बोरसुक-उलम प्रमेय: Difference between revisions

Revision as of 12:28, 9 May 2023

गणित में, बोरसुक-उलम प्रमेय कहता है कि n-गोले से यूक्लिडियन n-समष्टि में प्रत्येक संतत फलन एक ही बिंदु पर प्रतिव्यासांत बिंदुओं की कुछ युग्म को मानचित्र करता है। यहाँ, गोले पर दो बिंदुओं को प्रतिव्यासांत कहा जाता है यदि वे गोले के केंद्र से यथार्थतः विपरीत दिशाओं में होते है।

औपचारिक रूप से: यदि $f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ संतत है तो $x\in S^{n}$ उपस्तिथ है जैसे: $f(-x)=f(x)$

प्रकरण $n=1$ यह कहकर चित्रित किया जा सकता है कि समान तापमान वाले पृथ्वी के भूमध्य रेखा पर हमेशा विपरीत बिंदुओं की एक युग्म उपस्तिथ होती है। किसी भी वृत्त के लिए भी यही सत्य है। यह मानता है कि समष्टि में तापमान लगातार बदलता रहता है।

प्रकरण $n=2$ प्रायः यह यह कहते हुए चित्रित किया जाता है कि किसी भी समय, पृथ्वी की सतह पर समान तापमान और समान बैरोमीटर के दबावों के साथ हमेशा प्रतिव्यासांत बिंदुओं की एक युग्म होती है, यह मानते हुए कि दोनों प्राचल समष्टि में लगातार भिन्न होते हैं।

विषम फलनों के संदर्भ में बोरसुक-उलम प्रमेय में कई समान कथन हैं। याद रखें कि $S^{n}$ n-गोला है और $B^{n}$ n-गोलक है:

अगर $g:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ एक सतत विषम फलन है, तो एक $x\in S^{n}$ उपस्तिथ है जैसे कि: $g(x)=0$ हैं।
अगर $g:B^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ एक सतत फलन है जो $S^{n-1}$ ( $B^{n}$ की सीमा) पर विषम है, तो $x\in B^{n}$ उपस्तिथ है जैसे: $g(x)=0$ हैं।

इतिहास

माटूसेक (2003, p. 25) के अनुसार, बोरसुक-उलम प्रमेय के कथन का पहला ऐतिहासिक उल्लेख ल्युस्टर्निक & श्निरेलमैन (1930) में प्रकट होता हैं। प्रथम प्रमाण करोल बोरसुक (1933) द्वारा दिया गया था, जहां समस्या के सूत्रीकरण का श्रेय स्टैनिस्लाव उलम को दिया गया था। तब से, कई वैकल्पिक प्रमाण विभिन्न लेखकों द्वारा खोजे गए हैं, जैसा कि स्टीनलीन (1985) द्वारा एकत्र किया गया था।

समतुल्य कथन

निम्नलिखित कथन बोरसुक-उलम प्रमेय के समतुल्य हैं।^[1]

विषम फलनों के साथ

एक फलन $g$ को विषम (उर्फ प्रतिव्यासांत या प्रतिव्यासांत-संरक्षी) कहा जाता है यदि प्रत्येक $x$ : $g(-x)=-g(x)$ के लिए हैं।

बोरसुक-उलम प्रमेय निम्नलिखित कथन के समतुल्य है: एक n-क्षेत्र से यूक्लिडियन n-समष्टि में एक सतत विषम फलन का शून्य होता है।

प्रमाण:

यदि प्रमेय सही है, तो यह विशेष रूप से विषम फलनों के लिए सही है, और विषम फलनों के लिए, $g(-x)=g(x)$ आईएफएफ $g(x)=0$ है। इसलिए प्रत्येक विषम सतत फलन का एक शून्य होता है।
प्रत्येक संतत फलन $f$ के लिए, निम्न फलन संतत और विषम है: $g(x)=f(x)-f(-x)$ है। यदि प्रत्येक विषम सतत फलन में शून्य है, तो $g$ एक शून्य है, और इसलिए, $f(x)=f(-x)$ है। अतः प्रमेय सही है।

प्रत्यावर्तन के साथ

प्रत्यावर्तन को एक फलन $h:S^{n}\to S^{n-1}$ के रूप में परिभाषित करें। बोरसुक-उलम प्रमेय निम्नलिखित दावे के समान है: कोई संतत विषम प्रत्यावर्तन नहीं है।

प्रमाण: यदि प्रमेय सही है, तो $S^{n}$ से प्रत्येक सतत विषम फलन को उसकी श्रेणी में 0 अवश्य सम्मिलित होना चाहिए। हालाँकि, $0\notin S^{n-1}$ इसलिए कोई सतत विषम फलन नहीं हो सकता जिसकी सीमा $S^{n-1}$ है।

इसके विपरीत, यदि यह गलत है, तो एक सतत विषम फलन होता है $g:S^{n}\to {\mathbb {R}}^{n}$ बिना शून्य के। तब हम एक और विषम फलन बना सकते हैं $h:S^{n}\to S^{n-1}$ द्वारा:

h(x)={\frac {g(x)}{|g(x)|}}

उस समय से $g$ का कोई शून्य नहीं है, $h$ अच्छी तरह से परिभाषित और संतत है। इस प्रकार हमारे पास संतत विषम प्रतिगमन है।

प्रमाण

1-आयामी प्रकरण

मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय (आईवीटी) का उपयोग करके 1-आयामी प्रकरण आसानी से सिद्ध किया जा सकता है।

$g$ को एक वृत्त पर एक विषम वास्तविक-मूल्यवान सतत फलन होने दें। एक स्वेच्छाचारी $x$ का चयन करे। अगर $g(x)=0$ तो हम कर चुके हैं। अन्यथा, सामान्यता की हानि के बिना, $g(x)>0$ लेकिन $g(-x)<0$ है।इसलिए, IVT द्वारा, $x$ और $-x$ के मध्य एक बिंदु $y$ है जिस पर $g(y)=0$

सामान्य प्रकरण

बीजगणितीय सामयिक प्रमाण

मान लें कि $h:S^{n}\to S^{n-1}$ $n>2$ के साथ एक विषम सतत फलन है (प्रकरण $n=1$ को ऊपर माना गया है, प्रकरण $n=2$ को आधार आवरण सिद्धांत का उपयोग करके नियंत्रित किया जा सकता है)। प्रतिव्यासांत फलन के अंतर्गत कक्षाओं में जाने से, हम वास्तविक प्रक्षेपीय समष्टि के मध्य एक प्रेरित संतत फलन $h':\mathbb {RP} ^{n}\to \mathbb {RP} ^{n-1}$ प्राप्त करते हैं, जो मौलिक समूहों पर एक समरूपता को प्रेरित करता है। ह्यूरेविक्ज़ प्रमेय द्वारा, $\mathbb {F} _{2}$ गुणांकों के साथ सह-समरूपता पर प्रेरित वलय समरूपता [जहाँ $\mathbb {F} _{2}$ दो तत्वों के साथ क्षेत्र को दर्शाता है],

\mathbb {F} _{2}[a]/a^{n+1}=H^{*}\left(\mathbb {RP} ^{n};\mathbb {F} _{2}\right)\leftarrow H^{*}\left(\mathbb {RP} ^{n-1};\mathbb {F} _{2}\right)=\mathbb {F} _{2}[b]/b^{n},

$b$ को $a$ भेजता है। लेकिन फिर हम पाते हैं कि $b^{n}=0$ को $a^{n}\neq 0$ , एक परस्पर भेजा जाता है।^[2]

कोई भी मजबूत कथन दिखा सकता है कि कोई भी विषम मानचित्र $S^{n-1}\to S^{n-1}$ में विषम डिग्री है और फिर इस परिणाम से प्रमेय को घटते है।

संयुक्त प्रमाण

टकर लेम्मा से बोरसुक-उलम प्रमेय को सिद्ध किया जा सकता है।^[1]^[3]^[4]

अनुमान $g:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ एक संतत विषम फलन है। क्योंकि g सघन प्रक्षेत्र पर संतत है, यह समान रूप से संतत है। इसलिए, प्रत्येक $\epsilon >0$ के लिए, एक $\delta >0$ ऐसा है कि, $S_{n}$ के प्रत्येक दो बिंदुओं के लिए जो एक दूसरे के $\delta$ अंतर्गत, g के अंतर्गत उनकी छवियां एक दूसरे के $\epsilon$ के अंतर्गत हैं।

अधिकतम $\delta$ पर लंबाई के किनारों के साथ $S_{n}$ के त्रिकोणासन को परिभाषित करें। त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष $v$ को एक लेबल $l(v)\in {\pm 1,\pm 2,\ldots ,\pm n}$ के साथ निम्नलिखित प्रकार से लेबल करें:

लेबल का निरपेक्ष मान g: $|l(v)|=\arg \max _{k}(|g(v)_{k}|)$ के उच्चतम निरपेक्ष मान के साथ निर्देशांक का सूचकांक हैं।
लेबल का चिह्न g का चिह्न है, ताकि: $l(v)=\operatorname {sgn}(g(v))|l(v)|$ हैं।

क्योंकि g विषम है, लेबलिंग भी विषम है: $l(-v)=-l(v)$ इसलिए, टकर लेम्मा द्वारा, विपरीत लेबल वाले $u,v$ दो आसन्न शीर्ष हैं। मान लीजिए w.l.o.g. कि लेबल $l(u)=1,l(v)=-1$ हैं। l की परिभाषा के अनुसार, इसका अर्थ है कि $g(u)$ और $g(v)$ दोनों में, समन्वय #1 सबसे बड़ा निर्देशांक है: $g(u)$ में यह समन्वय सकारात्मक है जबकि $g(v)$ में यह नकारात्मक है। त्रिभुज की रचना से, $g(u)$ और $g(v)$ के मध्य की दूरी अधिक से अधिक $\epsilon$ है, इसलिए विशेष रूप से $|g(u)_{1}-g(v)_{1}|=|g(u)_{1}|+|g(v)_{1}|\leq \epsilon$ (क्योंकि $g(u)_{1}$ और $g(v)_{1}$ के विपरीत चिह्न हैं) औरइसलिए $|g(u)_{1}|\leq \epsilon$ है। लेकिन $g(u)$ का सबसे बड़ा निर्देशांक #1 है, इसका अर्थ है कि $|g(u)_{k}|\leq \epsilon$ प्रत्येक $1\leq k\leq n$ के लिए हैं। इसलिए $|g(u)|\leq c_{n}\epsilon$ , जहां $c_{n}$ कुछ स्थिरांक है जो $n$ और मानक $|\cdot |$ पर निर्भर करता है जिसका अपने चयन किया है।

उपरोक्त प्रत्येक $\epsilon >0$ के लिए सत्य है; क्योंकि $S_{n}$ संक्षिप्त है इसलिए एक बिंदु u होना चाहिए जिसमें $|g(u)|=0$ हैं।

परिणाम

$\mathbb {R} ^{n}$ का कोई उपसमुच्चय $S^{n}$ के लिए समरूपी नहीं हैं।
हैम सैंडविच प्रमेय: किसी भी सुसम्बद्ध समष्टि समुच्चय के लिए A₁, ..., A_n में $\mathbb {R} ^{n}$ के लिए हम हमेशा उनमें से प्रत्येक को समान माप के दो उपसमुच्चय में विभाजित करने वाला एक अधिसमतल प्राप्त कर सकते हैं।

समतुल्य परिणाम

ऊपर हमने टकर लेम्मा से बोरसुक-उलम प्रमेय को सिद्ध करने का प्रकार दिखाया। इसका विलोम भी सत्य है: टकर लेम्मा को बोरसुक-उलम प्रमेय से सिद्ध करना संभव है। इसलिए, ये दो प्रमेय समकक्ष हैं। There are several fixed-point theorems which come in three equivalent variants: an algebraic topology variant, a combinatorial variant and a set-covering variant. Each variant can be proved separately using totally different arguments, but each variant can also be reduced to the other variants in its row. Additionally, each result in the top row can be deduced from the one below it in the same column.^[5]

Algebraic topology	Combinatorics	Set covering
Brouwer fixed-point theorem	Sperner's lemma	Knaster–Kuratowski–Mazurkiewicz lemma
Borsuk–Ulam theorem	Tucker's lemma	Lusternik–Schnirelmann theorem

सामान्यीकरण

मूल प्रमेय में, फलन f का प्रक्षेत्र इकाई n-क्षेत्र (इकाई n-गेंद की सीमा) है। सामान्य रूप से, यह तब भी सही होता है जब f का प्रांत मूल वाले $\mathbb {R} ^{n}$ के किसी विवृत परिबद्ध सममित उपसमुच्चय की सीमा होता है (यहाँ, सममित का अर्थ है कि यदि x उपसमुच्चय में है तो -x भी उपसमुच्चय में है)।^[6]
फलन A पर विचार करें जो एक बिंदु को उसके प्रतिव्यासांत बिंदु पर $A(x)=-x$ मानचित्र करता है। ध्यान दें कि $A(A(x))=x$ है। मूल प्रमेय का अनुरोध है कि एक बिंदु x है जिसमें $f(A(x))=f(x)$ है।सामान्यतः, यह प्रत्येक फलन A के लिए भी सत्य है जिसके लिए $A(A(x))=x$ है।^[7] हालांकि, सामान्य रूप से यह अन्य फलनों A के लिए सही नहीं है।^[8]

यह भी देखें

↑ ^1.0 ^1.1 Prescott, Timothy (2002). Extensions of the Borsuk–Ulam Theorem (BS). Harvey Mudd College. CiteSeerX 10.1.1.124.4120.
↑ Joseph J. Rotman, An Introduction to Algebraic Topology (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1 (See Chapter 12 for a full exposition.)
↑ Freund, Robert M.; Todd, Michael J. (1982). "टकर के संयोजी लेम्मा का एक रचनात्मक प्रमाण". Journal of Combinatorial Theory. Series A. 30 (3): 321–325. doi:10.1016/0097-3165(81)90027-3.
↑ Simmons, Forest W.; Su, Francis Edward (2003). "Consensus-halving via theorems of Borsuk–Ulam and Tucker". Mathematical Social Sciences. 45: 15–25. doi:10.1016/s0165-4896(02)00087-2. hdl:10419/94656.
↑ Nyman, Kathryn L.; Su, Francis Edward (2013), "A Borsuk–Ulam equivalent that directly implies Sperner's lemma", The American Mathematical Monthly, 120 (4): 346–354, doi:10.4169/amer.math.monthly.120.04.346, JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.120.04.346, MR 3035127
↑ "Borsuk fixed-point theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
↑ Yang, Chung-Tao (1954). "बोरसुक-उलम, काकुटानी-यामाबे-युजोबो और डायसन के प्रमेयों पर, मैं". Annals of Mathematics. 60 (2): 262–282. doi:10.2307/1969632. JSTOR 1969632.
↑ Jens Reinhold, Faisal; Sergei Ivanov. "बोरसुक-उलम का सामान्यीकरण". Math Overflow. Retrieved 18 May 2015.

संदर्भ

Borsuk, Karol (1933). "ड्रेई सत्ज़े उबेर डाई एन-डायमेंशनेल युक्लिडिशे स्फेरे" (PDF). Fundamenta Mathematicae (in Deutsch). 20: 177–190. doi:10.4064/fm-20-1-177-190. Archived (PDF) from the original on 2022-10-09.
Lyusternik, Lazar; Shnirel'man, Lev (1930). "परिवर्तनशील समस्याओं में सांस्थितिक तरीके". Issledowatelskii Institut Matematiki I Mechaniki Pri O. M. G. U. Moscow.
Matoušek, Jiří (2003). बोरसुक-उलम प्रमेय का उपयोग करना. Berlin: Springer Verlag. doi:10.1007/978-3-540-76649-0. ISBN 978-3-540-00362-5.
Steinlein, H. (1985). "बोरसुक का प्रतिव्यासांत प्रमेय और इसके सामान्यीकरण और अनुप्रयोग: एक सर्वेक्षण। मेथोड्स टोपोलॉजीज एन एनालिसिस नॉन लाइनेयर". Sém. Math. Supér. Montréal, Sém. Sci. OTAN (NATO Adv. Study Inst.). 95: 166–235.
Su, Francis Edward (Nov 1997). "Borsuk-Ulam Implies Brouwer: A Direct Construction" (PDF). The American Mathematical Monthly. 104 (9): 855–859. CiteSeerX 10.1.1.142.4935. doi:10.2307/2975293. JSTOR 2975293. Archived from the original (PDF) on 2008-10-13. Retrieved 2006-04-21.

बाहरी संबंध

Who (else) cares about topology? Stolen necklaces and Borsuk-Ulam on YouTube

[prescott2002-1] 1.0 ^1.1 Prescott, Timothy (2002). Extensions of the Borsuk–Ulam Theorem (BS). Harvey Mudd College. CiteSeerX 10.1.1.124.4120.

[rotman-2] Joseph J. Rotman, An Introduction to Algebraic Topology (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1 (See Chapter 12 for a full exposition.)

[FreundTodd1982-3] Freund, Robert M.; Todd, Michael J. (1982). "टकर के संयोजी लेम्मा का एक रचनात्मक प्रमाण". Journal of Combinatorial Theory. Series A. 30 (3): 321–325. doi:10.1016/0097-3165(81)90027-3.

[SimmonsSu2003-4] Simmons, Forest W.; Su, Francis Edward (2003). "Consensus-halving via theorems of Borsuk–Ulam and Tucker". Mathematical Social Sciences. 45: 15–25. doi:10.1016/s0165-4896(02)00087-2. hdl:10419/94656.

[5] Nyman, Kathryn L.; Su, Francis Edward (2013), "A Borsuk–Ulam equivalent that directly implies Sperner's lemma", The American Mathematical Monthly, 120 (4): 346–354, doi:10.4169/amer.math.monthly.120.04.346, JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.120.04.346, MR 3035127

[6] "Borsuk fixed-point theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[7] Yang, Chung-Tao (1954). "बोरसुक-उलम, काकुटानी-यामाबे-युजोबो और डायसन के प्रमेयों पर, मैं". Annals of Mathematics. 60 (2): 262–282. doi:10.2307/1969632. JSTOR 1969632.

[8] Jens Reinhold, Faisal; Sergei Ivanov. "बोरसुक-उलम का सामान्यीकरण". Math Overflow. Retrieved 18 May 2015.

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 {{short description|Theorem in topology}}
-गणित में, बोरसुक-उलम प्रमेय में कहा गया है कि एक n-sphere|''n''-sphere से Euclidean space|Euclidean ''n''-space में प्रत्येक [[निरंतर कार्य]] एक ही बिंदु पर [[एंटीपोडल बिंदु]]ओं की कुछ जोड़ी को मैप करता है। यहाँ, गोले पर दो बिंदुओं को एंटीपोडल कहा जाता है यदि वे गोले के केंद्र से बिल्कुल विपरीत दिशाओं में हों।
+गणित में, बोरसुक-उलम प्रमेय कहता है कि n-गोले से यूक्लिडियन ''n''-समष्टि में प्रत्येक [[निरंतर कार्य|संतत फलन]] एक ही बिंदु पर [[एंटीपोडल बिंदु|प्रतिव्यासांत बिंदुओं]] की कुछ युग्म को मानचित्र करता है। यहाँ, गोले पर दो बिंदुओं को प्रतिव्यासांत कहा जाता है यदि वे गोले के केंद्र से यथार्थतः विपरीत दिशाओं में होते है।
-औपचारिक रूप से: यदि <math>f: S^n \to \R^n</math> निरंतर है तो वहाँ एक मौजूद है <math>x\in S^n</math> ऐसा है कि:  <math>f(-x)=f(x)</math>.
+औपचारिक रूप से: यदि <math>f: S^n \to \R^n</math> संतत है तो <math>x\in S^n</math> उपस्तिथ है जैसे: <math>f(-x)=f(x)</math>
-मामला <math>n=1</math> यह कहकर सचित्र किया जा सकता है कि पृथ्वी के भूमध्य रेखा पर हमेशा समान तापमान वाले विपरीत बिंदुओं की एक जोड़ी मौजूद होती है। किसी भी सर्कल के लिए भी यही सच है। यह मानता है कि अंतरिक्ष में तापमान लगातार बदलता रहता है।
+प्रकरण <math>n=1</math> यह कहकर चित्रित किया जा सकता है कि समान तापमान वाले पृथ्वी के भूमध्य रेखा पर हमेशा विपरीत बिंदुओं की एक युग्म उपस्तिथ होती है। किसी भी वृत्त के लिए भी यही सत्य है। यह मानता है कि समष्टि में तापमान लगातार बदलता रहता है।
-मामला <math>n=2</math> अक्सर यह कहकर सचित्र किया जाता है कि किसी भी समय, पृथ्वी की सतह पर समान तापमान और समान बैरोमीटर के दबावों के साथ हमेशा एंटीपोडल बिंदुओं की एक जोड़ी होती है, यह मानते हुए कि दोनों पैरामीटर अंतरिक्ष में लगातार भिन्न होते हैं।
+प्रकरण <math>n=2</math> प्रायः यह यह कहते हुए चित्रित किया जाता है कि किसी भी समय, पृथ्वी की सतह पर समान तापमान और समान बैरोमीटर के दबावों के साथ हमेशा प्रतिव्यासांत बिंदुओं की एक युग्म होती है, यह मानते हुए कि दोनों प्राचल समष्टि में लगातार भिन्न होते हैं।
-विषम कार्यों के संदर्भ में बोरसुक-उलम प्रमेय में कई समान कथन हैं। याद करें कि <math>S^n</math> n-sphere|n-sphere और है <math>B^n</math> एन-बॉल है|एन-बॉल:
+विषम फलनों के संदर्भ में बोरसुक-उलम प्रमेय में कई समान कथन हैं। याद रखें कि <math>S^n</math> n-गोला है और <math>B^n</math> n-गोलक है:
-* अगर <math>g : S^n \to \R^n</math> एक सतत विषम कार्य है, तो वहाँ एक मौजूद है <math>x\in S^n</math> ऐसा है कि:  <math>g(x)=0</math>.
+* अगर <math>g : S^n \to \R^n</math> एक सतत विषम फलन है, तो एक <math>x\in S^n</math> उपस्तिथ है जैसे कि: <math>g(x)=0</math> हैं।
-* अगर <math>g : B^n \to \R^n</math> एक सतत कार्य है जो विषम है <math>S^{n-1}</math> (की सीमा <math>B^n</math>), तो एक मौजूद है <math>x\in B^n</math> ऐसा है कि:  <math>g(x)=0</math>.
+* अगर <math>g : B^n \to \R^n</math> एक सतत फलन है जो <math>S^{n-1}</math>(<math>B^n</math> की सीमा) पर विषम है, तो <math>x\in B^n</math> उपस्तिथ है जैसे:  <math>g(x)=0</math> हैं।
 == इतिहास ==
-के अनुसार {{harvtxt|Matoušek|2003|p=25}}, बोरसुक-उलम प्रमेय के बयान का पहला ऐतिहासिक उल्लेख में प्रकट होता है {{harvtxt|Lyusternik|Shnirel'man|1930}}. द्वारा प्रथम प्रमाण दिया गया था {{harvs|first=Karol|last=Borsuk|authorlink=Karol Borsuk|year=1933|txt}}, जहां समस्या के सूत्रीकरण का श्रेय [[स्टैनिस्लाव मछुआरे]] को दिया गया था। तब से, कई वैकल्पिक प्रमाण विभिन्न लेखकों द्वारा खोजे गए हैं, जैसा कि द्वारा एकत्र किया गया है {{harvtxt|Steinlein|1985}}.
+{{harvtxt|माटूसेक|2003|p=25}} के अनुसार, बोरसुक-उलम प्रमेय के कथन का पहला ऐतिहासिक उल्लेख {{harvtxt|ल्युस्टर्निक |श्निरेलमैन|1930}} में प्रकट होता हैं। प्रथम प्रमाण {{harvs|first=करोल|last=बोरसुक|authorlink=करोल बोरसुक|year=1933|txt}} द्वारा दिया गया था, जहां समस्या के सूत्रीकरण का श्रेय [[स्टैनिस्लाव मछुआरे|स्टैनिस्लाव उलम]] को दिया गया था। तब से, कई वैकल्पिक प्रमाण विभिन्न लेखकों द्वारा खोजे गए हैं, जैसा कि  {{harvtxt|स्टीनलीन|1985}} द्वारा एकत्र किया गया था।
 == समतुल्य कथन ==
 निम्नलिखित कथन बोरसुक-उलम प्रमेय के समतुल्य हैं।<ref name=prescott2002>{{cite thesis |title=Extensions of the Borsuk–Ulam Theorem |type=BS |publisher=Harvey Mudd College |date=2002 |author=Prescott, Timothy |citeseerx=10.1.1.124.4120}}</ref>
+=== विषम फलनों के साथ ===
+एक फलन <math>g</math> को विषम (उर्फ प्रतिव्यासांत या प्रतिव्यासांत-संरक्षी) कहा जाता है यदि प्रत्येक <math>x</math>: <math>g(-x)=-g(x)</math> के लिए हैं।
+बोरसुक-उलम प्रमेय निम्नलिखित कथन के समतुल्य है: एक n-क्षेत्र से यूक्लिडियन n-समष्टि में एक सतत विषम फलन का शून्य होता है।
-=== विषम कार्यों के साथ ===
+प्रमाण:
-एक समारोह <math>g</math> यदि प्रत्येक के लिए विषम (उर्फ एंटीपोडल या एंटीपोड-संरक्षण) कहा जाता है <math>x</math>: <math>g(-x)=-g(x)</math>.
+* यदि प्रमेय सही है, तो यह विशेष रूप से विषम फलनों के लिए सही है, और विषम फलनों के लिए, <math>g(-x)=g(x)</math> आईएफएफ <math>g(x)=0</math> है। इसलिए प्रत्येक विषम सतत फलन का एक शून्य होता है।
+* प्रत्येक संतत फलन <math>f</math> के लिए, निम्न फलन संतत और विषम है: <math>g(x)=f(x)-f(-x)</math> है। यदि प्रत्येक विषम सतत फलन में शून्य है, तो <math>g</math> एक शून्य है, और इसलिए, <math>f(x)=f(-x)</math> है। अतः प्रमेय सही है।
-बोरसुक-उलम प्रमेय निम्नलिखित कथन के समतुल्य है: एक n-क्षेत्र से यूक्लिडियन n-अंतरिक्ष में एक सतत विषम फलन शून्य होता है। सबूत:
-* यदि प्रमेय सही है, तो यह विशेष रूप से विषम कार्यों के लिए सही है, और विषम कार्यों के लिए, <math>g(-x)=g(x)</math> आईएफएफ <math>g(x)=0</math>. इसलिए प्रत्येक विषम सतत फलन का एक शून्य होता है।
-* प्रत्येक निरंतर कार्य के लिए <math>f</math>, निम्नलिखित कार्य निरंतर और विषम है: <math>g(x)=f(x)-f(-x)</math>. यदि प्रत्येक विषम सतत फलन में शून्य हो, तब <math>g</math> एक शून्य है, और इसलिए, <math>f(x)=f(-x)</math>. अतः प्रमेय सही है।
 === प्रत्यावर्तन के साथ ===
-प्रत्यावर्तन को एक क्रिया के रूप में परिभाषित कीजिए <math>h: S^n \to S^{n-1}.</math> बोरसुक-उलम प्रमेय निम्नलिखित दावे के बराबर है: कोई निरंतर विषम प्रत्यावर्तन नहीं है।
+प्रत्यावर्तन को एक फलन <math>h: S^n \to S^{n-1}</math> के रूप में परिभाषित करें। बोरसुक-उलम प्रमेय निम्नलिखित दावे के समान है: कोई संतत विषम प्रत्यावर्तन नहीं है।
-उपपत्ति: यदि प्रमेय सही है, तो प्रत्येक सतत विषम फलन from <math>S^n</math> इसकी सीमा में 0 शामिल होना चाहिए। हालाँकि,  <math>0 \notin S^{n-1}</math> इसलिए कोई सतत विषम फलन नहीं हो सकता जिसकी सीमा है <math>S^{n-1}</math>.
+प्रमाण: यदि प्रमेय सही है, तो <math>S^n</math> से प्रत्येक सतत विषम फलन को उसकी श्रेणी में 0 अवश्य सम्मिलित होना चाहिए। हालाँकि,  <math>0 \notin S^{n-1}</math> इसलिए कोई सतत विषम फलन नहीं हो सकता जिसकी सीमा <math>S^{n-1}</math> है।
 इसके विपरीत, यदि यह गलत है, तो एक सतत विषम फलन होता है <math>g: S^n \to \Bbb{R}^n</math> बिना शून्य के। तब हम एक और विषम फलन बना सकते हैं <math>h: S^n \to S^{n-1}</math> द्वारा:
 :<math>h(x)=\frac{g(x)}{|g(x)|}</math>
-तब से <math>g</math> कोई शून्य नहीं है, <math>h</math> अच्छी तरह से परिभाषित और निरंतर है। इस प्रकार हमारे पास निरंतर विषम वापसी है।
+उस समय से <math>g</math> का कोई शून्य नहीं है, <math>h</math> अच्छी तरह से परिभाषित और संतत है। इस प्रकार हमारे पास संतत विषम प्रतिगमन है।
 == प्रमाण ==
-=== एक आयामी मामला ===
+=== 1-आयामी प्रकरण ===
-[[मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय]] (आईवीटी) का उपयोग करके 1-आयामी मामला आसानी से सिद्ध किया जा सकता है।
+[[मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय]] (आईवीटी) का उपयोग करके 1-आयामी प्रकरण आसानी से सिद्ध किया जा सकता है।
-होने देना <math>g</math> एक वृत्त पर एक विषम वास्तविक-मूल्यवान सतत फलन हो। एक मनमाना उठाओ <math>x</math>. अगर <math>g(x)=0</math> तो हम कर चुके हैं। अन्यथा, सामान्यता के नुकसान के बिना, <math>g(x)>0.</math> लेकिन <math>g(-x)<0.</math> इसलिए, आईवीटी द्वारा, एक बिंदु है <math>y</math> बीच में <math>x</math> और <math>-x</math> जिस पर <math>g(y)=0</math>.
+<math>g</math> को एक वृत्त पर एक विषम वास्तविक-मूल्यवान सतत फलन होने दें। एक स्वेच्छाचारी <math>x</math> का चयन करे। अगर <math>g(x)=0</math> तो हम कर चुके हैं। अन्यथा, सामान्यता की हानि के बिना, <math>g(x)>0</math> लेकिन <math>g(-x)<0</math> है।इसलिए, IVT द्वारा,  <math>x</math> और <math>-x</math> के मध्य एक बिंदु <math>y</math> है जिस पर <math>g(y)=0</math>
-=== सामान्य मामला ===
+=== सामान्य प्रकरण ===
 ==== बीजगणितीय सामयिक प्रमाण ====
-ये मान लीजिए <math>h: S^n \to S^{n-1}</math> के साथ एक विषम सतत फलन है <math>n > 2</math> (मामला <math>n = 1</math> ऊपर व्यवहार किया जाता है, मामला <math>n = 2</math> बेसिक [[ जगह को ढंकना ]] का उपयोग करके संभाला जा सकता है)। एंटीपोडल क्रिया के तहत कक्षाओं में जाने से, हम एक प्रेरित निरंतर कार्य प्राप्त करते हैं <math>h': \mathbb{RP}^n \to \mathbb{RP}^{n-1}</math> [[ वास्तविक प्रोजेक्टिव स्पेस ]] के बीच, जो [[ मौलिक समूह ]] पर एक आइसोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है। [[ह्यूरेविक्ज़ प्रमेय]] द्वारा, [[सह-समरूपता]] पर प्रेरित वलय समरूपता <math>\mathbb F_2</math> गुणांक [जहाँ <math>\mathbb F_2</math> [[GF(2)]]] को दर्शाता है,
+मान लें कि <math>h: S^n \to S^{n-1}</math> <math>n > 2</math> के साथ एक विषम सतत फलन है (प्रकरण <math>n = 1</math> को ऊपर माना गया है, प्रकरण <math>n = 2</math> को आधार [[ जगह को ढंकना |आवरण सिद्धांत]] का उपयोग करके नियंत्रित किया जा सकता है)। प्रतिव्यासांत फलन के अंतर्गत कक्षाओं में जाने से, हम [[ वास्तविक प्रोजेक्टिव स्पेस |वास्तविक प्रक्षेपीय समष्टि]] के मध्य एक प्रेरित संतत फलन <math>h': \mathbb{RP}^n \to \mathbb{RP}^{n-1}</math>प्राप्त करते हैं, जो[[ मौलिक समूह | मौलिक समूहों]] पर एक समरूपता को प्रेरित करता है। [[ह्यूरेविक्ज़ प्रमेय]] द्वारा, <math>\mathbb F_2</math> गुणांकों के साथ [[सह-समरूपता]] पर प्रेरित वलय समरूपता [जहाँ <math>\mathbb F_2</math> दो तत्वों के साथ क्षेत्र को दर्शाता है],
 :<math> \mathbb F_2[a]/a^{n+1} = H^*\left(\mathbb{RP}^n; \mathbb{F}_2\right) \leftarrow H^*\left(\mathbb{RP}^{n-1}; \mathbb F_2\right) = \mathbb F_2[b]/b^{n},</math>
-भेजता है <math>b</math> को <math>a</math>. लेकिन तब हमें वह मिलता है <math>b^n = 0</math> को भेजा जाता है <math>a^n \neq 0</math>, एक विरोधाभास।<ref name=rotman>Joseph J. Rotman, ''An Introduction to Algebraic Topology'' (1988) Springer-Verlag {{ISBN|0-387-96678-1}} ''(See Chapter 12 for a full exposition.)''</ref>
+<math>b</math> को <math>a</math> भेजता है। लेकिन फिर हम पाते हैं कि <math>b^n = 0</math> को <math>a^n \neq 0</math>, एक परस्पर भेजा जाता है।<ref name=rotman>Joseph J. Rotman, ''An Introduction to Algebraic Topology'' (1988) Springer-Verlag {{ISBN|0-387-96678-1}} ''(See Chapter 12 for a full exposition.)''</ref>
-कोई भी मजबूत कथन दिखा सकता है कि कोई भी विषम मानचित्र <math>S^{n-1} \to S^{n-1}</math> एक सतत मानचित्रण की विषम डिग्री है और फिर इस परिणाम से प्रमेय को घटाएं।
+कोई भी मजबूत कथन दिखा सकता है कि कोई भी विषम मानचित्र <math>S^{n-1} \to S^{n-1}</math> में विषम डिग्री है और फिर इस परिणाम से प्रमेय को घटते है।
 ==== संयुक्त प्रमाण ====
-टकर के लेम्मा से बोरसुक-उलम प्रमेय को सिद्ध किया जा सकता है।<ref name=prescott2002/><ref name=FreundTodd1982>{{Cite journal|doi=10.1016/0097-3165(81)90027-3 | year=1982| volume=30 | issue=3| title=टकर के संयोजी लेम्मा का एक रचनात्मक प्रमाण| journal=[[Journal of Combinatorial Theory]] | series=Series A | pages=321–325|author1=Freund, Robert M.|author2=Todd, Michael J.| doi-access=free}}</ref><ref name=SimmonsSu2003>{{Cite journal|author1 = Simmons, Forest W.| author2=Su, Francis Edward | doi=10.1016/s0165-4896(02)00087-2 |year=2003| volume=45 | title=Consensus-halving via theorems of Borsuk&ndash;Ulam and Tucker | journal=Mathematical Social Sciences | pages=15–25| hdl=10419/94656 | url=https://scholarship.claremont.edu/hmc_fac_pub/677 }}</ref>
+टकर लेम्मा से बोरसुक-उलम प्रमेय को सिद्ध किया जा सकता है।<ref name=prescott2002/><ref name=FreundTodd1982>{{Cite journal|doi=10.1016/0097-3165(81)90027-3 | year=1982| volume=30 | issue=3| title=टकर के संयोजी लेम्मा का एक रचनात्मक प्रमाण| journal=[[Journal of Combinatorial Theory]] | series=Series A | pages=321–325|author1=Freund, Robert M.|author2=Todd, Michael J.| doi-access=free}}</ref><ref name=SimmonsSu2003>{{Cite journal|author1 = Simmons, Forest W.| author2=Su, Francis Edward | doi=10.1016/s0165-4896(02)00087-2 |year=2003| volume=45 | title=Consensus-halving via theorems of Borsuk&ndash;Ulam and Tucker | journal=Mathematical Social Sciences | pages=15–25| hdl=10419/94656 | url=https://scholarship.claremont.edu/hmc_fac_pub/677 }}</ref>
-होने देना <math>g : S^n \to \R^n</math> एक निरंतर विषम कार्य हो। क्योंकि जी [[ कॉम्पैक्ट जगह ]] डोमेन पर निरंतर है, यह [[समान रूप से निरंतर]] है। इसलिए, प्रत्येक के लिए <math>\epsilon > 0</math>, वहां एक है <math>\delta > 0</math> ऐसा है कि, के हर दो बिंदुओं के लिए <math>S_n</math> जो भीतर हैं <math>\delta</math> एक दूसरे के, जी के तहत उनकी छवियां भीतर हैं <math>\epsilon</math> एक दूसरे की।
+अनुमान <math>g : S^n \to \R^n</math> एक संतत विषम फलन है। क्योंकि ''g''[[ कॉम्पैक्ट जगह | सघन]] प्रक्षेत्र पर संतत है, यह [[समान रूप से निरंतर|समान रूप से संतत]] है। इसलिए, प्रत्येक <math>\epsilon > 0</math> के लिए, एक <math>\delta > 0</math> ऐसा है कि, <math>S_n</math> के प्रत्येक दो बिंदुओं के लिए जो एक दूसरे के <math>\delta</math> अंतर्गत, ''g'' के अंतर्गत उनकी छवियां एक दूसरे के <math>\epsilon</math> के अंतर्गत हैं।
-त्रिभुज को परिभाषित कीजिए <math>S_n</math> अधिकतम लंबाई के किनारों के साथ <math>\delta</math>. प्रत्येक शीर्ष को लेबल करें <math>v</math> एक लेबल के साथ त्रिभुज का <math>l(v)\in {\pm 1, \pm 2, \ldots, \pm n}</math> इस अनुसार:
+अधिकतम <math>\delta</math> पर लंबाई के किनारों के साथ <math>S_n</math> के त्रिकोणासन को परिभाषित करें। त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष <math>v</math> को एक लेबल <math>l(v)\in {\pm 1, \pm 2, \ldots, \pm n}</math> के साथ निम्नलिखित प्रकार से लेबल करें:
-* लेबल का निरपेक्ष मान g के उच्चतम निरपेक्ष मान के साथ निर्देशांक का सूचकांक है: <math>|l(v)| = \arg\max_k (|g(v)_k|)</math>.
+* लेबल का निरपेक्ष मान g: <math>|l(v)| = \arg\max_k (|g(v)_k|)</math> के उच्चतम निरपेक्ष मान के साथ निर्देशांक का सूचकांक हैं।
-* लेबल का चिह्न g का चिह्न है, ताकि: <math>l(v) = \sgn (g(v)) |l(v)|</math>.
+* लेबल का चिह्न g का चिह्न है, ताकि: <math>l(v) = \sgn (g(v)) |l(v)|</math> हैं।
-क्योंकि g विषम है, लेबलिंग भी विषम है: <math>l(-v) = -l(v)</math>. इसलिए, टकर की लेम्मा द्वारा, दो आसन्न शीर्ष हैं <math>u, v</math> विपरीत लेबल के साथ। मान लीजिए w.l.o.g. कि लेबल हैं <math>l(u)=1, l(v)=-1</math>. एल की परिभाषा से, इसका मतलब है कि दोनों में <math>g(u)</math> और <math>g(v)</math>, निर्देशांक #1 सबसे बड़ा निर्देशांक है: in <math>g(u)</math> में रहते हुए यह निर्देशांक धनात्मक है <math>g(v)</math> यह नकारात्मक है। त्रिभुज के निर्माण से, के बीच की दूरी <math>g(u)</math> और <math>g(v)</math> अधिक से अधिक है <math>\epsilon</math>, इसलिए विशेष रूप से <math>|g(u)_1 - g(v)_1| = |g(u)_1| + |g(v)_1| \leq \epsilon </math> (तब से <math>g(u)_1</math> और <math>g(v)_1</math> विपरीत संकेत हैं) और इसी तरह <math>|g(u)_1| \leq \epsilon</math>. लेकिन के सबसे बड़े समन्वय के बाद से <math>g(u)</math> निर्देशांक #1 है, इसका मतलब है कि  <math>|g(u)_k| \leq \epsilon</math> प्रत्येक के लिए  <math>1 \leq k \leq n</math>. इसलिए <math>|g(u)| \leq c_n \epsilon</math>, कहाँ <math>c_n </math> पर निर्भर कुछ स्थिर है <math>n </math> और आदर्श <math>|\cdot| </math> जिसे आपने चुना है।
+क्योंकि g विषम है, लेबलिंग भी विषम है: <math>l(-v) = -l(v)</math> इसलिए, टकर लेम्मा द्वारा, विपरीत लेबल वाले <math>u, v</math> दो आसन्न शीर्ष हैं। मान लीजिए w.l.o.g. कि लेबल <math>l(u)=1, l(v)=-1</math> हैं। ''l'' की परिभाषा के अनुसार, इसका अर्थ है कि  <math>g(u)</math> और <math>g(v)</math> दोनों में, समन्वय #1 सबसे बड़ा निर्देशांक है: <math>g(u)</math> में यह समन्वय सकारात्मक है जबकि <math>g(v)</math> में यह नकारात्मक है। त्रिभुज की रचना से, <math>g(u)</math> और <math>g(v)</math> के मध्य की दूरी अधिक से अधिक <math>\epsilon</math> है, इसलिए विशेष रूप से <math>|g(u)_1 - g(v)_1| = |g(u)_1| + |g(v)_1| \leq \epsilon </math> (क्योंकि <math>g(u)_1</math> और <math>g(v)_1</math> के विपरीत चिह्न हैं) औरइसलिए <math>|g(u)_1| \leq \epsilon</math> है। लेकिन <math>g(u)</math> का सबसे बड़ा निर्देशांक #1 है,  इसका अर्थ है कि  <math>|g(u)_k| \leq \epsilon</math> प्रत्येक <math>1 \leq k \leq n</math> के लिए हैं। इसलिए <math>|g(u)| \leq c_n \epsilon</math>, जहां <math>c_n </math> कुछ स्थिरांक है जो <math>n </math> और मानक <math>|\cdot| </math> पर निर्भर करता है जिसका अपने चयन किया है।
-उपरोक्त सभी के लिए सत्य है <math>\epsilon > 0</math>; तब से  <math>S_n</math> कॉम्पैक्ट है इसलिए एक बिंदु यू होना चाहिए जिसमें <math>|g(u)|=0</math>.
+उपरोक्त प्रत्येक <math>\epsilon > 0</math> के लिए सत्य है; क्योंकि <math>S_n</math> संक्षिप्त है इसलिए एक बिंदु ''u'' होना चाहिए जिसमें <math>|g(u)|=0</math> हैं।
 == परिणाम ==
-* का कोई उपसमुच्चय नहीं <math>\R^n</math> के लिए [[होमियोमॉर्फिक]] है <math>S^n</math>
+* <math>\R^n</math> का कोई उपसमुच्चय <math>S^n</math> के लिए [[होमियोमॉर्फिक|समरूपी]] नहीं हैं।
-* [[हैम सैंडविच प्रमेय]]: किसी भी कॉम्पैक्ट स्पेस सेट के लिए ए<sub>1</sub>, ..., ए<sub>n</sub>में <math>\R^n</math> हम हमेशा उनमें से प्रत्येक को समान माप के दो उपसमुच्चय में विभाजित करने वाला एक हाइपरप्लेन ढूंढ सकते हैं।
+* [[हैम सैंडविच प्रमेय]]: किसी भी सुसम्बद्ध समष्टि समुच्चय के लिए ''A''<sub>1</sub>, ..., ''A<sub>n</sub>'' में <math>\R^n</math> के लिए हम हमेशा उनमें से प्रत्येक को समान माप के दो उपसमुच्चय में विभाजित करने वाला एक अधिसमतल प्राप्त कर सकते हैं।
 == समतुल्य परिणाम ==
-ऊपर हमने टकर के लेम्मा से बोरसुक-उलम प्रमेय को साबित करने का तरीका दिखाया। इसका विलोम भी सत्य है: टकर की लेम्मा को बोरसुक-उलम प्रमेय से सिद्ध करना संभव है। इसलिए, ये दो प्रमेय समकक्ष हैं।
+ऊपर हमने टकर लेम्मा से बोरसुक-उलम प्रमेय को सिद्ध करने का प्रकार दिखाया। इसका विलोम भी सत्य है: टकर लेम्मा को बोरसुक-उलम प्रमेय से सिद्ध करना संभव है। इसलिए, ये दो प्रमेय समकक्ष हैं।
 {{Analogous fixed-point theorems}}
 == सामान्यीकरण ==
-* मूल प्रमेय में, फ़ंक्शन f का डोमेन इकाई n-क्षेत्र (इकाई n-गेंद की सीमा) है। व्यापक रूप से, यह तब भी सत्य है जब f का प्रांत किसी खुले परिबद्ध सममित उपसमुच्चय की सीमा हो <math>\R^n</math> मूल से युक्त (यहाँ, सममित का अर्थ है कि यदि x उपसमुच्चय में है तो -x भी उपसमुच्चय में है)।<ref>{{springer|title=Borsuk fixed-point theorem|id=p/b110770}}</ref>
+* मूल प्रमेय में, फलन f का प्रक्षेत्र इकाई n-क्षेत्र (इकाई n-गेंद की सीमा) है। सामान्य रूप से, यह तब भी सही होता है जब ''f'' का प्रांत मूल वाले <math>\R^n</math> के किसी विवृत परिबद्ध सममित उपसमुच्चय की सीमा होता है (यहाँ, सममित का अर्थ है कि यदि x उपसमुच्चय में है तो -x भी उपसमुच्चय में है)।<ref>{{springer|title=Borsuk fixed-point theorem|id=p/b110770}}</ref>
-* फ़ंक्शन A पर विचार करें जो एक बिंदु को उसके एंटीपोडल बिंदु पर मैप करता है: <math>A(x) = -x.</math> ध्यान दें कि <math>A(A(x))=x.</math> मूल प्रमेय का दावा है कि एक बिंदु x है जिसमें <math>f(A(x))=f(x).</math> सामान्यतः, यह प्रत्येक फलन A के लिए भी सत्य है जिसके लिए <math>A(A(x))=x.</math><ref>{{cite journal|doi=10.2307/1969632 |author=Yang, Chung-Tao | year= 1954|volume=60 |issue=2 | title=बोरसुक-उलम, काकुटानी-यामाबे-युजोबो और डायसन के प्रमेयों पर, मैं| journal=[[Annals of Mathematics]] | pages=262–282|jstor=1969632 }}</ref> हालांकि, सामान्य तौर पर यह अन्य कार्यों ए के लिए सही नहीं है।<ref>{{cite web | url=https://mathoverflow.net/q/61141 | title=बोरसुक-उलम का सामान्यीकरण| publisher=Math Overflow | access-date=18 May 2015 | author=Jens Reinhold, Faisal | author2=Sergei Ivanov}}</ref>
+* फलन A पर विचार करें जो एक बिंदु को उसके प्रतिव्यासांत बिंदु पर <math>A(x) = -x</math> मानचित्र करता है। ध्यान दें कि <math>A(A(x))=x</math> है। मूल प्रमेय का अनुरोध है कि एक बिंदु x है जिसमें <math>f(A(x))=f(x)</math> है।सामान्यतः, यह प्रत्येक फलन A के लिए भी सत्य है जिसके लिए <math>A(A(x))=x</math> है।<ref>{{cite journal|doi=10.2307/1969632 |author=Yang, Chung-Tao | year= 1954|volume=60 |issue=2 | title=बोरसुक-उलम, काकुटानी-यामाबे-युजोबो और डायसन के प्रमेयों पर, मैं| journal=[[Annals of Mathematics]] | pages=262–282|jstor=1969632 }}</ref> हालांकि, सामान्य रूप से यह अन्य फलनों ''A'' के लिए सही नहीं है।<ref>{{cite web | url=https://mathoverflow.net/q/61141 | title=बोरसुक-उलम का सामान्यीकरण| publisher=Math Overflow | access-date=18 May 2015 | author=Jens Reinhold, Faisal | author2=Sergei Ivanov}}</ref>
 == यह भी देखें ==
-* [[टोपोलॉजिकल कॉम्बिनेटरिक्स]]
+* [[टोपोलॉजिकल कॉम्बिनेटरिक्स|सांस्थितिक साहचर्य]]
-* नेकलेस फटने की समस्या
+* [[नेकलेस टूटने की समस्या]]
-* हैम सैंडविच प्रमेय
+* [[हैम सैंडविच प्रमेय]]
-* काकुटानी की प्रमेय (ज्यामिति)
+* [[काकुटानी की प्रमेय (ज्यामिति)]]
-* इमरे बरनी
+* [[इमरे बरनी]]
 ==टिप्पणियाँ==
 {{reflist}}
 == संदर्भ ==
-* {{cite journal| first=Karol| last=Borsuk|title=Drei Sätze über die ''n''-dimensionale euklidische Sphäre| journal=[[Fundamenta Mathematicae]]| volume=20|year=1933|pages=177&ndash;190| author-link=Karol Borsuk| url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm20/fm20117.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm20/fm20117.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live| language=de| doi=10.4064/fm-20-1-177-190| doi-access=free}}
+* {{cite journal| first=Karol| last=Borsuk|title=ड्रेई सत्ज़े उबेर डाई ''एन''-डायमेंशनेल युक्लिडिशे स्फेरे| journal=[[Fundamenta Mathematicae]]| volume=20|year=1933|pages=177&ndash;190| author-link=Karol Borsuk| url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm20/fm20117.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm20/fm20117.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live| language=de| doi=10.4064/fm-20-1-177-190| doi-access=free}}
-* {{cite journal|first1=Lazar|last1=Lyusternik|author-link1=Lazar Lyusternik|first2=Lev|last2=Shnirel'man|author-link2=Lev Schnirelmann|title=Topological Methods in Variational Problems|journal=Issledowatelskii Institut Matematiki I Mechaniki Pri O. M. G. U.|location=Moscow|year=1930}}
+* {{cite journal|first1=Lazar|last1=Lyusternik|author-link1=Lazar Lyusternik|first2=Lev|last2=Shnirel'man|author-link2=Lev Schnirelmann|title=परिवर्तनशील समस्याओं में सांस्थितिक तरीके|journal=Issledowatelskii Institut Matematiki I Mechaniki Pri O. M. G. U.|location=Moscow|year=1930}}
-* {{cite book| author-link=Jiří Matoušek (mathematician)| first=Jiří |last=Matoušek| title=Using the Borsuk–Ulam theorem|title-link=Using the Borsuk–Ulam Theorem|publisher=Springer Verlag|location=Berlin|year=2003|isbn=978-3-540-00362-5|doi=10.1007/978-3-540-76649-0}}
+* {{cite book| author-link=Jiří Matoušek (mathematician)| first=Jiří |last=Matoušek| title=बोरसुक-उलम प्रमेय का उपयोग करना|title-link=बोरसुक-उलम प्रमेय का उपयोग करना|publisher=Springer Verlag|location=Berlin|year=2003|isbn=978-3-540-00362-5|doi=10.1007/978-3-540-76649-0}}
-* {{cite journal|first=H.|last=Steinlein|title=Borsuk's antipodal theorem and its generalizations and applications: a survey. Méthodes topologiques en analyse non linéaire|journal=Sém. Math. Supér. Montréal, Sém. Sci. OTAN (NATO Adv. Study Inst.) |volume= 95|year=1985|pages=166–235}}
+* {{cite journal|first=H.|last=Steinlein|title=बोरसुक का प्रतिव्यासांत प्रमेय और इसके सामान्यीकरण और अनुप्रयोग: एक सर्वेक्षण। मेथोड्स टोपोलॉजीज एन एनालिसिस नॉन लाइनेयर|journal=Sém. Math. Supér. Montréal, Sém. Sci. OTAN (NATO Adv. Study Inst.) |volume= 95|year=1985|pages=166–235}}
 * {{cite journal | title = Borsuk-Ulam Implies Brouwer: A Direct Construction | first = Francis Edward | last = Su | journal = The American Mathematical Monthly | volume = 104 | number = 9 | date = Nov 1997 | pages = 855&ndash;859 | url = http://www.math.hmc.edu/~su/papers.dir/borsuk.pdf | doi = 10.2307/2975293 | jstor = 2975293 | citeseerx = 10.1.1.142.4935 | access-date = 2006-04-21 | archive-url = https://web.archive.org/web/20081013051302/http://www.math.hmc.edu/~su/papers.dir/borsuk.pdf | archive-date = 2008-10-13 | url-status = dead }}

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