यूक्लिडियन संबंध: Difference between revisions

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गणित में '''यूक्लिडियन संबंध''' द्विआधारी संबंधों का एक वर्ग है जो यूक्लिड के अवयवों में "स्वयंसिद्ध 1" को औपचारिक रूप देता है, कि वे परिमाण में समान और एक दूसरे के बराबर हैं।"
गणित में '''यूक्लिडियन संबंध,''' बाइनरी संबंधों का एक वर्ग है जो यूक्लिड के संख्याओ में "स्वत: सिद्ध 1" को निष्चित रूप देता है, कि वे परिमाण में समान और एक दूसरे के बराबर हैं।"


== परिभाषा ==
== परिभाषा ==
[[File:Euclidean.PNG|thumb|170px|Right यूक्लिडियन संपत्ति: ठोस और धराशायी तीर क्रमशः पूर्ववर्ती और परिणाम दर्शाते हैं।]]एक समुच्चय X पर एक द्विआधारी संबंध R यूक्लिडियन है (कभी-कभी राईट यूक्लिडियन भी कहा जाता है) यदि यह निम्नलिखित को संतुष्ट करता है की X में प्रत्येक a, b, c के लिए, यदि a, b और c से संबंधित है और b, c से संबंधित है।<ref name="fagin">{{citation|title=Reasoning About Knowledge|first=Ronald|last=Fagin|authorlink=Ronald Fagin|publisher=MIT Press|year=2003|isbn=978-0-262-56200-3|page=60|url=https://books.google.com/books?id=xHmlRamoszMC&pg=PA60}}.</ref> तो इसे [[विधेय तर्क|संकेत तर्क]] में लिखने के लिए:
[[File:Euclidean.PNG|thumb|170px|राईट यूक्लिडियन गुण: ठोस और असतत रेखा क्रमशः पूर्ववर्ती और परिणाम दर्शाते हैं।]]एक समुच्चय X पर एक बाइनरी संबंध R यूक्लिडियन है (कभी-कभी राईट यूक्लिडियन भी कहा जाता है) यदि यह निम्नलिखित को संतुष्ट करता है की X में प्रत्येक a, b, c के लिए, यदि a, b और c से संबंधित है और b, c से संबंधित है।<ref name="fagin">{{citation|title=Reasoning About Knowledge|first=Ronald|last=Fagin|authorlink=Ronald Fagin|publisher=MIT Press|year=2003|isbn=978-0-262-56200-3|page=60|url=https://books.google.com/books?id=xHmlRamoszMC&pg=PA60}}.</ref> तो इसे [[विधेय तर्क|संकेत तर्क]] के रूप में लिखने पर:


:<math>\forall a, b, c\in X\,(a\,R\, b \land a \,R\, c \to b \,R\, c).</math>
:<math>\forall a, b, c\in X\,(a\,R\, b \land a \,R\, c \to b \,R\, c).</math>
दोहरे रूप से X पर एक संबंध R, लेफ्ट यूक्लिडियन है यदि X में प्रत्येक a, b, c के लिए, यदि b, a से संबंधित है और c, a से संबंधित है, तो b, c से संबंधित होगा :
दुसरे तरह यदि X पर एक संबंध R, लेफ्ट यूक्लिडियन है, और X में प्रत्येक a, b, c के लिए, यदि b, a से संबंधित है और c, a से संबंधित है, तो b, c से संबंधित होगा :


:<math>\forall a, b, c\in X\,(b\,R\, a \land c \,R\, a \to b \,R\, c).</math>
:<math>\forall a, b, c\in X\,(b\,R\, a \land c \,R\, a \to b \,R\, c).</math>
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== गुण ==
== गुण ==
[[File:Right Euclidean relation scheme svg.svg|300px|thumb|संपत्ति 10 के अनुसार योजनाबद्ध सही यूक्लिडियन संबंध। गहरे रंग के वर्ग आर के समतुल्य वर्गों का संकेत देते हैं{{prime}}. हल्के रंग के आयत X\ran(R) में तत्वों के संभावित संबंधों का संकेत देते हैं। इन आयतों में संबंध हो भी सकते हैं और नहीं भी।]]परिभाषा के पूर्ववर्ती में ∧ क्रमविनिमेयता के कारण, aRb ∧ aRc का तात्पर्य bRc ∧ cRb से भी है, जब R राइट यूक्लिडियन है। इसी प्रकार, bRa ∧ cRa का तात्पर्य bRc ∧ cRb से है, जब R एक लेफ्ट यूक्लिडियन है।
[[File:Right Euclidean relation scheme svg.svg|300px|thumb|संपत्ति 10 के अनुसार योजनाबद्ध सही यूक्लिडियन संबंध। गहरे रंग के वर्ग आर के समतुल्य वर्गों का संकेत देते हैं{{prime}}. हल्के रंग के आयत X\ran(R) में तत्वों के संभावित संबंधों का संकेत देते हैं। इन आयतों में संबंध हो भी सकते हैं और नहीं भी।]]परिभाषा के पूर्व पद में ∧ क्रमविनिमेयता के कारण aRb ∧ aRc का तात्पर्य bRc ∧ cRb से भी है, जब R राइट यूक्लिडियन है, इसी प्रकार bRa ∧ cRa का तात्पर्य bRc ∧ cRb से है, जब R एक लेफ्ट यूक्लिडियन है।
# यूक्लिडियन होने का गुण [[सकर्मक संबंध]] से भिन्न है। उदाहरण के लिए, ≤ सकर्मक है, लेकिन राइट यूक्लिडियन नहीं है,<ref>e.g. 0 ≤ 2 and 0 ≤ 1, but not 2 ≤ 1</ref> जबकि xRy 0 ≤ x ≤ y + 1 ≤ 2 द्वारा परिभाषित संक्रामक नहीं है,<ref>e.g. 2''R''1 and 1''R''0, but not 2''R''0</ref> लेकिन [[प्राकृतिक संख्या]] पर राइट यूक्लिडियन है।
# यूक्लिडियन होने का गुण [[सकर्मक संबंध]] से भिन्न होता है। उदाहरण के लिए '≤' सकर्मक है, लेकिन राइट यूक्लिडियन नहीं है,<ref>e.g. 0 ≤ 2 and 0 ≤ 1, but not 2 ≤ 1</ref> जबकि xRy 0 ≤ x ≤ y + 1 ≤ 2 द्वारा परिभाषित संक्रामक नहीं है,<ref>e.g. 2''R''1 and 1''R''0, but not 2''R''0</ref> लेकिन [[प्राकृतिक संख्या|प्राकृतिक संख्याओ]] पर राइट यूक्लिडियन है।
# [[सममित संबंध|सममित संबंधों]] के लिए सकर्मकता राइट यूक्लिडियन और लेफ्ट यूक्लिडियन सभी के सामान होता हैं। हालाँकि एक गैर-सममित संबंध भी सकर्मक और राइट यूक्लिडियन दोनों हो सकता है, उदाहरण के लिए, xRy को y=0 द्वारा परिभाषित किया गया है।
# [[सममित संबंध|सममित संबंधों]] के लिए सकर्मकता, राइट यूक्लिडियन और लेफ्ट यूक्लिडियन सभी के सामान होता हैं। जबकि एक असममित संबंध भी सकर्मक और राइट यूक्लिडियन दोनों हो सकता है, उदाहरण के लिए, xRy को y=0 द्वारा परिभाषित किया गया है।
# एक संबंध जो राइट यूक्लिडियन, स्वतुल्य संबंध और सममित भी है, तो वह [[तुल्यता संबंध|तुल्य संबंध]] भी होगा।<ref name="fagin"/><ref>''xRy'' and ''xRx'' implies ''yRx''.</ref> इसी प्रकार से प्रत्येक लेफ्ट यूक्लिडियन और स्वतुल्य संबंध के बीच एक समानता होती है।
# एक संबंध जो राइट यूक्लिडियन, स्वतुल्य संबंध और सममित तीनो है, तो वह [[तुल्यता संबंध|तुल्य संबंध]] भी होगा।<ref name="fagin"/><ref>''xRy'' and ''xRx'' implies ''yRx''.</ref> इसी प्रकार से प्रत्येक लेफ्ट यूक्लिडियन और स्वतुल्य संबंध के बीच एक समानता होती है।
# एक राइट यूक्लिडियन संबंध की परिसर हमेशा इसके डोमेन का एक उपसमुच्चय होती है।<ref>Equality of domain and range isn't necessary: the relation ''xRy'' defined by ''y''=min{''x'',2} is right Euclidean on the natural numbers, and its range, {0,1,2}, is a proper subset of its domain of the natural numbers.</ref> अपनी सीमा के संबंध में सही यूक्लिडियन संबंध का प्रतिबंध हमेशा स्वतुल्य संबंध होता है, और इसलिए एक समानता भी होता है।<ref>If ''y'' is in the range of ''R'', then ''xRy'' ∧ ''xRy'' implies ''yRy'', for some suitable ''x''. This also proves that ''y'' is in the domain of ''R''.</ref> इसी तरह एक बाएं यूक्लिडियन संबंध का डोमेन इसकी सीमा का एक उपसमुच्चय है, और एक बाएं यूक्लिडियन संबंध का इसके डोमेन के लिए प्रतिबंध के बीच एक समानता है।
# एक राइट यूक्लिडियन संबंध का परिसर इसके डोमेन के उपसमुच्चय होता है।<ref>Equality of domain and range isn't necessary: the relation ''xRy'' defined by ''y''=min{''x'',2} is right Euclidean on the natural numbers, and its range, {0,1,2}, is a proper subset of its domain of the natural numbers.</ref> अपनी परिसर के संबंध में राईट यूक्लिडियन का प्रतिबंध, स्वतुल्य संबंध होता है, और इसलिए इनमे एक समानता भी होता है।<ref>If ''y'' is in the range of ''R'', then ''xRy'' ∧ ''xRy'' implies ''yRy'', for some suitable ''x''. This also proves that ''y'' is in the domain of ''R''.</ref> इसी तरह एक लेफ्ट यूक्लिडियन संबंध का डोमेन इसकी परिसर के उपसमुच्चय होता है, और एक लेफ्ट यूक्लिडियन संबंध का इसके डोमेन के लिए प्रतिबंध के बीच एक समानता होती है।
# एक संबंध R लेफ्ट और राईट दोनों यूक्लिडियन है, यदि R का डोमेन और श्रेणी आपस में बराबर हैं तो R के उस समुच्चय पर एक तुल्यता संबंध होगा |<ref>The ''only if'' direction follows from the previous paragraph. &mdash; For the ''if'' direction, assume ''aRb'' and ''aRc'', then ''a'',''b'',''c'' are members of the domain and range of ''R'', hence ''bRc'' by symmetry and transitivity; left Euclideanness of ''R'' follows similarly.</ref>
# एक संबंध R लेफ्ट और राईट दोनों यूक्लिडियन है, यदि R का डोमेन और श्रेणी आपस में बराबर हैं तो R के उस समुच्चय के बीच तुल्यता संबंध होगा |<ref>The ''only if'' direction follows from the previous paragraph. &mdash; For the ''if'' direction, assume ''aRb'' and ''aRc'', then ''a'',''b'',''c'' are members of the domain and range of ''R'', hence ''bRc'' by symmetry and transitivity; left Euclideanness of ''R'' follows similarly.</ref>
# एक दायां यूक्लिडियन संबंध हमेशा अकर्मक होता है<ref>If ''xRy'' ∧ ¬''yRx'' ∧ ''yRz'' ∧ ¬''zRy'' holds, then both ''y'' and ''z'' are in the range of ''R''. Since ''R'' is an equivalence on that set, ''yRz'' implies ''zRy''. Hence the antecedent of the quasi-transitivity definition formula cannot be satisfied.</ref> जैसा कि एक बाएं यूक्लिडियन संबंध होता है।<ref>A similar argument applies, observing that ''x'',''y'' are in the domain of ''R''.</ref>
# एक राईट यूक्लिडियन संबंध हमेशा लेफ्ट यूक्लिडियन संबंध की तरह अकर्मक होता है |<ref>If ''xRy'' ∧ ¬''yRx'' ∧ ''yRz'' ∧ ¬''zRy'' holds, then both ''y'' and ''z'' are in the range of ''R''. Since ''R'' is an equivalence on that set, ''yRz'' implies ''zRy''. Hence the antecedent of the quasi-transitivity definition formula cannot be satisfied.</ref> <ref>A similar argument applies, observing that ''x'',''y'' are in the domain of ''R''.</ref>
# एक जुड़ा हुआ राईट यूक्लिडियन संबंध हमेशा सकर्मक होता है;<ref>If ''xRy'' ∧ ''yRz'' holds, then ''y'' and ''z'' are in the range of ''R''. Since ''R'' is connected, ''xRz'' or ''zRx'' or ''x''=''z'' holds. In case 1, nothing remains to be shown. In cases 2 and 3, also ''x'' is in the range. Hence, ''xRz'' follows from the symmetry and reflexivity of ''R'' on its range, respectively.</ref> और ऐसा ही एक जुड़ा हुआ लेफ्ट यूक्लिडियन संबंध भी होता है|<ref>Similar, using that ''x'', ''y'' are in the domain of ''R''.</ref>
# एक संबंधित राईट यूक्लिडियन संबंध हमेशा सकर्मक होता है;<ref>If ''xRy'' ∧ ''yRz'' holds, then ''y'' and ''z'' are in the range of ''R''. Since ''R'' is connected, ''xRz'' or ''zRx'' or ''x''=''z'' holds. In case 1, nothing remains to be shown. In cases 2 and 3, also ''x'' is in the range. Hence, ''xRz'' follows from the symmetry and reflexivity of ''R'' on its range, respectively.</ref> और ऐसा ही एक संबंधित लेफ्ट यूक्लिडियन संबंध भी सकर्मक होता है|<ref>Similar, using that ''x'', ''y'' are in the domain of ''R''.</ref>
# यदि X में कम से कम 3 संख्या हैं, तो X पर एक जुड़ा हुआ राईट यूक्लिडियन संबंध R प्रतिसममित संबंध नहीं हो सकता है,<ref>Since ''R'' is connected, at least two distinct elements ''x'',''y'' are in its [[Image (mathematics)#Generalization to binary relations|range]], and ''xRy'' ∨ ''yRx'' holds. Since ''R'' is symmetric on its range, even ''xRy'' ∧ ''yRx'' holds. This contradicts the antisymmetry property.</ref> और न ही X पर लेफ्ट यूक्लिडियन संबंध को जोड़ा जा सकता है।<ref>By a similar argument, using the domain of ''R''.</ref> दो संख्याये समुच्चय X = {0, 1} में हैं, यदि उदा. संबंध xRy, y=1 द्वारा परिभाषित है, तो यह राईट यूक्लिडियन और असममित होगा | और यदि  x=1 द्वारा परिभाषित xRy है, तो यह लेफ्ट यूक्लिडियन और असममित होगा ।
# यदि X में कम से कम 3 संख्याये है, तो X से सम्बंधित राईट यूक्लिडियन संबंध R, प्रतिसममित संबंध नहीं हो सकता है,<ref>Since ''R'' is connected, at least two distinct elements ''x'',''y'' are in its [[Image (mathematics)#Generalization to binary relations|range]], and ''xRy'' ∨ ''yRx'' holds. Since ''R'' is symmetric on its range, even ''xRy'' ∧ ''yRx'' holds. This contradicts the antisymmetry property.</ref> और न ही X पर लेफ्ट यूक्लिडियन संबंध को जोड़ा जा सकता है।<ref>By a similar argument, using the domain of ''R''.</ref> दो संख्याये समुच्चय X = {0, 1} में हैं, यदि उदा. संबंध xRy, y=1 द्वारा परिभाषित है, तो यह राईट यूक्लिडियन और असममित होगा | और यदि  x=1 द्वारा परिभाषित xRy है, तो यह लेफ्ट यूक्लिडियन और असममित होगा ।
# एक समुच्चय X पर एक संबंध R राईट यूक्लिडियन है, यदि प्रतिबंध R{{prime}} := R{{!}}<sub>ran(''R'')</sub> में एक समानता है और X\ran(R) में प्रत्येक x के लिए, वे सभी संख्या जिनसे x, R के साथ संबंधित है,वे R के अंतर्गत समतुल्य होंगे{{prime}}.<ref>''Only if:'' ''R{{prime}}'' is an equivalence as shown above. If ''x''∈''X''\ran(''R'') and ''xR{{prime}}y''<sub>1</sub> and ''xR{{prime}}y''<sub>2</sub>, then ''y''<sub>1</sub>''Ry''<sub>2</sub> by right Euclideaness, hence ''y''<sub>1</sub>''R{{prime}}y''<sub>2</sub>. &mdash; ''If'': if ''xRy'' ∧ ''xRz'' holds, then ''y'',''z''∈ran(''R''). In case also ''x''∈ran(''R''), even ''xR{{prime}}y'' ∧ ''xR{{prime}}z'' holds, hence ''yR{{prime}}z'' by symmetry and transitivity of ''R{{prime}}'', hence ''yRz''. In case ''x''∈''X''\ran(''R''), the elements ''y'' and ''z'' must be equivalent under ''R{{prime}}'' by assumption, hence also ''yRz''.</ref> इसी प्रकार X पर R के यूक्लिडियन हटा दिया जाता है, यदि  R{{prime}} := R{{!}}<sub>dom(''R'')</sub> एक समानता है और x\dom (R) में प्रत्येक x के लिए, R के तहत X से संबंधित सभी संख्या R के तहत समकक्ष होगा{{prime}}.
# एक समुच्चय X पर एक संबंध R राईट यूक्लिडियन है, यदि प्रतिबंध R{{prime}} := R{{!}}<sub>ran(''R'')</sub> के बीच एक समानता है, और X\ran(R) में प्रत्येक x के लिए वे सभी संख्या जिनसे x, R के साथ संबंधित है,वे सभी R के अंतर्गत समतुल्य होंगे{{prime}}.<ref>''Only if:'' ''R{{prime}}'' is an equivalence as shown above. If ''x''∈''X''\ran(''R'') and ''xR{{prime}}y''<sub>1</sub> and ''xR{{prime}}y''<sub>2</sub>, then ''y''<sub>1</sub>''Ry''<sub>2</sub> by right Euclideaness, hence ''y''<sub>1</sub>''R{{prime}}y''<sub>2</sub>. &mdash; ''If'': if ''xRy'' ∧ ''xRz'' holds, then ''y'',''z''∈ran(''R''). In case also ''x''∈ran(''R''), even ''xR{{prime}}y'' ∧ ''xR{{prime}}z'' holds, hence ''yR{{prime}}z'' by symmetry and transitivity of ''R{{prime}}'', hence ''yRz''. In case ''x''∈''X''\ran(''R''), the elements ''y'' and ''z'' must be equivalent under ''R{{prime}}'' by assumption, hence also ''yRz''.</ref> इसी प्रकार X पर R लेफ्ट यूक्लिडियन है,तो R′ := R|dom(R) के बीच एक तुल्यता है और X\dom(R) में प्रत्येक x के लिए, R के अंतर्गत x से संबंधित सभी संख्या R′ के तुल्य हैं।
# एक लेफ्ट यूक्लिडियन संबंध, लेफ्ट -अद्वितीय संबंध है और यह प्रतिसममित संबंध भी है। इसी तरह एक राईट यूक्लिडियन संबंध, राईट अद्वितीय है और यह असममित भी है।
# एक लेफ्ट यूक्लिडियन संबंध, लेफ्ट -अद्वितीय संबंध और साथ ही प्रतिसममित संबंध भी होते है। इसी तरह एक राईट यूक्लिडियन संबंध, राईट अद्वितीय और यह असममित सम्बन्ध भी होते है।
# बायाँ यूक्लिडियन और बायाँ अद्वितीय संबंध रिक्त रूप से सकर्मक है, और ऐसा ही एक दायाँ यूक्लिडियन और दायाँ अद्वितीय संबंध भी रिक्त रूप से सकर्मक हैं |
# लेफ्ट यूक्लिडियन और लेफ्ट अद्वितीय संबंध रिक्त रूप से सकर्मक होते है, और ऐसा ही एक राईट यूक्लिडियन और राईट अद्वितीय संबंध भी रिक्त रूप से सकर्मक होते हैं |
# एक लेफ्ट यूक्लिडियन संबंध अर्ध-प्रतिवर्ती होता है। लेफ्ट -अद्वितीय संबंधों के लिए, विलोम भी धारण करता है। द्वैत रूप से, प्रत्येक राईट यूक्लिडियन संबंध राईट अर्ध-स्वतुल्य है, और प्रत्येक राईट अद्वितीय और राईट अर्ध-स्वतुल्य संबंध राईट यूक्लिडियन है।<ref> {{cite report | arxiv=1806.05036v2 | author=Jochen Burghardt | title=Simple Laws about Nonprominent Properties of Binary Relations | type=Technical Report | date=Nov 2018 }} Lemma 44-46.</ref>
# एक लेफ्ट यूक्लिडियन संबंध लगभग प्रतिवर्ती होता है। लेफ्ट-अद्वितीय संबंधों के लिय यह बिपरीत होता है,और प्रत्येक राईट यूक्लिडियन संबंध राईट और लगभग स्वतुल्य है, और प्रत्येक राईट अद्वितीय और राईट अर्ध-स्वतुल्य संबंध राईट यूक्लिडियन है।<ref> {{cite report | arxiv=1806.05036v2 | author=Jochen Burghardt | title=Simple Laws about Nonprominent Properties of Binary Relations | type=Technical Report | date=Nov 2018 }} Lemma 44-46.</ref>




==संदर्भ==
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Latest revision as of 17:28, 16 May 2023

गणित में यूक्लिडियन संबंध, बाइनरी संबंधों का एक वर्ग है जो यूक्लिड के संख्याओ में "स्वत: सिद्ध 1" को निष्चित रूप देता है, कि वे परिमाण में समान और एक दूसरे के बराबर हैं।"

परिभाषा

राईट यूक्लिडियन गुण: ठोस और असतत रेखा क्रमशः पूर्ववर्ती और परिणाम दर्शाते हैं।

एक समुच्चय X पर एक बाइनरी संबंध R यूक्लिडियन है (कभी-कभी राईट यूक्लिडियन भी कहा जाता है) यदि यह निम्नलिखित को संतुष्ट करता है की X में प्रत्येक a, b, c के लिए, यदि a, b और c से संबंधित है और b, c से संबंधित है।[1] तो इसे संकेत तर्क के रूप में लिखने पर:

दुसरे तरह यदि X पर एक संबंध R, लेफ्ट यूक्लिडियन है, और X में प्रत्येक a, b, c के लिए, यदि b, a से संबंधित है और c, a से संबंधित है, तो b, c से संबंधित होगा :


गुण

संपत्ति 10 के अनुसार योजनाबद्ध सही यूक्लिडियन संबंध। गहरे रंग के वर्ग आर के समतुल्य वर्गों का संकेत देते हैं′. हल्के रंग के आयत X\ran(R) में तत्वों के संभावित संबंधों का संकेत देते हैं। इन आयतों में संबंध हो भी सकते हैं और नहीं भी।

परिभाषा के पूर्व पद में ∧ क्रमविनिमेयता के कारण aRb ∧ aRc का तात्पर्य bRc ∧ cRb से भी है, जब R राइट यूक्लिडियन है, इसी प्रकार bRa ∧ cRa का तात्पर्य bRc ∧ cRb से है, जब R एक लेफ्ट यूक्लिडियन है।

  1. यूक्लिडियन होने का गुण सकर्मक संबंध से भिन्न होता है। उदाहरण के लिए '≤' सकर्मक है, लेकिन राइट यूक्लिडियन नहीं है,[2] जबकि xRy 0 ≤ x ≤ y + 1 ≤ 2 द्वारा परिभाषित संक्रामक नहीं है,[3] लेकिन प्राकृतिक संख्याओ पर राइट यूक्लिडियन है।
  2. सममित संबंधों के लिए सकर्मकता, राइट यूक्लिडियन और लेफ्ट यूक्लिडियन सभी के सामान होता हैं। जबकि एक असममित संबंध भी सकर्मक और राइट यूक्लिडियन दोनों हो सकता है, उदाहरण के लिए, xRy को y=0 द्वारा परिभाषित किया गया है।
  3. एक संबंध जो राइट यूक्लिडियन, स्वतुल्य संबंध और सममित तीनो है, तो वह तुल्य संबंध भी होगा।[1][4] इसी प्रकार से प्रत्येक लेफ्ट यूक्लिडियन और स्वतुल्य संबंध के बीच एक समानता होती है।
  4. एक राइट यूक्लिडियन संबंध का परिसर इसके डोमेन के उपसमुच्चय होता है।[5] अपनी परिसर के संबंध में राईट यूक्लिडियन का प्रतिबंध, स्वतुल्य संबंध होता है, और इसलिए इनमे एक समानता भी होता है।[6] इसी तरह एक लेफ्ट यूक्लिडियन संबंध का डोमेन इसकी परिसर के उपसमुच्चय होता है, और एक लेफ्ट यूक्लिडियन संबंध का इसके डोमेन के लिए प्रतिबंध के बीच एक समानता होती है।
  5. एक संबंध R लेफ्ट और राईट दोनों यूक्लिडियन है, यदि R का डोमेन और श्रेणी आपस में बराबर हैं तो R के उस समुच्चय के बीच तुल्यता संबंध होगा |[7]
  6. एक राईट यूक्लिडियन संबंध हमेशा लेफ्ट यूक्लिडियन संबंध की तरह अकर्मक होता है |[8] [9]
  7. एक संबंधित राईट यूक्लिडियन संबंध हमेशा सकर्मक होता है;[10] और ऐसा ही एक संबंधित लेफ्ट यूक्लिडियन संबंध भी सकर्मक होता है|[11]
  8. यदि X में कम से कम 3 संख्याये है, तो X से सम्बंधित राईट यूक्लिडियन संबंध R, प्रतिसममित संबंध नहीं हो सकता है,[12] और न ही X पर लेफ्ट यूक्लिडियन संबंध को जोड़ा जा सकता है।[13] दो संख्याये समुच्चय X = {0, 1} में हैं, यदि उदा. संबंध xRy, y=1 द्वारा परिभाषित है, तो यह राईट यूक्लिडियन और असममित होगा | और यदि x=1 द्वारा परिभाषित xRy है, तो यह लेफ्ट यूक्लिडियन और असममित होगा ।
  9. एक समुच्चय X पर एक संबंध R राईट यूक्लिडियन है, यदि प्रतिबंध R′ := R|ran(R) के बीच एक समानता है, और X\ran(R) में प्रत्येक x के लिए वे सभी संख्या जिनसे x, R के साथ संबंधित है,वे सभी R के अंतर्गत समतुल्य होंगे′.[14] इसी प्रकार X पर R लेफ्ट यूक्लिडियन है,तो R′ := R|dom(R) के बीच एक तुल्यता है और X\dom(R) में प्रत्येक x के लिए, R के अंतर्गत x से संबंधित सभी संख्या R′ के तुल्य हैं।
  10. एक लेफ्ट यूक्लिडियन संबंध, लेफ्ट -अद्वितीय संबंध और साथ ही प्रतिसममित संबंध भी होते है। इसी तरह एक राईट यूक्लिडियन संबंध, राईट अद्वितीय और यह असममित सम्बन्ध भी होते है।
  11. लेफ्ट यूक्लिडियन और लेफ्ट अद्वितीय संबंध रिक्त रूप से सकर्मक होते है, और ऐसा ही एक राईट यूक्लिडियन और राईट अद्वितीय संबंध भी रिक्त रूप से सकर्मक होते हैं |
  12. एक लेफ्ट यूक्लिडियन संबंध लगभग प्रतिवर्ती होता है। लेफ्ट-अद्वितीय संबंधों के लिय यह बिपरीत होता है,और प्रत्येक राईट यूक्लिडियन संबंध राईट और लगभग स्वतुल्य है, और प्रत्येक राईट अद्वितीय और राईट अर्ध-स्वतुल्य संबंध राईट यूक्लिडियन है।[15]


संदर्भ

  1. ↑ 1.0 1.1 Fagin, Ronald (2003), Reasoning About Knowledge, MIT Press, p. 60, ISBN 978-0-262-56200-3.
  2. ↑ e.g. 0 ≤ 2 and 0 ≤ 1, but not 2 ≤ 1
  3. ↑ e.g. 2R1 and 1R0, but not 2R0
  4. ↑ xRy and xRx implies yRx.
  5. ↑ Equality of domain and range isn't necessary: the relation xRy defined by y=min{x,2} is right Euclidean on the natural numbers, and its range, {0,1,2}, is a proper subset of its domain of the natural numbers.
  6. ↑ If y is in the range of R, then xRy ∧ xRy implies yRy, for some suitable x. This also proves that y is in the domain of R.
  7. ↑ The only if direction follows from the previous paragraph. — For the if direction, assume aRb and aRc, then a,b,c are members of the domain and range of R, hence bRc by symmetry and transitivity; left Euclideanness of R follows similarly.
  8. ↑ If xRy ∧ ¬yRx ∧ yRz ∧ ¬zRy holds, then both y and z are in the range of R. Since R is an equivalence on that set, yRz implies zRy. Hence the antecedent of the quasi-transitivity definition formula cannot be satisfied.
  9. ↑ A similar argument applies, observing that x,y are in the domain of R.
  10. ↑ If xRy ∧ yRz holds, then y and z are in the range of R. Since R is connected, xRz or zRx or x=z holds. In case 1, nothing remains to be shown. In cases 2 and 3, also x is in the range. Hence, xRz follows from the symmetry and reflexivity of R on its range, respectively.
  11. ↑ Similar, using that x, y are in the domain of R.
  12. ↑ Since R is connected, at least two distinct elements x,y are in its range, and xRy ∨ yRx holds. Since R is symmetric on its range, even xRy ∧ yRx holds. This contradicts the antisymmetry property.
  13. ↑ By a similar argument, using the domain of R.
  14. ↑ Only if: R′ is an equivalence as shown above. If x∈X\ran(R) and xR′y1 and xR′y2, then y1Ry2 by right Euclideaness, hence y1R′y2. — If: if xRy ∧ xRz holds, then y,z∈ran(R). In case also x∈ran(R), even xR′y ∧ xR′z holds, hence yR′z by symmetry and transitivity of R′, hence yRz. In case x∈X\ran(R), the elements y and z must be equivalent under R′ by assumption, hence also yRz.
  15. ↑ Jochen Burghardt (Nov 2018). Simple Laws about Nonprominent Properties of Binary Relations (Technical Report). arXiv:1806.05036v2. Lemma 44-46.
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