वन-वे वेव समीकरण

वन-वे तरंग समीकरण प्रथम-क्रम आंशिक भिन्नता समीकरण है जो सदिश तरंग वेग द्वारा परिभाषित दिशा में यात्रा करने वाली तरंग का वर्णन करता है। यह दूसरे क्रम के दो-वे तरंग समीकरण के विपरीत है, जो विपरीत दिशाओं में दो तरंगों के अध्यारोपण से उत्पन्न स्थायी तरंग क्षेत्र का वर्णन करता है। आयामी स्थिति में, वन-वे तरंग समीकरण, दूसरे क्रम के भिन्नता समीकरण को हल करने की गणितीय जटिलता के बिना तरंग प्रसार की गणना करने की अनुमति देता है। इस तथ्य के कारण कि पिछले दशकों में कोई 3डी वन-वे वेव समीकरण नहीं पाया जा सका, 1डी वन-वे वेव समीकरण के आधार पर कई सन्निकटन विधियों का उपयोग 3डी भूकंपीय और अन्य भूभौतिकीय गणनाओं के लिए किया जाता है, यह भी अनुभाग देखें § त्रि-आयामी स्थिति है।

आयामी स्थिति

अदिश तरंग समीकरण | द्वितीय-क्रम (दो-वे) तरंग समीकरण स्थायी तरंग क्षेत्र का वर्णन करते हुए लिखा जा सकता है:

$${\frac {\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}s}{\partial x^{2}}}=0,$$

कहाँ $x$ निर्देशांक है, $t$ यह समय है, $s=s(x,t)$ विस्थापन है, और $c$ तरंग वेग है।

तरंग वेग की दिशा में अस्पष्टता के कारण, $c^{2}=(+c)^{2}=(-c)^{2}$, समीकरण में तरंग की दिशा के बारे में जानकारी नहीं है और इसलिए आगे दोनों में प्रसार करने वाले समाधान हैं ($+x$) और पिछड़े ($-x$) निर्देश। समीकरण का सामान्य समाधान इन दो दिशाओं में समाधानों का योग है:

 
$$s(x,t)=s_{+}(t-x/c)+s_{-}(t+x/c)$$

कहाँ $s_{+}$ और $s_{-}$ चल रही तरंगों के विस्थापन आयाम हैं $+c$ और $-c$ दिशा।

जब वे तरंग समस्या तैयार की जाती है, तो तरंग प्रसार दिशा को सामान्य समाधान में दो शब्दों में से को रखकर (मैन्युअल रूप से) चुना जाना होता है।

समीकरण के बाईं ओर संकारक को गुणनखंडित करने से वे तरंग समीकरणों का युग्म प्राप्त होता है, समाधान के साथ जो आगे की ओर फैलता है और दूसरा समाधानों के साथ जो पीछे की ओर फैलता है।

$$\left({\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-c^{2}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\right)s=\left({\partial \over \partial t}-c{\partial \over \partial x}\right)\left({\partial \over \partial t}+c{\partial \over \partial x}\right)s=0,$$

आगे और पीछे की ओर यात्रा करने वाली तरंगों का वर्णन क्रमशः किया गया है,

$${\begin{aligned}&{{\frac {\partial s}{\partial t}}-c{\frac {\partial s}{\partial x}}=0}\\[6pt]&{{\frac {\partial s}{\partial t}}+c{\frac {\partial s}{\partial x}}=0}\end{aligned}}$$

वे तरंग समीकरण भी भौतिक रूप से सीधे विशिष्ट ध्वनिक प्रतिबाधा से प्राप्त किए जा सकते हैं।

अनुदैर्ध्य समतल तरंग में, विशिष्ट प्रतिबाधा दबाव के स्थानीय आनुपातिकता को निर्धारित करती है $p=p(x,t)$ और कण वेग $v=v(x,t)$:

$${\frac {p}{v}}=\rho c,$$

साथ $\rho$ = घनत्व।

प्रतिबाधा समीकरण के रूपांतरण की ओर जाता है:

$$v-{\frac {1}{\rho c}}p=0$$

(⁎)

कोणीय आवृत्ति की अनुदैर्ध्य समतल तरंग $\omega$ विस्थापन है $s=s(x,t)$.

दबाव $p$ और कण वेग $v$ विस्थापन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $s$ ($E$: लोचदार मापांक):

$$p:=E{\partial s \over \partial x}$$

1D स्थिति के लिए यह तनाव (यांत्रिकी) के पूर्ण सादृश्य में है $\sigma$ यांत्रिकी में: $\sigma =E\varepsilon$विरूपण (यांत्रिकी) के रूप में परिभाषित किया जा रहा है $\varepsilon ={\frac {\Delta L}{L}}$

$$v={\partial s \over \partial t}$$

उपरोक्त समीकरण में इन संबंधों को सम्मिलित किया गया (⁎) उपज:

$${\partial s \over \partial t}-{E \over \rho c}{\partial s \over \partial x}=0$$

स्थानीय तरंग वेग परिभाषा (ध्वनि) के साथ:

$$c={\sqrt {E(x) \over \rho (x)}}\Leftrightarrow c={E \over \rho c}$$

सीधे (!) वे तरंग समीकरण के प्रथम-क्रम आंशिक भिन्नता समीकरण का अनुसरण करता है:

$${{\frac {\partial s}{\partial t}}-c{\frac {\partial s}{\partial x}}=0}$$

तरंग वेग $c$ इस तरंग समीकरण के भीतर सेट किया जा सकता है $+c$ या $-c$ तरंग प्रसार की दिशा के अनुसार।

की दिशा में तरंग प्रसार के लिए $+c$ अनूठा उपाय है

$$s(x,t)=s_{+}(t-x/c)$$

और में तरंग प्रसार के लिए $-c$ दिशा संबंधित समाधान है

$$s(x,t)=s_{-}(t+x/c)$$

गोलाकार वन-वे तरंग समीकरण उपस्थित है जो गोलाकार निर्देशांक में मोनोपोल ध्वनि स्रोत के तरंग प्रसार का वर्णन करता है, अर्थात, रेडियल दिशा में करता है। रेडियल की ऑपरेटर के संशोधन से गोलाकार विचलन और लाप्लास ऑपरेटरों के मध्य असंगति हल हो जाती है और परिणामी समाधान बेसेल समारोह नहीं दिखाता है (पारंपरिक दो-तरफा दृष्टिकोण के ज्ञात समाधान के विपरीत)।

त्रि-आयामी स्थिति

त्रि-आयामी स्थिति में वन-वे समीकरण और समाधान को दूसरे क्रम के भिन्नता समीकरण के गणितीय अपघटन (गुणनखंड) आयामी स्थिति के समान माना गया था। वास्तव में, 3डी वन-वे वेव समीकरण पूर्व सिद्धांतों से प्राप्त किया जा सकता है: ए) प्रतिबाधा प्रमेय से व्युत्पत्ति और बी) क्षेत्र बिंदु में तन्य आवेग प्रवाह संतुलन से व्युत्पत्ति करता है।

अमानवीय मीडिया

स्थान-निर्भर लोच मॉड्यूल के साथ अमानवीय मीडिया के लिए $E(x)$, घनत्व $\rho (x)$ और तरंग वेग $c(x)$ वन-वे तरंग समीकरण का विश्लेषणात्मक समाधान आधुनिक क्षेत्र चर के परिचय द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।

यांत्रिक और विद्युत चुम्बकीय तरंगें

पीडीई गुणनखंडन की विधि को अन्य 2 या 4 क्रम तरंग समीकरणों में भी स्थानांतरित किया जा सकता है, उदा। अनुप्रस्थ, और स्ट्रिंग, मोएन्स/कोर्टवेग, बेंडिंग, और विद्युत चुम्बकीय तरंग समीकरण और विद्युत चुम्बकीय तरंगें है।

यह भी देखें

• तरंग समीकरण
• खड़ी लहर