भौगोलिक समन्वय रूपांतरण: Difference between revisions

Latest revision as of 10:36, 4 May 2023

जियोडेसी सम्पूर्ण विश्व में और समय के साथ उपयोग में आने वाले विभिन्न भौगोलिक समन्वय प्रणालियों द्वारा विभिन्न भौगोलिक समन्वय प्रणालियों के बीच रूपांतरण को महत्वपूर्ण बनाया जाता है। निर्देशांक रूपांतरण कई विभिन्न प्रकार के रूपांतरणों से निर्मित है। जो निम्नलिखित हैं- भौगोलिक निर्देशांकों का प्रारूप परिवर्तन, समन्वय प्रणालियों का रूपांतरण या विभिन्न भू-गणितीय डेटा में परिवर्तन। भौगोलिक समन्वय रूपांतरण में कार्टोग्राफी, सर्वेक्षण, नेविगेशन और भौगोलिक सूचना प्रणाली में अनेक अनुप्रयोग हैं।

जियोडेसी में भौगोलिक निर्देशांक रूपांतरण को विभिन्न प्रकार की समन्वय प्रारूपों या मानचित्र अनुमानों के बीच अनुवाद के रूप में परिभाषित किया जाता है। जो सभी एक ही जियोडेटिक घटना के संदर्भ में होते हैं।^[1] भौगोलिक समन्वय परिवर्तन विभिन्न भौगोलिक आंकड़ों के बीच एक अनुवाद होता है। इस लेख में भौगोलिक समन्वय रूपांतरण और परिवर्तन दोनों पर विचार किया जाएगा।

यह लेख प्रदर्शित करता है कि रीडर पहले से ही लेखों की भौगोलिक समन्वय प्रणाली और जियोडेटिक घटना की सामग्री से पूर्णतयः परिचित हैं।

इकाइयों और प्रारूप का परिवर्तन

अनौपचारिक रूप से भौगोलिक स्थान निर्दिष्ट करने का अर्थ सामान्यतः स्थान का अक्षांश और देशांतर प्रदर्शित करना होता है। अक्षांश और देशांतर के लिए संख्यात्मक मान कई विभिन्न प्रकार की इकाइयों या स्वरूपों में हो सकते हैं:^[2]

सेक्सजेसिमल डिग्री: डिग्री (कोण), मिनट और सेकेण्ड: 40° 26' 46" N 79° 58' 56" W
डिग्री और दशमलव मिनट: 40° 26.767′ N 79° 58.933′ W
दशमलव डिग्री: +40.446 -79.982

एक डिग्री में 60 मिनट और एक मिनट में 60 सेकंड होते हैं। इसलिए डिग्री मिनट सेकेंड प्रारूप से दशमलव डिग्री प्रारूप में बदलने के लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग किया जा सकता है।

{\rm {{decimal\ degrees}={\rm {{degrees}+{\frac {\rm {minutes}}{60}}+{\frac {\rm {seconds}}{3600}}}}}}

.

दशमलव डिग्री प्रारूप से डिग्री मिनट सेकेंड प्रारूप में वापस बदलने के लिए,

\begin{aligned} a b s D e g r e e s & = | d e c i m a l d e g r e e s | \\ f l o o r A b s D e g r e e s & = ⌊ a b s D e g r e e s ⌋ \\ d e g r e e s & = sgn (d e c i m a l d e g r e e s) \times f l o o r A b s D e g r e e s \\ m i n u t e s & = ⌊ 60 \times (a b s D e g r e e s - f l o o r A b s D e g r e e s) ⌋ \\ s e c o n d s & = 3600 \end{aligned}

जहाँ

{\rm {absDegrees}}

और

{\rm {floorAbsDegrees}}

धनात्मक और श्रणात्मक दोनों मूल्यों को सही प्रकार से संभालने के लिए केवल अस्थायी चर हैं।

समन्वय प्रणाली रूपांतरण

समन्वय प्रणाली रूपांतरण एक समन्वय प्रणाली से दूसरे में रूपांतरण है। दोनों समन्वय प्रणालियों के साथ एक ही भौगोलिक डेटा पर आधारित है। सामान्य रूपांतरण कार्यों में जियोडेटिक और पृथ्वी-केंद्रित, पृथ्वी-स्थिर (ईसीईएफ) निर्देशांक के बीच रूपांतरण और एक प्रकार के मानचित्र प्रक्षेपण से दूसरे में रूपांतरण सम्मिलित होता हैं।

जियोडेटिक से ईसीईएफ निर्देशांक तक-

लंबाई PQ, जिसे प्रमुख ऊर्ध्वाधर त्रिज्या कहा जाता है।

N(\phi )

. IQ लंबाई

\,e^{2}N(\phi )

के बराबर है।

R=(X,\,Y,\,Z)

.

जिओडेटिक निर्देशांक (अक्षांश $\ \phi$ , देशांतर $\ \lambda$ , ऊंचाई $h$ ) निम्नलिखित समीकरण का उपयोग करके ईसीईएफ निर्देशांक में परिवर्तित किया जा सकता है:^[3]

{\begin{aligned}X&=\left(N(\phi )+h\right)\cos {\phi }\cos {\lambda }\\Y&=\left(N(\phi )+h\right)\cos {\phi }\sin {\lambda }\\Z&=\left({\frac {b^{2}}{a^{2}}}N(\phi )+h\right)\sin {\phi }\\&=\left((1-e^{2})N(\phi )+h\right)\sin {\phi }\\&=\left((1-f)^{2}N(\phi )+h\right)\sin {\phi }\end{aligned}}

जहाँ-

N(\phi )={\frac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\phi +b^{2}\sin ^{2}\phi }}}={\frac {a}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}},

और $a$ और $b$ क्रमशः विषुवतीय त्रिज्या (अर्ध-प्रमुख अक्ष) और ध्रुवीय त्रिज्या (अर्ध-लघु अक्ष) हैं। $e^{2}=1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}$ दीर्घवृत्ताभ की प्रथम संख्यात्मक उत्केन्द्रता का वर्ग है। $f=1-{\frac {b}{a}}$ दीर्घवृत्ताभ का चपटा होना है। वक्रता की प्रमुख ऊर्ध्वाधर त्रिज्या $\,N(\phi )$ दीर्घवृत्ताभ सामान्य के साथ सतह से Z-अक्ष की दूरी पर स्थित है।

गुण

दिये गये निम्नलिखित स्थिति देशांतर के लिए उसी प्रकार संचालित होती है। जैसे कि भूकेंद्रीय निर्देशांक प्रणाली में होती है:

{\frac {X}{\cos \lambda }}-{\frac {Y}{\sin \lambda }}=0.

और निम्नलिखित अक्षांश के लिए है:

{\frac {p}{\cos \phi }}-{\frac {Z}{\sin \phi }}-e^{2}N(\phi )=0,

जहाँ $p={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}$ पैरामीटर के रूप में $h$ में कमी करके समाप्त कर दिया जाता है।

{\frac {p}{\cos \phi }}=N+h

और

{\frac {Z}{\sin \phi }}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}N+h.

आगे:

\tan \phi =(Z/p)/(1-e^{2}N/(N+h)).

ऑर्थोगोनलिटी-

निर्देशांक के ऑर्थोगोनल निर्देशांक की पुष्टि डिफरेन्सेसन के माध्यम से की जाती है:

{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}dX\\dY\\dZ\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}-\sin \lambda &-\sin \phi \cos \lambda &\cos \phi \cos \lambda \\\cos \lambda &-\sin \phi \sin \lambda &\cos \phi \sin \lambda \\0&\cos \phi &\sin \phi \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}dE\\dN\\dU\end{pmatrix}},\\[3pt]{\begin{pmatrix}dE\\dN\\dU\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\left(N(\phi )+h\right)\cos \phi &0&0\\0&M(\phi )+h&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}d\lambda \\d\phi \\dh\end{pmatrix}},\end{aligned}}

जहाँ-

M(\phi )={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi \right)^{\frac {3}{2}}}}

(यह भी देखें मेरिडियन चाप दीर्घवृत्त पर मेरिडियन दूरी)।

ईसीईएफ से जियोडेटिक निर्देशांक तक-

देशांतर के लिए ईसीईएफ निर्देशांक का रूपांतरण है:

\lambda =\operatorname {atan2} (Y,X)

.

जहां atan2 चतुष्कोण-संकल्प चाप-स्पर्शरेखा फलन है।

भूकेन्द्रीय देशांतर और भूगणितीय देशांतर का मान समान होता है। भूकेन्द्रीय देशांतर और भूगणितीय देशांतर का मान समान होता है; यह पृथ्वी और अन्य समान आकार के ग्रहों के लिए सच है क्योंकि उनके स्पिन अक्ष के चारों ओर बड़ी मात्रा में घूर्णी समरूपता है (सामान्यीकरण के लिए त्रिअक्षीय दीर्घवृत्ताकार देशांतर देखें)।

अक्षांश और ऊंचाई के रूपांतरण में N से जुड़ा एक गोलाकार संबंध सम्मिलित है। जो अक्षांश का एक फलन है:

\phi =\arctan \left((Z/p)/(1-e^{2}N/(N+h))\right)

,

h={\frac {p}{\cos \phi }}-N

.

इसे पुनरावृित्त रूप से हल किया जा सकता है।^[4]^[5] उदाहरण के लिए पहले अनुमान h≈0 से प्रारम्भ करके N को अपडेट करना।

अधिक विस्तृत प्रकार नीचे दिखाए गए हैं।

चूंकि प्रक्रिया छोटी स्पष्टता के प्रति संवेदनशील है। इस प्रकार $N$ और $h$ संभवतः 10⁶ अलग हो रहा है।^[6]^[7]

न्यूटन-रेफसन विधि-

निम्नलिखित बॉरिंग का अपरिमेय भूगणितीय-अक्षांश समीकरण^[8] उपर्युक्त गुणों से व्युत्पन्न, न्यूटन-रफसन पुनरावृति विधि द्वारा हल करने के लिए निपुण हैं:^[9]^[10]

\kappa -1-{\frac {e^{2}a\kappa }{\sqrt {p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa ^{2}}}}=0,

जहाँ $\kappa ={\frac {p}{Z}}\tan \phi$ और $p={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}$ पहले के समान है। इसकी ऊंचाई की गणना निम्नलिखित प्रकार से की जाती है:

{\begin{aligned}h&=e^{-2}\left(\kappa ^{-1}-{\kappa _{0}}^{-1}\right){\sqrt {p^{2}+Z^{2}\kappa ^{2}}},\\\kappa _{0}&=\left(1-e^{2}\right)^{-1}.\end{aligned}}

पुनरावृत्ति को निम्नलिखित गणना में बदला जा सकता है:

\kappa _{i+1}={\frac {c_{i}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i}^{3}}{c_{i}-p^{2}}}=1+{\frac {p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i}^{3}}{c_{i}-p^{2}}},

जहाँ $c_{i}={\frac {\left(p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{ae^{2}}}.$

नियताँक $\,\kappa _{0}$ पुनरावृत्ति के लिए एक उत्तम स्टार्टर मान है। जब $h\approx 0$ बॉरिंग ने दिखाया कि एकल पुनरावृति पर्याप्त स्पष्ट हल उत्पन्न करती है। उन्होंने अपने मूल सूत्रीकरण में अतिरिक्त त्रिकोणमितीय फलनों का उपयोग किया गया है।

फेरारी सल्यूसन-

K का चतुर्थक समीकरण, उपरोक्त से व्युत्पन्न किया गया है, फेरारी के सल्यूसन द्वारा हल किया जा सकता है:^[11]^[12]

{\begin{aligned}\zeta &=\left(1-e^{2}\right){\frac {z^{2}}{a^{2}}},\\[4pt]\rho &={\frac {1}{6}}\left({\frac {p^{2}}{a^{2}}}+\zeta -e^{4}\right),\\[4pt]s&={\frac {e^{4}\zeta p^{2}}{4\rho ^{3}a^{2}}},\\[4pt]t&={\sqrt[{3}]{1+s+{\sqrt {s(s+2)}}}},\\[4pt]u&=\rho \left(t+1+{\frac {1}{t}}\right),\\[4pt]v&={\sqrt {u^{2}+e^{4}\zeta }},\\[4pt]w&=e^{2}{\frac {u+v-\zeta }{2v}},\\[4pt]\kappa &=1+e^{2}{\frac {{\sqrt {u+v+w^{2}}}+w}{u+v}}.\end{aligned}}

फेरारी के सल्यूसन का अनुप्रयोग-

Zhu के अनुसार कई विधियों और एल्गोरिदम उपलब्ध हैं। किन्तु सबसे स्पष्ट^[13] हिक्किनेन द्वारा स्थापित निम्नलिखित प्रक्रिया है।^[14] जैसा कि Zhu के द्वारा उत्पन्न किया गया है। यह माना जाता है कि जियोडेटिक पैरामीटर $\{a,\,b,\,e\}$ मुख्यतः ज्ञात हैं।

\begin{aligned} a & = 6378137.0 m. Earth Equatorial Radius \\ b & = 6356752.3142 m. Earth Polar Radius \\ e^{2} & = \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2}} \\ e^{' 2} & = \frac{a^{2} - b^{2}}{b^{2}} \\ p & = \sqrt{X^{2} + Y^{2}} \\ F & = 54 b^{2} Z^{2} \\ G & = p^{2} + (1 - e^{2}) Z^{2} - e^{2} (a^{2} - b^{2}) \\ c & = \frac{e^{4} F p^{2}}{G^{3}} \\ s & = \sqrt[3]{1 + c + \sqrt{c^{2} + 2 c}} \\ k & = s + 1 + \frac{1}{s} \\ P & = \frac{F}{3 k^{2} G^{2}} \\ Q & = \sqrt{1 + 2 e^{4} P} \\ r_{0} & = \frac{- P e^{2} p}{1 + Q} + \sqrt{\frac{1}{2} a^{2} (1 + \frac{1}{Q}) - \frac{P (1 - e^{2}) Z^{2}}{Q (1 + Q)} - \frac{1}{2} P p^{2}} \\ U & = \sqrt{(p - e^{2}} \end{aligned}

नोट: atan2[Y, X] चार-चतुर्थांश व्युत्क्रम स्पर्श-रेखा का फलन है।

पावर सीरीज-

पावर सीरीज छोटे $e 2$ के लिए-

\kappa =\sum _{i\geq 0}\alpha _{i}e^{2i}

इसके साथ प्रारम्भ होता है।

{\begin{aligned}\alpha _{0}&=1;\\\alpha _{1}&={\frac {a}{\sqrt {Z^{2}+p^{2}}}};\\\alpha _{2}&={\frac {aZ^{2}{\sqrt {Z^{2}+p^{2}}}+2a^{2}p^{2}}{2\left(Z^{2}+p^{2}\right)^{2}}}.\end{aligned}}

ईएनयू निर्देशांक से जियोडेटिक-

भौगोलिक निर्देशांक से स्थानीय स्पर्शरेखा सतह(ईएनयू) में परिवर्तित करने के लिए (एक्सिस कन्वेंशन ग्राउंड रेफरेंस फ्रेम: ईएनयू और एनईडी) निर्देशांक की दो चरण की प्रक्रिया उपलब्ध है:

जियोडेटिक निर्देशांक को ईसीईएफ निर्देशांक में बदलें।
ईसीईएफ निर्देशांक को स्थानीय ईएनयू निर्देशांक में बदलें।

ईसीईएफ से ईएनयू तक-

ईसीईएफ निर्देशांक से स्थानीय निर्देशांक में बदलने के लिए हमें स्थानीय संदर्भ बिंदु की आवश्यकता होती है। सामान्यतः यह एक राडार का स्थान हो सकता है। यदि एक रडार $\left\{X_{r},\,Y_{r},\,Z_{r}\right\}$ स्थित है और एक सतह $\left\{X_{p},\,Y_{p},\,Z_{p}\right\}$ पर स्थित हो। तो ईएनयू फ्रेम में रडार से विमान की ओर आदेश करने वाला वेक्टर प्रदर्शित होता है।

{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\sin \lambda _{r}&\cos \lambda _{r}&0\\-\sin \phi _{r}\cos \lambda _{r}&-\sin \phi _{r}\sin \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\\\cos \phi _{r}\cos \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\sin \lambda _{r}&\sin \phi _{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{p}-X_{r}\\Y_{p}-Y_{r}\\Z_{p}-Z_{r}\end{bmatrix}}

टिप्पणी: $\ \phi$ भूगणितीय अक्षांश है। भूकेन्द्रिक अक्षांश स्थानीय स्पर्श-रेखा तल के लिए ऊर्ध्वाधर दिशा का प्रतिनिधित्व करने के लिए अनुपयुक्त है और यदि आवश्यक हो, तो भूकेन्द्रिक अक्षांश महत्वपूर्ण होना चाहिए।

ईएनयू से ईसीईएफ तक-

यह ईसीईएफ से ईएनयू परिवर्तन का विपरीत है-

{\begin{bmatrix}X_{p}\\Y_{p}\\Z_{p}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\sin \lambda _{r}&-\sin \phi _{r}\cos \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\cos \lambda _{r}\\\cos \lambda _{r}&-\sin \phi _{r}\sin \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\sin \lambda _{r}\\0&\cos \phi _{r}&\sin \phi _{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}X_{r}\\Y_{r}\\Z_{r}\end{bmatrix}}

मानचित्र प्रोजेक्शन में रूपांतरण-

एक ही डेटा के संदर्भ में मानचित्र प्रोजेक्शन के बीच निर्देशांक और मानचित्र स्थिति का रूपांतरण या तो एक प्रक्षेपण से दूसरे प्रक्षेपण में प्रत्यक्ष अनुवाद सूत्रों के माध्यम से या पहले प्रक्षेपण से परिवर्तित करके पूरा किया जा सकता है। $A$ एक मध्यवर्ती समन्वय विभिन्न प्रकार की प्रणाली जैसे ईसीईएफ। फिर ईसीईएफ से प्रक्षेपण $B$ में परिवर्तित करना होता है। इसमें सम्मिलित सूत्र जटिल हो सकते हैं और कुछ स्थितियों में, जैसे ईसीईएफ में उपरोक्त जियोडेटिक रूपांतरण के लिए रूपांतरण का कोई बंद-रूप समाधान नहीं है और अनुमानित विधियों का उपयोग किया जाना चाहिए। डीएमए विधि मैनुअल 8358.1 जैसे संदर्भ^[15] और यूएसजीएस पेपर मैप प्रोजेक्शंस: ए वर्किंग मैनुअल^[16] मानचित्र प्रोजेक्शन के रूपांतरण के लिए सूत्र सम्मिलित किये जाते हैं। समन्वय रूपांतरण कार्यों को करने के लिए कंप्यूटर प्रोग्राम का उपयोग करना सामान्य है। जैसे कि डीओडी और एनजीए समर्थित जियोट्रांस प्रोग्राम के साथ।^[17]

डेटा परिवर्तन

घटना के बीच रूपांतरण कई प्रकारों से पूरा किया जा सकता है। ये ऐसे परिवर्तन हैं, जो सीधे जियोडेटिक निर्देशांक को एक डेटा से दूसरे में परिवर्तित करते रहते हैं। ये अधिक अप्रत्यक्ष रूपांतरण हैं, जो जियोडेटिक निर्देशांक से ईसीईएफ निर्देशांक में परिवर्तित होते किये हैं। ईसीईएफ निर्देशांक को एक घटना से दूसरे में परिवर्तित करते हैं। फिर नए डेटा के ईसीईएफ निर्देशांक को वापस जियोडेटिक निर्देशांक में बदलते जाते हैं। ग्रिड-आधारित परिवर्तन भी हैं, जो सीधे एक ( घटना मैप प्रोजेक्शन) जोड़ी से दूसरी ( घटना मैप प्रोजेक्शन) जोड़ी में परिवर्तित होते रहते हैं।

हेल्मर्ट परिवर्तन

घटना के जियोडेटिक कोऑर्डिनेट से ट्रांसफॉर्मेशन में हेल्मर्ट ट्रांसफॉर्म का उपयोग भौगोलिक निर्देशांक के लिए घटना $A$ $B$ तीन-चरणों वाली प्रक्रिया के संदर्भ में होता है:^[18]

डेटम $A$ के लिए जियोडेटिक निर्देशांक से ईसीईएफ निर्देशांक में बदलाव करें।
उपयुक्त के साथ हेल्मर्ट ट्रांसफ़ॉर्म संचालित करें। $A\to B$ घटना से बदलने के लिए ईसीईएफ पैरामीटर बदलें और ईसीईएफ डेटम $A$ के लिए समन्वय करता है और $B$ ईसीईएफ समन्वय करता है।
डेटम $B$ के लिए ईसीईएफ निर्देशांक से भौगोलिक निर्देशांक में परिवर्तन करें।

ईसीईएफ डेटम वेक्टर के संदर्भ में हेल्मर्ट ट्रांसफॉर्म का रूप है (स्थिति वेक्टर परिवर्तन सम्मेलन और बहुत छोटा रोटेशन कोण सरलीकरण)^[18]

{\begin{bmatrix}X_{B}\\Y_{B}\\Z_{B}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}+\left(1+s\times 10^{-6}\right){\begin{bmatrix}1&-r_{z}&r_{y}\\r_{z}&1&-r_{x}\\-r_{y}&r_{x}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{A}\\Y_{A}\\Z_{A}\end{bmatrix}}.

हेल्मर्ट ट्रांस्फ़ॉर्म एक सात-पैरामीटर ट्रांसफ़ॉर्म है। जिसमें तीन ट्रांसलेशन (शिफ्ट) पैरामीटर $c_{x},\,c_{y},\,c_{z}$ हैं। तीन रोटेशन पैरामीटर $r_{x},\,r_{y},\,r_{z}$ और एक स्केलिंग (फैलाव) पैरामीटर $s$ हेल्मर्ट ट्रांसफ़ॉर्म एक अनुमानित प्रकार है। जो पूर्णतः स्पष्ट है, जब ट्रांसफ़ॉर्म पैरामीटर ईसीईएफ़ वैक्टर के परिमाण के सापेक्ष छोटे होते हैं। इन नियमों के अनुसार परिवर्तन को प्रतिवर्ती माना जाता है।^[19]

चौदह-पैरामीटर हेल्मर्ट रूपांतरण प्रत्येक पैरामीटर के लिए रैखिक समय निर्भरता के साथ^[19]^: 131-133 भू-आकृतिक प्रक्रियाओं, जैसे कि महाद्वीपीय बहाव और भूकंप के भौगोलिक निर्देशांक बचे हुए समय के विकास को पकड़ने के लिए प्रयोग किया जा सकता है।^[20] ^[21] इसे सॉफ्टवेयर में सम्मिलित किया गया है। जैसे यू.एस. एनजीएस से हॉरिजॉन्टल टाइम डिपेंडेंट पोजिशनिंग (एचटीडीपी) टूल।

मोलोडेंस्की-बडेकास परिवर्तन

हेल्मर्ट रूपांतरण के घुमावों और अनुवादों के बीच युग्मन को समाप्त करने के लिए रूपांतरण किए जा रहे निर्देशांकों के निकट घूर्णन का एक नया XYZ केंद्र देने के लिए तीन अतिरिक्त पैरामीटर प्रस्तुत किए जा सकते हैं। इस दस-पैरामीटर मॉडल को मोलोडेंस्की-बडेकास रूपांतरण कहा जाता है और इसे अधिक मूलभूत मोलोडेंस्की रूपांतरण के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए।^[19]^: 133-134

हेल्मर्ट रूपांतरण की प्रकार, मोलोडेंस्की-बडेकास रूपांतरण का उपयोग करना तीन चरणों वाली प्रक्रिया है:

घटना $A$ के लिए जियोडेटिक निर्देशांक से ईसीईएफ निर्देशांक में कनवर्ट करें।
उपयुक्त के साथ मोलोडेंस्की-बडेकास परिवर्तन संचालित करें $A\to B$ घटना से बदलने के लिए, पैरामीटर बदलें। ईसीईएफ घटना $A$ के लिए समन्वय करता है और $B$ ईसीईएफ समन्वय करता है।
घटना $B$ के लिए ईसीईएफ निर्देशांक से जियोडेटिक निर्देशांक में कनवर्ट करें।

इसका परिवर्तन का रूप है।^[22]

{\begin{bmatrix}X_{B}\\Y_{B}\\Z_{B}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}X_{A}\\Y_{A}\\Z_{A}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\Delta X_{A}\\\Delta Y_{A}\\\Delta Z_{A}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&-r_{z}&r_{y}\\r_{z}&1&-r_{x}\\-r_{y}&r_{x}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{A}-X_{A}^{0}\\Y_{A}-Y_{A}^{0}\\Z_{A}-Z_{A}^{0}\end{bmatrix}}+\Delta S{\begin{bmatrix}X_{A}-X_{A}^{0}\\Y_{A}-Y_{A}^{0}\\Z_{A}-Z_{A}^{0}\end{bmatrix}}.

जहाँ $\left(X_{A}^{0},\,Y_{A}^{0},\,Z_{A}^{0}\right)$ रोटेशन और स्केलिंग ट्रांसफॉर्म के लिए मूल है और $\Delta S$ स्केलिंग कारक है।

मोलोडेंस्की-बडेकस ट्रांस्फ़ॉर्म का उपयोग स्थानीय जियोडेटिक डेटा को वैश्विक जियोडेटिक डेटा में बदलने के लिए किया जाता है। जैसे कि डब्लूजीएस 84। हेल्मर्ट ट्रांसफ़ॉर्म के विपरीत मोलोडेंस्की-बडेकास ट्रांसफ़ॉर्मेशन मूल डेटा के साथ घूर्णी मूल होने के कारण प्रतिवर्ती नहीं है।^[19]^: 134

मोलोडेंस्की परिवर्तन

मोलोडेंस्की परिवर्तन भूस्थैतिक निर्देशांक (ईसीईएफ) में परिवर्तित करने के मध्यवर्ती चरण के बिना सीधे विभिन्न डेटा के भूगर्भीय समन्वय प्रणालियों के बीच परिवर्तित होता है।^[23] इसके लिए घटना केंद्रों और संदर्भ दीर्घवृत्ताभ अर्ध-प्रमुख अक्षों और चपटे मापदंडों के बीच अंतर के बीच तीन समयान्तराल की आवश्यकता प्रदर्शित होती है।

मोलोडेंस्की परिवर्तन का उपयोग राष्ट्रीय भू-स्थानिक-खुफिया एजेंसी (एनजीए) द्वारा उनके मानक टीआर8350.2 और एनजीए समर्थित जियोट्रांस प्रोग्राम में किया जाता है।^[24] मोलोडेंस्की पद्धति आधुनिक कंप्यूटरों के आगमन से पहले लोकप्रिय थी और यह विधि कई जियोडेटिक कार्यक्रमों का भाग है।

ग्रिड-आधारित विधि

स्थान के कार्य के रूप में नैड27 और नैड83 घटना के बीच स्थिति में परिवर्तन का परिमाण।

ग्रिड-आधारित ट्रांसफ़ॉर्मेशन सीधे मानचित्र निर्देशांक को एक (मैप-प्रोजेक्शन, जियोडेटिक घटना) जोड़ी से दूसरे (मैप-प्रोजेक्शन, जियोडेटिक घटना) जोड़ी के मैप निर्देशांक में परिवर्तित करते हैं। एक उदाहरण उत्तरी अमेरिकी घटना (नैड) 1927 से नैड 1983 डेटम में बदलने के लिए नैडकॉन विधि है।^[25] हाई एक्यूरेसी रेफरेंस नेटवर्क (हार्न), नाडकॉन ट्रांसफॉर्म का एक उच्च स्पष्टता वाला संस्करण है। जिसकी स्पष्टता लगभग 5 सेंटीमीटर है। राष्ट्रीय परिवर्तन संस्करण 2 (एनटीवी2) नैड 1927 और नैड 1983 के बीच रूपांतरण के लिए नैडकॉन का एक कनाडाई संस्करण है। हार्न को नैड 83/91 और उच्च परिशुद्धता ग्रिड नेटवर्क (एचपीजीएन) के रूप में भी जाना जाता है।^[26] इसके पश्चात ऑस्ट्रेलिया और न्यूज़ीलैंड ने अपने स्वयं के स्थानीय डेटा के बीच रूपांतरण के लिए ग्रिड-आधारित विधियाँ बनाने के लिए एनटीवी2 प्रारूप को अपनाया गया था।

एकाधिक प्रतिगमन समीकरण रूपांतरण के समान, ग्रिड-आधारित विधियाँ मानचित्र निर्देशांकों को परिवर्तित करने के लिए एक निम्न-क्रम प्रक्षेप विधि का उपयोग करती हैं। किन्तु तीन के स्थान पर दो आयामों में इनका परिवर्तन किया जाता है। एनओएए नैडसीओएन ट्रांसफॉर्मेशन करने के लिए एक सॉफ्टवेयर टूल (एनजीएस जियोडेटिक टूलकिट के भागों के रूप में) प्रदान करता है।^[27]^[28]

एकाधिक प्रतिगमन समीकरण

मानक मोलोडेंस्की परिवर्तनों की तुलना में छोटे भौगोलिक क्षेत्रों में उच्च स्पष्टता परिणाम प्राप्त करने के लिए इम्पीरियल मल्टिपल रिग्रेशन विधियों के उपयोग के माध्यम से डेटा परिवर्तन किए गए थे। एमआरई ट्रांस्फ़ॉर्म का उपयोग स्थानीय डेटा को महाद्वीप के आकार या छोटे क्षेत्रों में वैश्विक डेटा में बदलने के लिए किया जाता है, जैसे डब्लूजीएस 84।^[29] मानक निमा टीएम 8350.2, परिशिष्ट D,^[30] लगभग 2 मीटर की स्पष्टता के साथ एमआरई को कई स्थानीय डेटा से डब्लूजीएस 84 में रूपांतरित करता है।^[31]

एमआरई बिना किसी मध्यवर्ती ईसीईएफ कदम के जियोडेटिक निर्देशांक का प्रत्यक्ष परिवर्तन है। जियोडेटिक निर्देशांक $\phi _{B},\,\lambda _{B},\,h_{B}$ नए डेटम $B$ में भौगोलिक निर्देशांक में नौवीं डिग्री तक के बहुपदों 𝜙 𝐴 , 𝜆 𝐴 , ℎ 𝐴 मूल डेटा 𝐴 के रूप में तैयार किए गए हैं। उदाहरण के लिए, $\phi _{B}$ में परिवर्तन के रूप में परिचालित किया जा सकता है (केवल द्विघात शब्दों तक दिखाया गया है)।^[29]^: 9

\Delta \phi =a_{0}+a_{1}U+a_{2}V+a_{3}U^{2}+a_{4}UV+a_{5}V^{2}+\cdots

जहाँ-

a_{i},

एकाधिक प्रतिगमन द्वारा स्थापित किए गए पैरामीटर

{\begin{aligned}U&=K(\phi _{A}-\phi _{m})\\V&=K(\lambda _{A}-\lambda _{m})\\\end{aligned}}

K,

मापदंड का कारक

\phi _{m},\,\lambda _{m},

डेटा

A.

की उत्पत्ति

$\Delta \lambda$ और $\Delta h$ के लिए समान समीकरणों के साथ पर्याप्त संख्या में दिया गया है। अच्छे आँकड़ों के लिए दोनों डेटा $(A,\,B)$ में स्थलों के लिए समन्वय जोड़े इन बहुपदों के मापदंडों को स्थापित करने के लिए मल्टिपल रिग्रेशन विधियों का उपयोग किया जाता है। स्थापित किए गए गुणांक के साथ बहुपद मल्टिपल रिग्रेशन समीकरणों का निर्माण करते हैं।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Roger Foster; Dan Mullaney. "Basic Geodesy Article 018: Conversions and Transformations" (PDF). National Geospatial Intelligence Agency. Retrieved 4 March 2014.
↑ "समन्वय ट्रांसफार्मर". Ordnance Survey Great Britain. Retrieved 4 March 2014.
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 {{short description|Overview of GPS conversion formulas}}
-[[ भूमंडल नापने का शास्र |जियोडेसी]] सम्पूर्ण विश्व में और समय के साथ उपयोग में आने वाले विभिन्न '''भौगोलिक समन्वय प्रणालियों''' द्वारा विभिन्न '''भौगोलिक समन्वय प्रणालियों''' के बीच रूपांतरण को महत्वपूर्ण बनाया जाता है। निर्देशांक रूपांतरण कई विभिन्न प्रकार के रूपांतरणों से निर्मित है। जो निम्नलिखित हैं- भौगोलिक निर्देशांकों का प्रारूप परिवर्तन, समन्वय प्रणालियों का रूपांतरण या विभिन्न भू-गणितीय डेटा में परिवर्तन। '''भौगोलिक समन्वय रूपांतरण''' में [[नक्शानवीसी|कार्टोग्राफी]], सर्वेक्षण, [[ मार्गदर्शन |नेविगेशन]] और [[भौगोलिक सूचना प्रणाली]] में अनेक अनुप्रयोग हैं।
+[[ भूमंडल नापने का शास्र |जियोडेसी]] सम्पूर्ण विश्व में और समय के साथ उपयोग में आने वाले विभिन्न भौगोलिक समन्वय प्रणालियों द्वारा विभिन्न भौगोलिक समन्वय प्रणालियों के बीच रूपांतरण को महत्वपूर्ण बनाया जाता है। निर्देशांक रूपांतरण कई विभिन्न प्रकार के रूपांतरणों से निर्मित है। जो निम्नलिखित हैं- भौगोलिक निर्देशांकों का प्रारूप परिवर्तन, समन्वय प्रणालियों का रूपांतरण या विभिन्न भू-गणितीय डेटा में परिवर्तन। '''भौगोलिक समन्वय रूपांतरण''' में [[नक्शानवीसी|कार्टोग्राफी]], सर्वेक्षण, [[ मार्गदर्शन |नेविगेशन]] और [[भौगोलिक सूचना प्रणाली]] में अनेक अनुप्रयोग हैं।
 जियोडेसी में भौगोलिक निर्देशांक रूपांतरण को विभिन्न प्रकार की समन्वय प्रारूपों या मानचित्र अनुमानों के बीच अनुवाद के रूप में परिभाषित किया जाता है। जो सभी एक ही [[जियोडेटिक डेटाम|जियोडेटिक घटना]] के संदर्भ में होते हैं।<ref name=Foster2009>{{cite web|author1=Roger Foster  |author2=Dan Mullaney|title=Basic Geodesy Article 018: Conversions and Transformations|publisher=National Geospatial Intelligence Agency|url=http://earth-info.nga.mil/GandG/coordsys/geoarticles/pdfs/Article018_Conversions_and_Transformations.pdf|access-date=4 March 2014}}</ref> भौगोलिक समन्वय परिवर्तन विभिन्न भौगोलिक आंकड़ों के बीच एक अनुवाद होता है। इस लेख में भौगोलिक समन्वय रूपांतरण और परिवर्तन दोनों पर विचार किया जाएगा।
-यह लेख प्रदर्शित करता है कि रीडर पहले से ही लेखों की भौगोलिक समन्वय प्रणाली और जियोडेटिक  घटना की सामग्री से पूर्णतयः परिचित हैं।
+यह लेख प्रदर्शित करता है कि रीडर पहले से ही लेखों की भौगोलिक समन्वय प्रणाली और जियोडेटिक घटना की सामग्री से पूर्णतयः परिचित हैं।
 == इकाइयों और प्रारूप का परिवर्तन ==
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 '''<u>ईसीईएफ से ईएनयू तक-</u>'''
-ईसीईएफ निर्देशांक से स्थानीय निर्देशांक में बदलने के लिए हमें स्थानीय संदर्भ बिंदु की आवश्यकता होती है। सामान्यतः यह एक राडार का स्थान हो सकता है। यदि एक रडार <math>\left\{X_r,\, Y_r,\, Z_r\right\}</math> स्थित है  और एक सतह <math>\left\{X_p,\, Y_p,\, Z_p\right\}</math> पर स्थित हो। तो ईएनयू फ्रेम में रडार से विमान की ओर आदेश करने वाला वेक्टर प्रदर्शित होता है।
+ईसीईएफ निर्देशांक से स्थानीय निर्देशांक में बदलने के लिए हमें स्थानीय संदर्भ बिंदु की आवश्यकता होती है। सामान्यतः यह एक राडार का स्थान हो सकता है। यदि एक रडार <math>\left\{X_r,\, Y_r,\, Z_r\right\}</math> स्थित है और एक सतह <math>\left\{X_p,\, Y_p,\, Z_p\right\}</math> पर स्थित हो। तो ईएनयू फ्रेम में रडार से विमान की ओर आदेश करने वाला वेक्टर प्रदर्शित होता है।
 : <math>
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-=== <u>मानचित्र अनुमानों में रूपांतरण-</u> ===
+=== <u>मानचित्र प्रोजेक्शन में रूपांतरण-</u> ===
-एक ही डेटा के संदर्भ में  मानचित्र अनुमानों के बीच निर्देशांक और मानचित्र स्थिति का रूपांतरण या तो एक प्रक्षेपण से दूसरे प्रक्षेपण में प्रत्यक्ष अनुवाद सूत्रों के माध्यम से या पहले प्रक्षेपण से परिवर्तित करके पूरा किया जा सकता है। एक मध्यवर्ती समन्वय विभिन्न प्रकार की प्रणाली जैसे ईसीईएफ <math>A</math>। फिर ईसीईएफ <math>B</math> से प्रक्षेपण में परिवर्तित करना। इसमें सम्मिलित सूत्र जटिल हो सकते हैं और कुछ स्थितियों में, जैसे ईसीईएफ में उपरोक्त जियोडेटिक रूपांतरण के लिए रूपांतरण का कोई बंद-रूप समाधान नहीं है और अनुमानित विधियों का उपयोग किया जाना चाहिए। डीएमए विधि मैनुअल 8358.1 जैसे संदर्भ<ref name=TM8358.2>{{cite web|title=TM8358.2: The Universal Grids: Universal Transverse Mercator (UTM) and Universal Polar Stereographic (UPS)|url=http://earth-info.nga.mil/GandG/publications/tm8358.2/TM8358_2.pdf|publisher=National Geospatial-Intelligence Agency|access-date=4 March 2014}}</ref> और यूएसजीएस पेपर मैप प्रोजेक्शंस: ए वर्किंग मैनुअल<ref name=Snyder1987>{{cite book|last=Snyder|first=John P.|title=Map Projections: A Working Manual|year=1987|publisher=USGS Professional Paper: 1395|url=https://pubs.er.usgs.gov/publication/pp1395}}</ref> मानचित्र अनुमानों के रूपांतरण के लिए सूत्र सम्मिलित किये जाते हैं। समन्वय रूपांतरण कार्यों को करने के लिए कंप्यूटर प्रोग्राम का उपयोग करना सामान्य है। जैसे कि डीओडी और एनजीए समर्थित जियोट्रांस प्रोग्राम के साथ।<ref name=GEOTRANS_NGA>{{cite web|title=MSP GEOTRANS 3.3 (भौगोलिक अनुवादक)|url=http://earth-info.nga.mil/GandG/geotrans/|publisher=NGA: Coordinate Systems Analysis Branch|access-date=4 March 2014}}</ref>
+एक ही डेटा के संदर्भ में मानचित्र प्रोजेक्शन के बीच निर्देशांक और मानचित्र स्थिति का रूपांतरण या तो एक प्रक्षेपण से दूसरे प्रक्षेपण में प्रत्यक्ष अनुवाद सूत्रों के माध्यम से या पहले प्रक्षेपण से परिवर्तित करके पूरा किया जा सकता है। <math>A</math> एक मध्यवर्ती समन्वय विभिन्न प्रकार की प्रणाली जैसे ईसीईएफ। फिर ईसीईएफ से प्रक्षेपण <math>B</math> में परिवर्तित करना होता है। इसमें सम्मिलित सूत्र जटिल हो सकते हैं और कुछ स्थितियों में, जैसे ईसीईएफ में उपरोक्त जियोडेटिक रूपांतरण के लिए रूपांतरण का कोई बंद-रूप समाधान नहीं है और अनुमानित विधियों का उपयोग किया जाना चाहिए। डीएमए विधि मैनुअल 8358.1 जैसे संदर्भ<ref name=TM8358.2>{{cite web|title=TM8358.2: The Universal Grids: Universal Transverse Mercator (UTM) and Universal Polar Stereographic (UPS)|url=http://earth-info.nga.mil/GandG/publications/tm8358.2/TM8358_2.pdf|publisher=National Geospatial-Intelligence Agency|access-date=4 March 2014}}</ref> और यूएसजीएस पेपर मैप प्रोजेक्शंस: ए वर्किंग मैनुअल<ref name=Snyder1987>{{cite book|last=Snyder|first=John P.|title=Map Projections: A Working Manual|year=1987|publisher=USGS Professional Paper: 1395|url=https://pubs.er.usgs.gov/publication/pp1395}}</ref> मानचित्र प्रोजेक्शन के रूपांतरण के लिए सूत्र सम्मिलित किये जाते हैं। समन्वय रूपांतरण कार्यों को करने के लिए कंप्यूटर प्रोग्राम का उपयोग करना सामान्य है। जैसे कि डीओडी और एनजीए समर्थित जियोट्रांस प्रोग्राम के साथ।<ref name=GEOTRANS_NGA>{{cite web|title=MSP GEOTRANS 3.3 (भौगोलिक अनुवादक)|url=http://earth-info.nga.mil/GandG/geotrans/|publisher=NGA: Coordinate Systems Analysis Branch|access-date=4 March 2014}}</ref>
 == डेटा परिवर्तन ==
 {{further|जियोडेटिक डेटम}}
-[[File:Possible paths for datum transform.svg|400px|right|alt=coordinate transform paths|घटना से भौगोलिक निर्देशांक बदलने के लिए विभिन्न संभव पथ <math>A</math> तारीख को <math>B</math>]]घटना के बीच रूपांतरण कई प्रकारों से पूरा किया जा सकता है। ये ऐसे परिवर्तन हैं, जो सीधे जियोडेटिक निर्देशांक को एक डेटा से दूसरे में परिवर्तित करते रहते हैं। ये अधिक अप्रत्यक्ष रूपांतरण हैं, जो जियोडेटिक निर्देशांक से ईसीईएफ निर्देशांक में परिवर्तित होते किये हैं। ईसीईएफ निर्देशांक को एक  घटना से दूसरे में परिवर्तित करते हैं। फिर नए डेटा के ईसीईएफ निर्देशांक को वापस जियोडेटिक निर्देशांक में बदलते जाते हैं। ग्रिड-आधारित परिवर्तन भी हैं, जो सीधे एक ( घटना मैप प्रोजेक्शन) जोड़ी से दूसरी ( घटना मैप प्रोजेक्शन) जोड़ी में परिवर्तित होते रहते हैं।
+[[File:Possible paths for datum transform.svg|400px|right|alt=coordinate transform paths|घटना से भौगोलिक निर्देशांक बदलने के लिए विभिन्न संभव पथ <math>A</math> तारीख को <math>B</math>]]घटना के बीच रूपांतरण कई प्रकारों से पूरा किया जा सकता है। ये ऐसे परिवर्तन हैं, जो सीधे जियोडेटिक निर्देशांक को एक डेटा से दूसरे में परिवर्तित करते रहते हैं। ये अधिक अप्रत्यक्ष रूपांतरण हैं, जो जियोडेटिक निर्देशांक से ईसीईएफ निर्देशांक में परिवर्तित होते किये हैं। ईसीईएफ निर्देशांक को एक घटना से दूसरे में परिवर्तित करते हैं। फिर नए डेटा के ईसीईएफ निर्देशांक को वापस जियोडेटिक निर्देशांक में बदलते जाते हैं। ग्रिड-आधारित परिवर्तन भी हैं, जो सीधे एक ( घटना मैप प्रोजेक्शन) जोड़ी से दूसरी ( घटना मैप प्रोजेक्शन) जोड़ी में परिवर्तित होते रहते हैं।
 === हेल्मर्ट परिवर्तन ===
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 {{main|हेल्मर्ट परिवर्तन}}
-घटना <math>A</math> के जियोडेटिक कोऑर्डिनेट से ट्रांसफॉर्मेशन में हेल्मर्ट ट्रांसफॉर्म का उपयोग  घटना <math>B</math> के भूगर्भीय निर्देशांक के लिए तीन-चरणों वाली प्रक्रिया के संदर्भ में होता है:<ref name=HelmertNZ>{{cite web|title=डेटम रूपांतरणों के लिए प्रयुक्त समीकरण|url=http://www.linz.govt.nz/geodetic/conversion-coordinates/geodetic-datum-conversion/datum-transformation-equations/index.aspx|publisher=Land Information New Zealand (LINZ)|access-date=5 March 2014}}</ref>
+घटना के जियोडेटिक कोऑर्डिनेट से ट्रांसफॉर्मेशन में हेल्मर्ट ट्रांसफॉर्म का उपयोग भौगोलिक निर्देशांक के लिए घटना <math>A</math> <math>B</math> तीन-चरणों वाली प्रक्रिया के संदर्भ में होता है:<ref name=HelmertNZ>{{cite web|title=डेटम रूपांतरणों के लिए प्रयुक्त समीकरण|url=http://www.linz.govt.nz/geodetic/conversion-coordinates/geodetic-datum-conversion/datum-transformation-equations/index.aspx|publisher=Land Information New Zealand (LINZ)|access-date=5 March 2014}}</ref>
-# घटना <math>A</math> के लिए जियोडेटिक निर्देशांक से ईसीईएफ निर्देशांक में कनवर्ट करें।
+# डेटम <math>A</math> के लिए जियोडेटिक निर्देशांक से ईसीईएफ निर्देशांक में बदलाव करें।
-# <math>A\to B</math>  घटना से बदलने के लिएउपयुक्त के साथ हेल्मर्ट ट्रांसफ़ॉर्म संचालित करें। ईसीईएफ पैरामीटर बदलें और  घटना <math>A</math> के लिए समन्वय करता है और <math>B</math> ईसीईएफ समन्वय करता है।
+# उपयुक्त के साथ हेल्मर्ट ट्रांसफ़ॉर्म संचालित करें। <math>A\to B</math> घटना से बदलने के लिए ईसीईएफ पैरामीटर बदलें और ईसीईएफ डेटम <math>A</math> के लिए समन्वय करता है और <math>B</math> ईसीईएफ समन्वय करता है।
-# घटना <math>B</math> के लिए ईसीईएफ निर्देशांक से जियोडेटिक निर्देशांक में  करें।
+# डेटम <math>B</math> के लिए ईसीईएफ निर्देशांक से भौगोलिक निर्देशांक में परिवर्तन करें।
-ईसीईएफ एक्सवाईजेड वैक्टर के संदर्भ में हेल्मर्ट ट्रांसफॉर्म का रूप है (स्थिति वेक्टर परिवर्तन सम्मेलन और बहुत छोटा रोटेशन कोण सरलीकरण)<ref name=HelmertNZ/>
+ईसीईएफ डेटम वेक्टर के संदर्भ में हेल्मर्ट ट्रांसफॉर्म का रूप है (स्थिति वेक्टर परिवर्तन सम्मेलन और बहुत छोटा रोटेशन कोण सरलीकरण)<ref name=HelmertNZ/>
 : <math>
@@ Line 241: / Line 241: @@
    \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_A \\ Y_A \\ Z_A \end{bmatrix}.
 </math>
-हेल्मर्ट ट्रांस्फ़ॉर्म एक सात-पैरामीटर ट्रांसफ़ॉर्म है। जिसमें तीन ट्रांसलेशन (शिफ्ट) पैरामीटर <math>c_x,\, c_y,\, c_z</math> हैं। तीन रोटेशन पैरामीटर <math>r_x,\, r_y,\, r_z</math> और एक स्केलिंग (फैलाव) पैरामीटर <math>s</math> हेल्मर्ट ट्रांसफ़ॉर्म एक अनुमानित प्रकार है। जो स्पष्ट है, जब ट्रांसफ़ॉर्म पैरामीटर ईसीईएफ़ वैक्टर के परिमाण के सापेक्ष छोटे होते हैं। इन नियमों के अनुसार परिवर्तन को प्रतिवर्ती माना जाता है।<ref name=OGP7_2>{{cite web|title=जियोमैटिक्स गाइडेंस नोट नंबर 7, भाग 2 समन्वय रूपांतरण और सूत्र सहित परिवर्तन|url=http://info.ogp.org.uk/geodesy/guides/docs/G7-2.pdf|publisher=International Association of Oil and Gas Producers (OGP)|access-date=5 March 2014|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20140306005736/http://info.ogp.org.uk/geodesy/guides/docs/G7-2.pdf|archive-date=6 March 2014}}</ref>
+हेल्मर्ट ट्रांस्फ़ॉर्म एक सात-पैरामीटर ट्रांसफ़ॉर्म है। जिसमें तीन ट्रांसलेशन (शिफ्ट) पैरामीटर <math>c_x,\, c_y,\, c_z</math> हैं। तीन रोटेशन पैरामीटर <math>r_x,\, r_y,\, r_z</math> और एक स्केलिंग (फैलाव) पैरामीटर <math>s</math> हेल्मर्ट ट्रांसफ़ॉर्म एक अनुमानित प्रकार है। जो पूर्णतः स्पष्ट है, जब ट्रांसफ़ॉर्म पैरामीटर ईसीईएफ़ वैक्टर के परिमाण के सापेक्ष छोटे होते हैं। इन नियमों के अनुसार परिवर्तन को प्रतिवर्ती माना जाता है।<ref name=OGP7_2>{{cite web|title=जियोमैटिक्स गाइडेंस नोट नंबर 7, भाग 2 समन्वय रूपांतरण और सूत्र सहित परिवर्तन|url=http://info.ogp.org.uk/geodesy/guides/docs/G7-2.pdf|publisher=International Association of Oil and Gas Producers (OGP)|access-date=5 March 2014|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20140306005736/http://info.ogp.org.uk/geodesy/guides/docs/G7-2.pdf|archive-date=6 March 2014}}</ref>
 चौदह-पैरामीटर हेल्मर्ट रूपांतरण प्रत्येक पैरामीटर के लिए रैखिक समय निर्भरता के साथ{{r|OGP7_2|page1=131-133}} भू-आकृतिक प्रक्रियाओं, जैसे कि महाद्वीपीय बहाव और भूकंप के भौगोलिक निर्देशांक बचे हुए समय के विकास को पकड़ने के लिए प्रयोग किया जा सकता है।<ref name=Bolstad>{{cite book|last=Bolstad|first=Paul|title=GIS Fundamentals, 4th Edition|year=2012 |publisher=Atlas books|isbn=978-0-9717647-3-6|page=93|url=http://www.paulbolstad.net/4thedition/samplechaps/GISFundChap3.pdf|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20160202201558/http://www.paulbolstad.net/4thedition/samplechaps/GISFundChap3.pdf|archive-date=2016-02-02}}</ref> <ref name=addend_8350_2>{{cite web|title=NIMA TR 8350.2 का परिशिष्ट: वर्ल्ड जियोडेटिक सिस्टम 1984 का कार्यान्वयन (WGS 84) संदर्भ फ़्रेम G1150|url=http://gis-lab.info/docs/nima-tr8350.2-addendum.pdf|publisher=National Geospatial-Intelligence Agency|access-date=6 March 2014}</ref> इसे सॉफ्टवेयर में सम्मिलित किया गया है। जैसे यू.एस. एनजीएस से हॉरिजॉन्टल टाइम डिपेंडेंट पोजिशनिंग (एचटीडीपी) टूल।
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 हेल्मर्ट रूपांतरण की प्रकार, मोलोडेंस्की-बडेकास रूपांतरण का उपयोग करना तीन चरणों वाली प्रक्रिया है:
 # घटना <math>A</math> के लिए जियोडेटिक निर्देशांक से ईसीईएफ निर्देशांक में कनवर्ट करें।
-# उपयुक्त के साथ मोलोडेंस्की-बडेकास परिवर्तन संचालित करें <math>A\to B</math>  घटना से बदलने के लिए, पैरामीटर बदलें। ईसीईएफ  घटना <math>A</math> के लिए समन्वय करता है और <math>B</math> ईसीईएफ समन्वय करता है।
+# उपयुक्त के साथ मोलोडेंस्की-बडेकास परिवर्तन संचालित करें <math>A\to B</math> घटना से बदलने के लिए, पैरामीटर बदलें। ईसीईएफ घटना <math>A</math> के लिए समन्वय करता है और <math>B</math> ईसीईएफ समन्वय करता है।
 # घटना <math>B</math> के लिए ईसीईएफ निर्देशांक से जियोडेटिक निर्देशांक में कनवर्ट करें।
 इसका परिवर्तन का रूप है।<ref name=MB_NGA>{{cite web|title=मोलोडेंस्की-बडेका का (7+3) परिवर्तन|url=http://earth-info.nga.mil/GandG/coordsys/datums/molodensky.html|publisher=National Geospatial Intelligence Agency (NGA)|access-date=5 March 2014}}</ref>
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 === मोलोडेंस्की परिवर्तन ===
-मोलोडेंस्की परिवर्तन भूस्थैतिक निर्देशांक (ईसीईएफ) में परिवर्तित करने के मध्यवर्ती चरण के बिना सीधे विभिन्न डेटा के भूगर्भीय समन्वय प्रणालियों के बीच परिवर्तित होता है।<ref name=esri_eq_based>{{cite web|title=ArcGIS सहायता 10.1: समीकरण-आधारित विधियाँ|url=http://resources.arcgis.com/en/help/main/10.1/index.html#//003r00000012000000|publisher=ESRI|access-date=5 March 2014}}</ref> इसके लिए  घटना केंद्रों और संदर्भ दीर्घवृत्ताभ अर्ध-प्रमुख अक्षों और चपटे मापदंडों के बीच अंतर के बीच तीन समयान्तराल की आवश्यकता प्रदर्शित होती है।
+मोलोडेंस्की परिवर्तन भूस्थैतिक निर्देशांक (ईसीईएफ) में परिवर्तित करने के मध्यवर्ती चरण के बिना सीधे विभिन्न डेटा के भूगर्भीय समन्वय प्रणालियों के बीच परिवर्तित होता है।<ref name=esri_eq_based>{{cite web|title=ArcGIS सहायता 10.1: समीकरण-आधारित विधियाँ|url=http://resources.arcgis.com/en/help/main/10.1/index.html#//003r00000012000000|publisher=ESRI|access-date=5 March 2014}}</ref> इसके लिए घटना केंद्रों और संदर्भ दीर्घवृत्ताभ अर्ध-प्रमुख अक्षों और चपटे मापदंडों के बीच अंतर के बीच तीन समयान्तराल की आवश्यकता प्रदर्शित होती है।
 मोलोडेंस्की परिवर्तन का उपयोग [[ राष्ट्रीय भू-स्थानिक-खुफिया एजेंसी |राष्ट्रीय भू-स्थानिक-खुफिया एजेंसी]] (एनजीए) द्वारा उनके मानक टीआर8350.2 और एनजीए समर्थित जियोट्रांस प्रोग्राम में किया जाता है।<ref name=NGA_Datum>{{cite web|title=डेटम ट्रांसफॉर्मेशन|url=http://earth-info.nga.mil/GandG/coordsys/datums/index.html|publisher=National Geospatial-Intelligence Agency|access-date=5 March 2014}</ref> मोलोडेंस्की पद्धति आधुनिक कंप्यूटरों के आगमन से पहले लोकप्रिय थी और यह विधि कई जियोडेटिक कार्यक्रमों का भाग है।
@@ Line 279: / Line 279: @@
 === ग्रिड-आधारित विधि ===
-[[File:Datum Shift Between NAD27 and NAD83.png|thumb|स्थान के कार्य के रूप में नैड27 और नैड83  घटना के बीच स्थिति में परिवर्तन का परिमाण।]]ग्रिड-आधारित ट्रांसफ़ॉर्मेशन सीधे मानचित्र निर्देशांक को एक (मैप-प्रोजेक्शन, जियोडेटिक  घटना) जोड़ी से दूसरे (मैप-प्रोजेक्शन, जियोडेटिक  घटना) जोड़ी के मैप निर्देशांक में परिवर्तित करते हैं। एक उदाहरण उत्तरी अमेरिकी  घटना (एनएडी) 1927 से एनएडी 1983  घटना में बदलने के लिए एनएडीकॉन विधि है।<ref name=ESRI_grid>{{cite web|title=ArcGIS सहायता 10.1: ग्रिड-आधारित विधियाँ|url=http://resources.arcgis.com/en/help/main/10.1/index.html#//003r00000013000000|publisher=ESRI|access-date=5 March 2014}</ref> हाई एक्यूरेसी रेफरेंस नेटवर्क (हार्न), नाडकॉन ट्रांसफॉर्म का एक उच्च स्पष्टता वाला संस्करण है। जिसकी स्पष्टता लगभग 5 सेंटीमीटर है। राष्ट्रीय परिवर्तन संस्करण 2 (एनटीवी2) एनएडी 1927 और एनएडी 1983 के बीच रूपांतरण के लिए नैडकॉन का एक कनाडाई संस्करण है। हार्न को एनएडी 83/91 और उच्च परिशुद्धता ग्रिड नेटवर्क (एचपीजीएन) के रूप में भी जाना जाता है।<ref name=nadcon_harn>{{cite web|title=NADCON/HARN डेट शिफ्ट मेथड|url=http://www.bluemarblegeo.com/knowledgebase/geocalc/classdef/datumshift/datumshifts/nadcon.html|publisher=bluemarblegeo.com|access-date=5 March 2014}</ref> इसके पश्चात ऑस्ट्रेलिया और न्यूज़ीलैंड ने अपने स्वयं के स्थानीय डेटा के बीच रूपांतरण के लिए ग्रिड-आधारित विधियाँ बनाने के लिए एनटीवी2 प्रारूप को अपनाया।
+[[File:Datum Shift Between NAD27 and NAD83.png|thumb|स्थान के कार्य के रूप में नैड27 और नैड83 घटना के बीच स्थिति में परिवर्तन का परिमाण।]]ग्रिड-आधारित ट्रांसफ़ॉर्मेशन सीधे मानचित्र निर्देशांक को एक (मैप-प्रोजेक्शन, जियोडेटिक घटना) जोड़ी से दूसरे (मैप-प्रोजेक्शन, जियोडेटिक घटना) जोड़ी के मैप निर्देशांक में परिवर्तित करते हैं। एक उदाहरण उत्तरी अमेरिकी घटना (नैड) 1927 से नैड 1983 डेटम में बदलने के लिए नैडकॉन विधि है।<ref name=ESRI_grid>{{cite web|title=ArcGIS सहायता 10.1: ग्रिड-आधारित विधियाँ|url=http://resources.arcgis.com/en/help/main/10.1/index.html#//003r00000013000000|publisher=ESRI|access-date=5 March 2014}</ref> हाई एक्यूरेसी रेफरेंस नेटवर्क (हार्न), नाडकॉन ट्रांसफॉर्म का एक उच्च स्पष्टता वाला संस्करण है। जिसकी स्पष्टता लगभग 5 सेंटीमीटर है। राष्ट्रीय परिवर्तन संस्करण 2 (एनटीवी2) नैड 1927 और नैड 1983 के बीच रूपांतरण के लिए नैडकॉन का एक कनाडाई संस्करण है। हार्न को नैड 83/91 और उच्च परिशुद्धता ग्रिड नेटवर्क (एचपीजीएन) के रूप में भी जाना जाता है।<ref name=nadcon_harn>{{cite web|title=NADCON/HARN डेट शिफ्ट मेथड|url=http://www.bluemarblegeo.com/knowledgebase/geocalc/classdef/datumshift/datumshifts/nadcon.html|publisher=bluemarblegeo.com|access-date=5 March 2014}</ref> इसके पश्चात ऑस्ट्रेलिया और न्यूज़ीलैंड ने अपने स्वयं के स्थानीय डेटा के बीच रूपांतरण के लिए ग्रिड-आधारित विधियाँ बनाने के लिए एनटीवी2 प्रारूप को अपनाया गया था।
-एकाधिक प्रतिगमन समीकरण रूपांतरण की प्रकार ग्रिड-आधारित विधियाँ मानचित्र निर्देशांकों को परिवर्तित करने के लिए एक निम्न-क्रम प्रक्षेप विधि का उपयोग करती हैं। किन्तु तीन के अतिरिक्त दो आयामों में इनका प्रयोग किया जाता है। [[एनओएए]] एनएडीसीओएन ट्रांसफॉर्मेशन करने के लिए एक सॉफ्टवेयर टूल (एनजीएस जियोडेटिक टूलकिट के भागों के रूप में) प्रदान करता है।<ref name=NOAA_NADCON>{{cite web|title=नैडकॉन - संस्करण 4.2|url=http://www.ngs.noaa.gov/PC_PROD/NADCON/|publisher=NOAA|access-date=5 March 2014}}</ref><ref name=Mulcare>{{cite web|last=Mulcare |first=Donald M. |title=NGS Toolkit, Part 8: The National Geodetic Survey NADCON Tool |url=http://www.profsurv.com/magazine/article.aspx?i=1193 |publisher=Professional Surveyor Magazine |access-date=5 March 2014 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20140306001134/http://www.profsurv.com/magazine/article.aspx?i=1193 |archive-date=6 March 2014 }}</ref>
+एकाधिक प्रतिगमन समीकरण रूपांतरण के समान, ग्रिड-आधारित विधियाँ मानचित्र निर्देशांकों को परिवर्तित करने के लिए एक निम्न-क्रम प्रक्षेप विधि का उपयोग करती हैं। किन्तु तीन के स्थान पर दो आयामों में इनका परिवर्तन किया जाता है। [[एनओएए]] नैडसीओएन ट्रांसफॉर्मेशन करने के लिए एक सॉफ्टवेयर टूल (एनजीएस जियोडेटिक टूलकिट के भागों के रूप में) प्रदान करता है।<ref name=NOAA_NADCON>{{cite web|title=नैडकॉन - संस्करण 4.2|url=http://www.ngs.noaa.gov/PC_PROD/NADCON/|publisher=NOAA|access-date=5 March 2014}}</ref><ref name=Mulcare>{{cite web|last=Mulcare |first=Donald M. |title=NGS Toolkit, Part 8: The National Geodetic Survey NADCON Tool |url=http://www.profsurv.com/magazine/article.aspx?i=1193 |publisher=Professional Surveyor Magazine |access-date=5 March 2014 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20140306001134/http://www.profsurv.com/magazine/article.aspx?i=1193 |archive-date=6 March 2014 }}</ref>
 === [[एकाधिक प्रतिगमन]] समीकरण ===
-मानक मोलोडेंस्की परिवर्तनों की तुलना में छोटे भौगोलिक क्षेत्रों में उच्च स्पष्टता परिणाम प्राप्त करने के लिए अनुभवजन्य एकाधिक प्रतिगमन विधियों के उपयोग के माध्यम से डेटा परिवर्तन किए गए थे। एमआरई ट्रांस्फ़ॉर्म का उपयोग स्थानीय डेटा को महाद्वीप के आकार या छोटे क्षेत्रों में वैश्विक डेटा में बदलने के लिए किया जाता है, जैसे डब्लूजीएस 84।<ref name=IHO>{{cite report|title=User's Handbook on Datum Transformations Involving WGS 84 |date=August 2008 |edition=3rd |series=Special Publication No. 60 |publisher=International Hydrographic Bureau |location=Monaco |url=https://www.iho.int/iho_pubs/standard/S60_Ed3Eng.pdf |access-date=2017-01-10 }}</ref> मानक निमा टीएम 8350.2, परिशिष्ट D,<ref name=tr8350_2>{{cite web|title=डिफेन्स वर्ल्ड जियोडेटिक सिस्टम 1984 विभाग इसकी परिभाषा और स्थानीय जियोडेटिक सिस्टम के साथ संबंध|url=http://earth-info.nga.mil/GandG/publications/tr8350.2/wgs84fin.pdf|publisher=National Imagery and Mapping Agency (NIMA)|access-date=5 March 2014}</ref> लगभग 2 मीटर की स्पष्टता के साथ एमआरई को कई स्थानीय डेटा से डब्लूजीएस 84 में रूपांतरित करता है।<ref name=taylor_high>{{cite web|last=Taylor|first=Chuck|title=उच्च-सटीकता डेटा परिवर्तन|url=http://home.hiwaay.net/~taylorc/bookshelf/math-science/geodesy/datum/transform/high-accuracy/|access-date=5 March 2014}}</ref>
+मानक मोलोडेंस्की परिवर्तनों की तुलना में छोटे भौगोलिक क्षेत्रों में उच्च स्पष्टता परिणाम प्राप्त करने के लिए इम्पीरियल मल्टिपल रिग्रेशन विधियों के उपयोग के माध्यम से डेटा परिवर्तन किए गए थे। एमआरई ट्रांस्फ़ॉर्म का उपयोग स्थानीय डेटा को महाद्वीप के आकार या छोटे क्षेत्रों में वैश्विक डेटा में बदलने के लिए किया जाता है, जैसे डब्लूजीएस 84।<ref name=IHO>{{cite report|title=User's Handbook on Datum Transformations Involving WGS 84 |date=August 2008 |edition=3rd |series=Special Publication No. 60 |publisher=International Hydrographic Bureau |location=Monaco |url=https://www.iho.int/iho_pubs/standard/S60_Ed3Eng.pdf |access-date=2017-01-10 }}</ref> मानक निमा टीएम 8350.2, परिशिष्ट D,<ref name=tr8350_2>{{cite web|title=डिफेन्स वर्ल्ड जियोडेटिक सिस्टम 1984 विभाग इसकी परिभाषा और स्थानीय जियोडेटिक सिस्टम के साथ संबंध|url=http://earth-info.nga.mil/GandG/publications/tr8350.2/wgs84fin.pdf|publisher=National Imagery and Mapping Agency (NIMA)|access-date=5 March 2014}</ref> लगभग 2 मीटर की स्पष्टता के साथ एमआरई को कई स्थानीय डेटा से डब्लूजीएस 84 में रूपांतरित करता है।<ref name=taylor_high>{{cite web|last=Taylor|first=Chuck|title=उच्च-सटीकता डेटा परिवर्तन|url=http://home.hiwaay.net/~taylorc/bookshelf/math-science/geodesy/datum/transform/high-accuracy/|access-date=5 March 2014}}</ref>
-एमआरई बिना किसी मध्यवर्ती ईसीईएफ कदम के जियोडेटिक निर्देशांक का प्रत्यक्ष परिवर्तन है। जियोडेटिक निर्देशांक <math>\phi_B,\, \lambda_B,\, h_B</math> नए  घटना <math>B</math> में जियोडेटिक निर्देशांक में नौवीं डिग्री तक के [[बहुपद|बहुपदों]] 𝜙 𝐴 , 𝜆 𝐴 , ℎ 𝐴 मूल डेटा 𝐴 के रूप में तैयार किए गए हैं। उदाहरण के लिए, <math>\phi_B</math> में परिवर्तन के रूप में परिचालित किया जा सकता है (केवल द्विघात शब्दों तक दिखाया गया है){{r|IHO|page1=9}}
+एमआरई बिना किसी मध्यवर्ती ईसीईएफ कदम के जियोडेटिक निर्देशांक का प्रत्यक्ष परिवर्तन है। जियोडेटिक निर्देशांक <math>\phi_B,\, \lambda_B,\, h_B</math> नए डेटम <math>B</math> में भौगोलिक निर्देशांक में नौवीं डिग्री तक के [[बहुपद|बहुपदों]] 𝜙 𝐴 , 𝜆 𝐴 , ℎ 𝐴 मूल डेटा 𝐴 के रूप में तैयार किए गए हैं। उदाहरण के लिए, <math>\phi_B</math> में परिवर्तन के रूप में परिचालित किया जा सकता है (केवल द्विघात शब्दों तक दिखाया गया है)।{{r|IHO|page1=9}}
 :<math>\Delta \phi = a_0 + a_1 U + a_2 V + a_3 U^2 + a_4 UV + a_5 V^2 + \cdots</math>
 जहाँ-
-: <math>a_i,</math> एकाधिक प्रतिगमन द्वारा फिट किए गए पैरामीटर
+: <math>a_i,</math> एकाधिक प्रतिगमन द्वारा स्थापित किए गए पैरामीटर
 : <math>\begin{align}
      U &= K(\phi_A - \phi_m) \\
@@ Line 299: / Line 299: @@
 : <math>K,</math> मापदंड का कारक
 : <math>\phi_m,\, \lambda_m,</math> डेटा <math>A.</math> की उत्पत्ति
-<math> \Delta\lambda</math> और <math>\Delta h</math> के लिए समान समीकरणों के साथ पर्याप्त संख्या में दिया गया। अच्छे आँकड़ों के लिए दोनों डेटा <math>(A,\, B)</math> में स्थलों के लिए समन्वय जोड़े इन बहुपदों के मापदंडों को फिट करने के लिए कई प्रतिगमन विधियों का उपयोग किया जाता है। बहुपद, फिट किए गए गुणांक के साथ, कई प्रतिगमन समीकरण बनाते हैं।
+<math> \Delta\lambda</math> और <math>\Delta h</math> के लिए समान समीकरणों के साथ पर्याप्त संख्या में दिया गया है। अच्छे आँकड़ों के लिए दोनों डेटा <math>(A,\, B)</math> में स्थलों के लिए समन्वय जोड़े इन बहुपदों के मापदंडों को स्थापित करने के लिए मल्टिपल रिग्रेशन विधियों का उपयोग किया जाता है। स्थापित किए गए गुणांक के साथ बहुपद मल्टिपल रिग्रेशन समीकरणों का निर्माण करते हैं।
 == यह भी देखें ==
 * गॉस-क्रुगर समन्वय प्रणाली
-* [[नक्शा अनुमानों की सूची|मानचित्र अनुमानों की सूची]]
+* [[नक्शा अनुमानों की सूची|मानचित्र प्रोजेक्शन की सूची]]
 * [[स्थानिक संदर्भ प्रणाली]]
 * [[स्थलाकृतिक समन्वय प्रणाली]]
-* [[यूनिवर्सल पोलर स्टीरियोग्राफिक कोऑर्डिनेट सिस्टम]]
+* [[यूनिवर्सल पोलर स्टीरियोग्राफिक कोऑर्डिनेट सिस्टम|यूनिवर्सल पोलर स्टीरियोग्राफिक कोऑर्डिनेट प्रणाली]]
 * [[यूनिवर्सल ट्रांसवर्स मर्केटर समन्वय प्रणाली]]
 ==संदर्भ==
 {{reflist|30em}}
-[[Category: भौगोलिक समन्वय प्रणाली|*रूपांतरण]] [[Category: भूमंडल नापने का शास्र]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
+[[Category:CS1 Deutsch-language sources (de)]]
 [[Category:Created On 18/04/2023]]
+[[Category:Lua-based templates]]
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इकाइयों और प्रारूप का परिवर्तन

समन्वय प्रणाली रूपांतरण

गुण

ऑर्थोगोनलिटी-

न्यूटन-रेफसन विधि-

फेरारी सल्यूसन-

पावर सीरीज-

पावर सीरीज छोटे $e 2$ के लिए-

ईएनयू से ईसीईएफ तक-

मानचित्र प्रोजेक्शन में रूपांतरण-

डेटा परिवर्तन

हेल्मर्ट परिवर्तन

मोलोडेंस्की-बडेकास परिवर्तन

मोलोडेंस्की परिवर्तन

ग्रिड-आधारित विधि

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इकाइयों और प्रारूप का परिवर्तन

समन्वय प्रणाली रूपांतरण

गुण

ऑर्थोगोनलिटी-

न्यूटन-रेफसन विधि-

फेरारी सल्यूसन-

पावर सीरीज-

पावर सीरीज छोटे e2 के लिए-

ईएनयू से ईसीईएफ तक-

मानचित्र प्रोजेक्शन में रूपांतरण-

डेटा परिवर्तन

हेल्मर्ट परिवर्तन

मोलोडेंस्की-बडेकास परिवर्तन

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एकाधिक प्रतिगमन समीकरण

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