गैलोइस कनेक्शन: Difference between revisions

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गणित में, विशेष रूप से क्रम सिद्धांत में, गैलोज़ कनेक्शन दो [[आंशिक रूप से आदेशित सेट]] (पॉसेट) के बीच एक विशेष पत्राचार (आमतौर पर) होता है। Galois कनेक्शन विभिन्न गणितीय सिद्धांतों में अनुप्रयोग खोजते हैं। वे [[उपसमूह]]ों और क्षेत्र विस्तार के बीच पत्राचार के बारे में [[गैल्वा सिद्धांत के मौलिक प्रमेय]] को सामान्यीकृत करते हैं, जिसे फ्रांसीसी गणितज्ञ इवरिस्टे गैलोइस द्वारा खोजा गया था।
गणित में, विशेष रूप से क्रम सिद्धांत में, गाल्वा कनेक्शन दो [[आंशिक रूप से आदेशित सेट|आंशिक रूप से क्रमित समुच्चय]] (क्रमित समुच्चय) के बीच एक विशेष संगति (सामान्यतः) होता है। गाल्वा कनेक्शन विभिन्न गणितीय सिद्धांतों में अनुप्रयोग खोजते हैं। वे [[उपसमूह|उपसमूहों]] और क्षेत्र विस्तार के बीच संगति के विषय में [[गैल्वा सिद्धांत के मौलिक प्रमेय]] को सामान्यीकृत करते हैं, जिसे फ्रांसीसी गणितज्ञ इवरिस्टे गाल्वा द्वारा खोजा गया था।


गैलोज़ कनेक्शन को पहले से ऑर्डर किए गए सेट या पहले से ऑर्डर किए गए वर्ग पर भी परिभाषित किया जा सकता है; यह लेख पोसेट्स के सामान्य मामले को प्रस्तुत करता है।
गाल्वा कनेक्शन को पहले से क्रमित किए गए समुच्चय या पहले से क्रमित किए गए वर्ग पर भी परिभाषित किया जा सकता है; यह लेख क्रमित समुच्चयों के सामान्य स्थिति को प्रस्तुत करता है। साहित्य में गाल्वा कनेक्शन की दो निकट संबंधी धारणाएँ हैं। इस लेख में, हम उन्हें (एकदिष्ट) गाल्वा कनेक्शन और एंटीटोन गाल्वा कनेक्शन के रूप में संदर्भित करेंगे।
साहित्य में गाल्वा कनेक्शन की दो निकट संबंधी धारणाएँ हैं। इस लेख में, हम उन्हें (मोनोटोन) गैलोज़ कनेक्शन और एंटीटोन गैलोज़ कनेक्शन के रूप में संदर्भित करेंगे।


शामिल पॉसेट्स के बीच एक ऑर्डर आइसोमोर्फिज़्म की तुलना में गैलोज़ कनेक्शन अपेक्षाकृत कमजोर है, लेकिन प्रत्येक गैलोज़ कनेक्शन कुछ उप-पॉसेट्स के आइसोमोर्फिज़्म को जन्म देता है, जैसा कि नीचे बताया जाएगा।
सम्मिलित क्रमित समुच्चयों के बीच एक क्रम समरूपता की तुलना में गाल्वा कनेक्शन अपेक्षाकृत दुर्बल है, परन्तु प्रत्येक गाल्वा कनेक्शन कुछ उप-क्रमित समुच्चयों के समरूपता को जन्म देता है, जैसा कि नीचे बताया जाएगा। गाल्वा संगति शब्द का प्रयोग कभी-कभी विशेषण ''गाल्वा कनेक्शन'' के अर्थ में किया जाता है; यह मात्र एक [[ आदेश समरूपता |क्रम समरूपता]] है (या द्वैत क्रम समरूपता, इस पर निर्भर करता है कि क्या हम एकदिष्ट या एंटीटोन गाल्वा कनेक्शन लेते हैं)।
गाल्वा पत्राचार शब्द का प्रयोग कभी-कभी विशेषण ''गैलोइस कनेक्शन'' के अर्थ में किया जाता है; यह बस एक [[ आदेश समरूपता ]] है (या डुअल ऑर्डर आइसोमोर्फिज्म, इस पर निर्भर करता है कि क्या हम मोनोटोन या एंटीटोन गैलोज कनेक्शन लेते हैं)।


== परिभाषाएँ ==
== परिभाषाएँ ==


=== (मोनोटोन) गाल्वा कनेक्शन ===
=== (एकदिष्ट) गाल्वा कनेक्शन ===
होने देना {{math|(''A'', ≤)}} और {{math|(''B'', ≤)}} दो आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट हों। इन पॉसेट्स के बीच एक मोनोटोन गैलोज़ कनेक्शन में दो [[मोनोटोन समारोह]] होते हैं<ref>Monotonicity follows from the following condition. See the discussion of the [[#Properties|properties]]. It is only explicit in the definition to distinguish it from the alternative ''antitone'' definition. One can also define Galois connections as a pair of monotone functions that satisfy the laxer condition that for all {{mvar|x}} in {{mvar|A}}, {{math|''x'' ≤ ''g''(&thinsp;''f''&thinsp;(''x''))}} and for all {{mvar|y}} in {{mvar|B}}, {{math|''f''&thinsp;(''g''(''y'')) ≤ ''y''}}.</ref> [[समारोह (गणित)]]: {{math|''F'' : ''A'' → ''B''}} और {{math|''G'' : ''B'' → ''A''}}, ऐसा कि सभी के लिए {{mvar|a}} में {{mvar|A}} और {{mvar|b}} में {{mvar|B}}, अपने पास
बता दें कि {{math|(''A'', ≤)}} और {{math|(''B'', ≤)}} दो आंशिक रूप से क्रमित किए गए समुच्चय हैं। इन क्रमित समुच्चयों के बीच एक एकदिष्ट गाल्वा कनेक्शन में दो [[मोनोटोन समारोह|एकदिष्ट समारोह]] होते हैं<ref>Monotonicity follows from the following condition. See the discussion of the [[#Properties|properties]]. It is only explicit in the definition to distinguish it from the alternative ''antitone'' definition. One can also define Galois connections as a pair of monotone functions that satisfy the laxer condition that for all {{mvar|x}} in {{mvar|A}}, {{math|''x'' ≤ ''g''(&thinsp;''f''&thinsp;(''x''))}} and for all {{mvar|y}} in {{mvar|B}}, {{math|''f''&thinsp;(''g''(''y'')) ≤ ''y''}}.</ref> [[समारोह (गणित)]]: {{math|''F'' : ''A'' → ''B''}} और {{math|''G'' : ''B'' → ''A''}}, ऐसा कि सभी के लिए {{mvar|a}} में {{mvar|A}} और {{mvar|b}} में {{mvar|B}}, अपने पास


:{{math|''F''(''a'') ≤ ''b''}} [[अगर और केवल अगर]] {{math|''a'' ≤ ''G''(''b'')}}.
:{{math|''F''(''a'') ≤ ''b''}} [[अगर और केवल अगर]] {{math|''a'' ≤ ''G''(''b'')}}.


इस स्थिति में, {{mvar|F}} का निचला संलग्नक कहा जाता है {{mvar|G}} और {{mvar|G}} को ''A'' का ऊपरी जोड़ कहा जाता है। सिमेंटिक रूप से, ऊपरी/निचली शब्दावली से तात्पर्य है जहां फ़ंक्शन एप्लिकेशन ≤ के सापेक्ष प्रकट होता है।<ref>Gierz, p. 23</ref> आसन्न शब्द इस तथ्य को संदर्भित करता है कि मोनोटोन गैलोज़ कनेक्शन [[श्रेणी सिद्धांत]] में आसन्न फ़ैक्टरों के जोड़े के विशेष मामले हैं जैसा कि नीचे चर्चा की गई है। यहाँ अन्य शब्दावली का सामना निम्न (उत्तर. ऊपरी) आसन्न के लिए बाएँ आसन्न (उत्तर दाएँ संलग्न) से होता है।
इस स्थिति में, {{mvar|F}} का निचला संलग्नक कहा जाता है {{mvar|G}} और {{mvar|G}} को ''A'' का ऊपरी जोड़ कहा जाता है। सिमेंटिक रूप से, ऊपरी/निचली शब्दावली से तात्पर्य है जहां फ़ंक्शन एप्लिकेशन ≤ के सापेक्ष प्रकट होता है।<ref>Gierz, p. 23</ref> आसन्न शब्द इस तथ्य को संदर्भित करता है कि एकदिष्ट गाल्वा कनेक्शन [[श्रेणी सिद्धांत]] में आसन्न फ़ैक्टरों के जोड़े की विशेष स्थिति हैं जैसा कि नीचे चर्चा की गई है। यहाँ अन्य शब्दावली का सामना निम्न (उत्तर. ऊपरी) आसन्न के लिए बाएँ आसन्न (उत्तर दाएँ संलग्न) से होता है।


गैलोज़ कनेक्शन की एक आवश्यक संपत्ति यह है कि गैलोज़ कनेक्शन का एक ऊपरी/निचला जोड़ ''विशिष्ट'' दूसरे को निर्धारित करता है:
गाल्वा कनेक्शन की एक आवश्यक संपत्ति यह है कि गाल्वा कनेक्शन का एक ऊपरी/निचला जोड़ ''विशिष्ट'' दूसरे को निर्धारित करता है:


:{{math|''F''(''a'')}} सबसे कम तत्व है {{math|{{overset|~|''b''}} }} साथ {{math|''a'' ≤ ''G''({{overset|~|''b''}})}}, और
:{{math|''F''(''a'')}} सबसे कम तत्व है {{math|{{overset|~|''b''}} }} साथ {{math|''a'' ≤ ''G''({{overset|~|''b''}})}}, और
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इसका एक परिणाम यह होता है कि यदि {{mvar|F}} या {{mvar|G}} उलटा है,{{clarify|reason = Does this mean invertible just as a function, or invertible as a monotone map? (i.e. invertible in the category of posets, i.e. invertible such that the inverse is monotone)|date=December 2021}} तो प्रत्येक दूसरे का व्युत्क्रम कार्य है, अर्थात {{math|1=''F'' = ''G''<sup> −1</sup>}}.
इसका एक परिणाम यह होता है कि यदि {{mvar|F}} या {{mvar|G}} उलटा है,{{clarify|reason = Does this mean invertible just as a function, or invertible as a monotone map? (i.e. invertible in the category of posets, i.e. invertible such that the inverse is monotone)|date=December 2021}} तो प्रत्येक दूसरे का व्युत्क्रम कार्य है, अर्थात {{math|1=''F'' = ''G''<sup> −1</sup>}}.


निचले आसन्न के साथ गैलोज़ कनेक्शन दिया गया {{mvar|F}} और ऊपरी आसन्न {{mvar|G}}, हम फ़ंक्शन संरचना पर विचार कर सकते हैं {{math|''GF'' : ''A'' → ''A''}}, संबद्ध [[ बंद करने वाला ऑपरेटर ]] के रूप में जाना जाता है, और {{math|''FG'' : ''B'' → ''B''}}, संबद्ध कर्नेल ऑपरेटर के रूप में जाना जाता है। दोनों मोनोटोन और बेवकूफ हैं, और हमारे पास है {{math|''a'' ≤ ''GF''(''a'')}} सभी के लिए {{mvar|a}} में {{mvar|A}} और {{math|''FG''(''b'') ≤ ''b''}} सभी के लिए {{mvar|b}} में {{mvar|B}}.
निचले आसन्न के साथ गाल्वा कनेक्शन दिया गया {{mvar|F}} और ऊपरी आसन्न {{mvar|G}}, हम फ़ंक्शन संरचना पर विचार कर सकते हैं {{math|''GF'' : ''A'' → ''A''}}, संबद्ध [[ बंद करने वाला ऑपरेटर |बंद करने वाला ऑपरेटर]] के रूप में जाना जाता है, और {{math|''FG'' : ''B'' → ''B''}}, संबद्ध कर्नेल ऑपरेटर के रूप में जाना जाता है। दोनों एकदिष्ट और बेवकूफ हैं, और हमारे पास है {{math|''a'' ≤ ''GF''(''a'')}} सभी के लिए {{mvar|a}} में {{mvar|A}} और {{math|''FG''(''b'') ≤ ''b''}} सभी के लिए {{mvar|b}} में {{mvar|B}}.


का एक गैलोइस सम्मिलन {{mvar|B}} में {{mvar|A}} एक गैलोज़ कनेक्शन है जिसमें कर्नेल ऑपरेटर {{mvar|FG}} पहचान कार्य चालू है {{mvar|B}}, और इसलिए {{mvar|G}} का एक क्रम समरूपता है {{mvar|B}} बंद तत्वों के सेट का [[विशेषण]] {{mvar|GF}}&hairsp;[{{mvar|A}}] का {{mvar|A}}.<ref>{{cite book | title=सॉफ्ट कंस्ट्रेंट सॉल्विंग एंड प्रोग्रामिंग के लिए सेमीरिंग्स| volume=2962 | series=Lecture Notes in Computer Science | issn=0302-9743 | first=Stefano | last=Bistarelli | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=2004 | isbn=3-540-21181-0 | page=102 | doi=10.1007/978-3-540-25925-1_8 | arxiv=cs/0208008 }}</ref>
का एक गाल्वा सम्मिलन {{mvar|B}} में {{mvar|A}} एक गाल्वा कनेक्शन है जिसमें कर्नेल ऑपरेटर {{mvar|FG}} पहचान कार्य चालू है {{mvar|B}}, और इसलिए {{mvar|G}} का एक क्रम समरूपता है {{mvar|B}} बंद तत्वों के समुच्चय का [[विशेषण]] {{mvar|GF}}&hairsp;[{{mvar|A}}] का {{mvar|A}}.<ref>{{cite book | title=सॉफ्ट कंस्ट्रेंट सॉल्विंग एंड प्रोग्रामिंग के लिए सेमीरिंग्स| volume=2962 | series=Lecture Notes in Computer Science | issn=0302-9743 | first=Stefano | last=Bistarelli | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=2004 | isbn=3-540-21181-0 | page=102 | doi=10.1007/978-3-540-25925-1_8 | arxiv=cs/0208008 }}</ref>




=== एंटीटोन गैलोज़ कनेक्शन ===
=== एंटीटोन गाल्वा कनेक्शन ===
उपरोक्त परिभाषा आज कई अनुप्रयोगों में आम है, और [[जाली (आदेश)]] और [[डोमेन सिद्धांत]] में प्रमुख है। हालाँकि गैलोज़ सिद्धांत में मूल धारणा थोड़ी अलग है। इस वैकल्पिक परिभाषा में, एक गैलोज़ कनेक्शन एंटीटोन की एक जोड़ी है, यानी ऑर्डर-रिवर्सिंग, फ़ंक्शंस {{math|''F'' : ''A'' → ''B''}} और {{math|''G'' : ''B'' → ''A''}} दो पोसेट के बीच {{mvar|A}} और {{mvar|B}}, ऐसा है कि
उपरोक्त परिभाषा आज कई अनुप्रयोगों में आम है, और [[जाली (आदेश)|जाली (क्रम)]] और [[डोमेन सिद्धांत]] में प्रमुख है। हालाँकि गाल्वा सिद्धांत में मूल धारणा थोड़ी अलग है। इस वैकल्पिक परिभाषा में, एक गाल्वा कनेक्शन एंटीटोन की एक जोड़ी है, यानी क्रम-रिवर्सिंग, फ़ंक्शंस {{math|''F'' : ''A'' → ''B''}} और {{math|''G'' : ''B'' → ''A''}} दो क्रमित समुच्चय के बीच {{mvar|A}} और {{mvar|B}}, ऐसा है कि


:{{math|''b'' ≤ ''F''(''a'')}} अगर और केवल अगर {{math|''a'' ≤ ''G''(''b'')}}.
:{{math|''b'' ≤ ''F''(''a'')}} अगर और केवल अगर {{math|''a'' ≤ ''G''(''b'')}}.
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रचनाएँ {{math|''GF'' : ''A'' → ''A''}} और {{math|''FG'' : ''B'' → ''B''}} संबंधित क्लोजर ऑपरेटर हैं; वे संपत्ति के साथ नीरस आदर्श नक्शे हैं {{math|''a'' ≤ ''GF''(''a'')}} सभी के लिए {{mvar|a}} में {{mvar|A}} और {{math|''b'' ≤ ''FG''(''b'')}} सभी के लिए {{mvar|b}} में {{mvar|B}}.
रचनाएँ {{math|''GF'' : ''A'' → ''A''}} और {{math|''FG'' : ''B'' → ''B''}} संबंधित क्लोजर ऑपरेटर हैं; वे संपत्ति के साथ नीरस आदर्श नक्शे हैं {{math|''a'' ≤ ''GF''(''a'')}} सभी के लिए {{mvar|a}} में {{mvar|A}} और {{math|''b'' ≤ ''FG''(''b'')}} सभी के लिए {{mvar|b}} में {{mvar|B}}.


गैलोज़ कनेक्शन की दो परिभाषाओं के निहितार्थ बहुत समान हैं, क्योंकि एंटीटोन गैलोज़ कनेक्शन के बीच है {{mvar|A}} और {{mvar|B}} के बीच बस एक मोनोटोन गैलोज कनेक्शन है {{mvar|A}} और [[द्वैत (आदेश सिद्धांत)]] {{math|''B''<sup>op</sup>}} का {{mvar|B}}. गैलोज़ कनेक्शन पर नीचे दिए गए सभी बयान इस प्रकार आसानी से एंटीटोन गैलोज़ कनेक्शन के बयानों में परिवर्तित किए जा सकते हैं।
गाल्वा कनेक्शन की दो परिभाषाओं के निहितार्थ बहुत समान हैं, क्योंकि एंटीटोन गाल्वा कनेक्शन के बीच है {{mvar|A}} और {{mvar|B}} के बीच मात्र एक एकदिष्ट गाल्वा कनेक्शन है {{mvar|A}} और [[द्वैत (आदेश सिद्धांत)|द्वैत (क्रम सिद्धांत)]] {{math|''B''<sup>op</sup>}} का {{mvar|B}}. गाल्वा कनेक्शन पर नीचे दिए गए सभी बयान इस प्रकार आसानी से एंटीटोन गाल्वा कनेक्शन के बयानों में परिवर्तित किए जा सकते हैं।


== उदाहरण ==
== उदाहरण ==


=== मोनोटोन गैलोज़ कनेक्शन ===
=== एकदिष्ट गाल्वा कनेक्शन ===


==== पावर सेट; निहितार्थ और संयोजन ====
==== पावर समुच्चय; निहितार्थ और संयोजन ====
आदेश-सैद्धांतिक उदाहरण के लिए, आइए {{mvar|U}} कुछ [[सेट (गणित)]] हो, और चलो {{mvar|A}} और {{mvar|B}} दोनों का [[ सत्ता स्थापित ]] हो {{mvar|U}}, [[[[सबसेट]] समावेशन]] द्वारा आदेशित। एक निश्चित उपसमुच्चय चुनें {{mvar|L}} का {{mvar|U}}. फिर नक्शे {{mvar|F}} और {{mvar|G}}, कहाँ {{math|''F''(''M''&hairsp;) {{=}} ''L'' ∩ ''M''}}, और {{math|''G''(''N''&hairsp;) {{=}} ''N'' ∪ (''U''&thinsp;\&thinsp;''L'')}}, के साथ एक मोनोटोन गैल्वा कनेक्शन बनाएं {{mvar|F}} निचला आसन्न होना। एक समान गैलोज कनेक्शन जिसका निचला आसन्न मीट (न्यूनतम) ऑपरेशन द्वारा दिया गया है, किसी भी [[हेटिंग बीजगणित]] में पाया जा सकता है। विशेष रूप से, यह किसी भी [[बूलियन बीजगणित (संरचना)]] में मौजूद है, जहां दो मैपिंग द्वारा वर्णित किया जा सकता है {{math|''F''(''x'') {{=}} (''a'' ∧ ''x'')}} और {{math|''G''(&hairsp;''y'') {{=}} (&hairsp;''y'' ∨ ¬''a'') {{=}} (''a'' ⇒ ''y'')}}. तार्किक शब्दों में: से निहितार्थ {{mvar|a}} के साथ संयोजन का उपरी जोड़ है {{mvar|a}} .
क्रम-सैद्धांतिक उदाहरण के लिए, आइए {{mvar|U}} कुछ [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]] हो, और चलो {{mvar|A}} और {{mvar|B}} दोनों का [[ सत्ता स्थापित |सत्ता स्थापित]] हो {{mvar|U}}, [[[[सबसेट|उपसमुच्चय]] समावेशन]] द्वारा क्रमित। एक निश्चित उपसमुच्चय चुनें {{mvar|L}} का {{mvar|U}}. फिर नक्शे {{mvar|F}} और {{mvar|G}}, कहाँ {{math|''F''(''M''&hairsp;) {{=}} ''L'' ∩ ''M''}}, और {{math|''G''(''N''&hairsp;) {{=}} ''N'' ∪ (''U''&thinsp;\&thinsp;''L'')}}, के साथ एक एकदिष्ट गैल्वा कनेक्शन बनाएं {{mvar|F}} निचला आसन्न होना। एक समान गाल्वा कनेक्शन जिसका निचला आसन्न मीट (न्यूनतम) ऑपरेशन द्वारा दिया गया है, किसी भी [[हेटिंग बीजगणित]] में पाया जा सकता है। विशेष रूप से, यह किसी भी [[बूलियन बीजगणित (संरचना)]] में मौजूद है, जहां दो मैपिंग द्वारा वर्णित किया जा सकता है {{math|''F''(''x'') {{=}} (''a'' ∧ ''x'')}} और {{math|''G''(&hairsp;''y'') {{=}} (&hairsp;''y'' ∨ ¬''a'') {{=}} (''a'' ⇒ ''y'')}}. तार्किक शब्दों में: से निहितार्थ {{mvar|a}} के साथ संयोजन का उपरी जोड़ है {{mvar|a}} .


==== जाली ====
==== जाली ====
गैल्वा कनेक्शन के लिए और दिलचस्प उदाहरण [[पूर्णता (आदेश सिद्धांत)]] पर लेख में वर्णित हैं। मोटे तौर पर बोलते हुए, यह पता चला है कि सामान्य कार्य ∨ और ∧ विकर्ण मानचित्र के निचले और ऊपरी हिस्से हैं {{math|''X'' → ''X'' × ''X''}}. आंशिक क्रम के सबसे कम और सबसे बड़े तत्व अद्वितीय फ़ंक्शन के निचले और ऊपरी जोड़ों द्वारा दिए गए हैं {{math|''X'' → {1}.}} आगे जाकर, पूर्ण जालकों को भी उपयुक्त संलग्नकों के अस्तित्व द्वारा अभिलक्षित किया जा सकता है। ये विचार ऑर्डर थ्योरी में गैलोज़ कनेक्शन की सर्वव्यापकता का कुछ आभास देते हैं।
गैल्वा कनेक्शन के लिए और दिलचस्प उदाहरण [[पूर्णता (आदेश सिद्धांत)|पूर्णता (क्रम सिद्धांत)]] पर लेख में वर्णित हैं। मोटे तौर पर बोलते हुए, यह पता चला है कि सामान्य कार्य ∨ और ∧ विकर्ण मानचित्र के निचले और ऊपरी हिस्से हैं {{math|''X'' → ''X'' × ''X''}}. आंशिक क्रम के सबसे कम और सबसे बड़े तत्व अद्वितीय फ़ंक्शन के निचले और ऊपरी जोड़ों द्वारा दिए गए हैं {{math|''X'' → {1}.}} आगे जाकर, पूर्ण जालकों को भी उपयुक्त संलग्नकों के अस्तित्व द्वारा अभिलक्षित किया जा सकता है। ये विचार क्रम थ्योरी में गाल्वा कनेक्शन की सर्वव्यापकता का कुछ आभास देते हैं।


==== सकर्मक समूह क्रियाएं ====
==== सकर्मक समूह क्रियाएं ====
होने देना {{mvar|G}} [[ समूह क्रिया ]] ग्रुप एक्शन#कार्रवाइयों के प्रकार पर {{mvar|X}} और कुछ बिंदु चुनें {{mvar|x}} में {{mvar|X}}. विचार करना
होने देना {{mvar|G}} [[ समूह क्रिया |समूह क्रिया]] ग्रुप एक्शन#कार्रवाइयों के प्रकार पर {{mvar|X}} और कुछ बिंदु चुनें {{mvar|x}} में {{mvar|X}}. विचार करना


:<math>\mathcal{B} = \{B \subseteq X : x \in B; \forall g \in G, gB = B \ \mathrm{or} \ gB \cap B = \emptyset\},</math>
:<math>\mathcal{B} = \{B \subseteq X : x \in B; \forall g \in G, gB = B \ \mathrm{or} \ gB \cap B = \emptyset\},</math>
युक्त ब्लॉक का सेट {{mvar|x}}. आगे, चलो <math>\mathcal{G}</math> के उपसमूहों से मिलकर बनता है {{mvar|G}} जिसमें ग्रुप एक्शन#ऑर्बिट्स और स्टेबलाइजर्स शामिल हैं {{mvar|x}}.
युक्त ब्लॉक का समुच्चय {{mvar|x}}. आगे, चलो <math>\mathcal{G}</math> के उपसमूहों से मिलकर बनता है {{mvar|G}} जिसमें ग्रुप एक्शन#ऑर्बिट्स और स्टेबलाइजर्स सम्मिलित हैं {{mvar|x}}.


फिर, पत्राचार <math>\mathcal{B} \to \mathcal{G}</math>:
फिर, संगति <math>\mathcal{B} \to \mathcal{G}</math>:
:<math> B \mapsto H_B = \{g \in G : gx \in B\}</math>
:<math> B \mapsto H_B = \{g \in G : gx \in B\}</math>
एक मोनोटोन, [[इंजेक्शन समारोह]] | एक-से-एक गैलोज़ कनेक्शन है।<ref>See Alperin, Bell, Groups and Representations (GTM 162), p. 32</ref> एक उपप्रमेय के रूप में, कोई यह स्थापित कर सकता है कि द्विगुणित सकर्मक क्रियाओं में तुच्छ लोगों (एकल या संपूर्ण) के अलावा कोई ब्लॉक नहीं है {{mvar|X}}): यह स्टेबलाइजर्स में अधिकतम होने के कारण होता है {{mvar|G}} उस मामले में। आगे की चर्चा के लिए [[2-सकर्मक समूह]] देखें।
एक एकदिष्ट, [[इंजेक्शन समारोह]] | एक-से-एक गाल्वा कनेक्शन है।<ref>See Alperin, Bell, Groups and Representations (GTM 162), p. 32</ref> एक उपप्रमेय के रूप में, कोई यह स्थापित कर सकता है कि द्विगुणित सकर्मक क्रियाओं में तुच्छ लोगों (एकल या संपूर्ण) के अलावा कोई ब्लॉक नहीं है {{mvar|X}}): यह स्टेबलाइजर्स में अधिकतम होने के कारण होता है {{mvar|G}} उस स्थिति में। आगे की चर्चा के लिए [[2-सकर्मक समूह]] देखें।


==== छवि और प्रतिलोम छवि ====
==== छवि और प्रतिलोम छवि ====
अगर {{math|&thinsp;''f'' : ''X'' → ''Y''}} एक फ़ंक्शन (गणित) है, फिर किसी भी सबसेट के लिए {{mvar|M}} का {{mvar|X}} हम छवि बना सकते हैं (गणित) {{math|''F''(''M''&hairsp;) {{=}} &thinsp;''f''&thinsp;''M'' {{=}} {&thinsp;''f''&thinsp;(''m'') {{!}} ''m'' ∈ ''M''} }} और किसी भी सबसेट के लिए {{mvar|N}} का {{mvar|Y}} हम [[उलटी छवि]] बना सकते हैं {{math|''G''(''N''&hairsp;) {{=}} &thinsp;''f''&nbsp;<sup>−1</sup>''N'' {{=}} {''x'' ∈ ''X'' {{!}} &thinsp;''f''&thinsp;(''x'') ∈ ''N''}.}} तब {{mvar|F}} और {{mvar|G}} के पावर सेट के बीच एक मोनोटोन गैलोज़ कनेक्शन बनाते हैं {{mvar|X}} और का पावर सेट {{mvar|Y}}, दोनों समावेशन ⊆ द्वारा आदेशित हैं। इस स्थिति में एक और संलग्न जोड़ी है: एक उपसमुच्चय के लिए {{mvar|M}} का {{mvar|X}}, परिभाषित करना {{math|''H''(''M'') {{=}} {''y'' ∈ ''Y'' {{!}} &thinsp;''f''&nbsp;<sup>−1</sup>{''y''} ⊆ ''M''}.}} तब {{mvar|G}} और {{mvar|H}} के पावर सेट के बीच एक मोनोटोन गैलोज़ कनेक्शन बनाते हैं {{mvar|Y}} और का पावर सेट {{mvar|X}}. पहले गैलोज़ कनेक्शन में, {{mvar|G}} ऊपरी संलग्नक है, जबकि दूसरे गाल्वा कनेक्शन में यह निचले संलग्नक के रूप में कार्य करता है।
अगर {{math|&thinsp;''f'' : ''X'' → ''Y''}} एक फ़ंक्शन (गणित) है, फिर किसी भी उपसमुच्चय के लिए {{mvar|M}} का {{mvar|X}} हम छवि बना सकते हैं (गणित) {{math|''F''(''M''&hairsp;) {{=}} &thinsp;''f''&thinsp;''M'' {{=}} {&thinsp;''f''&thinsp;(''m'') {{!}} ''m'' ∈ ''M''} }} और किसी भी उपसमुच्चय के लिए {{mvar|N}} का {{mvar|Y}} हम [[उलटी छवि]] बना सकते हैं {{math|''G''(''N''&hairsp;) {{=}} &thinsp;''f''&nbsp;<sup>−1</sup>''N'' {{=}} {''x'' ∈ ''X'' {{!}} &thinsp;''f''&thinsp;(''x'') ∈ ''N''}.}} तब {{mvar|F}} और {{mvar|G}} के पावर समुच्चय के बीच एक एकदिष्ट गाल्वा कनेक्शन बनाते हैं {{mvar|X}} और का पावर समुच्चय {{mvar|Y}}, दोनों समावेशन ⊆ द्वारा क्रमित हैं। इस स्थिति में एक और संलग्न जोड़ी है: एक उपसमुच्चय के लिए {{mvar|M}} का {{mvar|X}}, परिभाषित करना {{math|''H''(''M'') {{=}} {''y'' ∈ ''Y'' {{!}} &thinsp;''f''&nbsp;<sup>−1</sup>{''y''} ⊆ ''M''}.}} तब {{mvar|G}} और {{mvar|H}} के पावर समुच्चय के बीच एक एकदिष्ट गाल्वा कनेक्शन बनाते हैं {{mvar|Y}} और का पावर समुच्चय {{mvar|X}}. पहले गाल्वा कनेक्शन में, {{mvar|G}} ऊपरी संलग्नक है, जबकि दूसरे गाल्वा कनेक्शन में यह निचले संलग्नक के रूप में कार्य करता है।


बीजगणितीय वस्तुओं (जैसे [[समूह (गणित)]]) के बीच एक अंश समूह के मामले में, इस कनेक्शन को [[जाली प्रमेय]] कहा जाता है: के उपसमूह {{mvar|G}} के उपसमूहों से कनेक्ट करें {{math|''G''/''N''}}, और उपसमूहों पर क्लोजर ऑपरेटर {{mvar|G}} द्वारा दिया गया है {{math|{{overline|''H''}} {{=}} ''HN''}}.
बीजगणितीय वस्तुओं (जैसे [[समूह (गणित)]]) के बीच एक अंश समूह की स्थिति में, इस कनेक्शन को [[जाली प्रमेय]] कहा जाता है: के उपसमूह {{mvar|G}} के उपसमूहों से कनेक्ट करें {{math|''G''/''N''}}, और उपसमूहों पर क्लोजर ऑपरेटर {{mvar|G}} द्वारा दिया गया है {{math|{{overline|''H''}} {{=}} ''HN''}}.


==== स्पैन और क्लोजर ====
==== स्पैन और क्लोजर ====
कुछ गणितीय वस्तु उठाओ {{mvar|X}} जिसमें एक [[अंतर्निहित सेट]] है, उदाहरण के लिए एक समूह, [[अंगूठी (गणित)]], [[ सदिश स्थल ]] इत्यादि। किसी भी सबसेट के लिए {{mvar|S}} का {{mvar|X}}, होने देना {{math|''F''(''S''&hairsp;)}} का सबसे छोटा विषय हो {{mvar|X}} उसमें सम्मिलित है {{mvar|S}}, यानी उपसमूह, उपसमूह या रैखिक उपस्थान द्वारा उत्पन्न {{mvar|S}}. किसी भी विषय के लिए {{mvar|U}} का {{mvar|X}}, होने देना {{math|''G''(''U''&hairsp;)}} का अंतर्निहित सेट हो {{mvar|U}}. (हम भी ले सकते हैं {{mvar|X}} एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] होने दें {{math|''F''(''S''&hairsp;)}} का [[क्लोजर (टोपोलॉजी)]]। {{mvar|S}}, और के सबऑब्जेक्ट्स के रूप में लें {{mvar|X}}  के [[बंद उपसमुच्चय]] {{mvar|X}}।) अब {{mvar|F}} और {{mvar|G}} के सबसेट के बीच एक मोनोटोन गैलोज़ कनेक्शन बनाते हैं {{mvar|X}} और के विषय {{mvar|X}}, यदि दोनों को समावेशन द्वारा आदेशित किया गया है। {{mvar|F}} निचला सन्निकट है।
कुछ गणितीय वस्तु उठाओ {{mvar|X}} जिसमें एक [[अंतर्निहित सेट|अंतर्निहित समुच्चय]] है, उदाहरण के लिए एक समूह, [[अंगूठी (गणित)]], [[ सदिश स्थल |सदिश स्थल]] इत्यादि। किसी भी उपसमुच्चय के लिए {{mvar|S}} का {{mvar|X}}, होने देना {{math|''F''(''S''&hairsp;)}} का सबसे छोटा विषय हो {{mvar|X}} उसमें सम्मिलित है {{mvar|S}}, यानी उपसमूह, उपसमूह या रैखिक उपस्थान द्वारा उत्पन्न {{mvar|S}}. किसी भी विषय के लिए {{mvar|U}} का {{mvar|X}}, होने देना {{math|''G''(''U''&hairsp;)}} का अंतर्निहित समुच्चय हो {{mvar|U}}. (हम भी ले सकते हैं {{mvar|X}} एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] होने दें {{math|''F''(''S''&hairsp;)}} का [[क्लोजर (टोपोलॉजी)]]। {{mvar|S}}, और के सबऑब्जेक्ट्स के रूप में लें {{mvar|X}} के [[बंद उपसमुच्चय]] {{mvar|X}}।) अब {{mvar|F}} और {{mvar|G}} के उपसमुच्चय के बीच एक एकदिष्ट गाल्वा कनेक्शन बनाते हैं {{mvar|X}} और के विषय {{mvar|X}}, यदि दोनों को समावेशन द्वारा क्रमित किया गया है। {{mvar|F}} निचला सन्निकट है।


====वाक्यविन्यास और शब्दार्थ ====
====वाक्यविन्यास और शब्दार्थ ====
[[विलियम लॉवरे]] की एक बहुत ही सामान्य टिप्पणी<ref>[[William Lawvere]], Adjointness in foundations, Dialectica, 1969, [http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/16/tr16abs.html available here]. The notation is different nowadays; an easier introduction by Peter Smith [http://www.logicmatters.net/resources/pdfs/Galois.pdf in these lecture notes], which also attribute the concept to the article cited.</ref> यह है कि वाक्य रचना और शब्दार्थ आसन्न हैं: take {{mvar|A}} सभी तार्किक सिद्धांतों (स्वयंसिद्धीकरण) का सेट होना, और {{mvar|B}} सभी गणितीय संरचनाओं के सेट का पावर सेट। एक सिद्धांत के लिए {{math|''T'' ∈ ''A''}}, होने देना {{math|Mod(''T''&hairsp;)}} [[स्वयंसिद्ध]]ों को संतुष्ट करने वाली सभी संरचनाओं का समुच्चय हो {{mvar|T}}&hairsp;; गणितीय संरचनाओं के एक सेट के लिए {{math|''S'' ∈ ''B''}}, होने देना {{math|Th(''S''&hairsp;)}} कम से कम स्वयंसिद्ध हों जो अनुमानित हों {{mvar|S}} (पहले क्रम के तर्क में, यह उन वाक्यों का समूह है जो सभी संरचनाओं में सत्य हैं {{mvar|S}}). हम तब कह सकते हैं {{math|Mod(''T''&hairsp;)}} का उपसमुच्चय है {{mvar|S}} अगर और केवल अगर {{mvar|T}} तार्किक रूप से तात्पर्य है {{math|Th(''S''&hairsp;)}}: सिमेंटिक्स फ़ैक्टर {{math|Mod}} और सिंटैक्स फ़ैक्टर {{math|Th}} एक मोनोटोन गैलोज़ कनेक्शन बनाते हैं, जिसमें शब्दार्थ ऊपरी आसन्न होता है।
[[विलियम लॉवरे]] की एक बहुत ही सामान्य टिप्पणी<ref>[[William Lawvere]], Adjointness in foundations, Dialectica, 1969, [http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/16/tr16abs.html available here]. The notation is different nowadays; an easier introduction by Peter Smith [http://www.logicmatters.net/resources/pdfs/Galois.pdf in these lecture notes], which also attribute the concept to the article cited.</ref> यह है कि वाक्य रचना और शब्दार्थ आसन्न हैं: take {{mvar|A}} सभी तार्किक सिद्धांतों (स्वयंसिद्धीकरण) का समुच्चय होना, और {{mvar|B}} सभी गणितीय संरचनाओं के समुच्चय का पावर समुच्चय। एक सिद्धांत के लिए {{math|''T'' ∈ ''A''}}, होने देना {{math|Mod(''T''&hairsp;)}} [[स्वयंसिद्ध]]ों को संतुष्ट करने वाली सभी संरचनाओं का समुच्चय हो {{mvar|T}}&hairsp;; गणितीय संरचनाओं के एक समुच्चय के लिए {{math|''S'' ∈ ''B''}}, होने देना {{math|Th(''S''&hairsp;)}} कम से कम स्वयंसिद्ध हों जो अनुमानित हों {{mvar|S}} (पहले क्रम के तर्क में, यह उन वाक्यों का समूह है जो सभी संरचनाओं में सत्य हैं {{mvar|S}}). हम तब कह सकते हैं {{math|Mod(''T''&hairsp;)}} का उपसमुच्चय है {{mvar|S}} अगर और केवल अगर {{mvar|T}} तार्किक रूप से तात्पर्य है {{math|Th(''S''&hairsp;)}}: सिमेंटिक्स फ़ैक्टर {{math|Mod}} और सिंटैक्स फ़ैक्टर {{math|Th}} एक एकदिष्ट गाल्वा कनेक्शन बनाते हैं, जिसमें शब्दार्थ ऊपरी आसन्न होता है।


=== एंटीटोन गैलोज़ कनेक्शन ===
=== एंटीटोन गाल्वा कनेक्शन ===


==== गैलोइस थ्योरी ====
==== गाल्वा थ्योरी ====
प्रेरक उदाहरण गाल्वा सिद्धांत से आता है: मान लीजिए {{math|''L''/''K''}} एक फील्ड एक्सटेंशन है। होने देना {{mvar|A}} के सभी उपक्षेत्रों का समुच्चय हो {{mvar|L}} जिसमें शामिल है {{mvar|K}}, समावेशन ⊆ द्वारा आदेशित। अगर {{mvar|E}} ऐसा ही एक सबफील्ड है, लिखो {{math|Gal(''L''/''E'')}} [[फील्ड ऑटोमोर्फिज्म]] के समूह के लिए {{mvar|L}} जो धारण करता है {{mvar|E}} हल किया गया। होने देना {{mvar|B}} के उपसमूहों का समुच्चय हो {{math|Gal(''L''/''K'')}}, समावेशन ⊆ द्वारा आदेशित। ऐसे उपसमूह के लिए {{mvar|G}}, परिभाषित करना {{math|Fix(''G'')}} सभी तत्वों से युक्त क्षेत्र होना {{mvar|L}} जो सभी तत्वों द्वारा तय किए गए हैं {{mvar|G}}. फिर नक्शे {{math|''E'' {{mapsto}} Gal(''L''/''E'')}} और {{math|''G'' {{mapsto}} Fix(''G'')}} एक एंटीटोन गैलोज़ कनेक्शन बनाते हैं।
प्रेरक उदाहरण गाल्वा सिद्धांत से आता है: मान लीजिए {{math|''L''/''K''}} एक फील्ड एक्सटेंशन है। होने देना {{mvar|A}} के सभी उपक्षेत्रों का समुच्चय हो {{mvar|L}} जिसमें सम्मिलित है {{mvar|K}}, समावेशन ⊆ द्वारा क्रमित। अगर {{mvar|E}} ऐसा ही एक सबफील्ड है, लिखो {{math|Gal(''L''/''E'')}} [[फील्ड ऑटोमोर्फिज्म]] के समूह के लिए {{mvar|L}} जो धारण करता है {{mvar|E}} हल किया गया। होने देना {{mvar|B}} के उपसमूहों का समुच्चय हो {{math|Gal(''L''/''K'')}}, समावेशन ⊆ द्वारा क्रमित। ऐसे उपसमूह के लिए {{mvar|G}}, परिभाषित करना {{math|Fix(''G'')}} सभी तत्वों से युक्त क्षेत्र होना {{mvar|L}} जो सभी तत्वों द्वारा तय किए गए हैं {{mvar|G}}. फिर नक्शे {{math|''E'' {{mapsto}} Gal(''L''/''E'')}} और {{math|''G'' {{mapsto}} Fix(''G'')}} एक एंटीटोन गाल्वा कनेक्शन बनाते हैं।


==== बीजगणितीय टोपोलॉजी: रिक्त स्थान को कवर करना ====
==== बीजगणितीय टोपोलॉजी: रिक्त स्थान को कवर करना ====
अनुरूप रूप से, एक पथ-जुड़ा स्थलीय स्थान दिया गया {{mvar|X}}, [[मौलिक समूह]] के उपसमूहों के बीच एक एंटीटोन गैलोज कनेक्शन है {{math|''π''<sub>1</sub>(''X'')}} और पाथ-कनेक्टेड [[ अंतरिक्ष को कवर करना ]] ऑफ़ {{mvar|X}}. विशेष रूप से, अगर {{mvar|X}} अर्ध-स्थानीय रूप से बस जुड़ा हुआ है, फिर प्रत्येक उपसमूह के लिए {{mvar|G}} का {{math|''π''<sub>1</sub>(''X'')}}, के साथ एक कवरिंग स्पेस है {{mvar|G}} इसके मौलिक समूह के रूप में।
अनुरूप रूप से, एक पथ-जुड़ा स्थलीय स्थान दिया गया {{mvar|X}}, [[मौलिक समूह]] के उपसमूहों के बीच एक एंटीटोन गाल्वा कनेक्शन है {{math|''π''<sub>1</sub>(''X'')}} और पाथ-कनेक्टेड [[ अंतरिक्ष को कवर करना |अंतरिक्ष को कवर करना]] ऑफ़ {{mvar|X}}. विशेष रूप से, अगर {{mvar|X}} अर्ध-स्थानीय रूप से मात्र जुड़ा हुआ है, फिर प्रत्येक उपसमूह के लिए {{mvar|G}} का {{math|''π''<sub>1</sub>(''X'')}}, के साथ एक कवरिंग स्पेस है {{mvar|G}} इसके मौलिक समूह के रूप में।


==== रेखीय बीजगणित: विनाशक और ऑर्थोगोनल पूरक ====
==== रेखीय बीजगणित: विनाशक और ऑर्थोगोनल पूरक ====
एक [[आंतरिक उत्पाद स्थान]] दिया गया {{mvar|V}}, हम ओर्थोगोनल पूरक बना सकते हैं {{math|''F''(''X''&hairsp;)}} किसी भी उप-स्थान का {{mvar|X}} का {{mvar|V}}. यह उप-स्थानों के सेट के बीच एक एंटीटोन गैलोज़ कनेक्शन उत्पन्न करता है {{mvar|V}} और स्वयं, समावेशन द्वारा आदेशित; दोनों ध्रुवताएं बराबर हैं {{mvar|F}}.
एक [[आंतरिक उत्पाद स्थान]] दिया गया {{mvar|V}}, हम ओर्थोगोनल पूरक बना सकते हैं {{math|''F''(''X''&hairsp;)}} किसी भी उप-स्थान का {{mvar|X}} का {{mvar|V}}. यह उप-स्थानों के समुच्चय के बीच एक एंटीटोन गाल्वा कनेक्शन उत्पन्न करता है {{mvar|V}} और स्वयं, समावेशन द्वारा क्रमित; दोनों ध्रुवताएं बराबर हैं {{mvar|F}}.


एक सदिश स्थान दिया गया है {{mvar|V}} और एक उपसमुच्चय {{mvar|X}} का {{mvar|V}} हम इसके विनाशक को परिभाषित कर सकते हैं {{math|''F''(''X''&hairsp;)}}, दोहरे स्थान के सभी तत्वों से मिलकर {{math|''V''&hairsp;<sup>∗</sup>}} का {{mvar|V}} जो गायब हो जाता है {{mvar|X}}. इसी प्रकार, एक उपसमुच्चय दिया है {{mvar|Y}} का {{math|''V''&hairsp;<sup>∗</sup>}}, हम इसके सर्वनाश को परिभाषित करते हैं {{math|''G''(''Y''&thinsp;) {{=}} {&hairsp;''x'' ∈ ''V'' {{!}} ''φ''(''x'') {{=}} 0 ∀''φ'' ∈ ''Y''&hairsp;}.}} यह सबसेट के बीच एक एंटीटोन गैलोज़ कनेक्शन देता है {{mvar|V}} और के सबसेट {{math|''V''&hairsp;<sup>∗</sup>}}.
एक सदिश स्थान दिया गया है {{mvar|V}} और एक उपसमुच्चय {{mvar|X}} का {{mvar|V}} हम इसके विनाशक को परिभाषित कर सकते हैं {{math|''F''(''X''&hairsp;)}}, दोहरे स्थान के सभी तत्वों से मिलकर {{math|''V''&hairsp;<sup>∗</sup>}} का {{mvar|V}} जो गायब हो जाता है {{mvar|X}}. इसी प्रकार, एक उपसमुच्चय दिया है {{mvar|Y}} का {{math|''V''&hairsp;<sup>∗</sup>}}, हम इसके सर्वनाश को परिभाषित करते हैं {{math|''G''(''Y''&thinsp;) {{=}} {&hairsp;''x'' ∈ ''V'' {{!}} ''φ''(''x'') {{=}} 0 ∀''φ'' ∈ ''Y''&hairsp;}.}} यह उपसमुच्चय के बीच एक एंटीटोन गाल्वा कनेक्शन देता है {{mvar|V}} और के उपसमुच्चय {{math|''V''&hairsp;<sup>∗</sup>}}.


==== [[बीजगणितीय ज्यामिति]] ====
==== [[बीजगणितीय ज्यामिति]] ====
बीजगणितीय ज्यामिति में, [[बहुपद]]ों के सेट और उनके शून्य सेट के बीच का संबंध एंटीटोन गैलोइस कनेक्शन है।
बीजगणितीय ज्यामिति में, [[बहुपद]]ों के समुच्चय और उनके शून्य समुच्चय के बीच का संबंध एंटीटोन गाल्वा कनेक्शन है।


एक [[प्राकृतिक संख्या]] तय करें {{mvar|n}} और एक [[क्षेत्र (गणित)]] {{mvar|K}} और जाने {{mvar|A}} बहुपद वलय के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय हो {{math|''K''[''X''<sub>1</sub>, ..., ''X<sub>n</sub>'']}} समावेशन द्वारा आदेशित ⊆, और चलो {{mvar|B}} के सभी उपसमूहों का समुच्चय हो {{math|''K''<sup>&hairsp;''n''</sup>}} समावेश ⊆ द्वारा आदेशित। अगर {{mvar|S}} बहुपदों का एक समूह है, बीजगणितीय ज्यामिति#Affine किस्मों को शून्य के रूप में परिभाषित करें
एक [[प्राकृतिक संख्या]] तय करें {{mvar|n}} और एक [[क्षेत्र (गणित)]] {{mvar|K}} और जाने {{mvar|A}} बहुपद वलय के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय हो {{math|''K''[''X''<sub>1</sub>, ..., ''X<sub>n</sub>'']}} समावेशन द्वारा क्रमित ⊆, और चलो {{mvar|B}} के सभी उपसमूहों का समुच्चय हो {{math|''K''<sup>&hairsp;''n''</sup>}} समावेश ⊆ द्वारा क्रमित। अगर {{mvar|S}} बहुपदों का एक समूह है, बीजगणितीय ज्यामिति#Affine किस्मों को शून्य के रूप में परिभाषित करें


:<math>V(S) = \{x \in K^n : f(x) = 0 \mbox{ for all } f \in S\},</math>
:<math>V(S) = \{x \in K^n : f(x) = 0 \mbox{ for all } f \in S\},</math>
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बंद चालू {{math|''K''<sup>&hairsp;''n''</sup>}} [[जरिस्की टोपोलॉजी]] में क्लोजर है, और यदि फील्ड है {{mvar|K}} [[बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र]] है, तो बहुपद वलय पर बंद होने से उत्पन्न आदर्श के एक आदर्श का रेडिकल है {{mvar|S}}.
बंद चालू {{math|''K''<sup>&hairsp;''n''</sup>}} [[जरिस्की टोपोलॉजी]] में क्लोजर है, और यदि फील्ड है {{mvar|K}} [[बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र]] है, तो बहुपद वलय पर बंद होने से उत्पन्न आदर्श के एक आदर्श का रेडिकल है {{mvar|S}}.


अधिक आम तौर पर, एक [[क्रमविनिमेय अंगूठी]] दी जाती है {{mvar|R}} (अनिवार्य रूप से एक बहुपद अंगूठी), अंगूठी में कट्टरपंथी आदर्शों और बीजगणितीय ज्यामिति की उप-किस्मों के बीच एक एंटीटोन गैलोइस कनेक्शन है#Affine किस्मों {{math|[[Spectrum of a ring|Spec]](''R'')}}.
अधिक आम तौर पर, एक [[क्रमविनिमेय अंगूठी]] दी जाती है {{mvar|R}} (अनिवार्य रूप से एक बहुपद अंगूठी), अंगूठी में कट्टरपंथी आदर्शों और बीजगणितीय ज्यामिति की उप-किस्मों के बीच एक एंटीटोन गाल्वा कनेक्शन है#Affine किस्मों {{math|[[Spectrum of a ring|Spec]](''R'')}}.


अधिक आम तौर पर, रिंग में आदर्शों और संबंधित बीजगणितीय ज्यामिति #Affine किस्मों की उपयोजनाओं के बीच एक एंटीटोन गैलोज़ कनेक्शन होता है।
अधिक आम तौर पर, रिंग में आदर्शों और संबंधित बीजगणितीय ज्यामिति #Affine किस्मों की उपयोजनाओं के बीच एक एंटीटोन गाल्वा कनेक्शन होता है।


==== बाइनरी संबंधों से उत्पन्न होने वाले पावर सेट पर कनेक्शन ====
==== बाइनरी संबंधों से उत्पन्न होने वाले पावर समुच्चय पर कनेक्शन ====
कल्पना करना {{mvar|X}} और {{mvar|Y}} मनमाना सेट और एक [[द्विआधारी संबंध]] हैं {{mvar|R}} ऊपर {{mvar|X}} और {{mvar|Y}} दिया हुआ है। किसी उपसमुच्चय के लिए {{mvar|M}} का {{mvar|X}}, हम परिभाषित करते हैं {{math|''F''(''M''&hairsp;) {{=}} {&hairsp;''y'' ∈ ''Y'' {{!}} ''mRy'' ∀''m'' ∈ ''M''&hairsp;}.}} इसी तरह, किसी उपसमुच्चय के लिए {{mvar|N}} का {{mvar|Y}}, परिभाषित करना {{math|''G''(''N''&hairsp;) {{=}} {&hairsp;''x'' ∈ ''X'' {{!}} ''xRn'' ∀''n'' ∈ ''N''&hairsp;}.}} तब {{mvar|F}} और {{mvar|G}} के पावर सेट के बीच एक एंटीटोन गैलोज़ कनेक्शन प्राप्त करें {{mvar|X}} और {{mvar|Y}}, दोनों समावेशन ⊆ द्वारा आदेशित हैं।<ref>Birkhoff, 1st edition (1940): §32, 3rd edition (1967): Ch. V, §7 and §8</ref>
कल्पना करना {{mvar|X}} और {{mvar|Y}} मनमाना समुच्चय और एक [[द्विआधारी संबंध]] हैं {{mvar|R}} ऊपर {{mvar|X}} और {{mvar|Y}} दिया हुआ है। किसी उपसमुच्चय के लिए {{mvar|M}} का {{mvar|X}}, हम परिभाषित करते हैं {{math|''F''(''M''&hairsp;) {{=}} {&hairsp;''y'' ∈ ''Y'' {{!}} ''mRy'' ∀''m'' ∈ ''M''&hairsp;}.}} इसी तरह, किसी उपसमुच्चय के लिए {{mvar|N}} का {{mvar|Y}}, परिभाषित करना {{math|''G''(''N''&hairsp;) {{=}} {&hairsp;''x'' ∈ ''X'' {{!}} ''xRn'' ∀''n'' ∈ ''N''&hairsp;}.}} तब {{mvar|F}} और {{mvar|G}} के पावर समुच्चय के बीच एक एंटीटोन गाल्वा कनेक्शन प्राप्त करें {{mvar|X}} और {{mvar|Y}}, दोनों समावेशन ⊆ द्वारा क्रमित हैं।<ref>Birkhoff, 1st edition (1940): §32, 3rd edition (1967): Ch. V, §7 and §8</ref>
समरूपता तक पावर सेट के बीच सभी एंटीटोन गैलोज कनेक्शन इस तरह से उत्पन्न होते हैं। यह कॉन्सेप्ट लैटिस पर बेसिक प्रमेय से आता है।<ref>Ganter, B. and Wille, R. ''Formal Concept Analysis -- Mathematical Foundations'', Springer (1999), {{ISBN|978-3-540-627715}}</ref> [[औपचारिक अवधारणा विश्लेषण]] में द्विआधारी संबंधों से उत्पन्न होने वाले गैलोज़ कनेक्शन के सिद्धांत और अनुप्रयोगों का अध्ययन किया जाता है। वह फ़ील्ड गणितीय डेटा विश्लेषण के लिए Galois कनेक्शन का उपयोग करता है। संबंधित साहित्य में गैल्वा कनेक्शन के लिए कई एल्गोरिदम पाए जा सकते हैं, उदाहरण के लिए।<ref>Ganter, B. and Obiedkov, S. ''Conceptual Exploration'', Springer (2016), {{ISBN|978-3-662-49290-1}}</ref>
समरूपता तक पावर समुच्चय के बीच सभी एंटीटोन गाल्वा कनेक्शन इस तरह से उत्पन्न होते हैं। यह कॉन्सेप्ट लैटिस पर बेसिक प्रमेय से आता है।<ref>Ganter, B. and Wille, R. ''Formal Concept Analysis -- Mathematical Foundations'', Springer (1999), {{ISBN|978-3-540-627715}}</ref> [[औपचारिक अवधारणा विश्लेषण]] में द्विआधारी संबंधों से उत्पन्न होने वाले गाल्वा कनेक्शन के सिद्धांत और अनुप्रयोगों का अध्ययन किया जाता है। वह फ़ील्ड गणितीय डेटा विश्लेषण के लिए गाल्वा कनेक्शन का उपयोग करता है। संबंधित साहित्य में गैल्वा कनेक्शन के लिए कई एल्गोरिदम पाए जा सकते हैं, उदाहरण के लिए।<ref>Ganter, B. and Obiedkov, S. ''Conceptual Exploration'', Springer (2016), {{ISBN|978-3-662-49290-1}}</ref>




== गुण ==
== गुण ==
निम्नलिखित में, हम एक (मोनोटोन) गैलोज़ कनेक्शन पर विचार करते हैं {{math|&thinsp;''f'' {{=}} (&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>, &thinsp;''f''<sub>∗</sub>)}}, कहाँ {{math|&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup> : ''A'' → ''B''}जैसा कि ऊपर प्रस्तुत किया गया है } निचला संलग्नक है। कुछ सहायक और शिक्षाप्रद बुनियादी गुणों को तुरंत प्राप्त किया जा सकता है। गैल्वा कनेक्शन की परिभाषित संपत्ति से, {{math|&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>(''x'') ≤ &thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>(''x'')}} के बराबर है {{math|''x'' ≤ &thinsp;''f''<sub>∗</sub>(&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>(''x''))}}, सभी के लिए {{mvar|x}} में {{mvar|A}}. इसी तरह के तर्क से (या केवल द्वैत (आदेश सिद्धांत) को लागू करके), कोई यह पाता है {{math|&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>(&thinsp;''f''<sub>∗</sub>(''y'')) ≤ ''y''}}, सभी के लिए {{mvar|y}} में {{mvar|B}}. इन गुणों का वर्णन संयुक्त कह कर किया जा सकता है {{math|&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>∘&thinsp;''f''<sub>∗</sub>}} अपस्फीतिकारक है, जबकि {{math|&thinsp;''f''<sub>∗</sub>∘&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>}} मुद्रास्फीति (या व्यापक) है।
निम्नलिखित में, हम एक (एकदिष्ट) गाल्वा कनेक्शन पर विचार करते हैं {{math|&thinsp;''f'' {{=}} (&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>, &thinsp;''f''<sub>∗</sub>)}}, कहाँ {{math|&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup> : ''A'' → ''B''}जैसा कि ऊपर प्रस्तुत किया गया है } निचला संलग्नक है। कुछ सहायक और शिक्षाप्रद बुनियादी गुणों को तुरंत प्राप्त किया जा सकता है। गैल्वा कनेक्शन की परिभाषित संपत्ति से, {{math|&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>(''x'') ≤ &thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>(''x'')}} के बराबर है {{math|''x'' ≤ &thinsp;''f''<sub>∗</sub>(&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>(''x''))}}, सभी के लिए {{mvar|x}} में {{mvar|A}}. इसी तरह के तर्क से (या केवल द्वैत (क्रम सिद्धांत) को लागू करके), कोई यह पाता है {{math|&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>(&thinsp;''f''<sub>∗</sub>(''y'')) ≤ ''y''}}, सभी के लिए {{mvar|y}} में {{mvar|B}}. इन गुणों का वर्णन संयुक्त कह कर किया जा सकता है {{math|&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>∘&thinsp;''f''<sub>∗</sub>}} अपस्फीतिकारक है, जबकि {{math|&thinsp;''f''<sub>∗</sub>∘&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>}} मुद्रास्फीति (या व्यापक) है।


अब विचार करें {{math|''x'', ''y'' ∈ ''A''}} ऐसा है कि {{math|''x'' ≤ ''y''}}. फिर उपरोक्त का उपयोग करके प्राप्त करता है {{math|''x'' ≤ &thinsp;''f''<sub>∗</sub>(&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>(''y''))}}. गैल्वा कनेक्शन की मूल संपत्ति को लागू करने से अब यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है {{math|&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>(''x'') ≤ &thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>(''y'')}}. लेकिन यह सिर्फ यही दर्शाता है {{math|&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>}} किन्हीं भी दो तत्वों के क्रम को बनाए रखता है, यानी यह मोनोटोन है। फिर से, इसी तरह के तर्क से एकरसता पैदा होती है {{math|&thinsp;''f''<sub>∗</sub>}}. इस प्रकार एकरसता को स्पष्ट रूप से परिभाषा में शामिल करने की आवश्यकता नहीं है। हालांकि, मोनोटोनिकिटी का उल्लेख करने से गैलोज़ कनेक्शन की दो वैकल्पिक धारणाओं के बारे में भ्रम से बचने में मदद मिलती है।
अब विचार करें {{math|''x'', ''y'' ∈ ''A''}} ऐसा है कि {{math|''x'' ≤ ''y''}}. फिर उपरोक्त का उपयोग करके प्राप्त करता है {{math|''x'' ≤ &thinsp;''f''<sub>∗</sub>(&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>(''y''))}}. गैल्वा कनेक्शन की मूल संपत्ति को लागू करने से अब यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है {{math|&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>(''x'') ≤ &thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>(''y'')}}. परन्तु यह सिर्फ यही दर्शाता है {{math|&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>}} किन्हीं भी दो तत्वों के क्रम को बनाए रखता है, यानी यह एकदिष्ट है। फिर से, इसी तरह के तर्क से एकरसता पैदा होती है {{math|&thinsp;''f''<sub>∗</sub>}}. इस प्रकार एकरसता को स्पष्ट रूप से परिभाषा में सम्मिलित करने की आवश्यकता नहीं है। हालांकि, एकदिष्टिकिटी का उल्लेख करने से गाल्वा कनेक्शन की दो वैकल्पिक धारणाओं के विषय में भ्रम से बचने में मदद मिलती है।


गैलोज़ कनेक्शन की एक और बुनियादी संपत्ति यह तथ्य है कि {{math|&thinsp;''f''<sub>∗</sub>(&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>(&thinsp;''f''<sub>∗</sub>(''x''))) {{=}} &thinsp;''f''<sub>∗</sub>(''x'')}}, सभी के लिए {{mvar|x}} में {{mvar|B}}. स्पष्ट रूप से हम पाते हैं
गाल्वा कनेक्शन की एक और बुनियादी संपत्ति यह तथ्य है कि {{math|&thinsp;''f''<sub>∗</sub>(&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>(&thinsp;''f''<sub>∗</sub>(''x''))) {{=}} &thinsp;''f''<sub>∗</sub>(''x'')}}, सभी के लिए {{mvar|x}} में {{mvar|B}}. स्पष्ट रूप से हम पाते हैं


:{{math|&thinsp;''f''<sub>∗</sub>(&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>(&thinsp;''f''<sub>∗</sub>(''x''))) ≥ &thinsp;''f''<sub>∗</sub>(''x'')}}.
:{{math|&thinsp;''f''<sub>∗</sub>(&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>(&thinsp;''f''<sub>∗</sub>(''x''))) ≥ &thinsp;''f''<sub>∗</sub>(''x'')}}.


क्योंकि {{math|&thinsp;''f''<sub>∗</sub>∘&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>}} स्फीतिकारक है जैसा कि ऊपर दिखाया गया है। दूसरी ओर, चूंकि {{math|&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>∘&thinsp;''f''<sub>∗</sub>}} अपस्फीतिकारक है, जबकि {{math|&thinsp;''f''<sub>∗</sub>}} मोनोटोनिक है, कोई पाता है
क्योंकि {{math|&thinsp;''f''<sub>∗</sub>∘&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>}} स्फीतिकारक है जैसा कि ऊपर दिखाया गया है। दूसरी ओर, चूंकि {{math|&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>∘&thinsp;''f''<sub>∗</sub>}} अपस्फीतिकारक है, जबकि {{math|&thinsp;''f''<sub>∗</sub>}} एकदिष्टिक है, कोई पाता है


:{{math|&thinsp;''f''<sub>∗</sub>(&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>(&thinsp;''f''<sub>∗</sub>(''x''))) ≤ &thinsp;''f''<sub>∗</sub>(''x'')}}.
:{{math|&thinsp;''f''<sub>∗</sub>(&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>(&thinsp;''f''<sub>∗</sub>(''x''))) ≤ &thinsp;''f''<sub>∗</sub>(''x'')}}.
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अर्थात।, {{math|&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>∘&thinsp;''f''<sub>∗</sub>}} और {{math|&thinsp;''f''<sub>∗</sub>∘&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>}} निष्पाप हैं।
अर्थात।, {{math|&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>∘&thinsp;''f''<sub>∗</sub>}} और {{math|&thinsp;''f''<sub>∗</sub>∘&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>}} निष्पाप हैं।


यह दिखाया जा सकता है (प्रमाण के लिए ब्लीथ या एर्ने देखें) कि एक समारोह {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} एक निचला (प्रतिक्रिया ऊपरी) आसन्न है अगर और केवल अगर {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} एक अवशिष्ट मानचित्रण (प्रतिक्रिया अवशिष्ट मानचित्रण) है। इसलिए, अवशिष्ट मानचित्रण और मोनोटोन गैलोइस कनेक्शन की धारणा अनिवार्य रूप से समान है।
यह दिखाया जा सकता है (प्रमाण के लिए ब्लीथ या एर्ने देखें) कि एक समारोह {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} एक निचला (प्रतिक्रिया ऊपरी) आसन्न है अगर और केवल अगर {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} एक अवशिष्ट मानचित्रण (प्रतिक्रिया अवशिष्ट मानचित्रण) है। इसलिए, अवशिष्ट मानचित्रण और एकदिष्ट गाल्वा कनेक्शन की धारणा अनिवार्य रूप से समान है।


== क्लोजर ऑपरेटर और गैलोज़ कनेक्शन ==
== क्लोजर ऑपरेटर और गाल्वा कनेक्शन ==
उपरोक्त निष्कर्षों को निम्नानुसार संक्षेपित किया जा सकता है: गैलोज़ कनेक्शन के लिए, समग्र {{math|&thinsp;''f''<sub>∗</sub>∘&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>}} मोनोटोन है (मोनोटोन कार्यों का सम्मिश्रण होने के नाते), स्फीतिकारी और निष्क्रिय है। यह बताता है कि {{math|&thinsp;''f''<sub>∗</sub>∘&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>}} वास्तव में एक क्लोजर ऑपरेटर है {{mvar|A}}. दैनिक रूप से, {{math|&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>∘&thinsp;''f''<sub>∗</sub>}} मोनोटोन, डिफ्लेशनरी और इडेम्पोटेंट है। ऐसे मैपिंग को कभी-कभी कर्नेल ऑपरेटर कहा जाता है। फ़्रेम और लोकेशंस के संदर्भ में, समग्र {{math|&thinsp;''f''<sub>∗</sub>∘&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>}} द्वारा प्रेरित नाभिक कहा जाता है {{math|&thinsp;''f''&nbsp;}}. नाभिक प्रेरित फ्रेम समरूपता; लोकेल के एक उपसमुच्चय को सबलोकेल कहा जाता है यदि यह एक नाभिक द्वारा दिया जाता है।
उपरोक्त निष्कर्षों को निम्नानुसार संक्षेपित किया जा सकता है: गाल्वा कनेक्शन के लिए, समग्र {{math|&thinsp;''f''<sub>∗</sub>∘&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>}} एकदिष्ट है (एकदिष्ट कार्यों का सम्मिश्रण होने के नाते), स्फीतिकारी और निष्क्रिय है। यह बताता है कि {{math|&thinsp;''f''<sub>∗</sub>∘&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>}} वास्तव में एक क्लोजर ऑपरेटर है {{mvar|A}}. दैनिक रूप से, {{math|&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>∘&thinsp;''f''<sub>∗</sub>}} एकदिष्ट, डिफ्लेशनरी और इडेम्पोटेंट है। ऐसे मैपिंग को कभी-कभी कर्नेल ऑपरेटर कहा जाता है। फ़्रेम और लोकेशंस के संदर्भ में, समग्र {{math|&thinsp;''f''<sub>∗</sub>∘&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>}} द्वारा प्रेरित नाभिक कहा जाता है {{math|&thinsp;''f''&nbsp;}}. नाभिक प्रेरित फ्रेम समरूपता; लोकेल के एक उपसमुच्चय को सबलोकेल कहा जाता है यदि यह एक नाभिक द्वारा दिया जाता है।


[[बातचीत (तर्क)]], कोई क्लोजर ऑपरेटर {{mvar|c}} किसी पोसेट पर {{mvar|A}} निचले सन्निकट के साथ गैलोज़ कनेक्शन को जन्म देता है {{math|&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>}} का केवल प्रतिबंध है {{mvar|c}} की छवि के लिए {{mvar|c}} (अर्थात क्लोजर सिस्टम की विशेषण मैपिंग के रूप में {{math|''c''(''A'')}}). ऊपरी जोड़ {{math|&thinsp;''f''<sub>∗</sub>}} तब के समावेशन मानचित्र द्वारा दिया जाता है {{math|''c''(''A'')}} में {{mvar|A}}, जो प्रत्येक बंद तत्व को स्वयं के लिए मैप करता है, जिसे एक तत्व माना जाता है {{mvar|A}}. इस तरह, क्लोजर ऑपरेटर्स और गैलोज़ कनेक्शनों को बारीकी से संबंधित देखा जाता है, प्रत्येक दूसरे के एक उदाहरण को निर्दिष्ट करता है। इसी तरह के निष्कर्ष कर्नेल ऑपरेटरों के लिए सही हैं।
[[बातचीत (तर्क)]], कोई क्लोजर ऑपरेटर {{mvar|c}} किसी क्रमित समुच्चय पर {{mvar|A}} निचले सन्निकट के साथ गाल्वा कनेक्शन को जन्म देता है {{math|&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>}} का केवल प्रतिबंध है {{mvar|c}} की छवि के लिए {{mvar|c}} (अर्थात क्लोजर सिस्टम की विशेषण मैपिंग के रूप में {{math|''c''(''A'')}}). ऊपरी जोड़ {{math|&thinsp;''f''<sub>∗</sub>}} तब के समावेशन मानचित्र द्वारा दिया जाता है {{math|''c''(''A'')}} में {{mvar|A}}, जो प्रत्येक बंद तत्व को स्वयं के लिए मैप करता है, जिसे एक तत्व माना जाता है {{mvar|A}}. इस तरह, क्लोजर ऑपरेटर्स और गाल्वा कनेक्शनों को बारीकी से संबंधित देखा जाता है, प्रत्येक दूसरे के एक उदाहरण को निर्दिष्ट करता है। इसी तरह के निष्कर्ष कर्नेल ऑपरेटरों के लिए सही हैं।


उपरोक्त विचार यह भी दिखाते हैं कि बंद तत्व {{mvar|A}} (तत्व {{mvar|x}} साथ {{math|&thinsp;''f''<sub>∗</sub>(&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>(''x'')) {{=}} ''x''}}) कर्नेल ऑपरेटर की सीमा के भीतर तत्वों के लिए मैप किए गए हैं {{math|&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>∘&thinsp;''f''<sub>∗</sub>}}, और इसके विपरीत।
उपरोक्त विचार यह भी दिखाते हैं कि बंद तत्व {{mvar|A}} (तत्व {{mvar|x}} साथ {{math|&thinsp;''f''<sub>∗</sub>(&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>(''x'')) {{=}} ''x''}}) कर्नेल ऑपरेटर की सीमा के भीतर तत्वों के लिए मैप किए गए हैं {{math|&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>∘&thinsp;''f''<sub>∗</sub>}}, और इसके विपरीत।


== गाल्वा कनेक्शन का अस्तित्व और विशिष्टता ==
== गाल्वा कनेक्शन का अस्तित्व और विशिष्टता ==
गैल्वा कनेक्शन की एक और महत्वपूर्ण संपत्ति यह है कि निचले आसन्न सीमा (ऑर्डर थ्योरी) को संरक्षित करते हैं जो कि एक फ़ंक्शन के अपने डोमेन के भीतर मौजूद हैं। दैनिक रूप से, ऊपरी अनुलग्न सभी मौजूदा [[सबसे कम]] को संरक्षित करते हैं। इन गुणों से, कोई भी तुरंत आसन्नों की एकरसता का निष्कर्ष निकाल सकता है। आसन्न फंक्टर प्रमेय (आदेश सिद्धांत) कहता है कि कुछ मामलों में उलटा निहितार्थ भी मान्य है: विशेष रूप से, पूर्ण लैटिस के बीच कोई मैपिंग जो सभी सुपरमा को संरक्षित करता है, गैलोइस कनेक्शन का निचला आसन्न है।
गैल्वा कनेक्शन की एक और महत्वपूर्ण संपत्ति यह है कि निचले आसन्न सीमा (क्रम थ्योरी) को संरक्षित करते हैं जो कि एक फ़ंक्शन के अपने डोमेन के भीतर मौजूद हैं। दैनिक रूप से, ऊपरी अनुलग्न सभी मौजूदा [[सबसे कम]] को संरक्षित करते हैं। इन गुणों से, कोई भी तुरंत आसन्नों की एकरसता का निष्कर्ष निकाल सकता है। आसन्न फंक्टर प्रमेय (क्रम सिद्धांत) कहता है कि कुछ मामलों में उलटा निहितार्थ भी मान्य है: विशेष रूप से, पूर्ण लैटिस के बीच कोई मैपिंग जो सभी सुपरमा को संरक्षित करता है, गाल्वा कनेक्शन का निचला आसन्न है।


इस स्थिति में, गैल्वा कनेक्शन की एक महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि एक संलग्न दूसरे को विशिष्ट रूप से निर्धारित करता है। इसलिए उपरोक्त बयान को मजबूत करने के लिए यह गारंटी दी जा सकती है कि पूर्ण जाली के बीच कोई सर्वोच्च-संरक्षित मानचित्र एक अद्वितीय गैलोइस कनेक्शन का निचला हिस्सा है। इस अद्वितीयता को प्राप्त करने की मुख्य विशेषता निम्नलिखित है: प्रत्येक के लिए {{mvar|x}} में {{mvar|A}}, {{math|&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>(''x'')}} सबसे कम तत्व है {{mvar|y}} का {{mvar|B}} ऐसा है कि {{math|''x'' ≤ &thinsp;''f''<sub>∗</sub>(''y'')}}. वास्तव में, प्रत्येक के लिए {{mvar|y}} में {{mvar|B}}, {{math|&thinsp;''f''<sub>∗</sub>(''y'')}} सबसे बड़ा है {{mvar|x}} में {{mvar|A}} ऐसा है कि {{math|&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>(''x'') ≤ ''y''}}. एक निश्चित गैलोज़ कनेक्शन का अस्तित्व अब संबंधित सबसे कम या सबसे बड़े तत्वों के अस्तित्व का अर्थ है, चाहे संबंधित पोसेट किसी पूर्णता (आदेश सिद्धांत) को संतुष्ट करते हों। इस प्रकार, जब गैलोज़ कनेक्शन का एक ऊपरी जोड़ दिया जाता है, तो दूसरे ऊपरी जोड़ को इसी संपत्ति के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है।
इस स्थिति में, गैल्वा कनेक्शन की एक महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि एक संलग्न दूसरे को विशिष्ट रूप से निर्धारित करता है। इसलिए उपरोक्त बयान को मजबूत करने के लिए यह गारंटी दी जा सकती है कि पूर्ण जाली के बीच कोई सर्वोच्च-संरक्षित मानचित्र एक अद्वितीय गाल्वा कनेक्शन का निचला हिस्सा है। इस अद्वितीयता को प्राप्त करने की मुख्य विशेषता निम्नलिखित है: प्रत्येक के लिए {{mvar|x}} में {{mvar|A}}, {{math|&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>(''x'')}} सबसे कम तत्व है {{mvar|y}} का {{mvar|B}} ऐसा है कि {{math|''x'' ≤ &thinsp;''f''<sub>∗</sub>(''y'')}}. वास्तव में, प्रत्येक के लिए {{mvar|y}} में {{mvar|B}}, {{math|&thinsp;''f''<sub>∗</sub>(''y'')}} सबसे बड़ा है {{mvar|x}} में {{mvar|A}} ऐसा है कि {{math|&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>(''x'') ≤ ''y''}}. एक निश्चित गाल्वा कनेक्शन का अस्तित्व अब संबंधित सबसे कम या सबसे बड़े तत्वों के अस्तित्व का अर्थ है, चाहे संबंधित क्रमित समुच्चय किसी पूर्णता (क्रम सिद्धांत) को संतुष्ट करते हों। इस प्रकार, जब गाल्वा कनेक्शन का एक ऊपरी जोड़ दिया जाता है, तो दूसरे ऊपरी जोड़ को इसी संपत्ति के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है।


दूसरी ओर, कुछ मोनोटोन फ़ंक्शन {{math|&thinsp;''f''&nbsp;}} यदि और केवल यदि फॉर्म का प्रत्येक सेट है तो एक निचला आसन्न है {{math|{&hairsp;''x'' ∈ ''A'' {{!}} &thinsp;''f''&nbsp;(''x'') ≤ ''b''&hairsp;},}} के लिए {{mvar|b}} में {{mvar|B}}, सबसे बड़ा तत्व होता है। दोबारा, यह ऊपरी आसन्न के लिए दोहरा हो सकता है।
दूसरी ओर, कुछ एकदिष्ट फ़ंक्शन {{math|&thinsp;''f''&nbsp;}} यदि और केवल यदि फॉर्म का प्रत्येक समुच्चय है तो एक निचला आसन्न है {{math|{&hairsp;''x'' ∈ ''A'' {{!}} &thinsp;''f''&nbsp;(''x'') ≤ ''b''&hairsp;},}} के लिए {{mvar|b}} में {{mvar|B}}, सबसे बड़ा तत्व होता है। दोबारा, यह ऊपरी आसन्न के लिए दोहरा हो सकता है।


== गाल्वा कनेक्शन morphisms के रूप में ==
== गाल्वा कनेक्शन morphisms के रूप में ==
गैलोज कनेक्शन पोसेट्स के बीच मैपिंग का एक दिलचस्प वर्ग भी प्रदान करता है जिसका उपयोग पोसेट्स की [[श्रेणी (गणित)]] प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। विशेष रूप से, गैलोज़ कनेक्शन बनाना संभव है: दिए गए गैलोज़ कनेक्शन {{math|(&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>, &thinsp;''f''<sub>∗</sub>)}} पोज़ के बीच {{mvar|A}} और {{mvar|B}} और {{math|(''g''<sup>∗</sup>, ''g''<sub>∗</sub>)}} बीच में {{mvar|B}} और {{mvar|C}}, समग्र {{math|(''g''<sup>∗</sup> ∘ &thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>, &thinsp;''f''<sub>∗</sub> ∘ ''g''<sub>∗</sub>)}} भी गैलोज़ कनेक्शन है। जब पूर्ण जाली की श्रेणियों पर विचार किया जाता है, तो इसे सभी सुपरमा (या, वैकल्पिक रूप से, इन्फिमा) को संरक्षित करने वाले मैपिंग पर विचार करने के लिए सरल बनाया जा सकता है। अपने द्वैत के लिए पूर्ण जाली का मानचित्रण, ये श्रेणियां ऑटो द्वैत (श्रेणी सिद्धांत) प्रदर्शित करती हैं, जो अन्य द्वैत प्रमेयों को प्राप्त करने के लिए काफी मौलिक हैं। अधिक विशेष प्रकार के [[morphism]]s जो दूसरी दिशा में आसन्न मैपिंग को प्रेरित करते हैं वे morphisms हैं जिन्हें आमतौर पर पूर्ण Heyting बीजगणित (या लोकेल) के लिए माना जाता है।
गाल्वा कनेक्शन क्रमित समुच्चयों के बीच मैपिंग का एक दिलचस्प वर्ग भी प्रदान करता है जिसका उपयोग क्रमित समुच्चयों की [[श्रेणी (गणित)]] प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। विशेष रूप से, गाल्वा कनेक्शन बनाना संभव है: दिए गए गाल्वा कनेक्शन {{math|(&thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>, &thinsp;''f''<sub>∗</sub>)}} पोज़ के बीच {{mvar|A}} और {{mvar|B}} और {{math|(''g''<sup>∗</sup>, ''g''<sub>∗</sub>)}} बीच में {{mvar|B}} और {{mvar|C}}, समग्र {{math|(''g''<sup>∗</sup> ∘ &thinsp;''f''&nbsp;<sup>∗</sup>, &thinsp;''f''<sub>∗</sub> ∘ ''g''<sub>∗</sub>)}} भी गाल्वा कनेक्शन है। जब पूर्ण जाली की श्रेणियों पर विचार किया जाता है, तो इसे सभी सुपरमा (या, वैकल्पिक रूप से, इन्फिमा) को संरक्षित करने वाले मैपिंग पर विचार करने के लिए सरल बनाया जा सकता है। अपने द्वैत के लिए पूर्ण जाली का मानचित्रण, ये श्रेणियां ऑटो द्वैत (श्रेणी सिद्धांत) प्रदर्शित करती हैं, जो अन्य द्वैत प्रमेयों को प्राप्त करने के लिए काफी मौलिक हैं। अधिक विशेष प्रकार के [[morphism]]s जो दूसरी दिशा में आसन्न मैपिंग को प्रेरित करते हैं वे morphisms हैं जिन्हें सामान्यतः पूर्ण Heyting बीजगणित (या लोकेल) के लिए माना जाता है।


== श्रेणी सिद्धांत से संबंध ==
== श्रेणी सिद्धांत से संबंध ==
प्रत्येक आंशिक रूप से आदेशित सेट को प्राकृतिक तरीके से एक श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है: x से y तक एक अद्वितीय रूपवाद है यदि और केवल यदि {{math|''x'' ≤ ''y''}}. एक मोनोटोन गैलोज़ कनेक्शन तब आंशिक रूप से आदेशित सेट से उत्पन्न होने वाली दो श्रेणियों के बीच आसन्न फ़ैक्टरों की एक जोड़ी के अलावा कुछ भी नहीं है। इस संदर्भ में, ऊपरी संलग्नक दाहिनी ओर है जबकि निचला संलग्नक बाएं आसन्न है। हालांकि, इस शब्दावली को गैलोज़ कनेक्शन के लिए टाला जाता है, क्योंकि एक समय था जब पोसेट्स को दोहरी शैली में श्रेणियों में बदल दिया गया था, यानी विपरीत दिशा में इशारा करते हुए आकारिकी के साथ। इससे बाएँ और दाएँ सन्निकटों से संबंधित एक पूरक अंकन हुआ, जो आज अस्पष्ट है।
प्रत्येक आंशिक रूप से क्रमित समुच्चय को प्राकृतिक तरीके से एक श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है: x से y तक एक अद्वितीय रूपवाद है यदि और केवल यदि {{math|''x'' ≤ ''y''}}. एक एकदिष्ट गाल्वा कनेक्शन तब आंशिक रूप से क्रमित समुच्चय से उत्पन्न होने वाली दो श्रेणियों के बीच आसन्न फ़ैक्टरों की एक जोड़ी के अलावा कुछ भी नहीं है। इस संदर्भ में, ऊपरी संलग्नक दाहिनी ओर है जबकि निचला संलग्नक बाएं आसन्न है। हालांकि, इस शब्दावली को गाल्वा कनेक्शन के लिए टाला जाता है, क्योंकि एक समय था जब क्रमित समुच्चयों को दोहरी शैली में श्रेणियों में बदल दिया गया था, यानी विपरीत दिशा में इशारा करते हुए आकारिकी के साथ। इससे बाएँ और दाएँ सन्निकटों से संबंधित एक पूरक अंकन हुआ, जो आज अस्पष्ट है।


== प्रोग्रामिंग के सिद्धांत में अनुप्रयोग ==
== प्रोग्रामिंग के सिद्धांत में अनुप्रयोग ==
[[प्रोग्रामिंग भाषा]]ओं की अमूर्त व्याख्या के सिद्धांत में अमूर्तता के कई रूपों का वर्णन करने के लिए गैलोज़ कनेक्शन का उपयोग किया जा सकता है।<ref>{{cite book|author1=Patrick Cousot |author2=Radhia Cousot | chapter=Abstract Interpretation: A Unified Lattice Model for Static Analysis of Programs by Construction or Approximation of Fixpoints| title=Proc. 4th ACM Symp. on Principles of Programming Languages (POPL)|date=Jan 1977| pages=238–252 |chapter-url=https://www.di.ens.fr/~cousot/publications.www/CousotCousot-POPL-77-ACM-p238--252-1977.pdf}}<BR>For a counterexample for the false theorem in Sect.7 (p.243 top right), see: {{cite techreport|author1=Jochen Burghardt |author2=Florian Kammüller |author3=Jeff W. Sanders | title=Isomorphism of Galois Embeddings|date=Dec 2000| volume=122| page=9-14| institution=[[Gesellschaft für Mathematik und Datenverarbeitung |GMD]]| issn=1435-2702| url=http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download;jsessionid=CAA7D4E037C54173D8EE894D00020684?doi=10.1.1.27.9114&rep=rep1&type=pdf}} (However the original article only considers complete lattices)</ref><ref>{{cite book|author1=Patrick Cousot |author2=Radhia Cousot | chapter=Systematic Design of Program Analysis Frameworks| title=Proc. 6th ACM Symp. on Principles of Programming Languages (POPL)|date=Jan 1979| pages=269–282| publisher=ACM Press| chapter-url=https://www.di.ens.fr/~cousot/publications.www/CousotCousot-POPL-79-ACM-p269--282-1979.pdf}}</ref>
[[प्रोग्रामिंग भाषा]]ओं की अमूर्त व्याख्या के सिद्धांत में अमूर्तता के कई रूपों का वर्णन करने के लिए गाल्वा कनेक्शन का उपयोग किया जा सकता है।<ref>{{cite book|author1=Patrick Cousot |author2=Radhia Cousot | chapter=Abstract Interpretation: A Unified Lattice Model for Static Analysis of Programs by Construction or Approximation of Fixpoints| title=Proc. 4th ACM Symp. on Principles of Programming Languages (POPL)|date=Jan 1977| pages=238–252 |chapter-url=https://www.di.ens.fr/~cousot/publications.www/CousotCousot-POPL-77-ACM-p238--252-1977.pdf}}<BR>For a counterexample for the false theorem in Sect.7 (p.243 top right), see: {{cite techreport|author1=Jochen Burghardt |author2=Florian Kammüller |author3=Jeff W. Sanders | title=Isomorphism of Galois Embeddings|date=Dec 2000| volume=122| page=9-14| institution=[[Gesellschaft für Mathematik und Datenverarbeitung |GMD]]| issn=1435-2702| url=http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download;jsessionid=CAA7D4E037C54173D8EE894D00020684?doi=10.1.1.27.9114&rep=rep1&type=pdf}} (However the original article only considers complete lattices)</ref><ref>{{cite book|author1=Patrick Cousot |author2=Radhia Cousot | chapter=Systematic Design of Program Analysis Frameworks| title=Proc. 6th ACM Symp. on Principles of Programming Languages (POPL)|date=Jan 1979| pages=269–282| publisher=ACM Press| chapter-url=https://www.di.ens.fr/~cousot/publications.www/CousotCousot-POPL-79-ACM-p269--282-1979.pdf}}</ref>




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== संदर्भ ==
== संदर्भ ==
''The following books and survey articles include Galois connections using the monotone definition:''
''The following books and survey articles include गाल्वा connections using the monotone definition:''
* Brian A. Davey and Hilary A. Priestley: ''[[Introduction to Lattices and Order]]'', Cambridge University Press, 2002.
* Brian A. Davey and Hilary A. Priestley: ''[[Introduction to Lattices and Order]]'', Cambridge University Press, 2002.
* Gerhard Gierz, Karl H. Hofmann, Klaus Keimel, Jimmie D. Lawson, Michael W. Mislove, Dana S. Scott: ''Continuous Lattices and Domains'', Cambridge University Press, 2003.
* Gerhard Gierz, Karl H. Hofmann, Klaus Keimel, Jimmie D. Lawson, Michael W. Mislove, Dana S. Scott: ''Continuous Lattices and Domains'', Cambridge University Press, 2003.
* Marcel Erné, Jürgen Koslowski, Austin Melton, George E. Strecker, ''A primer on Galois connections'', in: Proceedings of the 1991 Summer Conference on General Topology and Applications in Honor of Mary Ellen Rudin and Her Work, Annals of the New York Academy of Sciences, Vol. 704, 1993, pp.&nbsp;103–125. (Freely available online in various file formats [https://web.archive.org/web/20060108063506/http://www.iti.cs.tu-bs.de/TI-INFO/koslowj/RESEARCH/gal_bw.ps.gz PS.GZ] [http://www.math.ksu.edu/~strecker/primer.ps PS], it presents many examples and results, as well as notes on the different notations and definitions that arose in this area.)
* Marcel Erné, Jürgen Koslowski, Austin Melton, George E. Strecker, ''A primer on गाल्वा connections'', in: Proceedings of the 1991 Summer Conference on General Topology and Applications in Honor of Mary Ellen Rudin and Her Work, Annals of the New York Academy of Sciences, Vol. 704, 1993, pp.&nbsp;103–125. (Freely available online in various file formats [https://web.archive.org/web/20060108063506/http://www.iti.cs.tu-bs.de/TI-INFO/koslowj/RESEARCH/gal_bw.ps.gz PS.GZ] [http://www.math.ksu.edu/~strecker/primer.ps PS], it presents many examples and results, as well as notes on the different notations and definitions that arose in this area.)


''Some publications using the original (antitone) definition:''
''Some publications using the original (antitone) definition:''

Revision as of 11:57, 5 May 2023

गणित में, विशेष रूप से क्रम सिद्धांत में, गाल्वा कनेक्शन दो आंशिक रूप से क्रमित समुच्चय (क्रमित समुच्चय) के बीच एक विशेष संगति (सामान्यतः) होता है। गाल्वा कनेक्शन विभिन्न गणितीय सिद्धांतों में अनुप्रयोग खोजते हैं। वे उपसमूहों और क्षेत्र विस्तार के बीच संगति के विषय में गैल्वा सिद्धांत के मौलिक प्रमेय को सामान्यीकृत करते हैं, जिसे फ्रांसीसी गणितज्ञ इवरिस्टे गाल्वा द्वारा खोजा गया था।

गाल्वा कनेक्शन को पहले से क्रमित किए गए समुच्चय या पहले से क्रमित किए गए वर्ग पर भी परिभाषित किया जा सकता है; यह लेख क्रमित समुच्चयों के सामान्य स्थिति को प्रस्तुत करता है। साहित्य में गाल्वा कनेक्शन की दो निकट संबंधी धारणाएँ हैं। इस लेख में, हम उन्हें (एकदिष्ट) गाल्वा कनेक्शन और एंटीटोन गाल्वा कनेक्शन के रूप में संदर्भित करेंगे।

सम्मिलित क्रमित समुच्चयों के बीच एक क्रम समरूपता की तुलना में गाल्वा कनेक्शन अपेक्षाकृत दुर्बल है, परन्तु प्रत्येक गाल्वा कनेक्शन कुछ उप-क्रमित समुच्चयों के समरूपता को जन्म देता है, जैसा कि नीचे बताया जाएगा। गाल्वा संगति शब्द का प्रयोग कभी-कभी विशेषण गाल्वा कनेक्शन के अर्थ में किया जाता है; यह मात्र एक क्रम समरूपता है (या द्वैत क्रम समरूपता, इस पर निर्भर करता है कि क्या हम एकदिष्ट या एंटीटोन गाल्वा कनेक्शन लेते हैं)।

परिभाषाएँ

(एकदिष्ट) गाल्वा कनेक्शन

बता दें कि (A, ≤) और (B, ≤) दो आंशिक रूप से क्रमित किए गए समुच्चय हैं। इन क्रमित समुच्चयों के बीच एक एकदिष्ट गाल्वा कनेक्शन में दो एकदिष्ट समारोह होते हैं[1] समारोह (गणित): F : A → B और G : B → A, ऐसा कि सभी के लिए a में A और b में B, अपने पास

F(a) ≤ b अगर और केवल अगर a ≤ G(b).

इस स्थिति में, F का निचला संलग्नक कहा जाता है G और G को A का ऊपरी जोड़ कहा जाता है। सिमेंटिक रूप से, ऊपरी/निचली शब्दावली से तात्पर्य है जहां फ़ंक्शन एप्लिकेशन ≤ के सापेक्ष प्रकट होता है।[2] आसन्न शब्द इस तथ्य को संदर्भित करता है कि एकदिष्ट गाल्वा कनेक्शन श्रेणी सिद्धांत में आसन्न फ़ैक्टरों के जोड़े की विशेष स्थिति हैं जैसा कि नीचे चर्चा की गई है। यहाँ अन्य शब्दावली का सामना निम्न (उत्तर. ऊपरी) आसन्न के लिए बाएँ आसन्न (उत्तर दाएँ संलग्न) से होता है।

गाल्वा कनेक्शन की एक आवश्यक संपत्ति यह है कि गाल्वा कनेक्शन का एक ऊपरी/निचला जोड़ विशिष्ट दूसरे को निर्धारित करता है:

F(a) सबसे कम तत्व है ~b साथ a ≤ G(~b), और
G(b) सबसे बड़ा तत्व है ~a साथ F(~a) ≤ b.

इसका एक परिणाम यह होता है कि यदि F या G उलटा है,[clarification needed] तो प्रत्येक दूसरे का व्युत्क्रम कार्य है, अर्थात F = G −1.

निचले आसन्न के साथ गाल्वा कनेक्शन दिया गया F और ऊपरी आसन्न G, हम फ़ंक्शन संरचना पर विचार कर सकते हैं GF : A → A, संबद्ध बंद करने वाला ऑपरेटर के रूप में जाना जाता है, और FG : B → B, संबद्ध कर्नेल ऑपरेटर के रूप में जाना जाता है। दोनों एकदिष्ट और बेवकूफ हैं, और हमारे पास है a ≤ GF(a) सभी के लिए a में A और FG(b) ≤ b सभी के लिए b में B.

का एक गाल्वा सम्मिलन B में A एक गाल्वा कनेक्शन है जिसमें कर्नेल ऑपरेटर FG पहचान कार्य चालू है B, और इसलिए G का एक क्रम समरूपता है B बंद तत्वों के समुच्चय का विशेषण GF [A] का A.[3]


एंटीटोन गाल्वा कनेक्शन

उपरोक्त परिभाषा आज कई अनुप्रयोगों में आम है, और जाली (क्रम) और डोमेन सिद्धांत में प्रमुख है। हालाँकि गाल्वा सिद्धांत में मूल धारणा थोड़ी अलग है। इस वैकल्पिक परिभाषा में, एक गाल्वा कनेक्शन एंटीटोन की एक जोड़ी है, यानी क्रम-रिवर्सिंग, फ़ंक्शंस F : A → B और G : B → A दो क्रमित समुच्चय के बीच A और B, ऐसा है कि

b ≤ F(a) अगर और केवल अगर a ≤ G(b).

की समरूपता F और G इस संस्करण में ऊपरी और निचले के बीच के अंतर को मिटा दिया जाता है, और दो कार्यों को तब आसन्न के बजाय ध्रुवीकरण कहा जाता है।[4] चूंकि प्रत्येक ध्रुवता विशिष्ट रूप से दूसरे को निर्धारित करती है

F(a) सबसे बड़ा तत्व है b साथ a ≤ G(b), और
G(b) सबसे बड़ा तत्व है a साथ b ≤ F(a).

रचनाएँ GF : A → A और FG : B → B संबंधित क्लोजर ऑपरेटर हैं; वे संपत्ति के साथ नीरस आदर्श नक्शे हैं a ≤ GF(a) सभी के लिए a में A और b ≤ FG(b) सभी के लिए b में B.

गाल्वा कनेक्शन की दो परिभाषाओं के निहितार्थ बहुत समान हैं, क्योंकि एंटीटोन गाल्वा कनेक्शन के बीच है A और B के बीच मात्र एक एकदिष्ट गाल्वा कनेक्शन है A और द्वैत (क्रम सिद्धांत) Bop का B. गाल्वा कनेक्शन पर नीचे दिए गए सभी बयान इस प्रकार आसानी से एंटीटोन गाल्वा कनेक्शन के बयानों में परिवर्तित किए जा सकते हैं।

उदाहरण

एकदिष्ट गाल्वा कनेक्शन

पावर समुच्चय; निहितार्थ और संयोजन

क्रम-सैद्धांतिक उदाहरण के लिए, आइए U कुछ समुच्चय (गणित) हो, और चलो A और B दोनों का सत्ता स्थापित हो U, [[उपसमुच्चय समावेशन]] द्वारा क्रमित। एक निश्चित उपसमुच्चय चुनें L का U. फिर नक्शे F और G, कहाँ F(M ) = L ∩ M, और G(N ) = N ∪ (U \ L), के साथ एक एकदिष्ट गैल्वा कनेक्शन बनाएं F निचला आसन्न होना। एक समान गाल्वा कनेक्शन जिसका निचला आसन्न मीट (न्यूनतम) ऑपरेशन द्वारा दिया गया है, किसी भी हेटिंग बीजगणित में पाया जा सकता है। विशेष रूप से, यह किसी भी बूलियन बीजगणित (संरचना) में मौजूद है, जहां दो मैपिंग द्वारा वर्णित किया जा सकता है F(x) = (a ∧ x) और G( y) = ( y ∨ ¬a) = (a ⇒ y). तार्किक शब्दों में: से निहितार्थ a के साथ संयोजन का उपरी जोड़ है a .

जाली

गैल्वा कनेक्शन के लिए और दिलचस्प उदाहरण पूर्णता (क्रम सिद्धांत) पर लेख में वर्णित हैं। मोटे तौर पर बोलते हुए, यह पता चला है कि सामान्य कार्य ∨ और ∧ विकर्ण मानचित्र के निचले और ऊपरी हिस्से हैं X → X × X. आंशिक क्रम के सबसे कम और सबसे बड़े तत्व अद्वितीय फ़ंक्शन के निचले और ऊपरी जोड़ों द्वारा दिए गए हैं X → {1}. आगे जाकर, पूर्ण जालकों को भी उपयुक्त संलग्नकों के अस्तित्व द्वारा अभिलक्षित किया जा सकता है। ये विचार क्रम थ्योरी में गाल्वा कनेक्शन की सर्वव्यापकता का कुछ आभास देते हैं।

सकर्मक समूह क्रियाएं

होने देना G समूह क्रिया ग्रुप एक्शन#कार्रवाइयों के प्रकार पर X और कुछ बिंदु चुनें x में X. विचार करना

युक्त ब्लॉक का समुच्चय x. आगे, चलो के उपसमूहों से मिलकर बनता है G जिसमें ग्रुप एक्शन#ऑर्बिट्स और स्टेबलाइजर्स सम्मिलित हैं x.

फिर, संगति :

एक एकदिष्ट, इंजेक्शन समारोह | एक-से-एक गाल्वा कनेक्शन है।[5] एक उपप्रमेय के रूप में, कोई यह स्थापित कर सकता है कि द्विगुणित सकर्मक क्रियाओं में तुच्छ लोगों (एकल या संपूर्ण) के अलावा कोई ब्लॉक नहीं है X): यह स्टेबलाइजर्स में अधिकतम होने के कारण होता है G उस स्थिति में। आगे की चर्चा के लिए 2-सकर्मक समूह देखें।

छवि और प्रतिलोम छवि

अगर  f : X → Y एक फ़ंक्शन (गणित) है, फिर किसी भी उपसमुच्चय के लिए M का X हम छवि बना सकते हैं (गणित) F(M ) =  f M = { f (m) | m ∈ M} और किसी भी उपसमुच्चय के लिए N का Y हम उलटी छवि बना सकते हैं G(N ) =  f −1N = {x ∈ X |  f (x) ∈ N}. तब F और G के पावर समुच्चय के बीच एक एकदिष्ट गाल्वा कनेक्शन बनाते हैं X और का पावर समुच्चय Y, दोनों समावेशन ⊆ द्वारा क्रमित हैं। इस स्थिति में एक और संलग्न जोड़ी है: एक उपसमुच्चय के लिए M का X, परिभाषित करना H(M) = {y ∈ Y |  f −1{y} ⊆ M}. तब G और H के पावर समुच्चय के बीच एक एकदिष्ट गाल्वा कनेक्शन बनाते हैं Y और का पावर समुच्चय X. पहले गाल्वा कनेक्शन में, G ऊपरी संलग्नक है, जबकि दूसरे गाल्वा कनेक्शन में यह निचले संलग्नक के रूप में कार्य करता है।

बीजगणितीय वस्तुओं (जैसे समूह (गणित)) के बीच एक अंश समूह की स्थिति में, इस कनेक्शन को जाली प्रमेय कहा जाता है: के उपसमूह G के उपसमूहों से कनेक्ट करें G/N, और उपसमूहों पर क्लोजर ऑपरेटर G द्वारा दिया गया है H = HN.

स्पैन और क्लोजर

कुछ गणितीय वस्तु उठाओ X जिसमें एक अंतर्निहित समुच्चय है, उदाहरण के लिए एक समूह, अंगूठी (गणित), सदिश स्थल इत्यादि। किसी भी उपसमुच्चय के लिए S का X, होने देना F(S ) का सबसे छोटा विषय हो X उसमें सम्मिलित है S, यानी उपसमूह, उपसमूह या रैखिक उपस्थान द्वारा उत्पन्न S. किसी भी विषय के लिए U का X, होने देना G(U ) का अंतर्निहित समुच्चय हो U. (हम भी ले सकते हैं X एक टोपोलॉजिकल स्पेस होने दें F(S ) का क्लोजर (टोपोलॉजी)। S, और के सबऑब्जेक्ट्स के रूप में लें X के बंद उपसमुच्चय X।) अब F और G के उपसमुच्चय के बीच एक एकदिष्ट गाल्वा कनेक्शन बनाते हैं X और के विषय X, यदि दोनों को समावेशन द्वारा क्रमित किया गया है। F निचला सन्निकट है।

वाक्यविन्यास और शब्दार्थ

विलियम लॉवरे की एक बहुत ही सामान्य टिप्पणी[6] यह है कि वाक्य रचना और शब्दार्थ आसन्न हैं: take A सभी तार्किक सिद्धांतों (स्वयंसिद्धीकरण) का समुच्चय होना, और B सभी गणितीय संरचनाओं के समुच्चय का पावर समुच्चय। एक सिद्धांत के लिए T ∈ A, होने देना Mod(T ) स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करने वाली सभी संरचनाओं का समुच्चय हो T ; गणितीय संरचनाओं के एक समुच्चय के लिए S ∈ B, होने देना Th(S ) कम से कम स्वयंसिद्ध हों जो अनुमानित हों S (पहले क्रम के तर्क में, यह उन वाक्यों का समूह है जो सभी संरचनाओं में सत्य हैं S). हम तब कह सकते हैं Mod(T ) का उपसमुच्चय है S अगर और केवल अगर T तार्किक रूप से तात्पर्य है Th(S ): सिमेंटिक्स फ़ैक्टर Mod और सिंटैक्स फ़ैक्टर Th एक एकदिष्ट गाल्वा कनेक्शन बनाते हैं, जिसमें शब्दार्थ ऊपरी आसन्न होता है।

एंटीटोन गाल्वा कनेक्शन

गाल्वा थ्योरी

प्रेरक उदाहरण गाल्वा सिद्धांत से आता है: मान लीजिए L/K एक फील्ड एक्सटेंशन है। होने देना A के सभी उपक्षेत्रों का समुच्चय हो L जिसमें सम्मिलित है K, समावेशन ⊆ द्वारा क्रमित। अगर E ऐसा ही एक सबफील्ड है, लिखो Gal(L/E) फील्ड ऑटोमोर्फिज्म के समूह के लिए L जो धारण करता है E हल किया गया। होने देना B के उपसमूहों का समुच्चय हो Gal(L/K), समावेशन ⊆ द्वारा क्रमित। ऐसे उपसमूह के लिए G, परिभाषित करना Fix(G) सभी तत्वों से युक्त क्षेत्र होना L जो सभी तत्वों द्वारा तय किए गए हैं G. फिर नक्शे E ↦ Gal(L/E) और G ↦ Fix(G) एक एंटीटोन गाल्वा कनेक्शन बनाते हैं।

बीजगणितीय टोपोलॉजी: रिक्त स्थान को कवर करना

अनुरूप रूप से, एक पथ-जुड़ा स्थलीय स्थान दिया गया X, मौलिक समूह के उपसमूहों के बीच एक एंटीटोन गाल्वा कनेक्शन है π1(X) और पाथ-कनेक्टेड अंतरिक्ष को कवर करना ऑफ़ X. विशेष रूप से, अगर X अर्ध-स्थानीय रूप से मात्र जुड़ा हुआ है, फिर प्रत्येक उपसमूह के लिए G का π1(X), के साथ एक कवरिंग स्पेस है G इसके मौलिक समूह के रूप में।

रेखीय बीजगणित: विनाशक और ऑर्थोगोनल पूरक

एक आंतरिक उत्पाद स्थान दिया गया V, हम ओर्थोगोनल पूरक बना सकते हैं F(X ) किसी भी उप-स्थान का X का V. यह उप-स्थानों के समुच्चय के बीच एक एंटीटोन गाल्वा कनेक्शन उत्पन्न करता है V और स्वयं, समावेशन द्वारा क्रमित; दोनों ध्रुवताएं बराबर हैं F.

एक सदिश स्थान दिया गया है V और एक उपसमुच्चय X का V हम इसके विनाशक को परिभाषित कर सकते हैं F(X ), दोहरे स्थान के सभी तत्वों से मिलकर V ∗ का V जो गायब हो जाता है X. इसी प्रकार, एक उपसमुच्चय दिया है Y का V ∗, हम इसके सर्वनाश को परिभाषित करते हैं G(Y ) = { x ∈ V | φ(x) = 0 ∀φ ∈ Y }. यह उपसमुच्चय के बीच एक एंटीटोन गाल्वा कनेक्शन देता है V और के उपसमुच्चय V ∗.

बीजगणितीय ज्यामिति

बीजगणितीय ज्यामिति में, बहुपदों के समुच्चय और उनके शून्य समुच्चय के बीच का संबंध एंटीटोन गाल्वा कनेक्शन है।

एक प्राकृतिक संख्या तय करें n और एक क्षेत्र (गणित) K और जाने A बहुपद वलय के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय हो K[X1, ..., Xn] समावेशन द्वारा क्रमित ⊆, और चलो B के सभी उपसमूहों का समुच्चय हो K n समावेश ⊆ द्वारा क्रमित। अगर S बहुपदों का एक समूह है, बीजगणितीय ज्यामिति#Affine किस्मों को शून्य के रूप में परिभाषित करें

बहुपदों के एक बहुपद के उभयनिष्ठ मूल का समुच्चय S. अगर U का उपसमुच्चय है K n, परिभाषित करना I(U ) लुप्त हो रहे बहुपदों के आदर्श (रिंग थ्योरी) के रूप में U, वह है

तब V और मैं एक एंटीटोन गैल्वा कनेक्शन बनाता हूं।

बंद चालू K n जरिस्की टोपोलॉजी में क्लोजर है, और यदि फील्ड है K बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है, तो बहुपद वलय पर बंद होने से उत्पन्न आदर्श के एक आदर्श का रेडिकल है S.

अधिक आम तौर पर, एक क्रमविनिमेय अंगूठी दी जाती है R (अनिवार्य रूप से एक बहुपद अंगूठी), अंगूठी में कट्टरपंथी आदर्शों और बीजगणितीय ज्यामिति की उप-किस्मों के बीच एक एंटीटोन गाल्वा कनेक्शन है#Affine किस्मों Spec(R).

अधिक आम तौर पर, रिंग में आदर्शों और संबंधित बीजगणितीय ज्यामिति #Affine किस्मों की उपयोजनाओं के बीच एक एंटीटोन गाल्वा कनेक्शन होता है।

बाइनरी संबंधों से उत्पन्न होने वाले पावर समुच्चय पर कनेक्शन

कल्पना करना X और Y मनमाना समुच्चय और एक द्विआधारी संबंध हैं R ऊपर X और Y दिया हुआ है। किसी उपसमुच्चय के लिए M का X, हम परिभाषित करते हैं F(M ) = { y ∈ Y | mRy ∀m ∈ M }. इसी तरह, किसी उपसमुच्चय के लिए N का Y, परिभाषित करना G(N ) = { x ∈ X | xRn ∀n ∈ N }. तब F और G के पावर समुच्चय के बीच एक एंटीटोन गाल्वा कनेक्शन प्राप्त करें X और Y, दोनों समावेशन ⊆ द्वारा क्रमित हैं।[7] समरूपता तक पावर समुच्चय के बीच सभी एंटीटोन गाल्वा कनेक्शन इस तरह से उत्पन्न होते हैं। यह कॉन्सेप्ट लैटिस पर बेसिक प्रमेय से आता है।[8] औपचारिक अवधारणा विश्लेषण में द्विआधारी संबंधों से उत्पन्न होने वाले गाल्वा कनेक्शन के सिद्धांत और अनुप्रयोगों का अध्ययन किया जाता है। वह फ़ील्ड गणितीय डेटा विश्लेषण के लिए गाल्वा कनेक्शन का उपयोग करता है। संबंधित साहित्य में गैल्वा कनेक्शन के लिए कई एल्गोरिदम पाए जा सकते हैं, उदाहरण के लिए।[9]


गुण

निम्नलिखित में, हम एक (एकदिष्ट) गाल्वा कनेक्शन पर विचार करते हैं  f = ( f ∗,  f∗), कहाँ {{math| f ∗ : A → B}जैसा कि ऊपर प्रस्तुत किया गया है } निचला संलग्नक है। कुछ सहायक और शिक्षाप्रद बुनियादी गुणों को तुरंत प्राप्त किया जा सकता है। गैल्वा कनेक्शन की परिभाषित संपत्ति से,  f ∗(x) ≤  f ∗(x) के बराबर है x ≤  f∗( f ∗(x)), सभी के लिए x में A. इसी तरह के तर्क से (या केवल द्वैत (क्रम सिद्धांत) को लागू करके), कोई यह पाता है  f ∗( f∗(y)) ≤ y, सभी के लिए y में B. इन गुणों का वर्णन संयुक्त कह कर किया जा सकता है  f ∗∘ f∗ अपस्फीतिकारक है, जबकि  f∗∘ f ∗ मुद्रास्फीति (या व्यापक) है।

अब विचार करें x, y ∈ A ऐसा है कि x ≤ y. फिर उपरोक्त का उपयोग करके प्राप्त करता है x ≤  f∗( f ∗(y)). गैल्वा कनेक्शन की मूल संपत्ति को लागू करने से अब यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है  f ∗(x) ≤  f ∗(y). परन्तु यह सिर्फ यही दर्शाता है  f ∗ किन्हीं भी दो तत्वों के क्रम को बनाए रखता है, यानी यह एकदिष्ट है। फिर से, इसी तरह के तर्क से एकरसता पैदा होती है  f∗. इस प्रकार एकरसता को स्पष्ट रूप से परिभाषा में सम्मिलित करने की आवश्यकता नहीं है। हालांकि, एकदिष्टिकिटी का उल्लेख करने से गाल्वा कनेक्शन की दो वैकल्पिक धारणाओं के विषय में भ्रम से बचने में मदद मिलती है।

गाल्वा कनेक्शन की एक और बुनियादी संपत्ति यह तथ्य है कि  f∗( f ∗( f∗(x))) =  f∗(x), सभी के लिए x में B. स्पष्ट रूप से हम पाते हैं

 f∗( f ∗( f∗(x))) ≥  f∗(x).

क्योंकि  f∗∘ f ∗ स्फीतिकारक है जैसा कि ऊपर दिखाया गया है। दूसरी ओर, चूंकि  f ∗∘ f∗ अपस्फीतिकारक है, जबकि  f∗ एकदिष्टिक है, कोई पाता है

 f∗( f ∗( f∗(x))) ≤  f∗(x).

यह वांछित समानता दिखाता है। इसके अलावा, हम इस संपत्ति का उपयोग यह निष्कर्ष निकालने के लिए कर सकते हैं

 f ∗( f∗( f ∗( f∗(x)))) =  f ∗( f∗(x))

और

 f∗( f ∗( f∗( f ∗(x)))) =  f∗( f ∗(x))

अर्थात।,  f ∗∘ f∗ और  f∗∘ f ∗ निष्पाप हैं।

यह दिखाया जा सकता है (प्रमाण के लिए ब्लीथ या एर्ने देखें) कि एक समारोह  f  एक निचला (प्रतिक्रिया ऊपरी) आसन्न है अगर और केवल अगर  f  एक अवशिष्ट मानचित्रण (प्रतिक्रिया अवशिष्ट मानचित्रण) है। इसलिए, अवशिष्ट मानचित्रण और एकदिष्ट गाल्वा कनेक्शन की धारणा अनिवार्य रूप से समान है।

क्लोजर ऑपरेटर और गाल्वा कनेक्शन

उपरोक्त निष्कर्षों को निम्नानुसार संक्षेपित किया जा सकता है: गाल्वा कनेक्शन के लिए, समग्र  f∗∘ f ∗ एकदिष्ट है (एकदिष्ट कार्यों का सम्मिश्रण होने के नाते), स्फीतिकारी और निष्क्रिय है। यह बताता है कि  f∗∘ f ∗ वास्तव में एक क्लोजर ऑपरेटर है A. दैनिक रूप से,  f ∗∘ f∗ एकदिष्ट, डिफ्लेशनरी और इडेम्पोटेंट है। ऐसे मैपिंग को कभी-कभी कर्नेल ऑपरेटर कहा जाता है। फ़्रेम और लोकेशंस के संदर्भ में, समग्र  f∗∘ f ∗ द्वारा प्रेरित नाभिक कहा जाता है  f . नाभिक प्रेरित फ्रेम समरूपता; लोकेल के एक उपसमुच्चय को सबलोकेल कहा जाता है यदि यह एक नाभिक द्वारा दिया जाता है।

बातचीत (तर्क), कोई क्लोजर ऑपरेटर c किसी क्रमित समुच्चय पर A निचले सन्निकट के साथ गाल्वा कनेक्शन को जन्म देता है  f ∗ का केवल प्रतिबंध है c की छवि के लिए c (अर्थात क्लोजर सिस्टम की विशेषण मैपिंग के रूप में c(A)). ऊपरी जोड़  f∗ तब के समावेशन मानचित्र द्वारा दिया जाता है c(A) में A, जो प्रत्येक बंद तत्व को स्वयं के लिए मैप करता है, जिसे एक तत्व माना जाता है A. इस तरह, क्लोजर ऑपरेटर्स और गाल्वा कनेक्शनों को बारीकी से संबंधित देखा जाता है, प्रत्येक दूसरे के एक उदाहरण को निर्दिष्ट करता है। इसी तरह के निष्कर्ष कर्नेल ऑपरेटरों के लिए सही हैं।

उपरोक्त विचार यह भी दिखाते हैं कि बंद तत्व A (तत्व x साथ  f∗( f ∗(x)) = x) कर्नेल ऑपरेटर की सीमा के भीतर तत्वों के लिए मैप किए गए हैं  f ∗∘ f∗, और इसके विपरीत।

गाल्वा कनेक्शन का अस्तित्व और विशिष्टता

गैल्वा कनेक्शन की एक और महत्वपूर्ण संपत्ति यह है कि निचले आसन्न सीमा (क्रम थ्योरी) को संरक्षित करते हैं जो कि एक फ़ंक्शन के अपने डोमेन के भीतर मौजूद हैं। दैनिक रूप से, ऊपरी अनुलग्न सभी मौजूदा सबसे कम को संरक्षित करते हैं। इन गुणों से, कोई भी तुरंत आसन्नों की एकरसता का निष्कर्ष निकाल सकता है। आसन्न फंक्टर प्रमेय (क्रम सिद्धांत) कहता है कि कुछ मामलों में उलटा निहितार्थ भी मान्य है: विशेष रूप से, पूर्ण लैटिस के बीच कोई मैपिंग जो सभी सुपरमा को संरक्षित करता है, गाल्वा कनेक्शन का निचला आसन्न है।

इस स्थिति में, गैल्वा कनेक्शन की एक महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि एक संलग्न दूसरे को विशिष्ट रूप से निर्धारित करता है। इसलिए उपरोक्त बयान को मजबूत करने के लिए यह गारंटी दी जा सकती है कि पूर्ण जाली के बीच कोई सर्वोच्च-संरक्षित मानचित्र एक अद्वितीय गाल्वा कनेक्शन का निचला हिस्सा है। इस अद्वितीयता को प्राप्त करने की मुख्य विशेषता निम्नलिखित है: प्रत्येक के लिए x में A,  f ∗(x) सबसे कम तत्व है y का B ऐसा है कि x ≤  f∗(y). वास्तव में, प्रत्येक के लिए y में B,  f∗(y) सबसे बड़ा है x में A ऐसा है कि  f ∗(x) ≤ y. एक निश्चित गाल्वा कनेक्शन का अस्तित्व अब संबंधित सबसे कम या सबसे बड़े तत्वों के अस्तित्व का अर्थ है, चाहे संबंधित क्रमित समुच्चय किसी पूर्णता (क्रम सिद्धांत) को संतुष्ट करते हों। इस प्रकार, जब गाल्वा कनेक्शन का एक ऊपरी जोड़ दिया जाता है, तो दूसरे ऊपरी जोड़ को इसी संपत्ति के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है।

दूसरी ओर, कुछ एकदिष्ट फ़ंक्शन  f  यदि और केवल यदि फॉर्म का प्रत्येक समुच्चय है तो एक निचला आसन्न है { x ∈ A |  f (x) ≤ b }, के लिए b में B, सबसे बड़ा तत्व होता है। दोबारा, यह ऊपरी आसन्न के लिए दोहरा हो सकता है।

गाल्वा कनेक्शन morphisms के रूप में

गाल्वा कनेक्शन क्रमित समुच्चयों के बीच मैपिंग का एक दिलचस्प वर्ग भी प्रदान करता है जिसका उपयोग क्रमित समुच्चयों की श्रेणी (गणित) प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। विशेष रूप से, गाल्वा कनेक्शन बनाना संभव है: दिए गए गाल्वा कनेक्शन ( f ∗,  f∗) पोज़ के बीच A और B और (g∗, g∗) बीच में B और C, समग्र (g∗ ∘  f ∗,  f∗ ∘ g∗) भी गाल्वा कनेक्शन है। जब पूर्ण जाली की श्रेणियों पर विचार किया जाता है, तो इसे सभी सुपरमा (या, वैकल्पिक रूप से, इन्फिमा) को संरक्षित करने वाले मैपिंग पर विचार करने के लिए सरल बनाया जा सकता है। अपने द्वैत के लिए पूर्ण जाली का मानचित्रण, ये श्रेणियां ऑटो द्वैत (श्रेणी सिद्धांत) प्रदर्शित करती हैं, जो अन्य द्वैत प्रमेयों को प्राप्त करने के लिए काफी मौलिक हैं। अधिक विशेष प्रकार के morphisms जो दूसरी दिशा में आसन्न मैपिंग को प्रेरित करते हैं वे morphisms हैं जिन्हें सामान्यतः पूर्ण Heyting बीजगणित (या लोकेल) के लिए माना जाता है।

श्रेणी सिद्धांत से संबंध

प्रत्येक आंशिक रूप से क्रमित समुच्चय को प्राकृतिक तरीके से एक श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है: x से y तक एक अद्वितीय रूपवाद है यदि और केवल यदि x ≤ y. एक एकदिष्ट गाल्वा कनेक्शन तब आंशिक रूप से क्रमित समुच्चय से उत्पन्न होने वाली दो श्रेणियों के बीच आसन्न फ़ैक्टरों की एक जोड़ी के अलावा कुछ भी नहीं है। इस संदर्भ में, ऊपरी संलग्नक दाहिनी ओर है जबकि निचला संलग्नक बाएं आसन्न है। हालांकि, इस शब्दावली को गाल्वा कनेक्शन के लिए टाला जाता है, क्योंकि एक समय था जब क्रमित समुच्चयों को दोहरी शैली में श्रेणियों में बदल दिया गया था, यानी विपरीत दिशा में इशारा करते हुए आकारिकी के साथ। इससे बाएँ और दाएँ सन्निकटों से संबंधित एक पूरक अंकन हुआ, जो आज अस्पष्ट है।

प्रोग्रामिंग के सिद्धांत में अनुप्रयोग

प्रोग्रामिंग भाषाओं की अमूर्त व्याख्या के सिद्धांत में अमूर्तता के कई रूपों का वर्णन करने के लिए गाल्वा कनेक्शन का उपयोग किया जा सकता है।[10][11]


टिप्पणियाँ

  1. ↑ Monotonicity follows from the following condition. See the discussion of the properties. It is only explicit in the definition to distinguish it from the alternative antitone definition. One can also define Galois connections as a pair of monotone functions that satisfy the laxer condition that for all x in A, x ≤ g( f (x)) and for all y in B, f (g(y)) ≤ y.
  2. ↑ Gierz, p. 23
  3. ↑ Bistarelli, Stefano (2004). सॉफ्ट कंस्ट्रेंट सॉल्विंग एंड प्रोग्रामिंग के लिए सेमीरिंग्स. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 2962. Springer-Verlag. p. 102. arXiv:cs/0208008. doi:10.1007/978-3-540-25925-1_8. ISBN 3-540-21181-0. ISSN 0302-9743.
  4. ↑ Galatos, p. 145
  5. ↑ See Alperin, Bell, Groups and Representations (GTM 162), p. 32
  6. ↑ William Lawvere, Adjointness in foundations, Dialectica, 1969, available here. The notation is different nowadays; an easier introduction by Peter Smith in these lecture notes, which also attribute the concept to the article cited.
  7. ↑ Birkhoff, 1st edition (1940): §32, 3rd edition (1967): Ch. V, §7 and §8
  8. ↑ Ganter, B. and Wille, R. Formal Concept Analysis -- Mathematical Foundations, Springer (1999), ISBN 978-3-540-627715
  9. ↑ Ganter, B. and Obiedkov, S. Conceptual Exploration, Springer (2016), ISBN 978-3-662-49290-1
  10. ↑ Patrick Cousot; Radhia Cousot (Jan 1977). "Abstract Interpretation: A Unified Lattice Model for Static Analysis of Programs by Construction or Approximation of Fixpoints" (PDF). Proc. 4th ACM Symp. on Principles of Programming Languages (POPL). pp. 238–252.
    For a counterexample for the false theorem in Sect.7 (p.243 top right), see: Jochen Burghardt; Florian Kammüller; Jeff W. Sanders (Dec 2000). Isomorphism of Galois Embeddings (Technical report). Vol. 122. GMD. p. 9-14. ISSN 1435-2702. (However the original article only considers complete lattices)
  11. ↑ Patrick Cousot; Radhia Cousot (Jan 1979). "Systematic Design of Program Analysis Frameworks" (PDF). Proc. 6th ACM Symp. on Principles of Programming Languages (POPL). ACM Press. pp. 269–282.


संदर्भ

The following books and survey articles include गाल्वा connections using the monotone definition:

  • Brian A. Davey and Hilary A. Priestley: Introduction to Lattices and Order, Cambridge University Press, 2002.
  • Gerhard Gierz, Karl H. Hofmann, Klaus Keimel, Jimmie D. Lawson, Michael W. Mislove, Dana S. Scott: Continuous Lattices and Domains, Cambridge University Press, 2003.
  • Marcel Erné, Jürgen Koslowski, Austin Melton, George E. Strecker, A primer on गाल्वा connections, in: Proceedings of the 1991 Summer Conference on General Topology and Applications in Honor of Mary Ellen Rudin and Her Work, Annals of the New York Academy of Sciences, Vol. 704, 1993, pp. 103–125. (Freely available online in various file formats PS.GZ PS, it presents many examples and results, as well as notes on the different notations and definitions that arose in this area.)

Some publications using the original (antitone) definition:

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