कैंटर स्पेस

गणित में, एक कैंटर स्पेस, जिसे जॉर्ज कैंटर के नाम पर रखा गया है, शास्त्रीय कैंटर सेट का एक टोपोलॉजी अमूर्त है: एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक कैंटर स्पेस है, अगर यह कैंटर सेट के लिए होमियोमॉर्फिक है। समुच्चय सिद्धान्त में, टोपोलॉजिकल स्पेस 2^ω को कैंटर स्पेस कहा जाता है।

उदाहरण

कैंटर सेट अपने आप में एक कैंटर स्पेस है। लेकिन कैंटर स्पेस का प्रामाणिक उदाहरण असतत 2-पॉइंट स्पेस {0, 1} का अनगिनत अनंत उत्पाद टोपोलॉजी है। यह आमतौर पर लिखा जाता है $2^{\mathbb {N} }$ या 2^ω (जहां 2 असतत टोपोलॉजी के साथ 2-तत्व सेट (गणित) {0,1} को दर्शाता है)। 2 में एक बिंदु^ω एक अनंत बाइनरी अनुक्रम है, यह एक ऐसा क्रम है जो केवल मान 0 या 1 मानता है। इस तरह के अनुक्रम को देखते हुए a₀, ए₁, ए₂,..., कोई इसे वास्तविक संख्या में मैप कर सकता है

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2a_{n}}{3^{n+1}}}.$

यह मैपिंग 2 से होमोमोर्फिज्म देता है^ω कैंटर सेट पर, यह प्रदर्शित करते हुए कि 2^ω वास्तव में एक कैंटर स्पेस है।

कैंटर रिक्त स्थान वास्तविक विश्लेषण में बहुतायत से पाए जाते हैं। उदाहरण के लिए, वे हर पूर्ण सेट, पूर्ण मीट्रिक स्थान में सबस्पेस टोपोलॉजी के रूप में मौजूद हैं। (इसे देखने के लिए, ध्यान दें कि ऐसी जगह में, किसी भी खाली सेट | गैर-खाली सही सेट में मनमाने ढंग से छोटे व्यास के दो अलग-अलग सेट गैर-खाली सही उपसमुच्चय होते हैं, और इसलिए कोई भी निर्माण की नकल कर सकता है सामान्य कैंटर सेट का।) इसके अलावा, हर बेशुमार, वियोज्य स्थान, पूरी तरह से मेट्रिज़ेबल स्पेस में शामिल हैं कैंटर रिक्त स्थान उप-स्थान के रूप में। इसमें वास्तविक विश्लेषण में अधिकांश सामान्य स्थान शामिल हैं।

विशेषता

कैंटर रिक्त स्थान का एक स्थलीय लक्षण वर्णन लुइट्ज़ेन एगबर्टस जान ब्रोवर के प्रमेय द्वारा दिया गया है:

कोई भी दो गैर-खाली कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस बिना पृथक बिंदुएस और गणनीय बेस जिसमें क्लोपेन सेट शामिल हो s एक दूसरे के लिए होमियोमॉर्फिक हैं।

क्लोपेन सेट से युक्त आधार होने की सामयिक संपत्ति को कभी-कभी शून्य-आयामी | शून्य-आयामीता के रूप में जाना जाता है। ब्रौवर के प्रमेय को इस प्रकार दोहराया जा सकता है:

एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक कैंटर स्पेस है अगर और केवल अगर यह खाली नहीं है, परफेक्ट, कॉम्पैक्ट, पूरी तरह से डिस्कनेक्ट, और मेट्रिजेबल है।

यह प्रमेय भी समतुल्य है (बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन के प्रतिनिधित्व प्रमेय के माध्यम से) इस तथ्य के लिए कि कोई भी दो गणनीय परमाणु रहित बूलियन बीजगणित समरूपी हैं।

गुण

जैसा कि ब्रौवर के प्रमेय से उम्मीद की जा सकती है, कैंटर रिक्त स्थान कई रूपों में दिखाई देते हैं। लेकिन कैंटर स्पेस के कई गुणों को 2 का उपयोग करके स्थापित किया जा सकता है^ω, क्योंकि एक उत्पाद के रूप में इसका निर्माण इसे विश्लेषण के लिए उत्तरदायी बनाता है।

कैंटर रिक्त स्थान में निम्नलिखित गुण हैं:

• किसी भी कैंटर स्थान की प्रमुखता है $2^{\aleph _{0}}$, अर्थात्, सातत्य की प्रमुखता।
• दो (या किसी भी परिमित या गणनीय संख्या) कैंटर रिक्त स्थान का उत्पाद एक कैंटर स्थान है। कैंटर समारोह के साथ, इस तथ्य का उपयोग जगह भरने वाला कर्व ्स के निर्माण के लिए किया जा सकता है।
• ए (गैर-खाली) हॉउसडॉर्फ टोपोलॉजिकल स्पेस कॉम्पैक्ट मेट्रिजेबल है अगर और केवल अगर यह कैंटर स्पेस का एक निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) इमेज (गणित) है।

चलो सी (एक्स) एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स पर सभी वास्तविक मूल्यवान, बाध्य फ़ंक्शन निरंतर फ़ंक्शन (गणित) की जगह को दर्शाता है। चलो के एक कॉम्पैक्ट मीट्रिक स्थान को दर्शाता है, और Δ कैंटर सेट को दर्शाता है। तब कैंटर सेट में निम्नलिखित गुण होते हैं:

• सी (के) सी (Δ) के एक बंद सेट सबस्पेस के आइसोमेट्री है।

सामान्य तौर पर, यह आइसोमेट्री अद्वितीय नहीं है, और इस प्रकार श्रेणी सिद्धांत अर्थों में एक सार्वभौमिक संपत्ति नहीं है।

• कैंटर स्पेस के सभी होमोमोर्फिज्म का समूह (गणित) सरल समूह है।

यह भी देखें

• अंतरिक्ष (गणित)
• कैंटर सेट
• कैंटर क्यूब

संदर्भ

• Kechris, A. (1995). Classical Descriptive Set Theory (Graduate Texts in Mathematics 156 ed.). Springer. ISBN 0-387-94374-9.