प्रतिस्थापन (बीजगणित)

बीजगणित में प्रतिस्थापन के संचालन को विभिन्न संदर्भों में प्रयुक्त किया जा सकता है। जिसमें औपचारिक वस्तुएं सम्मिलित होती हैं। जिसमें चिन्हों का प्रयोग होता हैं (अधिकांशतः चर (गणित) या अनिश्चित (चर) कहा जाता है)। समीकरण में दिए गए मान के द्वारा किसी चिन्हों की घटनाओं को व्यवस्थित रूप से बदलना सम्मिलित है।

प्रतिस्थापन कंप्यूटर बीजगणित का मूलभूत संचालन है। इसे सामान्यतः कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों में उप कहा जाता है।

प्रतिस्थापन के सामान्य स्थितियों में बहुपद सम्मिलित होते हैं। जहां उस मूल्य पर बहुपद का मूल्यांकन करने के लिए (अविभाजित) बहुपद राशि के अनिश्चित मान के लिए संख्यात्मक मान का प्रतिस्थापन होता है। वास्तव में यह संक्रिया इतनी बार होती है कि बहुपदों के लिए अंकन अधिकांशतः इसके अनुकूल हो जाता है। P जैसे नाम से बहुपद को निश्चित करने के अतिरिक्त, जैसा कि कोई अन्य गणितीय वस्तुओं के लिए करेगा, कोई भी परिभाषित कर सकता है

$P(X)=X^{5}-3X^{2}+5X-17$

जिससे X के लिए प्रतिस्थापन P(X) के अंदर प्रतिस्थापन द्वारा निश्चित किया जा सके,

$P(2)=13$

या

$P(X+1)=X^{5}+5X^{4}+10X^{3}+7X^{2}+4X-14.$

चूँकि प्रतिस्थापन चिन्हों से निर्मित अन्य प्रकार की औपचारिक वस्तुओं पर भी संचालित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए मुक्त समूहों के तत्व है। प्रतिस्थापन को परिभाषित करने के लिए उपयुक्त सार्वभौमिक विशेषताओं के साथ बीजगणितीय संरचना की भी आवश्यकता होती है। जो अद्वितीय समरूपता के अस्तित्व पर बल देती है। जो विशिष्ट मानों को अनिश्चित भेजती है। प्रतिस्थापन तब ऐसी समरूपता के अनुसार इमेज को खोजने के लिए होता है।

प्रतिस्थापन लैम्ब्डा कैलकुलस में β-कमी से निकटता से संबंधित है। किन्तु फलन संरचना के समान नहीं है। चूंकि बीजगणित में बल प्रतिस्थापन संचालन द्वारा बीजगणितीय संरचना के संरक्षण पर है। इन धारणाओं के विपरीत तथ्य यह है कि प्रतिस्थापन में संरचना के लिए एक समरूपता देता है (बहुपदों के स्थितियों में रिंग संरचना )

यह भी देखें

• प्रतिस्थापन (तर्क) — प्रतिस्थापन के औपचारिक उपचार के विषय में
• प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण
• त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन