विभाज्यता के नियम

विभाज्यता नियम यह निर्धारित करने का एक आशुलिपि और उपयोगी तरीका है कि क्या कोई पूर्णांक एक निश्चित भाजक द्वारा विभाजन को निष्पादित किए बिना विभाज्य है, आमतौर पर इसके अंकों की जांच करके। हालांकि किसी भी मूलांक, या आधार में संख्याओं के लिए विभाज्यता परीक्षण हैं, और वे सभी अलग-अलग हैं, यह लेख केवल दशमलव, या आधार 10, संख्याओं के लिए नियम और उदाहरण प्रस्तुत करता है। मार्टिन गार्डनर ने सितंबर 1962 में साइंटिफिक अमेरिकन में अपने "मैथमेटिकल गेम्स" कॉलम में इन नियमों को समझाया और लोकप्रिय बनाया।

संख्या 1-30 के लिए विभाजन नियम

नीचे दिए गए नियम स्वयं की इक्षा के भाजक द्वारा विभाज्यता को बनाए रखते हुए, दी गई संख्या को आम तौर पर छोटी संख्या में बदल देते हैं। इसलिए, जब तक कि अन्यथा उल्लेख न किया जाए, परिणामी संख्या का मूल्यांकन उसी भाजक द्वारा विभाज्यता के लिए किया जाना चाहिए। कुछ मामलों में विभाज्यता स्पष्ट होने तक प्रक्रिया को फिर से दोहराया जा सकता है; दूसरों के लिए (जैसे अंतिम n अंकों की जांच करना) परिणाम की जांच अन्य माध्यमों से की जानी चाहिए।

कई नियमों वाले भाजक के लिए, नियम आम तौर पर पहले कई अंकों वाली संख्याओं के लिए उपयुक्त होते हैं, फिर कम अंकों वाली संख्याओं के लिए उपयोगी होते हैं।

नोट: किसी भी संख्या से विभाज्यता का परीक्षण करने के लिए जिसे 2ⁿ या 5ⁿ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसमें n एक धनात्मक पूर्णांक है, बस अंतिम n अंक की जांच करें।

नोट: अभाज्य गुणनखंड $p_{1}^{n}p_{2}^{m}p_{3}^{q}$ के गुणनफल के रूप में व्यक्त किसी भी संख्या से विभाज्यता का परीक्षण करने के लिए, हम प्रत्येक अभाज्य द्वारा उसकी उपयुक्त घात से विभाज्यता के लिए अलग से परीक्षण कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, 24 से विभाज्यता का परीक्षण (24 = 8*3 = 23*3) एक साथ 8 (23) और 3 से विभाज्यता के परीक्षण के बराबर है, इस प्रकार हमें 24 से विभाज्यता साबित करने के लिए केवल 8 और 3 से विभाज्यता दिखाने की आवश्यकता है।

भाजक	विभाज्यता की स्थिति	उदाहरण
1	कोई विशेष स्थिति नहीं। कोई भी पूर्णांक 1 से विभाज्य होता है।	2 1 से विभाज्य है।
2	अंतिम अंक सम (0, 2, 4, 6, या 8) है।	1294: 4 सम है।
3	अंकों का योग करें। परिणाम 3 से विभाज्य होना चाहिए।	405 → 4 + 0 + 5 = 9 और 636 → 6 + 3 + 6 = 15 जो दोनों स्पष्ट रूप से 3 से विभाज्य हैं। 16,499,205,854,376 → 1+6+4+9+9+2+0+5+8+5+4+3+7+6 का योग 69 → 6 + 9 = 15 → 1 + 5 = 6, जो स्पष्ट रूप 3 से विभाज्य हैं।
	संख्या में अंक 1, 4 और 7 की राशि में से अंक 2, 5 और 8 की राशि घटाएं। परिणाम 3 से दिखना चाहिए।	ऊपर दिए गए उदाहरण का उपयोग करते हुए: 16,499,205,854,376 में चार अंक 1, 4 और 7 और चार अंक 2, 5 और 8 हैं; ∴ चूँकि 4 - 4 = 0, 3 का गुणज है, संख्या 16,499,205,854,376, 3 से विभाज्य है।
4	अंतिम दो अंक एक संख्या बनाते हैं जो 4 से विभाज्य होती है।	40,832: 32, 4 से विभाज्य है।
	यदि दहाई का अंक सम है, तो इकाई का अंक 0, 4 या 8 होना चाहिए। यदि दहाई का अंक विषम है, तो इकाई का अंक 2 या 6 होना चाहिए।	40,832: 3 विषम है, और अंतिम अंक 2 है।
	दहाई के अंक का दुगुना, इकाई का अंक 4 से विभाज्य है।	40832: 2 × 3 + 2 = 8, जो 4 से विभाज्य है।
5	अंतिम अंक 0 या 5 है।	495: अंतिम अंक 5 है।
6	Iयह 2 और 3 से विभाज्य है।	1458: 1 + 4 + 5 + 8 = 18, अतः यह 3 से विभाज्य है और अंतिम अंक सम है, अतः संख्या 6 से विभाज्य है।
7	दाएं से बाएं तीन के ब्लॉकों का एक वैकल्पिक योग बनाने से 7 का गुणज प्राप्त होता है।	1,369,851: 851 − 369 + 1 = 483 = 7 × 69
	शेष में अंतिम अंक का 5 गुना जोड़ने पर 7 का गुणज प्राप्त होता है (काम करता है क्योंकि 49 7 से विभाज्य है।)	483: 48 + (3 × 5) = 63 = 7 × 9.
	शेष से अंतिम अंक का 2 गुना घटाने पर 7 का गुणज प्राप्त होता है (यह कार्य करता है क्योंकि 21, 7 से विभाज्य है।)	483: 48 − (3 × 2) = 42 = 7 × 6.
	शेष से अंतिम अंक का 9 गुना घटाने पर 7 का गुणज मिलता है (यह काम करता है क्योंकि 91, 7 से विभाज्य है।)	483: 48 − (3 × 9) = 21 = 7 × 3.
	अगले अंक में पहले अंक का 3 गुना जोड़ने और फिर शेष लिखने पर 7 का गुणज मिलता है। (यह काम करता है क्योंकि 10a + b − 7a = 3a + b; अंतिम संख्या में वही शेषफल होता है जो 10a + b होता है।)	483: 4×3 + 8 = 20, 203: 2×3 + 0 = 6, 63: 6×3 + 3 = 21.
	अंतिम दो अंकों को शेष के दुगुने में जोड़ने पर 7 का गुणज प्राप्त होता है (यह कार्य करता है क्योंकि 98, 7 से विभाज्य है।)	483,595: 95 + (2 × 4835) = 9765: 65 + (2 × 97) = 259: 59 + (2 × 2) = 63.
	इस पैटर्न (बाएं से दाएं) में संबंधित स्थिति में प्रत्येक अंक (दाएं से बाएं) को गुणा करें: 1, 3, 2, -1, -3, -2 (सौ-हजारों स्थान से परे अंकों के लिए दोहराना) ) परिणामों को जोड़ने पर 7 का गुणज प्राप्त होता है।	483,595: (4 × (-2)) + (8 × (-3)) + (3 × (-1)) + (5 × 2) + (9 × 3) + (5 × 1) = 7.
	प्रत्येक अंक जोड़ी के शेष (दाएं से बाएं) की गणना 7 से विभाजित होने पर करें। सौ-हजारों स्थान से परे अंकों के जोड़े के पैटर्न को दोहराते हुए, सबसे दाएं शेष को 1 से, बाएं से अगले को 2 से और अगले को 4 से गुणा करें। परिणामों को जोड़ने पर 7 का गुणज प्राप्त होता है।	194,536: 19|45|36 ; (5x4) + (3x2) + (1x1) = 27, अतः यह 7 से विभाज्य नहीं है 204,540: 20|45|40 ; (6x4) + (3x2) + (5x1) = 35, अतः यह 7 से विभाज्य नहीं है
8	यदि सैकड़ा अंक सम है, तो अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य होनी चाहिए।	624: 24.
	यदि सैकड़ा अंक विषम है, तो अंतिम दो अंक जमा 4 से प्राप्त संख्या 8 से विभाज्य होनी चाहिए।	352: 52 + 4 = 56.
	अंतिम अंक को शेष के दुगुने में जोड़ें। परिणाम 8 से विभाज्य होना चाहिए।	56: (5 × 2) + 6 = 16.
	अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य हैं।	34,152: सिर्फ 152: 19 × 8 की विभाज्यता की जांच करें
	इकाई के अंक में दहाई के अंक के दोगुने में सैकड़ों अंकों का चार गुना जोड़ें। परिणाम 8 बजे तक दिखना चाहिए।	34,152: 4 × 1 + 5 × 2 + 2 = 16
9	अंकों का योग करें। परिणाम 9 से विभाज्य होना चाहिए।	2880: 2 + 8 + 8 + 0 = 18: 1 + 8 = 9.
10	इकाई का अंक 0 है।	130: इकाई का अंक 0 होता है।
11	अंकों का वैकल्पिक योग, या समान रूप से योग (विषम) - योग (सम) बनाएं। परिणाम 11 से विभाज्य होना चाहिए।	918,082: 9 − 1 + 8 − 0 + 8 − 2 = 22 = 2 × 11.
	दाएं से बाएं दो के ब्लॉक में अंकों को जोड़ें। परिणाम 11 से विभाज्य होना चाहिए।	627: 6 + 27 = 33 = 3 × 11.
	शेष से अंतिम अंक घटाएं। परिणाम 11 से विभाज्य होना चाहिए।	627: 62 − 7 = 55 = 5 × 11.
	अंतिम अंक को सैकड़ा के स्थान पर जोड़ें (शेष अंक में अंतिम अंक का 10 गुना जोड़ें)। परिणाम 11 से विभाज्य होना चाहिए।	627: 62 + 70 = 132: 13 + 20 = 33 = 3 × 11.
	यदि अंकों की संख्या सम है, तो पहले अंक को जोड़ें और शेष से अंतिम अंक घटाएं। परिणाम 11 से विभाज्य होना चाहिए।	918,082: अंकों की संख्या सम है (6) → 1808 + 9 - 2 = 1815: 81 + 1 - 5 = 77 = 7 × 11
	यदि अंकों की संख्या विषम है, तो पहले और अंतिम अंक को शेष से घटाएं। परिणाम 11 से विभाज्य होना चाहिए।	14,179: अंकों की संख्या विषम होती है (5) → 417 - 1 - 9 = 407 = 37 × 11
12	यह 3 और 4 से विभाज्य है।	324: यह 3 और 4 से विभाज्य है।
	अंतिम अंक को शेष के दुगुने से घटाएं। परिणाम 12 से विभाज्य होना चाहिए।	324: 32 × 2 − 4 = 60 = 5 × 12.
13	दाएं से बाएं तीन के ब्लॉकों का वैकल्पिक योग बनाएं। परिणाम 13 से विभाज्य होना चाहिए।	2,911,272: 272 - 911 + 2 = -637
	शेष में अंतिम अंक का 4 गुना जोड़ें। परिणाम 13 से विभाज्य होना चाहिए।	637: 63 + 7 × 4 = 91, 9 + 1 × 4 = 13.
	अंतिम दो अंकों को शेष चार गुणा से घटाएं। परिणाम 13 से विभाज्य होना चाहिए।	923: 9 × 4 - 23 = 13.
	शेष से अंतिम अंक का 9 गुना घटाएं। परिणाम 13 से विभाज्य होना चाहिए।	637: 63 - 7 × 9 = 0.
14	यह 2 और 7 से विभाज्य है।	224: यह 2 से और 7 से विभाज्य है।
	अंतिम दो अंकों को शेष के दुगुने में जोड़ें। परिणाम 14 से विभाज्य होना चाहिए।	364: 3 × 2 + 64 = 70. 1764: 17 × 2 + 64 = 98.
15	यह 3 और 5 से विभाज्य है।	390: यह 3 और 5 से विभाज्य है।
16	यदि हजारों का अंक सम है, तो अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 16 से विभाज्य होनी चाहिए।	254,176: 176.
	यदि हजारों का अंक विषम है, तो अंतिम तीन अंक जमा 8 से बनने वाली संख्या 16 से विभाज्य होनी चाहिए।	3408: 408 + 8 = 416.
	अंतिम दो अंकों को शेष के चार गुना में जोड़ें। परिणाम 16 से विभाज्य होना चाहिए।	176: 1 × 4 + 76 = 80. 1168: 11 × 4 + 68 = 112.
	अंतिम चार अंक 16 से विभाज्य होने चाहिए।	157,648: 7,648 = 478 × 16.
17	शेष से अंतिम अंक का 5 गुना घटाएं। (काम करता है क्योंकि 51, 17 से विभाज्य है।)	221: 22 − 1 × 5 = 17.
	अंतिम दो अंकों को शेष के दो गुना से घटाएं। (काम करता है क्योंकि 102, 17 से विभाज्य है।)	4,675: 46 × 2 - 75 = 17.
	अंतिम अंक का 2 गुना शेष के 3 गुना में जोड़ें। अनुगामी शून्य छोड़ें। (काम करता है क्योंकि (10a + b) × 2 - 17a = 3a + 2b; अंतिम संख्या में वही शेषफल है जो 10a + b है।)	4,675: 467 × 3 + 5 × 2 = 1411; 238: 23 × 3 + 8 × 2 = 85.
18	यह 2 और 9 से विभाज्य है।	342: यह 2 से और 9 से विभाज्य है।
19	शेष में अंतिम अंक का दुगना जोड़ें। (काम करता है क्योंकि (10a + b) × 2 - 19a = a + 2b; अंतिम संख्या में वही शेषफल है जो 10a + b है।)	437: 43 + 7 × 2 = 57.
	शेष में अंतिम दो अंकों का 4 गुना जोड़ें। (काम करता है क्योंकि 399 19 से विभाज्य है।)	6935: 69 + 35 × 4 = 209.
20	यह 10 से विभाज्य है, और दहाई का अंक सम है।	360: 10 से विभाज्य है, और 6 सम है।
	अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 20 से विभाज्य है।	480:80 20 से विभाज्य है।
	यह 4 और 5 से विभाज्य है।	480: यह 4 और 5 से विभाज्य है।
21	अंतिम अंक को शेष से दो बार घटाने पर 21 का गुणज प्राप्त होता है। (यह कार्य करता है क्योंकि (10a + b) × 2 − 21a = −a + 2b; अंतिम संख्या का शेषफल 10a + b के समान है।)	168: 16 − 8 × 2 = 0.
	यह 3 और 7 से विभाज्य है।	231: यह 3 से और 7 से विभाज्य है।
22	यह 2 और 11 से विभाज्य है।	352: यह 2 से और 11 से विभाज्य है।
23	अंतिम अंक का 7 गुना शेष में जोड़ें। (काम करता है क्योंकि 69 23 से विभाज्य है।)	3128: 312 + 8 × 7 = 368. 36 + 8 × 7 = 92.
	शेष में अंतिम दो अंकों का 3 गुना जोड़ें। (काम करता है क्योंकि 299 23 से विभाज्य है।)	1725: 17 + 25 × 3 = 92.
	अंतिम तीन अंकों को शेष से दो बार घटाएं। (काम करता है क्योंकि 2,001 23 से विभाज्य है।)	2,068,965: 2,068 - 965 × 2 = 138.
24	यह 3 और 8 से विभाज्य है।	552: यह 3 और 8 से विभाज्य है।
25	अंतिम दो अंक 00, 25, 50 या 75 हैं।	134,250: 50, 25 से विभाज्य है।
26	यह 2 से और 13 से विभाज्य है।	156: यह 2 से और 13 से विभाज्य है।
	अंतिम अंक का 5 गुना शेष संख्या के 2 गुना से घटाने पर 26 का गुणज प्राप्त होता है। (काम करता है क्योंकि 52 26 से विभाज्य है।)	1248 : (124 ×2) - (8×5) =208=26×8
27	दाएं से बाएं तीन के ब्लॉक में अंकों का योग करें। (काम करता है क्योंकि 999 27 से विभाज्य है।)	2,644,272: 2 + 644 + 272 = 918.
	शेष से अंतिम अंक का 8 गुना घटाएं। (काम करता है क्योंकि 81 27 से विभाज्य है।)	621: 62 − 1 × 8 = 54.
	अंतिम दो अंकों को शेष के 8 गुना से घटाएं। (काम करता है क्योंकि 108 27 से विभाज्य है।)	6507: 65 × 8 - 7 = 520 - 7 = 513 = 27 × 19.
28	यह 4 और 7 से विभाज्य है।	140: यह 4 से और 7 से विभाज्य है।
29	अंतिम अंक का तीन गुना शेष में जोड़ें। (काम करता है क्योंकि (10a + b) × 3 - 29a = a + 3b; अंतिम संख्या में वही शेषफल है जो 10a + b है।)	348: 34 + 8 × 3 = 58.
	अंतिम दो अंकों का 9 गुना शेष में जोड़ें। (काम करता है क्योंकि 899, 29 से विभाज्य है।)	5510: 55 + 10 × 9 = 145 = 5 × 29.
	अंतिम तीन अंकों को शेष से दो बार घटाएं। (काम करता है क्योंकि 2,001 29 से विभाज्य है।)	2,086,956: 2,086 - 956 × 2 = 174.
30	यह 3 और 10 से विभाज्य है।	270: यह 3 और 10 से विभाज्य है।

चरण-दर-चरण उदाहरण

2 द्वारा विभाजन

सबसे पहले, कोई भी संख्या लें (इस उदाहरण के लिए यह 376 होगा) और अन्य अंकों को छोड़ते हुए, संख्या में अंतिम अंक पर ध्यान दें। फिर बाकी संख्या को अनदेखा करते हुए उस अंक (6) को लें और यह निर्धारित करें कि क्या यह विभाज्य है 2. यदि यह 2 से विभाज्य है, तो मूल संख्या 2 से विभाज्य है।

उदाहरण

1. 376 (मूल संख्या)
2. 37 6 (अंतिम अंक लें)
3. 6 = 2 = 3 (यह देखने के लिए जांचें कि क्या अंतिम अंक 2 से विभाज्य है)
4. 376 = 2 = 188 (यदि अंतिम अंक 2 से विभाज्य है, तो पूरी संख्या 2 से विभाज्य है)

3 या 9 द्वारा विभाजन

सबसे पहले, कोई भी संख्या लें (इस उदाहरण के लिए यह 492 होगा) और प्रत्येक अंक को संख्या (4 + 9 + 2 = 15) में जोड़ें। फिर उस योग (15) को लें और यह निर्धारित करें कि क्या यह विभाज्य है। 3. मूल संख्या 3 (या 9) से विभाज्य है यदि और केवल अगर इसके अंकों का योग 3 (या 9) से विभाज्य है।

एक नंबर के अंकों को जोड़ने के लिए, और फिर परिणाम के साथ प्रक्रिया को दोहराना जब तक केवल एक अंक नहीं रहता है, तो मूल संख्या के शेष को देगा यदि इसे नौ से विभाजित किया गया था (जब तक कि एकल अंक नौ नहीं है, उस स्थिति में संख्या नौ से विभाज्य है और शेष शून्य है)।

यह किसी भी मानक स्थिति प्रणाली के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसमें प्रश्न में विभाजक तब रेडिक्स से कम हो जाता है; इस प्रकार, बेस-बारह में, अंक मूल संख्या के शेष भाग को जोड़ देंगे यदि ग्यारह से विभाजित हो, और संख्याएँ ग्यारह से विभाजित होती हैं, तो केवल तभी जब अंकों का योग ग्यारह से विभाज्य हो।

लगातार तीन संख्याओं का उत्पाद हमेशा 3 द्वारा विभाजित होता है। यह तब उपयोगी होता है जब कोई संख्या n × ( n - 1) × ( n + 1) का रूप लेती है।

उदाहरण।

1. 492 (मूल संख्या)
2. 4 + 9 + 2 = 15 (प्रत्येक व्यक्तिगत अंक को एक साथ जोड़ें)
3. 15 3 से विभाज्य है जिस बिंदु पर हम रुक सकते हैं। वैकल्पिक रूप से हम उसी विधि का उपयोग करना जारी रख सकते हैं यदि संख्या अभी भी बहुत बड़ी है:
4. 1 + 5 = 6 (प्रत्येक व्यक्तिगत अंक को एक साथ जोड़ें)
5. 6 = 3 = 2 (यह देखने के लिए जांचें कि क्या प्राप्त संख्या प्राप्त है 3 से विभाज्य है)
6. 492 = 3 = 164 (यदि नियम का उपयोग करके प्राप्त संख्या 3 से विभाज्य है, तो पूरी संख्या 3 से विभाज्य है)

उदाहरण।

1. 336 (मूल संख्या)
2. 6 × 7 × 8 = 336
3. 336 = 3 = 112

4 द्वारा विभाजन

4 से विभाजन के लिए मूल नियम यह है कि यदि एक संख्या में अंतिम दो अंकों द्वारा गठित संख्या 4 से विभाज्य है, तो मूल संख्या 4 से विभाज्य है;ऐसा इसलिए है क्योंकि 100 4 से विभाज्य है और इसलिए सैकड़ों, हजारों, आदि को जोड़ना बस एक और संख्या जोड़ रहा है जो 4 से विभाज्य है। यदि कोई भी संख्या दो अंकों की संख्या में समाप्त होती है जिसे आप जानते हैं कि 4 (जैसे 24, 04, 04, 04, 04, 04, 04, 08, आदि), फिर पूरी संख्या पिछले दो अंकों से पहले जो कुछ भी हो, उसकी परवाह किए बिना 4 से विभाज्य हो जाएगी।

वैकल्पिक रूप से, कोई केवल संख्या को 2 से विभाजित कर सकता है, और फिर यह खोजने के लिए परिणाम की जांच कर सकता है कि क्या यह विभाज्य है। यदि यह है, तो मूल संख्या 4 से विभाज्य है। इसके अलावा, इस परीक्षण का परिणाम समान है मूल संख्या 4 से विभाजित है।

उदाहरण।
सामान्य नियम

1. 2092 (मूल संख्या)
2. 20 92 (संख्या के अंतिम दो अंकों को लें, किसी भी अन्य अंकों को त्यागना)
3. 92 (4 = 23 (यह देखने के लिए जांचें कि क्या संख्या 4 से विभाज्य है)
4. 2092 .4 4 = 523 (यदि प्राप्त की गई संख्या 4 से विभाज्य है, तो मूल संख्या 4 से विभाज्य है)

वैकल्पिक उदाहरण

1. 1720 (मूल संख्या)
2. 1720 = 2 = 860 (मूल संख्या को 2 से विभाजित करें)
3. 860 = 2 = 430 (यह देखने के लिए जांचें कि क्या परिणाम 2 से विभाज्य है)
4. 1720 = 4 = 430 (यदि परिणाम 2 से विभाज्य है, तो मूल संख्या 4 से विभाज्य है)

5 द्वारा विभाजन

5 से विभाज्यता संख्या (475) में अंतिम अंक की जाँच करके आसानी से निर्धारित की जाती है, और यह देखते हुए कि क्या यह 0 या 5 है।अंतिम संख्या या तो 0 या 5 है, पूरी संख्या 5 से विभाज्य है।

यदि संख्या में अंतिम अंक 0 है, तो परिणाम शेष अंक 2 से गुणा किया जाएगा। उदाहरण के लिए, संख्या 40 एक शून्य में समाप्त हो जाती है, इसलिए शेष अंक (4) लें और दो (4 × 2 से गुणा करें (4 × 2 = 8)। परिणाम 5 (40/5 = 8) द्वारा विभाजित 40 के परिणाम के समान है।

यदि संख्या में अंतिम अंक 5 है, तो परिणाम शेष अंक दो, प्लस एक से गुणा किया जाएगा। उदाहरण के लिए, संख्या 125 एक 5 में समाप्त होती है, इसलिए शेष अंक (12) लें, उन्हें दो (12 × 2 = 24) से गुणा करें, फिर एक (24 + 1 = 25) जोड़ें। परिणाम 5 (125/5 = 25) द्वारा विभाजित 125 के परिणाम के समान है।

उदाहरण।

यदि अंतिम अंक 0 है

1. 110 (मूल संख्या)
2. 11 0 (संख्या का अंतिम अंक लें, और जांचें कि क्या यह 0 या 5 है)
3. 11 0 (यदि यह 0 है, तो शेष अंक लें, अंतिम को छोड़ दें)
4. 11 × 2 = 22 (परिणाम को 2 से गुणा करें)
5. 110 = 5 = 22 (परिणाम 5 द्वारा विभाजित मूल संख्या के समान है)

यदि अंतिम अंक 5 है

1. 85 (मूल संख्या)
2. 8 5 (संख्या का अंतिम अंक लें, और जांचें कि क्या यह 0 या 5 है)
3. 8 5 (यदि यह 5 है, तो शेष अंक लें, अंतिम को छोड़ दें)
4. 8 × 2 = 16 (परिणाम को 2 से गुणा करें)
5. 16 + 1 = 17 (परिणाम में 1 जोड़ें)
6. 85 (5 = 17 (परिणाम 5 द्वारा विभाजित मूल संख्या के समान है)

6 द्वारा विभाजन

6 द्वारा विभाजन को यह देखने के लिए मूल संख्या की जाँच करके निर्धारित किया जाता है कि क्या यह एक सम संख्या (2 द्वारा #Divisibility 2 | 2 द्वारा विभाज्य) और 3 द्वारा #Divisibility है। 3 द्वारा विभाज्य।यह उपयोग करने के लिए सबसे अच्छा परीक्षण है।

यदि संख्या छह से विभाज्य है, तो मूल संख्या (246) लें और इसे दो (246 = 2 = 123) से विभाजित करें। फिर, उस परिणाम को लें और इसे तीन (123) 3 = 41) से विभाजित करें। यह परिणाम छह (246) 6 = 41) से विभाजित मूल संख्या के समान है।

उदाहरण।

सामान्य नियम

1. 324 (मूल संख्या)
2. 324 = 3 = 108 (यह देखने के लिए जांचें कि क्या मूल संख्या 3 से विभाज्य है)
3. 324 = 2 = 162 या 108 2 2 = 54 (यह देखने के लिए जांचें कि क्या या तो मूल संख्या या पिछले समीकरण का परिणाम 2 से विभाज्य है)
4. 324 = 6 = 54 (यदि अंतिम चरण में किसी भी परीक्षण में से कोई भी सत्य है, तो मूल संख्या 6. से विभाज्य है। इसके अलावा, दूसरे परीक्षण का परिणाम उसी परिणाम को लौटाता है जैसे कि मूल संख्या 6 से विभाजित है)

, 6 से विभाजित होने पर एक संख्या का शेष ढूंढना:

(1, −2, −2, −2, −2, और −2 बाकी के लिए जाता है) कोई अवधि नहीं। - न्यूनतम परिमाण अनुक्रम

(1, 4, 4, 4, 4, और 4 बाकी के लिए चला जाता है) - सकारात्मक अनुक्रम

अनुक्रम में बाएं सबसे अंक द्वारा दाएं सबसे अंक को गुणा करें और दूसरे दाएं सबसे अधिक अंक को दूसरे बाएं सबसे अधिक अंक द्वारा क्रमबद्ध करें और इसी तरह।

अगला, सभी मूल्यों के योग की गणना करें और शेष को 6 से विभाजन पर ले जाएं।

उदाहरण: 1036125837 को 6 से विभाजित होने पर शेष क्या है?

सबसे सही अंक का गुणन = 1 × 7 = 7

दूसरे दाहिने अंक का गुणन = 3 × −2 = −6

तीसरा दाएं अंक = −16

चौथा दाएं अंक = −10

पांचवां दाएं अंक = −4

छठा दाहिने अंक = −2

सातवें सबसे सही अंक = −12

आठवें सबसे सही अंक = −6

नौवें सबसे सही अंक = 0

दसवें दाईं ओर अंक = −2

SUM = −51

≡51 (3 (मॉड 6)

शेष = 3

7 द्वारा विभाजन

7 द्वारा विभाजन को एक पुनरावर्ती विधि द्वारा परीक्षण किया जा सकता है। फॉर्म की एक संख्या 10x & nbsp; दूसरे शब्दों में, शेष अंकों द्वारा गठित संख्या से अंतिम अंक को दोगुना घटाएं। इसे तब तक करना जारी रखें जब तक कि कोई संख्या प्राप्त न हो जाए जिसके लिए यह ज्ञात है कि क्या यह विभाज्य है। 7. मूल संख्या 7 से विभाज्य है यदि और केवल यदि इस प्रक्रिया का उपयोग करके प्राप्त संख्या 7. से विभाज्य है। उदाहरण के लिए, उदाहरण के लिए, टी।वह संख्या 371: 37 & nbsp; - & nbsp; (2 × 1) = & nbsp; 37 & nbsp; & nbsp; 2 & nbsp; = & nbsp; 35;3 & nbsp;इस प्रकार, चूंकि −7 7 से विभाज्य है, 371 & nbsp; 7 द्वारा विभाज्य है।

इसी तरह फॉर्म की एक संख्या 10x & nbsp;+& nbsp; y 7 द्वारा विभाज्य है यदि और केवल अगर X & nbsp;+& nbsp; 5y 7 द्वारा विभाज्य है।इसलिए शेष अंक द्वारा गठित संख्या में अंतिम अंक से पांच गुना अधिक जोड़ें, और ऐसा तब तक करना जारी रखें जब तक कि एक संख्या प्राप्त न हो जाए जिसके लिए यह ज्ञात है कि क्या यह 7 से विभाज्य है।

एक अन्य विधि 3. से गुणा है। फॉर्म 10x & nbsp;+& nbsp; y की एक संख्या में एक ही शेष होता है जब 7 से 3x & nbsp;+& nbsp; y द्वारा विभाजित किया जाता है।किसी को मूल संख्या के बाईं ओर के अंक को 3 से गुणा करना चाहिए, अगला अंक जोड़ें, 7 से विभाजित होने पर शेष को ले जाएं, और शुरुआत से जारी रखें: 3 से गुणा करें, अगला अंक जोड़ें, आदि। उदाहरण के लिए, संख्या 371:3 × 3 + 7 = 16 शेष 2, और 2 × 3 + 1 = 7. इस विधि का उपयोग 7 द्वारा शेष विभाजन को खोजने के लिए किया जा सकता है।

7 द्वारा विभाजन के परीक्षण के लिए एक अधिक जटिल एल्गोरिथ्म इस तथ्य का उपयोग करता है कि 10⁰ ≡ 1, 10¹ ≡ 3, 10² ≡ 2, 10³ ≡ 6, 10⁴ ≡ 4, 10⁵ ≡ 5, 10⁶& nbsp; & & nbsp; 1, ... & nbsp; (mod & nbsp; 7)।रिवर्स ऑर्डर (173) में संख्या (371) के प्रत्येक अंक को लें, उन्हें अंक 1, 3, 2, 6, 4, 5 द्वारा क्रमिक रूप से गुणा करें, जब तक आवश्यक हो (1, 3, 2।;+& nbsp; 21 & nbsp;मूल संख्या 7 से विभाज्य है यदि और केवल यदि इस प्रक्रिया का उपयोग करके प्राप्त संख्या 7 से विभाज्य है (इसलिए 371 28 के बाद से 7 से विभाज्य है)।

इस विधि को गुणा करने की आवश्यकता को हटाकर सरल किया जा सकता है। यह सब इस सरलीकरण के साथ ले जाएगा, ऊपर (132645 ...) के अनुक्रम को याद करना, और जोड़ने और घटाने के लिए, लेकिन हमेशा एक अंकों की संख्या के साथ काम करना।

सरलीकरण इस प्रकार है:

• उदाहरण के लिए नंबर 371 लें
• क्रमशः 7, 8 या 9 की सभी घटनाओं को 0, 1 और 2 में बदलें। इस उदाहरण में, हम प्राप्त करते हैं: 301. यह दूसरा कदम छोड़ दिया जा सकता है, बाएं सबसे अंक को छोड़कर, लेकिन इसके बाद बाद में गणना की सुविधा मिल सकती है।
• अब पहले अंक (3) को अनुक्रम 13264513 में निम्नलिखित अंक में परिवर्तित करें ... हमारे उदाहरण में, 3 2 हो जाता है।
• संख्या के दूसरे अंक में पिछले चरण (2) में परिणाम जोड़ें, और दोनों अंकों के लिए परिणाम को प्रतिस्थापित करें, सभी शेष अंक अनमॉडिफाइड छोड़ दें: 2 & nbsp;+& nbsp; 0 & nbsp; = & nbsp; 2। तो 30'1 '2'1 बन जाता है।
• प्रक्रिया को दोहराएं जब तक कि आपके पास 7 का एक पहचानने योग्य मल्टीपल न हो, या यह सुनिश्चित करने के लिए, 0 और 6 के बीच की एक संख्या, इसलिए, 21 से शुरू (जो कि 7 में से एक पहचानने योग्य मल्टीपल है), पहला अंक (2) लें और इसे परिवर्तित करें ऊपर दिए गए अनुक्रम में निम्नलिखित में: 2 बन जाता है 6. फिर इसे दूसरे अंक में जोड़ें: 6 & nbsp;+& nbsp; 1 & nbsp; = & nbsp; 7।
• यदि किसी भी बिंदु पर पहला अंक 8 या 9 है, तो ये क्रमशः 1 या 2 हो जाते हैं। लेकिन अगर यह एक 7 है तो यह 0 हो जाना चाहिए, केवल अगर कोई अन्य अंकों का पालन नहीं करता है। अन्यथा, इसे बस गिरा दिया जाना चाहिए। ऐसा इसलिए है क्योंकि 7 0 हो जाता है, और दशमलव डॉट से पहले कम से कम दो अंकों के साथ संख्या 0 से शुरू नहीं होती है, जो बेकार है। इसके अनुसार, हमारा 7 & nbsp; 0 हो जाता है।

यदि इस प्रक्रिया के माध्यम से आप 7 या किसी भी पहचानने योग्य कई 7 प्राप्त करते हैं, तो मूल संख्या 7 में से एक है। यदि आप 1 से 6 तक कोई भी संख्या प्राप्त करते हैं, तो यह इंगित करेगा कि आपको मूल संख्या से कितना घटाना चाहिए। कई & nbsp; 7। दूसरे शब्दों में, आप संख्या को विभाजित करने के शेष को 7. से मिलेंगे। उदाहरण के लिए, संख्या & nbsp; 186:

• सबसे पहले, 8 को 1: 116 में बदलें।
• अब, अनुक्रम (3) में निम्नलिखित अंक में 1 को बदलें, इसे दूसरे अंक में जोड़ें, और दोनों के बजाय परिणाम लिखें: 3 & nbsp;+& nbsp; 1 & nbsp; = & nbsp; 4 । तो 11'6 अब हो जाता है 4'6।
• प्रक्रिया को दोहराएं, क्योंकि संख्या 7 से अधिक है। अब, 4 5 हो जाता है, जिसे 6. में जोड़ा जाना चाहिए। यह & nbsp; 11 है।
• प्रक्रिया को एक और समय दोहराएं: 1 3 बन जाता है, जिसे दूसरे अंक (1): 3 & nbsp;+& nbsp; 1 & nbsp; = & nbsp; 4 में जोड़ा जाता है।

अब हमारे पास 7 से कम संख्या है, और यह संख्या (4) 186/7 को विभाजित करने का शेष है। तो 186 & nbsp; माइनस & nbsp; 4, जो कि 182 है, & nbsp; 7 का एक से अधिक होना चाहिए।

नोट: यह काम करने का कारण यह है कि यदि हमारे पास है: A+B = C और B किसी भी दिए गए नंबर n का एक बहु है, तो A और C आवश्यक रूप से N द्वारा विभाजित होने पर एक ही शेष का उत्पादन करेंगे। दूसरे शब्दों में, 2 & nbsp;+& nbsp; 7 & nbsp; = & nbsp; 9, 7 में विभाज्य है & nbsp; 7 तो 2 और 9 में एक ही अनुस्मारक होना चाहिए जब 7. शेष से विभाजित किया जाता है। शेष & nbsp; 2 है।

इसलिए, यदि कोई नंबर n 7 (यानी: 'n' '/7 is & nbsp; 0) का एक से अधिक है, तो 7 के गुणकों को जोड़ने (या घटाना) उस संपत्ति को नहीं बदल सकता है।

यह प्रक्रिया क्या करती है, जैसा कि अधिकांश विभाज्यता नियमों के लिए ऊपर बताया गया है, मूल संख्या से 7 के छोटे गुणकों को कम से थोड़ा घटाता है, जब तक कि हमारे लिए यह याद रखने के लिए कि क्या यह 7 में से एक है। 3 निम्नलिखित दशमलव स्थिति में, यह सिर्फ 10 × 10 को परिवर्तित करने के समान हैⁿ into a 3×10ⁿ. And that is actually the same as subtracting 7×10ⁿ (clearly a multiple of 7) from 10×10ⁿ इसी तरह, जब आप निम्नलिखित दशमलव स्थिति में 3 को 2 में बदल देते हैं, तो आप 30 × 10 मोड़ रहे हैंⁿ into 2×10ⁿ, which is the same as subtracting 30×10ⁿ−28×10ⁿ और यह फिर से 7. में से एक को घटा रहा है। शेष सभी रूपांतरणों के लिए एक ही कारण लागू होता है:

• 20 × 10ⁿ − 6×10ⁿ=14×10ⁿ
• 60 × 10ⁿ − 4×10ⁿ=56×10ⁿ
• 40 × 10ⁿ − 5×10ⁿ=35×10ⁿ
• 50 × 10ⁿ − 1×10ⁿ=49×10ⁿ

पहली विधि उदाहरण
1050 → 105 - 0 = 105 → 10 - 10 = 0. उत्तर: 1050 7 से विभाज्य है।

दूसरी विधि उदाहरण
1050 → 0501 (रिवर्स) → 0 × 1 + 5 × 3 + 0 × 2 + 1 × 6 = 0 + 15 + 0 + 6 = 21 (गुणा करें और जोड़ें)।उत्तर: 1050 7 से विभाज्य है।

दोलन द्वारा विभाजन की वैदिक विधि
सात द्वारा विभाजन को एकधिका द्वारा गुणन द्वारा परीक्षण किया जा सकता है।सात से गुणा करके विभाजक सात को नाइंस परिवार में परिवर्तित करें।7 × 7 = 49।एक जोड़ें, इकाइयों के अंक को छोड़ दें और, 5, एक्हादिका को गुणक के रूप में लें।दाईं ओर शुरू करें।5 से गुणा करें, उत्पाद को अगले अंक में बाईं ओर जोड़ें।उस अंक को उस अंक के नीचे एक लाइन पर सेट करें।FI द्वारा इकाइयों के अंक को गुणा करने की उस विधि को दोहराएंve और उस उत्पाद को दसियों की संख्या में जोड़ना।बाईं ओर अगले अंक में परिणाम जोड़ें।अंक के नीचे उस परिणाम को लिखें।अंत तक जारी रखें।यदि परिणाम शून्य या सात में से एक है, तो हाँ, संख्या सात से विभाज्य है।अन्यथा, यह नहीं है।यह वैदिक आदर्श, एक-लाइन संकेतन का अनुसरण करता है। वैदिक विधि उदाहरण:

क्या 438,722,025 सात से विभाज्य है? गुणक = 5।
 4 3 8 7 2 2 2 0 2 5
42 37 46 37 6 40 37 27
हां

Pohlman -Mass विधि 7
द्वारा विभाजन की विधि Pohlman -Mass विधि एक त्वरित समाधान प्रदान करती है जो यह निर्धारित कर सकती है कि क्या अधिकांश पूर्णांक तीन चरणों या उससे कम में सात से विभाज्य हैं। यह विधि गणित की प्रतियोगिता जैसे कि गणित की प्रतियोगिता में उपयोगी हो सकती है, जहां स्प्रिंट राउंड में कैलकुलेटर के बिना समाधान निर्धारित करने का समय एक कारक है।

STEP A: यदि पूर्णांक 1,000 या उससे कम है, तो शेष अंकों द्वारा गठित संख्या से अंतिम अंक को दोगुना घटाएं। यदि परिणाम सात में से कई है, तो मूल संख्या (और इसके विपरीत) है। उदाहरण के लिए:

112 -> 11 -(2 × 2) = 11 -4 = 7 हां
98 -> 9 -(8 × 2) = 9 -16 = --7 हां
634 -> 63 -(4 × 2) = 63 -8 = 55 नहीं

क्योंकि 1,001 सात से विभाज्य है, एक दिलचस्प पैटर्न 1, 2, या 3 अंकों के सेट को दोहराने के लिए विकसित होता है जो 6-अंकीय संख्याओं (अग्रणी शून्य की अनुमति है) की अनुमति है, जिसमें ऐसे सभी संख्या सात से विभाज्य हैं। उदाहरण के लिए:

001 001 = 1,001 / 7 = 143
010 010 = 10,010 / 7 = 1,430
011 011 = 11,011 / 7 = 1,573
100 100 = 100,100 / 7 = 14,300
101 101 = 101,101 / 7 = 14,443
110 110 = 110,110 / 7 = 15,730

01 01 01 = 10,101 / 7 = 1,443
10 10 10 = 101,010 / 7 = 14,430

111,111 / 7 = 15,873
222,222 / 7 = 31,746
999,999 / 7 = 142,857

576,576 / 7 = 82,368

उपरोक्त सभी उदाहरणों के लिए, पिछले तीन परिणामों में से पहले तीन अंकों को सात में से एक से अधिक में घटाकर। ध्यान दें कि अग्रणी शून्य को 6-अंकीय पैटर्न बनाने की अनुमति है।

यह घटना बी और सी के चरणों के लिए आधार बनाती है।

चरण बी: यदि पूर्णांक 1,001 और एक मिलियन के बीच है, तो 1, 2, या 3 अंकों का एक दोहराव पैटर्न खोजें जो 6-अंकीय संख्या बनाता है जो कि पूर्णांक के करीब है (अग्रणी शून्य की अनुमति है और आपको पैटर्न की कल्पना करने में मदद कर सकता है)। यदि सकारात्मक अंतर 1,000 से कम है, तो चरण ए लागू करें। यह पिछले तीन अंकों से पहले तीन अंकों को घटाकर किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:

341,355 -341,341 = 14 -> 1 -(4 × 2) = 1 -8 = --7 हां
 67,326 -067,067 = 259 -> 25 -(9 × 2) = 25 -18 = 7 हां

तथ्य यह है कि 999,999 7 में से एक है, का उपयोग पूर्णांक की विभाजन को एक मिलियन से अधिक पूर्णांक की विभाजन का निर्धारण करने के लिए किया जा सकता है, जो कि पूर्णांक को 6-अंकीय संख्या में कम करके निर्धारित किया जा सकता है। चरण बी का उपयोग करके यह आसानी से किया जा सकता है। पहले छह से अंतिम छह और चरण ए के साथ पालन करें

चरण c: यदि पूर्णांक एक मिलियन से बड़ा है, तो 999,999 के निकटतम कई को घटाएं और फिर चरण बी लागू करें। बड़ी संख्या में भी, बड़े सेटों जैसे कि 12-अंकीय (999,999,999,999) और इसी तरह का उपयोग करें। फिर, पूर्णांक को एक छोटी संख्या में तोड़ दें जिसे उदाहरण के लिए चरण बी का उपयोग करके हल किया जा सकता है:

22,862,420 -(999,999 × 22) = 22,862,420 -21,999,978 -> 862,420 + 22 = 862,442
   862,442 -> 862 -442 (चरण बी) = 420 -> 42 -(0 × 2) (चरण ए) = 42 हां

यह सात द्वारा विभाजन को निर्धारित करने के लिए तीन अंकों के वैकल्पिक सेट को जोड़ने और घटाने की अनुमति देता है। इन पैटर्न को समझना आपको निम्नलिखित उदाहरणों में देखे गए सात की विभाजन की जल्दी से गणना करने की अनुमति देता है:

Pohlman -Mass विधि 7 द्वारा विभाज्यता की विधि, उदाहरण:

क्या 98 सात से विभाज्य है?
98 -> 9 -(8 × 2) = 9 -16 = (7 हां (चरण ए)

क्या 634 सात से विभाज्य है?
634 -> 63 -(4 × 2) = 63 -8 = 55 नहीं (चरण ए)

355,341 हैसात से विभाज्य?
355,341 -341,341 = 14,000 (चरण बी) -> 014 -000 (चरण बी) -> 14 = 1 -(4 × 2) (चरण ए) = 1 -8 = --7 हां

क्या 42,341,530 सात से विभाज्य है?
42,341,530 -> 341,530 + 42 = 341,572 (चरण सी)
341,572 - 341,341 = 231 (चरण बी)
231 -> 23 -(1 × 2) = 23 -2 = 21 हां (चरण ए)

त्वरित वैकल्पिक परिवर्धन और घटाव का उपयोग करना:
 42,341,530 -> 530 -341 + 42 = 189 + 42 = 231 -> 23 -(1 × 2) = 21 हां

7 द्वारा विभाजन की 3 विधि द्वारा गुणा, उदाहरण:

क्या 98 सात से विभाज्य है?
98 -> 9 शेष 2 -> 2 × 3 + 8 = 14 हाँ

क्या 634 सात से विभाज्य है?
634 -> 6 × 3 + 3 = 21 -> शेष 0 -> 0 × 3 + 4 = 4 नहीं

क्या 355,341 सात से विभाज्य है?
3 * 3 + 5 = 14 -> शेष 0 -> 0 × 3 + 5 = 5 -> 5 × 3 + 3 = 18 -> शेष 4 -> 4 × 3 + 4 = 16 -> शेष 2 -> 2 × 3 + 1 = 7 हाँ

7 से विभाजित 1036125837 के शेष का पता लगाएं
1 × 3 + 0 = 3
3 × 3 + 3 = 12 शेष 5
5 × 3 + 6 = 21 शेष 0
0 × 3 + 1 = 1
1 × 3 + 2 = 5
5 × 3 + 5 = 20 शेष 6
6 × 3 + 8 = 26 शेष 5
5 × 3 + 3 = 18 शेष 4
4 × 3 + 7 = 19 शेष 5
उत्तर 5 है

7 से विभाजित होने पर एक संख्या का शेष ढूंढना

7 - (1, 3, 2, −1, −3, −2, चक्र अगले छह अंकों के लिए दोहराता है) अवधि: 6 अंक। आवर्ती संख्या: 1, 3, 2, −1, −3, −2
न्यूनतम परिमाण अनुक्रम
(1, 3, 2, 6, 4, 5, अगले छह अंकों के लिए चक्र दोहराता है) अवधि: 6 अंक। आवर्ती संख्या: 1, 3, 2, 6, 4, 5
सकारात्मक अनुक्रम

अनुक्रम में बाएं सबसे अंक द्वारा दाएं सबसे अंक को गुणा करें और दूसरे दाएं सबसे अधिक अंक को दूसरे बाएं सबसे अधिक अंक द्वारा क्रमबद्ध करें और इसी तरह से और इसी तरह। अगला, सभी मूल्यों के योग की गणना करें और 7 का मापांक लें।
उदाहरण: 1036125837 को 7 से विभाजित होने पर शेष क्या होता है?

सबसे सही अंक का गुणन = 1 × 7 = 7

दूसरे दाहिने अंक का गुणन = 3 × 3 = 9

तीसरा दाएं अंक = 8 × 2 = 16

चौथा दाहिने अंक = 5 × −1 = = 5

छठा दाहिने अंक = 1 × −2 = = 2

सातवें सबसे सही अंक = 6 × 1 = 6

आठवें सबसे सही अंक = 3 × 3 = 9

नौवें सबसे सही अंक = 0

दसवां दाईं ओर अंक = 1 × −1 = = 1

योग = 33

33 मापांक 7 = 5

शेष = 5

डिजिट जोड़ी 7 द्वारा विभाजन की विधि

यह विधि अंक जोड़े पर 1, −3, 2 पैटर्न का उपयोग करती है। अर्थात्, सात द्वारा किसी भी संख्या की विभाजन को पहले अंक जोड़े में संख्या को अलग करके परीक्षण किया जा सकता है, और फिर तीन अंक जोड़े (छह अंकों) पर एल्गोरिथ्म को लागू किया जा सकता है। जब संख्या छह अंकों से छोटी होती है, तो शून्य को दाईं ओर भरें जब तक कि छह अंक न हों। जब संख्या छह अंकों से बड़ी होती है, तो अगले छह अंक समूह पर चक्र को दोहराएं और फिर परिणाम जोड़ें। एल्गोरिथ्म को तब तक दोहराएं जब तक कि परिणाम एक छोटी संख्या न हो। मूल संख्या सात से विभाज्य है यदि और केवल अगर इस एल्गोरिथ्म का उपयोग करके प्राप्त संख्या सात से विभाज्य है। यह विधि विशेष रूप से बड़ी संख्या के लिए उपयुक्त है।

उदाहरण 1:
परीक्षण की जाने वाली संख्या 157514 है। पहले हम संख्या को तीन अंक जोड़े में अलग करते हैं: 15, 75 और 14.
फिर हम एल्गोरिथ्म लागू करते हैं: 1 × 15 - 3 × 75 + 2 × 14 = 182
क्योंकि परिणामी 182 छह अंकों से कम है, हम शून्य को दाईं ओर जोड़ते हैं जब तक कि यह छह अंक न हो।
फिर हम अपने एल्गोरिथ्म को फिर से लागू करते हैं: 1 × 18 - 3 × 20 + 2 × 0 = −42
परिणाम the42 सात से विभाज्य है, इस प्रकार मूल संख्या 157514 सात से विभाज्य है।

उदाहरण 2:
परीक्षण की जाने वाली संख्या 15751537186 ​​है।
(1 × 15 - 3 × 75 + 2 × 15) + (1 × 37 - 3 × 18 + 2 × 60) = −180 + 103 = −77
परिणाम, 77 सात से विभाज्य है, इस प्रकार मूल संख्या 15751537186 ​​सात से विभाज्य है।

7 द्वारा विभाजन की एक और अंक जोड़ी विधि

तरीका

यह REM को खोजने के लिए एक गैर-पुनरावर्ती विधि है7 द्वारा विभाजित करने पर एक संख्या द्वारा छोड़ा गया:

1. नंबर को अलग -अलग करें जो कि जगह से शुरू होने वाले अंक जोड़े में है।यदि आवश्यक हो तो अंतिम जोड़ी को पूरा करने के लिए 0 के साथ संख्या को प्रस्तुत करें।
2. 7 द्वारा विभाजित होने पर प्रत्येक अंकों की जोड़ी द्वारा छोड़े गए अवशेषों की गणना करें।
3. अनुक्रम 1, 2, 4, 1, 2, 4, ... से उपयुक्त गुणक के साथ अवशेषों को गुणा करें।2, दस हजारों और सौ हजारों से 4, मिलियन और दस मिलियन फिर से 1 और इतने पर।
4. 7 से विभाजित करने पर प्रत्येक उत्पाद द्वारा छोड़े गए अवशेषों की गणना करें।
5. इन अवशेषों को जोड़ें।
6. 7 से विभाजित होने पर राशि का शेष राशि 7 द्वारा विभाजित होने पर दी गई संख्या का शेष है।

उदाहरण के लिए:

194,536 की संख्या 7 से 7 से विभाजित होने पर शेष 6 को छोड़ देती है।

संख्या 510,517,813 7 से विभाजित होने पर 1 के शेष भाग को छोड़ देती है।

विधि की शुद्धता का प्रमाण

विधि इस अवलोकन पर आधारित है कि 100 7 से विभाजित होने पर 2 के शेष 2 को छोड़ देता है और चूंकि हम संख्या को अंक जोड़े में तोड़ रहे हैं, हमारे पास अनिवार्य रूप से 100 की शक्तियां हैं।

1 मॉड 7 = 1

100 मॉड 7 = 2

10,000 मॉड 7 = 2^2 = 4

1,000,000 मॉड 7 = 2^3 = 8;8 मॉड 7 = 1

10,0000,000 मॉड 7 = 2^4 = 16;16 मॉड 7 = 2

1,000,0000,000 मॉड 7 = 2^5 = 32;32 मॉड 7 = 4

और इसी तरह।

विधि की शुद्धता तब समरूपता की निम्न श्रृंखला द्वारा स्थापित की जाती है:

दिए गए नंबर को दिया गया है ${\overline {a_{2n}a_{2n-1}...a_{2}a_{1}}}$।

${\overline {a_{2n}a_{2n-1}...a_{2}a_{1}}}\mod 7$ =$[\sum _{k=1}^{n}(a_{2k}a_{2k-1})\times 10^{2k-2}]{\bmod {7}}$ = $\sum _{k=1}^{n}(a_{2k}a_{2k-1}\times 10^{2k-2}){\bmod {7}}$ = $\sum _{k=1}^{n}(a_{2k}a_{2k-1}{\bmod {7}})\times (10^{2k-2}{\bmod {7}})$

13 द्वारा विभाजन

शेष परीक्षा 13 (1, −3, −4, −1, 3, 4, चक्र चला जाता है।) यदि आप नकारात्मक संख्याओं के साथ सहज नहीं हैं, तो इस अनुक्रम का उपयोग करें।(१, १०, ९, १२, ३, ४)

ऊपर दिखाए गए अनुक्रम में बाएं सबसे अधिक संख्या के साथ संख्या के दाहिने सबसे अंक को गुणा करें और दूसरे दाहिने सबसे अधिक अंक अनुक्रम में संख्या के दूसरे बाएं सबसे अंक के लिए सबसे अधिक अंक।चक्र आगे बढ़ता है।

उदाहरण: 321 को 13 से विभाजित होने पर शेष क्या होता है?
पहले अनुक्रम का उपयोग करते हुए,
ANS: 1 × 1 + 2 × × 3 + 3 × −4 = −17
शेष = −17 मॉड 13 = 9

उदाहरण: 1234567 को 13 से विभाजित होने पर शेष क्या है?
दूसरे अनुक्रम का उपयोग करते हुए,
उत्तर: 7 × 1 + 6 × 10 + 5 × 9 + 4 × 12 + 3 × 3 + 2 × 4 + 1 × 1 = 178 मॉड 13 = 9
शेष = 9

30 से परे

विभाजक के प्रकार के आधार पर, संख्याओं के विभाज्यता गुणों को दो तरीकों से निर्धारित किया जा सकता है।

समग्र विभाजक

एक संख्या किसी दिए गए भाजक द्वारा विभाज्य है यदि यह उसके प्रत्येक प्रमुख कारकों की उच्चतम शक्ति से विभाज्य है।उदाहरण के लिए, 36 द्वारा विभाजन को निर्धारित करने के लिए, 4 और 9 से विभाजन की जांच करें। ध्यान दें कि 3 और 12, या 2 और 18 की जाँच करना पर्याप्त नहीं होगा। प्रमुख कारकों की एक तालिका उपयोगी हो सकती है।

एक समग्र भाजक का एक नियम भी हो सकता है, जो एक प्राइम डिविज़र के लिए उसी प्रक्रिया का उपयोग करके बनाया जा सकता है, नीचे दिए गए, इस चेतावनी के साथ कि इसमें शामिल जोड़तोड़ किसी भी कारक को पेश नहीं कर सकते हैं जो विभाजक में मौजूद है। उदाहरण के लिए, कोई 14 के लिए एक नियम नहीं बना सकता है जिसमें समीकरण को गुणा करना शामिल है।

प्राइम डिविसर्स

लक्ष्य 10 मोडुलो को विचाराधीन प्राइम के लिए एक व्युत्क्रम खोजने के लिए है (2 या 5 के लिए काम नहीं करता है) और इसका उपयोग करें कि मूल संख्या की विभाजन करने के लिए एक गुणक के रूप में उस प्राइम द्वारा नए की विभाजन पर निर्भर करता है (आमतौर पर छोटा (आमतौर पर छोटा) ) एक ही प्राइम द्वारा संख्या। एक उदाहरण के रूप में 31 का उपयोग करते हुए, 10 × (−3) = −30 = 1 मॉड 31 के बाद से, हमें y & nbsp; - & nbsp; 3x का उपयोग करने के लिए नियम मिलता है। इसी तरह, 10 × (28) = 280 = 1 मॉड 31 के बाद से, हम एक पूरक नियम y & nbsp;+& nbsp; 28x को एक ही तरह से प्राप्त करते हैं - छोटे मूल्य की अंकगणितीय सुविधा द्वारा तय किए जा रहे जोड़ या घटाव की हमारी पसंद। वास्तव में, 2 और 5 के अलावा प्राइम डिवीर्सर्स के लिए यह नियम वास्तव में किसी भी पूर्णांक द्वारा 10 (33 और 39 सहित, नीचे दी गई तालिका देखें) द्वारा विभाजन के लिए एक नियम है। यही कारण है कि किसी भी संख्या के लिए ऊपर और नीचे की तालिकाओं में अंतिम विभाजन की स्थिति अपेक्षाकृत 10 से 10 के लिए एक ही तरह का रूप है (बाकी संख्या से अंतिम अंक में से कुछ को जोड़ें या घटाना)।

उल्लेखनीय उदाहरण

निम्न तालिका कुछ और उल्लेखनीय विभाजकों के लिए नियम प्रदान करती है:

Divisor	Divisibility condition	Examples
31	Subtract three times the last digit from the rest.	837: 83 − 3×7 = 62
32	The number formed by the last five digits is divisible by 32.	25,135,520: 35,520=1110×32
	If the ten thousands digit is even, examine the number formed by the last four digits.	41,312: 1312.
	If the ten thousands digit is odd, examine the number formed by the last four digits plus 16.	254,176: 4176+16 = 4192.
	Add the last two digits to 4 times the rest.	1312: (13×4) + 12 = 64.
33	Add 10 times the last digit to the rest.	627: 62 + 10×7 = 132, 13 + 10×2 = 33.
	Add the digits in blocks of two from right to left.	2145: 21 + 45 = 66.
	It is divisible by 3 and by 11.	627: 6-2+7 = 11 and 6 + 2 + 7 = 15 = 3 × 5
35	It is divisible by 7 and by 5.	595: 59 - (2×5) = 49 = 7×7. And the number ends in 5.
37	Take the digits in blocks of three from right to left and add each block.	2,651,272: 2 + 651 + 272 = 925. 925 = 37×25.
	Subtract 11 times the last digit from the rest.	925: 92 − (5×11) = 37.
39	It is divisible by 3 and by 13.	351: 35 - 1 = 34 and 3 + 5 + 4 = 12 = 3 × 4
	Add 4 times the last digit to the rest.	351: 35 + (1 × 4) = 39
41	Sum the digits in blocks of five from right to left.	72,841,536,727: 7 + 28,415 + 36,727 = 65,149 = 41×1,589.
	Subtract 4 times the last digit from the rest.	738: 73 − 8 × 4 = 41.
43	Add 13 times the last digit to the rest.	36,249: 3624 + 9 × 13 = 3741, 374 + 1 × 13 = 387, 38 + 7 × 13 = 129, 12 + 9 × 13 = 129 = 43 × 3.
	Subtract 3 times the last two digits from the rest.	36,249: 362 - 49 × 3 = 215 = 43 × 5.
45	It is divisible by 9 and by 5.	2025: Ends in 5 and 2+0+2+5=9.
47	Subtract 14 times the last digit from the rest.	1,642,979: 164297 − 9 × 14 = 164171, 16417 − 14 = 16403, 1640 − 3 × 14 = 1598, 159 − 8 × 14 = 47.
	Add the last two digits to 6 times the rest.	705: 7 × 6 + 5 = 47.
49	Add 5 times the last digit to the rest.	1,127: 112+(7×5)=147. 147: 14 + (7×5) = 49
	Add the last two digits to 2 times the rest.	588: 5 × 2 + 88 = 98.
50	The last two digits are 00 or 50.	134,250: 50.
51	Number must be divisible by 3 and 17.	459: 4 × 2 - 59 = -51, and 4 + 5 + 9 = 18 = 3 × 6
	Subtract 5 times the last digit from the rest.	204: 20-(4×5)=0
	Subtract the last two digits from 2 times the rest.	459: 4 × 2 - 59 = -51.
53	Add 16 times the last digit to the rest.	3657: 365+(7×16)=477 = 9 × 53
	Subtract the last two digits from 6 times the rest.	5777: 57 × 6 - 77 = 265.
55	Number must be divisible by 11 ending in 0 or 5.	605: Ends in 5 and 60-5= 55 = 11×5.
57	Number must be divisible by 3 and 19.	3591: 359 + 1 × 2 = 361 = 19 × 19, and 3 + 5 + 9 + 1 = 15 = 3 × 5
	Subtract 17 times the last digit from the rest.	3591: 359 − 17 = 342, 34 − 2 × 17 = 0.
59	Add 6 times the last digit to the rest.	295: 29 + 5×6= 59
61	Subtract 6 times the last digit from the rest.	732: 73-(2×6)=61
64	The number formed by the last six digits must be divisible by 64.	2,640,000: 640,000 is divisible by 64.
65	Number must be divisible by 13 ending in 0 or 5.	3,185: 318 + (5×4) = 338 = 13×26. And the number ends in 5.
67	Subtract twice the last two digits from the rest.	9112: 91 - 12×2= 67
	Subtract 20 times the last digit from the rest.	4489: 448-9×20=448-180=268.
69	Number must be divisible by 3 and 23.	345: 3 + 4 + 5 = 12 = 3 × 4, and 34 + 5 × 9 = 69 = 3 × 23
	Add 7 times the last digit to the rest.	345: 34 + 5×7 = 69
71	Subtract 7 times the last digit from the rest.	852: 85-(2×7)=71
73	Form the alternating sum of blocks of four from right to left.	220,241: 241 - 22 = 219.
	Add 22 times the last digit from the rest.	5329: 532 + 22 × 9 = 730, 7 + 22 × 3 = 73.
75	Last two digits are 00, 25, 50 or 75, and the sum of all the digits must be divisible by 3.	3675: 75 is at the end and 3 + 6 + 7 + 5 = 21 = 3×7.
77	Number is divisible by 7 and 11.	693: 69 - 3 = 66 = 11 × 6, and 69 - (6 × 2) = 63 = 7 × 9
	Form the alternating sum of blocks of three from right to left.	76,923: 923 - 76 = 847.
79	Add 8 times the last digit to the rest.	711: 71 + 1×8= 79
81	Subtract 8 times the last digit from the rest.	162: 16-(2×8)=0
83	Add 25 times the last digit to the rest.	581: 58+(1×25)=83
	Add the last three digits to four times the rest.	38,014: (4×38) + 14 = 166
85	Number must be divisible by 17 ending in 0 or 5.	30,855: 3085 - 25 = 3060 = 17×180. And the number ends in 5.
87	Number must be divisible by 29 with the sum of all its digits being divisible by 3.	2088: 208 + (8 × 3) = 232. 232 = 8 × 29 2 + 0 + 8 + 8 = 18 = 3 × 6
	Subtract 26 times the last digit from the rest.	15138: 1513 − 8 × 26 = 1305, 130 − 5 × 26 = 0.
89	Add 9 times the last digit to the rest.	801: 80 + 1×9 = 89
	Add the last two digits to eleven times the rest.	712: 12 + (7×11) = 89
91	Subtract 9 times the last digit from the rest.	182: 18 - (2×9) = 0
	Form the alternating sum of blocks of three from right to left.	5,274,997: 5 - 274 + 997 = 728
	Number is divisible by 7 and 13.	8281: 828+4 = 832. 83+8=91 828-2=826. 82-12=70.
95	Number must be divisible by 19 ending in 0 or 5.	51,585: 5158 + 10 = 5168, 516 + 16 = 532, 53 + 4 = 57 = 19×3. And the number ends in 5.
97	Subtract 29 times the last digit from the rest.	291: 29 - (1×29) = 0
	Add the last two digits to 3 times the rest.	485: (3×4)+ 85 = 97
99	Number is divisible by 9 and 11.	891: 89 - 1 = 88. 8 + 9 + 1 = 18.
	Add the digits in blocks of two from right to left.	144,837: 14 + 48 + 37 = 99.
100	Ends with at least two zeros.	14100: It has two zeros at the end.
101	Form the alternating sum of blocks of two from right to left.	40,299: 4 - 2 + 99 = 101.
103	Add 31 times the last digit to the rest.	585658: 58565 + (8×31) = 58813. 58813 : 103 = 571
	Subtract the last two digits from 3 times the rest.	5356: (53×3) - 56 = 103
107	Subtract 32 times the last digit from the rest.	428: 42 - (8×32) = -214
	Subtract the last two digits from 7 times the rest.	1712: 17 × 7 - 12 = 107
109	Add 11 times the last digit to the rest.	654: 65 + (11×4) = 109
111	Add the digits in blocks of three from right to left.	1,370,184: 1 + 370 + 184 = 555
113	Add 34 times the last digit from the rest.	3842: 384 + 34 × 2 = 452, 45 + 34 × 2 = 113.
121	Subtract 12 times the last digit from the rest.	847: 84 - 12 × 7 = 0
125	The number formed by the last three digits must be divisible by 125.	2,125: 125 is divisible by 125.
127	Subtract 38 times the last digit from the rest.	4953: 495 - 38 × 3 = 381, 38 - 38 × 1 = 0.
128	The number formed by the last seven digits must be divisible by 128.
131	Subtract 13 times the last digit from the rest.	1834: 183 - 13 × 4 = 131, 13 - 13 = 0.
137	Form the alternating sum of blocks of four from right to left.	340,171: 171 - 34 = 137.
139	Add 14 times the last digit from the rest.	1946: 194 + 14 × 6 = 278, 27 + 14 × 8 = 139.
143	Form the alternating sum of blocks of three from right to left.	1,774,487: 1 - 774 + 487 = -286
	Add 43 times the last digit to the rest.	6149: 614 + 43 × 9 = 1001, 100 + 43 = 143.
	The number must be divisible by 11 and 13.	2,431: 243 - 1 = 242. 242 = 11 × 22. 243 + 4 = 247. 247 = 13 × 19
149	Add 15 times the last digit from the rest.	2235: 223 + 15 × 5 = 298, 29 + 15 × 8 = 149.
151	Subtract 15 times the last digit from the rest.	66,893: 6689 - 15 × 3 = 6644 = 151×44.
157	Subtract 47 times the last digit from the rest.	7536: 753 - 47 × 6 = 471, 47 - 47 = 0.
163	Add 49 times the last digit to the rest.	26,569: 2656 + 441 = 3097 = 163×19.
167	Subtract 5 times the last two digits from the rest.	53,774: 537 - 5 × 74 = 167.
173	Add 52 times the last digit to the rest.	8996: 899 + 52 × 6 = 1211, 121 + 52 = 173.
179	Add 18 times the last digit to the rest.	3222: 322 + 18 × 2 = 358, 35 + 18 × 8 = 179.
181	Subtract 18 times the last digit from the rest.	3258: 325 - 18 × 8 = 181, 18 - 18 = 0.
191	Subtract 19 times the last digit from the rest.	3629: 362 - 19 × 9 = 191, 19 - 19 = 0.
193	Add 58 times the last digit to the rest.	11194: 1119 + 58 × 4 = 1351, 135 + 58 = 193.
197	Subtract 59 times the last digit from the rest.	11820: 118 - 59 × 2 = 0.
199	Add 20 times the last digit to the rest.	3980: 39 + 20 × 8 = 199.
200	Last two digits of the number are "00", and the third last digit is an even number.	34,400: The third last digit is 4, and the last two digits are zeroes.
211	Subtract 21 times the last digit from the rest.	44521: 4452 - 21 × 1 = 4431, 443 - 21 × 1 = 422, 42 - 21 × 2 = 0.
223	Add 67 times the last digit to the rest.	49729: 4972 + 67 × 9 = 5575, 557 + 67 × 5 = 892, 89 + 67 × 2 = 223.
225	Number must be divisible by 9 ending in "00", "25", "50", or "75".	15,075: 75 is at the end and 1 + 5 + 0 + 7 + 5 = 18 = 2×9.
227	Subtract 68 times the last digit from the rest.	51756: 5175 - 68 × 6 = 4767, 476 - 68 × 7 = 0.
229	Add 23 times the last digit to the rest.	52441: 5244 + 23 × 1 = 5267, 526 + 23 × 7 = 687, 68 + 23 × 7 = 229.
233	Add 70 times the last digit to the rest.	54289: 5428 + 70 × 9 = 6058, 605 + 70 × 8 = 1165, 116 + 70 × 5 = 466, 46 + 70 × 6 = 466 = 233 × 2.
239	Take the digits in blocks of seven from right to left and add each block.	1,560,000,083: 156 + 83 = 239.
	Add 24 times the last digit to the rest.	57121: 5712 + 24 × 1 = 5736, 573 + 24 × 6 = 717, 71 + 24 × 7 = 239.
241	Subtract 24 times the last digit from the rest.	58081: 5808 - 24 × 1 = 5784, 578 - 24 × 4 = 482, 48 - 24 × 2 = 0.
250	The number formed by the last three digits must be divisible by 250.	1,327,750: 750 is divisible by 250.
251	Subtract 25 times the last digit from the rest.	63001: 6300 - 25 × 1 = 6275, 627 - 25 × 5 = 502, 50 - 25 × 2 = 0.
256	The number formed by the last eight digits must be divisible by 256.
257	Subtract 77 times the last digit from the rest.	66049: 6604 - 77 × 9 = 5911, 591 - 77 × 1 = 514 = 257 × 2.
263	Add 79 times the last digit to the rest.	69169: 6916 + 79 × 9 = 7627, 762 + 79 × 7 = 1315, 131 + 79 × 5 = 526, 52 + 79 × 6 = 526 = 263 × 2.
269	Add 27 times the last digit to the rest.	72361: 7236 + 27 × 1 = 7263, 726 + 27 × 3 = 807, 80 + 27 × 7 = 269.
271	Take the digits in blocks of five from right to left and add each block.	77,925,613,961: 7 + 79,256 + 13,961 = 93,224 = 271×344.
	Subtract 27 times the last digit from the rest.	73441: 7344 - 27 × 1 = 7317, 731 - 27 × 7 = 542, 54 - 27 × 2 = 0.
277	Subtract 83 times the last digit from the rest.	76729: 7672 - 83 × 9 = 6925, 692 - 83 × 5 = 277.
281	Subtract 28 times the last digit from the rest.	78961: 7896 - 28 × 1 = 7868, 786 - 28 × 8 = 562, 56 - 28 × 2 = 0.
283	Add 85 times the last digit to the rest.	80089: 8008 + 85 × 9 = 8773, 877 + 85 × 3 = 1132, 113 + 85 × 2 = 283.
293	Add 88 times the last digit to the rest.	85849: 8584 + 88 × 9 = 9376, 937 + 88 × 6 = 1465, 146 + 88 × 5 = 586, 58 + 88 × 6 = 586 = 293 × 2.
300	Last two digits of the number are "00", and the result of sum the digits must be divisible by 3.	3,300: The result of sum the digits is 6, and the last two digits are zeroes.
329	Add 33 times the last digit to the rest.	9541:954+1×33=954+33=987. 987=3×329.
331	Subtract 33 times the last digit from the rest.	22177: 2217-231=1986. 1986=6×331.
333	Add the digits in blocks of three from right to left.	410,922: 410 + 922 = 1,332
369	Take the digits in blocks of five from right to left and add each block.	50243409: 43409+502=43911. 43911=369×119.
	Add 37 times the last digit to the rest.	8487: 848+7×37=848+259=1107.
375	The number formed by the last three digits must be divisible by 125 and the sum of all digits is a multiple of 3.	140,625: 625 = 125×5 and 1 + 4 + 0 + 6 + 2 + 5 = 18 = 6×3.
499	Add the last three digits to two times the rest.	74,351: 74 × 2 + 351 = 499.
500	Ends with 000 or 500.	47,500 is divisible by 500.
512	The number formed by the last nine digits must be divisible by 512.
625	Ends in 0000, 0625, 1250, 1875, 2500, 3125, 3750, 4375, 5000, 5625, 6250, 6875, 7500, 8125, 8750 or 9375. Or, the number formed by the last four digits is divisible by 625.	567,886,875: 6875.
983	Add the last three digits to seventeen times the rest.	64878: 64×17+878=1966. 1966=2×983
987	Add the last three digits to thirteen times the rest.	30597: 30×13+597=987
	Number must be divisible by 329 with the sum of all digits being divisible by 3.	547785: 5+4+7+7+8+5=36. 36=3×12 54778+5×33=54943. 5494+3×33=5593. 559+3×33=658. 658=2×329.
989	Add the last three digits to eleven times the rest.	21758: 21 × 11 = 231; 758 + 231 = 989
	Number must be divisible by 23 and 43.	1978: 197+56=253. 253=11×23 197+104=301. 301=7×43.
993	Add the last three digits to seven times the rest.	986049: 49+6902=6951. 6951=7×993.
	Number must be divisible by 331 with the sum of all digits being divisible by 3.	8937: 8+7=15. 15=3×5. (Note: 9 and 3 don't have to be in the sum, they are divisible by 3.) 893-231=662. 662=2×331.
997	Add the last three digits to three times the rest.	157,526: 157 × 3 + 526= 997
999	Add the digits in blocks of three from right to left.	235,764: 235 + 764 = 999
1000	Ends with at least three zeros.	2000 ends with 3 zeros

सामान्यीकृत विभाजन नियम

डी द्वारा विभाजन के लिए परीक्षण करने के लिए, जहां डी 1, 3, 7, या 9 में समाप्त होता है, निम्न विधि का उपयोग किया जा सकता है।9 में डी समाप्त होने के किसी भी बहु को खोजें। (यदि डी क्रमशः 1, 3, 7, या 9 में समाप्त होता है, तो 9, 3, 7, या 1 से गुणा करें) फिर 1 जोड़ें और 10 से विभाजित करें, परिणाम को एम के रूप में दर्शाते हैं।तब एक संख्या n = 10t + q d द्वारा विभाज्य है यदि और केवल यदि MQ + T D. द्वारा विभाज्य है। यदि संख्या बहुत बड़ी है,^e = 1 or 10^e= -1 (मॉड डी)।संख्याओं के योग (या वैकल्पिक योग) में मूल एक के समान विभाजन होता है।

उदाहरण के लिए, यह निर्धारित करने के लिए कि क्या 913 = 10 × 91+3 11 से विभाज्य है, यह पता करें कि M = (11 × 9+1) = 10 = 10. तो MQ+T = 10 × 3+91 = 121;यह 11 से विभाज्य है (भागफल 11 के साथ), इसलिए 913 भी 11 द्वारा विभाज्य है। एक अन्य उदाहरण के रूप में, यह निर्धारित करने के लिए कि क्या 689 = 10 × 68 + 9 53 से विभाज्य है, यह पाते हैं कि एम = (53 × 3 + 1) ÷ ÷ ÷10 = 16. तब MQ + T = 16 × 9 + 68 = 212, जो 53 (भागफल 4 के साथ) द्वारा विभाज्य है;तो 689 भी 53 से विभाज्य है।

वैकल्पिक रूप से, कोई भी संख्या q = 10c + d n = 10a + b द्वारा विभाज्य है, जैसे कि GCD (n, 2, 5) = 1, यदि C + D (n) d = a के लिए कुछ पूर्णांक a, जहां: $D(n)\equiv {\begin{cases}9a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+1}}\\3a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+3}}\\7a+5,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+7}}\\a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+9}}\end{cases}}\$ अनुक्रम के पहले कुछ शब्द, D (n) द्वारा उत्पन्न 1, 1, 5, 1, 10, 4, 12, 2, ... (अनुक्रम A333448 OEIS में)।

डी (एन) और इसके द्वारा उत्पन्न अनुक्रम का टुकड़ा बुद्धिमान रूप पहली बार मार्च 2020 में बल्गेरियाई गणितज्ञ इवान स्टोयकोव द्वारा प्रकाशित किया गया था।

प्रमाण

सबूत बुनियादी बीजगणित का उपयोग कर

कई सरल नियमों का उत्पादन केवल बीजगणितीय हेरफेर का उपयोग करके किया जा सकता है, द्विपद बनाकर और उन्हें फिर से व्यवस्थित किया जा सकता है।प्रत्येक अंक के योग के रूप में एक संख्या लिखकर 10 प्रत्येक अंक की शक्ति को व्यक्तिगत रूप से हेरफेर किया जा सकता है।

मामला जहां सभी अंकों को अभिव्यक्त किया जाता है

यह विधि दिव्य के लिए काम करती है जो 10 & nbsp; - & nbsp; 1 = 9 के कारक हैं।

एक उदाहरण के रूप में 3 का उपयोग करते हुए, 3 9 & nbsp; = & nbsp; 10 & nbsp; - & nbsp; 1 को विभाजित करता है।इसका मत $10\equiv 1{\pmod {3}}$ (मॉड्यूलर अंकगणित देखें)।10 की सभी उच्च शक्तियों के लिए समान: $10^{n}\equiv 1^{n}\equiv 1{\pmod {3}}$ वे सभी 1 मोडुलो के लिए बधाई हैं। 3। चूंकि दो चीजें जो कि बधाई देने वाले मोडुलो 3 हैं, या तो दोनों 3 से विभाज्य हैं या दोनों नहीं, हम उन मूल्यों को इंटरचेंज कर सकते हैं जो बधाई modulo 3 हैं। इसलिए, निम्नलिखित जैसे संख्या में, हम प्रतिस्थापित कर सकते हैं, हम प्रतिस्थापित कर सकते हैं।10 की सभी शक्तियां 1:

$100\cdot a+10\cdot b+1\cdot c\equiv (1)a+(1)b+(1)c{\pmod {3}}$

जो बिल्कुल अंकों का योग है।

मामला जहां अंकों के वैकल्पिक योग का उपयोग किया जाता है

यह विधि दिव्य के लिए काम करती है जो 10 + 1 = 11 के कारक हैं।

एक उदाहरण के रूप में 11 का उपयोग करते हुए, 11 11 & nbsp; = & nbsp; 10 & nbsp;+& nbsp; 1 को विभाजित करता है।इसका मत $10\equiv -1{\pmod {11}}$।10 की उच्च शक्तियों के लिए, वे भी शक्तियों के लिए 1 के अनुरूप हैं और विषम शक्तियों के लिए −1 के अनुरूप हैं:

$10^{n}\equiv (-1)^{n}\equiv {\begin{cases}1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}}\\-1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd}}\end{cases}}{\pmod {11}}.$

पिछले मामले की तरह, हम 10 की शक्तियों को बधाई मूल्यों के साथ स्थानापन्न कर सकते हैं:

$1000\cdot a+100\cdot b+10\cdot c+1\cdot d\equiv (-1)a+(1)b+(-1)c+(1)d{\pmod {11}}$

जो विषम पदों पर अंकों के योग और यहां तक कि पदों पर अंकों के योग के बीच भी अंतर है।

मामला जहां केवल अंतिम अंक (एस) मामला है

यह विभाजकों पर लागू होता है जो 10 की शक्ति का एक कारक है। यह इसलिए है क्योंकि आधार की पर्याप्त उच्च शक्तियां विभाजक के गुणक हैं, और इसे समाप्त किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, आधार 10 में, 10 के कारक¹ include 2, 5, and 10. Therefore, divisibility by 2, 5, and 10 only depend on whether the last 1 digit is divisible by those divisors. The factors of 10²4 और 25 को शामिल करें, और उन लोगों द्वारा विभाजन केवल पिछले 2 अंकों पर निर्भर करते हैं।

मामला जहां केवल अंतिम अंक (ओं) को हटा दिया जाता है

अधिकांश संख्याएँ 9 या 10 को समान रूप से विभाजित नहीं करती हैं, लेकिन 10 की उच्च शक्ति को विभाजित करती हैंⁿ or 10ⁿ& nbsp; - & nbsp; 1।इस मामले में संख्या अभी भी 10 की शक्तियों में लिखी गई है, लेकिन पूरी तरह से विस्तारित नहीं है।

उदाहरण के लिए, 7 9 या 10 को विभाजित नहीं करता है, लेकिन 98 को विभाजित करता है, जो 100 के करीब है। इस प्रकार, आगे बढ़ें

$100\cdot a+b$

जहां इस मामले में कोई पूर्णांक है, और बी 0 से 99 तक हो सकता है।

$(98+2)\cdot a+b$

और फिर से विस्तार कर रहा है

$98\cdot a+2\cdot a+b,$

और 7 के ज्ञात कई को समाप्त करने के बाद, परिणाम है

$2\cdot a+b,$

जो नियम है कि सभी द्वारा गठित संख्या को दोगुना कर दिया जाए, लेकिन अंतिम दो अंकों को जोड़ें।

मामला जहां अंतिम अंक (ओं) को एक कारक से गुणा किया जाता है

संख्या का प्रतिनिधित्व भी किसी भी संख्या से अपेक्षाकृत प्राइम से गुणा किया जा सकता है, जो इसकी विभाजन को बदले बिना भाजक को अपेक्षाकृत प्राइम करता है।यह देखने के बाद कि 7 21 को विभाजित करता है, हम निम्नलिखित प्रदर्शन कर सकते हैं:

$10\cdot a+b,$

2 से गुणा करने के बाद, यह बन जाता है

$20\cdot a+2\cdot b,$

और फिर

$(21-1)\cdot a+2\cdot b.$

21 को समाप्त करना देता है

$-1\cdot a+2\cdot b,$

और −1 द्वारा गुणा करना देता है

$a-2\cdot b.$

या तो पिछले दो नियमों का उपयोग किया जा सकता है, जिसके आधार पर प्रदर्शन करना आसान है।वे नियम के अनुरूप हैं जो बाकी से अंतिम अंक से दोगुना घटाते हैं।

सबूत मॉड्यूलर अंकगणित का उपयोग करके

यह खंड मूल विधि का वर्णन करेगा;सभी नियमों को एक ही प्रक्रिया के बाद प्राप्त किया जा सकता है।निम्नलिखित को मॉड्यूलर अंकगणित में एक बुनियादी ग्राउंडिंग की आवश्यकता होती है;2 और 5 के अलावा अन्य विभाजन के लिए सबूत इस मूल तथ्य पर आराम करते हैं कि 10 मॉड एम उल्टा है यदि 10 और एम अपेक्षाकृत प्रमुख हैं।

'2 के लिएⁿ or 5ⁿ:

केवल अंतिम N अंकों की जाँच करने की आवश्यकता है।

$10^{n}=2^{n}\cdot 5^{n}\equiv 0{\pmod {2^{n}\mathrm {\ or\ } 5^{n}}}$

के रूप में x का प्रतिनिधित्व करते हैं $10^{n}\cdot y+z,$

$x=10^{n}\cdot y+z\equiv z{\pmod {2^{n}\mathrm {\ or\ } 5^{n}}}$

और x की विभाजन z के समान है।

'7 के लिए:'

चूंकि 10 × 5 & nbsp; 2 & nbsp;10 × (−2) & nbsp; 2 & nbsp; 1 & nbsp; (mod & nbsp; 7) हम निम्नलिखित कर सकते हैं:

के रूप में x का प्रतिनिधित्व करते हैं $10\cdot y+z,$

$-2x\equiv y-2z{\pmod {7}},$

तो x 7 से विभाज्य है यदि और केवल अगर y - 2z 7 से विभाज्य है।

यह भी देखें

• शून्य से विभाजन
• समता (गणित)

स्रोत

• Apostol, Tom M. (1976). Introduction to analytic number theory. Undergraduate Texts in Mathematics. Vol. 1. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90163-3.
• Kisačanin, Branislav (1998). Mathematical problems and proofs: combinatorics, number theory, and geometry. Plenum Press. ISBN 978-0-306-45967-2.
• Richmond, Bettina; Richmond, Thomas (2009). A Discrete Transition to Advanced Mathematics. Pure and Applied Undergraduate Texts. Vol. 3. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-4789-3.

बाहरी संबंध

• Divisibility Criteria at cut-the-knot
• Stupid Divisibility Tricks Divisibility rules for 2–100.

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