स्नेल का नियम

n₂ > n₁ के साथ विभिन्न अपवर्तक सूचकांकों के दो माध्यमों के मध्य अंतरापृष्ठ पर प्रकाश का अपवर्तन है, चूँकि दूसरे माध्यम (v₂ < v₁) में वेग कम है, अपवर्तन कोण θ₂ आपतन कोण θ₁ से कम है; अर्थात्, उच्च-सूचकांक माध्यम में किरण अभिलम्ब के निकट होती है।

स्नेल का नियम (जिसे स्नेल-देकार्ते का नियम और इब्न-साहल का नियम और अपवर्तन के नियम के रूप में भी जाना जाता है) एक सूत्र है जिसका उपयोग आपतन और अपवर्तन के कोणों के मध्य के संबंध का वर्णन करने के लिए किया जाता है, जब दो के मध्य की सीमा से गुजरने वाली प्रकाश या अन्य तरंगों का उल्लेख होता है। विभिन्न समदैशिक माध्यम की सीमा, जैसे कि जल, कांच या वायु। प्रकाशिकी में, आपतन या अपवर्तन के कोणों की गणना करने के लिए और सामग्री के अपवर्तक सूचकांकों को खोजने के लिए प्रयोगात्मक प्रकाशिकी में नियम का उपयोग किरण अनुरेखण में किया जाता है। नियम मेटा-सामग्री में भी संतुष्ट है, जो प्रकाश को ऋणात्मक अपवर्तक सूचकांकों के साथ अपवर्तन के ऋणात्मक कोण पर "पश्चवर्ती" झुकाव की अनुमति प्रदान करता है।

स्नेल का नियम बताता है कि, माध्यम के दिए गए युग्म के लिए, आपतन कोण की ज्याओं का अनुपात ($\theta _{1}$) और अपवर्तन कोण ($\theta _{2}$) पहले (n₂₁) के संदर्भ में दूसरे माध्यम के अपवर्तक सूचकांकों के समान है, दो माध्यमों के अपवर्तक सूचकांकों (n₂/n₁) के अनुपात के समान है, या दो माध्यमों में प्रावस्था वेगों (v₁/v₂) के अनुपात के समतुल्य है।

${\frac {\sin \theta _{1}}{\sin \theta _{2}}}=n_{21}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}$

नियम फ़र्मा के न्यूनतम समय के सिद्धांत से अनुसरण करता है, जो बदले में तरंगों के रूप में प्रकाश के प्रसार से अनुसरण करता है।

इतिहास

इब्न सहल (गणितज्ञ) की पाण्डुलिपि के एक पृष्ठ का पुनरुत्पादन, जो अपवर्तन के नियम की खोज को दर्शाता है।

टॉल्मी, अलेक्जेंड्रिया, मिस्र में,उन्होंने अपवर्तन कोणों के संबंध में एक संबंध पाया था, परन्तु यह उन कोणों के लिए गलत था जो छोटे नहीं थे। टॉल्मी को विश्वास था कि उन्होंने एक सटीक अनुभवजन्य नियम पाया है, आंशिक रूप से सिद्धांत को उपयुक्त करने के लिए अपने आंकड़ों को थोड़ा परिवर्तित करने के परिणामस्वरूप (देखें: पुष्टिकरण पूर्वाग्रह) है।

File:Snell Law of Sines 1837.png

"ज्या के नियम" के इतिहास का 1837 का दृश्य।

नियम को अंततः स्नेल के नाम पर रखा गया था, हालांकि इसे प्रथम बार 984 में बगदाद न्यायालय में फारसी वैज्ञानिक इब्न साहल द्वारा खोजा गया था। पांडुलिपि में प्रज्वलन दर्पण और लेंस पर, साहल ने नियम का उपयोग लेंस के आकार को प्राप्त करने के लिए किया गया, जो बिना किसी प्रकाशीय विपथन के प्रकाश पर ध्यान केंद्रित करते है।

अलहज़ेन, ने अपनी प्रकाशिकी की पुस्तक (1021) में, अपवर्तन के नियम को पुनः खोजने के निकट पहुँचे, परन्तु उन्होंने यह कदम नहीं उठाया।

नियम को 1602 में थॉमस हैरियट द्वारा की पुनः खोजा गया, हालांकि उन्होंने अपने परिणामों को प्रकाशित नहीं किया, हालांकि उन्होंने इसी विषय पर केपलर के साथ पत्राचार किया था। 1621 में, डच खगोलशास्त्री विलेब्रोर्ड स्नेलियस (1580-1626) -स्नेल ने गणितीय रूप से समतुल्य रूप प्राप्त किया, जो उनके जीवनकाल के पर्यंत अप्रकाशित रहा। रेने देकार्ते ने स्वतंत्र रूप से अपने 1637 के निबंध डायोप्ट्रीक में ज्या के संदर्भ में अन्वेषणात्मक गति संरक्षण तर्कों का उपयोग करते हुए नियम को व्युत्पन्न किया और इसका उपयोग प्रकाशीय समस्याओं की एक श्रृंखला को हल करने के लिए किया। देकार्ते के समाधान को अस्वीकार करते हुए, पियरे डी फ़र्मा उसी समाधान पर पहुंचे जो पूर्णतया से न्यूनतम समय के सिद्धांत पर आधारित था। देकार्ते ने माना कि प्रकाश की गति अनंत थी, फिर भी स्नेल के नियम की व्युत्पत्ति में उन्होंने यह भी माना कि माध्यम जितना सघन होगा, प्रकाश की गति उतनी ही अधिक होगी। फ़र्मा ने विरोधी धारणाओं का समर्थन किया, अर्थात, प्रकाश की गति परिमित है और उसकी व्युत्पत्ति सघन माध्यम में प्रकाश की गति धीमी होने पर निर्भर करती है। फ़र्मा की व्युत्पत्ति ने उनके आविष्कार की समतुल्यता का भी उपयोग किया, उच्चिष्ठ, न्यूनतम और स्पर्शरेखा खोजने के लिए अवकल कलन के समतुल्य एक गणितीय प्रक्रिया है।

गणित की अपनी प्रभावशाली पुस्तक ज्यामिति में, देकार्ते एक समस्या को हल करता है, जिस पर पेर्गा के अपोलोनियस और अलेक्जेंड्रिया के पप्पस ने कार्य किया था। प्रत्येक रेखा पर n रेखाएँ L और एक बिंदु P(L) दिया गया है, बिंदु Q का स्थान इस प्रकार ज्ञात करें कि रेखाखंडों की लंबाई QP(L) कुछ प्रतिबंधों को पूर्ण करती है। उदाहरण के लिए, जब n = 4, रेखा a, b, c, और d और एक बिंदु A पर a, B पर b और इसी प्रकार दिए गए हैं, बिंदु Q का स्थान ज्ञात करें जैसे कि उत्पाद QA*QB उत्पाद QC*QD के समान है। जब रेखाएं सभी समानांतर नहीं होती हैं, तो पप्पस ने दर्शाया कि बिंदुपथ शंक्वाकार हैं, परन्तु जब देकार्ते ने बड़ा n माना, तो उन्होंने घनीय और उच्च डिग्री वक्र प्राप्त किए। यह दर्शाने के लिए कि घनीय वक्र रोचक थे, उन्होंने दर्शाया कि वे स्नेल के नियम से प्रकाशिकी में स्वाभाविक रूप से उत्पन्न हुए है।

डिज्कस्टरहुइस के अनुसार, डे नेचुरा ल्यूसिस एट प्रोप्राइटेट (1662) में आइजैक वोसियस ने कहा कि देकार्ते ने स्नेल के लेख को देखा था और अपने स्वयं के प्रमाण को गुप्त रखा था। अब हम जानते हैं कि यह प्रभार अयोग्य है परन्तु इसके बाद से इसे कई बार अपनाया गया है। फ़र्मा और ह्यूजेंस दोनों ने इस प्रभार को दोहराया क्योंकि देकार्ते ने स्नेल की अनुकृति की थी। फ्रांसीसी भाषा में, स्नेल के नियम को ला लोई डे देकार्ते या लोई डी स्नेल-देकार्ते कहा जाता है।

क्रिस्टियान ह्यूजेंस का निर्माण।

अपने 1678 ट्रेटे डे ला लुमिएर में, क्रिस्टियान ह्यूजेंस ने दर्शाया कि कैसे स्नेल के ज्या के नियम को प्रकाश की तरंग प्रकृति द्वारा समझाया जा सकता है, या उससे प्राप्त किया जा सकता है, जिसे हम ह्यूजेंस-फ्रेस्नेल सिद्धांत कहते हैं।

आधुनिक प्रकाशीय और विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत के विकास के साथ, प्राचीन स्नेल के नियम को एक नए प्रावस्था में लाया गया। 1962 में, ब्लोमबर्गेन ने दर्शाया कि अरैखिक माध्यम की सीमा पर, स्नेल के नियम को सामान्य रूप में लिखा जाना चाहिए। 2008 और 2011 में, प्रकाश किरण के प्रतिबिंब और अपवर्तन दिशाओं को परिवर्तित करने के लिए प्लास्मोनिक मेटासर्फेस का भी प्रदर्शन किया गया।

स्पष्टीकरण

लीडेन में एक प्राचीर पर स्नेल का नियम।

स्नेल के नियम का उपयोग अपवर्तक माध्यम के माध्यम से अपवर्तन के अलग-अलग सूचकांकों के माध्यम से प्रकाश किरणों की दिशा निर्धारित करने के लिए किया जाता है। लेबल किए गए माध्यम के अपवर्तन के सूचकांक $n_{1}$, $n_{2}$ और इसी तरह, उस कारक का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है जिसके द्वारा एक अपवर्तक माध्यम, जैसे कांच या जल के माध्यम से संचारण करते समय प्रकाश किरण की गति घट जाती है, जैसा कि निर्वात में इसके वेग के विपरीत होता है।

जैसे ही प्रकाश माध्यम के मध्य की सीमा से गुजरता है, दो माध्यम के सापेक्ष अपवर्तक सूचकांकों के आधार पर, प्रकाश या तो कम कोण पर या बड़े कोण पर अपवर्तित हो जाएगा। इन कोणों को सामान्य रेखा के संबंध में मापा जाता है, जो सीमा के लंबवत प्रदर्शित होती है। वायु से जल में संचारण करने वाले प्रकाश की स्थिति में, प्रकाश सामान्य रेखा की ओर अपवर्तित होगा, क्योंकि प्रकाश जल में धीमा हो जाता है; जल से वायु में संचारण करने वाला प्रकाश सामान्य रेखा से दूर हो जाएगा।

दो सतहों के मध्य अपवर्तन को उत्क्रमणीय भी कहा जाता है क्योंकि यदि सभी स्थितियाँ समान होतीं, तो विपरीत दिशा में प्रकाश के प्रसार के लिए कोण समान होते।

स्नेल का नियम सामान्यतः केवल समदैशिक या नियमित माध्यम (जैसे काँच) के लिए सही है। विषमदैशिक माध्यम जैसे कि कुछ स्फटिक में, द्विअपवर्तन अपवर्तित किरण को दो किरणों में विभाजित कर सकता है, सामान्य या o-किरण जो स्नेल के नियम का पालन करता है और अन्य असाधारण या e-किरण जो आपतन किरण के साथ सह-तलीय नहीं हो सकता है।

जब प्रकाश या अन्य तरंग सम्मिलित होती है एकवर्णी, अर्थात एक आवृत्ति की, तो स्नेल के नियम को दो माध्यम $\lambda _{1}$ और $\lambda _{2}$ में तरंग दैर्ध्य के अनुपात के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है:

${\frac {\sin \theta _{1}}{\sin \theta _{2}}}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}={\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}$

व्युत्पत्ति और सूत्र

स्नेल के नियम के संदर्भ में एक बिंदु स्रोत से तरंगाग्र ग्रे रेखा के नीचे के क्षेत्र में अपवर्तन का एक उच्च सूचकांक है और इसके ऊपर के क्षेत्र की तुलना में आनुपातिक रूप से प्रकाश की कम गति है।

स्नेल का नियम विभिन्न तरीकों से प्राप्त किया जा सकता है।

फ़र्मा के सिद्धांत से व्युत्पत्ति

स्नेल का नियम फ़र्मा के सिद्धांत से प्राप्त किया जा सकता है, जिसमें कहा गया है कि प्रकाश उस पथ पर चलता है जिसमें न्यूनतम समय लगता है। प्रकाशीय पथ की लंबाई का व्युत्पन्न लेकर, स्थिर बिंदु को प्रकाश द्वारा लिया गया पथ (न्यूनतम समय का पथ नहीं अपनाकर फ़र्मा के सिद्धांत का उल्लंघन करने वाले प्रकाश की स्थितियाँ हैं, जैसा कि (गोलाकार) दर्पण में प्रतिबिंब में होता है) देते हुए पाया जाता है। एक उत्कृष्ट सादृश्यता में, निम्न अपवर्तक सूचकांकों के क्षेत्र को एक समुद्र तट से परिवर्तित कर दिया जाता है, उच्च अपवर्तक सूचकांकों के क्षेत्र को समुद्र द्वारा और समुद्र में डूबने वाले व्यक्ति तक पहुंचने के लिए समुद्र तट पर बचावकर्ता के लिए सबसे तेज़ तरीका स्नेल के नियम का पालन करने वाले पथ के साथ दौड़ना है।

माध्यम 1, बिंदु Q से प्रकाश, माध्यम 2 में प्रवेश करता है, अपवर्तन होता है और अंत में बिंदु P पर पहुंचता है।

जैसा कि दाईं ओर की आकृति में दर्शाया गया है, मान लें कि माध्यम 1 और माध्यम 2 के अपवर्तक सूचकांक $n_{1}$ और $n_{2}$ क्रमशः हैं। प्रकाश माध्यम 1 से बिंदु O से माध्यम 2 में प्रवेश करता है।

$\theta _{1}$ आपतन कोण है, $\theta _{2}$ अभिलंब के सापेक्ष अपवर्तन कोण है।

माध्यम 1 और माध्यम 2 में प्रकाश के प्रावस्था वेग हैं,

$v_{1}=c/n_{1}$ और

$v_{2}=c/n_{2}$ क्रमशः

$c$ निर्वात में प्रकाश की गति है।

मान लीजिए कि प्रकाश को बिंदु Q से बिंदु O से बिंदु P तक संचारण करने में लगने वाला समय T है।

$T={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}{v_{2}}}={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+l^{2}-2lx+x^{2}}}{v_{2}}}$

जहाँ a, b, l और x को दाहिने हस्त की आकृति में दर्शाया गया है, x अलग-अलग मापदण्ड है।

इसे कम करने के लिए, कोई अंतर कर सकता है:

${\frac {dT}{dx}}={\frac {x}{v_{1}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}}+{\frac {-(l-x)}{v_{2}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}}}=0$ (स्थिर बिंदु)

ध्यान दें कि${\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}=\sin \theta _{1}$

और ${\frac {l-x}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}}=\sin \theta _{2}$

इसलिए,

${\frac {dT}{dx}}={\frac {\sin \theta _{1}}{v_{1}}}-{\frac {\sin \theta _{2}}{v_{2}}}=0$

${\frac {\sin \theta _{1}}{v_{1}}}={\frac {\sin \theta _{2}}{v_{2}}}$

${\frac {n_{1}\sin \theta _{1}}{c}}={\frac {n_{2}\sin \theta _{2}}{c}}$

$n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}$

ह्यूजेंस के सिद्धांत से व्युत्पत्ति

Further information: ह्यूजेंस-फ्रेस्नेल सिद्धांत

वैकल्पिक रूप से, स्नेल का नियम स्रोत से प्रेक्षक तक प्रकाश तरंग के सभी संभावित पथों के अंतःक्षेप का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है - इसके परिणामस्वरूप प्रावस्था के एक्स्ट्रेमा (जहां अंतःक्षेप रचनात्मक है) को छोड़कर प्रत्येक जगह हानिकारक अंतःक्षेप होता है - जो वास्तविक पथ बन जाते हैं।

मैक्सवेल के समीकरणों से व्युत्पत्ति

Further information: फ्रेस्नेल समीकरण

स्नेल के नियम को प्राप्त करने के एक अन्य तरीके विद्युत चुम्बकीय विकिरण और प्रेरण के लिए मैक्सवेल समीकरणों की सामान्य सीमा प्रतिबंधों का एक अनुप्रयोग सम्मिलित है।

ऊर्जा और संवेग के संरक्षण से व्युत्पत्ति

फिर भी स्नेल के नियम को प्राप्त करने का एक अन्य तरीका अनुवाद समरूपता के विचारों पर आधारित है। उदाहरण के लिए, z दिशा के लंबवत एक सजातीय सतह अनुप्रस्थ गति को नहीं परिवर्तित कर सकती है। प्रसार सदिश के बाद से ${\vec {k}}$ फोटोन के संवेग, अनुप्रस्थ प्रसार दिशा $(k_{x},k_{y},0)$ के समानुपाती होता है, दोनों क्षेत्रों में समान रहना चाहिए। व्यापकता के हानि के बिना मान लें कि आपतन $z,x$ में समतलीय $k_{x{\text{Region}}_{1}}=k_{x{\text{Region}}_{2}}$है। माध्यम के अपवर्तक सूचकांकों पर तरंग संख्या की विख्यात अवलंब का उपयोग करके, हम स्नेल के नियम को तुरंत प्राप्त करते हैं।

$k_{x{\text{Region}}_{1}}=k_{x{\text{Region}}_{2}}\,$

$n_{1}k_{0}\sin \theta _{1}=n_{2}k_{0}\sin \theta _{2}\,$

$n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}\,$

जहाँ $k_{0}={\frac {2\pi }{\lambda _{0}}}={\frac {\omega }{c}}$ निर्वात में तरंग संख्या है। हालांकि कोई भी सतह वास्तव में परमाणु पैमाने पर सजातीय नहीं है, जब भी क्षेत्र प्रकाश तरंग दैर्ध्य के पैमाने पर सजातीय होता है, तो पूर्ण अनुवाद संबंधी समरूपता एक उत्कृष्ट सन्निकटन है।

सदिश रूप

See also: नियमित प्रतिबिंब §  प्रतिबिंब की दिशा

सामान्यीकृत प्रकाश सदिश ${\vec {l}}$ दिया गया है (प्रकाश स्रोत से सतह की ओर संकेत करते हुए) और सामान्यीकृत समतलीय सामान्य सदिश ${\vec {n}}$, आपतन कोण $\theta _{1}$ के कोटिज्या के माध्यम से सामान्यीकृत परावर्तित और अपवर्तित किरणों का कार्य किया जा सकता है और अपवर्तन कोण $\theta _{2}$,स्पष्ट रूप से ज्या मानों या किसी त्रिकोणमितीय फलनो या कोणों का उपयोग किए बिना कार्य किया जा सकता है:

$\cos \theta _{1}=-{\vec {n}}\cdot {\vec {l}}$

टिप्पणी: $\cos \theta _{1}$ धनात्मक होना चाहिए, जोकि यदि ${\vec {n}}$ सामान्य सदिश है जो सतह से उस तरफ इंगित करता है जहां से प्रकाश आ रहा है, सूचकांक $n_{1}$के साथ क्षेत्र, यदि $\cos \theta _{1}$ ऋणात्मक है, तो ${\vec {n}}$ प्रकाश के बिना दिशा की ओर संकेत करता है, इसलिए ${\vec {n}}$ के साथ प्रारंभ करें, इसके ऋणात्मक द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है।

${\vec {v}}_{\mathrm {reflect} }={\vec {l}}+2\cos \theta _{1}{\vec {n}}$

यह परावर्तित दिशा सदिश उस सतह की ओर वापस इंगित करता है जहां से प्रकाश आया था।

अब अपवर्तित किरण की दिशा सदिश के सूत्र को प्राप्त करने के लिए ज्या के अनुपात में स्नेल के नियम को अनप्रयुक्‍त करें:

$\sin \theta _{2}=\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)\sin \theta _{1}=\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right){\sqrt {1-\left(\cos \theta _{1}\right)^{2}}}$

$\cos \theta _{2}={\sqrt {1-(\sin \theta _{2})^{2}}}={\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)^{2}\left(1-\left(\cos \theta _{1}\right)^{2}\right)}}$

${\vec {v}}_{\mathrm {refract} }=\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right){\vec {l}}+\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2}\right){\vec {n}}$

पुनर्नामित सरल मानों $r=n_{1}/n_{2}$ और $c=-{\vec {n}}\cdot {\vec {l}}$ के संदर्भ में सूत्र सरल दिखाई दे सकता है, ट्रिग फलन नामों या कोण नामों की किसी भी उपस्थिति से परिवर्जन करना:

${\vec {v}}_{\mathrm {refract} }=r{\vec {l}}+\left(rc-{\sqrt {1-r^{2}\left(1-c^{2}\right)}}\right){\vec {n}}$

उदाहरण:

${\vec {l}}=\{0.707107,-0.707107\},~{\vec {n}}=\{0,1\},~r={\frac {n_{1}}{n_{2}}}=0.9$

$c=\cos \theta _{1}=0.707107,~{\sqrt {1-r^{2}\left(1-c^{2}\right)}}=\cos \theta _{2}=0.771362$

${\vec {v}}_{\mathrm {reflect} }=\{0.707107,0.707107\},~{\vec {v}}_{\mathrm {refract} }=\{0.636396,-0.771362\}$

परिणामी किरणों की तीव्रता को कार्य करने के लिए कोटिज्या मानों को संचित किया जा सकता है और फ्रेस्नेल समीकरणों में उपयोग किया जा सकता है।

कुल आंतरिक प्रतिबिम्बों के लिए समीकरण $\cos \theta _{2}$ में एक ऋणात्मक रेडिकैंड द्वारा इंगित किया गया है, जो केवल कम सघन माध्यमों ($n_{2}<n_{1}$) में किरणों को पार करने के लिए हो सकता है।

कुल आंतरिक प्रतिबिंब और क्रांतिक कोण

क्रांतिक कोण से बड़े कोणों पर कोई अपवर्तन न होने का प्रदर्शन।

Main article: कुल आंतरिक प्रतिबिंब

जब प्रकाश उच्च अपवर्तनांक वाले माध्यम से कम अपवर्तक सूचकांक वाले माध्यम में जाता है, तो स्नेल के नियम के अनुसार कुछ स्थितियों में (जब भी आपतन का कोण काफी बड़ा होता है) आवश्यकता होती है कि अपवर्तन कोण की ज्या एक से अधिक हो। यह निश्चित रूप से असंभव है और ऐसी स्थिति में प्रकाश पूर्णतया से सीमा से परिलक्षित होता है, एक आपतन जिसे कुल आंतरिक प्रतिबिंब के रूप में जाना जाता है। आपतन का सबसे बड़ा संभावित कोण जिसके परिणामस्वरूप एक अपवर्तित किरण होती है, उसे क्रांतिक कोण कहा जाता है; इस स्थिति में अपवर्तित किरण दो माध्यमों के मध्य की सीमा के साथ संचारण करती है।

दो माध्यमों के मध्य अंतरापृष्ठ पर प्रकाश का अपवर्तन।

उदाहरण के लिए, 50° के आपतन कोण के साथ जल से वायु में जाने वाली प्रकाश की किरण पर विचार करें। जल और वायु के अपवर्तक सूचकांक क्रमशः लगभग 1.333 और 1 हैं, इसलिए स्नेल का नियम हमें संबंध प्रदान करता है।

$\sin \theta _{2}={\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{1}={\frac {1.333}{1}}\cdot \sin \left(50^{\circ }\right)=1.333\cdot 0.766=1.021$

जिसे संतुष्ट करना असम्भव है। क्रांतिक कोण θ_crit का मान θ₁ है जिसके लिए θ_2, 90° के समान है:

$\theta _{\text{crit}}=\arcsin \left({\frac {n_{2}}{n_{1}}}\sin \theta _{2}\right)=\arcsin {\frac {n_{2}}{n_{1}}}=48.6^{\circ }$

परिक्षेपण

Main article: परिक्षेपण (प्रकाशिकी)

कई तरंग प्रसार माध्यमों में, तरंग वेग तरंगों की आवृत्ति या तरंग दैर्ध्य के साथ परिवर्तित होता है; यह निर्वात के अतिरिक्त अधिकांश पारदर्शी पदार्थों में प्रकाश प्रसार के लिए सही है। इन माध्यमों को परिक्षेपण कहा जाता है। परिणाम यह है कि स्नेल के नियम द्वारा निर्धारित कोण भी आवृत्ति या तरंग दैर्ध्य पर निर्भर करते हैं, ताकि मिश्रित तरंग दैर्ध्य की एक किरण, जैसे कि श्वेत प्रकाश, फैल या विसर्जित हो जाए। कांच या जल में प्रकाश का ऐसा परिक्षेपण इंद्रधनुष और अन्य प्रकाशीय आपतनओं की उत्पत्ति का आधार है, जिसमें विभिन्न तरंग दैर्ध्य अलग-अलग रंगों के रूप में दिखाई देते हैं।

प्रकाशीय उपकरणों में, परिक्षेपण रंगीन विपथन की ओर जाता है; एक रंग-निर्भर धुंधलापन जो कभी-कभी रिज़ॉल्यूशन-सीमित प्रभाव होता है। अवर्णक लेंस वस्तुनिष्ठ लेंस के आविष्कार से पहले, अपवर्तक सूक्ष्मदर्शी में यह विशेष रूप से सच था।

हानिपूर्ण, अवशोषित, या संचालन माध्यम

See also: अपारदर्शिता का गणितीय विवरण

एक संचालन माध्यम में, पारगम्यता और अपवर्तन का सूचकांक जटिल-मूल्यवान होता है। परिणामस्वरूप, अपवर्तन कोण और तरंग-सदिश भी हैं। इसका तात्पर्य यह है कि, निरंतर वास्तविक प्रावस्था की सतहें ऐसे समतल हैं जिनके मानक सामान्य अंतरापृष्ठ के साथ अपवर्तन के कोण के समान कोण बनाते हैं, इसके विपरीत निरंतर आयाम की सतहें अंतरापृष्ठ के समानांतर समतलीय हैं। चूँकि ये दोनों तल सामान्यतः एक दूसरे के अनुरूप नहीं हैं, इसलिए तरंग को असमांगी कहा जाता है। अपवर्तित तरंग चरघातांकी रूप से क्षीण होती है, जिसमें प्रतिपादक अपवर्तन सूचकांक के काल्पनिक घटक के समानुपाती होता है।

यह भी देखें

• अपवर्तक सूचकांकों की सूची
• अपवर्तक सूचकांक बनाम प्रकाश की तरंग दैर्ध्य – Empirical relationship between refractive index and wavelength
• क्षणभंगुर तरंग
• प्रतिबिंब (भौतिकी)
• स्नेल गवाक्ष
• विविधताओं की गणना
• क्षिप्रतम वक्र -जैकब बर्नौली द्वारा एक साधारण प्रमाण के लिए घर्षण के बिना सबसे तीव्र वक्र अवतरण है।
• हैमिल्टनी प्रकाशिकी
• वातावरण में रेडियोतरंग क्षीणन की गणना
• N-काट व्यतिकरणमितीय समीकरण

बाहरी संबंध

• Ibn Sahl and Snell's Law
• Discovery of the law of refraction
• Snell's Law of Refraction (Wave Fronts) by Todd Rowland, Wolfram Demonstrations Project
• Snell's law on a wall in downtown Leiden Archived 2018-04-27 at the Wayback Machine
• Shore line effect