औसत प्रवास समय

किसी प्रणाली में किसी वस्तु के लिए औसत प्रवास समय (या कभी-कभी औसत प्रतीक्षा समय) वह समय होता है जो किसी वस्तु से प्रणाली को अच्छे के लिए छोड़ने से पहले प्रणाली में खर्च करने की उम्मीद की जाती है।

गणना

कल्पना कीजिए कि आप विपरीत दिशा में पर टिकट खरीदने के लिए लाइन में खड़े हैं। यदि आप, एक मिनट के बाद, अपने पीछे मौजूद ग्राहकों की संख्या का निरीक्षण करते हैं, तो इसे प्रति ईकाई समय (यहां, मिनट) प्रणाली में प्रवेश करने वाले ग्राहकों की संख्या (यहां, प्रतीक्षा लाइन) के (मोटे) अनुमान के रूप में देखा जा सकता है। यदि आप तब ग्राहकों के इस "प्रवाह" के साथ अपने सामने ग्राहकों की संख्या को विभाजित करते हैं, तो आपने बस प्रतीक्षा समय का अनुमान लगाया है जिसकी आपको उम्मीद करनी चाहिए; अर्थात् विपरीत दिशा तक पहुंचने में आपको कितना समय लगेगा, और वास्तव में यह एक मोटा अनुमान है। इसे औपचारिक रूप देने के लिए कुछ सीमा तक प्रतीक्षा रेखा को एक प्रणाली S के रूप में माना जाता है जिसमें कणों (ग्राहकों) का प्रवाह होता है और जहां प्रक्रिया "टिकट खरीदें" का अर्थ है कि कण प्रणाली छोड़ देता है। जिस प्रतीक्षा समय पर हमने ऊपर विचार किया है, उसे सामान्यता पर पारगमन समय के रूप में संदर्भित किया जाता है, और जिस प्रमेय को हमने लागू किया है, उसे कभी-कभी छोटे का प्रमेय कहा जाता है, जिसे इस प्रकार तैयार किया जा सकता है: प्रणाली S में कणों की अपेक्षित स्थिर स्थिति संख्या औसत पारगमन समय के गुना S में कणों के प्रवाह के बराबर होती है। इसी तरह के प्रमेयों की खोज अन्य क्षेत्रों में की गई है, और शरीर विज्ञान में इसे पहले स्टीवर्ट-हैमिल्टन समीकरणों में से एक के रूप में जाना जाता था (उदाहरण के लिए अंगों के रक्त की मात्रा के अनुमान के लिए उपयोग किया जाता है)।

यह सिद्धांत (या, प्रमेय) सामान्यीकृत किया जा सकता है। इस प्रकार, यूक्लिडियन समष्टि में परिमित मात्रा के एक संवृतप्रांत के रूप में एक प्रणाली S पर विचार करें। और आइए हम उस स्थिति पर विचार करें जहां S (प्रति समय इकाई कणों की संख्या) में "समकक्ष" कणों की एक धारा होती है, जहां प्रत्येक कण S में रहते हुए अपनी पहचान बनाए रखता है और अंततः - एक सीमित समय के बाद - प्रणाली को अपरिवर्तनीय रूप से छोड़ देता है (अर्थात् इन कणों के लिए प्रणाली "खुला" है)। चित्र

File:Mean sojourn time.JPGएक एकल ऐसे कण के विचार गति इतिहास को दर्शाता है, जो इस प्रकार तीन बार उपप्रणाली के अंदर और बाहर जाता है, जिनमें से प्रत्येक के परिणामस्वरूप एक पारगमन समय होता है, अर्थात् प्रवेश और निकास के बीच उपप्रणाली में बिताया गया समय। इन पारगमन समयों का योग उस विशेष कण के लिए s के प्रवास का समय है। यदि कणों की गतियों को एक और एक ही प्रसंभाव्य प्रक्रिया की प्राप्ति के रूप में देखा जाता है, तो इस प्रवास समय के औसत मूल्य की बात करना सार्थक है। यही है, एक उपप्रणाली का औसत प्रवास समय वह कुल समय है जो एक कण को प्रणाली s को अच्छे के लिए छोड़ने से पहले उपप्रणाली में खर्च करने की उम्मीद है।

इस मात्रा के व्यावहारिक महत्व को देखने के लिए आइए हम भौतिकी के नियम के रूप में स्वीकार करें कि, यदि S में कणों की धारा स्थिर है और अन्य सभी प्रासंगिक कारकों को स्थिर रखा जाता है, तो एस अंततः स्थिर अवस्था तक पहुंच जाएगा (अर्थात् कणों की संख्या और वितरण S में हर जगह स्थिर है)। तब यह प्रदर्शित किया जा सकता है कि उपप्रणाली में कणों की स्थिर अवस्था संख्या प्रणाली S में कणों की धारा के बराबर होती है जो उपप्रणाली के औसत प्रवास समय से दोगुनी होती है। इस प्रकार यह ऊपर दिए गए प्रमेय का एक अधिक सामान्य रूप है, जिसे छोटे का प्रमेय के रूप में संदर्भित किया गया था, और इसे द्रव्यमान-समय तुल्यता कहा जा सकता है:

(s में अपेक्षित स्थिर स्थिति राशि) = (S में धारा) (s का औसत प्रवास समय)

जिसे कभी-कभी अधिभोग सिद्धांत कहा जाता है (जिसे यहां औसत प्रवास समय कहा जाता है, उसे तब अधिभोग के रूप में संदर्भित किया जाता है; संभवतः यह सब भाग्यशाली शब्द नहीं है, क्योंकि यह प्रणाली S में "स्थिति " की एक निश्चित संख्या की उपस्थिति का संकेत देता है)। इस द्रव्यमान-समय तुल्यता ने व्यक्तिगत अंगों के चयापचय के अध्ययन के लिए चिकित्सा में अनुप्रयोग पाया है।

फिर, हम यहां एक सामान्यीकरण से निपटते हैं कि लाइनिंग सिद्धांत में कभी-कभी छोटे का प्रमेय के रूप में संदर्भित किया जाता है, और यह महत्वपूर्ण है, केवल पूरे प्रणाली S पर लागू होता है (द्रव्यमान-समय समतुल्यता में मनमानी उपप्रणाली पर नहीं); छोटे का प्रमेय में औसत प्रवास समय को औसत पारगमन समय के रूप में व्याख्या किया जा सकता है।

जैसा कि ऊपर दिए गए आंकड़े की चर्चा से स्पष्ट होना चाहिए, दो मात्राओं के प्रवास समय और पारगमन समय के अर्थ के बीच एक मौलिक अंतर है: द्रव्यमान-समय तुल्यता की व्यापकता प्रवास समय की धारणा के विशेष अर्थ के कारण बहुत अधिक है। जब पूरी प्रणाली पर विचार किया जाता है (जैसा कि छोटे का प्रमेय में) तो क्या यह सच है कि प्रवास का समय हमेशा पारगमन समय के बराबर होता है।

यह भी देखें

• अभ्यतिप्रायसिद्धांत
• कतारबद्ध सिद्धांत
• माध्य मुक्त पथ

संदर्भ

• Bergner, DMP--A kinetics of macroscopic particles in open heterogeneous systems