सजातीय समतल (घटना ज्यामिति): Difference between revisions

Revision as of 13:14, 8 May 2023

ज्यामिति में, एक सजातीय समतल बिंदुओं और रेखाओं की एक प्रणाली है जो निम्नलिखित स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करती है:^[1]

कोई भी दो भिन्न बिन्दु एक अद्वितीय रेखा पर स्थित होते हैं।
किसी भी रेखा और किसी भी बिंदु को उस रेखा पर नहीं दिए जाने पर एक अद्वितीय रेखा होती है जिसमें बिंदु सम्मलित है और दी गई रेखा के अनुरूप नहीं है। (प्लेफेयर का स्वयंसिद्ध)
तीन असंरेख बिंदु उपस्तिथ हैं (बिंदु एक रेखा पर नहीं हैं)।

एक सजातीय समतल में, दो रेखाएँ समानांतर कहलाती हैं यदि वे समान या असंयुक्त होती है। इस परिभाषा का उपयोग करते हुए, प्लेफेयर के ऊपर दिए गए स्वयंसिद्ध को इसके द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है:^[2]

एक बिंदु और एक रेखा को देखते हुए, एक अद्वितीय रेखा होती है जिसमें बिंदु होते है और रेखा के समानांतर होते है।

समांतरता एक सजातीय समतल की रेखा पर एक तुल्यता संबंध है।

क्योंकि बिंदुओं और रेखाओं के मध्य के संबंध को सम्मलित करने वाली अवधारणाओं के अलावा कोई भी अवधारणा स्वयंसिद्धों में सम्मलित नहीं है, एक संबधित समतल आपतन ज्यामिति से संबंधित अध्ययन का एक उद्देश्य है। वे प्लेफेयर के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करने वाले गैर-पतित रैखिक समष्‍टि हैं।

प्रचलित यूक्लिडियन समतल एक सजातीय समतल है। कई परिमित और अनंत संबंध समतल हैं। क्षेत्र (और विभाजन वलय) के साथ-साथ प्रक्षेपीय समतल भी हैं, कई गैर-डिसार्ग्यूज़ियन समतल भी हैं, जो इन स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करने वाले विभाजन वलय में निर्देशांक से प्राप्त नहीं होते हैं। मौलटन समतल इनमें से एक का उदाहरण है।^[3]

परिमित सजातीय समतल

अनुक्रम 3 का सजातीय समतल 9 अंक, 12 रेखाएँ

यदि किसी सजातीय समतल में बिंदुओं की संख्या परिमित है, तो यदि समतल की एक रेखा में $n$ बिंदु हैं, तो:

प्रत्येक रेखा में $n$ बिंदु होते हैं,
प्रत्येक बिंदु $n + 1$ रेखाओं में निहित है,
सभी में $n 2$ बिंदु हैं, और
कुल $n 2 + n$ रेखाएँ हैं।

संख्या $n$ को सजातीय समतल का क्रम कहा जाता है।

सभी ज्ञात परिमित सजातीय समतलों के अनुक्रम हैं जो मुख्य या मुख्य शक्ति पूर्णांक हैं। फ़ानो समतल से एक रेखा और उस रेखा पर तीन बिंदुओं को हटाकर सबसे छोटा संबंध समतल (क्रम 2 का) प्राप्त किया जाता है। एक समान निर्माण, क्रम 3 के प्रक्षेपी समतल से प्रारम्भ होकर, क्रम 3 के संबंध समतल का उत्पादन करता है जिसे कभी-कभी हेस्से विन्यास कहा जाता है। C $n$ का एक सजातीय समतल उपस्तिथ है अगर और केवल अगर अनुक्रम $n$ का प्रक्षेपीय समतल उपस्तिथ है (हालाँकि, इन दो प्रकरणों में अनुक्रम की परिभाषा समान नहीं है)। इस प्रकार, अनुक्रम 6 या अनुक्रम 10 का कोई सजातीय समतल नहीं है क्योंकि उन अनुक्रम के कोई प्रक्षेपीय समतल नहीं हैं। ब्रुक-रेज़र-चावला प्रमेय एक प्रक्षेपी समतल के क्रम पर और इस प्रकार, एक सजातीय समतल के क्रम पर और सीमाएँ प्रदान करता है।

समान्तरता के तुल्यता संबंध के अंतर्गत क्रम $n$ के संबंध तल की $n 2 + n$ रेखाएँ $n$ रेखाओं के $n + 1$ तुल्यता वर्गों में आती हैं। इन वर्गों को रेखाओं का समांतर वर्ग कहा जाता है। किसी भी समांतर वर्ग में रेखाएं एक विभाजन बनाती हैं जो सजातीय समतल के बिंदु हैं। प्रत्येक $n + 1$ रेखाएँ जो एक बिंदु से पारित होती हैं, एक अलग समानांतर वर्ग में स्थित होती हैं।

क्रम $n$ के एक सजातीय समतल की समानांतर वर्ग संरचना का उपयोग $n - 1$ पारस्परिक रूप से लंबकोणिक लैटिन वर्गों के समुच्चय के निर्माण के लिए किया जा सकता है। इस निर्माण के लिए केवल आपतन संबंधों की आवश्यकता है।

प्रक्षेपीय समतलों के साथ संबंध

किसी प्रक्षेपी समतल से एक रेखा और उस पर के सभी बिंदुओं को हटाकर एक संबंद्ध समतल प्राप्त किया जा सकता है, और इसके विपरीत किसी भी परिबद्ध समतल का उपयोग अनंत पर एक रेखा जोड़कर प्रक्षेपी समतल के निर्माण के लिए किया जा सकता है, जिसका प्रत्येक बिंदु अनंत पर वह बिंदु है जहां समांतर रेखाओं का समतुल्य वर्ग मिलता है।

यदि प्रक्षेपी समतल गैर-डिसार्ग्यूसियन समतल है, तो विभिन्न रेखाओं को हटाने से गैर-आइसोमोर्फिक सजातीय समतल बन सकते हैं। उदाहरण के लिए, क्रम नौ के यथार्थ चार प्रक्षेपी समतल हैं, और क्रम नौ के सात संबंध समतल हैं।^[4] अनुक्रम नौ के डेसार्गेसियन समतल के अनुरूप केवल एक ही प्रक्षेपीय समतल है, क्योंकि उस प्रक्षेपीय समतल का समतलीकरण समूह समतल की रेखा पर संक्रमणीय रूप से कार्य करता है। अनुक्रम नौ के तीन गैर-डिसर्ग्यूसियन समतलों में से प्रत्येक में समरेखण समूह हैं, जो रेखा पर दो कक्षाएं हैं, क्रम नौ के दो गैर-आइसोमॉर्फिक सजातीय समतलों का उत्पादन करते हैं, इस पर निर्भर करता है कि किस कक्षा को हटाया जाना है।

सजातीय अनुवाद समतल

प्रक्षेपी समतल $Π$ में एक रेखा $l$ एक अनुवाद रेखा है यदि अक्ष $l$ के साथ प्रफुल्लता का समूह समतल $Π$ से $l$ को हटाकर प्राप्त सजातीय समतल के बिंदुओं पर सकर्मक रूप से कार्य करता है। स्थानांतरण रेखा के साथ एक प्रक्षेपीय समतल को स्थानांतरण समतल कहा जाता है और स्थानांतरण रेखा को हटाकर प्राप्त प्रक्षेपीय समतल को प्रक्षेपीय स्थानांतरण समतल कहा जाता है। हालांकि सामान्यतः प्रक्षेपी समतलों के साथ काम करना प्रायः आसान होता है, इस संदर्भ में सजातीय समतलों को प्राथमिकता दी जाती है और कई लेखकों ने स्थानांतरण समतल शब्द का उपयोग सजातीय स्थानांतरण समतल के लिए किया है।^[5]

प्रक्षेपीय स्थानांतरण समतल का एक वैकल्पिक दृश्य निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है: मान लीजिए $V$ क्षेत्र $F$ पर $2 n$ - विमीय सदिश समष्टि है। $V$ का प्रसार $V$ के $n$ -आयामी उप-समष्‍टि का एक समुच्चय $S$ है जो $V$ के गैर-शून्य सदिश को विभाजित करता है। $S$ के सदस्यों को प्रसार का घटक कहा जाता है और यदि $V i$ और $V j$ अलग-अलग घटक $V i \oplus V j = V$ होते है। $A$ को आपतन संरचना होने दें जिसके बिंदु $V$ के सदिश हैं और जिनकी रेखाएँ घटकों के सहसमुच्चय हैं, अर्थात् प्रपत्र के समुच्चय $v + U$ जहां $v$ , $V$ का सदिश है और $U$ प्रसार $S$ का एक घटक है। तब:^[6]

A

एक सजातीय समतल है और सदिश

w

के लिए

x \to x + w

अनुवादों का समूह इस समतल के बिंदुओं पर नियमित रूप से कार्य करने वाला एक स्वसमाकृतिकता समूह है।

सामान्यीकरण: $k$ -नेट

परिमित संबधित समतल से अधिक सामान्य एक आपतन संरचना अनुक्रम $n$ का $k$ -नेट है। इसमें $n 2$ बिंदु और $nk$ रेखाएँ सम्मलित है जैसे कि:

समांतरता (सजातीय समतलों में परिभाषित के रूप में) रेखाओं के समुच्चय पर एक तुल्यता संबंध है।
प्रत्येक रेखा में यथार्थ $n$ बिंदु होते हैं, और प्रत्येक समांतर वर्ग में $n$ रेखाएँ होती हैं (इसलिए रेखाओं का प्रत्येक समानांतर वर्ग बिंदु समुच्चय को विभाजित करता है)।
रेखाओं के $k$ समानांतर वर्ग हैं। प्रत्येक बिंदु यथार्थ $k$ रेखाओं पर स्थित है, प्रत्येक समानांतर वर्ग से एक है।

एक $(n + 1)$ -नेट अनुक्रम $n$ यथार्थ क्रम $n$ का एक सजातीय समतल है।

अनुक्रम $n$ का $k$ -नेट, $k - 2$ के समुच्चय के समान है, क्रम $n$ के पारस्परिक रूप से लंबकोणिक लैटिन वर्ग है।

उदाहरण: अनुवाद नेट

एक स्वेच्छाचारी क्षेत्र $F$ के लिए, $Σ$ सदिश स्थान $F 2 n$ के $n$ -विमीय उपसमष्‍टि का एक समुच्चय है, जिनमें से कोई भी दो केवल {0} (आंशिक प्रसार कहा जाता है) में प्रतिच्छेद करते हैं। $Σ$ के सदस्य, और $F 2 n$ में उनके सहसमुच्चय, $F 2 n$ के बिंदुओं पर एक अनुवाद नेट की रेखाएँ बनाते हैं। अगर $| Σ | = k$ यह क्रम $| F n |$ का $k$ -नेट है। एक सजातीय अनुवाद समतल से प्रारम्भ होकर, समानांतर कक्षाओं का कोई भी उपसमुच्चय एक स्थानांतरण नेट बनाता है।

एक स्थानांतरण नेट दिया गया है, एक सजातीय समतल बनाने के लिए नेट में समानांतर कक्षाएं जोड़ना हमेशा संभव नहीं होता है। हालांकि, यदि $F$ एक अनंत क्षेत्र है, कोई भी आंशिक प्रसार $Σ$ $| F |$ से कम है सदस्यों को बढ़ाया जा सकता है और स्थानांतरण नेट को प्रक्षेपीय स्थानांतरण समतल में पूरा किया जा सकता है।^[7]

ज्यामितीय कोड

किसी भी परिमित आपतन संरचना, $M$ और किसी भी क्षेत्र के रेखा/बिंदु आपतन आव्यूह को देखते हुए, $F$ पर $M$ की पंक्ति समष्‍टि $F$ एक रैखिक कोड है जिसे हम $C = C F (M)$ द्वारा निरूपित कर सकते हैं। एक अन्य संबंधित कोड जिसमें आपतन संरचना के बारे में जानकारी सम्मलित होती है, $C$ का समाधान है जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:^[8]

\operatorname {Hull} (C)=C\cap C^{\perp },

जहाँ $C ⊥$ , $C$ लंबकोणिक कोड हैं।

सामान्यता के इस स्तर पर इन कोडों के बारे में बहुत कुछ नहीं कहा जा सकता है, लेकिन यदि आपतन संरचना में कुछ ''नियमितता'' है, तो इस तरह से उत्पादित कोडों का विश्लेषण किया जा सकता है और कोड और आपतन संरचनाओं के बारे में जानकारी एक दूसरे से प्राप्त की जा सकती है। जब आपतन संरचना एक परिमित संबंध समतल है, तो कोड ज्यामितीय कोड के रूप में जाने वाले कोड के एक वर्ग से संबंधित होते हैं। सजातीय समतल के बारे में कोड में कितनी जानकारी होती है, यह क्षेत्र की पसंद पर निर्भर करता है। यदि क्षेत्र की विशेषता समतल के क्रम को विभाजित नहीं करती है, तो उत्पन्न कोड पूर्ण समष्‍टि होते है और इसमें कोई जानकारी नहीं होती है। वहीं दूसरी ओर,^[9]

यदि $π$ क्रम $n$ का एक सजातीय समतल है और $F$ विशेषता $p$ का क्षेत्र है, जहाँ $p$ , $n$ को विभाजित करता है, तो कोड $B = Hull(C F (π)) ⊥$ का न्यूनतम भार $n$ है और सभी न्यूनतम भार सदिशों के निरंतर गुणक हैं जिनकी प्रविष्टियाँ या तो शून्य या एक हैं।

अतिरिक्त,^[10]

अगर $π$ क्रम $p$ का एक सजातीय समतल है और $F$ विशेषता $p$ का क्षेत्र है, तो $C = Hull(C F (π)) ⊥$ और न्यूनतम भार सदिश $π$ की रेखाओं के (आपतन सदिश) अदिश गुणक हैं।

जब $π = AG(2, q)$ उत्पन्न ज्यामितीय कोड $q$ -एरी रीड-मुलर कोड है।

सजातीय समष्‍टि

सजातीय समष्‍टि को प्रक्षेपीय समतलों से सजातीय समतलों के निर्माण के समान प्रकार से परिभाषित किया जा सकता है। उच्च-आयामी सजातीय समष्‍टि के लिए सिद्धांतों की एक प्रणाली प्रदान करना भी संभव है जो संबंधित प्रक्षेपण समष्‍टि को संदर्भित नहीं करता है।^[11]

↑ Hughes & Piper 1973, p. 82
↑ Hartshorne 2000, p. 71
↑ Moulton, Forest Ray (1902), "A Simple Non-Desarguesian Plane Geometry", Transactions of the American Mathematical Society, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 3 (2): 192–195, doi:10.2307/1986419, ISSN 0002-9947, JSTOR 1986419
↑ Moorhouse 2007, p. 11
↑ Hughes & Piper 1973, p. 100
↑ Moorhouse 2007, p. 13
↑ Moorhouse 2007, pp. 21–22
↑ Assmus & Key 1992, p. 43
↑ Assmus & Key 1992, p. 208
↑ Assmus & Key 1992, p. 211
↑ Lenz 1961, p. 138, but see also Cameron 1991, chapter 3

संदर्भ

Assmus, E.F. Jr.; Key, J.D. (1992), Designs and their Codes, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-41361-9
Cameron, Peter J. (1991), Projective and Polar Spaces, QMW Maths Notes, vol. 13, London: Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences, MR 1153019
Hartshorne, R. (2000), Geometry: Euclid and Beyond, Springer, ISBN 0387986502
Hughes, D.; Piper, F. (1973), Projective Planes, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90044-6
Lenz, H. (1961), Grundlagen der Elementarmathematik, Berlin: Deutscher Verlag d. Wiss.
Moorhouse, Eric (2007), Incidence Geometry (PDF)

अग्रिम पठन

Casse, Rey (2006), प्रक्षेपी ज्यामिति: एक परिचय, Oxford: ऑक्सफोर्ड यूनिवरसिटि प्रेस, ISBN 0-19-929886-6
डेम्बोव्स्की, पीटर (1968), परिमित ज्यामिति, बर्लिन: स्प्रिंगर वर्लग
कार्तज़ी, F. (1976), परिमित ज्यामिति का परिचय, एम्स्टर्डम: उत्तर-हॉलैंड, ISBN 0-7204-2832-7
लिंडनर, चार्ल्स सी.; रोजर, क्रिस्टोफर ए. (1997), डिजाइन सिद्धांत, सीआरसी प्रेस, ISBN 0-8493-3986-3
ल्यूंबर्ग, हाइन्ज़ (1980), अनुवाद समतल, बर्लिन: स्प्रिंगर वर्लग, ISBN 0-387-09614-0 {{citation}}: Invalid |url-access=पंजीकरण (help)
स्टीवेंसन, फ्रेडरिक डब्ल्यू. (1972), प्रक्षेपी योजनाएँ, सैन फ्रांसिस्को: W.H. फ्रीमैन एंड कंपनी, ISBN 0-7167-0443-9

[1] Hughes & Piper 1973, p. 82

[2] Hartshorne 2000, p. 71

[3] Moulton, Forest Ray (1902), "A Simple Non-Desarguesian Plane Geometry", Transactions of the American Mathematical Society, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 3 (2): 192–195, doi:10.2307/1986419, ISSN 0002-9947, JSTOR 1986419

[4] Moorhouse 2007, p. 11

[5] Hughes & Piper 1973, p. 100

[6] Moorhouse 2007, p. 13

[7] Moorhouse 2007, pp. 21–22

[8] Assmus & Key 1992, p. 43

[9] Assmus & Key 1992, p. 208

[10] Assmus & Key 1992, p. 211

[11] Lenz 1961, p. 138, but see also Cameron 1991, chapter 3

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 एक सजातीय समतल में, दो रेखाएँ समानांतर कहलाती हैं यदि वे समान या असंयुक्त होती है। इस परिभाषा का उपयोग करते हुए, प्लेफेयर के ऊपर दिए गए स्वयंसिद्ध को इसके द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है:<ref>{{harvnb|Hartshorne|2000|page= 71}}</ref>
-* एक बिंदु और एक रेखा को देखते हुए, एक अद्वितीय रेखा होती है जिसमें बिंदु होता है और रेखा के समानांतर होता है।
+* एक बिंदु और एक रेखा को देखते हुए, एक अद्वितीय रेखा होती है जिसमें बिंदु होते है और रेखा के समानांतर होते है।
 समांतरता एक सजातीय समतल की रेखा पर एक [[तुल्यता संबंध]] है।
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 संख्या {{math|''n''}} को सजातीय समतल का क्रम कहा जाता है।
-सभी ज्ञात परिमित सजातीय समतलों के अनुक्रम हैं जो प्रधान या प्रधान शक्ति पूर्णांक हैं। फ़ानो समतल से एक रेखा और उस रेखा पर तीन बिंदुओं को हटाकर सबसे छोटा संबंध समतल (क्रम 2 का) प्राप्त किया जाता है। एक समान निर्माण, क्रम 3 के प्रक्षेपी समतल से प्रारम्भ होकर, क्रम 3 के संबंध समतल का उत्पादन करता है जिसे कभी-कभी [[हेस्से विन्यास]] कहा जाता है। C{{math|''n''}} का एक सजातीय समतल उपस्तिथ है अगर और केवल अगर अनुक्रम {{math|''n''}} का प्रक्षेपीय समतल उपस्तिथ है (हालाँकि, इन दो प्रकरणों में अनुक्रम की परिभाषा समान नहीं है)। इस प्रकार, अनुक्रम 6 या अनुक्रम 10 का कोई सजातीय समतल नहीं है क्योंकि उन अनुक्रम के कोई प्रक्षेपीय समतल नहीं हैं। ब्रुक-रेज़र-चावला प्रमेय एक प्रक्षेपी समतल के क्रम पर और इस प्रकार, एक सजातीय समतल के क्रम पर और सीमाएँ प्रदान करता है।
+सभी ज्ञात परिमित सजातीय समतलों के अनुक्रम हैं जो मुख्य या मुख्य शक्ति पूर्णांक हैं। फ़ानो समतल से एक रेखा और उस रेखा पर तीन बिंदुओं को हटाकर सबसे छोटा संबंध समतल (क्रम 2 का) प्राप्त किया जाता है। एक समान निर्माण, क्रम 3 के प्रक्षेपी समतल से प्रारम्भ होकर, क्रम 3 के संबंध समतल का उत्पादन करता है जिसे कभी-कभी [[हेस्से विन्यास]] कहा जाता है। C{{math|''n''}} का एक सजातीय समतल उपस्तिथ है अगर और केवल अगर अनुक्रम {{math|''n''}} का प्रक्षेपीय समतल उपस्तिथ है (हालाँकि, इन दो प्रकरणों में अनुक्रम की परिभाषा समान नहीं है)। इस प्रकार, अनुक्रम 6 या अनुक्रम 10 का कोई सजातीय समतल नहीं है क्योंकि उन अनुक्रम के कोई प्रक्षेपीय समतल नहीं हैं। ब्रुक-रेज़र-चावला प्रमेय एक प्रक्षेपी समतल के क्रम पर और इस प्रकार, एक सजातीय समतल के क्रम पर और सीमाएँ प्रदान करता है।
-समान्तरता के तुल्यता संबंध के अंतर्गत क्रम {{math|''n''}} के संबंध तल की {{math|''n''<sup>2</sup> + ''n''}}  रेखाएँ {{math|''n''}} रेखाओं के {{math|''n'' + 1}} तुल्यता वर्गों में आती हैं। इन वर्गों को रेखाओं का समांतर वर्ग कहा जाता है। किसी भी समांतर वर्ग में रेखाएं एक विभाजन बनाती हैं जो सजातीय समतल के बिंदु हैं। प्रत्येक {{math|''n'' + 1}} रेखाएँ जो एक बिंदु से होकरपारित होती हैं, एक अलग समानांतर वर्ग में स्थित होती हैं।
+समान्तरता के तुल्यता संबंध के अंतर्गत क्रम {{math|''n''}} के संबंध तल की {{math|''n''<sup>2</sup> + ''n''}} रेखाएँ {{math|''n''}} रेखाओं के {{math|''n'' + 1}} तुल्यता वर्गों में आती हैं। इन वर्गों को रेखाओं का समांतर वर्ग कहा जाता है। किसी भी समांतर वर्ग में रेखाएं एक विभाजन बनाती हैं जो सजातीय समतल के बिंदु हैं। प्रत्येक {{math|''n'' + 1}} रेखाएँ जो एक बिंदु से पारित होती हैं, एक अलग समानांतर वर्ग में स्थित होती हैं।
 क्रम {{math|''n''}} के एक सजातीय समतल की समानांतर वर्ग संरचना का उपयोग {{math|''n'' − 1}} पारस्परिक रूप से लंबकोणिक लैटिन वर्गों के समुच्चय के निर्माण के लिए किया जा सकता है। इस निर्माण के लिए केवल आपतन संबंधों की आवश्यकता है।
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 किसी प्रक्षेपी समतल से एक रेखा और उस पर के सभी बिंदुओं को हटाकर एक संबंद्ध समतल प्राप्त किया जा सकता है, और इसके विपरीत किसी भी परिबद्ध समतल का उपयोग अनंत पर एक रेखा जोड़कर प्रक्षेपी समतल के निर्माण के लिए किया जा सकता है, जिसका प्रत्येक बिंदु अनंत पर वह बिंदु है जहां समांतर रेखाओं का समतुल्य वर्ग मिलता है।
-यदि प्रक्षेपी समतल गैर-डिसार्ग्यूसियन समतल है, तो विभिन्न रेखाओं को हटाने से गैर-आइसोमोर्फिक सजातीय समतल बन सकते हैं। उदाहरण के लिए, क्रम नौ के ठीक चार प्रक्षेपी समतल हैं, और क्रम नौ के सात संबंध समतल हैं।<ref>{{harvnb|Moorhouse|2007|page=11}}</ref> अनुक्रम नौ के [[कार्टेशियन विमान|डेसार्गेसियन समतल]] के अनुरूप केवल एक ही प्रक्षेपीय समतल है, क्योंकि उस प्रक्षेपीय समतल का समतलीकरण समूह समतल की रेखा पर [[ सकर्मक (समूह क्रिया) |संक्रमणीय]] रूप से कार्य करता है। अनुक्रम नौ के तीन गैर-डिसर्ग्यूसियन समतलों में से प्रत्येक में [[समरेखण]] समूह हैं, जो रेखाों पर दो कक्षाएं हैं, क्रम नौ के दो गैर-आइसोमॉर्फिक सजातीय समतलों का उत्पादन करते हैं, इस पर निर्भर करता है कि किस कक्षा को हटाया जाना है।
+यदि प्रक्षेपी समतल गैर-डिसार्ग्यूसियन समतल है, तो विभिन्न रेखाओं को हटाने से गैर-आइसोमोर्फिक सजातीय समतल बन सकते हैं। उदाहरण के लिए, क्रम नौ के यथार्थ चार प्रक्षेपी समतल हैं, और क्रम नौ के सात संबंध समतल हैं।<ref>{{harvnb|Moorhouse|2007|page=11}}</ref> अनुक्रम नौ के [[कार्टेशियन विमान|डेसार्गेसियन समतल]] के अनुरूप केवल एक ही प्रक्षेपीय समतल है, क्योंकि उस प्रक्षेपीय समतल का समतलीकरण समूह समतल की रेखा पर [[ सकर्मक (समूह क्रिया) |संक्रमणीय]] रूप से कार्य करता है। अनुक्रम नौ के तीन गैर-डिसर्ग्यूसियन समतलों में से प्रत्येक में [[समरेखण]] समूह हैं, जो रेखा पर दो कक्षाएं हैं, क्रम नौ के दो गैर-आइसोमॉर्फिक सजातीय समतलों का उत्पादन करते हैं, इस पर निर्भर करता है कि किस कक्षा को हटाया जाना है।
 == सजातीय अनुवाद समतल ==
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 प्रक्षेपी समतल {{math|Π}} में एक रेखा {{math|''l''}} एक अनुवाद रेखा है यदि अक्ष {{math|''l''}} के साथ प्रफुल्लता का समूह समतल {{math|Π}} से {{math|''l''}} को हटाकर प्राप्त सजातीय समतल के बिंदुओं पर सकर्मक रूप से कार्य करता है। स्थानांतरण रेखा के साथ एक प्रक्षेपीय समतल को स्थानांतरण समतल कहा जाता है और स्थानांतरण रेखा को हटाकर प्राप्त प्रक्षेपीय समतल को प्रक्षेपीय स्थानांतरण समतल कहा जाता है। हालांकि सामान्यतः प्रक्षेपी समतलों के साथ काम करना प्रायः आसान होता है, इस संदर्भ में सजातीय समतलों को प्राथमिकता दी जाती है और कई लेखकों ने स्थानांतरण समतल शब्द का उपयोग सजातीय स्थानांतरण समतल के लिए किया है।<ref>{{harvnb|Hughes|Piper|1973|page=100}}</ref>
-प्रक्षेपीय स्थानांतरण समतल का एक वैकल्पिक दृश्य निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है: मान लीजिए {{math|''V''}} क्षेत्र {{math|''F''}} पर {{math|2''n''}}- विमीय सदिश समष्टि है। {{math|''V''}} का प्रसार {{math|''V''}} के {{math|''n''}}-आयामी उप-समष्‍टि का एक समुच्चय {{math|''S''}} है जो {{math|''V''}} के गैर-शून्य सदिश को विभाजित करता है। {{math|''S''}} के सदस्यों को प्रसार के घटक कहा जाता है और यदि {{math|''V''<sub>''i''</sub>}} और {{math|''V''<sub>''j''</sub>}} अलग-अलग घटक {{math|1=''V''<sub>''i''</sub> ⊕ ''V''<sub>''j''</sub> = ''V''}} होते है। {{math|''A''}} को [[घटना संरचना|आपतन संरचना]] होने दें जिसके बिंदु {{math|''V''}} के सदिश हैं और जिनकी रेखाएँ घटकों के सहसमुच्चय हैं, अर्थात् प्रपत्र के समुच्चय {{math|''v'' + ''U''}} जहां {{math|''v''}}, {{math|''V''}} का सदिश है और {{math|''U''}} प्रसार {{math|''S''}} का एक घटक है। तब:<ref>{{harvnb|Moorhouse|2007|page=13}}</ref>
+प्रक्षेपीय स्थानांतरण समतल का एक वैकल्पिक दृश्य निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है: मान लीजिए {{math|''V''}} क्षेत्र {{math|''F''}} पर {{math|2''n''}}- विमीय सदिश समष्टि है। {{math|''V''}} का प्रसार {{math|''V''}} के {{math|''n''}}-आयामी उप-समष्‍टि का एक समुच्चय {{math|''S''}} है जो {{math|''V''}} के गैर-शून्य सदिश को विभाजित करता है। {{math|''S''}} के सदस्यों को प्रसार का घटक कहा जाता है और यदि {{math|''V''<sub>''i''</sub>}} और {{math|''V''<sub>''j''</sub>}} अलग-अलग घटक {{math|1=''V''<sub>''i''</sub> ⊕ ''V''<sub>''j''</sub> = ''V''}} होते है। {{math|''A''}} को [[घटना संरचना|आपतन संरचना]] होने दें जिसके बिंदु {{math|''V''}} के सदिश हैं और जिनकी रेखाएँ घटकों के सहसमुच्चय हैं, अर्थात् प्रपत्र के समुच्चय {{math|''v'' + ''U''}}  जहां {{math|''v''}}, {{math|''V''}} का सदिश है और {{math|''U''}} प्रसार {{math|''S''}} का एक घटक है। तब:<ref>{{harvnb|Moorhouse|2007|page=13}}</ref>
 :{{math|''A''}} एक सजातीय समतल है और सदिश {{math|''w''}} के लिए {{math|''x'' → ''x'' + ''w''}} अनुवादों का समूह इस समतल के बिंदुओं पर नियमित रूप से कार्य करने वाला एक स्वसमाकृतिकता समूह है।
-== सामान्यीकरण: {{math|''k''}}-नेट्स ==
+== सामान्यीकरण: {{math|''k''}}-नेट ==
 परिमित संबधित समतल से अधिक सामान्य एक आपतन संरचना अनुक्रम {{math|''n''}} का {{math|''k''}}-नेट है। इसमें {{math|''n''<sup>2</sup>}} बिंदु और {{math|''nk''}} रेखाएँ सम्मलित है जैसे कि:
 * समांतरता (सजातीय समतलों में परिभाषित के रूप में) रेखाओं के समुच्चय पर एक तुल्यता संबंध है।
-* हर रेखा में ठीक {{math|''n''}} बिंदु होते हैं, और प्रत्येक समांतर वर्ग में {{math|''n''}} रेखाएँ होती हैं (इसलिए रेखाओं का प्रत्येक समानांतर वर्ग बिंदु समुच्चय को विभाजित करता है)।
+* प्रत्येक रेखा में यथार्थ {{math|''n''}} बिंदु होते हैं, और प्रत्येक समांतर वर्ग में {{math|''n''}} रेखाएँ होती हैं (इसलिए रेखाओं का प्रत्येक समानांतर वर्ग बिंदु समुच्चय को विभाजित करता है)।
-* रेखाओं के {{math|''k''}} समानांतर वर्ग हैं। प्रत्येक बिंदु यथार्थत: {{math|''k''}} रेखाओं पर स्थित है, प्रत्येक समानांतर वर्ग से एक है।
+* रेखाओं के {{math|''k''}} समानांतर वर्ग हैं। प्रत्येक बिंदु यथार्थ {{math|''k''}} रेखाओं पर स्थित है, प्रत्येक समानांतर वर्ग से एक है।
-एक {{math|(''n'' + 1)}}-नेट अनुक्रम {{math|''n''}} यथार्थतः क्रम {{math|''n''}} का एक सजातीय समतल है।
+एक {{math|(''n'' + 1)}}-नेट अनुक्रम {{math|''n''}} यथार्थ क्रम {{math|''n''}} का एक सजातीय समतल है।
 अनुक्रम {{math|''n''}} का {{math|''k''}}-नेट, {{math|''k'' − 2}} के समुच्चय के समान है, क्रम {{math|''n''}} के पारस्परिक रूप से लंबकोणिक लैटिन वर्ग है।
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 === उदाहरण: अनुवाद नेट ===
-एक स्वेच्छाचारी क्षेत्र {{math|''F''}} के लिए, {{math|Σ}} सदिश स्थान {{math|''F''<sup>2''n''</sup>}} के {{math|''n''}}-विमीय उपसमष्‍टि का एक समुच्चय है, जिनमें से कोई भी दो केवल {0} (आंशिक प्रसार कहा जाता है) में प्रतिच्छेद करते हैं। {{math|Σ}} के सदस्य, और {{math|''F''<sup>2''n''</sup>}} में उनके सहसमुच्चय, {{math|''F''<sup>2''n''</sup>}} के बिंदुओं पर एक अनुवाद नेट की रेखाएँ बनाते हैं। अगर {{math|1={{abs|Σ}} = ''k''}} यह क्रम {{math|{{abs|''F''<sup>''n''</sup>}}}} का {{math|''k''}}-नेट है। एक सजातीय [[ अनुवाद विमान |अनुवाद समतल]] से प्रारम्भ होकर, समानांतर कक्षाओं का कोई भी उपसमुच्चय एक स्थानांतरण नेट बनाएगा।
+एक स्वेच्छाचारी क्षेत्र {{math|''F''}} के लिए, {{math|Σ}} सदिश स्थान {{math|''F''<sup>2''n''</sup>}} के {{math|''n''}}-विमीय उपसमष्‍टि का एक समुच्चय है, जिनमें से कोई भी दो केवल {0} (आंशिक प्रसार कहा जाता है) में प्रतिच्छेद करते हैं। {{math|Σ}} के सदस्य, और {{math|''F''<sup>2''n''</sup>}} में उनके सहसमुच्चय, {{math|''F''<sup>2''n''</sup>}} के बिंदुओं पर एक अनुवाद नेट की रेखाएँ बनाते हैं। अगर {{math|1={{abs|Σ}} = ''k''}} यह क्रम {{math|{{abs|''F''<sup>''n''</sup>}}}} का {{math|''k''}}-नेट है। एक सजातीय [[ अनुवाद विमान |अनुवाद समतल]] से प्रारम्भ होकर, समानांतर कक्षाओं का कोई भी उपसमुच्चय एक स्थानांतरण नेट बनाता है।
 एक स्थानांतरण नेट दिया गया है, एक सजातीय समतल बनाने के लिए नेट में समानांतर कक्षाएं जोड़ना हमेशा संभव नहीं होता है। हालांकि, यदि {{math|''F''}} एक अनंत क्षेत्र है, कोई भी आंशिक प्रसार {{math|Σ}} {{math|{{abs|''F''}}}} से कम है सदस्यों को बढ़ाया जा सकता है और स्थानांतरण नेट को प्रक्षेपीय स्थानांतरण समतल में पूरा किया जा सकता है।<ref>{{harvnb|Moorhouse|2007|pages=21–22}}</ref>
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 जहाँ {{math|''C''<sup>⊥</sup>}}, {{math|''C''}} लंबकोणिक कोड हैं।
-सामान्यता के इस स्तर पर इन कोडों के बारे में बहुत कुछ नहीं कहा जा सकता है, लेकिन यदि आपतन संरचना में कुछ <nowiki>''नियमितता''</nowiki> है, तो इस तरह से उत्पादित कोडों का विश्लेषण किया जा सकता है और कोड और आपतन संरचनाओं के बारे में जानकारी एक दूसरे से प्राप्त की जा सकती है। जब आपतन संरचना एक परिमित संबंध समतल है, तो कोड ज्यामितीय कोड के रूप में जाने वाले कोड के एक वर्ग से संबंधित होते हैं। सजातीय समतल के बारे में कोड में कितनी जानकारी होती है, यह क्षेत्र की पसंद पर निर्भर करता है। यदि क्षेत्र की [[विशेषता (फ़ील्ड)|विशेषता]] समतल के क्रम को विभाजित नहीं करती है, तो उत्पन्न कोड पूर्ण समष्‍टि होता है और इसमें कोई जानकारी नहीं होती है। वहीं दूसरी ओर,<ref>{{harvnb|Assmus|Key|1992|page=208}}</ref>
+सामान्यता के इस स्तर पर इन कोडों के बारे में बहुत कुछ नहीं कहा जा सकता है, लेकिन यदि आपतन संरचना में कुछ <nowiki>''नियमितता''</nowiki> है, तो इस तरह से उत्पादित कोडों का विश्लेषण किया जा सकता है और कोड और आपतन संरचनाओं के बारे में जानकारी एक दूसरे से प्राप्त की जा सकती है। जब आपतन संरचना एक परिमित संबंध समतल है, तो कोड ज्यामितीय कोड के रूप में जाने वाले कोड के एक वर्ग से संबंधित होते हैं। सजातीय समतल के बारे में कोड में कितनी जानकारी होती है, यह क्षेत्र की पसंद पर निर्भर करता है। यदि क्षेत्र की [[विशेषता (फ़ील्ड)|विशेषता]] समतल के क्रम को विभाजित नहीं करती है, तो उत्पन्न कोड पूर्ण समष्‍टि होते है और इसमें कोई जानकारी नहीं होती है। वहीं दूसरी ओर,<ref>{{harvnb|Assmus|Key|1992|page=208}}</ref>
 * यदि {{math|''π''}} क्रम {{math|''n''}} का एक सजातीय समतल है और {{math|''F''}} विशेषता {{math|''p''}} का क्षेत्र है, जहाँ {{math|''p''}}, {{math|''n''}} को विभाजित करता है, तो कोड {{math|1=''B'' = Hull(''C''<sub>''F''</sub>(''π''))<sup>⊥</sup>}} का न्यूनतम भार {{math|''n''}} है और सभी न्यूनतम भार सदिशों के निरंतर गुणक हैं जिनकी प्रविष्टियाँ या तो शून्य या एक हैं।
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 अतिरिक्त,<ref>{{harvnb|Assmus|Key|1992|page=211}}</ref>
-* अगर {{math|''π''}} क्रम {{math|''p''}} का एक सजातीय समतल है और {{math|''F''}} विशेषता {{math|''p''}} का क्षेत्र है, तो {{math|1=''C'' = Hull(''C''<sub>''F''</sub>(''π''))<sup>⊥</sup>}} और न्यूनतम भार सदिश {{math|''π''}} की रेखाओं के (आपतन सदिश) के अदिश गुणक हैं।
+* अगर {{math|''π''}} क्रम {{math|''p''}} का एक सजातीय समतल है और {{math|''F''}} विशेषता {{math|''p''}} का क्षेत्र है, तो {{math|1=''C'' = Hull(''C''<sub>''F''</sub>(''π''))<sup>⊥</sup>}} और न्यूनतम भार सदिश {{math|''π''}} की रेखाओं के (आपतन सदिश) अदिश गुणक हैं।
 जब {{math|1=''π'' = AG(2, ''q'')}} उत्पन्न ज्यामितीय कोड {{math|''q''}}-एरी [[रीड-मुलर कोड]] है।
-== सजातीयउपसमष्‍टि ==
+== सजातीय समष्‍टि ==
-सजातीय उपसमष्‍टि को प्रक्षेपीय समतलों से सजातीय समतलों के निर्माण के समान प्रकार से परिभाषित किया जा सकता है। उच्च-आयामी सजातीय उपसमष्‍टि के लिए सिद्धांतों की एक प्रणाली प्रदान करना भी संभव है जो संबंधित[[ प्रक्षेपण स्थान | प्रक्षेपण समष्‍टि]] को संदर्भित नहीं करता है।<ref>{{harvnb|Lenz|1961|page= 138}}, but see also {{harvnb|Cameron|1991|loc=chapter 3}}</ref>
+सजातीय समष्‍टि को प्रक्षेपीय समतलों से सजातीय समतलों के निर्माण के समान प्रकार से परिभाषित किया जा सकता है। उच्च-आयामी सजातीय समष्‍टि के लिए सिद्धांतों की एक प्रणाली प्रदान करना भी संभव है जो संबंधित[[ प्रक्षेपण स्थान | प्रक्षेपण समष्‍टि]] को संदर्भित नहीं करता है।<ref>{{harvnb|Lenz|1961|page= 138}}, but see also {{harvnb|Cameron|1991|loc=chapter 3}}</ref>
 ==टिप्पणियाँ==
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परिमित सजातीय समतल

प्रक्षेपीय समतलों के साथ संबंध

सजातीय अनुवाद समतल

सामान्यीकरण: $k$ -नेट

उदाहरण: अनुवाद नेट

ज्यामितीय कोड

सजातीय समष्‍टि

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