आपतन आव्यूह: Difference between revisions

Latest revision as of 18:15, 16 May 2023

गणित में, आपतन आव्यूह एक तार्किक आव्यूह है जो वस्तुओं के दो वर्गों के बीच के संबंध को दर्शाता है, जिसे सामान्यतः आपतन (ज्यामिति) कहा जाता है। यदि पहली श्रेणी X है और दूसरी Y है, तो आव्यूह में X के प्रत्येक अवयव के लिए एक पंक्ति और Y के प्रत्येक अवयव के लिए एक पंक्ति स्तम्भ है। यदि 'x' और 'y संबंधित हैं तो पंक्ति 'x' और पंक्ति स्तम्भ 'y' में प्रविष्टि 1 है (इस संदर्भ में 'आपतन' कहा जाता है) अन्यथा प्रविष्टि 0 होने पर 'x' और 'y' एक दूसरे से संबंधित नहीं होंगे।

लेखाचित्र सिद्धांत

आपतन आव्यूह लेखाचित्र सिद्धांत में एक सामान्य लेखाचित्र प्रतिनिधित्व होता है। यह आसन्न आव्यूह से भिन्न है, जो शीर्षकोण बिंदु युग्मन के संबंध को कूटबद्ध करता है।

अप्रत्यक्ष और निर्देशित रेखांकन

एक अप्रत्यक्ष लेखाचित्र।

लेखाचित्र सिद्धांत में एक अप्रत्यक्ष लेखाचित्र में दो प्रकार के आपतन आव्यूह होते हैं: विन्यस्त और अभिविन्यस्त।

किसी एक अप्रत्यक्ष लेखाचित्र का अनियंत्रित आपतन आव्यूह (या केवल आपतन आव्यूह) एक $n\times m$ है, आव्यूह (गणित) B, जहां n और m क्रमशः शीर्षकोण बिंदु और कोर (लेखाचित्र सिद्धांत) की संख्याएं हैं, जैसे कि

B_{ij}=\left\{{\begin{array}{rl}\,1&{\text{if vertex }}v_{i}{\text{ is incident with edge }}e_{j},\\0&{\text{otherwise.}}\end{array}}\right.

उदाहरण के लिए, दाईं ओर दिखाए गए अप्रत्यक्ष लेखाचित्र का आपतन आव्यूह वह आव्यूह है जिसमें 4 पंक्तियाँ (चार कोने, 1-4 के अनुरूप) और 4 पंक्ति स्तम्भ (चार किनारों के अनुरूप, $e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}$ ) है:

	e₁	e₂	e₃	e₄
1	1	1	1	0
2	1	0	0	0
3	0	1	0	1
4	0	0	1	1

=

${\begin{bmatrix}1&1&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&1\\0&0&1&1\\\end{bmatrix}}.$

यदि हम आपतन आव्यूह को देखते हैं, तो हम देखते हैं कि प्रत्येक स्तंभ का योग 2 के बराबर है। ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रत्येक कोर के प्रत्येक सिरे से जुड़ा एक शीर्ष है।

निर्देशित लेखाचित्र का आपतन आव्यूह एक है $n\times m$ आव्यूह बी जहां n और m क्रमशः कोने और किनारों की संख्या है, जैसे कि

B_{ij}=\left\{{\begin{array}{rl}{-1}&{\text{if edge }}e_{j}{\text{ leaves vertex }}v_{i},\\{\phantom {-}}1&{\text{if edge }}e_{j}{\text{ enters vertex }}v_{i},\\{\phantom {-}}0&{\text{otherwise.}}\end{array}}\right.

(कई लेखक विपरीत चिह्न अभिसमय का उपयोग करते हैं।)

एक अप्रत्यक्ष लेखाचित्र का उन्मुख आपतन आव्यूह लेखाचित्र के किसी भी स्थिति निर्धारण (लेखाचित्र सिद्धांत) के निर्देशित लेखाचित्र के अर्थ में आपतन आव्यूह है। अर्थात्, कोर e के पंक्ति स्तम्भ में, e के एक शीर्ष के अनुरूप पंक्ति में एक 1 है और e के अन्य शीर्ष के अनुरूप पंक्ति में एक -1 है, और अन्य सभी पंक्तियों में 0 है। उन्मुख आपतन आव्यूह किसी भी पंक्ति स्तम्भ के अमान्य करने तक अद्वितीय है, क्योंकि पंक्ति स्तम्भ की प्रविष्टियों को अमान्य करना एक कोर के अभिविन्यास को व्युत्क्रम करने से समानता रखता है।

एक लेखाचित्र G का अनियंत्रित आपतन आव्यूह निम्नलिखित प्रमेय द्वारा इसके रेखा लेखाचित्र L(G) के आसन्न आव्यूह से संबंधित है:

A(L(G))=B(G)^{\textsf {T}}B(G)-2I_{m}.

जहाँ A(L(G)) G के लाइन लेखाचित्र का आसन्न आव्यूह है, B(G) आपतन आव्यूह है, और I_m आयाम m का तत्समक आव्यूह है।

असतत किरचॉफ आव्यूह (या किरचॉफ आव्यूह) सूत्र द्वारा उन्मुख आपतन आव्यूह B(G) से प्राप्त किया जाता है

B(G)B(G)^{\textsf {T}}.

एक लेखाचित्र का अभिन्न चक्र स्थान इसके उन्मुख आपतन आव्यूह के शून्य स्थान के बराबर है, जिसे पूर्णांक या वास्तविक संख्या या जटिल संख्याओं पर आव्यूह के रूप में देखा जाता है। द्वि-अवयव क्षेत्र (गणित) पर एक आव्यूह के रूप में देखे जाने वाले इसके उन्मुख या गैर-उन्मुख आपतन आव्यूह का शून्य स्थान द्विआधारी चक्र स्थान है।

हस्ताक्षरित और द्विदिश रेखांकन

एक हस्ताक्षरित लेखाचित्र का आपतन आव्यूह उन्मुख आपतन आव्यूह का एक सामान्यीकरण है। यह किसी भी द्विदिश लेखाचित्र का आपतन आव्यूह है जो दिए गए हस्ताक्षरित लेखाचित्र को अभिविन्यास करता है। एक सकारात्मक कोर के पंक्ति स्तम्भ में एक समापन बिंदु के अनुरूप पंक्ति में 1 और दूसरे समापन बिंदु के अनुरूप ठीक एक साधारण (अहस्ताक्षरित) लेखाचित्र में कोर की तरह पंक्ति में -1 होता है। एक नकारात्मक कोर के पंक्ति स्तम्भ में दोनों पंक्तियों में या तो 1 या -1 होता है। लाइन लेखाचित्र और किरचॉफ आव्यूह गुण हस्ताक्षरित लेखाचित्र के लिए सामान्यीकृत होते हैं।

बहुलेखाचित्र

आपतन आव्यूह की परिभाषाएं लूप (लेखाचित्र सिद्धांत) और कई किनारों वाले लेखाचित्र पर लागू होती हैं। एक उन्मुख आपतन आव्यूह का स्तंभ जो एक लूप से समानता रखता है। वे सभी शून्य है, जब तक कि लेखाचित्र पर हस्ताक्षर नहीं किया जाता है और लूप नकारात्मक है; तब स्तंभ अपने आपतित शीर्ष की पंक्ति में ±2 को छोड़कर सभी के साथ शून्य होता है।

भारित रेखांकन

एक भारित अप्रत्यक्ष लेखाचित्र

भारित लेखाचित्र को 1 के स्थान पर कोर के भार का उपयोग करके प्रदर्शित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, दाईं ओर लेखाचित्र का आपतन आव्यूह है:

	e₁	e₂	e₃	e₄
1	2	1	5	0
2	2	0	0	0
3	0	1	0	6
4	0	0	5	6

=

${\begin{bmatrix}2&1&5&0\\2&0&0&0\\0&1&0&6\\0&0&5&6\\\end{bmatrix}}.$

हाइपरलेखाचित्र

क्योंकि सामान्य रेखांकन के किनारों में केवल दो कोने (प्रत्येक छोर पर एक) हो सकते हैं, अर्थात लेखाचित्र के लिए एक आपतन आव्यूह के स्तंभ में केवल दो गैर-शून्य प्रविष्टियाँ हो सकती हैं। इसके विपरीत, एक हाइपरलेखाचित्र में एक कोर पर निर्दिष्ट कई कोने हो सकते हैं; इस प्रकार, गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का एक सामान्य आव्यूह एक हाइपरलेखाचित्र का वर्णन करता है।

आपतन संरचनाएं

आपतन संरचना C का आपतन आव्यूह p × q है, आव्यूह B (या इसका स्थानान्तरण), जहां p और q क्रमशः बिंदुओं और रेखाओं की संख्या हैं, जैसे कि B_i,j = 1 यदि बिंदु p_i और लाइन L_j आपतन हैं और 0 इस प्रकरण में, आपतन आव्यूह संरचना के लेवी लेखाचित्र का एक बायडजेंसी आव्यूह भी है। जैसा कि प्रत्येक लेवी लेखाचित्र के लिए एक हाइपरलेखाचित्र है, और इसके विपरीत एक आपतन संरचना का आपतन आव्यूह एक हाइपरलेखाचित्र का वर्णन करता है।

परिमित ज्यामिति

एक महत्वपूर्ण उदाहरण परिमित ज्यामिति है। उदाहरण के लिए, एक परिमित तल में X बिंदुओं का समुच्चय है और Y रेखाओं का समुच्चय है। उच्च आयाम की परिमित ज्यामिति में, X बिंदुओं का समुच्चय हो सकता है और Y पूरे समतल अक्ष (हाइपरप्लेन) के आयाम से एक कम आयाम के उप-स्थानों का समुच्चय हो सकता है; या, अधिक सामान्यतः, X एक आयाम d के सभी उप-स्थानों का समुच्चय हो सकता है और Y दूसरे आयाम e के सभी उप-समूहों का समुच्चय हो सकता है, जिसमें नियंत्रण के रूप में परिभाषित आपतन आयाम होते हैं।

बहुशीर्ष

इसी तरह, प्रकोष्ठ के बीच संबंध जिनके आयाम एक बहुशीर्ष में एक से भिन्न होते हैं, वे एक आपतन आव्यूह द्वारा प्रदर्शित किए जा सकते हैं।^[1]

ब्लॉक डिजाइन

इसका एक अन्य उदाहरण ब्लॉक डिज़ाइन है। यहाँ X बिंदुओं का एक परिमित समूह है और Y, X के उपसमुच्चय का एक वर्ग है, जिसे ब्लॉक कहा जाता है, जो नियमों के अधीन है तथा जो डिज़ाइन के प्रकार पर निर्भर करता है। आपतन आव्यूह ब्लॉक डिजाइन के सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण उपकरण है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग फिशर की असमानता को प्रमाणित करने के लिए किया जा सकता है। संतुलित अपूर्ण 2-डिजाइन (बीआईबीडी) का एक मौलिक प्रमेय, जिसमे एक नकारात्मक कोर के पंक्ति स्तम्भ में दोनों पंक्तियों में या तो 1 या -1 होता है।^[2] ब्लॉक को समुच्चय की एक प्रणाली के रूप में देखते हुए, आपतन आव्यूह का स्थायी (गणित) अलग-अलग प्रतिनिधियों (एसडीआर) की प्रणाली की संख्या सुनिश्चित करता है।

यह भी देखें

पैरी-सुलिवन अपरिवर्तनीय

संदर्भ

↑ Coxeter, H.S.M. (1973) [1963], Regular Polytopes (3rd ed.), Dover, pp. 166-167, ISBN 0-486-61480-8
↑ Ryser, Herbert John (1963), Combinatorial Mathematics, The Carus Mathematical Monographs #14, The Mathematical Association of America, p. 99

अग्रिम पठन

Diestel, Reinhard (2005), Graph Theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 173 (3rd ed.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-26183-4
Jonathan L Gross, Jay Yellen, Graph Theory and its applications, second edition, 2006 (p 97, Incidence Matrices for undirected graphs; p 98, incidence matrices for digraphs)

बाहरी संबंध

Weisstein, Eric W. "Incidence matrix". MathWorld.

[1] Coxeter, H.S.M. (1973) [1963], Regular Polytopes (3rd ed.), Dover, pp. 166-167, ISBN 0-486-61480-8

[2] Ryser, Herbert John (1963), Combinatorial Mathematics, The Carus Mathematical Monographs #14, The Mathematical Association of America, p. 99

[1]

[2]

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 गणित में, आपतन आव्यूह एक [[तार्किक मैट्रिक्स|तार्किक आव्यूह]] है जो वस्तुओं के दो वर्गों के बीच के संबंध को दर्शाता है, जिसे सामान्यतः [[घटना (ज्यामिति)|आपतन (ज्यामिति)]] कहा जाता है। यदि पहली श्रेणी ''X'' है और दूसरी ''Y'' है, तो आव्यूह में ''X'' के प्रत्येक अवयव के लिए एक पंक्ति और ''Y'' के प्रत्येक अवयव के लिए एक पंक्ति स्तम्भ है। यदि 'x' और 'y संबंधित हैं तो पंक्ति 'x' और पंक्ति स्तम्भ 'y' में प्रविष्टि 1 है (इस संदर्भ में 'आपतन' कहा जाता है) अन्यथा प्रविष्टि 0 होने पर 'x' और 'y' एक दूसरे से संबंधित नहीं होंगे।
-== [[ग्राफ सिद्धांत]] ==
+== [[ग्राफ सिद्धांत|लेखाचित्र सिद्धांत]] ==
-आपतन आव्यूह ग्राफ सिद्धांत में एक सामान्य ग्राफ प्रतिनिधित्व है। यह आसन्न आव्यूह से भिन्न है, जो शीर्षकोण बिंदु युग्मन के संबंध को कूटबद्ध करता है।
+आपतन आव्यूह लेखाचित्र सिद्धांत में एक सामान्य लेखाचित्र प्रतिनिधित्व होता है। यह आसन्न आव्यूह से भिन्न है, जो शीर्षकोण बिंदु युग्मन के संबंध को कूटबद्ध करता है।
 === अप्रत्यक्ष और निर्देशित रेखांकन ===
-[[Image:Labeled undirected graph.svg|thumb|250px|एक अप्रत्यक्ष ग्राफ।]]ग्राफ़ थ्योरी में एक [[अप्रत्यक्ष ग्राफ]] में दो प्रकार के आपतन आव्यूह होते हैं: विन्यस्त और अभिविन्यस्त।
+[[Image:Labeled undirected graph.svg|thumb|250px|एक अप्रत्यक्ष लेखाचित्र।]]लेखाचित्र सिद्धांत में एक [[अप्रत्यक्ष ग्राफ|अप्रत्यक्ष लेखाचित्र]] में दो प्रकार के आपतन आव्यूह होते हैं: विन्यस्त और अभिविन्यस्त।
-किसी एक अप्रत्यक्ष ग्राफ का अनियंत्रित आपतन आव्यूह (या केवल आपतन आव्यूह) एक <math>n\times m</math> है, [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] B, जहां n और m क्रमशः शीर्षकोण बिंदु (ग्राफ सिद्धांत) और कोर (ग्राफ सिद्धांत) की संख्याएं हैं, जैसे कि
+किसी एक अप्रत्यक्ष लेखाचित्र का अनियंत्रित आपतन आव्यूह (या केवल आपतन आव्यूह) एक <math>n\times m</math> है, [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] B, जहां n और m क्रमशः शीर्षकोण बिंदु और कोर (लेखाचित्र सिद्धांत) की संख्याएं हैं, जैसे कि
 :<math>B_{ij}=\left\{\begin{array}{rl}\,1 & \text{if vertex }v_i\text{ is incident with edge }e_j, \\ 0 & \text{otherwise.}\end{array}\right.</math>
-उदाहरण के लिए, दाईं ओर दिखाए गए अप्रत्यक्ष ग्राफ का आपतन आव्यूह वह आव्यूह है जिसमें 4 पंक्तियाँ (चार कोने, 1-4 के अनुरूप) और 4 पंक्ति स्तम्भ (चार किनारों के अनुरूप, <math>e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}</math>) है:
+उदाहरण के लिए, दाईं ओर दिखाए गए अप्रत्यक्ष लेखाचित्र का आपतन आव्यूह वह आव्यूह है जिसमें 4 पंक्तियाँ (चार कोने, 1-4 के अनुरूप) और 4 पंक्ति स्तम्भ (चार किनारों के अनुरूप, <math>e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}</math>) है:
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-यदि हम आपतन आव्यूह को देखते हैं, तो हम देखते हैं कि प्रत्येक स्तंभ का योग 2 के बराबर है। ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रत्येक किनारे के प्रत्येक सिरे से जुड़ा एक शीर्ष है।
+यदि हम आपतन आव्यूह को देखते हैं, तो हम देखते हैं कि प्रत्येक स्तंभ का योग 2 के बराबर है। ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रत्येक कोर के प्रत्येक सिरे से जुड़ा एक शीर्ष है।
-[[निर्देशित ग्राफ]] का आपतन आव्यूह एक है <math>n\times m</math> आव्यूह बी जहां n और m क्रमशः कोने और किनारों की संख्या है, जैसे कि
+[[निर्देशित ग्राफ|निर्देशित लेखाचित्र]] का आपतन आव्यूह एक है <math>n\times m</math> आव्यूह बी जहां n और m क्रमशः कोने और किनारों की संख्या है, जैसे कि
 :<math>B_{ij}=\left\{\begin{array}{rl}
 {-1} & \text{if edge }e_j\text{ leaves vertex }v_i, \\
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 (कई लेखक विपरीत चिह्न अभिसमय का उपयोग करते हैं।)
-'''एक अप्रत्यक्ष ग्राफ का उन्मुख आपतन आव्यूह ग्राफ''' के किसी भी ओरिएंटेशन (ग्राफ सिद्धांत) के निर्देशित ग्राफ के अर्थ में आपतन आव्यूह है। अर्थात्, किनारे ई के पंक्ति स्तम्भ में, ई के एक शीर्ष के अनुरूप पंक्ति में एक 1 है और ई के अन्य शीर्ष के अनुरूप पंक्ति में एक -1 है, और अन्य सभी पंक्तियों में 0 है। उन्मुख आपतन आव्यूह है किसी भी पंक्ति स्तम्भ के नकारने [[तक]] अद्वितीय, क्योंकि पंक्ति स्तम्भ की प्रविष्टियों को नकारना एक किनारे के अभिविन्यास को उलटने से मेल खाता है।
+एक अप्रत्यक्ष लेखाचित्र का उन्मुख आपतन आव्यूह लेखाचित्र के किसी भी स्थिति निर्धारण (लेखाचित्र सिद्धांत) के निर्देशित लेखाचित्र के अर्थ में आपतन आव्यूह है। अर्थात्, कोर ''e'' के पंक्ति स्तम्भ में, ''e'' के एक शीर्ष के अनुरूप पंक्ति में एक 1 है और ''e'' के अन्य शीर्ष के अनुरूप पंक्ति में एक -1 है, और अन्य सभी पंक्तियों में 0 है। उन्मुख आपतन आव्यूह किसी भी पंक्ति स्तम्भ के अमान्य करने [[तक]] अद्वितीय है, क्योंकि पंक्ति स्तम्भ की प्रविष्टियों को अमान्य करना एक कोर के अभिविन्यास को व्युत्क्रम करने से समानता रखता है।
-एक ग्राफ G का अनियंत्रित आपतन आव्यूह निम्नलिखित प्रमेय द्वारा इसके रेखा ग्राफ L(G) के आसन्न आव्यूह से संबंधित है:
+एक लेखाचित्र G का अनियंत्रित आपतन आव्यूह निम्नलिखित प्रमेय द्वारा इसके रेखा लेखाचित्र L(G) के आसन्न आव्यूह से संबंधित है:
 : <math>A(L(G)) = B(G)^\textsf{T}B(G) - 2I_m.</math>
-जहाँ A(L(G)) G के लाइन ग्राफ़ का आसन्न आव्यूह है, B(G) आपतन आव्यूह है, और I<sub>''m''</sub> आयाम m का तत्समक आव्यूह है।
+जहाँ A(L(G)) G के लाइन लेखाचित्र का आसन्न आव्यूह है, B(G) आपतन आव्यूह है, और I<sub>''m''</sub> आयाम m का तत्समक आव्यूह है।
-असतत Kirchhoff आव्यूह (या Kirchhoff आव्यूह) सूत्र द्वारा उन्मुख आपतन आव्यूह B(G) से प्राप्त किया जाता है
+असतत किरचॉफ आव्यूह (या किरचॉफ आव्यूह) सूत्र द्वारा उन्मुख आपतन आव्यूह B(G) से प्राप्त किया जाता है
 : <math>B(G) B(G)^\textsf{T}.</math>
-एक ग्राफ का अभिन्न [[चक्र स्थान]] इसके उन्मुख आपतन आव्यूह के शून्य स्थान के बराबर है, जिसे पूर्णांक या [[वास्तविक संख्या]] या जटिल संख्याओं पर आव्यूह के रूप में देखा जाता है। द्वि-अवयव [[क्षेत्र (गणित)]] पर एक आव्यूह के रूप में देखे जाने वाले इसके उन्मुख या गैर-उन्मुख आपतन आव्यूह का शून्य स्थान द्विआधारी चक्र स्थान है।
+एक लेखाचित्र का अभिन्न [[चक्र स्थान]] इसके उन्मुख आपतन आव्यूह के शून्य स्थान के बराबर है, जिसे पूर्णांक या [[वास्तविक संख्या]] या जटिल संख्याओं पर आव्यूह के रूप में देखा जाता है। द्वि-अवयव [[क्षेत्र (गणित)]] पर एक आव्यूह के रूप में देखे जाने वाले इसके उन्मुख या गैर-उन्मुख आपतन आव्यूह का शून्य स्थान द्विआधारी चक्र स्थान है।
 === हस्ताक्षरित और द्विदिश रेखांकन ===
-एक [[हस्ताक्षरित ग्राफ]] का आपतन आव्यूह उन्मुख आपतन आव्यूह का एक सामान्यीकरण है। यह किसी भी [[द्विदिश ग्राफ]] का आपतन आव्यूह है जो दिए गए हस्ताक्षरित ग्राफ को ओरिएंट करता है। एक सकारात्मक किनारे के पंक्ति स्तम्भ में एक समापन बिंदु के अनुरूप पंक्ति में 1 और दूसरे समापन बिंदु के अनुरूप पंक्ति में -1 होता है, ठीक एक साधारण (अहस्ताक्षरित) ग्राफ में किनारे की तरह। एक नकारात्मक किनारे के पंक्ति स्तम्भ में दोनों पंक्तियों में या तो 1 या -1 होता है। लाइन ग्राफ़ और किरचॉफ आव्यूह गुण हस्ताक्षरित ग्राफ़ के लिए सामान्यीकृत होते हैं।
+एक [[हस्ताक्षरित ग्राफ|हस्ताक्षरित लेखाचित्र]] का आपतन आव्यूह उन्मुख आपतन आव्यूह का एक सामान्यीकरण है। यह किसी भी [[द्विदिश ग्राफ|द्विदिश लेखाचित्र]] का आपतन आव्यूह है जो दिए गए हस्ताक्षरित लेखाचित्र को अभिविन्यास करता है। एक सकारात्मक कोर के पंक्ति स्तम्भ में एक समापन बिंदु के अनुरूप पंक्ति में 1 और दूसरे समापन बिंदु के अनुरूप ठीक एक साधारण (अहस्ताक्षरित) लेखाचित्र में कोर की तरह पंक्ति में -1 होता है। एक नकारात्मक कोर के पंक्ति स्तम्भ में दोनों पंक्तियों में या तो 1 या -1 होता है। लाइन लेखाचित्र और किरचॉफ आव्यूह गुण हस्ताक्षरित लेखाचित्र के लिए सामान्यीकृत होते हैं।
-=== मल्टीग्राफ्स ===
+=== बहुलेखाचित्र ===
-आपतन आव्यूह की परिभाषाएं लूप (ग्राफ सिद्धांत) और कई किनारों वाले ग्राफ़ पर लागू होती हैं। एक उन्मुख आपतन आव्यूह का स्तंभ जो एक लूप से मेल खाता है, सभी शून्य है, जब तक कि ग्राफ पर हस्ताक्षर नहीं किया जाता है और लूप नकारात्मक है; तब स्तंभ अपने आपतित शीर्ष की पंक्ति में ±2 को छोड़कर सभी शून्य होता है।
+आपतन आव्यूह की परिभाषाएं लूप (लेखाचित्र सिद्धांत) और कई किनारों वाले लेखाचित्र पर लागू होती हैं। एक उन्मुख आपतन आव्यूह का स्तंभ जो एक लूप से समानता रखता है। वे सभी शून्य है, जब तक कि लेखाचित्र पर हस्ताक्षर नहीं किया जाता है और लूप नकारात्मक है; तब स्तंभ अपने आपतित शीर्ष की पंक्ति में ±2 को छोड़कर सभी के साथ शून्य होता है।
 === भारित रेखांकन ===
-[[File:Weighted undirected graph.svg|thumb|एक भारित अप्रत्यक्ष ग्राफ]]भारित ग्राफ़ को 1 के स्थान पर किनारे के भार का उपयोग करके प्रदर्शित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, दाईं ओर ग्राफ़ का आपतन आव्यूह है:
+[[File:Weighted undirected graph.svg|thumb|एक भारित अप्रत्यक्ष लेखाचित्र]]भारित लेखाचित्र को 1 के स्थान पर कोर के भार का उपयोग करके प्रदर्शित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, दाईं ओर लेखाचित्र का आपतन आव्यूह है:
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-=== [[ hypergraph ]] ===
+=== [[ hypergraph |हाइपरलेखाचित्र]] ===
-क्योंकि सामान्य रेखांकन के किनारों में केवल दो कोने (प्रत्येक छोर पर एक) हो सकते हैं, ग्राफ़ के लिए एक आपतन आव्यूह के स्तंभ में केवल दो गैर-शून्य प्रविष्टियाँ हो सकती हैं। इसके विपरीत, एक हाइपरग्राफ में एक किनारे पर निर्दिष्ट कई कोने हो सकते हैं; इस प्रकार, गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का एक सामान्य आव्यूह एक हाइपरग्राफ का वर्णन करता है।
+क्योंकि सामान्य रेखांकन के किनारों में केवल दो कोने (प्रत्येक छोर पर एक) हो सकते हैं, अर्थात लेखाचित्र के लिए एक आपतन आव्यूह के स्तंभ में केवल दो गैर-शून्य प्रविष्टियाँ हो सकती हैं। इसके विपरीत, एक हाइपरलेखाचित्र में एक कोर पर निर्दिष्ट कई कोने हो सकते हैं; इस प्रकार, गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का एक सामान्य आव्यूह एक हाइपरलेखाचित्र का वर्णन करता है।
 == [[घटना संरचना|आपतन संरचना]]एं ==
-आपतन संरचना C का आपतन आव्यूह a है {{nowrap|''p'' × ''q''}} आव्यूह बी (या इसका स्थानान्तरण), जहां पी और क्यू क्रमशः बिंदुओं और रेखाओं की संख्या हैं, जैसे कि {{nowrap|1=''B''<sub>''i'',''j''</sub> = 1}} यदि बिंदु p<sub>i</sub> और लाइन एल<sub>''j''</sub> आपतन हैं और 0 अन्यथा। इस मामले में, आपतन आव्यूह संरचना के [[लेवी ग्राफ]] का एक [[बायडजेंसी मैट्रिक्स|बायडजेंसी आव्यूह]] भी है। जैसा कि प्रत्येक लेवी ग्राफ के लिए एक हाइपरग्राफ है, और इसके विपरीत, एक आपतन संरचना का आपतन आव्यूह एक हाइपरग्राफ का वर्णन करता है।
+आपतन संरचना C का आपतन आव्यूह {{nowrap|''p'' × ''q''}} है, आव्यूह ''B'' (या इसका स्थानान्तरण), जहां ''p'' और ''q'' क्रमशः बिंदुओं और रेखाओं की संख्या हैं, जैसे कि {{nowrap|1=''B''<sub>''i'',''j''</sub> = 1}} यदि बिंदु p<sub>i</sub> और लाइन ''L<sub>j</sub>'' आपतन हैं और 0 इस प्रकरण में, आपतन आव्यूह संरचना के [[लेवी ग्राफ|लेवी लेखाचित्र]] का एक [[बायडजेंसी मैट्रिक्स|बायडजेंसी आव्यूह]] भी है। जैसा कि प्रत्येक लेवी लेखाचित्र के लिए एक हाइपरलेखाचित्र है, और इसके विपरीत एक आपतन संरचना का आपतन आव्यूह एक हाइपरलेखाचित्र का वर्णन करता है।
 === [[परिमित ज्यामिति]] ===
-एक महत्वपूर्ण उदाहरण परिमित ज्यामिति है। उदाहरण के लिए, एक परिमित तल में, X बिंदुओं का समुच्चय है और Y रेखाओं का समुच्चय है। उच्च आयाम की परिमित ज्यामिति में, X बिंदुओं का समुच्चय हो सकता है और Y पूरे अंतरिक्ष (हाइपरप्लेन) के आयाम से एक कम आयाम के उप-स्थानों का समुच्चय हो सकता है; या, अधिक आम तौर पर, एक्स एक आयाम डी के सभी उप-स्थानों का सेट हो सकता है और वाई दूसरे आयाम ई के सभी उप-समूहों का सेट हो सकता है, जिसमें रोकथाम के रूप में परिभाषित आपतनएं होती हैं।
+एक महत्वपूर्ण उदाहरण परिमित ज्यामिति है। उदाहरण के लिए, एक परिमित तल में X बिंदुओं का समुच्चय है और Y रेखाओं का समुच्चय है। उच्च आयाम की परिमित ज्यामिति में, X बिंदुओं का समुच्चय हो सकता है और Y पूरे समतल अक्ष (हाइपरप्लेन) के आयाम से एक कम आयाम के उप-स्थानों का समुच्चय हो सकता है; या, अधिक सामान्यतः, X एक आयाम ''d'' के सभी उप-स्थानों का समुच्चय हो सकता है और Y दूसरे आयाम ''e'' के सभी उप-समूहों का समुच्चय हो सकता है, जिसमें नियंत्रण के रूप में परिभाषित आपतन आयाम होते हैं।
-=== पॉलीटोप्स ===
+=== बहुशीर्ष ===
-इसी तरह, कोशिकाओं के बीच संबंध जिनके आयाम एक पॉलीटोप में एक से भिन्न होते हैं, एक आपतन आव्यूह द्वारा प्रदर्शित किए जा सकते हैं।<ref>{{citation|first=H.S.M.|last=Coxeter|author-link=Coxeter|title=[[Regular Polytopes (book)|Regular Polytopes]]|year=1973|edition=3rd|orig-year=1963|publisher=Dover|isbn=0-486-61480-8|pages=[https://archive.org/details/regularpolytopes0000coxe/page/166 166-167]}}</ref>
+इसी तरह, प्रकोष्ठ के बीच संबंध जिनके आयाम एक बहुशीर्ष में एक से भिन्न होते हैं, वे एक आपतन आव्यूह द्वारा प्रदर्शित किए जा सकते हैं।<ref>{{citation|first=H.S.M.|last=Coxeter|author-link=Coxeter|title=[[Regular Polytopes (book)|Regular Polytopes]]|year=1973|edition=3rd|orig-year=1963|publisher=Dover|isbn=0-486-61480-8|pages=[https://archive.org/details/regularpolytopes0000coxe/page/166 166-167]}}</ref>
 === [[ब्लॉक डिजाइन]] ===
-एक अन्य उदाहरण एक ब्लॉक डिज़ाइन है। यहाँ X बिंदुओं का एक परिमित समूह है और Y, X के सबसेट का एक वर्ग है, जिसे ब्लॉक कहा जाता है, जो नियमों के अधीन है जो डिज़ाइन के प्रकार पर निर्भर करता है। आपतन आव्यूह ब्लॉक डिजाइन के सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण उपकरण है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग फिशर की असमानता को साबित करने के लिए किया जा सकता है, संतुलित अपूर्ण 2-डिजाइन (बीआईबीडी) का एक मौलिक प्रमेय, कि ब्लॉक की संख्या कम से कम अंकों की संख्या है।<ref>{{citation|page=99|first=Herbert John|last=Ryser|title=Combinatorial Mathematics|series=The Carus Mathematical Monographs #14|publisher=The Mathematical Association of America|year=1963}}</ref> ब्लॉक को सेट की एक प्रणाली के रूप में देखते हुए, आपतन आव्यूह का [[स्थायी (गणित)]] अलग-अलग प्रतिनिधियों (एसडीआर) की प्रणाली की संख्या है।
+इसका एक अन्य उदाहरण ब्लॉक डिज़ाइन है। यहाँ X बिंदुओं का एक परिमित समूह है और Y, X के उपसमुच्चय का एक वर्ग है, जिसे ब्लॉक कहा जाता है, जो नियमों के अधीन है तथा जो डिज़ाइन के प्रकार पर निर्भर करता है। आपतन आव्यूह ब्लॉक डिजाइन के सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण उपकरण है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग फिशर की असमानता को प्रमाणित करने के लिए किया जा सकता है। संतुलित अपूर्ण 2-डिजाइन (बीआईबीडी) का एक मौलिक प्रमेय, जिसमे एक नकारात्मक कोर के पंक्ति स्तम्भ में दोनों पंक्तियों में या तो 1 या -1 होता है।<ref>{{citation|page=99|first=Herbert John|last=Ryser|title=Combinatorial Mathematics|series=The Carus Mathematical Monographs #14|publisher=The Mathematical Association of America|year=1963}}</ref> ब्लॉक को समुच्चय की एक प्रणाली के रूप में देखते हुए, आपतन आव्यूह का [[स्थायी (गणित)]] अलग-अलग प्रतिनिधियों (एसडीआर) की प्रणाली की संख्या सुनिश्चित करता है।
 == यह भी देखें ==
-* पैरी-सुलिवन अपरिवर्तनीय
+* [[ पैरी-सुलिवन अपरिवर्तनीय ]]
 ==संदर्भ==
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 * {{mathworld | urlname = IncidenceMatrix | title = Incidence matrix}}
-{{Graph representations}}
+[[Category:Collapse templates]]
-{{Incidence structures}}
+[[Category:Commons category link is locally defined]]
-{{Matrix classes}}
-{{Authority control}}
-[[Category: बीजगणितीय ग्राफ सिद्धांत]] [[Category: साहचर्य]] [[Category: मैट्रिसेस]] [[Category: ग्राफ डेटा संरचनाएं]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 01/05/2023]]
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+[[Category:Machine Translated Page]]
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लेखाचित्र सिद्धांत

अप्रत्यक्ष और निर्देशित रेखांकन

हस्ताक्षरित और द्विदिश रेखांकन

बहुलेखाचित्र

भारित रेखांकन

हाइपरलेखाचित्र

आपतन संरचनाएं

परिमित ज्यामिति

बहुशीर्ष

ब्लॉक डिजाइन

यह भी देखें

संदर्भ

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