉयड की सतह पर स्थित होता है, या एक बहुभुज होता है, जिसके सभी किनारे टॉरॉयड की सतह पर होते हैं।<ref>{{harvtxt|Stewart|1980}}, "Quasi-convexity and weak quasi-convexity", pp. 76–79.</ref>
स्टीवर्ट टोरॉयड्स का एक प्रतिबंधित वर्ग, जिसे स्टीवर्ट द्वारा भी परिभाषित किया गया है, अर्ध-उत्तल टॉरॉयडल बहुफलक हैं। ये स्टीवर्ट टॉरॉयड्स हैं जिनमें उनके उत्तल हल्स के सभी किनारे सम्मलित हैं। ऐसे बहुफलक के लिए, [[उत्तल पतवार]] का प्रत्येक फलक या तो टोरॉयड की सतह पर स्थित होता है, या एक बहुभुज होता है जिसके सभी किनारे टोरॉइड की सतह पर स्थित होते हैं। <ref>{{harvtxt|Stewart|1980}}, "Quasi-convexity and weak quasi-convexity", pp. 76–79.</ref>


{| class=wikitable
{| class=wikitable
|+ Stewart toroids by augmentation of a single polyhedron
|+ एकल पॉलीहेड्रॉन के संवर्द्धन द्वारा स्टीवर्ट टॉरॉयड्स
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!Genus||1||1
!जीनस||1||1
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|[[File:Stewart toroid 6-hexprisms.png|160px]]
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|[[File:Eight octahedra toroid.png|160px]]
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!Polyhedra
!पालिहीड्रन
|6 [[hexagonal prism]]s
|6 [[Index.php?title=Index.php?title= षट्कोणीय वर्णक्रम|षट्कोणीय वर्णक्रम]]
|8 [[octahedra]]
|8 [[Index.php?title=ऑक्टाहेड्रा|ऑक्टाहेड्रा]]
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|}


{| class=wikitable
{| class=wikitable
|+Quasi-convex Stewart toroids
|+अर्ध-उत्तल स्टीवर्ट टॉरॉयड्स
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!Genus||colspan=2|1||3||11||3||5||7||11
!जीनस|| colspan="2" |1||3||11||3||5||7||11
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|[[File:Excavated truncated cube.png|80px]]
|[[File:Excavated truncated cube.png|80px]]
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|[[File:Excavated truncated cuboctahedron.png|80px]]
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|4 [[Index.php?title=Index.php?title=वर्गाकार गुम्बद|वर्गाकार गुम्बद]]<br>8 [[Index.php?title=चतुष्फलक|चतुष्फलक]]
|6 [[triangular cupola]]e<br>6 [[square pyramid]]s
|6 [[Index.php?title=त्रिकोणीय गुंबद|त्रिकोणीय गुंबद]]<br>6 [[Index.php?title=Index.php?title=वर्गाकार पिरामिड|वर्गाकार पिरामिड]]
|4 [[triangular cupola]]e<br>6 [[square pyramid]]s
|4 [[Index.php?title=त्रिकोणीय गुंबद|त्रिकोणीय गुंबद]]<br>6 [[Index.php?title=वर्ग पिरामिड|वर्ग पिरामिड]]
|24 [[triangular prism]]s<br>6 [[square pyramid]]s<br>8 [[tetrahedra]]
|24 [[Index.php?title=त्रिकोणीय प्रिज्म|त्रिकोणीय प्रिज्म]]<br>6 [[Index.php?title= वर्ग पिरामिड|वर्ग पिरामिड]]<br>8 [[Index.php?title=टेट्राहेड्रा|टेट्राहेड्रा]]
|6 [[square cupola]]e<br>4 [[triangular cupola]]e<br>12 [[cube]]s
|6 [[Index.php?title=Index.php?title=वर्गाकार गुम्बद|वर्गाकार गुम्बद]]<br>4 [[Index.php?title=त्रिकोणीय गुंबद|त्रिकोणीय गुंबद]]<br>12 [[Index.php?title=घन|घन]]
|8 [[triangular cupola]]e<br>12 [[cube]]s
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|6 [[Index.php?title=Index.php?title=वर्गाकार गुम्बद|वर्गाकार गुम्बद]]<br>8 [[Index.php?title=त्रिकोणीय गुंबद|त्रिकोणीय गुंबद]]
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!Convex hull
!कन्वेक्स हल
|[[truncated cube]]
|[[Index.php?title=छोटा घन|छोटा घन]]
|[[truncated octahedron]]
|[[Index.php?title=Index.php?title=Index.php?title= स्मॉल ऑक्टाहेड्रॉन|स्मॉल ऑक्टाहेड्रॉन]]
|[[truncated octahedron]]
|[[Index.php?title=Index.php?title= स्मॉल ऑक्टाहेड्रॉन|स्मॉल ऑक्टाहेड्रॉन]]
|[[expanded cuboctahedron]]
| [[Index.php?title=Index.php?title= स्मॉल क्यूबोक्टहेड्रॉन|स्मॉल क्यूबोक्टहेड्रॉन]]
|[[truncated cuboctahedron]]
|[[Index.php?title=Index.php?title= स्मॉल क्यूबोक्टहेड्रॉन|स्मॉल क्यूबोक्टहेड्रॉन]]
|[[truncated cuboctahedron]]
|[[Index.php?title=Index.php?title=Index.php?title= स्मॉल क्यूबोक्टहेड्रॉन|स्मॉल क्यूबोक्टहेड्रॉन]]
|[[truncated cuboctahedron]]
|[[Index.php?title=Index.php?title=स्मॉल क्यूबोक्टहेड्रॉन|स्मॉल क्यूबोक्टहेड्रॉन]]
|[[truncated cuboctahedron]]
|[[Index.php?title=Index.php?title=स्मॉल क्यूबोक्टहेड्रॉन|स्मॉल क्यूबोक्टहेड्रॉन]]
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{| class=wikitable align=right
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|[[File:Octahemioctahedron.png|120px]]<br>[[Octahemioctahedron]]
|[[File:Octahemioctahedron.png|120px]]<br>[[Index.php?title=ऑक्टाहेमीऑक्टाहेड्रोन|ऑक्टाहेमीऑक्टाहेड्रोन]]
|[[File:Small cubicuboctahedron.png|120px]]<br>[[Small cubicuboctahedron]]
|[[File:Small cubicuboctahedron.png|120px]]<br>[[Index.php?title=स्मॉल क्यूबिकुबोक्टाहेड्रोन|स्मॉल क्यूबिकुबोक्टाहेड्रोन]]
|[[File:Great dodecahedron.png|120px]]<br>[[Great dodecahedron]]
|[[File:Great dodecahedron.png|120px]]<br>[[Index.php?title=ग्रैट द्वादशफ़लक|ग्रैट द्वादशफ़लक]]
|}
|}
एक पॉलीहेड्रॉन जो क्रॉसिंग पॉलीगॉन की एक प्रणाली द्वारा बनाई गई है, उसके पॉलीगोन और उनके साझा किनारों और कोने की प्रणाली द्वारा बनाई गई एक सार टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड से मेल खाती है, और पॉलीहेड्रॉन का जीनस इस अमूर्त मैनिफोल्ड से निर्धारित किया जा सकता है।
एक बहुफलक जो क्रॉसिंग बहुभुज की एक प्रणाली द्वारा बनाई गई है, उसके बहुभुज और उनके साझा किनारों और कोने की प्रणाली द्वारा बनाई गई एक सार संस्थानिक बहुमुख से मेल खाती है, और बहुतल का प्रकार इस अमूर्त बहुमुख से निर्धारित किया जा सकता है। उदाहरणों में जीनस-1 [[Index.php?title=ऑक्टाहेमिओक्टाहेड्रॉन|ऑक्टाहेमिओक्टाहेड्रॉन]], जीनस-3 छोटा क्यूबिकुबोक्टाहेड्रोन और जीनस-4 [[Index.php?title=ग्रेट द्वादशफलक|ग्रेट द्वादशफलक]] सम्मलित हैं।
उदाहरणों में जीनस-1 [[Octahemioctahedron]], जीनस-3 छोटा क्यूबिकुबोक्टाहेड्रोन और जीनस-4 [[महान द्वादशफलक]] शामिल हैं।


{{Clear}}
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=== क्राउन पॉलीहेड्रा ===
=== क्राउन पॉलीहेड्रा ===
[[File:Stephanoid5.png|thumb|right|160px|पेंटागोनल स्टेफ़नॉइड। इस स्टेफ़नॉइड में पेंटागोनल [[डायहेड्रल समरूपता]] है और एक समान [[पंचकोणीय प्रिज्म]] के समान कोने हैं।]]एक क्राउन पॉलीहेड्रॉन या स्टेफ़नॉइड एक टॉरॉयडल पॉलीहेड्रॉन है जो कि [[नोबल पॉलीहेड्रॉन]] भी है, जो [[समकोणीय आकृति]] (बराबर कोने) और [[आइसोहेड्रल आकृति]] (समान चेहरे) दोनों हैं। क्राउन पॉलीहेड्रा स्व-प्रतिच्छेदी हैं और स्थलाकृतिक रूप से स्व-द्वैत पॉलीहेड्रॉन हैं। स्व-द्वैत।<ref>{{citation
[[File:Stephanoid5.png|thumb|right|160px|पेंटागोनल स्टेफ़नॉइड। इस स्टेफ़नॉइड में पेंटागोनल [[डायहेड्रल समरूपता]] है और एक समान [[पंचकोणीय प्रिज्म]] के समान कोने हैं।]]एक शीर्ष बहुफलक या स्टेफ़नॉइड एक टॉरॉयडल पॉलीहेड्रॉन है, जो समकोणीय और आइसोहेड्रल दोनों होने के कारण भी बृहत है। [[Index.php?title=क्राउन पॉलीहेड्रॉन|क्राउन पॉलीहेड्रॉन]] स्व-प्रतिच्छेदी और [[Index.php?title=स्थलाकृतिक|स्थलाकृतिक]] रूप से स्व-द्वैत हैं। <ref>{{citation
| last=Grünbaum | first=Branko | authorlink=Branko Grünbaum
| last=Grünbaum | first=Branko | authorlink=Branko Grünbaum
| contribution=Polyhedra with Hollow Faces
| contribution=Polyhedra with Hollow Faces
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==इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची==
*विविध
*तारा बहुभुज
*चतुर्पाश्वीय
*उत्तल बहुफलक
*छोटा क्यूबिक्यूबोक्टाहेड्रोन
*स्व-दोहरी पॉलीहेड्रॉन
*प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रॉन
*इनफिनिटिमल्स का आकाश
==बाहरी संबंध==
==बाहरी संबंध==
*{{MathWorld|urlname=ToroidalPolyhedron|title=Toroidal polyhedron}}
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*[http://polyhedra.doskey.com/ToroidalPolyhedra.html Toroidal Polyhedra]
*[http://polyhedra.doskey.com/ToroidalPolyhedra.html Toroidal Polyhedra]
*[https://www.software3d.com/Misc.php#Stewart Stewart toroids]
*[https://www.software3d.com/Misc.php#Stewart Stewart toroids]
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Latest revision as of 17:27, 3 May 2023

इस 6x4 उदाहरण की तरह चतुर्भुज चेहरों के नेट (पॉलीहेड्रॉन) से, एक टोरस्र्स सतह का अनुमान लगाने के लिए एक पॉलीहेड्रल टोरस का निर्माण किया जा सकता है।

ज्यामिति में, एक टोरॉयडल बहुफलक होता है जो एक टोरॉयड (एक g-होलेड टोरस) भी होता है, जिसमें 1 या उससे अधिक का टोपोलॉजी वर्ग (g) होता है। उल्लेखनीय उदाहरणों में सेस्ज़ार और सिलासी बहुफलक सम्मलित हैं।

परिभाषा में स्थानान्तरण

टॉरॉयडल बहुफलक को बहुभुजों के संग्रह के रूप में परिभाषित किया जाता है जो उनके किनारों और कोने पर मिलते हैं, जैसा कि वे करते हैं। अर्थात्, प्रत्येक किनारे को पूर्णतया दो बहुभुजों द्वारा सहभाजित किया जाना चाहिए, जो प्रत्येक शीर्ष और फलक पर मिलते हैं, उन्हें वैकल्पिक किनारों और आकृतियों के एक चक्र में एक साथ जोड़ा जाना चाहिए, शीर्ष का लिंक है। टोरॉयडल बहुफलक के लिए, यह कई गुना ओरिएंटेबल सतह है।[1] कुछ लेखक "टोरॉयडल बहुफलक" वाक्यांश को अधिक विशेष रूप से बहुफलक के रूप में (जीनस 1) टोरस के समतुल्य के रूप में प्रतिबंधित करते हैं।[2]

इस क्षेत्र में, अंत:स्थापन टोरॉयडल बहुफलक को अलग करना महत्वपूर्ण है, जिनके चेहरे त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में समतल बहुभुज हैं जो खुद को या एक दूसरे को पार नहीं करते हैं, बिना किसी निर्दिष्ट ज्यामितीय प्राप्ति के बहुफलक से, टोपोलॉजिकल सतहों से है।[3] इन दो चरम सीमाओं के बीच इंटरमीडिएट यूक्लिडियन अंतरिक्ष में ज्यामितीय बहुभुज या स्टार बहुभुज द्वारा गठित बहुकोणीय आकृति हैं जो एक दूसरे को पार करने की अनुमति देते हैं।

इन सभी स्थितियों में बहुफलक की टोरॉयडल प्रकृति को इसकी उन्मुखता और इसकी यूलर विशेषता के गैर-सकारात्मक होने से सत्यापित किया जा सकता है। यूलर की विशेषता V − E + F = 2 − 2N, के लिए सामान्यीकृत होती है, जहां N आयोजनों की संख्या है।

ज़ाज़र और ज़िलास्सी पॉलीहेड्रा

Interactive Csaszar polyhedron model – in the SVG image, move the mouse left and right to rotate it.[4]
Interactive Szilassi polyhedron model – in the SVG image, move the mouse to rotate it.[5]

सबसे सरल संभव अंतः स्थापित टोरॉयडल बहुफलक में से दो ज़ाज़र और ज़िलास्सी बहुफलक होते हैं।

सेस्ज़ार बहुफलक 21 किनारों और 14 त्रिकोणीय आकृतियों वाला एक सात-शीर्ष टोरॉयडल बहुफलक है।[6] यह और चतुष्फलक एकमात्र ज्ञात बहुफलक हैं जिसमें दो शीर्षों को जोड़ने वाला प्रत्येक संभव रेखा खंड बहुफलक योजक बनाता है।[7] इसके दोहरे, स्ज़ीलासी बहुफलक में सात हेक्सागोनल आकृति हैं जो सभी एक दूसरे से जुड़े हुए हैं,[8] इसलिए अस्तित्व को आधा प्रमेय प्रदान करते हैं कि एक टोरस पर एक मानचित्र के लिए आवश्यक रंगों की अधिकतम संख्या सात है। [9]

ज़ाज़र बहुफलक में किसी भी अंतः स्थापित टॉरॉयडल बहुफलक के सबसे कम संभव कोने हैं, और स्ज़ीलासी बहुफलक में किसी भी अंतः स्थापित टॉरॉयडल बहुफलक के सबसे कम संभव बाह्य अर्थ हैं।

स्टीवर्ट टॉरॉयड्स

टोरॉयडल बहुफलक की एक विशेष श्रेणी विशेष रूप से नियमित बहुभुज आकृतियों द्वारा बनाई जाती है, प्रसंकरण के बिना, और एक और प्रतिबंध के साथ कि आसन्न आकृति एक दूसरे के समान सतह में नहीं हो सकते हैं। इन्हें स्टीवर्ट टॉरॉयड्स कहा जाता है,[10] बोनी स्टीवर्ट के नाम पर रखा गया, जिन्होंने इनका गहन अध्ययन किया।[11] उत्तल बहुफलक के स्थिति में वे जॉनसन ठोस के समान हैं; चूंकि, जॉनसन सॉलिड्स के विपरीत, असीम रूप से कई स्टीवर्ट टॉरॉयड्स हैं।[12] इनमें टॉरॉयडल डेल्टाहेड्रोन, बहुफलक भी सम्मलित हैं जिनकी आकृति सभी समबाहु त्रिभुज हैं।

स्टीवर्ट टोरॉयड्स का एक प्रतिबंधित वर्ग, जिसे स्टीवर्ट द्वारा भी परिभाषित किया गया है, अर्ध-उत्तल टॉरॉयडल बहुफलक हैं। ये स्टीवर्ट टॉरॉयड्स हैं जिनमें उनके उत्तल हल्स के सभी किनारे सम्मलित हैं। ऐसे बहुफलक के लिए, उत्तल पतवार का प्रत्येक फलक या तो टोरॉयड की सतह पर स्थित होता है, या एक बहुभुज होता है जिसके सभी किनारे टोरॉइड की सतह पर स्थित होते हैं। [13]

एकल पॉलीहेड्रॉन के संवर्द्धन द्वारा स्टीवर्ट टॉरॉयड्स
जीनस 1 1
इमेज Stewart toroid 6-hexprisms.png Eight octahedra toroid.png
पालिहीड्रन 6 षट्कोणीय वर्णक्रम 8 ऑक्टाहेड्रा
वर्टेक्स 48 24
एज 84 72
फेस 36 48
अर्ध-उत्तल स्टीवर्ट टॉरॉयड्स
जीनस 1 3 11 3 5 7 11
इमेज Excavated truncated cube.png Excavated truncated octahedron1.png Excavated truncated octahedron2.png Excavated expanded cuboctahedron.png Excavated truncated cuboctahedron4.png Excavated truncated cuboctahedron2.png Excavated truncated cuboctahedron3.png Excavated truncated cuboctahedron.png
पालिहीड्रन 4 वर्गाकार गुम्बद
8 चतुष्फलक 		6 त्रिकोणीय गुंबद
6 वर्गाकार पिरामिड 		4 त्रिकोणीय गुंबद
6 वर्ग पिरामिड 		24 त्रिकोणीय प्रिज्म
6 वर्ग पिरामिड
8 टेट्राहेड्रा 		6 वर्गाकार गुम्बद
4 त्रिकोणीय गुंबद
12 घन 		8 त्रिकोणीय गुंबद
12 घन 		6 वर्गाकार गुम्बद
12 घन 		6 वर्गाकार गुम्बद
8 त्रिकोणीय गुंबद
कन्वेक्स हल छोटा घन स्मॉल ऑक्टाहेड्रॉन स्मॉल ऑक्टाहेड्रॉन स्मॉल क्यूबोक्टहेड्रॉन स्मॉल क्यूबोक्टहेड्रॉन स्मॉल क्यूबोक्टहेड्रॉन स्मॉल क्यूबोक्टहेड्रॉन स्मॉल क्यूबोक्टहेड्रॉन
वर्टेक्स 32 30 30 62 72 72 72 72
एज 64 60 72 168 144 168 168 168
फेस 32 30 38 86 68 88 84 76


स्व-क्रॉसिंग पॉलीहेड्रा

Octahemioctahedron.png
ऑक्टाहेमीऑक्टाहेड्रोन 		Small cubicuboctahedron.png
स्मॉल क्यूबिकुबोक्टाहेड्रोन 		Great dodecahedron.png
ग्रैट द्वादशफ़लक

एक बहुफलक जो क्रॉसिंग बहुभुज की एक प्रणाली द्वारा बनाई गई है, उसके बहुभुज और उनके साझा किनारों और कोने की प्रणाली द्वारा बनाई गई एक सार संस्थानिक बहुमुख से मेल खाती है, और बहुतल का प्रकार इस अमूर्त बहुमुख से निर्धारित किया जा सकता है। उदाहरणों में जीनस-1 ऑक्टाहेमिओक्टाहेड्रॉन, जीनस-3 छोटा क्यूबिकुबोक्टाहेड्रोन और जीनस-4 ग्रेट द्वादशफलक सम्मलित हैं।


क्राउन पॉलीहेड्रा

पेंटागोनल स्टेफ़नॉइड। इस स्टेफ़नॉइड में पेंटागोनल डायहेड्रल समरूपता है और एक समान पंचकोणीय प्रिज्म के समान कोने हैं।

एक शीर्ष बहुफलक या स्टेफ़नॉइड एक टॉरॉयडल पॉलीहेड्रॉन है, जो समकोणीय और आइसोहेड्रल दोनों होने के कारण भी बृहत है। क्राउन पॉलीहेड्रॉन स्व-प्रतिच्छेदी और स्थलाकृतिक रूप से स्व-द्वैत हैं। [14]


यह भी देखें

संदर्भ

  1. ↑ Whiteley (1979); Stewart (1980), p. 15.
  2. ↑ Webber, William T. (1997), "Monohedral idemvalent polyhedra that are toroids", Geometriae Dedicata, 67 (1): 31–44, doi:10.1023/A:1004997029852, MR 1468859, S2CID 117884274.
  3. ↑ Whiteley, Walter (1979), "Realizability of polyhedra" (PDF), Structural Topology (1): 46–58, 73, MR 0621628.
  4. ↑ Ákos Császár, A Polyhedron Without Diagonals., Bolyai Institute, University of Szeged, 1949
  5. ↑ Grünbaum, Branko; Szilassi, Lajos (2009), "Geometric Realizations of Special Toroidal Complexes", Contributions to Discrete Mathematics, 4 (1): 21–39, doi:10.11575/cdm.v4i1.61986, ISSN 1715-0868
  6. ↑ Császár, A. (1949), "A polyhedron without diagonals", Acta Sci. Math. Szeged, 13: 140–142.
  7. ↑ Ziegler, Günter M. (2008), "Polyhedral Surfaces of High Genus", in Bobenko, A. I.; Schröder, P.; Sullivan, J. M.; Ziegler, G. M. (eds.), Discrete Differential Geometry, Oberwolfach Seminars, vol. 38, Springer-Verlag, pp. 191–213, arXiv:math.MG/0412093, doi:10.1007/978-3-7643-8621-4_10, ISBN 978-3-7643-8620-7, S2CID 15911143.
  8. ↑ Szilassi, Lajos (1986), "Regular toroids" (PDF), Structural Topology, 13: 69–80[permanent dead link].
  9. ↑ Heawood, P. J. (1890), "Map colouring theorems", Quarterly Journal of Mathematics, First Series, 24: 322–339
  10. ↑ Webb, Robert (2000), "Stella: polyhedron navigator", Symmetry: Culture and Science, 11 (1–4): 231–268, MR 2001419.
  11. ↑ Stewart, B. M. (1980), Adventures Among the Toroids: A Study of Orientable Polyhedra with Regular Faces (2nd ed.), B. M. Stewart, ISBN 978-0-686-11936-4.
  12. ↑ Stewart (1980), p. 15.
  13. ↑ Stewart (1980), "Quasi-convexity and weak quasi-convexity", pp. 76–79.
  14. ↑ Grünbaum, Branko (1994), "Polyhedra with Hollow Faces", Polytopes: Abstract, Convex and Computational, NATO ASI Series C: Mathematical and Physical Series, vol. 440, Kluwer Academic Publishers, pp. 43–70, doi:10.1007/978-94-011-0924-6_3. See in particular p. 60.

बाहरी संबंध

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