आपतन आव्यूह: Difference between revisions

Revision as of 19:34, 5 May 2023

गणित में, आपतन आव्यूह एक तार्किक आव्यूह है जो वस्तुओं के दो वर्गों के बीच के संबंध को दर्शाता है, जिसे सामान्यतः आपतन (ज्यामिति) कहा जाता है। यदि पहली श्रेणी X है और दूसरी Y है, तो आव्यूह में X के प्रत्येक अवयव के लिए एक पंक्ति और Y के प्रत्येक अवयव के लिए एक पंक्ति स्तम्भ है। यदि 'x' और 'y संबंधित हैं तो पंक्ति 'x' और पंक्ति स्तम्भ 'y' में प्रविष्टि 1 है (इस संदर्भ में 'आपतन' कहा जाता है) अन्यथा प्रविष्टि 0 होने पर 'x' और 'y' एक दूसरे से संबंधित नहीं होंगे।

ग्राफ सिद्धांत

आपतन आव्यूह ग्राफ सिद्धांत में एक सामान्य ग्राफ प्रतिनिधित्व है। यह आसन्न आव्यूह से भिन्न है, जो शीर्षकोण बिंदु युग्मन के संबंध को कूटबद्ध करता है।

अप्रत्यक्ष और निर्देशित रेखांकन

एक अप्रत्यक्ष ग्राफ।

ग्राफ़ थ्योरी में एक अप्रत्यक्ष ग्राफ में दो प्रकार के आपतन आव्यूह होते हैं: विन्यस्त और अभिविन्यस्त।

किसी एक अप्रत्यक्ष ग्राफ का अनियंत्रित आपतन आव्यूह (या केवल आपतन आव्यूह) एक $n\times m$ है, आव्यूह (गणित) B, जहां n और m क्रमशः शीर्षकोण बिंदु (ग्राफ सिद्धांत) और कोर (ग्राफ सिद्धांत) की संख्याएं हैं, जैसे कि

B_{ij}=\left\{{\begin{array}{rl}\,1&{\text{if vertex }}v_{i}{\text{ is incident with edge }}e_{j},\\0&{\text{otherwise.}}\end{array}}\right.

उदाहरण के लिए, दाईं ओर दिखाए गए अप्रत्यक्ष ग्राफ का आपतन आव्यूह वह आव्यूह है जिसमें 4 पंक्तियाँ (चार कोने, 1-4 के अनुरूप) और 4 पंक्ति स्तम्भ (चार किनारों के अनुरूप, $e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}$ ) है:

	e₁	e₂	e₃	e₄
1	1	1	1	0
2	1	0	0	0
3	0	1	0	1
4	0	0	1	1

=

${\begin{bmatrix}1&1&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&1\\0&0&1&1\\\end{bmatrix}}.$

यदि हम आपतन आव्यूह को देखते हैं, तो हम देखते हैं कि प्रत्येक स्तंभ का योग 2 के बराबर है। ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रत्येक किनारे के प्रत्येक सिरे से जुड़ा एक शीर्ष है।

निर्देशित ग्राफ का आपतन आव्यूह एक है $n\times m$ आव्यूह बी जहां n और m क्रमशः कोने और किनारों की संख्या है, जैसे कि

B_{ij}=\left\{{\begin{array}{rl}{-1}&{\text{if edge }}e_{j}{\text{ leaves vertex }}v_{i},\\{\phantom {-}}1&{\text{if edge }}e_{j}{\text{ enters vertex }}v_{i},\\{\phantom {-}}0&{\text{otherwise.}}\end{array}}\right.

(कई लेखक विपरीत चिह्न अभिसमय का उपयोग करते हैं।)

एक अप्रत्यक्ष ग्राफ का उन्मुख आपतन आव्यूह ग्राफ के किसी भी ओरिएंटेशन (ग्राफ सिद्धांत) के निर्देशित ग्राफ के अर्थ में आपतन आव्यूह है। अर्थात्, किनारे ई के पंक्ति स्तम्भ में, ई के एक शीर्ष के अनुरूप पंक्ति में एक 1 है और ई के अन्य शीर्ष के अनुरूप पंक्ति में एक -1 है, और अन्य सभी पंक्तियों में 0 है। उन्मुख आपतन आव्यूह है किसी भी पंक्ति स्तम्भ के नकारने तक अद्वितीय, क्योंकि पंक्ति स्तम्भ की प्रविष्टियों को नकारना एक किनारे के अभिविन्यास को उलटने से मेल खाता है।

एक ग्राफ G का अनियंत्रित आपतन आव्यूह निम्नलिखित प्रमेय द्वारा इसके रेखा ग्राफ L(G) के आसन्न आव्यूह से संबंधित है:

A(L(G))=B(G)^{\textsf {T}}B(G)-2I_{m}.

जहाँ A(L(G)) G के लाइन ग्राफ़ का आसन्न आव्यूह है, B(G) आपतन आव्यूह है, और I_m आयाम m का तत्समक आव्यूह है।

असतत Kirchhoff आव्यूह (या Kirchhoff आव्यूह) सूत्र द्वारा उन्मुख आपतन आव्यूह B(G) से प्राप्त किया जाता है

B(G)B(G)^{\textsf {T}}.

एक ग्राफ का अभिन्न चक्र स्थान इसके उन्मुख आपतन आव्यूह के शून्य स्थान के बराबर है, जिसे पूर्णांक या वास्तविक संख्या या जटिल संख्याओं पर आव्यूह के रूप में देखा जाता है। द्वि-अवयव क्षेत्र (गणित) पर एक आव्यूह के रूप में देखे जाने वाले इसके उन्मुख या गैर-उन्मुख आपतन आव्यूह का शून्य स्थान द्विआधारी चक्र स्थान है।

हस्ताक्षरित और द्विदिश रेखांकन

एक हस्ताक्षरित ग्राफ का आपतन आव्यूह उन्मुख आपतन आव्यूह का एक सामान्यीकरण है। यह किसी भी द्विदिश ग्राफ का आपतन आव्यूह है जो दिए गए हस्ताक्षरित ग्राफ को ओरिएंट करता है। एक सकारात्मक किनारे के पंक्ति स्तम्भ में एक समापन बिंदु के अनुरूप पंक्ति में 1 और दूसरे समापन बिंदु के अनुरूप पंक्ति में -1 होता है, ठीक एक साधारण (अहस्ताक्षरित) ग्राफ में किनारे की तरह। एक नकारात्मक किनारे के पंक्ति स्तम्भ में दोनों पंक्तियों में या तो 1 या -1 होता है। लाइन ग्राफ़ और किरचॉफ आव्यूह गुण हस्ताक्षरित ग्राफ़ के लिए सामान्यीकृत होते हैं।

मल्टीग्राफ्स

आपतन आव्यूह की परिभाषाएं लूप (ग्राफ सिद्धांत) और कई किनारों वाले ग्राफ़ पर लागू होती हैं। एक उन्मुख आपतन आव्यूह का स्तंभ जो एक लूप से मेल खाता है, सभी शून्य है, जब तक कि ग्राफ पर हस्ताक्षर नहीं किया जाता है और लूप नकारात्मक है; तब स्तंभ अपने आपतित शीर्ष की पंक्ति में ±2 को छोड़कर सभी शून्य होता है।

भारित रेखांकन

एक भारित अप्रत्यक्ष ग्राफ

भारित ग्राफ़ को 1 के स्थान पर किनारे के भार का उपयोग करके प्रदर्शित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, दाईं ओर ग्राफ़ का आपतन आव्यूह है:

	e₁	e₂	e₃	e₄
1	2	1	5	0
2	2	0	0	0
3	0	1	0	6
4	0	0	5	6

=

${\begin{bmatrix}2&1&5&0\\2&0&0&0\\0&1&0&6\\0&0&5&6\\\end{bmatrix}}.$

hypergraph

क्योंकि सामान्य रेखांकन के किनारों में केवल दो कोने (प्रत्येक छोर पर एक) हो सकते हैं, ग्राफ़ के लिए एक आपतन आव्यूह के स्तंभ में केवल दो गैर-शून्य प्रविष्टियाँ हो सकती हैं। इसके विपरीत, एक हाइपरग्राफ में एक किनारे पर निर्दिष्ट कई कोने हो सकते हैं; इस प्रकार, गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का एक सामान्य आव्यूह एक हाइपरग्राफ का वर्णन करता है।

आपतन संरचनाएं

आपतन संरचना C का आपतन आव्यूह a है p × q आव्यूह बी (या इसका स्थानान्तरण), जहां पी और क्यू क्रमशः बिंदुओं और रेखाओं की संख्या हैं, जैसे कि B_i,j = 1 यदि बिंदु p_i और लाइन एल_j आपतन हैं और 0 अन्यथा। इस मामले में, आपतन आव्यूह संरचना के लेवी ग्राफ का एक बायडजेंसी आव्यूह भी है। जैसा कि प्रत्येक लेवी ग्राफ के लिए एक हाइपरग्राफ है, और इसके विपरीत, एक आपतन संरचना का आपतन आव्यूह एक हाइपरग्राफ का वर्णन करता है।

परिमित ज्यामिति

एक महत्वपूर्ण उदाहरण परिमित ज्यामिति है। उदाहरण के लिए, एक परिमित तल में, X बिंदुओं का समुच्चय है और Y रेखाओं का समुच्चय है। उच्च आयाम की परिमित ज्यामिति में, X बिंदुओं का समुच्चय हो सकता है और Y पूरे अंतरिक्ष (हाइपरप्लेन) के आयाम से एक कम आयाम के उप-स्थानों का समुच्चय हो सकता है; या, अधिक आम तौर पर, एक्स एक आयाम डी के सभी उप-स्थानों का सेट हो सकता है और वाई दूसरे आयाम ई के सभी उप-समूहों का सेट हो सकता है, जिसमें रोकथाम के रूप में परिभाषित आपतनएं होती हैं।

पॉलीटोप्स

इसी तरह, कोशिकाओं के बीच संबंध जिनके आयाम एक पॉलीटोप में एक से भिन्न होते हैं, एक आपतन आव्यूह द्वारा प्रदर्शित किए जा सकते हैं।^[1]

ब्लॉक डिजाइन

एक अन्य उदाहरण एक ब्लॉक डिज़ाइन है। यहाँ X बिंदुओं का एक परिमित समूह है और Y, X के सबसेट का एक वर्ग है, जिसे ब्लॉक कहा जाता है, जो नियमों के अधीन है जो डिज़ाइन के प्रकार पर निर्भर करता है। आपतन आव्यूह ब्लॉक डिजाइन के सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण उपकरण है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग फिशर की असमानता को साबित करने के लिए किया जा सकता है, संतुलित अपूर्ण 2-डिजाइन (बीआईबीडी) का एक मौलिक प्रमेय, कि ब्लॉक की संख्या कम से कम अंकों की संख्या है।^[2] ब्लॉक को सेट की एक प्रणाली के रूप में देखते हुए, आपतन आव्यूह का स्थायी (गणित) अलग-अलग प्रतिनिधियों (एसडीआर) की प्रणाली की संख्या है।

यह भी देखें

पैरी-सुलिवन अपरिवर्तनीय

संदर्भ

↑ Coxeter, H.S.M. (1973) [1963], Regular Polytopes (3rd ed.), Dover, pp. 166-167, ISBN 0-486-61480-8
↑ Ryser, Herbert John (1963), Combinatorial Mathematics, The Carus Mathematical Monographs #14, The Mathematical Association of America, p. 99

अग्रिम पठन

Diestel, Reinhard (2005), Graph Theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 173 (3rd ed.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-26183-4
Jonathan L Gross, Jay Yellen, Graph Theory and its applications, second edition, 2006 (p 97, Incidence Matrices for undirected graphs; p 98, incidence matrices for digraphs)

बाहरी संबंध

Weisstein, Eric W. "Incidence matrix". MathWorld.

[1] Coxeter, H.S.M. (1973) [1963], Regular Polytopes (3rd ed.), Dover, pp. 166-167, ISBN 0-486-61480-8

[2] Ryser, Herbert John (1963), Combinatorial Mathematics, The Carus Mathematical Monographs #14, The Mathematical Association of America, p. 99

[1]

[2]

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 {{Short description|Matrix that shows the relationship between two classes of objects}}
-गणित में, घटना मैट्रिक्स एक [[तार्किक मैट्रिक्स]] है जो वस्तुओं के दो वर्गों के बीच के संबंध को दर्शाता है, जिसे आमतौर पर [[घटना (ज्यामिति)]] कहा जाता है। यदि पहली श्रेणी ''X'' है और दूसरी ''Y'' है, तो मैट्रिक्स में ''X'' के प्रत्येक तत्व के लिए एक पंक्ति और ''Y'' के प्रत्येक तत्व के लिए एक कॉलम है। पंक्ति 'x' और कॉलम 'y' में प्रविष्टि 1 है यदि 'x' और 'y'' संबंधित हैं (इस संदर्भ में 'घटना' कहा जाता है) और 0 यदि वे नहीं हैं। विविधताएं हैं; नीचे देखें।
+गणित में, आपतन आव्यूह एक [[तार्किक मैट्रिक्स|तार्किक आव्यूह]] है जो वस्तुओं के दो वर्गों के बीच के संबंध को दर्शाता है, जिसे सामान्यतः [[घटना (ज्यामिति)|आपतन (ज्यामिति)]] कहा जाता है। यदि पहली श्रेणी ''X'' है और दूसरी ''Y'' है, तो आव्यूह में ''X'' के प्रत्येक अवयव के लिए एक पंक्ति और ''Y'' के प्रत्येक अवयव के लिए एक पंक्ति स्तम्भ है। यदि 'x' और 'y संबंधित हैं तो पंक्ति 'x' और पंक्ति स्तम्भ 'y' में प्रविष्टि 1 है (इस संदर्भ में 'आपतन' कहा जाता है) अन्यथा प्रविष्टि 0 होने पर 'x' और 'y' एक दूसरे से संबंधित नहीं होंगे।
 == [[ग्राफ सिद्धांत]] ==
-घटना मैट्रिक्स ग्राफ सिद्धांत में एक सामान्य ग्राफ प्रतिनिधित्व है। यह आसन्न मैट्रिक्स से भिन्न है, जो वर्टेक्स-वर्टेक्स जोड़े के संबंध को कूटबद्ध करता है।
+आपतन आव्यूह ग्राफ सिद्धांत में एक सामान्य ग्राफ प्रतिनिधित्व है। यह आसन्न आव्यूह से भिन्न है, जो शीर्षकोण बिंदु युग्मन के संबंध को कूटबद्ध करता है।
 === अप्रत्यक्ष और निर्देशित रेखांकन ===
-[[Image:Labeled undirected graph.svg|thumb|250px|एक अप्रत्यक्ष ग्राफ।]]ग्राफ़ थ्योरी में एक [[अप्रत्यक्ष ग्राफ]]़ में दो प्रकार के इंसिडेंस मैट्रिसेस होते हैं: अनओरिएंटेड और ओरिएंटेड।
+[[Image:Labeled undirected graph.svg|thumb|250px|एक अप्रत्यक्ष ग्राफ।]]ग्राफ़ थ्योरी में एक [[अप्रत्यक्ष ग्राफ]] में दो प्रकार के आपतन आव्यूह होते हैं: विन्यस्त और अभिविन्यस्त।
-एक अप्रत्यक्ष ग्राफ का अनियंत्रित घटना मैट्रिक्स (या केवल घटना मैट्रिक्स) एक है <math>n\times m</math> [[मैट्रिक्स (गणित)]] बी, जहां एन और एम क्रमशः वर्टेक्स (ग्राफ सिद्धांत) और एज (ग्राफ सिद्धांत) की संख्याएं हैं, जैसे कि
+किसी एक अप्रत्यक्ष ग्राफ का अनियंत्रित आपतन आव्यूह (या केवल आपतन आव्यूह) एक <math>n\times m</math> है, [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] B, जहां n और m क्रमशः शीर्षकोण बिंदु (ग्राफ सिद्धांत) और कोर (ग्राफ सिद्धांत) की संख्याएं हैं, जैसे कि
 :<math>B_{ij}=\left\{\begin{array}{rl}\,1 & \text{if vertex }v_i\text{ is incident with edge }e_j, \\ 0 & \text{otherwise.}\end{array}\right.</math>
-उदाहरण के लिए, दाईं ओर दिखाए गए अप्रत्यक्ष ग्राफ का घटना मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स है जिसमें 4 पंक्तियाँ (चार कोने, 1-4 के अनुरूप) और 4 कॉलम (चार किनारों के अनुरूप, <math>e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}</math>):
+उदाहरण के लिए, दाईं ओर दिखाए गए अप्रत्यक्ष ग्राफ का आपतन आव्यूह वह आव्यूह है जिसमें 4 पंक्तियाँ (चार कोने, 1-4 के अनुरूप) और 4 पंक्ति स्तम्भ (चार किनारों के अनुरूप, <math>e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}</math>) है:
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-यदि हम घटना मैट्रिक्स को देखते हैं, तो हम देखते हैं कि प्रत्येक स्तंभ का योग 2 के बराबर है। ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रत्येक किनारे के प्रत्येक सिरे से जुड़ा एक शीर्ष है।
+यदि हम आपतन आव्यूह को देखते हैं, तो हम देखते हैं कि प्रत्येक स्तंभ का योग 2 के बराबर है। ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रत्येक किनारे के प्रत्येक सिरे से जुड़ा एक शीर्ष है।
-[[निर्देशित ग्राफ]] का घटना मैट्रिक्स एक है <math>n\times m</math> मैट्रिक्स बी जहां n और m क्रमशः कोने और किनारों की संख्या है, जैसे कि
+[[निर्देशित ग्राफ]] का आपतन आव्यूह एक है <math>n\times m</math> आव्यूह बी जहां n और m क्रमशः कोने और किनारों की संख्या है, जैसे कि
 :<math>B_{ij}=\left\{\begin{array}{rl}
 {-1} & \text{if edge }e_j\text{ leaves vertex }v_i, \\
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 \phantom{-}0 & \text{otherwise.}
 \end{array}\right.</math>
-(कई लेखक विपरीत चिह्न परिपाटी का उपयोग करते हैं।)
+(कई लेखक विपरीत चिह्न अभिसमय का उपयोग करते हैं।)
-एक अप्रत्यक्ष ग्राफ का उन्मुख घटना मैट्रिक्स ग्राफ के किसी भी ओरिएंटेशन (ग्राफ सिद्धांत) के निर्देशित ग्राफ के अर्थ में घटना मैट्रिक्स है। अर्थात्, किनारे ई के कॉलम में, ई के एक शीर्ष के अनुरूप पंक्ति में एक 1 है और ई के अन्य शीर्ष के अनुरूप पंक्ति में एक -1 है, और अन्य सभी पंक्तियों में 0 है। उन्मुख घटना मैट्रिक्स है किसी भी कॉलम के नकारने [[तक]] अद्वितीय, क्योंकि कॉलम की प्रविष्टियों को नकारना एक किनारे के अभिविन्यास को उलटने से मेल खाता है।
+'''एक अप्रत्यक्ष ग्राफ का उन्मुख आपतन आव्यूह ग्राफ''' के किसी भी ओरिएंटेशन (ग्राफ सिद्धांत) के निर्देशित ग्राफ के अर्थ में आपतन आव्यूह है। अर्थात्, किनारे ई के पंक्ति स्तम्भ में, ई के एक शीर्ष के अनुरूप पंक्ति में एक 1 है और ई के अन्य शीर्ष के अनुरूप पंक्ति में एक -1 है, और अन्य सभी पंक्तियों में 0 है। उन्मुख आपतन आव्यूह है किसी भी पंक्ति स्तम्भ के नकारने [[तक]] अद्वितीय, क्योंकि पंक्ति स्तम्भ की प्रविष्टियों को नकारना एक किनारे के अभिविन्यास को उलटने से मेल खाता है।
-एक ग्राफ G का अनियंत्रित घटना मैट्रिक्स निम्नलिखित प्रमेय द्वारा इसके रेखा ग्राफ L(G) के आसन्न मैट्रिक्स से संबंधित है:
+एक ग्राफ G का अनियंत्रित आपतन आव्यूह निम्नलिखित प्रमेय द्वारा इसके रेखा ग्राफ L(G) के आसन्न आव्यूह से संबंधित है:
 : <math>A(L(G)) = B(G)^\textsf{T}B(G) - 2I_m.</math>
-जहाँ A(L(G)) G के लाइन ग्राफ़ का आसन्न मैट्रिक्स है, B(G) घटना मैट्रिक्स है, और I<sub>''m''</sub> आयाम m का तत्समक आव्यूह है।
+जहाँ A(L(G)) G के लाइन ग्राफ़ का आसन्न आव्यूह है, B(G) आपतन आव्यूह है, और I<sub>''m''</sub> आयाम m का तत्समक आव्यूह है।
-असतत Kirchhoff मैट्रिक्स (या Kirchhoff मैट्रिक्स) सूत्र द्वारा उन्मुख घटना मैट्रिक्स B(G) से प्राप्त किया जाता है
+असतत Kirchhoff आव्यूह (या Kirchhoff आव्यूह) सूत्र द्वारा उन्मुख आपतन आव्यूह B(G) से प्राप्त किया जाता है
 : <math>B(G) B(G)^\textsf{T}.</math>
-एक ग्राफ का अभिन्न [[चक्र स्थान]] इसके उन्मुख घटना मैट्रिक्स के शून्य स्थान के बराबर है, जिसे पूर्णांक या [[वास्तविक संख्या]] या जटिल संख्याओं पर मैट्रिक्स के रूप में देखा जाता है। द्वि-तत्व [[क्षेत्र (गणित)]] पर एक मैट्रिक्स के रूप में देखे जाने वाले इसके उन्मुख या गैर-उन्मुख घटना मैट्रिक्स का शून्य स्थान द्विआधारी चक्र स्थान है।
+एक ग्राफ का अभिन्न [[चक्र स्थान]] इसके उन्मुख आपतन आव्यूह के शून्य स्थान के बराबर है, जिसे पूर्णांक या [[वास्तविक संख्या]] या जटिल संख्याओं पर आव्यूह के रूप में देखा जाता है। द्वि-अवयव [[क्षेत्र (गणित)]] पर एक आव्यूह के रूप में देखे जाने वाले इसके उन्मुख या गैर-उन्मुख आपतन आव्यूह का शून्य स्थान द्विआधारी चक्र स्थान है।
 === हस्ताक्षरित और द्विदिश रेखांकन ===
-एक [[हस्ताक्षरित ग्राफ]] का घटना मैट्रिक्स उन्मुख घटना मैट्रिक्स का एक सामान्यीकरण है। यह किसी भी [[द्विदिश ग्राफ]] का घटना मैट्रिक्स है जो दिए गए हस्ताक्षरित ग्राफ को ओरिएंट करता है। एक सकारात्मक किनारे के कॉलम में एक समापन बिंदु के अनुरूप पंक्ति में 1 और दूसरे समापन बिंदु के अनुरूप पंक्ति में -1 होता है, ठीक एक साधारण (अहस्ताक्षरित) ग्राफ में किनारे की तरह। एक नकारात्मक किनारे के कॉलम में दोनों पंक्तियों में या तो 1 या -1 होता है। लाइन ग्राफ़ और किरचॉफ मैट्रिक्स गुण हस्ताक्षरित ग्राफ़ के लिए सामान्यीकृत होते हैं।
+एक [[हस्ताक्षरित ग्राफ]] का आपतन आव्यूह उन्मुख आपतन आव्यूह का एक सामान्यीकरण है। यह किसी भी [[द्विदिश ग्राफ]] का आपतन आव्यूह है जो दिए गए हस्ताक्षरित ग्राफ को ओरिएंट करता है। एक सकारात्मक किनारे के पंक्ति स्तम्भ में एक समापन बिंदु के अनुरूप पंक्ति में 1 और दूसरे समापन बिंदु के अनुरूप पंक्ति में -1 होता है, ठीक एक साधारण (अहस्ताक्षरित) ग्राफ में किनारे की तरह। एक नकारात्मक किनारे के पंक्ति स्तम्भ में दोनों पंक्तियों में या तो 1 या -1 होता है। लाइन ग्राफ़ और किरचॉफ आव्यूह गुण हस्ताक्षरित ग्राफ़ के लिए सामान्यीकृत होते हैं।
 === मल्टीग्राफ्स ===
-घटना मैट्रिक्स की परिभाषाएं लूप (ग्राफ सिद्धांत) और कई किनारों वाले ग्राफ़ पर लागू होती हैं। एक उन्मुख घटना मैट्रिक्स का स्तंभ जो एक लूप से मेल खाता है, सभी शून्य है, जब तक कि ग्राफ पर हस्ताक्षर नहीं किया जाता है और लूप नकारात्मक है; तब स्तंभ अपने आपतित शीर्ष की पंक्ति में ±2 को छोड़कर सभी शून्य होता है।
+आपतन आव्यूह की परिभाषाएं लूप (ग्राफ सिद्धांत) और कई किनारों वाले ग्राफ़ पर लागू होती हैं। एक उन्मुख आपतन आव्यूह का स्तंभ जो एक लूप से मेल खाता है, सभी शून्य है, जब तक कि ग्राफ पर हस्ताक्षर नहीं किया जाता है और लूप नकारात्मक है; तब स्तंभ अपने आपतित शीर्ष की पंक्ति में ±2 को छोड़कर सभी शून्य होता है।
 === भारित रेखांकन ===
-[[File:Weighted undirected graph.svg|thumb|एक भारित अप्रत्यक्ष ग्राफ]]भारित ग्राफ़ को 1 के स्थान पर किनारे के भार का उपयोग करके प्रदर्शित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, दाईं ओर ग्राफ़ का आपतन मैट्रिक्स है:
+[[File:Weighted undirected graph.svg|thumb|एक भारित अप्रत्यक्ष ग्राफ]]भारित ग्राफ़ को 1 के स्थान पर किनारे के भार का उपयोग करके प्रदर्शित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, दाईं ओर ग्राफ़ का आपतन आव्यूह है:
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 === [[ hypergraph ]] ===
-क्योंकि सामान्य रेखांकन के किनारों में केवल दो कोने (प्रत्येक छोर पर एक) हो सकते हैं, ग्राफ़ के लिए एक घटना मैट्रिक्स के स्तंभ में केवल दो गैर-शून्य प्रविष्टियाँ हो सकती हैं। इसके विपरीत, एक हाइपरग्राफ में एक किनारे पर निर्दिष्ट कई कोने हो सकते हैं; इस प्रकार, गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का एक सामान्य मैट्रिक्स एक हाइपरग्राफ का वर्णन करता है।
+क्योंकि सामान्य रेखांकन के किनारों में केवल दो कोने (प्रत्येक छोर पर एक) हो सकते हैं, ग्राफ़ के लिए एक आपतन आव्यूह के स्तंभ में केवल दो गैर-शून्य प्रविष्टियाँ हो सकती हैं। इसके विपरीत, एक हाइपरग्राफ में एक किनारे पर निर्दिष्ट कई कोने हो सकते हैं; इस प्रकार, गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का एक सामान्य आव्यूह एक हाइपरग्राफ का वर्णन करता है।
-== [[घटना संरचना]]एं ==
+== [[घटना संरचना|आपतन संरचना]]एं ==
-आपतन संरचना C का आपतन मैट्रिक्स a है {{nowrap|''p'' × ''q''}} मैट्रिक्स बी (या इसका स्थानान्तरण), जहां पी और क्यू क्रमशः बिंदुओं और रेखाओं की संख्या हैं, जैसे कि {{nowrap|1=''B''<sub>''i'',''j''</sub> = 1}} यदि बिंदु p<sub>i</sub> और लाइन एल<sub>''j''</sub> घटना हैं और 0 अन्यथा। इस मामले में, घटना मैट्रिक्स संरचना के [[लेवी ग्राफ]] का एक [[बायडजेंसी मैट्रिक्स]] भी है। जैसा कि प्रत्येक लेवी ग्राफ के लिए एक हाइपरग्राफ है, और इसके विपरीत, एक घटना संरचना का घटना मैट्रिक्स एक हाइपरग्राफ का वर्णन करता है।
+आपतन संरचना C का आपतन आव्यूह a है {{nowrap|''p'' × ''q''}} आव्यूह बी (या इसका स्थानान्तरण), जहां पी और क्यू क्रमशः बिंदुओं और रेखाओं की संख्या हैं, जैसे कि {{nowrap|1=''B''<sub>''i'',''j''</sub> = 1}} यदि बिंदु p<sub>i</sub> और लाइन एल<sub>''j''</sub> आपतन हैं और 0 अन्यथा। इस मामले में, आपतन आव्यूह संरचना के [[लेवी ग्राफ]] का एक [[बायडजेंसी मैट्रिक्स|बायडजेंसी आव्यूह]] भी है। जैसा कि प्रत्येक लेवी ग्राफ के लिए एक हाइपरग्राफ है, और इसके विपरीत, एक आपतन संरचना का आपतन आव्यूह एक हाइपरग्राफ का वर्णन करता है।
 === [[परिमित ज्यामिति]] ===
-एक महत्वपूर्ण उदाहरण परिमित ज्यामिति है। उदाहरण के लिए, एक परिमित तल में, X बिंदुओं का समुच्चय है और Y रेखाओं का समुच्चय है। उच्च आयाम की परिमित ज्यामिति में, X बिंदुओं का समुच्चय हो सकता है और Y पूरे अंतरिक्ष (हाइपरप्लेन) के आयाम से एक कम आयाम के उप-स्थानों का समुच्चय हो सकता है; या, अधिक आम तौर पर, एक्स एक आयाम डी के सभी उप-स्थानों का सेट हो सकता है और वाई दूसरे आयाम ई के सभी उप-समूहों का सेट हो सकता है, जिसमें रोकथाम के रूप में परिभाषित घटनाएं होती हैं।
+एक महत्वपूर्ण उदाहरण परिमित ज्यामिति है। उदाहरण के लिए, एक परिमित तल में, X बिंदुओं का समुच्चय है और Y रेखाओं का समुच्चय है। उच्च आयाम की परिमित ज्यामिति में, X बिंदुओं का समुच्चय हो सकता है और Y पूरे अंतरिक्ष (हाइपरप्लेन) के आयाम से एक कम आयाम के उप-स्थानों का समुच्चय हो सकता है; या, अधिक आम तौर पर, एक्स एक आयाम डी के सभी उप-स्थानों का सेट हो सकता है और वाई दूसरे आयाम ई के सभी उप-समूहों का सेट हो सकता है, जिसमें रोकथाम के रूप में परिभाषित आपतनएं होती हैं।
 === पॉलीटोप्स ===
-इसी तरह, कोशिकाओं के बीच संबंध जिनके आयाम एक पॉलीटोप में एक से भिन्न होते हैं, एक घटना मैट्रिक्स द्वारा प्रदर्शित किए जा सकते हैं।<ref>{{citation|first=H.S.M.|last=Coxeter|author-link=Coxeter|title=[[Regular Polytopes (book)|Regular Polytopes]]|year=1973|edition=3rd|orig-year=1963|publisher=Dover|isbn=0-486-61480-8|pages=[https://archive.org/details/regularpolytopes0000coxe/page/166 166-167]}}</ref>
+इसी तरह, कोशिकाओं के बीच संबंध जिनके आयाम एक पॉलीटोप में एक से भिन्न होते हैं, एक आपतन आव्यूह द्वारा प्रदर्शित किए जा सकते हैं।<ref>{{citation|first=H.S.M.|last=Coxeter|author-link=Coxeter|title=[[Regular Polytopes (book)|Regular Polytopes]]|year=1973|edition=3rd|orig-year=1963|publisher=Dover|isbn=0-486-61480-8|pages=[https://archive.org/details/regularpolytopes0000coxe/page/166 166-167]}}</ref>
 === [[ब्लॉक डिजाइन]] ===
-एक अन्य उदाहरण एक ब्लॉक डिज़ाइन है। यहाँ X बिंदुओं का एक परिमित समूह है और Y, X के सबसेट का एक वर्ग है, जिसे ब्लॉक कहा जाता है, जो नियमों के अधीन है जो डिज़ाइन के प्रकार पर निर्भर करता है। घटना मैट्रिक्स ब्लॉक डिजाइन के सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण उपकरण है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग फिशर की असमानता को साबित करने के लिए किया जा सकता है, संतुलित अपूर्ण 2-डिजाइन (बीआईबीडी) का एक मौलिक प्रमेय, कि ब्लॉक की संख्या कम से कम अंकों की संख्या है।<ref>{{citation|page=99|first=Herbert John|last=Ryser|title=Combinatorial Mathematics|series=The Carus Mathematical Monographs #14|publisher=The Mathematical Association of America|year=1963}}</ref> ब्लॉक को सेट की एक प्रणाली के रूप में देखते हुए, घटना मैट्रिक्स का [[स्थायी (गणित)]] अलग-अलग प्रतिनिधियों (एसडीआर) की प्रणाली की संख्या है।
+एक अन्य उदाहरण एक ब्लॉक डिज़ाइन है। यहाँ X बिंदुओं का एक परिमित समूह है और Y, X के सबसेट का एक वर्ग है, जिसे ब्लॉक कहा जाता है, जो नियमों के अधीन है जो डिज़ाइन के प्रकार पर निर्भर करता है। आपतन आव्यूह ब्लॉक डिजाइन के सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण उपकरण है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग फिशर की असमानता को साबित करने के लिए किया जा सकता है, संतुलित अपूर्ण 2-डिजाइन (बीआईबीडी) का एक मौलिक प्रमेय, कि ब्लॉक की संख्या कम से कम अंकों की संख्या है।<ref>{{citation|page=99|first=Herbert John|last=Ryser|title=Combinatorial Mathematics|series=The Carus Mathematical Monographs #14|publisher=The Mathematical Association of America|year=1963}}</ref> ब्लॉक को सेट की एक प्रणाली के रूप में देखते हुए, आपतन आव्यूह का [[स्थायी (गणित)]] अलग-अलग प्रतिनिधियों (एसडीआर) की प्रणाली की संख्या है।
 == यह भी देखें ==

v t e Graph representations
Data structures	Graph (abstract data type) Adjacency list Edge list Adjacency matrix Incidence matrix
XML-based formats	DGML DotML GEXF GraphML GXL XGMML
Text-based formats	DOT Graph Modelling Language (GML) LCF notation for cubic Hamiltonian graphs Newick format for trees Trivial Graph Format
Related concepts	Graph database Graph drawing Linked data

v t e Incidence structures
Representation	Incidence matrix Incidence graph
Fields	Combinatorics Block design Steiner system Geometry Incidence Projective plane Graph theory Hypergraph Statistics Blocking
Configurations	Complete quadrangle Fano plane Möbius–Kantor configuration Pappus configuration Hesse configuration Desargues configuration Reye configuration Schläfli double six Cremona–Richmond configuration Kummer configuration Grünbaum–Rigby configuration Klein configuration Dual
Theorems	Sylvester–Gallai theorem De Bruijn–Erdős theorem Szemerédi–Trotter theorem Beck's theorem Bruck–Ryser–Chowla theorem
Applications	Design of experiments Kirkman's schoolgirl problem

v t e Matrix classes
Explicitly constrained entries	Alternant Anti-diagonal Anti-Hermitian Anti-symmetric Arrowhead Band Bidiagonal Bisymmetric Block-diagonal Block Block tridiagonal Boolean Cauchy Centrosymmetric Conference Complex Hadamard Copositive Diagonally dominant Diagonal Discrete Fourier Transform Elementary Equivalent Frobenius Generalized permutation Hadamard Hankel Hermitian Hessenberg Hollow Integer Logical Matrix unit Metzler Moore Nonnegative Pentadiagonal Permutation Persymmetric Polynomial Quaternionic Signature Skew-Hermitian Skew-symmetric Skyline Sparse Sylvester Symmetric Toeplitz Triangular Tridiagonal Vandermonde Walsh Z
Constant	Exchange Hilbert Identity Lehmer Of ones Pascal Pauli Redheffer Shift Zero
Conditions on eigenvalues or eigenvectors	Companion Convergent Defective Definite Diagonalizable Hurwitz Positive-definite Stieltjes
Satisfying conditions on products or inverses	Congruent Idempotent or Projection Invertible Involutory Nilpotent Normal Orthogonal Unimodular Unipotent Unitary Totally unimodular Weighing
With specific applications	Adjugate Alternating sign Augmented Bézout Carleman Cartan Circulant Cofactor Commutation Confusion Coxeter Distance Duplication and elimination Euclidean distance Fundamental (linear differential equation) Generator Gram Hessian Householder Jacobian Moment Payoff Pick Random Rotation Seifert Shear Similarity Symplectic Totally positive Transformation
Used in statistics	Centering Correlation Covariance Design Doubly stochastic Fisher information Hat Precision Stochastic Transition
Used in graph theory	Adjacency Biadjacency Degree Edmonds Incidence Laplacian Seidel adjacency Tutte
Used in science and engineering	Cabibbo–Kobayashi–Maskawa Density Fundamental (computer vision) Fuzzy associative Gamma Gell-Mann Hamiltonian Irregular Overlap S State transition Substitution Z (chemistry)
Related terms	Jordan normal form Linear independence Matrix exponential Matrix representation of conic sections Perfect matrix Pseudoinverse Row echelon form Wronskian
' List of matrices Category:Matrices

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ग्राफ सिद्धांत

अप्रत्यक्ष और निर्देशित रेखांकन

हस्ताक्षरित और द्विदिश रेखांकन

मल्टीग्राफ्स

भारित रेखांकन

hypergraph

आपतन संरचनाएं

परिमित ज्यामिति

पॉलीटोप्स

ब्लॉक डिजाइन

यह भी देखें

संदर्भ

अग्रिम पठन

बाहरी संबंध

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