आइसोटॉक्सल आंकड़ा: Difference between revisions

Latest revision as of 18:16, 16 May 2023

ज्यामिति में, एक बहुतलीय (उदाहरण के लिए एक बहुभुज या एक बहुफलक) या एक टाइलिंग (टाइल का छत) आइसोटॉक्सल (ग्रीक τόξον 'चाप' से) या किनारे-संक्रमणीय है यदि इसकी सममितीय इसके किनारों पर संक्रामक रूप से कार्य करती है। अनौपचारिक रूप से, इसका अर्थ है कि वस्तु का केवल एक प्रकार का किनारा है: दो किनारे दिए गए हैं, एक स्थानांतरण, घूर्णन और/या परावर्तन है जो एक किनारे को दूसरे किनारे पर ले जाएगा, जबकि वस्तु के अधिकृत वाले क्षेत्र को अपरिवर्तित छोड़ देता है |

आइसोटॉक्सल बहुभुज

एक आइसोटॉक्सल बहुभुज एक सम-पक्षीय यानी समबाहु बहुभुज होता है, लेकिन सभी समबाहु बहुभुज आइसोटॉक्सल नहीं होते हैं। समकोणीय बहुभुजों के द्वैत आइसोटॉक्सल बहुभुज हैं। आइसोटॉक्सल $4n$ -गोन्स केंद्रीय सममित हैं, इसलिए ज़ोनोगोन भी हैं।

सामान्य तौर पर, एक आइसोटॉक्सल $2n$ -गोन्स $\mathrm {D} _{n},(^{*}nn)$ द्वितल सममित है। उदाहरण के लिए, एक समचर्तुभुज एक आइसोटॉक्सल $2$ × $2$ -गोन्स (चतुर्भुज) के साथ $\mathrm {D} _{2},(^{*}22)$ सममित हैं। सभी सम बहुभुज (समबाहु त्रिभुज, वर्ग, आदि) आइसोटॉक्सल होते हैं, जिनमें न्यूनतम सममिति क्रम दोगुना होता है: एक सम $n$ -गोन्स $\mathrm {D} _{n},(^{*}nn)$ द्वितल सममित है।

एक आइसोटॉक्सल ${\mathbf {2}}n$ -गोन्स के साथ बाहरी आंतरिक कोण $\alpha$ के रूप में {nα} अंकितक किया जा सकता है। आंतर आंतरिक कोण $(\beta )$ 180 डिग्री से बड़ा या छोटा हो सकता है,तथा उत्तल या अवतल बहुभुज बनाता है।

स्टार (तारक) बहुभुज भी आइसोटॉक्सल हो सकते हैं, जिन्हें $\{(n/q)_{\alpha }\}$ पर अंकितक किया गया तथा साथ ही $q\leq n-1$ और सबसे बड़े सामान्य विभाजक $\gcd(n,q)=1$ के साथ, जहां $q$ वर्तन संख्या या घनत्व है।^[1] अवतल आंतरिक शीर्ष $q<n/2$ को परिभाषित किया जा सकता है| यदि $D=\gcd(n,q)\geq 2$ तब $\{(n/q)_{\alpha }\}=\{(Dm/Dp)_{\alpha }\}$ एक मिश्र में "समानयन" किया जाता है, $D\{(m/p)_{\alpha }\}$ की $D$ द्वारा क्रमावर्तित की गई प्रतियां $\{(m/p)_{\alpha }\}$ है।

सावधान: $\{(n/q)_{\alpha }\}$ के शीर्ष हमेशा ऐसे नहीं रखे जाते हैं जैसे $\{n_{\alpha }\},$ जबकि समभुजकोणीय शीर्ष $\{n/q\}$ सममित $\{n\}$ की तरह रखे जाते है।

"एकसमान टाइलिंग" का एक समुच्चय, वास्तव में आइसोटॉक्सल बहुभुजों का उपयोग करते हुए समकोणीय टाइलिंग सम अभिन्न की तुलना में कम सममित फलक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

असंयमित आइसोटोक्सल बहुभुज और मिश्रों के उदाहरण
भुजाओं की संख्या $(2n)$	2×2	2×3	2×4	2×5	2×6	2×7	2×8
$\{n_{\alpha }\}$ उत्तल: $\beta <180^{\circ }.$ अवतल: $\beta >180^{\circ }.$	$\{2_{\alpha }\}$	$\{3_{\alpha }\}$	$\{4_{\alpha }\}$	$\{5_{\alpha }\}$	$\{6_{\alpha }\}$	$\{7_{\alpha }\}$	$\{8_{\alpha }\}$
2- टर्न $\{(n/2)_{\alpha }\}$	--	$\{(3/2)_{\alpha }\}$	$2\{2_{\alpha }\}$	$\{(5/2)_{\alpha }\}$	$2\{3_{\alpha }\}$	$\{(7/2)_{\alpha }\}$	$2\{4_{\alpha }\}$
3- टर्न $\{(n/3)_{\alpha }\}$	--	--	$\{(4/3)_{\alpha }\}$	$\{(5/3)_{\alpha }\}$	$3\{2_{\alpha }\}$	$\{(7/3)_{\alpha }\}$	$\{(8/3)_{\alpha }\}$
4-टर्न $\{(n/4)_{\alpha }\}$	--	--	--	$\{(5/4)_{\alpha }\}$	$2\{(3/2)_{\alpha }\}$	$\{(7/4)_{\alpha }\}$	$4\{2_{\alpha }\}$
5-टर्न $\{(n/5)_{\alpha }\}$	--	--	--	--	$\{(6/5)_{\alpha }\}$	$\{(7/5)_{\alpha }\}$	$\{(8/5)_{\alpha }\}$
6-टर्न $\{(n/6)_{\alpha }\}$	--	--	--	--	--	$\{(7/6)_{\alpha }\}$	$2\{(4/3)_{\alpha }\}$
7-टर्न $\{(n/7)_{\alpha }\}$	--	--	--	--	--	--	$\{(8/7)_{\alpha }\}$

आइसोटॉक्सल बहुकोणीय आकृति और टाइलिंग

सम बहुकोणीय आकृति आइसोहेड्रल (फलक-संक्रामक), समकोणीय (शीर्ष-संक्रामक) और आइसोटॉक्सल (किनारा-संक्रामक) हैं।

अर्धसम बहुफलक, क्यूबोक्टाहेड्रॉन और इकोसिडोडेकाहेड्रॉन की तरह समकोणीय और आइसोटॉक्सल हैं, लेकिन आइसोहेड्रल नहीं हैं। समचतुर्भुज द्वादशफलक और समचतुर्भुज त्रिकोटाहेडेरॉन समेत उनके द्वैत, आइसोहेड्रल और आइसोटॉक्सल हैं, लेकिन समकोणीय नहीं हैं।

Examples
अर्धसम बहुफलक	अर्धसम द्वैत बहुफलक	अर्धसम तारक बहुफलक	अर्धसम द्वैत तारक (स्टार) बहुफलक	अर्धसम टाइलिंग (टाइल का छत)	अर्धसम द्वैत टाइलिंग
एक क्यूबोक्टाहेड्रोन एक समकोणीय और आइसोटॉक्सल बहुफलक है	एक समचतुर्भुज द्वादशफ़लक एक आइसोहेड्रल और आइसोटॉक्सल बहुफलक है	एक बड़ा आईकोसाइडोडेकाहेड्रॉन एक समकोणीय और आइसोटॉक्सल तारक बहुफलक है	एक बड़ा विषमलंबाक्ष त्रिकोटाहेडेरॉन एक आइसोहेड्रल और आइसोटॉक्सल तारक बहुफलक है	त्रिषट्कोणीय टाइलिंग एक समकोणीय और आइसोटॉक्सल टाइलिंग है	समचतुर्भुजी टाइलिंग p6m (*632) सममित के साथ एक आइसोहेड्रल और आइसोटॉक्सल टाइलिंग है।

सम बहुभुजों से निर्मित प्रत्येक बहुफलक या 2-आयामी चौकोर आइसोटॉक्सल नहीं है। उदाहरण के लिए, रुंडित विंशफलक (सामान्य सॉकरबॉल) आइसोटॉक्सल नहीं है, क्योंकि इसके दो किनारे इस प्रकार हैं: षट्कोण-षट्कोण और षट्कोण-पंचकोण, और ठोस की सममिति के लिए एक षट्कोण-षट्कोण किनारे को षट्कोण -पंचकोण किनारे पर स्थानांतरित करना संभव नहीं है।

एक आइसोटॉक्सल बहुफलक में सभी किनारों के लिए समान द्वितल कोण होता है।

एक अवमुखबहुफलक का द्वैत भी एक अवमुखबहुफलक होता है।^[2]

एक गैर-अवमुखबहुफलक का द्वैत भी एक गैर-अवमुखबहुफलक होता है।^[2](समुख स्थिति द्वारा।)

एक आइसोटॉक्सल बहुफलक का द्वैत एक आइसोटॉक्सल बहुफलक भी है। (द्वैत बहुफलक लेख देखें।)

नौ अवमुख आइसोटॉक्सल बहुकोणीय आकृति हैं: पांच (सम) प्लेटोनिक ठोस, दो (अर्धसम) द्वैत प्लेटोनिक ठोस के सामान्य कोर, और उनके दो द्वैत है।

चौदह गैर-अवमुख आइसोटॉक्सल बहुकोणीय आकृति हैं: चार (सम) केप्लर-पॉइन्सॉट बहुफलक के दो (अर्धसम) सामान्य कोर, और उनके दो द्वैत , इसके अतिरिक्त्त तीन अर्धसम द्वितीभुज (3 | p q) तारक बहुकोणीय आकृति, और उनके तीन द्वैत है।

कम से कम पांच आइसोटॉक्सल बहुफलकीय मिश्र हैं: पांच सम बहुफलकीय मिश्र ; उनके पांच द्वैत भी पांच सम बहुफलकीय मिश्र (या एक किरेल प्रतरूप) हैं।

यूक्लिडियन तल के कम से कम पांच आइसोटॉक्सल बहुभुजी टाइलिंग हैं, और अतिपरवलयिक तल के अपरिमित रूप से कई आइसोटॉक्सल बहुभुजी टाइलिंग हैं, जिसमें सम अतिपरवलयिक टाइलिंग {p,q}, और गैर-सम (p q r) समूहों से वायथॉफ निर्माण सम्मिलित हैं।

यह भी देखें

बहुफलक द्वितल कोणों की तालिका
शीर्ष -संक्रामक
फलक-संक्रामक
सेल-संक्रामक

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संदर्भ

↑ Tilings and Patterns, Branko Gruenbaum, G.C. Shephard, 1987. 2.5 Tilings using star polygons, pp. 82-85.
↑ ^2.0 ^2.1 "द्वंद्व". maths.ac-noumea.nc. Retrieved 2020-09-30.

Peter R. Cromwell, Polyhedra, Cambridge University Press 1997, ISBN 0-521-55432-2, p. 371 Transitivity
Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1987). Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-1193-1. (6.4 Isotoxal tilings, 309-321)
Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P. (1954), "Uniform polyhedra", Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences, 246 (916): 401–450, Bibcode:1954RSPTA.246..401C, doi:10.1098/rsta.1954.0003, ISSN 0080-4614, JSTOR 91532, MR 0062446, S2CID 202575183

[1] Tilings and Patterns, Branko Gruenbaum, G.C. Shephard, 1987. 2.5 Tilings using star polygons, pp. 82-85.

[:0-2] 2.0 ^2.1 "द्वंद्व". maths.ac-noumea.nc. Retrieved 2020-09-30.

[1]

[2]

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 {{short description|Polytope or tiling with one type of edge}}
 {{about|geometry|edge transitivity in graph theory|Edge-transitive graph}}
-[[ज्यामिति]] में, एक [[बहुतलीय]] (उदाहरण के लिए एक [[बहुभुज]] या एक [[बहुफलक]]) या एक [[टाइलिंग]] '''समद्विबाहु''' ('''<small>[[ग्रीक]]</small>''' τόξον 'चाप' से) या '''किनारे-संक्रमणीय''' है यदि इसकी [[समरूपता|सममितीय]] इसके [[किनारों]] पर [[सकर्मक]] रूप से कार्य करती है। अनौपचारिक रूप से, इसका अर्थ है कि वस्तु का केवल एक प्रकार का किनारा है: दो किनारे दिए गए हैं, एक [[स्थानांतरण]], [[घूर्णन]] और/या [[परावर्तन]] है जो एक किनारे को दूसरे किनारे पर ले जाएगा, जबकि वस्तु के अधिकृत वाले क्षेत्र को अपरिवर्तित छोड़ देता है/
+[[ज्यामिति]] में, एक [[बहुतलीय]] (उदाहरण के लिए एक [[बहुभुज]] या एक [[बहुफलक]]) या एक [[टाइलिंग|टाइलिंग (टाइल का छत)]] '''आइसोटॉक्सल''' ('''<small>[[ग्रीक]]</small>''' τόξον 'चाप' से) या '''किनारे-संक्रमणीय''' है यदि इसकी [[समरूपता|सममितीय]] इसके [[किनारों]] पर [[सकर्मक|संक्रामक]] रूप से कार्य करती है। अनौपचारिक रूप से, इसका अर्थ है कि वस्तु का केवल एक प्रकार का किनारा है: दो किनारे दिए गए हैं, एक [[स्थानांतरण]], [[घूर्णन]] और/या [[परावर्तन]] है जो एक किनारे को दूसरे किनारे पर ले जाएगा, जबकि वस्तु के अधिकृत वाले क्षेत्र को अपरिवर्तित छोड़ देता है |
-== समद्विबाहु बहुभुज ==
+== आइसोटॉक्सल बहुभुज ==
-एक समद्विबाहु बहुभुज एक सम-पक्षीय यानी [[समबाहु बहुभुज]] होता है, लेकिन सभी समबाहु बहुभुज समद्विबाहु नहीं होते हैं। [[समकोणीय बहुभुजों]] के [[द्वैत]] समद्विबाहु बहुभुज हैं। समद्विबाहु <math>4n</math>-गोन [[केंद्रीय सममित]] हैं, इसलिए [[ज़ोनोगोन]] भी हैं।
+एक आइसोटॉक्सल बहुभुज एक सम-पक्षीय यानी [[समबाहु बहुभुज]] होता है, लेकिन सभी समबाहु बहुभुज आइसोटॉक्सल नहीं होते हैं। [[समकोणीय बहुभुजों]] के [[द्वैत]] आइसोटॉक्सल बहुभुज हैं। आइसोटॉक्सल <math>4n</math>-[[गोन्स]] [[केंद्रीय सममित]] हैं, इसलिए [[ज़ोनोगोन]] भी हैं।
-सामान्य तौर पर, एक समद्विबाहु <math>2n</math>-गोन <math>\mathrm{D}_n, (^*nn)</math> [[द्वितल सममित]] है। उदाहरण के लिए, एक [[समचर्तुभुज]] एक समद्विबाहु <math>2</math>×<math>2</math>-गोन (चतुर्भुज) के साथ <math>\mathrm{D}_2, (^*22)</math> सममित हैं। [[सभी सम बहुभुज (समबाहु त्रिभुज, वर्ग]], आदि) समद्विबाहु हैं, जिनमें न्यूनतम सममिति क्रम दोगुना होता है: एक सम <math>n</math>-गोन <math>\mathrm{D}_n, (^*nn)</math> द्वितल सममित है।
+सामान्य तौर पर, एक आइसोटॉक्सल <math>2n</math>-गोन्स <math>\mathrm{D}_n, (^*nn)</math> [[द्वितल सममित]] है। उदाहरण के लिए, एक [[समचर्तुभुज]] एक आइसोटॉक्सल <math>2</math>×<math>2</math>-गोन्स (चतुर्भुज) के साथ <math>\mathrm{D}_2, (^*22)</math> सममित हैं। [[सभी सम बहुभुज (समबाहु त्रिभुज, वर्ग]], आदि) आइसोटॉक्सल होते हैं, जिनमें न्यूनतम सममिति क्रम दोगुना होता है: एक सम <math>n</math>-गोन्स <math>\mathrm{D}_n, (^*nn)</math> द्वितल सममित है।
-एक आइसोटॉक्सल <math>\bold{2}n</math>-गोन के साथ बाहरी आंतरिक कोण <math>\alpha</math> के रूप में {nα} अंकितक किया जा सकता है। आंतर आंतरिक कोण <math>(\beta)</math>  180 कोटि से बड़ा या छोटा हो सकता है,तथा उत्तल या अवतल बहुभुज बनाता है।
+एक आइसोटॉक्सल <math>\bold{2}n</math>-गोन्स के साथ बाहरी आंतरिक कोण <math>\alpha</math> के रूप में {nα} अंकितक किया जा सकता है। आंतर आंतरिक कोण <math>(\beta)</math> 180 डिग्री से बड़ा या छोटा हो सकता है,तथा उत्तल या अवतल बहुभुज बनाता है।
-[[स्टार बहुभुज]] भी आइसोटॉक्सल हो सकते हैं, जिन्हें <math>\{(n/q)_\alpha\}</math> पर अंकितक किया गया तथा साथ ही  <math>q \le n - 1</math> और सबसे [[बड़े सामान्य विभाजक]] <math>\gcd(n,q) = 1</math> के साथ, जहां <math>q</math> [[वर्तन संख्या]] या [[घनत्व]] है।<ref>''Tilings and Patterns'', Branko Gruenbaum, G.C. Shephard, 1987. 2.5 Tilings using star polygons, pp. 82-85.</ref> अवतल आंतरिक शीर्ष <math>q < n/2</math> को परिभाषित किया जा सकता है/ यदि <math>D = \gcd(n,q) \ge 2</math> तब <math>\{(n/q)_\alpha\} = \{(Dm/Dp)_\alpha\}</math> एक यौगिक में समानयन किया जाता है, <math>D \{(m/p)_\alpha\}</math> की <math>D</math> द्वारा क्रमावर्तित की गई प्रतियां <math>\{(m/p)_\alpha\}</math> है।                                                            सावधानी:  <math>\{(n/q)_\alpha\}</math> के शीर्ष हमेशा ऐसे नहीं रखे जाते हैं कि<math>\{n_\alpha\},</math> जबकि समभुजकोण <math>\{n/q\}</math> के शीर्ष सममित <math>\{n\}</math> की तरह रखे जाते है।
+[[स्टार बहुभुज|स्टार (तारक) बहुभुज]] भी आइसोटॉक्सल हो सकते हैं, जिन्हें <math>\{(n/q)_\alpha\}</math> पर अंकितक किया गया तथा साथ ही  <math>q \le n - 1</math> और सबसे [[बड़े सामान्य विभाजक]] <math>\gcd(n,q) = 1</math> के साथ, जहां <math>q</math> [[वर्तन संख्या]] या [[घनत्व]] है।<ref>''Tilings and Patterns'', Branko Gruenbaum, G.C. Shephard, 1987. 2.5 Tilings using star polygons, pp. 82-85.</ref> अवतल आंतरिक शीर्ष <math>q < n/2</math> को परिभाषित किया जा सकता है| यदि <math>D = \gcd(n,q) \ge 2</math> तब <math>\{(n/q)_\alpha\} = \{(Dm/Dp)_\alpha\}</math> एक मिश्र में "समानयन" किया जाता है, <math>D \{(m/p)_\alpha\}</math> की <math>D</math> द्वारा क्रमावर्तित की गई प्रतियां <math>\{(m/p)_\alpha\}</math> है।
-"[[एकसमान टाइलिंग]]" का एक समुच्चय, वास्तव में आइसोटॉक्सल बहुभुजों का उपयोग करते हुए [[तुल्यकोणीय टाइलिंग]] सम अभिन्न की तुलना में कम सममित फलक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
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+सावधान:  <math>\{(n/q)_\alpha\}</math> के शीर्ष हमेशा ऐसे नहीं रखे जाते हैं जैसे <math>\{n_\alpha\},</math> जबकि समभुजकोणीय शीर्ष <math>\{n/q\}</math> सममित <math>\{n\}</math> की तरह रखे जाते है।
-|+ style="text-align:center;"|Examples of irregular isotoxal polygons and compounds
+"[[एकसमान टाइलिंग]]" का एक समुच्चय, वास्तव में आइसोटॉक्सल बहुभुजों का उपयोग करते हुए [[तुल्यकोणीय टाइलिंग|समकोणीय टाइलिंग]] सम अभिन्न की तुलना में कम सममित फलक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
+{| class="wikitable"
+|+ style="text-align:center;" |असंयमित आइसोटोक्सल बहुभुज और मिश्रों के उदाहरण
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-!Number of sides <math>(2n)</math>
+!भुजाओं की संख्या <math>(2n)</math>
 ![[Rhombus|2×2]]
 ![[Hexagon|2×3]]
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 ![[Tetradecagon|2×7]]
 ![[Hexadecagon|2×8]]
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-!<math>\{n_\alpha\}</math><BR>Convex: <math>\beta < 180^\circ.</math><BR>Concave: <math>\beta > 180^\circ.</math>
+!<math>\{n_\alpha\}</math><BR>उत्तल: <math>\beta < 180^\circ.</math><BR>अवतल: <math>\beta > 180^\circ.</math>
 |[[File:Isotoxal rhombus.svg|40px]]<BR><math>\{2_\alpha\}</math>
 |[[File:Isotoxal_hexagon.svg|60px]][[File:Concave_isotoxal_hexagon.svg|60px]]<BR><math>\{3_\alpha\}</math>
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 |[[File:Isotoxal_tetradecagon.svg|60px]][[File:Concave isotoxal tetradecagon.svg|60px]]<BR><math>\{7_\alpha\}</math>
 |[[File:Isotoxal_hexadecagon.svg|60px]][[File:Concave isotoxal hexadecagon.svg|60px]]<BR><math>\{8_\alpha\}</math>
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-![[Turning number|2-turn]]<BR><math>\{(n/2)_\alpha\}</math>
+![[Turning number|2- टर्न]]<BR><math>\{(n/2)_\alpha\}</math>
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 |[[File:Intersecting_isotoxal_hexagon.svg|60px]]<BR><math>\{(3/2)_\alpha\}</math>
-|bgcolor="#E0FFFF"| [[File:Isotoxal_rhombus_compound2.svg|60px]]<BR><math>2\{2_\alpha\}</math>
+| bgcolor="#E0FFFF" | [[File:Isotoxal_rhombus_compound2.svg|60px]]<BR><math>2\{2_\alpha\}</math>
 |[[File:Intersecting_isotoxal_decagon2.svg|60px]][[File:Intersecting_isotoxal_decagon2b.svg|60px]]<BR><math>\{(5/2)_\alpha\}</math>
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+| bgcolor="#E0FFFF" |[[File:Isotoxal hexagon compound2.svg|60px]][[File:Concave isotoxal hexagon compound2.svg|60px]]<BR><math>2\{3_\alpha\}</math>
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-|bgcolor="#E0FFFF"| [[File:Isotoxal_octagon_compound2.svg|60px]][[File:Concave_isotoxal_octagon_compound2.svg|60px]]<BR><math>2\{4_\alpha\}</math>
+| bgcolor="#E0FFFF" | [[File:Isotoxal_octagon_compound2.svg|60px]][[File:Concave_isotoxal_octagon_compound2.svg|60px]]<BR><math>2\{4_\alpha\}</math>
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-!3-turn<BR><math>\{(n/3)_\alpha\}</math>
+!3- टर्न<BR><math>\{(n/3)_\alpha\}</math>
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 |[[File:Intersecting_isotoxal_octagon.svg|60px]]<BR><math>\{(4/3)_\alpha\}</math>
 |[[File:Isotoxal_decagram.svg|60px]]<BR><math>\{(5/3)_\alpha\}</math>
-|bgcolor="#E0FFFF"|[[File:Isotoxal_rhombus_compound3.svg|60px]]<BR><math>3\{2_\alpha\}</math>
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 |[[File:Intersecting isotoxal tetradecagon3.svg|60px]][[File:Intersecting isotoxal tetradecagon3b.svg|60px]]<BR><math>\{(7/3)_\alpha\}</math>
 |[[File:Intersecting isotoxal hexadecagon3.svg|60px]][[File:Concave_intersecting_isotoxal_hexadecagon3.svg|60px]]<BR><math>\{(8/3)_\alpha\}</math>
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-!4-turn<BR><math>\{(n/4)_\alpha\}</math>
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 |[[File:Intersecting_isotoxal_decagon.svg|60px]]<BR><math>\{(5/4)_\alpha\}</math>
-|bgcolor="#E0FFFF"|[[File:Intersecting isotoxal hexagon compound2.svg|60px]]<BR><math>2\{(3/2)_\alpha\}</math>
+| bgcolor="#E0FFFF" |[[File:Intersecting isotoxal hexagon compound2.svg|60px]]<BR><math>2\{(3/2)_\alpha\}</math>
 |[[File:Intersecting isotoxal tetradecagon4.svg|60px]]<BR><math>\{(7/4)_\alpha\}</math>
-|bgcolor="#E0FFFF"| [[File:Isotoxal_rhombus_compound4.svg|60px]]<BR><math>4\{2_\alpha\}</math>
+| bgcolor="#E0FFFF" | [[File:Isotoxal_rhombus_compound4.svg|60px]]<BR><math>4\{2_\alpha\}</math>
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-!5-turn<BR><math>\{(n/5)_\alpha\}</math>
+!5-टर्न<BR><math>\{(n/5)_\alpha\}</math>
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 |[[File:Intersecting isotoxal tetradecagon5.svg|60px]]<BR><math>\{(7/5)_\alpha\}</math>
 |[[File:Intersecting isotoxal hexadecagon5.svg|60px]]<BR><math>\{(8/5)_\alpha\}</math>
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 |[[File:Intersecting isotoxal tetradecagon6.svg|60px]]<BR><math>\{(7/6)_\alpha\}</math>
-|bgcolor="#E0FFFF"| [[File:Intersecting_isotoxal_octagon_compound2.svg|60px]]<BR><math>2\{(4/3)_\alpha\}</math>
+| bgcolor="#E0FFFF" | [[File:Intersecting_isotoxal_octagon_compound2.svg|60px]]<BR><math>2\{(4/3)_\alpha\}</math>
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-!7-turn<BR><math>\{(n/7)_\alpha\}</math>
+!7-टर्न<BR><math>\{(n/7)_\alpha\}</math>
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 == आइसोटॉक्सल बहुकोणीय आकृति और टाइलिंग ==
-{{main|List of isotoxal polyhedra and tilings}}
+{{main|आइसोटॉक्सल बहुकोणीय आकृति और टाइलिंग की सूची}}
-सम बहुकोणीय आकृति आइसोहेड्रल (फलक-सकर्मक), समकोणीय (शीर्ष-सकर्मक) और आइसोटॉक्सल (किनारा-सकर्मक) हैं।
-[[क्वासिरेगुलर|अर्धसम]] बहुफलक, [[क्यूबोक्टाहेड्रॉन]] और [[इकोसिडोडेकाहेड्रॉन]] की तरह समकोणीय और आइसोटॉक्सल हैं, लेकिन आइसोहेड्रल नहीं हैं। [[विषमलंबाक्ष द्वादशफलक]] और [[विषमलंबाक्ष ट्राइकॉन्टाहेड्रॉन]] समेत उनके द्वैत, आइसोहेड्रल और आइसोटॉक्सल हैं, लेकिन तुल्यकोणीय नहीं हैं।
+सम बहुकोणीय आकृति आइसोहेड्रल (फलक-संक्रामक), समकोणीय (शीर्ष-संक्रामक) और आइसोटॉक्सल (किनारा-संक्रामक) हैं।
+[[क्वासिरेगुलर|अर्धसम]] बहुफलक, [[क्यूबोक्टाहेड्रॉन]] और [[इकोसिडोडेकाहेड्रॉन]] की तरह समकोणीय और आइसोटॉक्सल हैं, लेकिन आइसोहेड्रल नहीं हैं। [[विषमलंबाक्ष द्वादशफलक|समचतुर्भुज द्वादशफलक]] और [[रोम्बिक ट्राईकॉन्टाहेड्रोन|समचतुर्भुज त्रिकोटाहेडेरॉन]] समेत उनके द्वैत, आइसोहेड्रल और आइसोटॉक्सल हैं, लेकिन समकोणीय नहीं हैं।
 {| class=wikitable width=480
 |+ Examples
-!Quasiregular<BR>polyhedron
+!अर्धसम<BR>बहुफलक
-!Quasiregular dual<BR>polyhedron
+!अर्धसम द्वैत     <BR>बहुफलक
-!Quasiregular<BR>star polyhedron
+!अर्धसम<BR>तारक बहुफलक
-!Quasiregular dual<BR>star polyhedron
+!अर्धसम द्वैत     <BR>तारक (स्टार) बहुफलक
-!Quasiregular<BR>tiling
+!अर्धसम<BR>टाइलिंग (टाइल का छत)
-!Quasiregular dual<BR>tiling
+!अर्धसम द्वैत     <BR>टाइलिंग
 |- valign=top
-|[[File:Uniform polyhedron-43-t1.svg|120px]]<BR>A [[cuboctahedron]] is an isogonal and isotoxal polyhedron
+|[[File:Uniform polyhedron-43-t1.svg|120px]]<BR>एक [[क्यूबोक्टाहेड्रोन]] एक समकोणीय और आइसोटॉक्सल  बहुफलक है
-|[[File:Rhombicdodecahedron.jpg|120px]]<BR>A [[rhombic dodecahedron]] is an isohedral and isotoxal polyhedron
+|[[File:Rhombicdodecahedron.jpg|120px]]<BR>एक [[विषमलंबाक्ष द्वादशफलक|समचतुर्भुज]] [[द्वादशफ़लक]] एक आइसोहेड्रल और आइसोटॉक्सल बहुफलक है
-|[[File:Great icosidodecahedron.png|120px]]<BR>A [[great icosidodecahedron]] is an isogonal and isotoxal star polyhedron
+|[[File:Great icosidodecahedron.png|120px]]<BR>एक [[बड़ा]] [[आईकोसाइडोडेकाहेड्रॉन]] एक समकोणीय और आइसोटॉक्सल तारक बहुफलक है
-|[[File:DU54 great rhombic triacontahedron.png|120px]]<BR>A [[great rhombic triacontahedron]] is an isohedral and isotoxal star polyhedron
+|[[File:DU54 great rhombic triacontahedron.png|120px]]<BR>एक बड़ा [[great rhombic triacontahedron|विषमलंबाक्ष      त्रिकोटाहेडेरॉन]] एक आइसोहेड्रल और आइसोटॉक्सल तारक बहुफलक है
-|[[File:Tiling Semiregular 3-6-3-6 Trihexagonal.svg|120px]]<BR>The [[trihexagonal tiling]] is an isogonal and isotoxal tiling
+|[[File:Tiling Semiregular 3-6-3-6 Trihexagonal.svg|120px]]<BR>[[त्रिषट्कोणीय टाइलिंग]] एक समकोणीय और आइसोटॉक्सल टाइलिंग है
-|[[File:Star rhombic lattice.png|120px]]<BR>The [[rhombille tiling]] is an isohedral and isotoxal tiling with p6m (*632) symmetry.
+|[[File:Star rhombic lattice.png|120px]]<BR>[[समचतुर्भुजी टाइलिंग]] p6m (*632) सममित  के साथ एक आइसोहेड्रल और आइसोटॉक्सल  टाइलिंग है।
 |}
-नियमित बहुभुजों से निर्मित प्रत्येक पॉलीहेड्रॉन या 2-आयामी टेसलेशन आइसोटॉक्सल नहीं है। उदाहरण के लिए, कटा हुआ आईकोसैहेड्रोन (परिचित सॉकरबॉल) आइसोटॉक्सल नहीं है, क्योंकि इसके दो किनारे प्रकार हैं: हेक्सागोन-हेक्सागोन और हेक्सागोन-पेंटागोन, और ठोस की समरूपता के लिए एक हेक्सागोन-हेक्सागोन किनारे को स्थानांतरित करना संभव नहीं है। षट्कोण-पंचभुज किनारा।
+[[सम]] [[बहुभुजों]] से निर्मित प्रत्येक बहुफलक या  2-आयामी [[चौकोर]] आइसोटॉक्सल नहीं है। उदाहरण के लिए, रुंडित विंशफलक (सामान्य सॉकरबॉल) आइसोटॉक्सल नहीं है, क्योंकि इसके दो किनारे इस प्रकार हैं: षट्कोण-षट्कोण और षट्कोण-पंचकोण, और ठोस की सममिति के लिए एक षट्कोण-षट्कोण किनारे को षट्कोण -पंचकोण किनारे पर स्थानांतरित करना संभव नहीं है।
-एक आइसोटॉक्सल पॉलीहेड्रॉन में सभी किनारों के लिए पॉलीहेड्रल डायहेड्रल कोणों की एक ही तालिका होती है।
+एक आइसोटॉक्सल बहुफलक में सभी किनारों के लिए समान [[द्वितल कोण]] होता है।
-एक उत्तल बहुफलक का द्वैत भी एक उत्तल बहुफलक होता है।<ref name=":0">{{Cite web|title=द्वंद्व|url=http://maths.ac-noumea.nc/polyhedr/dual_.htm|access-date=2020-09-30|website=maths.ac-noumea.nc}}</ref>
+एक अवमुखबहुफलक का द्वैत भी एक अवमुखबहुफलक होता है।<ref name=":0">{{Cite web|title=द्वंद्व|url=http://maths.ac-noumea.nc/polyhedr/dual_.htm|access-date=2020-09-30|website=maths.ac-noumea.nc}}</ref>
-एक गैर-उत्तल बहुफलक का द्वैत भी एक गैर-उत्तल बहुफलक होता है।<ref name=":0" />(कॉन्ट्रापोजिशन द्वारा।)
-एक आइसोटॉक्सल पॉलीहेड्रॉन का दोहरा एक आइसोटॉक्सल पॉलीहेड्रॉन भी है। (डुअल पॉलीहेड्रॉन लेख देखें।)
+एक गैर-अवमुखबहुफलक का द्वैत भी एक गैर-अवमुखबहुफलक होता है।<ref name=":0" />(समुख स्थिति द्वारा।)
-नौ उत्तल पॉलीहेड्रोन आइसोटॉक्सल पॉलीहेड्रा हैं: पांच (नियमित पॉलीहेड्रॉन) प्लेटोनिक ठोस, दो (क्वासिरेगुलर पॉलीहेड्रॉन) दोहरे प्लेटोनिक ठोस के सामान्य कोर, और उनके दो दोहरे।
+एक आइसोटॉक्सल बहुफलक का द्वैत एक आइसोटॉक्सल बहुफलक भी है। ([[द्वैत बहुफलक]] लेख देखें।)
-चौदह गैर-उत्तल आइसोटॉक्सल पॉलीहेड्रा हैं: चार (नियमित) केप्लर-प्वाइंट पॉलीहेड्रॉन | केप्लर-पॉइन्सॉट पॉलीहेड्रा, दोहरे केप्लर-प्वाइंट्सॉट पॉलीहेड्रा के दो (क्वासिरेगुलर) सामान्य कोर, और उनके दो दोहरे, प्लस तीन क्वासीरेगुलर डिट्रिगोनल (3) | p q) स्टार पॉलीहेड्रा, और उनके तीन दोहरे।
+नौ [[अवमुख]] आइसोटॉक्सल बहुकोणीय आकृति हैं: पांच ([[सम]]) [[प्लेटोनिक ठोस]], दो ([[क्वासिरेगुलर|अर्धसम]]) द्वैत प्लेटोनिक ठोस के सामान्य कोर, और उनके दो द्वैत है।
-कम से कम पांच आइसोटॉक्सल पॉलीहेड्रल यौगिक हैं: पांच पॉलीटॉप यौगिक; उनके पांच दोहरे भी पांच नियमित पॉलीहेड्रल यौगिक (या एक चिरल जुड़वां) हैं।
+चौदह गैर-अवमुख आइसोटॉक्सल बहुकोणीय आकृति हैं: चार (सम) [[केप्लर-पॉइन्सॉट]] बहुफलक के दो (अर्धसम) सामान्य कोर, और उनके दो द्वैत , इसके अतिरिक्त्त तीन अर्धसम द्वितीभुज (3 | p q) तारक बहुकोणीय आकृति, और उनके तीन द्वैत है।
-यूक्लिडियन विमान के कम से कम पांच आइसोटॉक्सल पॉलीगोनल टिलिंग हैं, और हाइपरबोलिक प्लेन के असीम रूप से कई आइसोटॉक्सल पॉलीगोनल टिलिंग हैं, जिसमें नियमित पॉलीटोप्स # हाइपरबोलिक टिलिंग्स {पी, क्यू}, और नॉन-राइट (पी क्यू आर) की सूची से वायथॉफ निर्माण शामिल हैं। समूह।
+कम से कम पांच आइसोटॉक्सल बहुफलकीय मिश्र हैं: पांच [[सम  बहुफलकीय मिश्रण|सम बहुफलकीय मिश्र]] ; उनके पांच द्वैत भी पांच सम बहुफलकीय मिश्र (या एक किरेल प्रतरूप) हैं।
+यूक्लिडियन तल के कम से कम पांच आइसोटॉक्सल बहुभुजी टाइलिंग हैं, और अतिपरवलयिक तल के अपरिमित रूप से कई आइसोटॉक्सल बहुभुजी टाइलिंग हैं, जिसमें सम अतिपरवलयिक टाइलिंग {p,q}, और गैर-सम (p q r) समूहों से वायथॉफ निर्माण सम्मिलित हैं।
 == यह भी देखें ==
-* पॉलीहेड्रॉन डायहेड्रल कोणों की तालिका
+* बहुफलक द्वितल कोणों की तालिका
-* वर्टेक्स-सकर्मक
+* शीर्ष -संक्रामक
-* चेहरा-सकर्मक
+* फलक-संक्रामक
-* सेल-सकर्मक
+* सेल-संक्रामक
@@ Line 145: / Line 150: @@
 {{polygons}}
-[[Category:पॉलीहेड्रा]]
 [[Category:4-पॉलीटोप्स]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
+[[Category:Collapse templates]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 27/11/2022]]
+[[Category:Lua-based templates]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Navigational boxes| ]]
+[[Category:Navigational boxes without horizontal lists]]
+[[Category:Pages that use a deprecated format of the math tags]]
+[[Category:Pages with script errors]]
+[[Category:Sidebars with styles needing conversion]]
+[[Category:Template documentation pages|Documentation/doc]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready]]
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