संबद्ध बंडल: Difference between revisions

Latest revision as of 21:35, 3 May 2023

गणित में, संरचना समूह $G$ (एक स्थलीय समूह) के साथ फाइबर समूहों का सिद्धांत एक संबद्ध समूह बनाने के संचालन की अनुमति देता है, जिसमें समूह के विशिष्ट फाइबर $F_{1}$ को $F_{2}$ में बदलता है , जो दोनों स्थलीय स्थान हैं $G$ . की एक समूह क्रिया। संरचना समूह G के साथ एक फाइबर समूह F के लिए, दो समन्वय प्रणाली U_α और U_β के अतिव्यापन में फाइबर के संक्रमण कार्य ( जिससे , कोसायकल (बीजगणितीय टोपोलॉजी)) U_α∩U_β पर G-मूल्यवान कार्य g_αβ के रूप में दिया जाता है तब एक फाइबर समूह F' का निर्माण एक नए फाइबर समूह के रूप में किया जा सकता है जिसमें समान संक्रमण कार्य होते हैं, किंतु संभवतः एक अलग फाइबर होता है।

एक उदाहरण

मोबियस पट्टी के साथ एक साधारण स्थितिया आता है, जिसके लिए $G$ क्रम 2 का चक्रीय समूह है, $\mathbb {Z} _{2}$ . हम $F$ के रूप में ले सकते हैं इनमें से कोई भी ले सकते हैं: वास्तविक संख्या रेखा $\mathbb {R}$ , अंतराल $[-1,\ 1]$ , वास्तविक संख्या रेखा कम बिंदु 0, या दो-बिंदु समूह $\{-1,\ 1\}$ . इन पर $G$ की क्रिया (प्रत्येक स्थितियों में $x\ \rightarrow \ -x$ के रूप में कार्य करने वाला गैर-पहचान तत्व) एक सहज अर्थ में तुलनीय है। हम कह सकते हैं कि अधिक औपचारिक रूप से दो आयतों को चिपकाने के संदर्भ में $[-1,\ 1]\times I$ और $[-1,\ 1]\times J$ की पहचान करने के लिए हमें वास्तव में जिस चीज की जरूरत है, वह है पहचान करने के लिए डेटा $[-1,\ 1]$ सीधे एक छोर पर, और दूसरे छोर पर मोड़ के साथ। इस डेटा को एक पैचिंग कार्य के रूप में नीचे लिखा जा सकता है, G में मान के साथ। 'संबंधित समूह ' निर्माण केवल अवलोकन है कि यह डेटा $\{-1,\ 1\}$ के लिए उतना ही अच्छा करता है जितना कि $[-1,\ 1]$ .के लिए है|

निर्माण

सामान्यतः यह फाइबर $F$ के समूह से संक्रमण की व्याख्या करने के लिए पर्याप्त है , जिस पर $G$ संबंधित प्रमुख समूह के लिए कार्य करता है (अर्थात् वह समूह जहां फाइबर होता है $G$ , स्वयं पर अनुवाद द्वारा कार्य करने के लिए माना जाता है)। इसके लिए हम मुख्य समूह के माध्यम से $F_{1}$ को $F_{2}$ , तक जा सकते हैं एक खुले आवरण के लिए डेटा के संदर्भ में विवरण वंश (श्रेणी सिद्धांत) के स्थितियों के रूप में दिए गए हैं।

यह खंड का इस प्रकार से आयोजन किया जाता है। पहले हम किसी दिए गए फाइबर समूह से, निर्दिष्ट फाइबर के साथ, संबद्ध समूह के उत्पादन के लिए सामान्य प्रक्रिया का परिचय देते हैं। यह तब स्थितियों में माहिर होता है जब निर्दिष्ट फाइबर समूह की बाईं कार्रवाई के लिए एक प्रमुख सजातीय स्थान होता है, जो संबंधित प्रिंसिपल समूह को उत्पन्न करता है। यदि, इसके अतिरिक्त , प्रमुख समूह के फाइबर पर एक सही क्रिया दी जाती है, तो हम वर्णन करते हैं कि फाइबर उत्पाद निर्माण के माध्यम से किसी संबद्ध समूह का निर्माण कैसे किया जाए।^[1]

सामान्य रूप से संबद्ध समूह

होने देना ${\textstyle \pi :E\to X}$ संरचना समूह G और विशिष्ट फाइबर F के साथ एक स्थलीय स्पेस X पर एक फाइबर समूह हो। परिभाषा के अनुसार, फाइबर F पर G (एक परिवर्तन समूह के रूप में) की एक समूह क्रिया (गणित) है। इसके अतिरिक्त मान लीजिए कि यह क्रिया समूह क्रिया है (गणित) या क्रियाओं के प्रकार।^[2] समूह E का एक स्थानीय रूप से तुच्छ है जिसमें एक खुला कवर U_i of X, होता है और समूह मानचित्र का संग्रह सम्मिलित है

\varphi _{i}:\pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times F

जैसे कि संक्रमण मानचित्र G के तत्वों द्वारा दिए गए हैं। अधिक स्पष्ट रूप से, निरंतर कार्य g_ij : (Ui ∩ Uj) → G ऐसा हैं कि

\psi _{ij}(u,f):=\varphi _{i}\circ \varphi _{j}^{-1}(u,f)={\big (}u,g_{ij}(u)f{\big )},\quad {\text{for each }}(u,f)\in (U_{i}\cap U_{j})\times F\,.

अब F' को एक निर्दिष्ट स्थलीय स्पेस होने दें, जो G की निरंतर बाईं क्रिया से सुसज्जित है। फिर फाइबर F' के साथ E से जुड़ा समूह 'एक समूह E' है, जो कवर U_i के अधीन एक स्थानीय तुच्छीकरण के साथ है। जिसका संक्रमण कार्य द्वारा दिया गया है

\psi '_{ij}(u,f')={\big (}u,g_{ij}(u)f'{\big )},\quad {\text{for each }}(u,f')\in (U_{i}\cap U_{j})\times F'\,,

जहां G-मूल्यवान कार्य g_ij(u) वही हैं जो मूल समूह E के स्थानीय तुच्छीकरण से प्राप्त हुए हैं। यह परिभाषा संक्रमण कार्यों पर चक्रीय स्थिति का स्पष्ट रूप से सम्मान करती है, क्योंकि प्रत्येक स्थितियों में वे G-मूल्यवान कार्यों की एक ही प्रणाली द्वारा दी जाती हैं। (एक अन्य स्थानीय तुच्छीकरण का उपयोग करना, और यदि आवश्यक हो तो एक सामान्य परिशोधन के लिए जाना, g_ij उसी कोबाउंड्री के माध्यम से रूपांतरित करें।) इसलिए, फाइबर समूह निर्माण प्रमेय द्वारा, यह फाइबर F' के साथ एक फाइबर समूह E' का उत्पादन करता है। जैसा कि दावा किया गया है।

फाइबर समूह से जुड़ा प्रमुख समूह

पहले की तरह, मान लें कि E संरचना समूह G के साथ एक फाइबर समूह है। विशेष स्थितियों में जब G में एक समूह क्रिया (गणित) है या क्रियाओं के प्रकार F' पर कार्रवाई छोड़ दी जाती है, जिससे F' बाईं ओर एक प्रमुख सजातीय स्थान हो G की क्रिया स्वयं पर होती है, तो संबंधित समूह E' को फाइबर समूह E से जुड़ा प्रमुख G-समूह कहा जाता है। साथ ही एक बाईं क्रिया), तो F′ पर G की दाहिनी क्रिया E′ पर G की दाहिनी क्रिया को प्रेरित करती है। पहचान के इस विकल्प के साथ, E' सामान्य अर्थों में एक प्रमुख समूह बन जाता है। ध्यान दें कि, किंतु G के लिए एक प्रमुख सजातीय स्थान पर एक सही कार्रवाई निर्दिष्ट करने के लिए कोई वैधानिक विधि नहीं है, ऐसी कोई भी दो कार्रवाइयाँ प्रमुख समूहों का उत्पादन करेंगी जिनमें संरचना समूह जी के साथ समान अंतर्निहित फाइबर समूह होता है (चूंकि यह बाईं कार्रवाई से आता है) G ), और आइसोमॉर्फिक G -स्पेस के रूप में इस अर्थ में कि दोनों से संबंधित समूहों का G -समतुल्य समरूपता है।

इस तरह, एक सही कार्रवाई से लैस एक प्रमुख G -समूह को अधिकांशतः संरचना समूह G के साथ फाइबर समूह निर्दिष्ट करने वाले डेटा के भाग के रूप में माना जाता है, क्योंकि फाइबर समूह के लिए संबंधित समूह निर्माण के माध्यम से प्रमुख समूह का निर्माण किया जा सकता है। इसके बाद, जैसा कि अगले भाग में है, दूसरे विधि से जा सकते हैं और फाइबर उत्पाद का उपयोग करके किसी फाइबर समूह को प्राप्त कर सकते हैं।

प्रमुख समूह से जुड़ा फाइबर समूह

मान लीजिए π : P → X एक प्रमुख समूह है | प्रमुख G-समूह है और ρ : G → होमियो (F) एक स्थान F पर G की एक सतत समूह क्रिया (गणित) है (चिकनी श्रेणी में, हमें एक सहज होना चाहिए एक चिकनी कई गुना पर कार्रवाई)। सामान्यता खोए बिना, हम प्रभावी होने के लिए यह कार्रवाई कर सकते हैं।

P × F के माध्यम से G की एक सही क्रिया को परिभाषित करें^[3]^[4]

(p,f)\cdot g=(p\cdot g,\rho (g^{-1})f)\,.

फिर हम इस क्रिया द्वारा स्थान E = P ×_ρ F = (P × F) /G प्राप्त करने के लिए पहचान करते हैं। (p,f) के तुल्यता वर्ग को [p,f] से निरूपित करें। ध्यान दें कि

[p\cdot g,f]=[p,\rho (g)f]{\mbox{ for all }}g\in G.

प्रक्षेपण मानचित्र πρ : E → X को πρ([p,f]) = π(p) द्वारा परिभाषित करें। ध्यान दें कि यह अच्छी तरह से परिभाषित है।

फिर πρ : E → X फाइबर F और संरचना समूह G के साथ एक फाइबर समूह है। संक्रमण कार्य ρ(t_ij) द्वारा दिए गए हैं जहां t_ij प्रिंसिपल समूह पी के संक्रमण कार्य हैं।

इस निर्माण को श्रेणी सिद्धांत भी देखा जा सकता है।

अधिक स्पष्ट रूप से, दो सतत मानचित्र हैं $P\times G\times F\to P\times F$ , P जो G के साथ P पर दाईं ओर और F पर बाईं ओर अभिनय करके दिए गए हैं।

संबंधित वेक्टर समूह $P\times _{\rho }F$ तब इन नक्शों का समतुल्य है।

संरचना समूह की कमी

संबंधित बंडलों के लिए सहयोगी अवधारणा a $G$ -समूह $B$ के संरचना समूह की कमी है। हम पूछते हैं कि क्या $H$ -समूह $C$ है जैसे संबंधित $G$ -समूह $B$ आइसोमोर्फिज्म तक है। अधिक ठोस रूप से यह पूछता है कि क्या B के लिए संक्रमण डेटा लगातार H में मानों के साथ लिखा जा सकता है। दूसरे शब्दों में हम संबंधित समूह मैपिंग (जो वास्तव में एक कारक है) की छवि की पहचान करने के लिए कहते हैं।

कमी के उदाहरण

वेक्टर समूहों के उदाहरणों में सम्मिलित हैं: एक मीट्रिक की प्रारंभ जिसके परिणामस्वरूप संरचना समूह को एक सामान्य रैखिक समूह GL(n) से एक ऑर्थोगोनल समूह O(n) में घटाया गया; और एक वास्तविक समूह पर जटिल संरचना के अस्तित्व के परिणामस्वरूप संरचना समूह वास्तविक सामान्य रैखिक समूह GL(2n,'R') से जटिल सामान्य रैखिक समूह GL(n,'C') तक कम हो जाता है।

एक अन्य महत्वपूर्ण स्थितियों रैंक n के एक वेक्टर समूह V के उप-बंडलों की श्रेणी k और n-k के व्हिटनी योग (प्रत्यक्ष योग) के रूप में अपघटन का पता लगा रहा है है, और जिसके परिणामस्वरूप GL(n,R) से GL(k,R) × GL(n-k,R) संरचना समूह में कमी आई है।

कोई ब्लॉक आव्यूह उपसमूह में स्पर्शरेखा समूह की कमी के रूप में परिभाषित होने के लिए एक पत्तियों से सजाना की स्थिति को भी व्यक्त कर सकता है - किंतु यहां कमी केवल एक आवश्यक नियम है, एक पूर्णता की स्थिति है जिससे फ्रोबेनियस प्रमेय (अंतर टोपोलॉजी) प्रयुक्त हो .

यह भी देखें

स्पिनर समूह

संदर्भ

↑ All of these constructions are due to Ehresmann (1941-3). Attributed by Steenrod (1951) page 36
↑ Effectiveness is a common requirement for fibre bundles; see Steenrod (1951). In particular, this condition is necessary to ensure the existence and uniqueness of the principal bundle associated with E.
↑ Husemoller, Dale (1994), p. 45.
↑ Sharpe, R. W. (1997), p. 37.

पुस्तकें

Steenrod, Norman (1951). फाइबर बंडलों की टोपोलॉजी. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-00548-6.
Husemoller, Dale (1994). फाइबर बंडल (Third ed.). New York: Springer. ISBN 978-0-387-94087-8.
Sharpe, R. W. (1997). डिफरेंशियल ज्योमेट्री: कार्टन का क्लेन के एर्लांगेन प्रोग्राम का सामान्यीकरण. New York: Springer. ISBN 0-387-94732-9.

श्रेणी:बीजगणितीय टोपोलॉजी श्रेणी:विभेदक ज्यामिति श्रेणी:डिफरेंशियल टोपोलॉजी श्रेणी:फाइबर समूह

[1] All of these constructions are due to Ehresmann (1941-3). Attributed by Steenrod (1951) page 36

[2] Effectiveness is a common requirement for fibre bundles; see Steenrod (1951). In particular, this condition is necessary to ensure the existence and uniqueness of the principal bundle associated with E.

[3] Husemoller, Dale (1994), p. 45.

[4] Sharpe, R. W. (1997), p. 37.

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-गणित में, [[संरचना समूह]] <math>G</math> (एक सामयिक समूह) के साथ फाइबर समूहों का सिद्धांत एक संबद्ध समूह बनाने के संचालन की अनुमति देता है, जिसमें समूह के विशिष्ट फाइबर से परिवर्तन होता है <math>F_1</math> को <math>F_2</math> में बदलता है , जो दोनों सामयिक रिक्त स्थान हैं <math>G</math>. की एक समूह क्रिया। संरचना समूह ''G'' के साथ एक फाइबर समूह ''F'' के लिए, दो समन्वय प्रणाली ''U''<sub>α</sub> और ''U''<sub>β</sub> के अतिव्यापन में फाइबर के संक्रमण कार्य ( जिससे , [[कोसायकल (बीजगणितीय टोपोलॉजी)]]) ''U''<sub>α</sub>∩''U''<sub>β</sub> पर   G-मूल्यवान कार्य ''g''<sub>αβ</sub> के रूप में दिया जाता है तब एक फाइबर समूह F' का निर्माण एक नए फाइबर समूह के रूप में किया जा सकता है जिसमें समान संक्रमण कार्य होते हैं, किंतु संभवतः एक अलग फाइबर होता है।।
+गणित में, [[संरचना समूह]] <math>G</math> (एक स्थलीय समूह) के साथ फाइबर समूहों का सिद्धांत एक संबद्ध समूह बनाने के संचालन की अनुमति देता है, जिसमें समूह के विशिष्ट फाइबर <math>F_1</math> को <math>F_2</math> में बदलता है , जो दोनों स्थलीय स्थान हैं <math>G</math>. की एक समूह क्रिया। संरचना समूह ''G'' के साथ एक फाइबर समूह ''F'' के लिए, दो समन्वय प्रणाली ''U''<sub>α</sub> और ''U''<sub>β</sub> के अतिव्यापन में फाइबर के संक्रमण कार्य ( जिससे , [[कोसायकल (बीजगणितीय टोपोलॉजी)]]) ''U''<sub>α</sub>∩''U''<sub>β</sub> पर   G-मूल्यवान कार्य ''g''<sub>αβ</sub> के रूप में दिया जाता है तब एक फाइबर समूह F' का निर्माण एक नए फाइबर समूह के रूप में किया जा सकता है जिसमें समान संक्रमण कार्य होते हैं, किंतु संभवतः एक अलग फाइबर होता है।
 == एक उदाहरण ==
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 === सामान्य रूप से संबद्ध समूह ===
-होने देना <math display="inline">\pi:E\to X</math> संरचना समूह ''G'' और विशिष्ट फाइबर ''F'' के साथ एक सामयिक स्पेस ''X'' पर एक फाइबर समूह हो। परिभाषा के अनुसार, फाइबर ''F'' पर ''G'' (एक [[परिवर्तन समूह]] के रूप में) की एक समूह क्रिया (गणित) है। इसके अतिरिक्त मान लीजिए कि यह क्रिया समूह क्रिया है (गणित) या क्रियाओं के प्रकार।<ref>Effectiveness is a common requirement for fibre bundles; see Steenrod (1951).  In particular, this condition is necessary to ensure the existence and uniqueness of the principal bundle associated with ''E''.</ref> समूह ''E'' का एक स्थानीय रूप से तुच्छ है जिसमें एक खुला कवर ''U''<sub>i</sub> of ''X'', होता है और समूह मानचित्र का संग्रह सम्मिलित है
+होने देना <math display="inline">\pi:E\to X</math> संरचना समूह ''G'' और विशिष्ट फाइबर ''F'' के साथ एक स्थलीय स्पेस ''X'' पर एक फाइबर समूह हो। परिभाषा के अनुसार, फाइबर ''F'' पर ''G'' (एक [[परिवर्तन समूह]] के रूप में) की एक समूह क्रिया (गणित) है। इसके अतिरिक्त मान लीजिए कि यह क्रिया समूह क्रिया है (गणित) या क्रियाओं के प्रकार।<ref>Effectiveness is a common requirement for fibre bundles; see Steenrod (1951).  In particular, this condition is necessary to ensure the existence and uniqueness of the principal bundle associated with ''E''.</ref> समूह ''E'' का एक स्थानीय रूप से तुच्छ है जिसमें एक खुला कवर ''U''<sub>i</sub> of ''X'', होता है और समूह मानचित्र का संग्रह सम्मिलित है
 <math display="block">\varphi_i : \pi^{-1}(U_i) \to U_i \times F</math>
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 जैसे कि [[संक्रमण मानचित्र]] G के तत्वों द्वारा दिए गए हैं। अधिक स्पष्ट रूप से, निरंतर कार्य ''g''<sub>ij</sub> : (Ui ∩ Uj) → G ऐसा हैं कि<math display="block">\psi_{ij}(u,f) := \varphi_i \circ \varphi_j ^{-1}(u,f) = \big(u, g_{ij}(u) f \big),\quad
-\text{for each } (u,f)\in (U_i \cap U_j)\times F\, .</math> अब F' को एक निर्दिष्ट सामयिक स्पेस होने दें, जो G की निरंतर बाईं क्रिया से सुसज्जित है। फिर फाइबर F' के साथ E से जुड़ा समूह 'एक समूह E' है, जो कवर ''U''<sub>i</sub> के अधीन एक स्थानीय तुच्छीकरण के साथ है। जिसका संक्रमण कार्य द्वारा दिया गया है
+\text{for each } (u,f)\in (U_i \cap U_j)\times F\, .</math> अब F' को एक निर्दिष्ट स्थलीय स्पेस होने दें, जो G की निरंतर बाईं क्रिया से सुसज्जित है। फिर फाइबर F' के साथ E से जुड़ा समूह 'एक समूह E' है, जो कवर ''U''<sub>i</sub> के अधीन एक स्थानीय तुच्छीकरण के साथ है। जिसका संक्रमण कार्य द्वारा दिया गया है
 <math display="block">\psi'_{ij}(u,f') = \big(u, g_{ij}(u) f' \big),\quad
 \text{for each } (u,f')\in (U_i \cap U_j)\times F'\,,</math>जहां ''G''-मूल्यवान कार्य ''g''<sub>ij</sub>(''u'') वही हैं जो मूल समूह ''E'' के स्थानीय तुच्छीकरण से प्राप्त हुए हैं। यह परिभाषा संक्रमण कार्यों पर चक्रीय स्थिति का स्पष्ट रूप से सम्मान करती है, क्योंकि प्रत्येक स्थितियों में वे ''G''-मूल्यवान कार्यों की एक ही प्रणाली द्वारा दी जाती हैं। (एक अन्य स्थानीय तुच्छीकरण का उपयोग करना, और यदि आवश्यक हो तो एक सामान्य परिशोधन के लिए जाना, g<sub>ij</sub> उसी कोबाउंड्री के माध्यम से रूपांतरित करें।) इसलिए, [[फाइबर बंडल निर्माण प्रमेय|फाइबर समूह निर्माण प्रमेय]] द्वारा, यह फाइबर ''F''<nowiki/>' के साथ एक फाइबर समूह ''E''<nowiki/>' का उत्पादन करता है। जैसा कि दावा किया गया है।
-=== फाइबर समूह से जुड़ा प्रिंसिपल समूह ===
+=== फाइबर समूह से जुड़ा प्रमुख समूह ===
 पहले की तरह, मान लें कि E संरचना समूह G के साथ एक फाइबर समूह है। विशेष स्थितियों में जब G में एक समूह क्रिया (गणित) है या क्रियाओं के प्रकार F' पर कार्रवाई छोड़ दी जाती है, जिससे F' बाईं ओर एक प्रमुख सजातीय स्थान हो G की क्रिया स्वयं पर होती है, तो संबंधित समूह E' को फाइबर समूह E से जुड़ा प्रमुख G-समूह कहा जाता है। साथ ही एक बाईं क्रिया), तो F′ पर G की दाहिनी क्रिया E′ पर G की दाहिनी क्रिया को प्रेरित करती है। पहचान के इस विकल्प के साथ, E' सामान्य अर्थों में एक प्रमुख समूह बन जाता है। ध्यान दें कि, किंतु G के लिए एक प्रमुख सजातीय स्थान पर एक सही कार्रवाई निर्दिष्ट करने के लिए कोई वैधानिक विधि नहीं है, ऐसी कोई भी दो कार्रवाइयाँ प्रमुख समूहों का उत्पादन करेंगी जिनमें संरचना समूह जी के साथ समान अंतर्निहित फाइबर समूह होता है (चूंकि यह बाईं कार्रवाई से आता है) G ), और आइसोमॉर्फिक G -स्पेस के रूप में इस अर्थ में कि दोनों से संबंधित समूहों का G -समतुल्य समरूपता है।
 इस तरह, एक सही कार्रवाई से लैस एक प्रमुख G -समूह को अधिकांशतः संरचना समूह G के साथ फाइबर समूह निर्दिष्ट करने वाले डेटा के भाग के रूप में माना जाता है, क्योंकि फाइबर समूह के लिए संबंधित समूह निर्माण के माध्यम से प्रमुख समूह का निर्माण किया जा सकता है। इसके बाद, जैसा कि अगले भाग में है, दूसरे विधि से जा सकते हैं और फाइबर उत्पाद का उपयोग करके किसी फाइबर समूह को प्राप्त कर सकते हैं।
-=== प्रिंसिपल समूह से जुड़ा फाइबर समूह ===
+=== प्रमुख समूह से जुड़ा फाइबर समूह ===
-मान लीजिए π : ''P'' → ''X'' एक प्रमुख समूह है | प्रमुख G-समूह है और ρ : ''G'' → होमियो(''F'') एक स्थान F पर G की एक सतत समूह क्रिया (गणित) है (चिकनी श्रेणी में, हमें एक सहज होना चाहिए एक चिकनी कई गुना पर कार्रवाई)। सामान्यता खोए बिना, हम प्रभावी होने के लिए यह कार्रवाई कर सकते हैं।
+मान लीजिए π : ''P'' → ''X'' एक प्रमुख समूह है | प्रमुख G-समूह है और ρ : ''G'' → होमियो (''F'') एक स्थान F पर G की एक सतत समूह क्रिया (गणित) है (चिकनी श्रेणी में, हमें एक सहज होना चाहिए एक चिकनी कई गुना पर कार्रवाई)। सामान्यता खोए बिना, हम प्रभावी होने के लिए यह कार्रवाई कर सकते हैं।
 P × F के माध्यम से G की एक सही क्रिया को परिभाषित करें<ref>Husemoller, Dale (1994), p. 45.</ref><ref>Sharpe, R. W. (1997), p. 37.</ref>
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 [[वेक्टर बंडल|वेक्टर]] समूहों के उदाहरणों में सम्मिलित हैं: एक मीट्रिक की प्रारंभ जिसके परिणामस्वरूप संरचना समूह को एक [[सामान्य रैखिक समूह]] GL(n) से एक [[ऑर्थोगोनल समूह]] O(n) में घटाया गया; और एक वास्तविक समूह पर जटिल संरचना के अस्तित्व के परिणामस्वरूप संरचना समूह वास्तविक सामान्य रैखिक समूह GL(2n,'R') से जटिल सामान्य रैखिक समूह GL(n,'C') तक कम हो जाता है।
-एक अन्य महत्वपूर्ण स्थितियों रैंक ''n'' के एक वेक्टर समूह ''V'' के उप-बंडलों के रैंक ''k'' और ''n-k'' के व्हिटनी योग (प्रत्यक्ष योग) के रूप में अपघटन का पता लगा रहा है है, और जिसके परिणामस्वरूप GL(''n'','''R''') से GL(''k'','''R''') × GL(''n-k'','''R''') संरचना समूह में कमी आई है।
+एक अन्य महत्वपूर्ण स्थितियों रैंक ''n'' के एक वेक्टर समूह ''V'' के उप-बंडलों की श्रेणी ''k'' और ''n-k'' के व्हिटनी योग (प्रत्यक्ष योग) के रूप में अपघटन का पता लगा रहा है है, और जिसके परिणामस्वरूप GL(''n'','''R''') से GL(''k'','''R''') × GL(''n-k'','''R''') संरचना समूह में कमी आई है।
 कोई ब्लॉक आव्यूह उपसमूह में [[स्पर्शरेखा बंडल|स्पर्शरेखा]] समूह की कमी के रूप में परिभाषित होने के लिए एक [[ पत्तियों से सजाना |पत्तियों से सजाना]] की स्थिति को भी व्यक्त कर सकता है - किंतु यहां कमी केवल एक आवश्यक नियम है, एक पूर्णता की स्थिति है जिससे [[फ्रोबेनियस प्रमेय (अंतर टोपोलॉजी)]] प्रयुक्त हो .
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