सैचेरी चतुर्भुज

सचेरी चतुर्भुज

सैचेरी चतुर्भुज (जिसे खय्याम-सेचेरी चतुर्भुज के रूप में भी जाना जाता है) एक चतुर्भुज है जिसकी दो समान भुजाएँ आधार के लंबवत होती हैं। इसका नाम जियोवन्नी गेरोलामो साचेरी के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1733 में पहली बार प्रकाशित अपनी पुस्तक 'यूक्लिड्स एब ओमनी नेवो विन्डिकेटस' (शाब्दिक रूप से यूक्लिड फ्रीड ऑफ एवरी फ्लॉ) में इसका बड़े मापदंड पर उपयोग किया था, यह विधि रिडक्शियो विज्ञापन बेतुका का उपयोग करके समानांतर अभिधारणा को प्रमाण करने का प्रयास था। . 11वीं शताब्दी के फारसी विद्वान उमर खय्याम के संदर्भ में सैचेरी चतुर्भुज को कभी-कभी खय्याम-सचेरी चतुर्भुज के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।

एक सैचेरी चतुर्भुज ए बी सी डी के लिए, भुजाएँ एडी और बीसी (जिन्हें पैर भी कहा जाता है) लंबाई में समान हैं, और आधार एबी के लंबवत भी हैं। शीर्ष सीडी शिखर या ऊपरी आधार है और सी और डी के कोण शिखर कोण कहलाते हैं।

समानांतर अभिधारणा पर विचार करते समय सैचेरी चतुर्भुजों का उपयोग करने का लाभ यह है कि वे परस्पर अनन्य विकल्पों को बहुत स्पष्ट शब्दों में रखते हैं:

शिखर कोण समकोण, अधिक कोण, या न्यून कोण हैं?

जैसे की वो पता चला:

• जब शिखर कोण समकोण हों, तो इस चतुर्भुज का अस्तित्व यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा द्वारा प्रतिपादित कथन के समतुल्य है।
• जब शिखर कोण तीव्र होते हैं, तो यह चतुर्भुज अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति की ओर जाता है, और
• जब शिखर कोण अधिक हों, तो चतुर्भुज अण्डाकार ज्यामिति या गोलाकार ज्यामिति की ओर ले जाता है (परन्तु कुछ अन्य संशोधनों को अभिधारणाओं में भी किया जाता है)).

चूँकि , खुद सचेरी ने सोचा था कि कुंद और तीव्र दोनों स्थानों को रिडक्टियो एड एब्सर्डम दिखाया जा सकता है। उन्होंने दिखाया कि उलझा हुआ स्थिति विरोधाभासी था, किंतु तीव्र स्थिति को ठीक से संभालने में विफल रहा है ।

इतिहास

जबकि चतुष्कोणों का नाम जियोवन्नी गेरोलामो साचेरी के नाम पर रखा गया है, उन्हें पहले के गणितज्ञों के कार्यों में माना जाता था। सैचेरी के पहले प्रस्ताव में कहा गया है कि यदि दो समान रेखाएँ एसी और बीसी रेखा एबी के साथ समान कोण बनाती हैं, तो सीडी पर कोण एक दूसरे के समान होंगे; इस कथन का एक संस्करण नौवीं शताब्दी के विद्वान सबित इब्न कुर्रा के कार्यों में प्रकट होता है। रेक्टिफाइंग द कर्व्ड, कैस्टिले (ऐतिहासिक क्षेत्र) में लिखा गया 14वीं शताब्दी का ग्रंथ, थाबित इब्न कुर्रा के काम का निर्माण करता है और इसमें सैचेरी चतुर्भुजों का वर्णन भी सम्मिलित है। उमर खय्याम (1048-1131) ने 11वीं शताब्दी के अंत में यूक्लिड की अभिधारणाओं में कठिनाइयों की व्याख्या की पुस्तक में उनका वर्णन किया। उनके पहले और बाद में यूक्लिड पर कई टिप्पणीकारों के विपरीत (निश्चित रूप से सैचेरी सहित), खय्याम इस तरह के समानांतर सिद्धांत को प्रमाण करने की प्रयास नहीं कर रहे थे, किंतु इसे दार्शनिक (अरस्तू) के सिद्धांतों से तैयार किए गए एक समकक्ष सिद्धांत से प्राप्त करने की प्रयास कर रहे थे:

दो अभिसरण सीधी रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं और दो अभिसारी सीधी रेखाएँ जिस दिशा में अभिसरण करती हैं, उस दिशा में विचलन करना असंभव है।

खय्याम ने तब तीन स्थानों को सही, अस्पष्ट और तीक्ष्ण माना जो कि एक सच्चरी चतुर्भुज के शिखर कोण ले सकते हैं और उनके बारे में कई प्रमेयों को प्रमाण करने के बाद, उन्होंने (सही विधि से) अपने अभिधारणा के आधार पर अप्रिय और तीव्र स्थानों का खंडन किया और इसलिए व्युत्पन्न किया यूक्लिड का क्लासिक सिद्धांत है ।

17वीं शताब्दी के इतालवी गणितज्ञ जियोर्डानो विटाले ने अपने यूक्लिड रेस्तिटू (1680, 1686) में चतुर्भुज का उपयोग यह प्रमाण करने के लिए किया कि यदि आधार एबी और शिखर सीडी पर तीन बिंदु समान दूरी पर हैं, तो एबी और सीडी हर जगह समान दूरी पर हैं।

साचेरी ने स्वयं चतुर्भुज और उसके तीन स्थानों के चारों ओर समानांतर अवधारणा के अपने पूरे लंबे और अंततः त्रुटिपूर्ण प्रमाण को आधार बनाया, जिससे इसके गुणों के बारे में कई प्रमेय प्रमाण हुए है ।

अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति में सैचेरी चतुर्भुज

बता दें कि एबीसीडी एक सैचेरी चतुर्भुज है जिसमें एबी आधार है, सीडी शिखर है और सीए और डीबी समान भुजाएँ हैं जो आधार के लंबवत हैं। अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति में किसी भी सैचेरी चतुर्भुज में निम्नलिखित गुण मान्य हैं:

• शिखर कोण (सी और डी पर कोण) समान और तीव्र हैं।
• शिखर आधार से लंबा है।
• दो सचेरी चतुर्भुज सर्वांगसम होते हैं यदि:
  • आधार खंड और शिखर कोण सर्वांगसम हैं
  • शिखर खंड और शिखर कोण सर्वांगसम हैं।
• आधार के मध्य बिंदु और शिखर के मध्य बिंदु को मिलाने वाला रेखा खंड:
  • आधार और शिखर के लंबवत है,
  • चतुर्भुज की एकमात्र सममित रेखा है,
  • आधार और शिखर को जोड़ने वाला सबसे छोटा खंड है,
  • भुजाओं के मध्यबिंदुओं को मिलाने वाली रेखा के लंबवत है,
  • सैचेरी चतुर्भुज को दो लैम्बर्ट चतुर्भुज में विभाजित करता है।
• भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखण्ड किसी भी ओर लम्बवत् नहीं होता है।

समीकरण

निरंतर गाऊसी वक्रता के अतिपरवलयिक तल में $-1$, शिखर $s$ एक सैचेरी चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना पाया से की जा सकती है $l$ और आधार $b$ सूत्र का उपयोग करना

$\cosh s=(\cosh b-1)\cosh ^{2}l+1=\cosh b\cdot \cosh ^{2}l-\sinh ^{2}l$

$\sinh \left({\frac {s}{2}}\right)=\cosh \left(l\right)\sinh \left({\frac {b}{2}}\right)$

Poincare डिस्क मॉडल में टाइलिंग

अतिशयोक्तिपूर्ण तल के पॉइंकेयर डिस्क मॉडल की टाइलिंग उपस्थित है जिसमें मौलिक डोमेन के रूप में सैचेरी चतुर्भुज हैं। 2 समकोणों के अतिरिक्त , इन चतुर्भुजों में तीव्र शिखर कोण हैं। झुकाव एक * nn22 समरूपता (ऑर्बिफोल्ड नोटेशन) प्रदर्शित करता है, और इसमें सम्मिलित हैं:

*3322 symmetry

*∞∞22 symmetry

यह भी देखें

• लैम्बर्ट चतुर्भुज

संदर्भ

• Coxeter, H.S.M. (1998), Non-Euclidean Geometry (6th ed.), Washington, D.C.: Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-522-4
• Faber, Richard L. (1983), Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry, New York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1
• M. J. Greenberg, Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History, 4th edition, W. H. Freeman, 2008.
• George E. Martin, The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane, Springer-Verlag, 1975