अनुक्रम समष्टि

For विकासवादी जीव विज्ञान में उपयोग, see अनुक्रम स्थान (विकास). For अनुक्रम संख्या पर गणितीय संचालन, see क्रम संख्या अंकगणित.

फलनिक विश्लेषण और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, अनुक्रम स्थान एक सदिश समष्टि है जिसका तत्व वास्तविक संख्या या समिश्र संख्या के अनुक्रम हैं। समतुल्य रूप से, यह फलन समष्‍टि है जिसके तत्व प्राकृतिक संख्याओं से लेकर वास्तविक या समिश्र संख्या के क्षेत्र (गणित) K तक के फलन हैं। ऐसे सभी फलन का समुच्चय स्वाभाविक रूप से K में तत्वों के साथ सभी संभावित अनंत अनुक्रमों के समुच्चय के साथ पहचाना जाता है, और फलन के बिंदुवार जोड़ और बिंदुवार स्केलर गुणन के संचालन के तहत एक वेक्टर अंतरिक्ष में परिवर्तित किया जा सकता है। सभी अनुक्रम स्थान इस स्थान के रैखिक उप-स्थान हैं। अनुक्रम स्थान आमतौर पर एक आदर्श (गणित) या कम से कम एक स्थलीय वेक्टर अंतरिक्ष की संरचना से लैस होते हैं।

विश्लेषण में सबसे महत्वपूर्ण अनुक्रम स्थान हैं ℓ^p रिक्त स्थान, से मिलकर p-पॉवर समेबल सीक्वेंस, पी-नॉर्म के साथ। ये एलपी स्पेस के विशेष मामले हैं | एल^p प्राकृत संख्याओं के समुच्चय पर गणना माप के लिए रिक्त स्थान। अनुक्रमों के अन्य महत्वपूर्ण वर्ग जैसे अभिसरण अनुक्रम या #c, c0 और c00 अनुक्रम स्थान बनाते हैं, क्रमशः c और c को निरूपित करते हैं₀, सर्वोच्च मानदंड के साथ। किसी भी अनुक्रम स्थान को बिंदुवार अभिसरण की टोपोलॉजी से भी सुसज्जित किया जा सकता है, जिसके तहत यह एक विशेष प्रकार का फ्रेचेट स्थान बन जाता है जिसे एफके-अंतरिक्ष कहा जाता है।

परिभाषा

एक क्रम $x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ एक समुच्चय में $X$ बस एक है $X$-मूल्यवान नक्शा $x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X$ जिसका मूल्य पर $n\in \mathbb {N}$ द्वारा निरूपित किया जाता है $x_{n}$ सामान्य कोष्ठक संकेतन के बजाय $x(n).$

सभी अनुक्रमों का स्थान

होने देना $\mathbb {K}$ वास्तविक या सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र को निरूपित करें। समुच्चय $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ के तत्वों के सभी अनुक्रम (गणित) के $\mathbb {K}$ घटकवार संचालन जोड़ के लिए एक सदिश समष्टि है

$\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }+\left(y_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(x_{n}+y_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },$

और घटकवार अदिश गुणन

$\alpha \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(\alpha x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }.$

एक अनुक्रम स्थान का कोई रैखिक उप-स्थान है $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में, $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ स्वाभाविक रूप से उत्पाद टोपोलॉजी से संपन्न है। इस टोपोलॉजी के तहत $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ फ्रेचेट स्पेस है। फ्रेचेट, जिसका अर्थ है कि यह एक पूर्ण टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस है, मेट्रिजेबल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस, स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस। स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (टीवीएस)। हालाँकि, यह टोपोलॉजी बल्कि पैथोलॉजिकल है: इसमें कोई निरंतर फलन नॉर्म्स नहीं हैं $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ (और इस प्रकार उत्पाद टोपोलॉजी किसी भी मानदंड (गणित) द्वारा सामान्य स्थान नहीं बना सकता है)। फ्रीचेट रिक्त स्थान के बीच, $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ कोई निरंतर मानदंड नहीं होने में न्यूनतम है:

Theorem — Let $X$ be a Fréchet space over $\mathbb {K} .$ Then the following are equivalent:

1. $X$ admits no continuous norm (that is, any continuous seminorm on $X$ has a nontrivial null space).
2. $X$ contains a vector subspace TVS-isomorphic to $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$.
3. $X$ contains a complemented vector subspace TVS-isomorphic to $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$.

लेकिन उत्पाद टोपोलॉजी भी अपरिहार्य है: $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजी हॉसडॉर्फ टोपोलॉजी की तुलना को स्वीकार नहीं करता है। इस कारण से, अनुक्रमों का अध्ययन रुचि के एक सख्त रैखिक उप-स्थान को खोजने से शुरू होता है, और इसे उप-स्थान टोपोलॉजी से अलग एक टोपोलॉजी के साथ संपन्न करता है।

ℓ^p रिक्त स्थान

See also: L^p space and L-infinity

के लिए $0<p<\infty ,$ $\ell ^{p}$ का उपक्षेत्र है $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ सभी अनुक्रमों से मिलकर $x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ संतुष्टि देने वाला

$$\sum _{n}|x_{n}|^{p}<\infty .$$

अगर $p\geq 1,$ फिर वास्तविक-मूल्यवान फलन $\|\cdot \|_{p}$ पर $\ell ^{p}$ द्वारा परिभाषित

$$\|x\|_{p}~=~\left(\sum _{n}|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}\qquad {\text{ for all }}x\in \ell ^{p}$$

एक मानदंड (गणित) को परिभाषित करता है $\ell ^{p}.$ वास्तव में, $\ell ^{p}$ इस मानदंड के संबंध में एक पूर्ण मीट्रिक स्थान है, और इसलिए यह एक बनच स्थान है।

अगर $p=2$ तब $\ell ^{2}$ एक हिल्बर्ट अंतरिक्ष भी है जब इसके विहित आंतरिक उत्पाद के साथ संपन्न होता है, जिसे कहा जाता हैEuclidean inner product, सभी के लिए परिभाषित $x_{\bullet },y_{\bullet }\in \ell ^{p}$ द्वारा

$$\langle x_{\bullet },y_{\bullet }\rangle ~=~\sum _{n}{\overline {x_{n}}}y_{n}.$$

इस आंतरिक उत्पाद द्वारा प्रेरित विहित मानदंड सामान्य है $\ell ^{2}$-नॉर्म, जिसका अर्थ है $\|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}$ सभी के लिए $\mathbf {x} \in \ell ^{p}.$ अगर $p=\infty ,$ तब $\ell ^{\infty }$ मानदंड से संपन्न सभी बंधे हुए अनुक्रमों के स्थान के रूप में परिभाषित किया गया है

$$\|x\|_{\infty }~=~\sup _{n}|x_{n}|,$$

$\ell ^{\infty }$ एक बनच स्थान भी है।

अगर $0<p<1,$ तब $\ell ^{p}$ एक मानदंड नहीं रखता है, बल्कि इसके द्वारा परिभाषित एक मीट्रिक स्थान है

$$d(x,y)~=~\sum _{n}\left|x_{n}-y_{n}\right|^{p}.\,$$

सी, सी₀ और सी₀₀

See also: c space

ए convergent sequence कोई अनुक्रम है $x_{\bullet }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ ऐसा है कि $\lim _{n\to \infty }x_{n}$ मौजूद। समुच्चय {{visible anchor|c|text=$c$}सभी अभिसरण अनुक्रमों की एक सदिश उपसमष्टि है $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ सी स्पेस कहा जाता है |space of convergent sequences. चूँकि प्रत्येक अभिसारी क्रम परिबद्ध है, $c$ की एक रेखीय उपसमष्टि है $\ell ^{\infty }.$ इसके अलावा, यह अनुक्रम स्थान एक बंद उप-स्थान है $\ell ^{\infty }$ सर्वोच्च मानदंड के संबंध में, और इसलिए यह इस मानदंड के संबंध में एक बानाच स्थान है।

एक अनुक्रम जो अभिसरण करता है $0$ ए कहा जाता है null sequence और कहा जाता है vanish. अभिसरण करने वाले सभी अनुक्रमों का समुच्चय $0$ की एक बंद सदिश उपसमष्टि है $c$ कि जब सर्वोच्च मानदंड के साथ संपन्न किया जाता है, तो वह बनच स्थान बन जाता है जिसे निरूपित किया जाता है $c_{0}$ और कहा जाता है space of null sequences या space of vanishing sequences. वह space of eventually zero sequences, $c_{00},$ की उपसमष्टि है $c_{0}$ सभी अनुक्रमों से मिलकर जिसमें केवल बहुत से अशून्य तत्व होते हैं। यह एक बंद उप-स्थान नहीं है और इसलिए अनंत मानक के संबंध में एक बैनच स्थान नहीं है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम $\left(x_{nk}\right)_{k\in \mathbb {N} }$ कहाँ $x_{nk}=1/k$ पहले के लिए $n$ प्रविष्टियां (के लिए $k=1,\ldots ,n$) और हर जगह शून्य है (अर्थात, $\left(x_{nk}\right)_{k\in \mathbb {N} }=\left(1,1/2,\ldots ,1/(n-1),1/n,0,0,\ldots \right)$) एक कॉशी अनुक्रम है लेकिन यह एक अनुक्रम में परिवर्तित नहीं होता है $c_{00}.$

सभी परिमित अनुक्रमों का स्थान

होने देना

$\mathbb {K} ^{\infty }=\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }:{\text{all but finitely many }}x_{i}{\text{ equal }}0\right\}$,

परिमित अनुक्रमों के स्थान को निरूपित करें $\mathbb {K}$. सदिश समष्टि के रूप में, $\mathbb {K} ^{\infty }$ के बराबर है $c_{00}$, लेकिन $\mathbb {K} ^{\infty }$ एक अलग टोपोलॉजी है।

प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए $n\in \mathbb {N}$, होने देना $\mathbb {K} ^{n}$ यूक्लिडियन टोपोलॉजी के साथ संपन्न सामान्य यूक्लिडियन अंतरिक्ष को निरूपित करें और जाने दें $\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{\infty }$ कैनोनिकल समावेशन को निरूपित करें

$\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)$.

प्रत्येक समावेशन की छवि (गणित) है

$\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right):x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {K} \right\}=\mathbb {K} ^{n}\times \left\{(0,0,\ldots )\right\}$

और इसके परिणामस्वरूप,

$\mathbb {K} ^{\infty }=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right).$ समावेशन का यह परिवार देता है $\mathbb {K} ^{\infty }$ एक अंतिम टोपोलॉजी $\tau ^{\infty }$, पर टोपोलॉजी की तुलना के रूप में परिभाषित किया गया $\mathbb {K} ^{\infty }$ जैसे कि सभी समावेशन निरंतर हैं (सुसंगत टोपोलॉजी का एक उदाहरण)। इस टोपोलॉजी के साथ, $\mathbb {K} ^{\infty }$ एक पूर्ण टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस बन जाता है, हॉसडॉर्फ स्पेस, स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस, अनुक्रमिक स्पेस, टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस जो है not फ्रेचेट-यूरीसोहन स्पेस|फ्रेचेट-उरीसोहन। टोपोलॉजी $\tau ^{\infty }$ प्रेरित उप-स्थान टोपोलॉजी की तुलना में टोपोलॉजी की तुलना भी है $\mathbb {K} ^{\infty }$ द्वारा $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$.

में अभिसरण $\tau ^{\infty }$ एक प्राकृतिक विवरण है: यदि $v\in \mathbb {K} ^{\infty }$ और $v_{\bullet }$ में क्रम है $\mathbb {K} ^{\infty }$ तब $v_{\bullet }\to v$ में $\tau ^{\infty }$ अगर और केवल $v_{\bullet }$ अंततः एक छवि में समाहित है $\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)$ और $v_{\bullet }\to v$ उस छवि की प्राकृतिक टोपोलॉजी के तहत।

अक्सर, प्रत्येक छवि $\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)$ अनुरूप से पहचाना जाता है $\mathbb {K} ^{n}$; स्पष्ट रूप से, तत्व $\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {K} ^{n}$ और $\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,0,\ldots \right)$ पहचाने जाते हैं। यह इस तथ्य से सुगम है कि उप-स्थान टोपोलॉजी चालू है $\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)$, मानचित्र से भागफल टोपोलॉजी $\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}$, और यूक्लिडियन टोपोलॉजी चालू $\mathbb {K} ^{n}$ सभी मेल खाते हैं। इस पहचान से, $\left(\left(\mathbb {K} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right),\left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)$ निर्देशित प्रणाली की प्रत्यक्ष सीमा है $\left(\left(\mathbb {K} ^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },\left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{m}\to \mathbb {K} ^{n}}\right)_{m\leq n\in \mathbb {N} },\mathbb {N} \right),$ जहां हर समावेशन अनुगामी शून्य जोड़ता है:

$\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{m}\to \mathbb {K} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{m}\right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{m},0,\ldots ,0\right)$.

यह दर्शाता है कि $\left(\mathbb {K} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)$ एक एलबी-स्पेस है।

अन्य अनुक्रम रिक्त स्थान

बंधी हुई श्रृंखला (गणित) का स्थान, Bs स्थान द्वारा निरूपित, अनुक्रमों का स्थान है $x$ जिसके लिए

$\sup _{n}\left\vert \sum _{i=0}^{n}x_{i}\right\vert <\infty .$

यह स्थान, जब आदर्श से सुसज्जित है

$\|x\|_{bs}=\sup _{n}\left\vert \sum _{i=0}^{n}x_{i}\right\vert ,$

एक Banach स्थान isometrically isomorphic है $\ell ^{\infty },$ रेखीय मानचित्रण के माध्यम से

$(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\mapsto \left(\sum _{i=0}^{n}x_{i}\right)_{n\in \mathbb {N} }.$

सभी अभिसरण श्रृंखलाओं से युक्त उपसमष्टि cs एक उपसमष्टि है जो इस तुल्याकारिता के अंतर्गत स्थान c में जाती है।

अंतरिक्ष Φ या $c_{00}$ को सभी अनंत अनुक्रमों के स्थान के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें केवल गैर-शून्य शब्दों की सीमित संख्या (सीमित समर्थन वाले अनुक्रम) हैं। यह समुच्चय कई सीक्वेंस स्पेस में घना समुच्चय है।

ℓ के गुण^p स्पेस और स्पेस c₀

See also: c space

अंतरिक्ष ℓ² केवल ℓ है^p स्थान जो एक हिल्बर्ट स्थान है, क्योंकि किसी आंतरिक उत्पाद द्वारा प्रेरित किसी भी मानक को समांतर चतुर्भुज नियम को पूरा करना चाहिए

$\|x+y\|_{p}^{2}+\|x-y\|_{p}^{2}=2\|x\|_{p}^{2}+2\|y\|_{p}^{2}.$

एक्स और वाई के लिए दो अलग-अलग यूनिट वैक्टरों को प्रतिस्थापित करने से सीधे पता चलता है कि पहचान तब तक सत्य नहीं है जब तक कि p = 2।

प्रत्येक ℓ^p अलग है, उसमें ℓ^p का सख्त उपसमुच्चय है ℓ^s जब भी p < s; आगे, ℓ^p रैखिक रूप से समरूप नहीं है ℓ^s कबp ≠ s. वास्तव में, पिट के प्रमेय द्वारा (Pitt 1936), प्रत्येक परिबद्ध रैखिक संचालिका से ℓ^s को ℓ^p कॉम्पैक्ट ऑपरेटर है जब p < s. ऐसा कोई संकारक तुल्याकारिता नहीं हो सकता; और आगे, यह किसी अनंत-आयामी उपसमष्टि पर एक तुल्याकारिता नहीं हो सकता ℓ^s, और इस प्रकार इसे सख्ती से एकवचन कहा जाता है।

अगर 1 < p < ∞, तो दोहरी जगह|(निरंतर) ℓ की दोहरी जगह^p isometrically isomorphic to ℓ है^q, जहाँ q, p: 1/p + 1/q = 1 का होल्डर संयुग्मी है। विशिष्ट समरूपता एक तत्व x से संबद्ध है ℓ^q फलनिक

$$L_{x}(y)=\sum _{n}x_{n}y_{n}$$

में वाई के लिए ℓ^p. होल्डर की असमानता का अर्थ है कि एल_x एक परिबद्ध रेखीय फलनिक है ℓ^p, और वास्तव में

$$|L_{x}(y)|\leq \|x\|_{q}\,\|y\|_{p}$$

ताकि ऑपरेटर मानदंड संतुष्ट हो

$\|L_{x}\|_{(\ell ^{p})^{*}}{\stackrel {\rm {def}}{=}}\sup _{y\in \ell ^{p},y\not =0}{\frac {|L_{x}(y)|}{\|y\|_{p}}}\leq \|x\|_{q}.$

वास्तव में, y का अवयव लेना ℓ^p साथ

$y_{n}={\begin{cases}0&{\text{if}}\ x_{n}=0\\x_{n}^{-1}|x_{n}|^{q}&{\text{if}}~x_{n}\neq 0\end{cases}}$

एल देता है_x(वाई) = ||x||_q, ताकि वास्तव में

$\|L_{x}\|_{(\ell ^{p})^{*}}=\|x\|_{q}.$

इसके विपरीत, एक परिबद्ध रैखिक फलनिक L पर दिया गया है ℓ^p, द्वारा परिभाषित अनुक्रम x_n = L(e_n) ℓ में स्थित है^क्ष. इस प्रकार मानचित्रण $x\mapsto L_{x}$ एक आइसोमेट्री देता है

$$\kappa _{q}:\ell ^{q}\to (\ell ^{p})^{*}.$$

वो नक्शा

$\ell ^{q}\xrightarrow {\kappa _{q}} (\ell ^{p})^{*}\xrightarrow {(\kappa _{q}^{*})^{-1}}$

κ की रचना करके प्राप्त किया_p इसके दोहरे स्थान के व्युत्क्रम के साथ # एक निरंतर रैखिक मानचित्र का स्थानान्तरण रिफ्लेक्टिव स्थान के साथ मेल खाता है # ℓ की परिभाषाएँ^q अपने दोहरे दोहरे में। परिणामस्वरूप ℓ^q एक प्रतिवर्त स्थान है। अंकन के दुरुपयोग से, ℓ की पहचान करना विशिष्ट है^q दोहरे ℓ के साथ^पी: (ℓ^पी)^{*</सुप> = ℓक्ष. फिर रिफ्लेक्सिविटी को पहचान के अनुक्रम से समझा जाता है (ℓपी)**</सुप> = (ℓक्ष)*</सुप> = ℓपी</सुप>.}

अंतरिक्ष सी₀ को सभी अनुक्रमों के स्थान के रूप में परिभाषित किया गया है, जो शून्य में परिवर्तित हो रहा है, जिसका मानक ||x|| के समान है_∞. यह ℓ की बंद उपसमष्टि है^∞, इसलिए बनच स्पेस। सी की दोहरी जगह₀ ℓ है¹; ℓ का दोहरा¹ ℓ है^∞. प्राकृतिक संख्या सूचकांक समुच्चय के मामले में, ℓ^पी और सी₀ वियोज्य स्थान हैं, ℓ के एकमात्र अपवाद के साथ^∞. ℓ का दोहरा^∞ बा अंतरिक्ष है।

रिक्त स्थान सी₀ और ℓ^p (1 ≤ p < ∞ के लिए) एक प्रामाणिक बिना शर्त Schauder आधार है {e_i| i = 1, 2,...}, जहां ई_i अनुक्रम है जो शून्य है लेकिन i में 1 के लिए^वें प्रविष्टि।

अंतरिक्ष ℓ¹ में शूर की संपत्ति है: ℓ में¹, कोई भी अनुक्रम जो कमजोर अभिसरण (हिल्बर्ट स्पेस) है वह भी कमजोर अभिसरण (हिल्बर्ट स्पेस) है (Schur 1921). हालांकि, अनंत-आयामी रिक्त स्थान पर कमजोर टोपोलॉजी मजबूत टोपोलॉजी से सख्ती से कमजोर है, ℓ में नेट (गणित) हैं¹ जो कमजोर अभिसरण हैं लेकिन मजबूत अभिसरण नहीं हैं।

द ℓ^p स्पेस को कई Banach स्पेस में एम्बेडिंग किया जा सकता है। सवाल यह है कि क्या हर अनंत-आयामी बैनच स्पेस में कुछ ℓ का आइसोमोर्फ होता है^पी या सी का₀, बोरिस त्सिरेलसन सो गया|बी द्वारा नकारात्मक उत्तर दिया गया। 1974 में एस. त्सिरेलसन द्वारा त्सिरेलसन अंतरिक्ष का निर्माण। दोहरा कथन, कि प्रत्येक वियोज्य बनच स्थान ℓ के भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित) के लिए रैखिक रूप से सममितीय है।¹, द्वारा सकारात्मक उत्तर दिया गया था Banach & Mazur (1933). यही है, प्रत्येक वियोज्य बनच स्थान X के लिए, एक भागफल मानचित्र मौजूद है $Q:\ell ^{1}\to X$, ताकि X के लिए आइसोमोर्फिक हो $\ell ^{1}/\ker Q$. सामान्य तौर पर, केर क्यू ℓ में पूरक नहीं है¹, अर्थात, ℓ की उपसमष्टि Y मौजूद नहीं है¹ ऐसा कि $\ell ^{1}=Y\oplus \ker Q$. वास्तव में, ℓ¹ में बेशुमार रूप से कई अपूर्ण उप-स्थान हैं जो एक दूसरे के लिए आइसोमोर्फिक नहीं हैं (उदाहरण के लिए, लें $X=\ell ^{p}$; चूँकि अनगिनत ऐसे एक्स हैं's, और चूंकि कोई ℓ नहीं है^p किसी भी अन्य के लिए आइसोमोर्फिक है, इस प्रकार बेशुमार रूप से कई ker Q हैं'एस)।

तुच्छ परिमित-आयामी मामले को छोड़कर, ℓ की एक असामान्य विशेषता^p यह है कि यह बहुपद रूप से प्रतिवर्ती स्थान नहीं है।

=== ℓ^p रिक्त स्थान p === में बढ़ रहे हैं के लिए $p\in [1,\infty ]$, रिक्त स्थान $\ell ^{p}$ में बढ़ रहे हैं $p$, समावेशन ऑपरेटर निरंतर होने के साथ: के लिए $1\leq p<q\leq \infty$, किसी के पास $\|x\|_{q}\leq \|x\|_{p}$. वास्तव में, असमानता सजातीय है $x_{i}$, इसलिए यह इस धारणा के तहत साबित करने के लिए पर्याप्त है कि $\|x\|_{p}=1$. इस मामले में, हमें केवल यह दिखाने की जरूरत है $\textstyle \sum |x_{i}|^{q}\leq 1$ के लिए $q>p$. लेकिन अगर $\|x\|_{p}=1$, तब $|x_{i}|\leq 1$ सभी के लिए $i$, और तब $\textstyle \sum |x_{i}|^{q}\leq \textstyle \sum |x_{i}|^{p}=1$.

=== ℓ² सभी वियोज्य, अनंत आयामी हिल्बर्ट रिक्त स्थान === के लिए समरूप है H को एक हिल्बर्ट स्पेस # वियोज्य स्पेस होने दें। एच में प्रत्येक ऑर्थोगोनल समुच्चय सबसे अधिक गणना योग्य है (यानी सीमित हिल्बर्ट स्पेस # हिल्बर्ट आयाम है या $\,\aleph _{0}\,$). निम्नलिखित दो आइटम संबंधित हैं:

• यदि H अनंत विमीय है, तो यह ℓ के समतुल्य है^2</उप>
• अगर dim(H) = N, तो H तुल्याकारी है $\mathbb {C} ^{N}$

ℓ के गुण¹ स्पेस

ℓ में तत्वों का एक क्रम¹ जटिल अनुक्रम ℓ के स्थान में अभिसरित होता है¹ यदि और केवल यदि यह इस स्थान में कमजोर रूप से अभिसरित होता है। यदि K इस स्थान का उपसमुच्चय है, तो निम्नलिखित समतुल्य हैं:

1. के कॉम्पैक्ट है;
2. के कमजोर रूप से कॉम्पैक्ट है;
3. K अनंत पर परिबद्ध, बंद और समसूक्ष्म है।

यहाँ K के 'इक्विस्मॉल एट इनफिनिटी' होने का अर्थ है कि प्रत्येक के लिए $\varepsilon >0$, एक प्राकृतिक संख्या मौजूद है $n_{\varepsilon }\geq 0$ ऐसा है कि ${\textstyle \sum _{n=n_{\epsilon }}^{\infty }|s_{n}|<\varepsilon }$ सभी के लिए $s=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }\in K$.

यह भी देखें

• एलपी स्पेस|एल^{पी </सुप> स्थान}
• त्सिरेलसन स्पेस
• बीटा-डुअल स्पेस
• ऑरलिज़ सीक्वेंस स्पेस
• हिल्बर्ट अंतरिक्ष

ग्रन्थसूची

• Banach, Stefan; Mazur, S. (1933), "Zur Theorie der linearen Dimension", Studia Mathematica, 4: 100–112.
• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958), Linear operators, volume I, Wiley-Interscience.
• Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.
• Pitt, H.R. (1936), "A note on bilinear forms", J. London Math. Soc., 11 (3): 174–180, doi:10.1112/jlms/s1-11.3.174.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Schur, J. (1921), "Über lineare Transformationen in der Theorie der unendlichen Reihen", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 151: 79–111, doi:10.1515/crll.1921.151.79.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.