गुणनखण्ड: Difference between revisions

Latest revision as of 09:26, 10 October 2022

बहुपद x²+ cx + d, जहाँ a +b)।

गणित में, गुणनखंड (या गुणनखंड, अंग्रेजी वर्तनी अंतर देखें) या गुणनखंड में एक संख्या या अन्य गणितीय वस्तु को कई गुणनखंडों के उत्पाद के रूप में लिखना होता है, आमतौर पर एक ही तरह की छोटी या सरल उद्देश्य है। उदाहरण के लिए, 3 × 5 का गुणनखंडन पूर्णांक 15 है, और बहुपद (x - 2)(x + 2) का गुणनखंडन x² - 4 है।

गुणनखंडन को आमतौर पर विभाजन वाली संख्या प्रणालियों के भीतर सार्थक नहीं माना जाता है, जैसे वास्तविक या जटिल संख्याएं है, क्योंकि किसी भी $x$ को तुच्छ रूप से $(xy)\times (1/y)$ लिखा जा सकता है जब भी $y$ शून्य नहीं है। हालांकि, एक परिमेय संख्या या एक परिमेय गुणनखंड के लिए एक सार्थक गुणनखंडन को सबसे कम शब्दों में लिखकर और उसके अंश और हर को अलग-अलग करके प्राप्त किया जा सकता है।

प्राचीन यूनानी गणितज्ञों ने सबसे पहले पूर्णांकों के मामले में गुणनखंडन पर विचार किया था। उन्होंने अंकगणित के मूलभूत प्रमेय को सिद्ध किया, जो यह दावा करता है कि प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल में विभाजित किया जा सकता है, जिसे आगे 1 से अधिक पूर्णांकों में विभाजित नहीं किया जा सकता है। इसके अलावा, यह गुणनखंड के क्रम तक अद्वितीय है। हालांकि पूर्णांक गुणनखंड गुणन का एक प्रकार है, यह कलनविधि (एल्गोरिथम) की दृष्टि से कहीं अधिक कठिन है, एक तथ्य है जिसका सार्वजनिक-कुंजी बीज-लेखन को लागू करने के लिए आरएसए क्रिप्टोसिस्टम में उपयोग किया जाता है।

सदियों से बहुपद गुणनखंड का भी अध्ययन किया गया है। प्रारंभिक बीजगणित में, बहुपद का गुणनखंड करने से इसकी मूल को खोजने की समस्या को गुणनखंडों की मूल को खोजने की समस्या कम हो जाती है। पूर्णांकों में या किसी क्षेत्र में गुणांक वाले बहुपदों में अद्वितीय गुणनखंडन गुण होते हैं, जो अभाज्य संख्याओं के साथ अंकगणित के मौलिक प्रमेय का एक संस्करण है जिसे अखंडनीय बहुपद द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। विशेष रूप से, जटिल गुणांक वाला एक अविभाज्य बहुपद रैखिक बहुपदों में एक अद्वितीय (आदेश देने तक) गुणनखंड को स्वीकार करता है: यह बीजगणित के मौलिक प्रमेय का एक संस्करण है। इस मामले में, गुणनखंड करण मूल निकालने की विधि के साथ किया जा सकता है। पूर्णांक गुणांक के साथ बहुपद का मामला कंप्यूटर बीजगणित के लिए मौलिक है। तर्कसंगत संख्या गुणांक के साथ बहुपद की वलय के भीतर अभिकलन (कंप्यूटिंग) (पूर्ण) गुणनखंड के लिए कुशल अभिकलित्र कलनविधि (कंप्यूटर एल्गोरिदम) हैं (बहुपदों का गुणनखंड देखें)।

अद्वितीय गुणनखंड गुण वाले क्रमविनिमेय (कम्यूटेटिव) वलय को एक अद्वितीय गुणनखंड करण प्रभावक्षेत्र कहा जाता है। संख्या प्रणालियाँ हैं, जैसे कि बीजगणितीय पूर्णांक के कुछ वलय, जो अद्वितीय गुणनखंड नहीं हैं। हालांकि, बीजगणितीय पूर्णांक के वलय डेडेकिंड प्रभावक्षेत्र की कमजोर गुण को आदर्श गुणनखंड विशिष्ट आदर्शों में विशिष्ट रूप से संतुष्ट करते हैं।

गुणनखंडन एक गणितीय वस्तु के अधिक सामान्य अपघटन को छोटी या सरल वस्तुओं के उत्पाद में भी संदर्भित कर सकता है। उदाहरण के लिए, प्रत्येक गुणनखंड को एकैकी गुणनखंड के साथ एक विशेषण गुणनखंड की संरचना में शामिल किया जा सकता है। आव्यूह(मैट्रिक्स) में कई प्रकार के आव्यूह गुणनखंड होते हैं। उदाहरण के लिए, प्रत्येक आव्यूह में एक निचले त्रिकोणीय आव्यूह L के उत्पाद के रूप में एक अद्वितीय एलयूपी गुणनखंडन होता है, जिसमें सभी विकर्ण प्रविष्टियाँ एक के बराबर होती हैं, एक ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह U, और एक क्रम परिवर्तन आव्यूह P, यह गाऊसी उन्मूलन का एक आव्यूह सूत्रीकरण है।

पूर्णांक

अंकगणित के मौलिक प्रमेय के अनुसार, 1 से अधिक के प्रत्येक पूर्णांक में अभाज्य संख्याओं में अद्वितीय (गुणनखंडों के क्रम तक) गुणनखंड होता है, जो वे पूर्णांक होते हैं जिन्हें एक से अधिक पूर्णांकों के गुणनफल में और अधिक गुणनखंडित नहीं किया जा सकता है।

पूर्णांक n के गुणनखंडन की गणना के लिए, किसी को n के भाजक q को खोजने या यह तय करने के लिए एक कलन विधि (एल्गोरिथ्म) की आवश्यकता होती है कि n अभाज्य है। जब ऐसा भाजक पाया जाता है, तो q और n / q के गुणनखंडों के लिए इस कलन विधि (एल्गोरिथ्म) का बार-बार आवेदन अंततः n का पूर्ण गुणनखंडन देता है।.^[1]

n का भाजक q ज्ञात करने के लिए, यदि कोई हो, तो q के सभी मानों का इस प्रकार परीक्षण करना पर्याप्त है कि $1 < q$ तथा $q 2 \leq n$ । वास्तव में, अगर $r$ का भाजक है $n$ तो $r 2 > n$ , फिर $q = n / r$ का भाजक है $n$ तो $q 2 \leq n$ ।

यदि कोई q के मानों को बढ़ते क्रम में परीक्षण करता है, तो पाया जाने वाला पहला भाजक अनिवार्य रूप से एक अभाज्य संख्या है, और सहगुणनखंड $r = n / q$ मेंसे छोटा कोई भाजक नहीं हो सकता है। पूर्ण गुणनखंडन प्राप्त करने के लिए, इस प्रकार $r$ के भाजक की खोज करके कलन विधि (एल्गोरिथ्म) को जारी रखना पर्याप्त है जो $q$ से छोटा नहीं है और $\sqrt r$ से बड़ा नहीं है।

विधि को लागू करने के लिए $q$ के सभी मानों का परीक्षण करने की कोई आवश्यकता नहीं है। सिद्धांत रूप में, यह केवल अभाज्य भाजक का परीक्षण करने के लिए पर्याप्त है। इसके लिए अभाज्य संख्याओं की एक तालिका होनी चाहिए जो उदाहरण के लिए एराटोस्थनीज की चलनी के साथ उत्पन्न हो सकती है। चूंकि गुणनखंडन की विधि अनिवार्य रूप से एराटोस्थनीज की छलनी के समान काम करती है, इसलिए आमतौर पर केवल उन संख्याओं के भाजक के लिए परीक्षण करना अधिक कुशल होता है जिनके लिए यह तुरंत स्पष्ट नहीं होता है कि वे अभाज्य हैं या नहीं है। आमतौर पर, कोई 2, 3, 5, और संख्या >5 का परीक्षण करके आगे बढ़ सकता है, जिसका अंतिम अंक 1, 3, 7, 9 है और अंकों का योग 3 का गुणज नहीं है।

यह विधि छोटे पूर्णांकों के गुणनखंड के लिए अच्छी तरह से काम करती है, लेकिन बड़े पूर्णांकों के लिए अक्षम है।

उदाहरण के लिए, पियरे डी फ़र्मेट 6 वीं फ़र्मेट नंबर पता लगाने में असमर्थ था

1+2^{2^{5}}=1+2^{32}=4\,294\,967\,297

वास्तव में, उपरोक्त विधि को लागू करने के लिए अधिक से अधिक की आवश्यकता होगी 10000 प्रभाग, संख्या के लिए जिसमें 10 दशमलव अंक हैं।

फैक्टवलय कलन विधि (एल्गोरिथ्म) अधिक कुशल हैं। हालाँकि, वे अपेक्षाकृत अक्षम रहते हैं, क्योंकि, कला की वर्तमान स्थिति के साथ, कोई भी अधिक प्रभावशाली अभिकलित्र के साथ, 500 दशमलव अंकों की संख्या का गुणनखंड नहीं कर सकता है, जो कि दो यादृच्छिक रूप से चुनी गई अभाज्य संख्याओं का उत्पाद है। यह आरएसए क्रिप्टोसिस्टम की सुरक्षा सुनिश्चित करता है, जिसका व्यापक रूप से सुरक्षित इंटरनेट संचार के लिए उपयोग किया जाता है।

उदाहरण

फैक्टवलय के लिए $n = 1386$ सम में:

2 से विभाजन से शुरू करें: संख्या सम है, और $n = 2 \cdot 693$ । 693 और 2 को पहले भाजक उम्मीदवार के रूप में जारी रखें।
693 विषम है (2 एक विभाजक नहीं है), लेकिन 3 में से एक है: एक है $693 = 3 \cdot 231$ तथा $n = 2 \cdot 3 \cdot 231$ । 231, और 3 के साथ पहले भाजक के उम्मीदवार के रूप में जारी रखें।
231 भी 3 का गुणज है: एक में 231 = 3 · 77, और इस प्रकार n = 2 · 3² · 77 है। 77 के साथ जारी रखें, और 3 पहले भाजक उम्मीदवार के रूप में।
77 का गुणज 3 नहीं है, क्योंकि इसके अंकों का योग 14 है, 3 का गुणज नहीं है। यह 5 का गुण ज भी नहीं है क्योंकि इसका अंतिम अंक 7 है। परीक्षण किया जाने वाला अगला विषम भाजक 7 है। 77 = 7 · 11, और इस प्रकार n = 2 · 3² · 7 · 11. इससे पता चलता है कि 7 अभाज्य है (सीधे परीक्षण करने में आसान)। पहले भाजक उम्मीदवार के रूप में 11, और 7 के साथ जारी रखें।
72 > 11 के रूप में, समाप्त हो गया है। इस प्रकार 11 अभाज्य है, और अभाज्य गुणनखंड है

1386 = 2 \cdot 3 2 \cdot 7 \cdot 11

।

व्यंजक

व्यंजक में हेर-फेर करना बीजगणित का आधार है। कई कारणों से अभिव्यक्ति हेरफेर के लिए गुणनखण्ड सबसे महत्वपूर्ण तरीकों में से एक है। यदि कोई समीकरण को गुणनखंडित रूप $E \cdot F = 0$ , में रख सकता है, तो समीकरण को हल करने की समस्या दो स्वतंत्र (और आम तौर पर आसान) समस्याओं $E = 0$ तथा $F = 0$ में विभाजित हो जाती है। जब किसी व्यंजक को गुणनखंडित किया जा सकता है, तो गुणनखंड अक्सर बहुत सरल होते हैं, और इस प्रकार समस्या पर कुछ अंतर्दृष्टि प्रदान कर सकते हैं। उदाहरण के लिए,

x^{3}-ax^{2}-bx^{2}-cx^{2}+abx+acx+bcx-abc

16 गुणन, 4 घटाव और 3 परिवर्धन, बहुत सरल अभिव्यक्ति में कारक किया जा सकता है

(x-a)(x-b)(x-c),

केवल दो गुणा और तीन घटाव के साथ होता है। इसके अलावा, गुणनखंडित रूप तुरंत x = a, b, c को बहुपद के मूल के रूप में देता है।

दूसरी ओर, गुणनखंडन हमेशा संभव नहीं होता है, और जब यह संभव होता है, तो गुणनखंड हमेशा सरल नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, $x^{10}-1$ को दो अपरिवर्तनीय गुणनखंडों में विभाजित किया जा सकता है $x-1$ तथा $x^{9}+x^{8}+\cdots +x^{2}+x+1$ ।

गुणनखंडों को खोजने के लिए विभिन्न विधियों का विकास किया गया है, कुछ नीचे वर्णित हैं।

बीजीय समीकरणों को हल करना बहुपद गुणनखंडन की समस्या के रूप में देखा जा सकता है। वास्तव में, बीजगणित के मूल प्रमेय को इस प्रकार बताया जा सकता है: जटिल गुणांक वाले डिग्री $n$ के $x$ में प्रत्येक बहुपद को $n$ रैखिक गुणनखंडों में विभाजित किया जा सकता है $x-a_{i},$ के लिये $i = 1, ..., n$ , जहां $a i$ s बहुपद की मूल हैं।^[2] भले ही इन मामलों में गुणनखंडन की संरचना ज्ञात हो, $a i$ s की गणना आम तौर पर एबेल-रफिनी प्रमेय द्वारा मूलज(n^th मूल्) के रूप में नहीं की जा सकती है। ज्यादातर मामलों में, सबसे अच्छा जो किया जा सकता है वह है मूलनिर्धारण कलन विधि (मूल निकालने की विधियाँ) के साथ मूल के अनुमानित मूल्यों की गणना है।

व्यंजक के गुणनखंड का इतिहास

अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए बीजगणितीय जोड़तोड़ का व्यवस्थित उपयोग (अधिक विशेष रूप से समीकरण)) अल-ख्वारिज्मी की पुस्तक द कम्पेंडिअस बुक ऑन कैलकुलेशन बाय कंप्लीशन एंड बैलेंसिंग के साथ 9वीं शताब्दी तक की जा सकती है, जिसका शीर्षक दो प्रकार के हेरफेर के साथ है।

हालांकि, द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए भी, उनकी मृत्यु के दस साल बाद, 1631 में प्रकाशित हैरियट के काम से पहले फैक्टवलय पद्धति का उपयोग नहीं किया गया था।^[3] अपनी पुस्तक आर्टिस एनालिटिका प्रैक्सिस एड एक्यूएशंस अल्जेब्राइकस रेसोलवेंडास में, हैरियट ड्रा, जोड़, घटाव, गुणा और एकपद, द्विपद और त्रिपदी के विभाजन के लिए टेबल है। फिर, एक दूसरे खंड में, उन्होंने समीकरण $aa - ba + ca = + bc$ , स्थापित किया, और दिखाया कि यह गुणन $(a - b)(a + c)$ देते हुए, उनके द्वारा पहले प्रदान किए गए गुणन के रूप से मेल खाता है।.^[4]

सामान्य तरीके

निम्नलिखित विधियाँ किसी भी व्यंजक पर लागू होती हैं जो एक योग है, या जिसे योग में परिवर्तित किया जा सकता है। इसलिए, वे अक्सर बहुपदों पर लागू होते हैं, हालांकि उन्हें तब भी लागू किया जा सकता है जब योग की शर्तें एकपदी नहीं होती हैं, यानी योग की शर्तें चर और स्थिरांक का उत्पाद होती हैं।

समापवर्तक

ऐसा हो सकता है कि किसी योग के सभी पद उत्पाद हों और कुछ गुणनखंड सभी पदों के लिए समान हों। इस मामले में, वितरण कानून इस समापवर्तक को अलग करने की अनुमति देता है। यदि ऐसे कई समापवर्तक हैं, तो ऐसे सबसे बड़े समापवर्तक को विभाजित करना बेहतर होता है। इसके अलावा, यदि पूर्णांक गुणांक हैं, तो कोई इन गुणांकों के सबसे बड़े सामान्य भाजक को निकाल सकता है।

उदाहरण के लिए,^[5]

6x^{3}y^{2}+8x^{4}y^{3}-10x^{5}y^{3}=2x^{3}y^{2}(3+4xy-5x^{2}y),

चूंकि 2 6, 8, और 10 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है, और $x^{3}y^{2}$ सभी शर्तों को विभाजित करता है।

समूहन

समूहीकरण शब्द एक गुणनखंड प्राप्त करने के लिए अन्य तरीकों का उपयोग करने की अनुमति दे सकते हैं।

उदाहरण के लिए, गुणनखंड के लिए

4x^{2}+20x+3xy+15y,

कोई टिप्पणी कर सकता है कि पहले दो पदों में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड $x$ , है, और अंतिम दो पदों में उभयनिष्ठ गुणनखंड $y$ है। इस प्रकार

4x^{2}+20x+3xy+15y=(4x^{2}+20x)+(3xy+15y)=4x(x+5)+3y(x+5).

फिर एक साधारण निरीक्षण समापवर्तक $x + 5$ दिखाता है, जिससे गुणनखंड हो जाता है

4x^{2}+20x+3xy+15y=(4x+3y)(x+5).

सामान्य तौर पर, यह 4 पदों के योग के लिए कार्य करता है जो दो द्विपदों के गुणनफल के रूप में प्राप्त हुए हैं। हालांकि अक्सर नहीं, यह अधिक जटिल उदाहरणों के लिए भी काम कर सकता है।

शब्दों (टर्म) को जोड़ना और घटाना

कभी-कभी, कुछ शब्द समूहन एक पहचानने योग्य प्रतिरूप के हिस्से को प्रकट करता है। फिर प्रतिरूप को पूरा करने के लिए शब्दों (टर्म) को जोड़ना और घटाना उपयोगी होता है।

इसका एक विशिष्ट उपयोग द्विघात सूत्र प्राप्त करने के लिए वर्ग विधि को पूरा करना है।

अन्य उदाहरण $x^{4}+1$ का गुणनखंडन है। यदि कोई -1 के अवास्तविक वर्गमूल का परिचय देता है, जिसे आमतौर पर i कहा जाता है, तो उसके पास वर्गों का अंतर होता है

x^{4}+1=(x^{2}+i)(x^{2}-i).

हालाँकि, कोई वास्तविक संख्या गुणांक के साथ एक गुणनखंड भी चाहता है। $2x^{2},$ को जोड़कर और घटाकर और तीन शब्दों (टर्म) को एक साथ समूहीकृत करके, कोई व्यक्ति द्विपद के वर्ग को पहचान सकता है

x^{4}+1=(x^{4}+2x^{2}+1)-2x^{2}=(x^{2}+1)^{2}-\left(x{\sqrt {2}}\right)^{2}=\left(x^{2}+x{\sqrt {2}}+1\right)\left(x^{2}-x{\sqrt {2}}+1\right).

$2x^{2}$ को घटाने और जोड़ने से भी गुणनखंड प्राप्त होता है:

x^{4}+1=(x^{4}-2x^{2}+1)+2x^{2}=(x^{2}-1)^{2}+\left(x{\sqrt {2}}\right)^{2}=\left(x^{2}+x{\sqrt {-2}}-1\right)\left(x^{2}-x{\sqrt {-2}}-1\right).

ये गुणनखंडन केवल सम्मिश्र संख्याओं पर ही नहीं, बल्कि किसी भी क्षेत्र पर भी कार्य करते हैं, जहाँ या तो-1, 2 या -2 एक वर्ग है। एक परिमित क्षेत्र में, दो गैर-वर्गों का गुणनफल एक वर्ग होता है, इसका तात्पर्य यह है कि बहुपद $x^{4}+1,$ जो पूर्णांकों के ऊपर अलघुकरणीय (इरेड्यूसेबल) है, प्रत्येक अभाज्य संख्या में लघुकरणीय (रिड्यूसेबल) उपागम है। उदाहरण के लिए,

x^{4}+1\equiv (x+1)^{4}{\pmod {2}};

x^{4}+1\equiv (x^{2}+x-1)(x^{2}-x-1){\pmod {3}},\qquad

जबसे

1^{2}\equiv -2{\pmod {3}};

x^{4}+1\equiv (x^{2}+2)(x^{2}-2){\pmod {5}},\qquad

जबसे

2^{2}\equiv -1{\pmod {5}};

x^{4}+1\equiv (x^{2}+3x+1)(x^{2}-3x+1){\pmod {7}},\qquad

जबसे

3^{2}\equiv 2{\pmod {7}}.

पहचानने योग्य प्रतिलिपि

कई सर्वसमिकाएँ योग और उत्पाद के बीच समानता प्रदान करती हैं। उपरोक्त विधियों का उपयोग किसी पहचान के योग पक्ष को एक अभिव्यक्ति में प्रकट होने देने के लिए किया जा सकता है, जिसे एक उत्पाद द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

नीचे वे पहचानें दी गई हैं जिनके बाएं हाथ के पक्षों को आमतौर पर प्रतिलिपि के रूप में उपयोग किया जाता है (इसका मतलब है कि इन पहचानों में दिखाई देने वाले चर E और F अभिव्यक्ति के किसी भी उप-अभिव्यक्ति का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं जिसे गुणनखंडित किया जाना है)।^[6]

दो वर्गों और दो क्यूब्स के बीच अंतर का दृश्य प्रमाण

दो वर्गों का अंतर

उदाहरण के लिए,

{\begin{aligned}a^{2}+&2ab+b^{2}-x^{2}+2xy-y^{2}\\&=(a^{2}+2ab+b^{2})-(x^{2}-2xy+y^{2})\\&=(a+b)^{2}-(x-y)^{2}\\&=(a+b+x-y)(a+b-x+y).\end{aligned}}

दो घनों का योग/अंत

$E^{3}+F^{3}=(E+F)(E^{2}-EF+F^{2})$
$E^{3}-F^{3}=(E-F)(E^{2}+EF+F^{2})$

दो चौथी घात का अंतर

${\begin{aligned}E^{4}-F^{4}&=(E^{2}+F^{2})(E^{2}-F^{2})\\&=(E^{2}+F^{2})(E+F)(E-F)\end{aligned}}$

दो $n$ वें घात का योग/अंतर

निम्नलिखित पहचानों में, गुणनखंडों को अक्सर आगे बढ़ाया जा सकता है:

अंतर, यहां तक कि घातांक: $E^{2n}-F^{2n}=(E^{n}+F^{n})(E^{n}-F^{n})$

अंतर, यहां तक कि या विषम प्रतिपादक: $E^{n}-F^{n}=(E-F)(E^{n-1}+E^{n-2}F+E^{n-3}F^{2}+\cdots +EF^{n-2}+F^{n-1})$; यह एक उदाहरण है जो यह दिखाता है कि गुणनखंड उस राशि से बहुत बड़े हो सकते हैं जो गुणनखंड किया गया है।

संक्षेप, विषम प्रतिपादक: $E^{n}+F^{n}=(E+F)(E^{n-1}-E^{n-2}F+E^{n-3}F^{2}-\cdots -EF^{n-2}+F^{n-1})$ (पूर्ववर्ती सूत्र में F को –F से बदलकर प्राप्त किया गया)

संक्षेप, यहां तक कि घातांक

यदि घातांक दो की घात है तो व्यंजक को, सामान्य रूप से, सम्मिश्र संख्याओं को प्रस्तुत किए बिना गुणनखंडित नहीं किया जा सकता है (यदि E और F में सम्मिश्र संख्याएँ हैं, तो यह मामला नहीं हो सकता है)। यदि n में एक विषम भाजक है, अर्थात यदि

n = pq

साथ

p

विषम, पर लागू पूर्ववर्ती सूत्र ("योग, विषम घातांक" में) का उपयोग कर सकता है

(E^{q})^{p}+(F^{q})^{p}.

त्रिपद और घन सूत्र

चौथी शक्ति तक द्विपद विस्तार का दृश्य

${\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+xz)=(x+y+z)^{2}\\&x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-xz-yz)\\&x^{3}+y^{3}+z^{3}+3x^{2}(y+z)+3y^{2}(x+z)+3z^{2}(x+y)+6xyz=(x+y+z)^{3}\\&x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}=(x^{2}+xy+y^{2})(x^{2}-xy+y^{2}).\end{aligned}}$

द्विपद विस्तार द्विपद प्रमेय उन प्रतिलिपि की आपूर्ति करता है जिन्हें आसानी से उन पूर्णांकों से पहचाना जा सकता है जो उनमें दिखाई देते हैं

कम डिग्री में:

a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}

a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}

a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=(a+b)^{3}

a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}=(a-b)^{3}

अधिक सामान्यतः,

(a+b)^{n}

तथा

(a-b)^{n}

के विस्तारित रूपों के गुणांक द्विपद गुणांक हैं, जो प्रकट होते हैं पास्कल त्रिभुज की nवीं पंक्ति में है।

इकाई के मूल

ईकाई के n वें मूल सम्मिश्र संख्याएँ जिनमें से प्रत्येक बहुपद $x^{n}-1.$ का मूल है। वे इस प्रकार संख्याएं हैं

e^{2ik\pi /n}=\cos {\tfrac {2\pi k}{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi k}{n}}

$k=0,\ldots ,n-1.$ के लिये

यह इस प्रकार है कि किसी भी दो अभिव्यक्तियों के लिए $E$ तथा $F$ , किसी के पास:

E^{n}-F^{n}=(E-F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E-Fe^{2ik\pi /n}\right)

E^{n}+F^{n}=\prod _{k=0}^{n-1}\left(E-Fe^{(2k+1)i\pi /n}\right)\qquad {\text{if }}n{\text{ is even}}

E^{n}+F^{n}=(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E+Fe^{2ik\pi /n}\right)\qquad {\text{if }}n{\text{ is odd}}

यदि E और F वास्तविक व्यंजक हैं, और कोई वास्तविक गुणनखंड चाहता है, तो जटिल संयुग्मी गुणनखंडों के प्रत्येक युग्म को उसके गुणनफल से बदलना होगा। $e^{i\alpha }$ है $e^{-i\alpha },$ के जटिल संयुग्म के रूप में तथा

\left(a-be^{i\alpha }\right)\left(a-be^{-i\alpha }\right)=a^{2}-ab\left(e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }\right)+b^{2}e^{i\alpha }e^{-i\alpha }=a^{2}-2ab\cos \,\alpha +b^{2},

एक में निम्नलिखित वास्तविक गुणनखंड होते हैं (एक k को n - k या n 1 - k में बदलकर और सामान्य त्रिकोणमितीय सूत्रों को लागू करके एक से दूसरे में जाता है:

{\begin{aligned}E^{2n}-F^{2n}&=(E-F)(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E^{2}-2EF\cos \,{\tfrac {k\pi }{n}}+F^{2}\right)\\&=(E-F)(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E^{2}+2EF\cos \,{\tfrac {k\pi }{n}}+F^{2}\right)\end{aligned}}

{\begin{aligned}E^{2n}+F^{2n}&=\prod _{k=1}^{n}\left(E^{2}+2EF\cos \,{\tfrac {(2k-1)\pi }{2n}}+F^{2}\right)\\&=\prod _{k=1}^{n}\left(E^{2}-2EF\cos \,{\tfrac {(2k-1)\pi }{2n}}+F^{2}\right)\end{aligned}}

इन गुणनखंडों में दिखाई देने वाली कोसाइन (cosines) बीजगणितीय संख्याएँ हैं, और इन्हें मूलांक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है (यह संभव है क्योंकि उनका गैलोइस समूह चक्रीय है), हालाँकि, n के निम्न मानों को छोड़कर, ये मूल अभिव्यक्तियाँ उपयोग करने के लिए बहुत जटिल हैं। उदाहरण के लिए,

a^{4}+b^{4}=(a^{2}-{\sqrt {2}}ab+b^{2})(a^{2}+{\sqrt {2}}ab+b^{2}).

a^{5}-b^{5}=(a-b)\left(a^{2}+{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right)\left(a^{2}+{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right),

a^{5}+b^{5}=(a+b)\left(a^{2}-{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right)\left(a^{2}-{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right),

अक्सर कोई तर्कसंगत गुणांक के साथ एक गुणनखंड चाहता है। इस तरह के एक गुणनखंड में साइक्लोटोमिक बहुपद शामिल हैं। योगों और अंतरों या घातों के तर्कसंगत गुणनखंडों को व्यक्त करने के लिए, हमें एक बहुपद के समरूपीकरण के लिए एक संकेतन की आवश्यकता होती है: यदि $P(x)=a_{0}x^{n}+a_{i}x^{n-1}+\cdots +a_{n},$ इसका समरूपीकरण द्विचर है बहुपद ${\overline {P}}(x,y)=a_{0}x^{n}+a_{i}x^{n-1}y+\cdots +a_{n}y^{n}.$ फिर, एक है

E^{n}-F^{n}=\prod _{k\mid n}{\overline {Q}}_{n}(E,F),

E^{n}+F^{n}=\prod _{k\mid 2n,k\not \mid n}{\overline {Q}}_{n}(E,F),

जहां उत्पादों को n के सभी भाजक पर ले लिया जाता है, या 2n के सभी भाजक जो n को विभाजित नहीं करते हैं, और $Q_{n}(x)$ ) nth चक्रविक्षिप्त (साइक्लोटॉमिक) बहुपद है।

उदाहरण के लिए,

a^{6}-b^{6}={\overline {Q}}_{1}(a,b){\overline {Q}}_{2}(a,b){\overline {Q}}_{3}(a,b){\overline {Q}}_{6}(a,b)=(a-b)(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})(a^{2}+ab+b^{2}),

a^{6}+b^{6}={\overline {Q}}_{4}(a,b){\overline {Q}}_{12}(a,b)=(a^{2}+b^{2})(a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4}),

चूंकि 6 के विभाजक 1, 2, 3, 6 हैं, और 12 के विभाजक जो 6 को विभाजित नहीं करते हैं, वे 4 और 12 हैं।

बहुपद

बहुपदों के लिए, गुणनखंडन का बीजीय समीकरणों को हल करने की समस्या से गहरा संबंध है। बीजीय समीकरण का रूप होता है

P(x)\ \,{\stackrel {\text{def}}{=}}\ \,a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}=0,

जहाँ $P (x)$ में एक बहुपद है $x$ साथ $a_{0}\neq 0.$ इस समीकरण का एक हल (जिसे बहुपद का मूल भी कहा जाता है) है x का मान r ऐसा है कि

P(r)=0.

अगर $P(x)=Q(x)R(x)$ दो के गुणनफल के रूप में $P (x) = 0$ का गुणनखंडन है बहुपद, तो $P (x)$ की मूल $Q (x)$ की मूल और $R (x)$ की मूल का मिलन हैं। इस प्रकार $P (x) = 0$ को हल करना $Q (x) = 0$ तथा $R (x) = 0$ को हल करने की सरल समस्याओं में कम हो जाता है।

इसके विपरीत, गुणनखंड प्रमेय यह दावा करता है कि, यदि $r$ , $P (x) = 0$ , का मूल है, तो फिर $P (x)$ का गुणनखंड इस प्रकार किया जा सकता है

P(x)=(x-r)Q(x),

जहां $Q (x)$ रैखिक (डिग्री एक) गुणनखंड $x - r$ द्वारा $P (x) = 0$ के यूक्लिडियन विभाजन का भागफल है।

यदि $P (x)$ के गुणांक वास्तविक या सम्मिश्र संख्याएँ हैं, तो बीजगणित का मूल प्रमेय दावा करता है कि $P (x)$ का एक वास्तविक या सम्मिश्र मूल है। गुणनखंड प्रमेय का पुनरावर्ती रूप से प्रयोग करने पर यह परिणाम मिलता है कि

P(x)=a_{0}(x-r_{1})\cdots (x-r_{n}),

जहां $r_{1},\ldots ,r_{n}$ $P$ P के वास्तविक या जटिल मूल हैं, जिनमें से कुछ को संभवतः दोहराया जा सकता है। यह पूर्ण गुणनखंडन गुणनखंडों के क्रम तक अद्वितीय है।

यदि $P (x)$ के गुणांक वास्तविक हैं, तो आम तौर पर एक ऐसा गुणनखंडन चाहता है जहां गुणनखंडों के वास्तविक गुणांक हों। इस मामले में, पूर्ण गुणनखंड में कुछ द्विघात (डिग्री दो) गुणनखंड हो सकते हैं। यह गुणनखंड उपरोक्त पूर्ण गुणनखंड से आसानी से निकाला जा सकता है। वास्तव में, यदि $r = a + ib$ , $P (x)$ का अवास्तविक मूल है, तो इसका सम्मिश्र संयुग्म $s = a - ib$ भी $P (x)$ का मूल है। तो, उत्पाद

(x-r)(x-s)=x^{2}-(r+s)x+rs=x^{2}+2ax+a^{2}+b^{2}

वास्तविक गुणांकों के साथ $P (x)$ का एक गुणनखंड है। सभी अवास्तविक गुणनखंडों के लिए इसे दोहराने से रैखिक या द्विघात वास्तविक गुणनखंडों के साथ एक गुणनखंड मिलता है।

इन वास्तविक या जटिल गुणनखंडों की गणना के लिए, किसी को बहुपद की मूल की आवश्यकता होती है, जिसकी गणना ठीक से नहीं की जा सकती है, और केवल मूल निकालने की कलनविधि (मूल-फाइंडिंग एल्गोरिदम) का उपयोग करके अनुमानित किया जाता है।

व्यवहार में, ब्याज के अधिकांश बीजीय समीकरणों में पूर्णांक या परिमेय गुणांक होते हैं, और एक ही प्रकार के गुणनखंडों के साथ एक गुणनखंडन चाहता है। अंकगणित के मौलिक प्रमेय को इस मामले में सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसमें कहा गया है कि पूर्णांक या तर्कसंगत गुणांक वाले बहुपदों में अद्वितीय गुणन गुण होते हैं। अधिक सटीक रूप से, तर्कसंगत गुणांक वाले प्रत्येक बहुपद को उत्पाद में गुणनखंडित किया जा सकता है

P(x)=q\,P_{1}(x)\cdots P_{k}(x),

जहाँ $q$ एक परिमेय संख्या है और $P_{1}(x),\ldots ,P_{k}(x)$ पूर्णांक गुणांक वाले गैर-स्थिर बहुपद हैं जो अलघुकरणीय (इरेड्यूसेबल) और आदिम हैं, इसका मतलब यह है कि $P_{i}(x)$ में से कोई भी उत्पाद दो बहुपद (पूर्णांक गुणांक वाले) के रूप में नहीं लिखा जा सकता है जो न तो 1 है और न ही -1 (पूर्णांकों को बहुपद माना जाता है) शून्य डिग्री)। इसके अलावा, यह गुणनखंड गुणनखंडों के क्रम और गुणनखंडों के संकेतों तक अद्वितीय है।

इस गुणनखंड की गणना के लिए कुशल कलनविधि (एल्गोरिथम) हैं, जिन्हें अधिकांश कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों में लागू किया जाता है। बहुपदों का गुणनखंडन देखें। दुर्भाग्य से, ये कलनविधि (एल्गोरिथम) कागज और पेंसिल गणना के लिए उपयोग करने के लिए बहुत जटिल हैं। उपरोक्त अनुमानों के अलावा, केवल कुछ विधियां हाथ की गणना के लिए उपयुक्त हैं, जो आम तौर पर केवल कम डिग्री के बहुपदों के लिए काम करती हैं, कुछ गैर-शून्य गुणांक के साथ। इस तरह की मुख्य विधियों का वर्णन अगले उपखंडों में किया गया है।

आदिम-भाग और सामग्री गुणनखंड

परिमेय गुणांक वाले प्रत्येक बहुपद को एक अद्वितीय तरीके से गुणनखंडित किया जा सकता है, जैसे कि एक परिमेय संख्या का गुणनफल और पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद, जो आदिम है (अर्थात, गुणांक का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 1 है), और एक है सकारात्मक अग्रणी गुणांक (उच्चतम डिग्री की अवधि का गुणांक)। उदाहरण के लिए:

-10x^{2}+5x+5=(-5)\cdot (2x^{2}-x-1)

{\frac {1}{3}}x^{5}+{\frac {7}{2}}x^{2}+2x+1={\frac {1}{6}}(2x^{5}+21x^{2}+12x+6)

इस गुणनखंड में, परिमेय संख्या को सामग्री कहा जाता है, और आदिम बहुपद आदिम भाग होता है। इस गुणनखंड की गणना निम्नानुसार की जा सकती है: सबसे पहले, सभी गुणांक को एक सामान्य हर में कम करें, पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद के पूर्णांक q द्वारा भागफल प्राप्त करने के लिए। फिर कोई इस बहुपद के गुणांकों के बड़े सामान्य भाजक p को आदिम भाग प्राप्त करने के लिए विभाजित करता है, सामग्री $p/q.$ अंत में, यदि आवश्यक हो, तो व्यक्ति के संकेतों को बदल देता है p और आदिम भाग के सभी गुणांक।

यह गुणनखंड एक परिणाम उत्पन्न कर सकता है जो मूल बहुपद से बड़ा होता है (आमतौर पर जब कई सहअभाज्य भाजक होते हैं), लेकिन, जब यह मामला होता है, तब भी आगे के गुणन के लिए आदिम भाग में हेरफेर करना आसान होता है।

गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करना

गुणनखंड प्रमेय कहता है कि, अगर $r$ एक बहुपद की मूल है

P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n},

मतलब $P (r) = 0$ , तो एक गुणनखंड है

P(x)=(x-r)Q(x),

जहां

Q(x)=b_{0}x^{n-1}+\cdots +b_{n-2}x+b_{n-1},

$a_{0}=b_{0}$ के साथ। फिर बहुपद लंबा विभाजन या सिंथेटिक विभाजन दें:

b_{i}=a_{0}r^{i}+\cdots +a_{i-1}r+a_{i}\ {\text{ for }}\ i=1,\ldots ,n{-}1.

यह उपयोगी हो सकता है जब कोई जानता है या बहुपद की मूलका अनुमान लगा सकता है।

उदाहरण के लिए, $P(x)=x^{3}-3x+2,$ के लिए आप आसानी से देख सकते हैं कि इसके गुणांकों का योग 0 है, इसलिए r = 1 एक मूल है। r 0 = 1 और $r + 0 = 1$ , तथा $r^{2}+0r-3=-2,$ के रूप में एक है

x^{3}-3x+2=(x-1)(x^{2}+x-2).

तर्कसंगत मूल

परिमेय संख्या गुणांक वाले बहुपदों के लिए, कोई ऐसे मूल की खोज कर सकता है जो परिमेय संख्याएँ हों। आदिम अंश-सामग्री गुणनखंडन (ऊपर देखें) परिमेय मूल की खोज की समस्या को कम करता है, ऐसे बहुपद के मामले में पूर्णांक गुणांक वाले कोई गैर-तुच्छ सामान्य भाजक नहीं है।

यदि $x={\tfrac {p}{q}}$ इस तरह के एक बहुपद का तर्कसंगत मूल है

P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n},

गुणनखंड प्रमेय से पता चलता है कि एक का गुणनखंड है

P(x)=(qx-p)Q(x),

जहां दोनों गुणनखंडों में पूर्णांक गुणांक होते हैं (तथ्य यह है कि $Q$ के भागफल के लिए उपरोक्त सूत्र से पूर्णांक गुणांक परिणाम हैं $P (x)$ द्वारा $x-p/q$ )।

डिग्री के गुणांक की तुलना करना $n$ और उपरोक्त समानता में निरंतर गुणांक दिखाता है कि, अगर ${\tfrac {p}{q}}$ कम रूप में एक तर्कसंगत मूलहै, फिर $q$ का भाजक है $a_{0},$ तथा $p$ का भाजक है $a_{n}.$ इसलिए, संभावनाओं की एक सीमित संख्या है $p$ तथा $q$ , जिसे व्यवस्थित रूप से जांच की जा सकती है।^[7]

उदाहरण के लिए, यदि बहुपद

P(x)=2x^{3}-7x^{2}+10x-6

एक तर्कसंगत मूल ह ${\tfrac {p}{q}}$ सा थ $q > 0$ , फि र $p$ 6 को विभाजित करना चाहि, वह है $p\in \{\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\},$ तथा $q$ 2 को विभाजित करना चाहिए, वह है $q\in \{1,2\}.$ इसके अलावा, अगर $x < 0$ , बहुपद के सभी शब्द नकारात्मक हैं, और इसलिए, एक मूलनकारात्मक नहीं हो सकती है। वह है, एक होना चाहिए

{\tfrac {p}{q}}\in \{1,2,3,6,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}}\}.

एक प्रत्यक्ष संगणना से पता चलता है कि केवल ${\tfrac {3}{2}}$ एक मूल है, इसलिए कोई अन्य तर्कसंगत मूल नहीं हो सकती है। गुणनखंड प्रमेय को लागू करने से अंत में गुणनखंड की ओर जाता है $2x^{3}-7x^{2}+10x-6=(2x-3)(x^{2}-2x+2).$

द्विघात एसी विधि

उपरोक्त विधि को द्विघात बहुपद के लिए अनुकूलित किया जा सकता है, जिससे गुणनखंड की एसी विधि होती है।^[8]

द्विघात बहुपद पर विचार करें

P(x)=ax^{2}+bx+c

पूर्णांक गुणांक के साथ, यदि इसका एक परिमेय मूल है, तो इसके हर को समान रूप से विभाजित करना चाहिए और इसे संभावित रूप से कम करने योग्य अंश के रूप में लिखा जा सकता है $r_{1}={\tfrac {r}{a}}.$ वियत के सूत्रों के अनुसार, दूसरा मूल $r_{2}$ है

r_{2}=-{\frac {b}{a}}-r_{1}=-{\frac {b}{a}}-{\frac {r}{a}}=-{\frac {b+r}{a}}={\frac {s}{a}},

साथ में $s=-(b+r).$ इस तरह दूसरा मूल भी परिमेय है, और वीटा का दूसरा सूत्र $r_{1}r_{2}={\frac {c}{a}}$ देता है

{\frac {s}{a}}{\frac {r}{a}}={\frac {c}{a}},

वह है

rs=ac\quad {\text{and}}\quad r+s=-b.

पूर्णांकों के उन सभी युग्मों की जाँच करना जिनका गुणनफल $ac$ है, परिमेय मूल, यदि कोई हों, प्राप्त होता है।

संक्षेप में, यदि $ax^{2}+bx+c$ में परिमेय मूल हैं तो पूर्णांक $r$ तथा $s$ ऐसा $rs=ac$ तथा $r+s=-b$ (परीक्षण करने के लिए मामलों की एक सीमित संख्या), और मूल हैं ${\tfrac {r}{a}}$ तथा ${\tfrac {s}{a}}.$ । दूसरे शब्दों में, किसी का गुणनखंडन होता है

a(ax^{2}+bx+c)=(ax-r)(ax-s).

उदाहरण के लिए, द्विघात बहुपद पर विचार करें

6x^{2}+13x+6.

के गुणनखंडों का निरीक्षण $ac = 36$ फलस्वरूप होता है $4 + 9 = 13 = b$ , दो मूल दे रहे हैं

r_{1}=-{\frac {4}{6}}=-{\frac {2}{3}}\quad {\text{and}}\quad r_{2}=-{\frac {9}{6}}=-{\frac {3}{2}},

और गुणनखंड

6x^{2}+13x+6=6(x+{\tfrac {2}{3}})(x+{\tfrac {3}{2}})=(3x+2)(2x+3).

बहुपद मूल के लिए सूत्रों का उपयोग करना

कोई भी अविभाज्य द्विघात बहुपद $ax^{2}+bx+c$ द्विघात सूत्र का उपयोग करके कारक किया जा सकता है:

ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right),

जहां $\alpha$ तथा $\beta$ बहुपद की दो मूल हैं।

यदि $a, b, c$ सभी वास्तविक हैं, गुणनखंड वास्तविक हैं यदि और केवल अगर भेदभावपूर्ण हैं $b^{2}-4ac$ गैर-नकारात्मक है।अन्यथा, द्विघात बहुपद को गैर-स्थिर वास्तविक गुणनखंडों में गुणनखंड नहीं किया जा सकता है।

द्विघात सूत्र तब मान्य होता है जब गुणांक दो से भिन्न विशेषता के किसी भी क्षेत्र से संबंधित होते हैं, और विशेष रूप से, विषम संख्या वाले तत्वों के साथ परिमित क्षेत्र में गुणांक के लिए।^[9]

घन (क्यूबिक) और क्वार्टिक बहुपदों की मूल के लिए भी सूत्र हैं, जो सामान्य रूप से व्यावहारिक उपयोग के लिए बहुत जटिल हैं। एबेल-रफिनी प्रमेय से पता चलता है कि डिग्री पांच या उससे अधिक के बहुपद के लिए विलक्षण के संदर्भ में कोई सामान्य मूल सूत्र नहीं हैं।

मूल के बीच संबंधों का उपयोग करना

ऐसा हो सकता है कि किसी को बहुपद के मूलों और उसके गुणांकों के बीच कुछ संबंध पता हो। इस ज्ञान का उपयोग करने से बहुपद का गुणनखंडन करने और उसके मूल ज्ञात करने में सहायता मिल सकती है। गैलोइस सिद्धांत मूल और गुणांक के बीच संबंधों के एक व्यवस्थित अध्ययन पर आधारित है, जिसमें विएटा के सूत्र शामिल हैं।

यहां, हम एक सरल मामले पर विचार करते हैं जहां एक बहुपद $x_{1}$ तथा $x_{2}$ एक बहुपद का $P(x)$ संबंध को संतुष्ट करें

x_{2}=Q(x_{1}),

जहाँ Q एक बहुपद है।

इसका मतलब है कि $x_{1}$ की एक सामान्य मूल है $P(Q(x))$ तथा $P(x).$ इसलिए यह इन दो बहुपदों के सबसे बड़े आम भाजक की मूल है। यह निम्नानुसार है कि यह सबसे बड़ा सामान्य विभाजक एक गैर -निरंतर गुणनखंड है $P(x).$ बहुपद के लिए यूक्लिडियन कलन विधि (एल्गोरिथ्म) इस सबसे बड़े समापवर्तक की गणना करने की अनुमति देता है।

उदाहरण के लिए,^[10] यदि कोई जानता है या अनुमान लगाता है कि: $P(x)=x^{3}-5x^{2}-16x+80$ दो मूल हैं जो शून्य पर हैं, एक यूक्लिडियन कलन विधि (एल्गोरिथ्म) को लागू कर सकता है $P(x)$ तथा $P(-x).$ पहला विभाजन पद जोड़ने में होता है $P(x)$ प्रति $P(-x),$ शेष को दे रहा है

-10(x^{2}-16).

फिर, विभाजित करना $P(x)$ द्वारा $x^{2}-16$ एक नए शेष के रूप में शून्य देता है, और $x - 5$ एक भागफल के रूप में, पूर्ण गुणनखंड के लिए अग्रणी

x^{3}-5x^{2}-16x+80=(x-5)(x-4)(x+4).

अद्वितीय गुणनखंड प्रभावक्षेत्र

क्षेत्र में पूर्णांक और बहुपद अद्वितीय गुणनखंड की गुणको साझा करते हैं, अर्थात, प्रत्येक गैर-शून्य तत्व को एक व्युत्क्रम तत्व (एक इकाई, पूर्णांक के मामले में ± 1) के उत्पाद और अलघुकरणीय (इरेड्यूसबल) तत्वों के उत्पाद में विभाजित किया जा सकता है ( अभाज्य संख्याएँ, पूर्णांकों के मामले में), और यह गुणनखंड गुणनखंडों को पुनर्व्यवस्थित करने और इकाइयों को गुणनखंडों के बीच स्थानांतरित करने तक अद्वितीय है। समाकलन (इंटीग्रल) प्रभावक्षेत्र जो इस गुण को साझा करते हैं उन्हें एकमात्र गुणनखंड प्रभावक्षेत्र (यूएफडी) कहा जाता है।

यूएफडी में महत्तम समापवर्तक उपस्थितहोते हैं, और इसके विपरीत, प्रत्येक अभिन्न प्रभावक्षेत्र जिसमें महत्तम समापवर्तक उपस्थित होता है, यूएफडी होता है। प्रत्येक प्रमुख आदर्श प्रभावक्षेत्र यूएफडी होता है।

यूक्लिडियन प्रभावक्षेत्र एक अभिन्न प्रभावक्षेत्र है जिस पर पूर्णांक के समान एक यूक्लिडियन विभाजन परिभाषित किया गया है। प्रत्येक यूक्लिडियन प्रभावक्षेत्र एक प्रमुख आदर्श प्रभावक्षेत्र है, और इस प्रकार यूएफडी है।

यूक्लिडियन प्रभावक्षेत्र में, यूक्लिडियन विभाजन महत्तम समापवर्तक की गणना के लिए एक यूक्लिडियन कलन विधि (एल्गोरिथ्म) को परिभाषित करने की अनुमति देता है। हालांकि यह एक गुणनखंड कलन विधि (एल्गोरिथ्म) के अस्तित्व को नहीं दर्शाता है। क्षेत्र $F$ का एक स्पष्ट उदाहरण है कि $F$ के ऊपर यूक्लिडियन प्रभावक्षेत्र $F [x]$ में यूक्लिडियन प्रभावक्षेत्र $F [x]$ में कोई गुणनखंड कलन विधि (एल्गोरिथम) उपस्थितनहीं हो सकता है।

आदर्श

बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में, डायोफैंटाइन समीकरणों के अध्ययन ने 19वीं शताब्दी के दौरान, बीजगणितीय पूर्णांक नामक पूर्णांकों के सामान्यीकरण को प्रस्तुत करने के लिए गणितज्ञों का नेतृत्व किया था। बीजगणितीय पूर्णांकों की पहली वलय जिसे माना गया है, वे गॉसियन पूर्णांक और ईसेनस्टीन पूर्णांक थे, जो सामान्य पूर्णांकों के साथ प्रमुख आदर्श प्रभावक्षेत्र होने की गुणसाझा करते हैं, और इस प्रकार अद्वितीय गुणन गुण होते हैं।

दुर्भाग्य से, यह जल्द ही प्रकट हुआ कि बीजीय पूर्णांकों के अधिकांश वलय मूलधन नहीं होते हैं और उनमें अद्वितीय गुणनखंडन नहीं होता है। सबसे सरल उदाहरण है $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}],$ जिसमें

9=3\cdot 3=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}),

और ये सभी गुणनखंड अपूरणीय हैं।

अद्वितीय गुणनखंडन की यह कमी डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करने के लिए एक बड़ी कठिनाई है। उदाहरण के लिए, फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के कई गलत प्रमाण (शायद फ़र्मेट के "इसका वास्तव में अद्भुत प्रमाण, जिसमें यह अंतर शामिल करने के लिए बहुत संकीर्ण है" सहित) अद्वितीय गुणनखंडन के निहित अनुमान पर आधारित थे।

इस कठिनाई को डेडेकिंड ने हल किया, जिन्होंने साबित किया कि बीजीय पूर्णांकों के वलय में आदर्शों का अद्वितीय गुणनखंड होता है: इन वलय में, प्रत्येक आदर्श प्रमुख आदर्शों का एक उत्पाद होता है, और यह गुणनखंड गुणनखंडों के क्रम में अद्वितीय होता है। अभिन्न प्रभावक्षेत्र जिनके पास यह अद्वितीय गुणनखंडन गुण है, अब डेडेकाइंड प्रभावक्षेत्र कहलाते हैं। उनके पास कई अच्छे गुण हैं जो उन्हें बीजीय संख्या सिद्धांत में मौलिक बनाते हैं।

मैट्रिसेस

आव्यूह वलय गैर- क्रमविनिमेय (नॉन-कम्यूटेटिव) हैं और इनमें कोई अद्वितीय गुणनखंड नहीं है: सामान्य तौर पर, आव्यूह के उत्पाद के रूप में आव्यूह को लिखने के कई तरीके हैं। इस प्रकार, गुणनखंडन समस्या में निर्दिष्ट प्रकार के गुणनखंडों का पता लगाना शामिल है। उदाहरण के लिए, एल यू अपघटन आव्यूह को ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह द्वारा निचले त्रिकोणीय आव्यूह के उत्पाद के रूप में देता है। जैसा कि यह हमेशा संभव नहीं होता है, आम तौर पर एक "एलयूपी अपघटन" को क्रम परिवर्तन आव्यूह वाले अपने तीसरे गुणनखंड के रूप में माना जाता है।

सबसे सामान्य प्रकार के अव्यूह गुणनखण्ड के लिए अव्यूह अपघटन देखें।

तार्किक अव्यूह एक द्विआधारी संबंध का प्रतिनिधित्व करता है, और अव्यूह गुणन संबंधों की संरचना से मेल खाता है। गुणनखंड के माध्यम से एक संबंध का अपघटन संबंध की प्रकृति को वर्णन करने के लिए कार्य करता है, जैसे कि एक अलग संबंध करता है।

यह भी देखें

पूर्णांक के लिए यूलर का गुणनखंड विधि
पूर्णांक के लिए Fermat का गुणनखंड विधि
मोनोइड गुणनखंड
गुणक विभाजन
गौसियन पूर्णांक गुणनखंड की तालिका

↑ Hardy; Wright (1980). An Introduction to the Theory of Numbers (5th ed.). Oxford Science Publications. ISBN 978-0198531715.
↑ Klein 1925, pp. 101–102
↑ In Sanford, Vera (2008) [1930], A Short History of Mathematics, Read Books, ISBN 9781409727101, the author notes "In view of the present emphasis given to the solution of quadratic equations by factoring, it is interesting to note that this method was not used until Harriot's work of 1631".
↑ Harriot, Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas
↑ Fite 1921, p. 19
↑ Selby 1970, p. 101
↑ Dickson 1922, p. 27
↑ Stover, Christopher AC Method - Mathworld Archived 2014-11-12 at the Wayback Machine
↑ In a field of characteristic 2, one has 2 = 0, and the formula produces a division by zero.
↑ Burnside & Panton 1960, p. 38

संदर्भ

Burnside, William Snow; Panton, Arthur William (1960) [1912], The Theory of Equations with an introduction to the theory of binary algebraic forms (Volume one), Dover
Dickson, Leonard Eugene (1922), First Course in the Theory of Equations, New York: John Wiley & Sons
Fite, William Benjamin (1921), College Algebra (Revised), Boston: D. C. Heath & Co.
Klein, Felix (1925), Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint; Arithmetic, Algebra, Analysis, Dover
Selby, Samuel M., CRC Standard Mathematical Tables (18th ed.), The Chemical Rubber Co.

बाहरी संबंध

Wolfram Alpha can factorize too.

[1] Hardy; Wright (1980). An Introduction to the Theory of Numbers (5th ed.). Oxford Science Publications. ISBN 978-0198531715.

[2] Klein 1925, pp. 101–102

[3] In Sanford, Vera (2008) [1930], A Short History of Mathematics, Read Books, ISBN 9781409727101, the author notes "In view of the present emphasis given to the solution of quadratic equations by factoring, it is interesting to note that this method was not used until Harriot's work of 1631".

[4] Harriot, Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas

[5] Fite 1921, p. 19

[6] Selby 1970, p. 101

[7] Dickson 1922, p. 27

[8] Stover, Christopher AC Method - Mathworld Archived 2014-11-12 at the Wayback Machine

[9] In a field of characteristic 2, one has 2 = 0, and the formula produces a division by zero.

[10] Burnside & Panton 1960, p. 38

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Contents

पूर्णांक

उदाहरण

व्यंजक

व्यंजक के गुणनखंड का इतिहास

सामान्य तरीके

समापवर्तक

समूहन

शब्दों (टर्म) को जोड़ना और घटाना

पहचानने योग्य प्रतिलिपि

इकाई के मूल

बहुपद

आदिम-भाग और सामग्री गुणनखंड

गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करना

तर्कसंगत मूल

बहुपद मूल के लिए सूत्रों का उपयोग करना

मूल के बीच संबंधों का उपयोग करना

अद्वितीय गुणनखंड प्रभावक्षेत्र

आदर्श

मैट्रिसेस

यह भी देखें

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संदर्भ

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 {{Short description|(Mathematical) decomposition into a product}}
-{{About||factorization algorithms|Integer factorization|and|Factorization of polynomials|other uses|Factor (disambiguation)}}
+{{About||गुणनखंडन एल्गोरिदम|पूर्णांक गुणनखंड|तथा|बहुपदों का गुणनखंड|अन्य उपयोग|कारक (बहुविकल्पी)}}
-[[File:Factorisatie.svg|thumb|right|बहुपद x<sup>2</sup>& nbsp;+& nbsp; cx & nbsp;+& nbsp; d, जहाँ a & nbsp;+nbsp;बी)।]]
+[[File:Factorisatie.svg|thumb|right|बहुपद x<sup>2</sup>+ cx + d, जहाँ a +b)।]]
-गणित में, कारक, या कारक, अमेरिकी और ब्रिटिश अंग्रेजी वर्तनी अंतर#-ise, -ise, -ize (-isation, -ization) देखें। अंग्रेजी वर्तनी के अंतर) या फैक्टरिंग में कई या एक अन्य गणितीय वस्तु को लिखने के लिए कई 'कई' के उत्पाद के रूप में शामिल होते हैं।'कारक' ', आमतौर पर एक ही तरह की छोटी या सरल वस्तुएं।उदाहरण के लिए,{{math|3 × 5}} पूर्णांक का एक कारक है{{math|15}}, तथा{{math|(''x'' – 2)(''x'' + 2)}} बहुपद का एक कारक है{{math|''x''<sup>2</sup> – 4}}।
+गणित में, [[गुणनखंड]] (या गुणनखंड, अंग्रेजी वर्तनी अंतर देखें) या गुणनखंड में एक संख्या या अन्य गणितीय वस्तु को कई गुणनखंडों के उत्पाद के रूप में लिखना होता है, आमतौर पर एक ही तरह की छोटी या सरल उद्देश्य है। उदाहरण के लिए, 3 × 5 का गुणनखंडन पूर्णांक 15 है, और बहुपद (x - 2)(x + 2) का गुणनखंडन x<sup>2</sup> - 4 है।
-कारक को आमतौर पर संख्या प्रणालियों के भीतर सार्थक नहीं माना जाता है, जैसे कि वास्तविक या जटिल संख्या, जैसे कि कोई भी<math>x</math> के रूप में तुच्छ रूप से लिखा जा सकता है<math>(xy)\times(1/y)</math> जब भी<math>y</math> शून्य नहीं है। हालांकि, एक तर्कसंगत संख्या या एक तर्कसंगत कार्य के लिए एक सार्थक कारक इसे सबसे कम शब्दों में लिखकर प्राप्त किया जा सकता है और अलग -अलग इसके अंश और भाजक को फैक्टर कर रहा है।
+गुणनखंडन को आमतौर पर विभाजन वाली संख्या प्रणालियों के भीतर सार्थक नहीं माना जाता है, जैसे वास्तविक या जटिल संख्याएं है, क्योंकि किसी भी  <math>x</math> को तुच्छ रूप से <math>(xy)\times(1/y)</math> लिखा जा सकता है जब भी <math>y</math> शून्य नहीं है। हालांकि, एक परिमेय संख्या या एक परिमेय गुणनखंड के लिए एक सार्थक गुणनखंडन को सबसे कम शब्दों में लिखकर और उसके अंश और हर को अलग-अलग करके प्राप्त किया जा सकता है।
-कारक को पहली बार प्राचीन ग्रीक गणितज्ञों द्वारा पूर्णांक के मामले में माना जाता था। उन्होंने अंकगणित के मौलिक प्रमेय को साबित किया, जो यह दावा करता है कि प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक को प्राइम नंबरों के उत्पाद में शामिल किया जा सकता है, जिसे आगे 1 से अधिक पूर्णांक में फैक्टर किया जा सकता है। इसके अलावा, यह कारक कारकों के क्रम तक अद्वितीय है। यद्यपि इंटेगर फैक्टराइजेशन गुणा के लिए एक प्रकार का उलटा है, यह बहुत अधिक कठिन एल्गोरिदम है, एक तथ्य जो सार्वजनिक-कुंजी क्रिप्टोग्राफी को लागू करने के लिए आरएसए क्रिप्टोसिस्टम में शोषण किया जाता है।
+प्राचीन यूनानी गणितज्ञों ने सबसे पहले पूर्णांकों के मामले में गुणनखंडन पर विचार किया था। उन्होंने अंकगणित के मूलभूत प्रमेय को सिद्ध किया, जो यह दावा करता है कि प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल में विभाजित किया जा सकता है, जिसे आगे 1 से अधिक पूर्णांकों में विभाजित नहीं किया जा सकता है। इसके अलावा, यह गुणनखंड के क्रम तक अद्वितीय है। हालांकि पूर्णांक गुणनखंड गुणन का एक प्रकार है, यह कलनविधि (एल्गोरिथम) की दृष्टि से कहीं अधिक कठिन है, एक तथ्य है जिसका सार्वजनिक-कुंजी बीज-लेखन को लागू करने के लिए आरएसए क्रिप्टोसिस्टम में उपयोग किया जाता है।
-बहुपद कारक का भी सदियों से अध्ययन किया गया है। प्राथमिक बीजगणित में, फैक्टरिंग एक बहुपद कारकों की जड़ों को खोजने के लिए अपनी जड़ों को खोजने की समस्या को कम करता है। पूर्णांक में या किसी क्षेत्र में गुणांक के साथ बहुपद, अद्वितीय कारक संपत्ति के अधिकारी होते हैं, जो कि अंकगणित के मौलिक प्रमेय का एक संस्करण है, जो कि प्रिड्यूसिबल बहुपद द्वारा प्रतिस्थापित प्रमुख संख्याओं के साथ होता है। विशेष रूप से, जटिल गुणांक के साथ एक अविभाज्य बहुपद रैखिक बहुपद में एक अद्वितीय (ऑर्डर करने के लिए) कारक को स्वीकार करता है: यह बीजगणित के मौलिक प्रमेय का एक संस्करण है। इस मामले में, कारक को रूट-फाइंडिंग एल्गोरिदम के साथ किया जा सकता है। पूर्णांक गुणांक के साथ बहुपद का मामला कंप्यूटर बीजगणित के लिए मौलिक है। तर्कसंगत संख्या गुणांक के साथ बहुपद की अंगूठी के भीतर कंप्यूटिंग (पूर्ण) कारक के लिए कुशल कंप्यूटर एल्गोरिदम हैं (बहुपदों का कारक देखें)।
+सदियों से बहुपद गुणनखंड का भी अध्ययन किया गया है। प्रारंभिक बीजगणित में, बहुपद का गुणनखंड करने से इसकी मूल को खोजने की समस्या को गुणनखंडों की मूल को खोजने की समस्या कम हो जाती है। पूर्णांकों में या किसी क्षेत्र में गुणांक वाले [[बहुपदों]] में अद्वितीय गुणनखंडन गुण होते हैं, जो अभाज्य संख्याओं के साथ अंकगणित के मौलिक प्रमेय का एक संस्करण है जिसे अखंडनीय बहुपद द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। विशेष रूप से, जटिल गुणांक वाला एक अविभाज्य बहुपद रैखिक बहुपदों में एक अद्वितीय (आदेश देने तक) गुणनखंड को स्वीकार करता है: यह बीजगणित के मौलिक प्रमेय का एक संस्करण है। इस मामले में, गुणनखंड करण मूल निकालने की विधि के साथ किया जा सकता है। पूर्णांक गुणांक के साथ बहुपद का मामला कंप्यूटर बीजगणित के लिए मौलिक है। तर्कसंगत संख्या गुणांक के साथ बहुपद की वलय के भीतर अभिकलन (कंप्यूटिंग) (पूर्ण) गुणनखंड के लिए कुशल अभिकलित्र कलनविधि (कंप्यूटर एल्गोरिदम) हैं (बहुपदों का गुणनखंड देखें)।
-अद्वितीय कारक संपत्ति वाले एक कम्यूटेटिव रिंग को एक अद्वितीय कारककरण डोमेन कहा जाता है। संख्या प्रणालियाँ हैं, जैसे कि बीजगणितीय पूर्णांक के कुछ छल्ले, जो अद्वितीय कारक नहीं हैं। हालांकि, बीजगणितीय पूर्णांक के छल्ले डेडेकिंड डोमेन की कमजोर संपत्ति को संतुष्ट करते हैं: आदर्श कारक विशिष्ट आदर्शों में विशिष्ट रूप से।
+अद्वितीय गुणनखंड गुण वाले क्रमविनिमेय (कम्यूटेटिव) वलय को एक अद्वितीय गुणनखंड करण प्रभावक्षेत्र कहा जाता है। संख्या प्रणालियाँ हैं, जैसे कि बीजगणितीय पूर्णांक के कुछ वलय, जो अद्वितीय गुणनखंड नहीं हैं। हालांकि, बीजगणितीय पूर्णांक के वलय डेडेकिंड प्रभावक्षेत्र की कमजोर गुण को आदर्श गुणनखंड विशिष्ट आदर्शों में विशिष्ट रूप से संतुष्ट करते हैं।
-फैक्टरकरण भी छोटे या सरल वस्तुओं के उत्पाद में एक गणितीय वस्तु के अधिक सामान्य अपघटन का उल्लेख कर सकता है। उदाहरण के लिए, प्रत्येक फ़ंक्शन को एक इंजेक्टिव फ़ंक्शन के साथ एक सर्जिकल फ़ंक्शन की संरचना में शामिल किया जा सकता है। मैट्रिसेस में कई प्रकार के मैट्रिक्स कारक होते हैं। उदाहरण के लिए, प्रत्येक मैट्रिक्स में एक कम त्रिकोणीय मैट्रिक्स के उत्पाद के रूप में एक अद्वितीय LUP कारक होता है{{mvar|L}} एक के बराबर सभी विकर्ण प्रविष्टियों के साथ, एक ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स{{mvar|U}}, और एक क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स{{mvar|P}};यह गाऊसी उन्मूलन का एक मैट्रिक्स सूत्रीकरण है।
+गुणनखंडन एक गणितीय वस्तु के अधिक सामान्य अपघटन को छोटी या सरल वस्तुओं के उत्पाद में भी संदर्भित कर सकता है। उदाहरण के लिए, प्रत्येक गुणनखंड को एकैकी गुणनखंड के साथ एक विशेषण गुणनखंड की संरचना में शामिल किया जा सकता है। आव्यूह(मैट्रिक्स) में कई प्रकार के आव्यूह गुणनखंड होते हैं। उदाहरण के लिए, प्रत्येक आव्यूह में एक निचले त्रिकोणीय आव्यूह L के उत्पाद के रूप में एक अद्वितीय एलयूपी गुणनखंडन होता है, जिसमें सभी विकर्ण प्रविष्टियाँ एक के बराबर होती हैं, एक ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह U, और एक क्रम परिवर्तन आव्यूह P, यह गाऊसी उन्मूलन का एक आव्यूह सूत्रीकरण है।
 == पूर्णांक ==
-{{Main|Integer factorization}}
+{{Main|पूर्णांक गुणनखंड}}
-अंकगणित के मौलिक प्रमेय द्वारा, 1 से अधिक पूर्णांक के पास प्राइम नंबरों में एक अद्वितीय (कारकों के क्रम तक) फैक्टरकरण होता है, जो उन पूर्णांक हैं जिन्हें एक से अधिक पूर्णांक के उत्पाद में आगे नहीं किया जा सकता है।
+अंकगणित के मौलिक प्रमेय के अनुसार, 1 से अधिक के प्रत्येक पूर्णांक में अभाज्य संख्याओं में अद्वितीय (गुणनखंडों के क्रम तक) गुणनखंड होता है, जो वे पूर्णांक होते हैं जिन्हें एक से अधिक पूर्णांकों के गुणनफल में और अधिक गुणनखंडित नहीं किया जा सकता है।
-एक पूर्णांक के कारक की गणना के लिए{{mvar|n}}, किसी को एक भाजक खोजने के लिए एक एल्गोरिथ्म की आवश्यकता है{{mvar|q}} का{{mvar|n}} या तय करना{{mvar|n}} प्राइम है।जब इस तरह के एक भाजक को पाया जाता है, तो कारकों के लिए इस एल्गोरिथ्म का बार -बार आवेदन किया जाता है{{mvar|q}} तथा{{math|''n'' / ''q''}} अंततः पूरा कारक देता है{{mvar|n}}.<ref>{{Cite book|last1=Hardy|last2=Wright|title=An Introduction to the Theory of Numbers|isbn=978-0198531715|edition=5th|year=1980|publisher=Oxford Science Publications|url-access=registration|url=https://archive.org/details/introductiontoth00hard}}</ref>
+पूर्णांक n के गुणनखंडन की गणना के लिए, किसी को n के भाजक q को खोजने या यह तय करने के लिए एक कलन विधि (एल्गोरिथ्म) की आवश्यकता होती है कि n अभाज्य है। जब ऐसा भाजक पाया जाता है, तो q और n / q के गुणनखंडों के लिए इस कलन विधि (एल्गोरिथ्म) का बार-बार आवेदन अंततः n का पूर्ण गुणनखंडन देता है।.<ref>{{Cite book|last1=Hardy|last2=Wright|title=An Introduction to the Theory of Numbers|isbn=978-0198531715|edition=5th|year=1980|publisher=Oxford Science Publications|url-access=registration|url=https://archive.org/details/introductiontoth00hard}}</ref>
-एक विभाजक खोजने के लिए{{mvar|q}} का{{mvar|n}}, यदि कोई हो, तो यह सभी मूल्यों का परीक्षण करने के लिए पर्याप्त है{{mvar|q}} ऐसा है कि{{math|1 < q}} तथा{{math|''q''<sup>2</sup> ≤ ''n''}}।वास्तव में, अगर{{math|''r''}} का भाजक है{{mvar|n}} ऐसा है कि{{math|''r''<sup>2</sup> > ''n''}}, फिर{{math|1=''q'' = ''n'' / ''r''}} का भाजक है{{mvar|n}} ऐसा है कि{{math|''q''<sup>2</sup> ≤ ''n''}}।
-यदि कोई मान का परीक्षण करता है{{mvar|q}} बढ़ते क्रम में, पहला विभाजक जो पाया जाता है वह आवश्यक रूप से एक प्रमुख संख्या है, और कोफ़ेक्टर{{math|1=''r'' = ''n'' / ''q''}} किसी भी विभाजक से छोटा नहीं हो सकता है{{mvar|q}}।पूर्ण कारक प्राप्त करने के लिए, यह इस प्रकार पीड़ित है कि एल्गोरिथ्म को एक भाजक को खोजकर जारी रखा{{mvar|r}} इससे छोटा नहीं है{{mvar|q}} और से अधिक नहीं{{math|{{sqrt|''r''}}}}।
+''n'' का भाजक ''q'' ज्ञात करने के लिए, यदि कोई हो, तो ''q'' के सभी मानों का इस प्रकार परीक्षण करना पर्याप्त है कि {{math|1 < q}} तथा {{math|''q''<sup>2</sup> ≤ ''n''}}। वास्तव में, अगर {{math|''r''}} का भाजक है {{mvar|n}} तो {{math|''r''<sup>2</sup> > ''n''}}, फिर {{math|1=''q'' = ''n'' / ''r''}} का भाजक है {{mvar|n}} तो {{math|''q''<sup>2</sup> ≤ ''n''}}।
-के सभी मूल्यों का परीक्षण करने की कोई आवश्यकता नहीं है{{mvar|q}} विधि को लागू करने के लिए।सिद्धांत रूप में, यह केवल प्राइम डिवीर्स का परीक्षण करने के लिए पर्याप्त है।इसके लिए प्राइम नंबरों की एक तालिका होनी चाहिए जो उदाहरण के लिए एरातोस्टेनेस की छलनी के साथ उत्पन्न हो सकती है।जैसा कि फैक्टराइजेशन की विधि अनिवार्य रूप से एराटोस्टेनेस की छलनी के रूप में एक ही काम करती है, यह आम तौर पर एक भाजक के लिए परीक्षण करने के लिए अधिक कुशल है, केवल उन नंबरों के लिए जिसके लिए यह तुरंत स्पष्ट नहीं है कि वे प्रमुख हैं या नहीं।आमतौर पर, कोई 2, 3, 5, और संख्या> & nbsp; 5 का परीक्षण करके आगे बढ़ सकता है, जिसका अंतिम अंक 1, 3, 7, 9 है और अंकों का योग 3 में से कई नहीं है।
+यदि कोई q के मानों को बढ़ते क्रम में परीक्षण करता है, तो पाया जाने वाला पहला भाजक अनिवार्य रूप से एक अभाज्य संख्या है, और सहगुणनखंड {{math|1=''r'' = ''n'' / ''q''}} मेंसे छोटा कोई भाजक नहीं हो सकता है। पूर्ण गुणनखंडन प्राप्त करने के लिए, इस प्रकार {{mvar|r}} के भाजक की खोज करके कलन विधि (एल्गोरिथ्म) को जारी रखना पर्याप्त है जो  {{mvar|q}} से छोटा नहीं है और{{math|{{sqrt|''r''}}}} से बड़ा नहीं है।
-यह विधि छोटे पूर्णांक को फैक्टर करने के लिए अच्छी तरह से काम करती है, लेकिन बड़े पूर्णांक के लिए अक्षम है।उदाहरण के लिए, पियरे डी फर्मेट यह पता लगाने में असमर्थ थे कि 6 वीं फ़र्मेट नंबर
+विधि को लागू करने के लिए {{mvar|q}}  के सभी मानों का परीक्षण करने की कोई आवश्यकता नहीं है। सिद्धांत रूप में, यह केवल अभाज्य भाजक का परीक्षण करने के लिए पर्याप्त है। इसके लिए अभाज्य संख्याओं की एक तालिका होनी चाहिए जो उदाहरण के लिए एराटोस्थनीज की चलनी के साथ उत्पन्न हो सकती है। चूंकि गुणनखंडन की विधि अनिवार्य रूप से एराटोस्थनीज की छलनी के समान काम करती है, इसलिए आमतौर पर केवल उन संख्याओं के भाजक के लिए परीक्षण करना अधिक कुशल होता है जिनके लिए यह तुरंत स्पष्ट नहीं होता है कि वे अभाज्य हैं या नहीं है। आमतौर पर, कोई 2, 3, 5, और संख्या >5  का परीक्षण करके आगे बढ़ सकता है, जिसका अंतिम अंक 1, 3, 7, 9 है और अंकों का योग 3 का गुणज नहीं है।
+यह विधि छोटे पूर्णांकों के गुणनखंड के लिए अच्छी तरह से काम करती है, लेकिन बड़े पूर्णांकों के लिए अक्षम है।
+उदाहरण के लिए, पियरे डी फ़र्मेट 6 वीं फ़र्मेट नंबर पता लगाने में असमर्थ था
 :<math>1 + 2^{2^5} = 1 + 2^{32} = 4\,294\,967\,297</math>
-एक प्रमुख संख्या नहीं है।वास्तव में, उपरोक्त विधि को लागू करने के लिए अधिक से अधिक की आवश्यकता होगी{{val|10,000|u=divisions}}, एक संख्या के लिए जिसमें 10 & nbsp; दशमलव अंक हैं।
+वास्तव में, उपरोक्त विधि को लागू करने के लिए अधिक से अधिक की आवश्यकता होगी {{val|10,000|u=प्रभाग}}, संख्या के लिए जिसमें 10 दशमलव अंक हैं।
-अधिक कुशल फैक्टरिंग एल्गोरिदम हैं।हालाँकि, वे अपेक्षाकृत अक्षम रहते हैं, जैसे कि कला की वर्तमान स्थिति के साथ, कोई भी कारक नहीं कर सकता है, यहां तक कि अधिक शक्तिशाली कंप्यूटरों के साथ, 500 दशमलव अंकों की संख्या जो दो यादृच्छिक रूप से चुने हुए प्राइम नंबरों का उत्पाद है।यह आरएसए क्रिप्टोसिस्टम की सुरक्षा सुनिश्चित करता है, जो व्यापक रूप से सुरक्षित इंटरनेट संचार के लिए उपयोग किया जाता है।
+फैक्टवलय कलन विधि (एल्गोरिथ्म) अधिक कुशल हैं। हालाँकि, वे अपेक्षाकृत अक्षम रहते हैं, क्योंकि, कला की वर्तमान स्थिति के साथ, कोई भी अधिक प्रभावशाली अभिकलित्र के साथ, 500 दशमलव अंकों की संख्या का गुणनखंड नहीं कर सकता है, जो कि दो यादृच्छिक रूप से चुनी गई अभाज्य संख्याओं का उत्पाद है। यह आरएसए क्रिप्टोसिस्टम की सुरक्षा सुनिश्चित करता है, जिसका व्यापक रूप से सुरक्षित इंटरनेट संचार के लिए उपयोग किया जाता है।
 === उदाहरण ===
-फैक्टरिंग के लिए{{math|1=''n'' = 1386}} प्राइम्स में:
+फैक्टवलय के लिए {{math|1=''n'' = 1386}} सम में:
-* 2 से विभाजन से शुरू करें: संख्या भी है, और{{math|1=''n'' = 2 · 693}}।693, और 2 के साथ पहले विभाजक उम्मीदवार के रूप में जारी रखें।
+* 2 से विभाजन से शुरू करें: संख्या सम है, और  {{math|1=''n'' = 2 · 693}}। 693 और 2 को पहले भाजक उम्मीदवार के रूप में जारी रखें।
-* 693 विषम है (2 एक विभाजक नहीं है), लेकिन 3 में से एक है: एक है{{math|1= 693 = 3 · 231}} तथा{{math|1=''n'' = 2 · 3 · 231}}।231, और 3 के साथ पहले भाजक के उम्मीदवार के रूप में जारी रखें।
+* 693 विषम है (2 एक विभाजक नहीं है), लेकिन 3 में से एक है:  एक है {{math|1= 693 = 3 · 231}} तथा {{math|1=''n'' = 2 · 3 · 231}}। 231, और 3 के साथ पहले भाजक के उम्मीदवार के रूप में जारी रखें।
-* 231 भी 3 में से एक है: एक है{{math|1= 231 = 3 · 77}}, और इस तरह{{math|1=''n'' = 2 · 3<sup>2</sup> · 77}}।पहले विभाजक उम्मीदवार के रूप में 77, और 3 के साथ जारी रखें।
+* 231 भी 3 का गुणज है: एक में 231 = 3 · 77, और इस प्रकार n = 2 · 3<sup>2</sup> · 77 है। 77 के साथ जारी रखें, और 3 पहले भाजक उम्मीदवार के रूप में।
-* 77 3 में से कई नहीं है, क्योंकि इसके अंकों का योग 14 है, न कि 3. में से एक कई नहीं है। यह भी 5 में से कई नहीं है क्योंकि इसका अंतिम अंक 7 है। परीक्षण किया जाने वाला अगला विषम विभाजक 7. एक है 7. एक।है{{math|1= 77 = 7 · 11}}, और इस तरह{{math|1=''n'' = 2 · 3<sup>2</sup> · 7 · 11}}।इससे पता चलता है कि 7 प्राइम है (सीधे परीक्षण करना आसान है)।11, और 7 के साथ पहले विभाजक उम्मीदवार के रूप में जारी रखें।
+* 77 का गुणज 3 नहीं है, क्योंकि इसके अंकों का योग 14 है, 3 का गुणज नहीं है। यह 5 का गुण ज भी नहीं है क्योंकि इसका अंतिम अंक 7 है। परीक्षण किया जाने वाला अगला विषम भाजक 7 है। 77 = 7 · 11, और इस प्रकार n = 2 · 3<sup>2</sup> · 7 · 11. इससे पता चलता है कि 7 अभाज्य है (सीधे परीक्षण करने में आसान)। पहले भाजक उम्मीदवार के रूप में 11, और 7 के साथ जारी रखें।
-* जैसा{{math|7<sup>2</sup> > 11}}, एक समाप्त हो गया है।इस प्रकार 11 प्रमुख है, और प्रमुख कारक है
+* 72 > 11 के रूप में, समाप्त हो गया है। इस प्रकार 11 अभाज्य है, और अभाज्य गुणनखंड है
 :{{math|1=1386 = 2 · 3<sup>2</sup> · 7 · 11}}।
-== भाव ==
+== व्यंजक ==
-अभिव्यक्तियों में हेरफेर बीजगणित का आधार है।कारक कई कारणों से अभिव्यक्ति हेरफेर के लिए सबसे महत्वपूर्ण तरीकों में से एक है।यदि कोई एक समीकरण को एक रूप में रख सकता है{{math|1=''E''⋅''F'' = 0}}, फिर समीकरण को हल करने की समस्या दो स्वतंत्र (और आम तौर पर आसान) समस्याओं में विभाजित होती है{{math|1=''E'' = 0}} तथा{{math|1=''F'' = 0}}।जब एक अभिव्यक्ति को फैक्टर किया जा सकता है, तो कारक अक्सर बहुत सरल होते हैं, और इस प्रकार समस्या पर कुछ अंतर्दृष्टि प्रदान कर सकते हैं।उदाहरण के लिए,
+व्यंजक में हेर-फेर करना बीजगणित का आधार है। कई कारणों से अभिव्यक्ति हेरफेर के लिए गुणनखण्ड सबसे महत्वपूर्ण तरीकों में से एक है। यदि कोई समीकरण को गुणनखंडित रूप  {{math|1=''E''⋅''F'' = 0}}, में रख सकता है, तो समीकरण को हल करने की समस्या दो स्वतंत्र (और आम तौर पर आसान) समस्याओं  {{math|1=''E'' = 0}} तथा {{math|1=''F'' = 0}} में विभाजित हो जाती है। जब किसी व्यंजक को गुणनखंडित किया जा सकता है, तो गुणनखंड अक्सर बहुत सरल होते हैं, और इस प्रकार समस्या पर कुछ अंतर्दृष्टि प्रदान कर सकते हैं। उदाहरण के लिए,
 :<math>x^3-ax^2-bx^2-cx^2+ abx+acx+bcx-abc</math>
-गुणन, 4 घटाव और 3 परिवर्धन, बहुत सरल अभिव्यक्ति में फैक्टर किया जा सकता है
+गुणन, 4 घटाव और 3 परिवर्धन, बहुत सरल अभिव्यक्ति में कारक किया जा सकता है
-:<math>(x-a)(x-b)(x-c),</math> केवल दो गुणा और तीन घटाव के साथ।इसके अलावा, फैक्टेड फॉर्म तुरंत बहुपद की जड़ों के रूप में जड़ों को x = a, b, c देता है।
+:<math>(x-a)(x-b)(x-c),</math>
+:केवल दो गुणा और तीन घटाव के साथ होता है। इसके अलावा, गुणनखंडित रूप तुरंत x = a, b, c को बहुपद के मूल के रूप में देता है।
-दूसरी ओर, कारक हमेशा संभव नहीं होता है, और जब यह संभव होता है, तो कारक हमेशा सरल नहीं होते हैं।उदाहरण के लिए,<math>x^{10}-1</math> दो irreducible कारकों में फैक्टर किया जा सकता है<math>x-1</math> तथा<math>x^{9}+x^{8}+\cdots+x^2+x+1</math>।
+दूसरी ओर, गुणनखंडन हमेशा संभव नहीं होता है, और जब यह संभव होता है, तो गुणनखंड हमेशा सरल नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, <math>x^{10}-1</math> को दो अपरिवर्तनीय गुणनखंडों में विभाजित किया जा सकता है  <math>x-1</math> तथा  <math>x^{9}+x^{8}+\cdots+x^2+x+1</math>।
-कारक खोजने के लिए विभिन्न तरीकों को विकसित किया गया है;कुछ नीचे वर्णित हैं।
+गुणनखंडों को खोजने के लिए विभिन्न विधियों का विकास किया गया है, कुछ नीचे वर्णित हैं।
-बीजगणितीय समीकरणों को हल करने से बहुपद कारक की समस्या के रूप में देखा जा सकता है।वास्तव में, बीजगणित के मौलिक प्रमेय को निम्नानुसार कहा जा सकता है: हर बहुपद में{{mvar|x}} डिग्री का{{math|''n''}} जटिल गुणांक के साथ में कारक किया जा सकता है{{math|''n''}} रैखिक कारक<math>x-a_i,</math> के लिये{{math|1=''i'' = 1, ..., ''n''}}, जहां{{math|''a''<sub>''i''</sub>}}s बहुपद की जड़ें हैं।<ref>{{harvnb|Klein|1925|pp=101–102}}</ref> भले ही इन मामलों में कारक की संरचना ज्ञात हो,{{math|''a''<sub>''i''</sub>}}आमतौर पर कट्टरपंथी (n) के संदर्भ में गणना नहीं की जा सकती है<sup>th</sup>रूट्स), हाबिल -रफिनी प्रमेय द्वारा।ज्यादातर मामलों में, जो सबसे अच्छा किया जा सकता है, वह रूट-फाइंडिंग एल्गोरिथ्म के साथ जड़ों के अनुमानित मूल्यों की गणना है।
+बीजीय समीकरणों को हल करना बहुपद गुणनखंडन की समस्या के रूप में देखा जा सकता है। वास्तव में, बीजगणित के मूल प्रमेय को इस प्रकार बताया जा सकता है: जटिल गुणांक वाले डिग्री {{math|''n''}} के {{mvar|x}} में प्रत्येक बहुपद को {{math|''n''}} रैखिक गुणनखंडों में विभाजित किया जा सकता है  <math>x-a_i,</math> के लिये {{math|1=''i'' = 1, ..., ''n''}}, जहां  {{math|''a''<sub>''i''</sub>}}s बहुपद की मूल हैं।<ref>{{harvnb|Klein|1925|pp=101–102}}</ref> भले ही इन मामलों में गुणनखंडन की संरचना ज्ञात हो, {{math|''a''<sub>''i''</sub>}}s की गणना आम तौर पर एबेल-रफिनी प्रमेय द्वारा  मूलज(n<sup>th</sup> मूल्) के रूप में नहीं की जा सकती है। ज्यादातर मामलों में, सबसे अच्छा जो किया जा सकता है वह है मूलनिर्धारण कलन विधि (मूल निकालने की विधियाँ) के साथ मूल के अनुमानित मूल्यों की गणना है।
-=== अभिव्यक्तियों के कारक का इतिहास ===
+=== व्यंजक के गुणनखंड का इतिहास ===
-मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज़्मी के साथ 9 वीं शताब्दी को सरल बनाने (अधिक विशेष रूप से समीकरण) को सरल बनाने के लिए बीजगणितीय जोड़-तोड़ का व्यवस्थित उपयोग किया जा सकता है।हेरफेर के प्रकार।
+अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए बीजगणितीय जोड़तोड़ का व्यवस्थित उपयोग (अधिक विशेष रूप से समीकरण)) अल-ख्वारिज्मी की पुस्तक द कम्पेंडिअस बुक ऑन कैलकुलेशन बाय कंप्लीशन एंड बैलेंसिंग के साथ 9वीं शताब्दी तक की जा सकती है, जिसका शीर्षक दो प्रकार के हेरफेर के साथ है।
-हालांकि, द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए भी, उनकी मृत्यु के दस साल बाद 1631 में प्रकाशित हैरियट के काम से पहले फैक्टरिंग विधि का उपयोग नहीं किया गया था।<ref>In {{citation|first=Vera|last=Sanford|title=A Short History of Mathematics|year=2008|orig-year=1930|publisher=Read Books|isbn=9781409727101}}, the author notes "In view of the present emphasis given to the solution of quadratic equations by factoring, it is interesting to note that this method was not used until Harriot's work of 1631".</ref> अपनी पुस्तक आर्टिस एनालिटिका प्रैक्सिस एड एसेक्यूज एज़ेब्रेकास रिजेल्डस, हैरियट ड्रू, टेबल्स फॉर एडिशन, सबटेक्शन, मल्टीप्लेशन और डिवीजन ऑफ मोनोमिअल, बिनोमियल और ट्रिनोमियल।फिर, एक दूसरे खंड में, उन्होंने समीकरण स्थापित किया{{math|1=''aa'' − ''ba'' + ''ca''  = + ''bc''}}, और दिखाया कि यह गुणन के रूप से मेल खाता है जो उसने पहले प्रदान किया था, कारक को दे रहा था{{math|(''a'' − ''b'')(''a'' + ''c'')}}.<ref>[https://books.google.com/books?id=771CAAAAcAAJ&printsec=frontcover&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false Harriot, ''Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas'']</ref>
+हालांकि, द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए भी, उनकी मृत्यु के दस साल बाद, 1631 में प्रकाशित हैरियट के काम से पहले फैक्टवलय पद्धति का उपयोग नहीं किया गया था।<ref>In {{citation|first=Vera|last=Sanford|title=A Short History of Mathematics|year=2008|orig-year=1930|publisher=Read Books|isbn=9781409727101}}, the author notes "In view of the present emphasis given to the solution of quadratic equations by factoring, it is interesting to note that this method was not used until Harriot's work of 1631".</ref> अपनी पुस्तक आर्टिस एनालिटिका प्रैक्सिस एड एक्यूएशंस अल्जेब्राइकस रेसोलवेंडास में, हैरियट ड्रा, जोड़, घटाव, गुणा और एकपद, द्विपद और त्रिपदी  के विभाजन के लिए टेबल है। फिर, एक दूसरे खंड में, उन्होंने समीकरण {{math|1=''aa'' − ''ba'' + ''ca''  = + ''bc''}}, स्थापित किया, और दिखाया कि यह गुणन {{math|(''a'' − ''b'')(''a'' + ''c'')}} देते हुए, उनके द्वारा पहले प्रदान किए गए गुणन के रूप से मेल खाता है।.<ref>[https://books.google.com/books?id=771CAAAAcAAJ&printsec=frontcover&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false Harriot, ''Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas'']</ref>
 === सामान्य तरीके ===
-निम्नलिखित विधियाँ किसी भी अभिव्यक्ति पर लागू होती हैं जो एक राशि है, या जिसे एक राशि में बदल दिया जा सकता है।इसलिए, उन्हें अक्सर बहुपदों पर लागू किया जाता है, हालांकि उन्हें तब भी लागू किया जा सकता है जब राशि की शर्तें मोनोमियल नहीं होती हैं, अर्थात, योग की शर्तें चर और स्थिरांक का एक उत्पाद हैं।
+निम्नलिखित विधियाँ किसी भी व्यंजक पर लागू होती हैं जो एक योग है, या जिसे योग में परिवर्तित किया जा सकता है। इसलिए, वे अक्सर बहुपदों पर लागू होते हैं, हालांकि उन्हें तब भी लागू किया जा सकता है जब योग की शर्तें एकपदी नहीं होती हैं, यानी योग की शर्तें चर और स्थिरांक का उत्पाद होती हैं।
-==== सामान्य कारक =====
+==== समापवर्तक====
-यह हो सकता है कि एक राशि के सभी शर्तें उत्पाद हैं और कुछ कारक सभी शब्दों के लिए आम हैं।इस मामले में, वितरण कानून इस सामान्य कारक को फैक्टरिंग करने की अनुमति देता है।यदि ऐसे कई सामान्य कारक हैं, तो इस तरह के सामान्य कारक को विभाजित करना बेहतर है।इसके अलावा, यदि पूर्णांक गुणांक हैं, तो कोई इन गुणांक के सबसे बड़े सामान्य भाजक को कारक कर सकता है।
+ऐसा हो सकता है कि किसी योग के सभी पद उत्पाद हों और कुछ गुणनखंड सभी पदों के लिए समान हों। इस मामले में, वितरण कानून इस समापवर्तक को अलग करने की अनुमति देता है। यदि ऐसे कई समापवर्तक हैं, तो ऐसे सबसे बड़े समापवर्तक को विभाजित करना बेहतर होता है। इसके अलावा, यदि पूर्णांक गुणांक हैं, तो कोई इन गुणांकों के सबसे बड़े सामान्य भाजक को निकाल सकता है।
 उदाहरण के लिए,<ref>{{harvnb|Fite|1921|p=19}}</ref>
 :<math>6x^3y^2 + 8x^4y^3 - 10x^5y^3 = 2x^3y^2(3 + 4xy -5x^2y),</math>
-चूंकि 2 6, 8, और 10 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है, और<math>x^3y^2</math> सभी शब्दों को विभाजित करता है।
+चूंकि 2 6, 8, और 10 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है, और <math>x^3y^2</math> सभी शर्तों को विभाजित करता है।
-==== समूहन =====
+==== समूहन====
-समूहीकरण शब्द एक कारक प्राप्त करने के लिए अन्य तरीकों का उपयोग करने की अनुमति दे सकते हैं।
+समूहीकरण शब्द एक गुणनखंड प्राप्त करने के लिए अन्य तरीकों का उपयोग करने की अनुमति दे सकते हैं।
-उदाहरण के लिए, कारक के लिए
+उदाहरण के लिए, गुणनखंड के लिए
 :<math>4x^2+20x+3xy+15y, </math>
-कोई टिप्पणी कर सकता है कि पहले दो शब्दों में एक सामान्य कारक है{{mvar|x}}, और पिछले दो शब्दों में सामान्य कारक है{{mvar|y}}।इस प्रकार
+कोई टिप्पणी कर सकता है कि पहले दो पदों में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड {{mvar|x}}, है, और अंतिम दो पदों में उभयनिष्ठ गुणनखंड {{mvar|y}} है। इस प्रकार
 :<math>4x^2+20x+3xy+15y = (4x^2+20x)+(3xy+15y) = 4x(x+5)+3y(x+5). </math>
-तब एक साधारण निरीक्षण सामान्य कारक को दर्शाता है{{math|''x'' + 5}}, कारक के लिए अग्रणी
+फिर एक साधारण निरीक्षण समापवर्तक {{math|''x'' + 5}} दिखाता है, जिससे गुणनखंड हो जाता है
 :<math>4x^2+20x+3xy+15y = (4x+3y)(x+5).</math>
-सामान्य तौर पर, यह 4 शर्तों की रकम के लिए काम करता है जो दो द्विपद के उत्पाद के रूप में प्राप्त किए गए हैं।हालांकि अक्सर नहीं, यह अधिक जटिल उदाहरणों के लिए भी काम कर सकता है।
+सामान्य तौर पर, यह 4 पदों के योग के लिए कार्य करता है जो दो द्विपदों के गुणनफल के रूप में प्राप्त हुए हैं। हालांकि अक्सर नहीं, यह अधिक जटिल उदाहरणों के लिए भी काम कर सकता है।
-==== जोड़ना और घटाना शर्तें ====
+==== शब्दों (टर्म) को जोड़ना और घटाना ====
-कभी -कभी, कुछ शब्द समूहीकरण एक पहचानने योग्य पैटर्न का हिस्सा प्रकट करता है।पैटर्न को पूरा करने के लिए शब्दों को जोड़ना और घटाना उपयोगी है।
+कभी-कभी, कुछ शब्द समूहन एक पहचानने योग्य प्रतिरूप के हिस्से को प्रकट करता है। फिर प्रतिरूप को पूरा करने के लिए शब्दों (टर्म) को जोड़ना और घटाना उपयोगी होता है।
 इसका एक विशिष्ट उपयोग द्विघात सूत्र प्राप्त करने के लिए वर्ग विधि को पूरा करना है।
-एक अन्य उदाहरण का कारक है<math>x^4 + 1.</math> यदि कोई -1 के गैर-वास्तविक वर्गमूल का परिचय देता है, तो आमतौर पर निरूपित किया जाता है{{mvar|i}}, तब एक को वर्गों का अंतर है
+अन्य उदाहरण <math>x^4 + 1</math>का गुणनखंडन है। यदि कोई -1 के अवास्तविक वर्गमूल का परिचय देता है, जिसे आमतौर पर i कहा जाता है, तो उसके पास वर्गों का अंतर होता है
 :<math>x^4+1=(x^2+i)(x^2-i).</math>
-हालांकि, कोई वास्तविक संख्या गुणांक के साथ एक कारक भी चाहता है।जोड़कर और घटाना<math>2x^2,</math> और तीन शब्दों को एक साथ समूहित करते हुए, एक द्विपद के वर्ग को पहचान सकता है:
+हालाँकि, कोई वास्तविक संख्या गुणांक के साथ एक गुणनखंड भी चाहता है। <math>2x^2,</math> को जोड़कर और घटाकर और तीन शब्दों (टर्म) को एक साथ समूहीकृत करके, कोई व्यक्ति द्विपद के वर्ग को पहचान सकता है
 :<math>x^4+1 = (x^4+2x^2+1)-2x^2 = (x^2+1)^2 - \left(x\sqrt2\right)^2 =\left(x^2+x\sqrt2+1\right)\left(x^2-x\sqrt2+1\right).</math>
-घटाना और जोड़ना<math>2x^2</math> कारक भी पैदावार देता है:
+<math>2x^2</math> को घटाने और जोड़ने से भी गुणनखंड प्राप्त होता है:
 :<math>x^4+1 = (x^4-2x^2+1)+2x^2 = (x^2-1)^2 + \left(x\sqrt2\right)^2 =\left(x^2+x\sqrt{-2}-1\right)\left(x^2-x\sqrt{-2}-1\right).</math>
-ये कारक न केवल जटिल संख्याओं पर, बल्कि किसी भी क्षेत्र में भी काम करते हैं, जहां या तो -1, 2 या -2 एक वर्ग है।एक परिमित क्षेत्र में, दो गैर-वर्गों का उत्पाद एक वर्ग है;इसका तात्पर्य यह है कि बहुपद<math>x^4 + 1,</math> जो पूर्णांक पर अतार्किक है, हर प्राइम नंबर को कम करने योग्य मोडुलो है।उदाहरण के लिए,
+ये गुणनखंडन केवल सम्मिश्र संख्याओं पर ही नहीं, बल्कि किसी भी क्षेत्र पर भी कार्य करते हैं, जहाँ या तो-1, 2 या -2 एक वर्ग है। एक परिमित क्षेत्र में, दो गैर-वर्गों का गुणनफल एक वर्ग होता है, इसका तात्पर्य यह है कि बहुपद <math>x^4 + 1,</math> जो पूर्णांकों के ऊपर अलघुकरणीय (इरेड्यूसेबल) है, प्रत्येक अभाज्य संख्या में लघुकरणीय (रिड्यूसेबल)  उपागम है। उदाहरण के लिए,
 :<math>x^4 + 1 \equiv (x+1)^4 \pmod 2;</math>
-:<math>x^4 + 1 \equiv (x^2+x-1)(x^2-x-1) \pmod 3,\qquad</math>जबसे<math>1^2 \equiv -2 \pmod 3;</math>
+:<math>x^4 + 1 \equiv (x^2+x-1)(x^2-x-1) \pmod 3,\qquad</math>जबसे  <math>1^2 \equiv -2 \pmod 3;</math>
-:<math>x^4 + 1 \equiv (x^2+2)(x^2-2) \pmod 5,\qquad</math>जबसे<math>2^2 \equiv -1 \pmod 5;</math>
+:<math>x^4 + 1 \equiv (x^2+2)(x^2-2) \pmod 5,\qquad</math>जबसे   <math>2^2 \equiv -1 \pmod 5;</math>
-:<math>x^4 + 1 \equiv (x^2+3x+1)(x^2-3x+1) \pmod 7,\qquad</math>जबसे<math>3^2 \equiv 2 \pmod 7.</math>
+:<math>x^4 + 1 \equiv (x^2+3x+1)(x^2-3x+1) \pmod 7,\qquad</math>जबसे   <math>3^2 \equiv 2 \pmod 7.</math>
+=== पहचानने योग्य प्रतिलिपि ===
+कई सर्वसमिकाएँ योग और उत्पाद के बीच समानता प्रदान करती हैं। उपरोक्त विधियों का उपयोग किसी पहचान के योग पक्ष को एक अभिव्यक्ति में प्रकट होने देने के लिए किया जा सकता है, जिसे एक उत्पाद द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।
-=== पहचानने योग्य पैटर्न ===
+नीचे वे पहचानें दी गई हैं जिनके बाएं हाथ के पक्षों को आमतौर पर प्रतिलिपि के रूप में उपयोग किया जाता है (इसका मतलब है कि इन पहचानों में दिखाई देने वाले चर E और F अभिव्यक्ति के किसी भी उप-अभिव्यक्ति का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं जिसे गुणनखंडित किया जाना है)।<ref>{{harvnb|Selby|1970|p=101}}</ref>
-कई पहचान एक राशि और एक उत्पाद के बीच एक समानता प्रदान करते हैं।उपरोक्त तरीकों का उपयोग कुछ पहचान के योग को एक अभिव्यक्ति में दिखाई देने के लिए किया जा सकता है, जिसे इसलिए किसी उत्पाद द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।
-नीचे पहचानें हैं जिनके बाएं हाथ की ओर आमतौर पर पैटर्न के रूप में उपयोग की जाती हैं (इसका मतलब है कि चर{{mvar|E}} तथा{{mvar|F}} इन पहचानों में दिखाई देता है, अभिव्यक्ति के किसी भी उपप्रकार का प्रतिनिधित्व कर सकता है जिसे कारक किया जाना है)।<ref>{{harvnb|Selby|1970|p=101}}</ref>
 [[File:Difference_of_squares_and_cubes_visual_proof.svg|thumb|दो वर्गों और दो क्यूब्स के बीच अंतर का दृश्य प्रमाण]]
-*; दो वर्गों का अंतर
-::<math> E^2 - F^2 = (E+F)(E-F)</math>
+* '''दो वर्गों का अंतर'''
 :उदाहरण के लिए,
 ::<math>\begin{align}
@@ Line 110: / Line 116: @@
 &= (a+b + x -y)(a+b -x + y).
 \end{align} </math>
-*; दो क्यूब्स का योग/अंतर<!-- [[File:Differenceofcubes.jpg|thumb|वॉल्यूम का उपयोग करके क्यूब्स के कारक का एक दृश्य प्रतिनिधित्व।क्यूब्स के योग के लिए, बस z = -y स्थानापन्न करें।-->::<math> E^3 + F^3 = (E + F)(E^2 - EF + F^2)</math>
+*'''दो घनों का योग/अंत'''
-::<math> E^3 - F^3 = (E - F)(E^2 + EF + F^2)</math>
+; <math> E^3 + F^3 = (E + F)(E^2 - EF + F^2)</math>
-*; दो चौथी शक्तियों का अंतर
+;<math> E^3 - F^3 = (E - F)(E^2 + EF + F^2)</math>
-::<math>\begin{align}
+;* दो चौथी घात का अंतर
+<math>\begin{align}
 E^4 - F^4 &= (E^2 + F^2)(E^2 - F^2) \\
 &= (E^2 + F^2)(E + F)(E - F)
 \end{align}</math>
-*; दो का योग/अंतर{{mvar|n}}वें शक्तियां
-: निम्नलिखित पहचानों में, कारकों को अक्सर आगे बढ़ाया जा सकता है:
+* '''दो {{mvar|n}}वें घात  का योग/अंतर'''
-:*; अंतर, यहां तक कि घातांक
+: निम्नलिखित पहचानों में, गुणनखंडों को अक्सर आगे बढ़ाया जा सकता है:
+:;* अंतर, यहां तक कि घातांक
 ::<math>E^{2n}-F^{2n}= (E^n+F^n)(E^n-F^n)</math>
-:*; अंतर, यहां तक कि या विषम प्रतिपादक
+:;* अंतर, यहां तक कि या विषम प्रतिपादक
 ::<math> E^n - F^n  = (E-F)(E^{n-1} + E^{n-2}F + E^{n-3}F^2 + \cdots + EF^{n-2}  + F^{n-1} )</math>
-:: यह एक उदाहरण है जो यह दिखाता है कि कारक उस राशि से बहुत बड़े हो सकते हैं जो कारक किया गया है।
+:: यह एक उदाहरण है जो यह दिखाता है कि गुणनखंड उस राशि से बहुत बड़े हो सकते हैं जो गुणनखंड किया गया है।
-:*; संक्षेप, विषम प्रतिपादक
+:;* संक्षेप, विषम प्रतिपादक
-::<math> E^n + F^n  = (E+F)(E^{n-1} - E^{n-2}F + E^{n-3}F^2 - \cdots - EF^{n-2}  + F^{n-1} )</math>
+::<math> E^n + F^n  = (E+F)(E^{n-1} - E^{n-2}F + E^{n-3}F^2 - \cdots - EF^{n-2}  + F^{n-1} )</math> (पूर्ववर्ती सूत्र में F को –F से बदलकर प्राप्त किया गया)
-: :( बदलकर प्राप्त किया{{mvar|F}} द्वारा{{math|–F}} पूर्ववर्ती सूत्र में)
+:;* संक्षेप, यहां तक कि घातांक
-:*; संक्षेप, यहां तक कि घातांक
+:: यदि घातांक दो की घात है तो व्यंजक को, सामान्य रूप से, सम्मिश्र संख्याओं को प्रस्तुत किए बिना गुणनखंडित नहीं किया जा सकता है (यदि E और F में सम्मिश्र संख्याएँ हैं, तो यह मामला नहीं हो सकता है)। यदि n में एक विषम भाजक है, अर्थात यदि {{math|1=n = pq}} साथ {{mvar|p}} विषम, पर लागू पूर्ववर्ती सूत्र ("योग, विषम घातांक" में) का उपयोग कर सकता है <math>(E^q)^p+(F^q)^p.</math>
-:: यदि घातांक दो की शक्ति है, तो अभिव्यक्ति सामान्य रूप से, जटिल संख्याओं को पेश किए बिना कारक नहीं किया जा सकता है (यदि){{mvar|E}} तथा{{mvar|F}} जटिल संख्याएं होती हैं, यह मामला नहीं हो सकता है)।यदि n में एक विषम भाजक है, तो यह है{{math|1=n = pq}} साथ{{mvar|p}} विषम, कोई पूर्ववर्ती सूत्र (संक्षेप में, विषम प्रतिपादक) का उपयोग कर सकता है<math>(E^q)^p+(F^q)^p.</math>
+::* '''त्रिपद और घन सूत्र'''
-*; ट्रिनोमियल और क्यूबिक फॉर्मूला
+[[File:binomial_theorem_visualisation.svg|thumb|300px|चौथी शक्ति तक द्विपद विस्तार का दृश्य]]
-:::<math>
+<math>
 \begin{align}
   &x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy +yz+xz)= (x + y+ z)^2 \\
@@ Line 138: / Line 147: @@
 \end{align}
 </math>
-*; द्विपद विस्तारFile:binomial_theorem_visualisation.svg|thumb|300px|4 वीं शक्ति तक द्विपद विस्तार का दृश्य]]
+::* '''द्विपद विस्तार'''  द्विपद प्रमेय उन प्रतिलिपि की आपूर्ति करता है जिन्हें आसानी से उन पूर्णांकों से पहचाना जा सकता है जो उनमें दिखाई देते हैं
-: द्विपद प्रमेय पैटर्न की आपूर्ति करता है जो आसानी से उन पूर्णांक से पहचाना जा सकता है जो उनमें दिखाई देते हैं
+::कम डिग्री में:
-: कम डिग्री में:
 ::<math> a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2</math>
 ::<math> a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2</math>
 ::<math> a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a+b)^3 </math>
 ::<math> a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a-b)^3 </math>
-: अधिक आम तौर पर, विस्तारित रूपों के गुणांक<math>(a+b)^n</math> तथा<math>(a-b)^n</math> द्विपद गुणांक हैं, जो दिखाई देते हैं{{math|''n''}}पास्कल के त्रिभुज की पंक्ति।
+::अधिक सामान्यतः, <math>(a+b)^n</math> तथा<math>(a-b)^n</math> के विस्तारित रूपों के गुणांक द्विपद गुणांक हैं, जो प्रकट होते हैं पास्कल त्रिभुज की nवीं पंक्ति में है।
-==== एकता की जड़ें ====
+==== इकाई के मूल ====
-{{mvar|n}}n}} एकता की वें जड़ें जटिल संख्याएँ हैं जिनमें से प्रत्येक बहुपद की एक जड़ है<math>x^n-1.</math> वे इस प्रकार संख्या हैं
+ईकाई के ''n'' वें मूल सम्मिश्र संख्याएँ जिनमें से प्रत्येक बहुपद <math>x^n-1.</math> का मूल है। वे इस प्रकार संख्याएं हैं
 :<math>e^{2ik\pi/n}=\cos \tfrac{2\pi k}n +i\sin \tfrac{2\pi k}n</math>
-के लिये<math>k=0, \ldots, n-1.</math>
+<math>k=0, \ldots, n-1.</math>के लिये
-यह इस प्रकार है कि किसी भी दो अभिव्यक्तियों के लिए{{mvar|E}} तथा{{mvar|F}}, किसी के पास:
+यह इस प्रकार है कि किसी भी दो अभिव्यक्तियों के लिए {{mvar|E}} तथा {{mvar|F}}, किसी के पास:
 :<math>E^n-F^n= (E-F)\prod_{k=1}^{n-1} \left(E-F e^{2ik\pi/n}\right)</math>
 :<math>E^{n}+F^{n}=\prod_{k=0}^{n-1} \left(E-F e^{(2k+1)i\pi/n}\right) \qquad \text{if } n \text{ is even}</math>
 :<math>E^{n}+F^{n}=(E+F)\prod_{k=1}^{n-1}\left(E+F e^{2ik\pi/n}\right) \qquad \text{if } n \text{ is odd}</math>
-यदि{{mvar|E}} तथा{{mvar|F}} वास्तविक भाव हैं, और एक वास्तविक कारक चाहता है, एक को अपने उत्पाद द्वारा जटिल संयुग्म कारकों की प्रत्येक जोड़ी को बदलना पड़ता है।के जटिल संयुग्म के रूप में<math>e^{i\alpha}</math> है<math>e^{-i\alpha},</math> तथा
+यदि E और F वास्तविक व्यंजक हैं, और कोई वास्तविक गुणनखंड चाहता है, तो जटिल संयुग्मी गुणनखंडों के प्रत्येक युग्म को उसके गुणनफल से बदलना होगा। <math>e^{i\alpha}</math> है<math>e^{-i\alpha},</math>  के जटिल संयुग्म के रूप में तथा
 :<math>\left(a-be^{i\alpha}\right)\left(a-be^{-i\alpha}\right)=
 a^2-ab\left(e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}\right)+b^2e^{i\alpha}e^{-i\alpha}=
 a^2-2ab\cos\,\alpha +b^2,  </math>
-एक के पास निम्नलिखित वास्तविक कारक हैं (एक बदलकर एक से दूसरे तक गुजरता है{{mvar|k}} में{{math|''n'' – ''k''}} या{{math|''n'' + 1 – ''k''}}, और सामान्य त्रिकोणमितीय सूत्रों को लागू करना:
+एक में निम्नलिखित वास्तविक गुणनखंड होते हैं (एक k को n - k या n 1 - k में बदलकर और सामान्य त्रिकोणमितीय सूत्रों को लागू करके एक से दूसरे में जाता है:
 :<math>\begin{align}E^{2n}-F^{2n}&=
 (E-F)(E+F)\prod_{k=1}^{n-1} \left(E^2-2EF \cos\,\tfrac{k\pi}n +F^2\right)\\
@@ Line 167: / Line 176: @@
 &=\prod_{k=1}^n \left(E^2 - 2EF\cos\,\tfrac{(2k-1)\pi}{2n}+F^2\right)
 \end{align}</math>
-इन कारकों में दिखाई देने वाले कोसाइन बीजगणितीय संख्याएं हैं, और कट्टरपंथियों के संदर्भ में व्यक्त किए जा सकते हैं (यह संभव है क्योंकि उनका गैलोइस समूह चक्रीय है);हालांकि, इन कट्टरपंथी अभिव्यक्तियों का उपयोग करने के लिए बहुत जटिल हैं, सिवाय इसके कि कम मूल्यों को छोड़कर{{mvar|n}}।उदाहरण के लिए,
+इन गुणनखंडों में दिखाई देने वाली कोसाइन (cosines) बीजगणितीय संख्याएँ हैं, और इन्हें मूलांक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है (यह संभव है क्योंकि उनका गैलोइस समूह चक्रीय है), हालाँकि, n के निम्न मानों को छोड़कर, ये मूल अभिव्यक्तियाँ उपयोग करने के लिए बहुत जटिल हैं। उदाहरण के लिए,
 :<math> a^4 + b^4 = (a^2 - \sqrt 2 ab + b^2)(a^2 + \sqrt 2 ab + b^2).</math>
 :<math> a^5 - b^5 = (a - b)\left(a^2 + \frac{1-\sqrt 5}2 ab + b^2\right)\left(a^2 +\frac{1+\sqrt 5}2 ab + b^2\right),</math>
 :<math> a^5 + b^5 = (a + b)\left(a^2 - \frac{1-\sqrt 5}2 ab + b^2\right)\left(a^2 -\frac{1+\sqrt 5}2 ab + b^2\right),</math>
-अक्सर कोई तर्कसंगत गुणांक के साथ एक कारक चाहता है।इस तरह के एक कारक में साइक्लोटोमिक बहुपद शामिल हैं।रकम और अंतर या शक्तियों के तर्कसंगत कारक व्यक्त करने के लिए, हमें एक बहुपद के समरूपता के लिए एक संकेतन की आवश्यकता है: यदि<math>P(x)=a_0x^n+a_ix^{n-1} +\cdots +a_n,</math> इसका समरूपता Bivariate बहुपद है<math>\overline P(x,y)=a_0x^n+a_ix^{n-1}y +\cdots +a_ny^n.</math> फिर, एक है
+अक्सर कोई तर्कसंगत गुणांक के साथ एक गुणनखंड चाहता है। इस तरह के एक गुणनखंड में साइक्लोटोमिक बहुपद शामिल हैं। योगों और अंतरों या घातों के तर्कसंगत गुणनखंडों को व्यक्त करने के लिए, हमें एक बहुपद के समरूपीकरण के लिए एक संकेतन की आवश्यकता होती है: यदि <math>P(x)=a_0x^n+a_ix^{n-1} +\cdots +a_n,</math> इसका समरूपीकरण द्विचर है बहुपद  <math>\overline P(x,y)=a_0x^n+a_ix^{n-1}y +\cdots +a_ny^n.</math> फिर, एक है
 :<math>E^n-F^n=\prod_{k\mid n}\overline Q_n(E,F),</math>
 :<math>E^n+F^n=\prod_{k\mid 2n,k\not\mid n}\overline Q_n(E,F),</math>
-जहां उत्पादों को सभी विभाजकों पर ले जाया जाता है{{mvar|n}}, या सभी दिव्य{{math|2''n''}} वह विभाजित नहीं है{{mvar|n}}, तथा<math>Q_n(x)</math> है{{mvar|n}}TH साइक्लोटोमिक बहुपद।
+जहां उत्पादों को n के सभी भाजक पर ले लिया जाता है, या 2n के सभी भाजक जो n को विभाजित नहीं करते हैं, और <math>Q_n(x)</math>) nth  चक्रविक्षिप्त (साइक्लोटॉमिक) बहुपद है।
 उदाहरण के लिए,
@@ Line 180: / Line 189: @@
 :<math>a^6+b^6=\overline Q_4(a,b)\overline Q_{12}(a,b) = (a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4),</math>
 चूंकि 6 के विभाजक 1, 2, 3, 6 हैं, और 12 के विभाजक जो 6 को विभाजित नहीं करते हैं, वे 4 और 12 हैं।
 == बहुपद ==
-{{Main|Factorization of polynomials}}
+{{Main|बहुपदों का गुणनखंड}}
-बहुपदों के लिए, कारककरण बीजीय समीकरणों को हल करने की समस्या से दृढ़ता से संबंधित है।एक बीजीय समीकरण का रूप है
+बहुपदों के लिए, गुणनखंडन का बीजीय समीकरणों को हल करने की समस्या से गहरा संबंध है। बीजीय समीकरण का रूप होता है
 :<math>P(x)\ \,\stackrel{\text{def}}{=}\ \,a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n=0,</math>
-कहाँ पे{{math|''P''(''x'')}} में एक बहुपद है{{mvar|x}} साथ<math>a_0\ne 0.</math>
+जहाँ {{math|''P''(''x'')}} में एक बहुपद है {{mvar|x}} साथ <math>a_0\ne 0.</math>इस समीकरण का एक हल (जिसे बहुपद का मूल भी कहा जाता है) है x का मान r ऐसा है कि
-इस समीकरण का एक समाधान (जिसे बहुपद की जड़ भी कहा जाता है) एक मूल्य है{{mvar|r}} का{{mvar|x}} ऐसा है कि
 :<math>P(r)=0.</math>
-यदि<math>P(x)=Q(x)R(x)</math> का एक कारक है{{math|1=''P''(''x'') = 0}} दो बहुपदों के उत्पाद के रूप में, फिर की जड़ें{{math|''P''(''x'')}} की जड़ों के मिलन हैं{{math|''Q''(''x'')}} और की जड़ें{{math|''R''(''x'')}}।इस प्रकार हल हो रहा है{{math|1=''P''(''x'') = 0}} हल करने की सरल समस्याओं के लिए कम हो गया है{{math|1=''Q''(''x'') = 0}} तथा{{math|1=''R''(''x'') = 0}}।
+अगर <math>P(x)=Q(x)R(x)</math> दो के गुणनफल के रूप में {{math|1=''P''(''x'') = 0}} का गुणनखंडन है बहुपद, तो {{math|''P''(''x'')}} की मूल {{math|''Q''(''x'')}} की मूल और {{math|''R''(''x'')}} की मूल का मिलन हैं। इस प्रकार {{math|1=''P''(''x'') = 0}} को हल करना {{math|1=''Q''(''x'') = 0}} तथा {{math|1=''R''(''x'') = 0}} को हल करने की सरल समस्याओं में कम हो जाता है।
-इसके विपरीत, कारक प्रमेय का दावा है कि, अगर{{mvar|r}} की जड़ है{{math|1=''P''(''x'') = 0}}, फिर{{math|''P''(''x'')}} के रूप में फैक्टर किया जा सकता है
+इसके विपरीत, गुणनखंड प्रमेय यह दावा करता है कि, यदि {{mvar|r}}, {{math|1=''P''(''x'') = 0}}, का मूल है, तो फिर {{math|''P''(''x'')}} का गुणनखंड इस प्रकार किया जा सकता है
 :<math>P(x)=(x-r)Q(x),</math>
-कहाँ पे{{math|''Q''(''x'')}} यूक्लिडियन डिवीजन का भागफल है{{math|1=''P''(''x'') = 0}} रैखिक (डिग्री एक) कारक द्वारा{{math|''x'' – ''r''}}।
+जहां {{math|''Q''(''x'')}} रैखिक (डिग्री एक) गुणनखंड{{math|''x'' – ''r''}}  द्वारा  {{math|1=''P''(''x'') = 0}} के यूक्लिडियन विभाजन का भागफल है।
-यदि गुणांक{{math|''P''(''x'')}} वास्तविक या जटिल संख्याएं हैं, बीजगणित के मौलिक प्रमेय का दावा है कि{{math|''P''(''x'')}} एक वास्तविक या जटिल जड़ है।कारक प्रमेय का उपयोग करते हुए पुनरावर्ती, इसका परिणाम है
+यदि {{math|''P''(''x'')}}के गुणांक वास्तविक या सम्मिश्र संख्याएँ हैं, तो बीजगणित का मूल प्रमेय दावा करता है कि  {{math|''P''(''x'')}} का एक वास्तविक या सम्मिश्र मूल है। गुणनखंड प्रमेय का पुनरावर्ती रूप से प्रयोग करने पर यह परिणाम मिलता है कि
 :<math>P(x)=a_0(x-r_1)\cdots (x-r_n),</math>
-कहाँ पे<math>r_1, \ldots, r_n</math> की वास्तविक या जटिल जड़ें हैं{{mvar|P}}, उनमें से कुछ के साथ संभवतः दोहराया गया।यह पूरा कारक कारकों के क्रम तक अद्वितीय है।
+जहां <math>r_1, \ldots, r_n</math> {{mvar|P}}  P के वास्तविक या जटिल मूल हैं, जिनमें से कुछ को संभवतः दोहराया जा सकता है। यह पूर्ण गुणनखंडन गुणनखंडों के क्रम तक अद्वितीय है।
-यदि गुणांक{{math|''P''(''x'')}} वास्तविक हैं, एक आम तौर पर एक कारक चाहता है जहां कारकों में वास्तविक गुणांक होते हैं।इस मामले में, पूर्ण कारक में कुछ द्विघात (डिग्री दो) कारक हो सकते हैं।इस कारक को आसानी से उपरोक्त पूर्ण कारक से घटाया जा सकता है।वास्तव में, अगर{{math|1=''r'' = ''a'' + ''ib''}} की एक गैर-वास्तविक जड़ है{{math|''P''(''x'')}}, फिर इसका जटिल संयुग्म{{math|1=''s'' = ''a'' - ''ib''}} की जड़ भी है{{math|''P''(''x'')}}।तो, उत्पाद
+यदि {{math|''P''(''x'')}} के गुणांक वास्तविक हैं, तो आम तौर पर एक ऐसा गुणनखंडन चाहता है जहां गुणनखंडों के वास्तविक गुणांक हों। इस मामले में, पूर्ण गुणनखंड में कुछ द्विघात (डिग्री दो) गुणनखंड हो सकते हैं। यह गुणनखंड उपरोक्त पूर्ण गुणनखंड से आसानी से निकाला जा सकता है। वास्तव में, यदि {{math|1=''r'' = ''a'' + ''ib''}}, {{math|''P''(''x'')}} का अवास्तविक मूल है, तो इसका सम्मिश्र संयुग्म {{math|1=''s'' = ''a'' - ''ib''}} भी  {{math|''P''(''x'')}} का मूल है। तो, उत्पाद
 :<math>(x-r)(x-s) = x^2-(r+s)x+rs =x^2+2ax+a^2+b^2</math>
-का एक कारक है{{math|''P''(''x'')}} वास्तविक गुणांक के साथ।सभी गैर-वास्तविक कारकों के लिए इसे दोहराने से रैखिक या द्विघात वास्तविक कारकों के साथ एक कारक मिलता है।
+वास्तविक गुणांकों के साथ {{math|''P''(''x'')}}  का एक गुणनखंड है। सभी अवास्तविक गुणनखंडों के लिए इसे दोहराने से रैखिक या द्विघात वास्तविक गुणनखंडों के साथ एक गुणनखंड मिलता है।
-इन वास्तविक या जटिल कारकों की गणना करने के लिए, किसी को बहुपद की जड़ों की आवश्यकता होती है, जिसकी गणना वास्तव में नहीं की जा सकती है, और केवल रूट-फाइंडिंग एल्गोरिदम का उपयोग करके अनुमानित किया जाता है।
+इन वास्तविक या जटिल गुणनखंडों की गणना के लिए, किसी को बहुपद की मूल की आवश्यकता होती है, जिसकी गणना ठीक से नहीं की जा सकती है, और केवल मूल निकालने की कलनविधि '''('''मूल-फाइंडिंग एल्गोरिदम) का उपयोग करके अनुमानित किया जाता है।
-व्यवहार में, ब्याज के अधिकांश बीजगणितीय समीकरणों में पूर्णांक या तर्कसंगत गुणांक होते हैं, और कोई भी उसी तरह के कारकों के साथ एक कारक चाहता है।अंकगणित के मौलिक प्रमेय को इस मामले में सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसमें कहा गया है कि पूर्णांक या तर्कसंगत गुणांक वाले बहुपद में अद्वितीय कारक संपत्ति है।अधिक सटीक रूप से, तर्कसंगत गुणांक के साथ प्रत्येक बहुपद एक उत्पाद में कारक किया जा सकता है
+व्यवहार में, ब्याज के अधिकांश बीजीय समीकरणों में पूर्णांक या परिमेय गुणांक होते हैं, और एक ही प्रकार के गुणनखंडों के साथ एक गुणनखंडन चाहता है। अंकगणित के मौलिक प्रमेय को इस मामले में सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसमें कहा गया है कि पूर्णांक या तर्कसंगत गुणांक वाले बहुपदों में अद्वितीय गुणन गुण होते हैं। अधिक सटीक रूप से, तर्कसंगत गुणांक वाले प्रत्येक बहुपद को उत्पाद में गुणनखंडित किया जा सकता है
 :<math>P(x)=q\,P_1(x)\cdots P_k(x),</math>
-कहाँ पे{{mvar|q}} एक तर्कसंगत संख्या है और<math>P_1(x), \ldots, P_k(x)</math> पूर्णांक गुणांक के साथ गैर-स्थिर बहुपद हैं जो कि अप्रासंगिक और आदिम हैं;इसका मतलब है कि कोई भी नहीं<math>P_i(x)</math> उत्पाद दो बहुपद (पूर्णांक गुणांक के साथ) के रूप में लिखा जा सकता है जो न तो 1 और न ही -1 (पूर्णांक को डिग्री शून्य के बहुपद के रूप में माना जाता है)।इसके अलावा, यह कारक कारकों के क्रम और कारकों के संकेतों के लिए अद्वितीय है।
+जहाँ  {{mvar|q}} एक परिमेय संख्या है और <math>P_1(x), \ldots, P_k(x)</math> पूर्णांक गुणांक वाले गैर-स्थिर बहुपद हैं जो अलघुकरणीय (इरेड्यूसेबल) और आदिम हैं, इसका मतलब यह है कि <math>P_i(x)</math>  में से कोई भी उत्पाद दो बहुपद (पूर्णांक गुणांक वाले) के रूप में नहीं लिखा जा सकता है जो न तो 1 है और न ही -1 (पूर्णांकों को बहुपद माना जाता है) शून्य डिग्री)। इसके अलावा, यह गुणनखंड गुणनखंडों के क्रम और गुणनखंडों के संकेतों तक अद्वितीय है।
-इस कारक की गणना के लिए कुशल एल्गोरिदम हैं, जो अधिकांश कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों में लागू होते हैं।बहुपद का कारक देखें।दुर्भाग्य से, ये एल्गोरिदम पेपर-एंड-पेंसिल कम्प्यूटेशन के लिए उपयोग करने के लिए बहुत जटिल हैं।ऊपर दिए गए उत्तराधिकारियों के अलावा, केवल कुछ ही तरीके हाथ की गणना के लिए उपयुक्त हैं, जो आम तौर पर केवल कुछ नॉनज़ेरो गुणांक के साथ कम डिग्री के बहुपद के लिए काम करते हैं।इस तरह के मुख्य तरीकों को अगले उपखंडों में वर्णित किया गया है।
+इस गुणनखंड की गणना के लिए कुशल कलनविधि (एल्गोरिथम) हैं, जिन्हें अधिकांश कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों में लागू किया जाता है। बहुपदों का गुणनखंडन देखें। दुर्भाग्य से, ये कलनविधि (एल्गोरिथम) कागज और पेंसिल गणना के लिए उपयोग करने के लिए बहुत जटिल हैं। उपरोक्त अनुमानों के अलावा, केवल कुछ विधियां हाथ की गणना के लिए उपयुक्त हैं, जो आम तौर पर केवल कम डिग्री के बहुपदों के लिए काम करती हैं, कुछ गैर-शून्य गुणांक के साथ। इस तरह की मुख्य विधियों का वर्णन अगले उपखंडों में किया गया है।
-=== आदिम-भाग और सामग्री कारक ===
+=== आदिम-भाग और सामग्री गुणनखंड ===
-{{Main|Polynomial factorization#Primitive part–content factorization}}
+{{Main|बहुपद गुणनखंड#आदिम भाग-सामग्री गुणनखंड}}
-तर्कसंगत गुणांक के साथ प्रत्येक बहुपद, एक अद्वितीय तरीके से, एक तर्कसंगत संख्या के उत्पाद के रूप में, एक अनोखे तरीके से और पूर्णांक गुणांक के साथ एक बहुपद के रूप में, जो आदिम है (यानी, गुणांक का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक 1 है), और एक हैसकारात्मक अग्रणी गुणांक (उच्चतम डिग्री के शब्द का गुणांक)।उदाहरण के लिए:
+परिमेय गुणांक वाले प्रत्येक बहुपद को एक अद्वितीय तरीके से गुणनखंडित किया जा सकता है, जैसे कि एक परिमेय संख्या का गुणनफल और पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद, जो आदिम है (अर्थात, गुणांक का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 1 है), और एक है सकारात्मक अग्रणी गुणांक (उच्चतम डिग्री की अवधि का गुणांक)। उदाहरण के लिए:
 :<math>-10x^2 + 5x + 5 = (-5)\cdot (2x^2 - x - 1)</math>
 :<math>\frac{1}{3}x^5 + \frac{7}{2} x^2 + 2x + 1 = \frac{1}{6} ( 2x^5 + 21x^2 + 12x + 6)</math>
-इस कारक में, तर्कसंगत संख्या को सामग्री कहा जाता है, और आदिम बहुपद आदिम भाग है।इस कारक की गणना निम्नानुसार की जा सकती है: सबसे पहले, एक पूर्णांक द्वारा भागफल प्राप्त करने के लिए, एक सामान्य भाजक के लिए सभी गुणांक को कम करें{{mvar|q}} पूर्णांक गुणांक के साथ एक बहुपद।फिर एक अधिक से अधिक सामान्य विभाजक को विभाजित करता है{{mvar|p}} आदिम भाग प्राप्त करने के लिए इस बहुपद के गुणांक, सामग्री है<math>p/q.</math> अंत में, यदि आवश्यक हो, तो कोई संकेत बदल देता है{{mvar|p}} और आदिम भाग के सभी गुणांक।
+इस गुणनखंड में, परिमेय संख्या को सामग्री कहा जाता है, और आदिम बहुपद आदिम भाग होता है। इस गुणनखंड की गणना निम्नानुसार की जा सकती है: सबसे पहले, सभी गुणांक को एक सामान्य हर में कम करें, पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद के पूर्णांक q द्वारा भागफल प्राप्त करने के लिए। फिर कोई इस बहुपद के गुणांकों के बड़े सामान्य भाजक p को आदिम भाग प्राप्त करने के लिए विभाजित करता है, सामग्री  <math>p/q.</math>अंत में, यदि आवश्यक हो, तो व्यक्ति के संकेतों को बदल देता है ''p'' और आदिम भाग के सभी गुणांक।
-यह कारक एक परिणाम उत्पन्न कर सकता है जो मूल बहुपद की तुलना में बड़ा है (आमतौर पर जब कई कोपरीम भाजक होते हैं), लेकिन, यहां तक कि जब यह मामला होता है, तो आदिम हिस्सा आम तौर पर आगे के कारक के लिए हेरफेर करना आसान होता है।
+यह गुणनखंड एक परिणाम उत्पन्न कर सकता है जो मूल बहुपद से बड़ा होता है (आमतौर पर जब कई सहअभाज्य भाजक होते हैं), लेकिन, जब यह मामला होता है, तब भी आगे के गुणन के लिए आदिम भाग में हेरफेर करना आसान होता है।
-=== कारक प्रमेय का उपयोग करना ===
+=== गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करना ===
-{{Main|Factor theorem}}
+{{Main|कारक प्रमेय}}
-कारक प्रमेय कहता है कि, अगर{{mvar|r}} एक बहुपद की जड़ है
+गुणनखंड प्रमेय कहता है कि, अगर {{mvar|r}} एक बहुपद की मूल है
 :<math>P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n,</math>
-अर्थ{{math|1=''P''(''r'') = 0}}, फिर एक कारक है
+मतलब {{math|1=''P''(''r'') = 0}},  तो एक गुणनखंड है
 :<math>P(x)=(x-r)Q(x),</math>
-कहाँ पे
+जहां
 :<math>Q(x)=b_0x^{n-1}+\cdots+b_{n-2}x+b_{n-1},</math>
-साथ<math>a_0=b_0</math>।तब बहुपद लॉन्ग डिवीजन या सिंथेटिक डिवीजन देते हैं:
+<math>a_0=b_0</math> के साथ। फिर बहुपद लंबा विभाजन या सिंथेटिक विभाजन दें:
 :<math>b_i=a_0r^i +\cdots+a_{i-1}r+a_i \ \text{ for }\ i = 1,\ldots,n{-}1.</math>
-यह उपयोगी हो सकता है जब कोई जानता है या बहुपद की जड़ का अनुमान लगा सकता है।
+यह उपयोगी हो सकता है जब कोई जानता है या बहुपद की मूलका अनुमान लगा सकता है।
-उदाहरण के लिए, के लिए<math>P(x) = x^3 - 3x + 2,</math> कोई आसानी से देख सकता है कि इसके गुणांक का योग 0 है, इसलिए{{math|1=''r'' = 1}} एक जड़ है।जैसा{{math|1=''r'' + 0 = 1}}, तथा<math>r^2 +0r-3=-2,</math> किसी के पास
+उदाहरण के लिए, <math>P(x) = x^3 - 3x + 2,</math> के लिए आप आसानी से देख सकते हैं कि इसके गुणांकों का योग 0 है, इसलिए r = 1 एक मूल है। r 0 = 1 और {{math|1=''r'' + 0 = 1}}, तथा<math>r^2 +0r-3=-2,</math> के रूप में एक है
 :<math>x^3 - 3x + 2 = (x - 1)(x^2 + x - 2).</math>
-=== तर्कसंगत जड़ें ===
+=== तर्कसंगत मूल ===
-तर्कसंगत संख्या गुणांक के साथ बहुपद के लिए, कोई भी जड़ों की खोज कर सकता है जो तर्कसंगत संख्याएं हैं।आदिम पार्ट-कंटेंट फैक्टरकरण (देखें #Primitive पार्ट-कंटेंट फैक्टराइजेशन | ऊपर) पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद के मामले में तर्कसंगत जड़ों की खोज की समस्या को कम करता है, जिसमें कोई गैर-तुच्छ सामान्य विभाजक नहीं है।
+परिमेय संख्या गुणांक वाले बहुपदों के लिए, कोई ऐसे मूल की खोज कर सकता है जो परिमेय संख्याएँ हों। आदिम अंश-सामग्री गुणनखंडन (ऊपर देखें) परिमेय मूल की खोज की समस्या को कम करता है, ऐसे बहुपद के मामले में पूर्णांक गुणांक वाले कोई गैर-तुच्छ सामान्य भाजक नहीं है।
-यदि<math>x=\tfrac pq</math> इस तरह के एक बहुपद का तर्कसंगत जड़ है
+यदि <math>x=\tfrac pq</math> इस तरह के एक बहुपद का तर्कसंगत मूल है
 :<math>P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n,</math>
-कारक प्रमेय से पता चलता है कि एक का कारक है
+गुणनखंड प्रमेय से पता चलता है कि एक का गुणनखंड है
 :<math>P(x)=(qx-p)Q(x),</math>
-जहां दोनों कारकों में पूर्णांक गुणांक होते हैं (तथ्य यह है कि{{mvar|Q}} के भागफल के लिए उपरोक्त सूत्र से पूर्णांक गुणांक परिणाम हैं{{math|''P''(''x'')}} द्वारा<math>x-p/q</math>)।
+जहां दोनों गुणनखंडों में पूर्णांक गुणांक होते हैं (तथ्य यह है कि {{mvar|Q}} के भागफल के लिए उपरोक्त सूत्र से पूर्णांक गुणांक परिणाम हैं {{math|''P''(''x'')}} द्वारा <math>x-p/q</math>)।
+डिग्री के गुणांक की तुलना करना {{mvar|n}} और उपरोक्त समानता में निरंतर गुणांक दिखाता है कि, अगर <math>\tfrac pq</math> कम रूप में एक तर्कसंगत मूलहै, फिर {{mvar|q}} का भाजक है <math>a_0,</math> तथा {{mvar|p}} का भाजक है <math>a_n.</math> इसलिए, संभावनाओं की एक सीमित संख्या है {{mvar|p}} तथा {{mvar|q}}, जिसे व्यवस्थित रूप से जांच की जा सकती है।<ref>{{harvnb|Dickson|1922|p=27}}</ref>
-डिग्री के गुणांक की तुलना करना{{mvar|n}} और उपरोक्त समानता में निरंतर गुणांक दिखाता है कि, अगर<math>\tfrac pq</math> कम रूप में एक तर्कसंगत जड़ है, फिर{{mvar|q}} का भाजक है<math>a_0,</math> तथा{{mvar|p}} का भाजक है<math>a_n.</math> इसलिए, संभावनाओं की एक सीमित संख्या है{{mvar|p}} तथा{{mvar|q}}, जिसे व्यवस्थित रूप से जांच की जा सकती है।<ref>{{harvnb|Dickson|1922|p=27}}</ref>
 उदाहरण के लिए, यदि बहुपद
 :<math>P(x)=2x^3 - 7x^2 + 10x - 6</math>
-एक तर्कसंगत जड़ है<math>\tfrac pq</math> साथ{{math|''q'' > 0}}, फिर{{mvar|p}} 6 को विभाजित करना चाहिए;वह है<math>p\in\{\pm 1,\pm 2,\pm3, \pm 6\}, </math> तथा{{mvar|q}} 2 को विभाजित करना चाहिए, वह है<math>q\in\{1, 2\}. </math> इसके अलावा, अगर{{math|''x'' < 0}}, बहुपद के सभी शब्द नकारात्मक हैं, और इसलिए, एक जड़ नकारात्मक नहीं हो सकती है।वह है, एक होना चाहिए
+एक तर्कसंगत मूल  ह<math>\tfrac pq</math> सा थ{{math|''q'' > 0}}, फि र{{mvar|p}}  6 को विभाजित करना चाहि, वह है <math>p\in\{\pm 1,\pm 2,\pm3, \pm 6\}, </math> तथा {{mvar|q}} 2 को विभाजित करना चाहिए, वह है <math>q\in\{1, 2\}. </math> इसके अलावा, अगर {{math|''x'' < 0}}, बहुपद के सभी शब्द नकारात्मक हैं, और इसलिए, एक मूलनकारात्मक नहीं हो सकती है। वह है, एक होना चाहिए
 :<math>\tfrac pq \in \{1, 2, 3, 6, \tfrac 12, \tfrac 32\}.</math>
-एक प्रत्यक्ष संगणना से पता चलता है कि केवल<math>\tfrac 32</math> एक जड़ है, इसलिए कोई अन्य तर्कसंगत जड़ नहीं हो सकती है।कारक प्रमेय को लागू करने से अंत में कारक की ओर जाता है<math>2x^3 - 7x^2 + 10x - 6 = (2x -3)(x^2 -2x + 2).</math>
+एक प्रत्यक्ष संगणना से पता चलता है कि केवल<math>\tfrac 32</math> एक मूल है, इसलिए कोई अन्य तर्कसंगत मूल नहीं हो सकती है। गुणनखंड प्रमेय को लागू करने से अंत में गुणनखंड की ओर जाता है <math>2x^3 - 7x^2 + 10x - 6 = (2x -3)(x^2 -2x + 2).</math>
+'''द्विघात एसी विधि'''
+उपरोक्त विधि को द्विघात बहुपद के लिए अनुकूलित किया जा सकता है, जिससे गुणनखंड की एसी विधि होती है।<ref>Stover, Christopher [http://mathworld.wolfram.com/ACMethod.html AC Method - Mathworld] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20141112231252/http://mathworld.wolfram.com/ACMethod.html |date=2014-11-12 }}</ref>
-==== द्विघात एसी विधि =====
-उपरोक्त विधि को द्विघात बहुपद के लिए अनुकूलित किया जा सकता है, जिससे कारक की एसी विधि होती है।<ref>Stover, Christopher [http://mathworld.wolfram.com/ACMethod.html AC Method - Mathworld] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20141112231252/http://mathworld.wolfram.com/ACMethod.html |date=2014-11-12 }}</ref>
 द्विघात बहुपद पर विचार करें
 :<math>P(x)=ax^2 + bx + c</math>
-पूर्णांक गुणांक के साथ।यदि इसकी एक तर्कसंगत जड़ है, तो इसके भाजक को विभाजित करना होगा{{math|''a''}} समान रूप से और इसे संभवतः एक रिड्यूसिबल अंश के रूप में लिखा जा सकता है<math>r_1 = \tfrac ra.</math> विएता के सूत्रों द्वारा, दूसरी जड़<math>r_2</math> है
+पूर्णांक गुणांक के साथ, यदि इसका एक परिमेय मूल है, तो इसके हर को समान रूप से विभाजित करना चाहिए और इसे संभावित रूप से कम करने योग्य अंश के रूप में लिखा जा सकता है  <math>r_1 = \tfrac ra.</math> वियत के सूत्रों के अनुसार, दूसरा मूल <math>r_2</math> है
 :<math>r_2 = -\frac ba - r_1 = -\frac ba-\frac ra =-\frac{b+r}a = \frac sa,</math>
-साथ<math>s=-(b+r).</math>
+साथ में <math>s=-(b+r).</math> इस तरह दूसरा मूल भी परिमेय है, और वीटा का दूसरा सूत्र  <math>r_1 r_2=\frac ca</math> देता है
-इस प्रकार दूसरी जड़ भी तर्कसंगत है, और विएता का दूसरा सूत्र है<math>r_1 r_2=\frac ca</math> देता है
 :<math>\frac sa\frac ra =\frac ca,</math>
 वह है
 :<math>rs=ac\quad \text{and}\quad r+s=-b.</math>
-पूर्णांक के सभी जोड़े की जाँच करना जिसका उत्पाद है{{math|''ac''}} यदि कोई हो तो तर्कसंगत जड़ें देता है।
+पूर्णांकों के उन सभी युग्मों की जाँच करना जिनका गुणनफल {{math|''ac''}} है, परिमेय मूल, यदि कोई हों, प्राप्त होता है।
-सारांश में, अगर<math>ax^2 +bx+c</math> तर्कसंगत जड़ें हैं पूर्णांक हैं{{mvar|r}} तथा{{mvar|s}} ऐसा<math>rs=ac</math> तथा<math>r+s=-b</math> (परीक्षण करने के लिए मामलों की एक परिमित संख्या), और जड़ें हैं<math>\tfrac ra</math> तथा<math>\tfrac sa.</math> दूसरे शब्दों में, एक का कारक है
+संक्षेप में, यदि <math>ax^2 +bx+c</math> में परिमेय मूल हैं तो पूर्णांक {{mvar|r}} तथा {{mvar|s}}  ऐसा <math>rs=ac</math>  तथा <math>r+s=-b</math> (परीक्षण करने के लिए मामलों की एक सीमित संख्या), और मूल हैं <math>\tfrac ra</math> तथा <math>\tfrac sa.</math>। दूसरे शब्दों में, किसी का गुणनखंडन होता है
 :<math>a(ax^2+bx+c) = (ax-r)(ax-s).</math>
 उदाहरण के लिए, द्विघात बहुपद पर विचार करें
 :<math>6x^2 + 13x + 6.</math>
-के कारकों का निरीक्षण{{math|1=''ac'' = 36}} फलस्वरूप होता है{{math|1=4 + 9 = 13 = ''b''}}, दो जड़ें दे रहे हैं
+के गुणनखंडों का निरीक्षण {{math|1=''ac'' = 36}} फलस्वरूप होता है {{math|1=4 + 9 = 13 = ''b''}}, दो मूल दे रहे हैं
 :<math>r_1 = -\frac 46 =-\frac 23 \quad \text{and} \quad r_2 = -\frac96 = -\frac 32,</math>
-और कारक
+और गुणनखंड
 :<math>
 x^2 + 13x + 6 = 6(x+\tfrac 23)(x+\tfrac 32)= (3x+2)(2x+3).
 </math>
-=== बहुपद जड़ों के लिए सूत्रों का उपयोग करना ===
+=== बहुपद मूल के लिए सूत्रों का उपयोग करना ===
-कोई भी अविभाज्य द्विघात बहुपद<math>ax^2+bx+c</math> द्विघात सूत्र का उपयोग करके फैक्टर किया जा सकता है:
+कोई भी अविभाज्य द्विघात बहुपद <math>ax^2+bx+c</math> द्विघात सूत्र का उपयोग करके कारक किया जा सकता है:
 :<math>
 ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)  = a\left(x - \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right) \left(x - \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right),
 </math>
-कहाँ पे<math>\alpha</math> तथा<math>\beta</math> बहुपद की दो जड़ें हैं।
+जहां <math>\alpha</math> तथा <math>\beta</math> बहुपद की दो मूल हैं।
-यदि{{math|''a, b, c''}} सभी वास्तविक हैं, कारक वास्तविक हैं यदि और केवल अगर भेदभावपूर्ण हैं<math>b^2-4ac</math> गैर-नकारात्मक है।अन्यथा, द्विघात बहुपद को गैर-स्थिर वास्तविक कारकों में कारक नहीं किया जा सकता है।
+यदि {{math|''a, b, c''}} सभी वास्तविक हैं, गुणनखंड वास्तविक हैं यदि और केवल अगर भेदभावपूर्ण हैं <math>b^2-4ac</math> गैर-नकारात्मक है।अन्यथा, द्विघात बहुपद को गैर-स्थिर वास्तविक गुणनखंडों में गुणनखंड नहीं किया जा सकता है।
-द्विघात सूत्र तब मान्य होता है जब गुणांक दो से अलग विशेषता के किसी भी क्षेत्र से संबंधित होते हैं, और, विशेष रूप से, एक विषम संख्या के तत्वों के साथ एक परिमित क्षेत्र में गुणांक के लिए।<ref>In a field of characteristic 2, one has 2 = 0, and the formula produces a division by zero.</ref>
+द्विघात सूत्र तब मान्य होता है जब गुणांक दो से भिन्न विशेषता के किसी भी क्षेत्र से संबंधित होते हैं, और विशेष रूप से, विषम संख्या वाले तत्वों के साथ परिमित क्षेत्र में गुणांक के लिए।<ref>In a field of characteristic 2, one has 2 = 0, and the formula produces a division by zero.</ref>
-क्यूबिक और क्वार्टिक बहुपद की जड़ों के लिए भी सूत्र हैं, जो सामान्य रूप से, व्यावहारिक उपयोग के लिए बहुत जटिल हैं।एबेल -रफ़िनी प्रमेय से पता चलता है कि डिग्री पांच या उच्चतर के बहुपद के लिए कट्टरपंथी के संदर्भ में कोई सामान्य रूट सूत्र नहीं हैं।
-=== जड़ों के बीच संबंधों का उपयोग करना ===
+घन (क्यूबिक) और क्वार्टिक बहुपदों की मूल के लिए भी सूत्र हैं, जो सामान्य रूप से व्यावहारिक उपयोग के लिए बहुत जटिल हैं। एबेल-रफिनी प्रमेय से पता चलता है कि डिग्री पांच या उससे अधिक के बहुपद के लिए विलक्षण के संदर्भ में कोई सामान्य मूल सूत्र नहीं हैं।
-यह हो सकता है कि कोई एक बहुपद और उसके गुणांक की जड़ों के बीच कुछ संबंध जानता है।इस ज्ञान का उपयोग करने से बहुपद को फैक्टर करने और इसकी जड़ों को खोजने में मदद मिल सकती है।गैलोइस सिद्धांत जड़ों और गुणांक के बीच संबंधों के एक व्यवस्थित अध्ययन पर आधारित है, जिसमें विएता के सूत्र शामिल हैं।
-यहां, हम सरल मामले पर विचार करते हैं जहां दो जड़ें हैं<math>x_1</math>
+=== मूल के बीच संबंधों का उपयोग करना ===
-तथा<math>x_2</math> एक बहुपद का<math>P(x)</math> संबंध को संतुष्ट करें
+ऐसा हो सकता है कि किसी को बहुपद के मूलों और उसके गुणांकों के बीच कुछ संबंध पता हो। इस ज्ञान का उपयोग करने से बहुपद का गुणनखंडन करने और उसके मूल ज्ञात करने में सहायता मिल सकती है। गैलोइस सिद्धांत मूल और गुणांक के बीच संबंधों के एक व्यवस्थित अध्ययन पर आधारित है, जिसमें विएटा के सूत्र शामिल हैं।
+यहां, हम एक सरल मामले पर विचार करते हैं जहां एक बहुपद <math>x_1</math> तथा <math>x_2</math> एक बहुपद का <math>P(x)</math> संबंध को संतुष्ट करें
 :<math>x_2=Q(x_1),</math>
-कहाँ पे{{mvar|Q}} एक बहुपद है।
+जहाँ Q एक बहुपद है।
-यह बताता है कि<math>x_1</math> की एक सामान्य जड़ है<math>P(Q(x))</math> तथा<math>P(x).</math> इसलिए यह इन दो बहुपदों के सबसे बड़े आम भाजक की जड़ है।यह निम्नानुसार है कि यह सबसे बड़ा सामान्य विभाजक एक गैर -निरंतर कारक है<math>P(x).</math> बहुपद के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म इस सबसे बड़े सामान्य कारक की गणना करने की अनुमति देता है।
+इसका मतलब है कि <math>x_1</math> की एक सामान्य मूल है <math>P(Q(x))</math> तथा<math>P(x).</math> इसलिए यह इन दो बहुपदों के सबसे बड़े आम भाजक की मूल है। यह निम्नानुसार है कि यह सबसे बड़ा सामान्य विभाजक एक गैर -निरंतर गुणनखंड है <math>P(x).</math> बहुपद के लिए यूक्लिडियन कलन विधि (एल्गोरिथ्म) इस सबसे बड़े समापवर्तक की गणना करने की अनुमति देता है।
-उदाहरण के लिए,<ref>{{harvnb|Burnside|Panton|1960|p=38}}</ref> यदि कोई जानता है या अनुमान लगाता है कि:<math>P(x)=x^3 -5x^2 -16x +80</math> दो जड़ें हैं जो शून्य पर हैं, एक यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म को लागू कर सकता है<math>P(x)</math> तथा<math>P(-x).</math> पहला डिवीजन स्टेप जोड़ने में होता है<math>P(x)</math> प्रति<math>P(-x),</math> शेष को दे रहा है
+उदाहरण के लिए,<ref>{{harvnb|Burnside|Panton|1960|p=38}}</ref> यदि कोई जानता है या अनुमान लगाता है कि:<math>P(x)=x^3 -5x^2 -16x +80</math> दो मूल हैं जो शून्य पर हैं, एक यूक्लिडियन कलन विधि (एल्गोरिथ्म) को लागू कर सकता है <math>P(x)</math> तथा <math>P(-x).</math> पहला विभाजन पद जोड़ने में होता है <math>P(x)</math> प्रति <math>P(-x),</math> शेष को दे रहा है
 :<math>-10(x^2-16).</math>
-फिर, विभाजित करना<math>P(x)</math> द्वारा<math>x^2-16</math> एक नए शेष के रूप में शून्य देता है, और{{math|''x'' – 5}} एक भागफल के रूप में, पूर्ण कारक के लिए अग्रणी
+फिर, विभाजित करना <math>P(x)</math> द्वारा<math>x^2-16</math> एक नए शेष के रूप में शून्य देता है, और{{math|''x'' – 5}} एक भागफल के रूप में, पूर्ण गुणनखंड के लिए अग्रणी
 :<math>x^3 - 5x^2 - 16x + 80 = (x -5)(x-4)(x+4).</math>
-== अद्वितीय कारककरण डोमेन ==
+== अद्वितीय गुणनखंड प्रभावक्षेत्र ==
-एक क्षेत्र में पूर्णांक और बहुपद अद्वितीय कारक की संपत्ति को साझा करते हैं, अर्थात्, प्रत्येक नॉनज़ेरो तत्व को एक उल्टे तत्व (एक इकाई, पूर्णांक के मामले में ± 1) के उत्पाद में फैक्टर किया जा सकता है और irreducible तत्वों का एक उत्पाद ( प्राइम नंबर, पूर्णांक के मामले में), और यह कारक कारकों को फिर से व्यवस्थित करने और कारकों के बीच इकाइयों को स्थानांतरित करने के लिए अद्वितीय है। अभिन्न डोमेन जो इस संपत्ति को साझा करते हैं, उन्हें अद्वितीय कारककरण डोमेन (UFD) कहा जाता है।
+क्षेत्र में पूर्णांक और बहुपद अद्वितीय गुणनखंड की  गुणको साझा करते हैं, अर्थात, प्रत्येक गैर-शून्य तत्व को एक व्युत्क्रम तत्व (एक इकाई, पूर्णांक के मामले में ± 1) के उत्पाद और अलघुकरणीय (इरेड्यूसबल) तत्वों के उत्पाद में विभाजित किया जा सकता है ( अभाज्य संख्याएँ, पूर्णांकों के मामले में), और यह गुणनखंड गुणनखंडों को पुनर्व्यवस्थित करने और इकाइयों को गुणनखंडों के बीच स्थानांतरित करने तक अद्वितीय है। समाकलन (इंटीग्रल)  प्रभावक्षेत्र जो इस गुण को साझा करते हैं उन्हें  एकमात्र गुणनखंड प्रभावक्षेत्र (यूएफडी) कहा जाता है।
-UFDs में सबसे महान सामान्य विभाजक मौजूद हैं, और इसके विपरीत, प्रत्येक अभिन्न डोमेन जिसमें सबसे बड़ा सामान्य विभाजक मौजूद हैं, एक UFD है। प्रत्येक प्रमुख आदर्श डोमेन एक UFD है।
+यूएफडी में महत्तम समापवर्तक उपस्थितहोते हैं, और इसके विपरीत, प्रत्येक अभिन्न  प्रभावक्षेत्र जिसमें महत्तम समापवर्तक उपस्थित होता है, यूएफडी होता है। प्रत्येक प्रमुख आदर्श प्रभावक्षेत्र यूएफडी होता है।
-एक यूक्लिडियन डोमेन एक अभिन्न डोमेन है जिस पर पूर्णांक के समान एक यूक्लिडियन डिवीजन को परिभाषित किया गया है। प्रत्येक यूक्लिडियन डोमेन एक प्रमुख आदर्श डोमेन है, और इस प्रकार एक UFD है।
+यूक्लिडियन प्रभावक्षेत्र एक अभिन्न प्रभावक्षेत्र है जिस पर पूर्णांक के समान एक यूक्लिडियन विभाजन परिभाषित किया गया है। प्रत्येक यूक्लिडियन प्रभावक्षेत्र एक प्रमुख आदर्श प्रभावक्षेत्र है, और इस प्रकार यूएफडी है।
-एक यूक्लिडियन डोमेन में, यूक्लिडियन डिवीजन सबसे बड़ी सामान्य विभाजकों की गणना के लिए एक यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म को परिभाषित करने की अनुमति देता है। हालांकि यह एक कारक एल्गोरिथ्म के अस्तित्व का अर्थ नहीं है। एक क्षेत्र का एक स्पष्ट उदाहरण है{{mvar|F}} इस तरह कि यूक्लिडियन डोमेन में कोई कारककरण एल्गोरिथ्म मौजूद नहीं हो सकता है{{math|''F''[''x'']}} Univariate बहुपद पर{{mvar|F}}।
+यूक्लिडियन  प्रभावक्षेत्र में, यूक्लिडियन विभाजन महत्तम समापवर्तक की गणना के लिए एक यूक्लिडियन कलन विधि (एल्गोरिथ्म) को परिभाषित करने की अनुमति देता है। हालांकि यह एक गुणनखंड कलन विधि (एल्गोरिथ्म) के अस्तित्व को नहीं दर्शाता है। क्षेत्र {{mvar|F}} का एक स्पष्ट उदाहरण है कि {{mvar|F}} के ऊपर यूक्लिडियन प्रभावक्षेत्र {{math|''F''[''x'']}} में यूक्लिडियन प्रभावक्षेत्र {{math|''F''[''x'']}} में कोई गुणनखंड कलन विधि (एल्गोरिथम) उपस्थितनहीं हो सकता है।
 == आदर्श ==
-{{Main|Dedekind domain}}
+{{Main|डेडेकाइंड डोमेन}}
-बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में, डायफेंटाइन समीकरणों के अध्ययन ने 19 वीं शताब्दी के दौरान गणितज्ञों का नेतृत्व किया, जो कि बीजीय पूर्णांक नामक पूर्णांक के सामान्यीकरण को पेश करने के लिए थे।बीजगणितीय पूर्णांक की पहली अंगूठी जिन्हें गॉसियन पूर्णांक और ईसेनस्टीन पूर्णांक माना जाता है, जो सामान्य पूर्णांक के साथ प्रमुख आदर्श डोमेन होने की संपत्ति के साथ साझा करते हैं, और इस प्रकार अद्वितीय कारक संपत्ति है।
+बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में, डायोफैंटाइन समीकरणों के अध्ययन ने 19वीं शताब्दी के दौरान, बीजगणितीय पूर्णांक नामक पूर्णांकों के सामान्यीकरण को प्रस्तुत करने के लिए गणितज्ञों का नेतृत्व किया था। बीजगणितीय पूर्णांकों की पहली वलय जिसे माना गया है, वे गॉसियन पूर्णांक और ईसेनस्टीन पूर्णांक थे, जो सामान्य पूर्णांकों के साथ प्रमुख आदर्श प्रभावक्षेत्र होने की गुणसाझा करते हैं, और इस प्रकार अद्वितीय गुणन गुण होते हैं।
-दुर्भाग्य से, यह जल्द ही दिखाई दिया कि बीजगणितीय पूर्णांक के अधिकांश छल्ले प्रिंसिपल नहीं हैं और उनके पास अद्वितीय कारक नहीं है।सबसे सरल उदाहरण है<math>\mathbb Z[\sqrt{-5}],</math> जिसमें
+दुर्भाग्य से, यह जल्द ही प्रकट हुआ कि बीजीय पूर्णांकों के अधिकांश वलय मूलधन नहीं होते हैं और उनमें अद्वितीय गुणनखंडन नहीं होता है। सबसे सरल उदाहरण है  <math>\mathbb Z[\sqrt{-5}],</math> जिसमें
 :<math>9=3\cdot 3 = (2+\sqrt{-5})(2-\sqrt{-5}),</math>
-और ये सभी कारक अतार्किक हैं।
+और ये सभी गुणनखंड अपूरणीय हैं।
-अद्वितीय कारक की यह कमी डायोफेंटाइन समीकरणों को हल करने के लिए एक बड़ी कठिनाई है।उदाहरण के लिए, फर्मेट के अंतिम प्रमेय के कई गलत प्रमाण (शायद फर्मेट के वास्तव में अद्भुत प्रमाण सहित, जो इस मार्जिन को शामिल करने के लिए बहुत संकीर्ण है) अद्वितीय कारक के निहित दमन पर आधारित थे।
-इस कठिनाई को डेडेकिंड द्वारा हल किया गया था, जिन्होंने यह साबित कर दिया कि बीजगणितीय पूर्णांक के छल्ले में आदर्शों का अद्वितीय कारक है: इन छल्ले में, प्रत्येक आदर्श प्रमुख आदर्शों का एक उत्पाद है, और यह कारक कारकों के क्रम को अद्वितीय है।अभिन्न डोमेन जिनके पास यह अनूठा कारक है, अब डेडेकिंड डोमेन कहा जाता है।उनके पास कई अच्छे गुण हैं जो उन्हें बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में मौलिक बनाते हैं।
+अद्वितीय गुणनखंडन की यह कमी डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करने के लिए एक बड़ी कठिनाई है। उदाहरण के लिए, फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के कई गलत प्रमाण (शायद फ़र्मेट के "इसका वास्तव में अद्भुत प्रमाण, जिसमें यह अंतर शामिल करने के लिए बहुत संकीर्ण है" सहित) अद्वितीय गुणनखंडन के निहित अनुमान पर आधारित थे।
+इस कठिनाई को डेडेकिंड ने हल किया, जिन्होंने साबित किया कि बीजीय पूर्णांकों के वलय में आदर्शों का अद्वितीय गुणनखंड होता है: इन वलय में, प्रत्येक आदर्श प्रमुख आदर्शों का एक उत्पाद होता है, और यह गुणनखंड गुणनखंडों के क्रम में अद्वितीय होता है। अभिन्न प्रभावक्षेत्र जिनके पास यह अद्वितीय गुणनखंडन गुण है, अब डेडेकाइंड प्रभावक्षेत्र कहलाते हैं। उनके पास कई अच्छे गुण हैं जो उन्हें बीजीय संख्या सिद्धांत में मौलिक बनाते हैं।
 == मैट्रिसेस ==
+आव्यूह वलय गैर- क्रमविनिमेय (नॉन-कम्यूटेटिव) हैं और इनमें कोई अद्वितीय गुणनखंड नहीं है: सामान्य तौर पर, आव्यूह के उत्पाद के रूप में आव्यूह को लिखने के कई तरीके हैं। इस प्रकार, गुणनखंडन समस्या में निर्दिष्ट प्रकार के गुणनखंडों का पता लगाना शामिल है। उदाहरण के लिए, एल यू अपघटन आव्यूह को ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह द्वारा निचले त्रिकोणीय आव्यूह के उत्पाद के रूप में देता है। जैसा कि यह हमेशा संभव नहीं होता है, आम तौर पर एक "एलयूपी अपघटन" को क्रम परिवर्तन आव्यूह वाले अपने तीसरे गुणनखंड के रूप में माना जाता है।
-मैट्रिक्स के छल्ले गैर-कम्यूटेटिव हैं और उनका कोई अद्वितीय कारक नहीं है: सामान्य रूप से, मैट्रिक्स के उत्पाद के रूप में मैट्रिक्स लिखने के कई तरीके हैं।इस प्रकार, कारक समस्या में निर्दिष्ट प्रकारों के कारक खोजने के होते हैं।उदाहरण के लिए, लू अपघटन एक ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स द्वारा एक निचले त्रिकोणीय मैट्रिक्स के उत्पाद के रूप में एक मैट्रिक्स देता है।जैसा कि यह हमेशा संभव नहीं होता है, एक आम तौर पर LUP अपघटन को अपने तीसरे कारक के रूप में एक क्रमचय मैट्रिक्स के रूप में मानता है।
+सबसे सामान्य प्रकार के अव्यूह गुणनखण्ड के लिए अव्यूह अपघटन देखें।
-मैट्रिक्स कारक के सबसे सामान्य प्रकार के लिए मैट्रिक्स अपघटन देखें।
+तार्किक अव्यूह एक द्विआधारी संबंध का प्रतिनिधित्व करता है, और अव्यूह गुणन संबंधों की संरचना से मेल खाता है। गुणनखंड के माध्यम से एक संबंध का अपघटन संबंध की प्रकृति को वर्णन करने के लिए कार्य करता है, जैसे कि एक अलग संबंध करता है।
-एक तार्किक मैट्रिक्स एक द्विआधारी संबंध का प्रतिनिधित्व करता है, और मैट्रिक्स गुणा संबंधों की संरचना से मेल खाता है।कारक के माध्यम से एक संबंध का अपघटन संबंध की प्रकृति को प्रोफाइल करने के लिए कार्य करता है, जैसे कि एक अलग संबंध।
 == यह भी देखें ==
-<!--कृपया वर्णमाला आदेश का सम्मान करें-->*पूर्णांक के लिए यूलर का कारक विधि
+*पूर्णांक के लिए यूलर का गुणनखंड विधि
-*पूर्णांक के लिए Fermat का कारक विधि
+*पूर्णांक के लिए Fermat का गुणनखंड विधि
-*मोनोइड कारक
+*मोनोइड गुणनखंड
 *गुणक विभाजन
-*गौसियन पूर्णांक कारक की तालिका
+*गौसियन पूर्णांक गुणनखंड की तालिका
 ==टिप्पणियाँ==
 {{Reflist}}
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 ==बाहरी संबंध==
-{{Wiktionary|factorisation|factorization}}
 * [[Wolfram Alpha]] [http://www.wolframalpha.com/input/?i=Factor%20-2006+%2B+1155+x+-+78+x^2+%2B+x^3 can factorize too].
+[[Category:Machine Translated Page]]
-{{Authority control}}
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
+[[Category:Articles with short description]]
+[[Category:Harv and Sfn no-target errors]]
-]
+[[Category:Short description with empty Wikidata description]]
+[[Category:Webarchive template wayback links]]

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गुणनखण्ड: Difference between revisions

Latest revision as of 09:26, 10 October 2022

पूर्णांक

उदाहरण

व्यंजक

व्यंजक के गुणनखंड का इतिहास

सामान्य तरीके

समापवर्तक

समूहन

शब्दों (टर्म) को जोड़ना और घटाना

पहचानने योग्य प्रतिलिपि

इकाई के मूल

बहुपद

आदिम-भाग और सामग्री गुणनखंड

गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करना

तर्कसंगत मूल

बहुपद मूल के लिए सूत्रों का उपयोग करना

मूल के बीच संबंधों का उपयोग करना

अद्वितीय गुणनखंड प्रभावक्षेत्र

आदर्श

मैट्रिसेस

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

संदर्भ

बाहरी संबंध

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