अनुबंधित स्थान: Difference between revisions
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[[File:Contractibility figure.png|right|thumb|कुछ | [[File:Contractibility figure.png|right|thumb|कुछ संकुचित और असंकुचित समष्टियों का चित्रण। समष्टि A, B और C संकुचन योग्य हैं; समष्टि D, E और F नहीं हैं।]]गणित में, एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस|सांस्थितिक समष्टि]] ''X'' संकुचित होती है यदि ''X'' पर तत्समक प्रतिचित्र शून्य-[[होमोटोपिक|समस्थेयतिक]] है, अर्थात यदि यह किसी स्थिर प्रतिचित्र के लिए समस्थेयतिक है।<ref>{{cite book | last=Munkres | first=James R. | authorlink=James Munkres | title=टोपोलॉजी| edition=2nd | publisher=[[Prentice Hall]] | year=2000 | isbn=0-13-181629-2}}</ref><ref>{{cite book | last=Hatcher | first=Allen | authorlink=Allen Hatcher | title=बीजगणितीय टोपोलॉजी| publisher=[[Cambridge University Press]] | year=2002 | isbn=0-521-79540-0 | url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html}}</ref> सहज रूप से, संकुचित समष्टि वह है जिसे उस समष्टि के भीतर निरंतर एक बिंदु तक संकुचन किया जा सकता है। | ||
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एक | एक संकुचित समष्टि ठीक एक बिंदु के समस्थेयता प्रकार के साथ होता है। यह इस प्रकार है कि संकुचित समष्टि के सभी समस्थेयता समूह क्षुद्र हैं। इसलिए अक्षुद्र समस्थेयता समूह के साथ कोई भी समष्टि संकुचित नहीं हो सकता। इसी प्रकार, चूंकि विचित्र सजातीय एक समस्थेयता निश्चर है, एक संकुचित समष्टि के [[कम समरूपता|लघुकृत सजातीय]] समूह सभी क्षुद्र हैं। | ||
एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स के लिए निम्नलिखित सभी समतुल्य हैं: | एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स के लिए निम्नलिखित सभी समतुल्य हैं: | ||
*X | *X संकुचित है (अर्थात् तत्समक प्रतिचित्र शून्य-समस्थेयतिक है)। | ||
*X | *X एक बिंदु समष्टि के समस्थेयता समतुल्य है। | ||
* | * X विरूपण एक बिंदु पर अस्वीकार करता है। (यद्यपि, यहां संकुचित समष्टि हैं जो एक बिंदु पर दृढ़ता से विरूपण नहीं करते हैं।) | ||
* किसी भी पथ | * किसी भी पथ संयोजित समष्टि Y के लिए कोई भी दो प्रतिचित्र f, g: Y → X समस्थेयतिक है। | ||
* किसी भी | * किसी भी समष्टि Y के लिए, कोई भी प्रतिचित्र f: Y → X शून्य-समस्थेयतिक है। | ||
एक | एक समष्टि X पर [[शंकु (टोपोलॉजी)]] सदैव संकुचित होता है। इसलिए किसी भी समष्टि को एक संकुचित समष्टि में अंत:स्थापित किया जा सकता है (जो यह भी दर्शाता है कि संकुचित समष्टि के उप-समष्टियों को संकुचित करने की आवश्यकता नहीं है)। | ||
इसके | इसके अतिरिक्त, X संकुचित है यदि केवल X के शंकु से X तक एक प्रतिकर्षण उपस्थित है। | ||
प्रत्येक | प्रत्येक संकुचित समष्टि पथ संयोजित और [[बस जुड़ा हुआ है|पूर्णतः संबद्ध है]]। इसके अतिरिक्त, चूंकि सभी उच्च [[होमोटॉपी समूह|समस्थेयता समूह]] लुप्त हो जाते हैं, इसलिए प्रत्येक संकुचित समष्टि सभी n ≥ 0 के लिए n-संबद्ध होते है। | ||
== स्थानीय रूप से अनुबंधित स्थान == | == स्थानीय रूप से अनुबंधित स्थान == | ||
एक | एक सांस्थितिक समष्टि X एक बिंदु' x पर स्थानीय रूप से संकुचित है यदि x के प्रत्येक [[पड़ोस (टोपोलॉजी)|सामीप्य (टोपोलॉजी)]] U के लिए U में निहित x का एक सामीप्य V है जैसे कि V का समावेश U में शून्य-समस्थेयतिक है। एक समष्टि स्थानतः संकुचित है यदि यह प्रत्येक बिंदु पर स्थानतः संकुचित है। इस परिभाषा को प्रासंगिक रूप से "ज्यामितीय प्ररुपविज्ञानी के स्थानतः संकुचित" के रूप में संदर्भित किया जाता है, यद्यपि यह शब्द का अधिक सामान्य उपयोग है। हैचर के मानक बीजगणितीय सांस्थिति पाठ में, इस परिभाषा को "क्षीण स्थानतः संकुचित" कहा जाता है, यद्यपि उस शब्द के अन्य उपयोग हैं। | ||
यदि प्रत्येक बिंदु का अनुबंध योग्य पड़ोस का [[स्थानीय आधार]] है, तो हम कहते हैं कि X 'दृढ़ता से स्थानीय रूप से अनुबंधित' है। अनुबंधित स्थान आवश्यक रूप से स्थानीय रूप से अनुबंधित नहीं होते हैं और न ही इसके विपरीत। उदाहरण के लिए, | यदि प्रत्येक बिंदु का अनुबंध योग्य पड़ोस का [[स्थानीय आधार]] है, तो हम कहते हैं कि X 'दृढ़ता से स्थानीय रूप से अनुबंधित' है। अनुबंधित स्थान आवश्यक रूप से स्थानीय रूप से अनुबंधित नहीं होते हैं और न ही इसके विपरीत। उदाहरण के लिए, कॉम्ब स्पेस सिकुड़ा हुआ है लेकिन स्थानीय रूप से अनुबंधित नहीं है (यदि ऐसा होता, तो यह स्थानीय रूप से जुड़ा होता जो यह नहीं है)। स्थानीय रूप से अनुबंधित स्थान सभी n ≥ 0 के लिए स्थानीय रूप से जुड़े हुए हैं। विशेष रूप से, वे स्थानीय रूप से जुड़े हुए हैं, स्थानीय रूप से जुड़े हुए हैं, और स्थानीय रूप से जुड़े हुए हैं। सर्कल (जोरदार) स्थानीय रूप से सिकुड़ा हुआ है लेकिन अनुबंध योग्य नहीं है। | ||
प्रबल स्थानिक संकुचनशीलता स्थानिक संकुचनशीलता की तुलना में दृढ़तः प्रबल गुणधर्म है; प्रतिउदाहरण परिष्कृत हैं, सर्वप्रथम बोरसुक और मज़ुरक्यूविज़ द्वारा अपने लेख्य सुर लेस रिट्रेक्स एब्सोलस इंडेकोम्पोज़ेबल्स, सी.आर. विज्ञान संस्थान पेरिस 199 (1934), 110-112) में दिए गए हैं। | |||
इस | इस विषय में कुछ असहमति है कि कौन सी परिभाषा स्थानिक संकुचनशीलता की "मानक" परिभाषा है; प्रथम परिभाषा अधिक ऐतिहासिक रूप से, सामान्यतः ज्यामितीय सांस्थिति में उपयोग की जाती है, जबकि द्वितीय परिभाषा सांस्थितिक गुणों के संबंध में "स्थानिक" शब्द के विशिष्ट उपयोग के साथ उत्तम है। इन गुणों के विषय में परिणामों की व्याख्या करते समय सदैव परिभाषाओं के संबंध में सावधानी रखनी चाहिए। | ||
== उदाहरण और प्रति उदाहरण == | == उदाहरण और प्रति उदाहरण == | ||
* कोई भी [[ यूक्लिडियन अंतरिक्ष |यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] पर किसी भी [[स्टार डोमेन]] के रूप में कोई भी यूक्लिडियन स्थान अनुबंधित है। | * कोई भी [[ यूक्लिडियन अंतरिक्ष |यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] पर किसी भी [[स्टार डोमेन]] के रूप में कोई भी यूक्लिडियन स्थान अनुबंधित है। | ||
* व्हाइटहेड [[ कई गुना |कई गुना]] संकुचन क्षम है। | * व्हाइटहेड [[ कई गुना |कई गुना]] संकुचन क्षम है। | ||
* किसी परिमित आयाम के गोले संकुचन क्षम नहीं | * किसी परिमित आयाम के गोले संकुचन क्षम नहीं हैं। | ||
* [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष]] में [[इकाई क्षेत्र]] की एक अनंत-आयामी हिल्बर्ट अंतरिक्ष संविदात्मकता में इकाई क्षेत्र। | * [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष]] में [[इकाई क्षेत्र]] की एक अनंत-आयामी हिल्बर्ट अंतरिक्ष संविदात्मकता में इकाई क्षेत्र। | ||
* [[दो कमरों वाला घर]] एक ऐसे स्थान का एक मानक उदाहरण है जो सिकुड़ा हुआ है, लेकिन सहज रूप से ऐसा नहीं है। | * [[दो कमरों वाला घर|द्वि कक्ष के गृह]] एक ऐसे स्थान का एक मानक उदाहरण है जो सिकुड़ा हुआ है, लेकिन सहज रूप से ऐसा नहीं है। | ||
* | *डूंस हैट (टोपोलॉजी) संकुचित है, लेकिन [[ पतन (टोपोलॉजी) |निपातीय (टोपोलॉजी)]] नहीं है। | ||
* | *हवाइयन इयररिंग पर शंकु संकुचित है (चूंकि यह एक शंकु है), लेकिन स्थानतः संकुचित या स्थानतः पूर्णतः संबद्ध भी नहीं है। | ||
* सभी मैनिफोल्ड और | * सभी मैनिफोल्ड और सीडब्ल्यू संकुल स्थानतः संकुचित हैं, लेकिन सामान्यतः संकुचित नहीं हैं। | ||
* (0,−1) और (1,sin(1)) | * वारसॉ सर्कल को (0,−1) और (1,sin(1)) संयोजी वृत्त-चाप द्वारा सांस्थिति विज्ञानी के साइन वक्र को "समाप्त (क्लोज़िंग अप)" करके प्राप्त किया जाता है। यह आयामी सातत्यक है जिसके समस्थेयता समूह सभी क्षुद्र हैं, लेकिन यह संकुचित नहीं है। | ||
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Latest revision as of 10:02, 4 May 2023
गणित में, एक सांस्थितिक समष्टि X संकुचित होती है यदि X पर तत्समक प्रतिचित्र शून्य-समस्थेयतिक है, अर्थात यदि यह किसी स्थिर प्रतिचित्र के लिए समस्थेयतिक है।[1][2] सहज रूप से, संकुचित समष्टि वह है जिसे उस समष्टि के भीतर निरंतर एक बिंदु तक संकुचन किया जा सकता है।
गुणधर्म
एक संकुचित समष्टि ठीक एक बिंदु के समस्थेयता प्रकार के साथ होता है। यह इस प्रकार है कि संकुचित समष्टि के सभी समस्थेयता समूह क्षुद्र हैं। इसलिए अक्षुद्र समस्थेयता समूह के साथ कोई भी समष्टि संकुचित नहीं हो सकता। इसी प्रकार, चूंकि विचित्र सजातीय एक समस्थेयता निश्चर है, एक संकुचित समष्टि के लघुकृत सजातीय समूह सभी क्षुद्र हैं।
एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स के लिए निम्नलिखित सभी समतुल्य हैं:
- X संकुचित है (अर्थात् तत्समक प्रतिचित्र शून्य-समस्थेयतिक है)।
- X एक बिंदु समष्टि के समस्थेयता समतुल्य है।
- X विरूपण एक बिंदु पर अस्वीकार करता है। (यद्यपि, यहां संकुचित समष्टि हैं जो एक बिंदु पर दृढ़ता से विरूपण नहीं करते हैं।)
- किसी भी पथ संयोजित समष्टि Y के लिए कोई भी दो प्रतिचित्र f, g: Y → X समस्थेयतिक है।
- किसी भी समष्टि Y के लिए, कोई भी प्रतिचित्र f: Y → X शून्य-समस्थेयतिक है।
एक समष्टि X पर शंकु (टोपोलॉजी) सदैव संकुचित होता है। इसलिए किसी भी समष्टि को एक संकुचित समष्टि में अंत:स्थापित किया जा सकता है (जो यह भी दर्शाता है कि संकुचित समष्टि के उप-समष्टियों को संकुचित करने की आवश्यकता नहीं है)।
इसके अतिरिक्त, X संकुचित है यदि केवल X के शंकु से X तक एक प्रतिकर्षण उपस्थित है।
प्रत्येक संकुचित समष्टि पथ संयोजित और पूर्णतः संबद्ध है। इसके अतिरिक्त, चूंकि सभी उच्च समस्थेयता समूह लुप्त हो जाते हैं, इसलिए प्रत्येक संकुचित समष्टि सभी n ≥ 0 के लिए n-संबद्ध होते है।
स्थानीय रूप से अनुबंधित स्थान
एक सांस्थितिक समष्टि X एक बिंदु' x पर स्थानीय रूप से संकुचित है यदि x के प्रत्येक सामीप्य (टोपोलॉजी) U के लिए U में निहित x का एक सामीप्य V है जैसे कि V का समावेश U में शून्य-समस्थेयतिक है। एक समष्टि स्थानतः संकुचित है यदि यह प्रत्येक बिंदु पर स्थानतः संकुचित है। इस परिभाषा को प्रासंगिक रूप से "ज्यामितीय प्ररुपविज्ञानी के स्थानतः संकुचित" के रूप में संदर्भित किया जाता है, यद्यपि यह शब्द का अधिक सामान्य उपयोग है। हैचर के मानक बीजगणितीय सांस्थिति पाठ में, इस परिभाषा को "क्षीण स्थानतः संकुचित" कहा जाता है, यद्यपि उस शब्द के अन्य उपयोग हैं।
यदि प्रत्येक बिंदु का अनुबंध योग्य पड़ोस का स्थानीय आधार है, तो हम कहते हैं कि X 'दृढ़ता से स्थानीय रूप से अनुबंधित' है। अनुबंधित स्थान आवश्यक रूप से स्थानीय रूप से अनुबंधित नहीं होते हैं और न ही इसके विपरीत। उदाहरण के लिए, कॉम्ब स्पेस सिकुड़ा हुआ है लेकिन स्थानीय रूप से अनुबंधित नहीं है (यदि ऐसा होता, तो यह स्थानीय रूप से जुड़ा होता जो यह नहीं है)। स्थानीय रूप से अनुबंधित स्थान सभी n ≥ 0 के लिए स्थानीय रूप से जुड़े हुए हैं। विशेष रूप से, वे स्थानीय रूप से जुड़े हुए हैं, स्थानीय रूप से जुड़े हुए हैं, और स्थानीय रूप से जुड़े हुए हैं। सर्कल (जोरदार) स्थानीय रूप से सिकुड़ा हुआ है लेकिन अनुबंध योग्य नहीं है।
प्रबल स्थानिक संकुचनशीलता स्थानिक संकुचनशीलता की तुलना में दृढ़तः प्रबल गुणधर्म है; प्रतिउदाहरण परिष्कृत हैं, सर्वप्रथम बोरसुक और मज़ुरक्यूविज़ द्वारा अपने लेख्य सुर लेस रिट्रेक्स एब्सोलस इंडेकोम्पोज़ेबल्स, सी.आर. विज्ञान संस्थान पेरिस 199 (1934), 110-112) में दिए गए हैं।
इस विषय में कुछ असहमति है कि कौन सी परिभाषा स्थानिक संकुचनशीलता की "मानक" परिभाषा है; प्रथम परिभाषा अधिक ऐतिहासिक रूप से, सामान्यतः ज्यामितीय सांस्थिति में उपयोग की जाती है, जबकि द्वितीय परिभाषा सांस्थितिक गुणों के संबंध में "स्थानिक" शब्द के विशिष्ट उपयोग के साथ उत्तम है। इन गुणों के विषय में परिणामों की व्याख्या करते समय सदैव परिभाषाओं के संबंध में सावधानी रखनी चाहिए।
उदाहरण और प्रति उदाहरण
- कोई भी यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर किसी भी स्टार डोमेन के रूप में कोई भी यूक्लिडियन स्थान अनुबंधित है।
- व्हाइटहेड कई गुना संकुचन क्षम है।
- किसी परिमित आयाम के गोले संकुचन क्षम नहीं हैं।
- हिल्बर्ट अंतरिक्ष में इकाई क्षेत्र की एक अनंत-आयामी हिल्बर्ट अंतरिक्ष संविदात्मकता में इकाई क्षेत्र।
- द्वि कक्ष के गृह एक ऐसे स्थान का एक मानक उदाहरण है जो सिकुड़ा हुआ है, लेकिन सहज रूप से ऐसा नहीं है।
- डूंस हैट (टोपोलॉजी) संकुचित है, लेकिन निपातीय (टोपोलॉजी) नहीं है।
- हवाइयन इयररिंग पर शंकु संकुचित है (चूंकि यह एक शंकु है), लेकिन स्थानतः संकुचित या स्थानतः पूर्णतः संबद्ध भी नहीं है।
- सभी मैनिफोल्ड और सीडब्ल्यू संकुल स्थानतः संकुचित हैं, लेकिन सामान्यतः संकुचित नहीं हैं।
- वारसॉ सर्कल को (0,−1) और (1,sin(1)) संयोजी वृत्त-चाप द्वारा सांस्थिति विज्ञानी के साइन वक्र को "समाप्त (क्लोज़िंग अप)" करके प्राप्त किया जाता है। यह आयामी सातत्यक है जिसके समस्थेयता समूह सभी क्षुद्र हैं, लेकिन यह संकुचित नहीं है।
यह भी देखें
संदर्भ
- ↑ Munkres, James R. (2000). टोपोलॉजी (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
- ↑ Hatcher, Allen (2002). बीजगणितीय टोपोलॉजी. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.
