बूलियन वलय: Difference between revisions

Revision as of 07:26, 7 May 2023

गणित में, एक बूलियन वलय R एक वलय (गणित) है जिसके लिए R में सभी x के लिए x2 = x R होता है, अर्थात एक वलय है जिसमें केवल इम्पोटेंट तत्व होते हैं।^[1]^[2]^[3] एक उदाहरण पूर्णांक मॉडुलो 2 का वलय है।

प्रत्येक बूलियन वलय एक बूलियन बीजगणित (संरचना) को उत्पन्न करता है, जिसमें तार्किक संयोजन या मिलन (गणित) ∧ के अनुरूप वलय गुणन होता है, और विशिष्ट वियोजन या सममित अंतर के लिए वलय जोड़ (तार्किक संयोजन ∨ नहीं ,^[4] जो अंशपरिष्कृत का गठन करेगा) होता है। इसके विपरीत, प्रत्येक बूलियन बीजगणित एक बूलियन वलय को उत्पन्न करता है। बूलियन वलय का नाम बूलियन बीजगणित के संस्थापक जॉर्ज बूले के नाम पर रखा गया है।

अंकन पद्धति

बूलियन वलय और बीजगणित के लिए कम से कम चार अलग-अलग और असंगत अंकन प्रणालियां हैं:

क्रमविनिमेय बीजगणित में मानक संकेतन x और y के वलय योग के लिए x + y = (x ∧ ¬ y) ∨ (¬ x ∧ y) का उपयोग किया जाता है और उनके गुणनफल के लिए xy = x ∧ y का उपयोग किया जाता है।
गणितीय तर्क में, एक सामान्य संकेतन है कि मिलन के लिए x ∧ y का उपयोग किया जाए (वलय गुणनफल के समान) और जुड़ने के लिए x ∨ y का उपयोग किया जाए, जो x + y + xy द्वारा वलय संकेतन (ऊपर दिया गया है) के संदर्भ में दिया गया है।
समुच्चय सिद्धान्त और गणितीय तर्क में मिलने के लिए x · y का उपयोग करना और x ∨ y में सम्मिलित होने के लिए x + y का उपयोग करना भी सरल है।^[5] + का यह प्रयोग वलय सिद्धांत में प्रयोग से भिन्न है।
+ की अस्पष्टता से बचने के प्रयास में, गुणनफल के लिए xy और वलय योग के लिए x ⊕ y का उपयोग करना एक असामान्य परंपरा है।

ऐतिहासिक रूप से, बूलियन वलय शब्द का उपयोग संभवतः पहचान के बिना बूलियन वलय के अर्थ के लिए किया गया है, और बूलियन बीजगणित का उपयोग पहचान के साथ बूलियन वलय के अर्थ के लिए किया गया है। GF(2) पर वलय को एक बीजगणित के रूप में मानने के लिए पहचान का अस्तित्व आवश्यक है: अन्यथा बूलियन वलय में दो तत्वों के क्षेत्र का एक (यूनिटल) वलय समरूपता नहीं हो सकता है। (यह माप सिद्धांत में शब्द वलय और बीजगणित शब्दों के पुराने उपयोग के समान है।^{[lower-alpha 1]})

उदाहरण

बूलियन वलय का एक उदाहरण किसी भी समुच्चय X का घात समुच्चय है, जहां वलय में जोड़ सममित अंतर है, और गुणन अंतरा प्रतिच्छेदन (समुच्चय सिद्धांत) है। एक अन्य उदाहरण के रूप में, हम X के सभी परिमित समुच्चय या सहपरिमित उपसमुच्चय के समुच्चय पर भी विचार कर सकते हैं, फिर से सममित अंतर और प्रतिच्छेदन को संचालन के रूप में भी विचार कर सकते हैं। सामान्यतः बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन के प्रतिनिधित्व प्रमेय द्वारा इन संक्रिया के साथ समुच्चय का कोई भी क्षेत्र बूलियन वलय होता है। इसी तरह, प्रत्येक बूलियन बीजगणित एक बूलियन वलय बन जाता है। स्टोन का प्रतिनिधित्व प्रमेय प्रत्येक बूलियन वलय समुच्चय के एक क्षेत्र के लिए समरूपीय ( इन संक्रिया के साथ एक वलय के रूप में माना जाता है) है ।

बूलियन बीजगणित से संबंध

संयुग्मन, विभाजन और पूरक के बूलियन संचालन के लिए वेन आरेख

चूंकि बूलियन बीजगणित में संयुक्त संक्रिया ∨ को प्रायः योगात्मक रूप से लिखा जाता है, इसलिए इस संदर्भ में ⊕ द्वारा वलय जोड़ को निरूपित करना समझ में आता है, एक प्रतीक जिसे प्रायः अनन्य या निरूपित करने के लिए उपयोग किया जाता है।

एक बूलियन वलय R को देखते हुए, R में x और y के लिए हम परिभाषित कर सकते हैं

x ∧ y = xy,

x ∨ y = x ⊕ y ⊕ xy,

¬x = 1 ⊕ x।

ये संक्रिया तब बूलियन बीजगणित (संरचना) में संयुग्मन, जुड़ने और पूरक होने के सभी स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करते हैं। इस प्रकार प्रत्येक बूलियन वलय एक बूलियन बीजगणित बन जाता है। इसी तरह, प्रत्येक बूलियन बीजगणित एक बूलियन वलय बन जाता है:

xy = x ∧ y,

x ⊕ y = (x ∨ y) ∧ ¬(x ∧ y)।

यदि बूलियन वलय को बूलियन बीजगणित में इस तरह अनुवादित किया जाता है, और फिर बूलियन बीजगणित को वलय में अनुवादित किया जाता है, तो परिणाम मूल वलय होता है। समान परिणाम की शुरुआत बूलियन बीजगणित से होती है।

दो बूलियन वलय के बीच एक नक्शा एक वलय समरूपता है यदि और केवल यदि यह संबंधित बूलियन बीजगणित का एक समरूपता है। इसके अतिरिक्त, बूलियन वलय का एक उपसमुच्चय एक आदर्श वलय (प्राइम वलय आइडियल, मैक्सिमल वलय आइडियल) है यदि और केवल यदि यह बूलियन बीजगणित का आदेश आदर्श (प्राइम ऑर्डर आइडियल, मैक्सिमल ऑर्डर आइडियल) है। इसी तरह, प्रत्येक बूलियन बीजगणित एक बूलियन वलय बन जाता है। बूलियन वलय मोडुलो ए वलय आइडियल का भागफल वलय संबंधित बूलियन बीजगणित मोडुलो के कारक बीजगणित से संबंधित क्रम आदर्श से मिलता जुलता है।

बूलियन वलय के गुण

प्रत्येक बूलियन वलय R, R में सभी x के लिए x ⊕ x = 0 को संतुष्ट करता है, क्योंकि हम जानते हैं

x ⊕ x = (x ⊕ x)² = x² ⊕ x² ⊕ x² ⊕ x² = x ⊕ x ⊕ x ⊕ x

और चूंकि (R,⊕) एक एबेलियन समूह है, हम इस समीकरण के दोनों पक्षों से x ⊕ x घटा सकते हैं, जो x ⊕ x = 0 देता है। एक समान प्रमाण दिखाता है कि प्रत्येक बूलियन वलय क्रमविनिमेय है:

x ⊕ y = (x ⊕ y)² = x² ⊕ xy ⊕ yx ⊕ y² = x ⊕ xy ⊕ yx ⊕ y

और इससे xy ⊕ yx = 0 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ xy = yx (उपर्युक्त प्रथम गुण का उपयोग करके) है।

गुण x ⊕ x = 0 दर्शाता है कि कोई भी बूलियन वलय क्षेत्र (गणित) 'F₂' पर दो तत्वों के साथ, ठीक एक तरह से एक साहचर्य बीजगणित है।^{[citation needed]} विशेष रूप से, किसी भी परिमित बूलियन वलय में प्रमुखता के रूप में दो की शक्ति होती है। F₂ पर प्रत्येक एकात्मक साहचर्य बीजगणित नहीं एक बूलियन वलय है: उदाहरण के लिए बहुपद वलय F2 [X] पर विचार करें।

किसी भी बूलियन वलय R modulo किसी भी आदर्श I का भागफल वलय R/I फिर से एक बूलियन वलय है। इसी तरह, बूलियन वलय का कोई भी उपवलय एक बूलियन वलय है।

कोई भी स्थानीयकरण $RS^{-1}$ एक बूलियन वलय R का एक समुच्चय द्वारा $S\subseteq R$ एक बूलियन वलय है, क्योंकि स्थानीयकरण में प्रत्येक तत्व निष्क्रिय है।

भागफल का अधिकतम वलय $Q(R)$ बूलियन वलय R का (उटुमी और जोआचिम लैम्बेक के अर्थ में) एक बूलियन वलय है, क्योंकि प्रत्येक आंशिक अंतःरूपांतरण इडिम्पोटेंट है।^[6]

बूलियन वलय R में प्रत्येक प्रमुख आदर्श पी अधिकतम आदर्श है: भागफल वलय R/P एक अभिन्न डोमेन है और एक बूलियन वलय भी है, इसलिए यह क्षेत्र (गणित) 'F₂' के लिए समरूपी है। जो P की अधिकतमता को दर्शाता है। चूंकि अधिकतम आदर्श हमेशा प्रमुख होते हैं, प्रमुख आदर्श और अधिकतम आदर्श बूलियन वलय में मेल खाते हैं।

बूलियन वलय का प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न आदर्श आदर्श आदर्श होता है (वास्तव में, (x,y) = (x + y + xy))। इसके अतिरिक्त, जैसा कि सभी तत्व इम्पोटेंट हैं, इसी तरह, प्रत्येक बूलियन बीजगणित एक बूलियन वलय बन जाता है। बूलियन वलय क्रम विनिमय वॉन न्यूमैन नियमित वलय हैं और इसलिए बिल्कुल समतल हैं, जिसका अर्थ है कि उनके ऊपर प्रत्येक मॉड्यूल समतल मॉड्यूल है।

एकीकरण

बूलियन वलय में एकीकरण (तर्क) निर्णायकता (तर्क) है,^[7] अर्थात्, बूलियन वलय पर यादृच्छिक समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम उपस्थित हैं। सूक्ष्म रूप से उत्पन्न बीजगणित मुक्त बूलियन वलय में एकीकरण और मिलान दोनों एनपी-पूर्ण हैं, और दोनों ही बीजगणित बूलियन वलय में एनपी कठिन हैं जो परिमित रूप से प्रस्तुत बूलियन वलयों में हैं।^[8] (वास्तव में, बूलियन वलय में किसी भी एकीकरण समस्या f(X) = g(X) को मिलान समस्या f(X) + g(X) = 0 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, समस्याएं समतुल्य हैं।)

बूलियन वलय में एकीकरण एकात्मक है यदि सभी अनपेक्षित फलन प्रतीक शून्य और परिमित हैं अन्यथा (अर्थात यदि बूलियन वलय के हस्ताक्षर में नहीं होने वाले फलन प्रतीक सभी स्थिरांक हैं तो एक सबसे सामान्य यूनिफ़ायर उपस्थित है, और अन्यथा यूनिफ़ायर का न्यूनतम पूर्ण सेट उपस्थित है) परिमित है)।^[9]

यह भी देखें

वलय योग सामान्य रूप

संदर्भ

↑ Fraleigh (1976, p. 25,200)
↑ Herstein (1975, p. 130,268)
↑ McCoy (1968, p. 46)
↑ "Disjunction as sum operation in Boolean Ring".
↑ Koppelberg 1989, Definition 1.1, p. 7.
↑ B. Brainerd, J. Lambek (1959). "बूलियन रिंग के भागफल के रिंग पर". Canadian Mathematical Bulletin. 2: 25–29. doi:10.4153/CMB-1959-006-x. Corollary 2.
↑ Martin, U.; Nipkow, T. (1986). "Unification in Boolean Rings". In Jörg H. Siekmann (ed.). Proc. 8th CADE. LNCS. Vol. 230. Springer. pp. 506–513. doi:10.1007/3-540-16780-3_115. ISBN 978-3-540-16780-8.
↑ Kandri-Rody, Abdelilah; Kapur, Deepak; Narendran, Paliath (1985). "An ideal-theoretic approach to word problems and unification problems over finitely presented commutative algebras". पुनर्लेखन तकनीक और अनुप्रयोग. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 202. pp. 345–364. doi:10.1007/3-540-15976-2_17. ISBN 978-3-540-15976-6.
↑ A. Boudet; J.-P. Jouannaud; M. Schmidt-Schauß (1989). "बूलियन रिंग्स और एबेलियन ग्रुप्स का एकीकरण". Journal of Symbolic Computation. 8 (5): 449–477. doi:10.1016/s0747-7171(89)80054-9.

अग्रिम पठन

Atiyah, Michael Francis; Macdonald, I. G. (1969), Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-01984-1
Herstein, I. N. (1975), Topics In Algebra (2nd ed.), John Wiley & Sons
Koppelberg, Sabine (1989). Handbook of Boolean algebras, vol. 1. Amsterdam: North-Holland. ISBN 0-444-70261-X.
McCoy, Neal H. (1968), Introduction To Modern Algebra (Revised ed.), Allyn and Bacon, LCCN 68015225
Ryabukhin, Yu. M. (2001) [1994], "Boolean ring", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

बाहरी संबंध

John Armstrong, Boolean Rings

[6] When a Boolean ring has an identity, then a complement operation becomes definable on it, and a key characteristic of the modern definitions of both Boolean algebra and sigma-algebra is that they have complement operations.

[1] Fraleigh (1976, p. 25,200)

[2] Herstein (1975, p. 130,268)

[3] McCoy (1968, p. 46)

[4] "Disjunction as sum operation in Boolean Ring".

[FOOTNOTEKoppelberg1989Definition_1.1,_p._7-5] Koppelberg 1989, Definition 1.1, p. 7.

[7] B. Brainerd, J. Lambek (1959). "बूलियन रिंग के भागफल के रिंग पर". Canadian Mathematical Bulletin. 2: 25–29. doi:10.4153/CMB-1959-006-x. Corollary 2.

[8] Martin, U.; Nipkow, T. (1986). "Unification in Boolean Rings". In Jörg H. Siekmann (ed.). Proc. 8th CADE. LNCS. Vol. 230. Springer. pp. 506–513. doi:10.1007/3-540-16780-3_115. ISBN 978-3-540-16780-8.

[9] Kandri-Rody, Abdelilah; Kapur, Deepak; Narendran, Paliath (1985). "An ideal-theoretic approach to word problems and unification problems over finitely presented commutative algebras". पुनर्लेखन तकनीक और अनुप्रयोग. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 202. pp. 345–364. doi:10.1007/3-540-15976-2_17. ISBN 978-3-540-15976-6.

[10] A. Boudet; J.-P. Jouannaud; M. Schmidt-Schauß (1989). "बूलियन रिंग्स और एबेलियन ग्रुप्स का एकीकरण". Journal of Symbolic Computation. 8 (5): 449–477. doi:10.1016/s0747-7171(89)80054-9.

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-गणित में, एक बूलियन वलय R एक वलय (गणित) है जिसके लिए R में सभी x के लिए x2 = x R होता है, अर्थात एक वलय जिसमें केवल इम्पोटेंट तत्व होते हैं।<ref>{{harvtxt|Fraleigh|1976|p=25,200}}</ref><ref>{{harvtxt|Herstein|1975|p=130,268}}</ref><ref>{{harvtxt|McCoy|1968|p=46}}</ref> एक उदाहरण पूर्णांक मॉडुलो 2 का वलय है।
+गणित में, एक बूलियन वलय R एक वलय (गणित) है जिसके लिए R में सभी x के लिए x2 = x R होता है, अर्थात एक वलय है जिसमें केवल इम्पोटेंट तत्व होते हैं।<ref>{{harvtxt|Fraleigh|1976|p=25,200}}</ref><ref>{{harvtxt|Herstein|1975|p=130,268}}</ref><ref>{{harvtxt|McCoy|1968|p=46}}</ref> एक उदाहरण पूर्णांक मॉडुलो 2 का वलय है।
-प्रत्येक बूलियन वलय एक [[बूलियन बीजगणित (संरचना)]] को उत्पन्न करता है, जिसमें [[तार्किक संयोजन]] या मिलन (गणित) ∧ के अनुरूप वलय गुणन होता है, और विशिष्ट वियोजन या [[सममित अंतर]] के लिए वलय जोड़ (तार्किक संयोजन नहीं ∨,<ref>{{Cite web|url=https://math.stackexchange.com/q/1621618|title = Disjunction as sum operation in Boolean Ring}}</ref> जो एक [[मोटी हो जाओ]] का गठन करेगा)। इसके विपरीत, प्रत्येक बूलियन बीजगणित एक बूलियन वलय को उत्पन्न करता है। बूलियन वलय का नाम बूलियन बीजगणित के संस्थापक [[जॉर्ज बूले]] के नाम पर रखा गया है।
+प्रत्येक बूलियन वलय एक [[बूलियन बीजगणित (संरचना)]] को उत्पन्न करता है, जिसमें [[तार्किक संयोजन]] या मिलन (गणित) ∧ के अनुरूप वलय गुणन होता है, और विशिष्ट वियोजन या [[सममित अंतर]] के लिए वलय जोड़ (तार्किक संयोजन ∨ नहीं ,<ref>{{Cite web|url=https://math.stackexchange.com/q/1621618|title = Disjunction as sum operation in Boolean Ring}}</ref> जो [[एकअंशपरिष्कृत|अंशपरिष्कृत]] का गठन करेगा) होता है। इसके विपरीत, प्रत्येक बूलियन बीजगणित एक बूलियन वलय को उत्पन्न करता है। बूलियन वलय का नाम बूलियन बीजगणित के संस्थापक [[जॉर्ज बूले]] के नाम पर रखा गया है।
-== अंकन ==
+== अंकन पद्धति ==
 बूलियन वलय और बीजगणित के लिए कम से कम चार अलग-अलग और असंगत अंकन प्रणालियां हैं:
-*विनिमेय बीजगणित में मानक अंकन x + y = (x ∧ ¬ y) ∨ (¬ x ∧ y) का उपयोग x और y के वलय योग के लिए और उनके उत्पाद के लिए xy = x ∧ y का उपयोग करने के लिए किया जाता है।
+*क्रमविनिमेय बीजगणित में मानक संकेतन x और y के वलय योग के लिए  x + y = (x ∧ ¬ y) ∨ (¬ x ∧ y) का उपयोग किया जाता है और उनके गुणनफल के लिए xy = x ∧ y का उपयोग किया जाता है।
-*[[गणितीय तर्क]] में, एक सामान्य संकेतन x ∧ y का उपयोग मिलना है (वलय उत्पाद के समान) और जुड़ने के लिए x∨ y का उपयोग करना, वलय नोटेशन के संदर्भ में दिया गया है (बस ऊपर दिया गया है) x+y +xy द्वारा .
+*[[गणितीय तर्क]] में, एक सामान्य संकेतन है कि मिलन के लिए x ∧ y का उपयोग किया जाए (वलय गुणनफल के समान) और जुड़ने के लिए x ∨ y का उपयोग किया जाए, जो x + y + xy द्वारा वलय संकेतन (ऊपर दिया गया है) के संदर्भ में दिया गया है।
-*[[ समुच्चय सिद्धान्त ]] और लॉजिक में मिलने के लिए x · y का उपयोग करना और x ∨ y में शामिल होने के लिए x + y का उपयोग करना भी आम है।{{sfn|Koppelberg|1989|loc=Definition 1.1, p. 7}} + का यह प्रयोग वलय सिद्धांत में प्रयोग से भिन्न है।
+*[[ समुच्चय सिद्धान्त ]] और गणितीय तर्क में मिलने के लिए x · y का उपयोग करना और x ∨ y में सम्मिलित होने के लिए x + y का उपयोग करना भी सरल है।{{sfn|Koppelberg|1989|loc=Definition 1.1, p. 7}} + का यह प्रयोग वलय सिद्धांत में प्रयोग से भिन्न है।
-*+ की अस्पष्टता से बचने के प्रयास में, उत्पाद के लिए xy और वलय योग के लिए x ⊕ y का उपयोग करना एक दुर्लभ परंपरा है।
+*+ की अस्पष्टता से बचने के प्रयास में, गुणनफल के लिए xy और वलय योग के लिए x ⊕ y का उपयोग करना एक असामान्य परंपरा है।
-ऐतिहासिक रूप से, बूलियन वलय शब्द का उपयोग संभवतः पहचान के बिना बूलियन वलय के अर्थ के लिए किया गया है, और बूलियन बीजगणित का उपयोग पहचान के साथ बूलियन वलय के अर्थ के लिए किया गया है। [[GF(2)]] पर वलय को एक बीजगणित के रूप में मानने के लिए पहचान का अस्तित्व आवश्यक है: अन्यथा बूलियन वलय में दो तत्वों के क्षेत्र का एक (यूनिटल) वलय होमोमोर्फिज्म नहीं हो सकता है। (यह [[माप सिद्धांत]] में शब्द वलय और बीजगणित के पुराने उपयोग के समान है।{{efn|When a Boolean ring has an identity, then a complement operation becomes definable on it, and a key characteristic of the modern definitions of both Boolean algebra and [[sigma-algebra]] is that they have complement operations.}})
+ऐतिहासिक रूप से, बूलियन वलय शब्द का उपयोग संभवतः पहचान के बिना बूलियन वलय के अर्थ के लिए किया गया है, और बूलियन बीजगणित का उपयोग पहचान के साथ बूलियन वलय के अर्थ के लिए किया गया है। [[GF(2)]] पर वलय को एक बीजगणित के रूप में मानने के लिए पहचान का अस्तित्व आवश्यक है: अन्यथा बूलियन वलय में दो तत्वों के क्षेत्र का एक (यूनिटल) वलय समरूपता नहीं हो सकता है। (यह [[माप सिद्धांत]] में शब्द वलय और बीजगणित शब्दों के पुराने उपयोग के समान है।{{efn|When a Boolean ring has an identity, then a complement operation becomes definable on it, and a key characteristic of the modern definitions of both Boolean algebra and [[sigma-algebra]] is that they have complement operations.}})
 == उदाहरण ==
-बूलियन वलय का एक उदाहरण किसी भी सेट X का [[ सत्ता स्थापित ]] है, जहां वलय में जोड़ सममित अंतर है, और गुणन प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) है। एक अन्य उदाहरण के रूप में, हम X के सभी परिमित समुच्चय या सहपरिमित उपसमुच्चय के समुच्चय पर भी विचार कर सकते हैं, फिर से सममित अंतर और प्रतिच्छेदन को संचालन के रूप में। आम तौर पर इन परिचालनों के साथ सेट का कोई भी क्षेत्र बूलियन वलय होता है। बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन के प्रतिनिधित्व प्रमेय द्वारा | स्टोन का प्रतिनिधित्व प्रमेय प्रत्येक बूलियन वलय सेट के एक क्षेत्र के लिए आइसोमॉर्फिक है (इन ऑपरेशनों के साथ एक वलय के रूप में माना जाता है)।
+बूलियन वलय का एक उदाहरण किसी भी समुच्चय X का[[ सत्ता स्थापित | घात समुच्चय]] है, जहां वलय में जोड़ सममित अंतर है, और गुणन अंतरा प्रतिच्छेदन (समुच्चय सिद्धांत) है। एक अन्य उदाहरण के रूप में, हम X के सभी परिमित समुच्चय या सहपरिमित उपसमुच्चय के समुच्चय पर भी विचार कर सकते हैं, फिर से सममित अंतर और प्रतिच्छेदन को संचालन के रूप में भी विचार कर सकते हैं। सामान्यतः बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन के प्रतिनिधित्व प्रमेय द्वारा इन संक्रिया के साथ समुच्चय का कोई भी क्षेत्र बूलियन वलय होता है। इसी तरह, प्रत्येक बूलियन बीजगणित एक बूलियन वलय बन जाता है। स्टोन का प्रतिनिधित्व प्रमेय प्रत्येक बूलियन वलय समुच्चय के एक क्षेत्र के लिए समरूपीय ( इन संक्रिया के साथ एक वलय के रूप में माना जाता है) है ।
 == बूलियन बीजगणित से संबंध ==
-[[File:Vennandornot.svg|center|500px|thumb|संयुग्मन, वियोग और पूरक के बूलियन संचालन के लिए [[वेन आरेख]]]]चूंकि बूलियन बीजगणित में ज्वाइन ऑपरेशन ∨ को अक्सर योगात्मक रूप से लिखा जाता है, इसलिए इस संदर्भ में ⊕ द्वारा वलय जोड़ को निरूपित करना समझ में आता है, एक प्रतीक जिसे अक्सर अनन्य या निरूपित करने के लिए उपयोग किया जाता है।
+[[File:Vennandornot.svg|center|500px|thumb|संयुग्मन, विभाजन और पूरक के बूलियन संचालन के लिए [[वेन आरेख]]]]चूंकि बूलियन बीजगणित में संयुक्त संक्रिया ∨ को प्रायः योगात्मक रूप से लिखा जाता है, इसलिए इस संदर्भ में ⊕ द्वारा वलय जोड़ को निरूपित करना समझ में आता है, एक प्रतीक जिसे प्रायः अनन्य या निरूपित करने के लिए उपयोग किया जाता है।
 एक बूलियन वलय R को देखते हुए, R में x और y के लिए हम परिभाषित कर सकते हैं
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 :¬x = 1 ⊕ x।
-ये ऑपरेशन तब बूलियन बीजगणित (संरचना) में मिलने, जुड़ने और पूरक होने के सभी स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करते हैं। इस प्रकार प्रत्येक बूलियन वलय एक बूलियन बीजगणित बन जाता है। इसी तरह, प्रत्येक बूलियन बीजगणित एक बूलियन वलय बन जाता है:
+ये संक्रिया तब बूलियन बीजगणित (संरचना) में संयुग्मन, जुड़ने और पूरक होने के सभी स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करते हैं। इस प्रकार प्रत्येक बूलियन वलय एक बूलियन बीजगणित बन जाता है। इसी तरह, प्रत्येक बूलियन बीजगणित एक बूलियन वलय बन जाता है:
 :xy = x ∧ y,
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 यदि बूलियन वलय को बूलियन बीजगणित में इस तरह अनुवादित किया जाता है, और फिर बूलियन बीजगणित को वलय में अनुवादित किया जाता है, तो परिणाम मूल वलय होता है। समान परिणाम की शुरुआत बूलियन बीजगणित से होती है।
-दो बूलियन रिंगों के बीच एक नक्शा एक [[रिंग समरूपता|वलय समरूपता]] है यदि और केवल यदि यह संबंधित बूलियन बीजगणित का एक समरूपता है। इसके अलावा, बूलियन वलय का एक सबसेट एक [[ अंगूठी आदर्श | वलय आदर्श]] (प्राइम वलय आइडियल, मैक्सिमल वलय आइडियल) है [[अगर और केवल अगर]] यह बूलियन बीजगणित का [[ आदेश आदर्श ]] (प्राइम ऑर्डर आइडियल, मैक्सिमल ऑर्डर आइडियल) है। बूलियन वलय मोडुलो ए वलय आइडियल का भागफल वलय संबंधित बूलियन बीजगणित मोडुलो के कारक बीजगणित से संबंधित क्रम आदर्श से मेल खाता है।
+दो बूलियन वलय के बीच एक नक्शा एक [[रिंग समरूपता|वलय समरूपता]] है यदि और केवल यदि यह संबंधित बूलियन बीजगणित का एक समरूपता है। इसके अतिरिक्त, बूलियन वलय का एक उपसमुच्चय एक [[ अंगूठी आदर्श |आदर्श वलय]] (प्राइम वलय आइडियल, मैक्सिमल वलय आइडियल) है [[अगर और केवल अगर|यदि और केवल यदि]] यह बूलियन बीजगणित का [[ आदेश आदर्श ]] (प्राइम ऑर्डर आइडियल, मैक्सिमल ऑर्डर आइडियल) है। इसी तरह, प्रत्येक बूलियन बीजगणित एक बूलियन वलय बन जाता है। बूलियन वलय मोडुलो ए वलय आइडियल का भागफल वलय संबंधित बूलियन बीजगणित मोडुलो के कारक बीजगणित से संबंधित क्रम आदर्श से मिलता जुलता  है।
 == बूलियन वलय के गुण ==
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 प्रत्येक बूलियन वलय R, R में सभी x के लिए x ⊕ x = 0 को संतुष्ट करता है, क्योंकि हम जानते हैं
-:x ⊕ x = (x ⊕ x)<sup>2</सुप> = एक्स<sup>2</sup> ⊕ x<sup>2</sup> ⊕ x<sup>2</sup> ⊕ x<sup>2</sup> = x ⊕ x ⊕ x ⊕ x
+:''x'' ⊕ ''x'' = (''x'' ⊕ ''x'')<sup>2</sup> = ''x''<sup>2</sup> ⊕ ''x''<sup>2</sup> ⊕ ''x''<sup>2</sup> ⊕ ''x''<sup>2</sup> = ''x'' ⊕ ''x'' ⊕ ''x'' ⊕ ''x''
-और चूंकि (R,⊕) एक एबेलियन समूह है, हम इस समीकरण के दोनों पक्षों से x ⊕ x घटा सकते हैं, जो x ⊕ x = 0 देता है। एक समान प्रमाण दिखाता है कि प्रत्येक बूलियन वलय क्रम[[विनिमेय]] है:
+और चूंकि (R,⊕) एक एबेलियन समूह है, हम इस समीकरण के दोनों पक्षों से x ⊕ x घटा सकते हैं, जो x ⊕ x = 0 देता है। एक समान प्रमाण दिखाता है कि प्रत्येक बूलियन वलय क्रमविनिमेय है:
-:x ⊕ y = (x ⊕ y)<sup>2</सुप> = एक्स<sup>2</sup> ⊕ xy ⊕ yx ⊕ y<sup>2</sup> = x ⊕ xy ⊕ yx ⊕ y
+:''x'' ⊕ ''y'' = (''x'' ⊕ ''y'')<sup>2</sup> = ''x''<sup>2</sup> ⊕ ''xy'' ⊕ ''yx'' ⊕ ''y''<sup>2</sup> = ''x'' ⊕ ''xy'' ⊕ ''yx'' ⊕ ''y''
-और इससे xy ⊕ yx = 0 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है xy = yx (उपर्युक्त प्रथम गुण का उपयोग करके)।
+और इससे xy ⊕ yx = 0 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ xy = yx (उपर्युक्त प्रथम गुण का उपयोग करके) है।
-गुण x ⊕ x = 0 दर्शाता है कि कोई भी बूलियन वलय [[क्षेत्र (गणित)]] 'F' पर एक [[साहचर्य बीजगणित]] है।<sub>2</sub> दो तत्वों के साथ, ठीक एक तरह से।{{citation needed|date=March 2023}} विशेष रूप से, किसी भी परिमित बूलियन वलय में [[प्रमुखता]] के रूप में [[दो की शक्ति]] होती है। F पर प्रत्येक एकात्मक साहचर्य बीजगणित नहीं<sub>2</sub> एक बूलियन वलय है: उदाहरण के लिए बहुपद वलय F पर विचार करें<sub>2</sub>[एक्स]।
+गुण x ⊕ x = 0 दर्शाता है कि कोई भी बूलियन वलय [[क्षेत्र (गणित)]] 'F<sub>2</sub>' पर दो तत्वों के साथ, ठीक एक तरह से एक [[साहचर्य बीजगणित]] है। {{citation needed|date=March 2023}} विशेष रूप से, किसी भी परिमित बूलियन वलय में [[प्रमुखता]] के रूप में [[दो की शक्ति]] होती है। F<sub>2</sub> पर प्रत्येक एकात्मक साहचर्य बीजगणित नहीं एक बूलियन वलय है: उदाहरण के लिए बहुपद वलय F2 [X] पर विचार करें।
-किसी भी बूलियन वलय R modulo किसी भी आदर्श I का भागफल वलय R/I फिर से एक बूलियन वलय है। इसी तरह, बूलियन वलय का कोई भी [[सबरिंग]] एक बूलियन वलय है।
+किसी भी बूलियन वलय R modulo किसी भी आदर्श I का भागफल वलय R/I फिर से एक बूलियन वलय है। इसी तरह, बूलियन वलय का कोई भी [[सबरिंग|उपवलय]] एक बूलियन वलय है।
-कोई भी स्थानीयकरण_ऑफ_ए_रिंग <math>RS^{-1}</math> एक बूलियन वलय R का एक सेट द्वारा <math>S\subseteq R</math> एक बूलियन वलय है, क्योंकि स्थानीयकरण में प्रत्येक तत्व निष्क्रिय है।
+कोई भी स्थानीयकरण <math>RS^{-1}</math> एक बूलियन वलय R का एक समुच्चय द्वारा <math>S\subseteq R</math> एक बूलियन वलय है, क्योंकि स्थानीयकरण में प्रत्येक तत्व निष्क्रिय है।
-भागफल का अधिकतम वलय <math>Q(R)</math> बूलियन वलय R का (उटुमी और [[जोआचिम लैम्बेक]] के अर्थ में) एक बूलियन वलय है, क्योंकि प्रत्येक आंशिक एंडोमोर्फिज्म इडिम्पोटेंट है।<ref>{{cite journal|last1=B. Brainerd, J. Lambek|title=बूलियन रिंग के भागफल के रिंग पर|journal=[[Canadian Mathematical Bulletin]] |date=1959|volume=2|page=25–29|doi=10.4153/CMB-1959-006-x|doi-access=free}} Corollary 2.</ref>
+भागफल का अधिकतम वलय <math>Q(R)</math> बूलियन वलय R का (उटुमी और [[जोआचिम लैम्बेक]] के अर्थ में) एक बूलियन वलय है, क्योंकि प्रत्येक आंशिक अंतःरूपांतरण इडिम्पोटेंट है।<ref>{{cite journal|last1=B. Brainerd, J. Lambek|title=बूलियन रिंग के भागफल के रिंग पर|journal=[[Canadian Mathematical Bulletin]] |date=1959|volume=2|page=25–29|doi=10.4153/CMB-1959-006-x|doi-access=free}} Corollary 2.</ref>
-बूलियन वलय R में प्रत्येक प्रमुख आदर्श पी [[अधिकतम आदर्श]] है: भागफल वलय आर/पी एक [[अभिन्न डोमेन]] है और एक बूलियन वलय भी है, इसलिए यह क्षेत्र (गणित) 'एफ' के लिए आइसोमोर्फिक है।<sub>2</sub>, जो पी की अधिकतमता को दर्शाता है। चूंकि अधिकतम आदर्श हमेशा प्रमुख होते हैं, [[प्रमुख आदर्श]] और अधिकतम आदर्श बूलियन रिंगों में मेल खाते हैं।
-बूलियन वलय का प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न आदर्श आदर्श आदर्श होता है (वास्तव में, (x,y) = (x + y + xy))। इसके अलावा, जैसा कि सभी तत्व इम्पोटेंट हैं, बूलियन वलय कम्यूटिव [[वॉन न्यूमैन नियमित रिंग|वॉन न्यूमैन नियमित]] वलय हैं और इसलिए बिल्कुल सपाट हैं, जिसका अर्थ है कि उनके ऊपर प्रत्येक मॉड्यूल [[फ्लैट मॉड्यूल]] है।
+बूलियन वलय R में प्रत्येक प्रमुख आदर्श पी [[अधिकतम आदर्श]] है: भागफल वलय ''R''/''P'' एक [[अभिन्न डोमेन]] है और एक बूलियन वलय भी है, इसलिए यह क्षेत्र (गणित) ''''F'''<sub>2</sub>' के लिए समरूपी है। जो ''P'' की अधिकतमता को दर्शाता है। चूंकि अधिकतम आदर्श हमेशा प्रमुख होते हैं, [[प्रमुख आदर्श]] और अधिकतम आदर्श बूलियन वलय में मेल खाते हैं।
+बूलियन वलय का प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न आदर्श आदर्श आदर्श होता है (वास्तव में, (x,y) = (x + y + xy))। इसके अतिरिक्त, जैसा कि सभी तत्व इम्पोटेंट हैं, इसी तरह, प्रत्येक बूलियन बीजगणित एक बूलियन वलय बन जाता है। बूलियन वलय क्रम विनिमय [[वॉन न्यूमैन नियमित रिंग|वॉन न्यूमैन नियमित]] वलय हैं और इसलिए बिल्कुल समतल हैं, जिसका अर्थ है कि उनके ऊपर प्रत्येक मॉड्यूल समतल [[फ्लैट मॉड्यूल|मॉड्यूल]] है।
 == एकीकरण ==
-बूलियन वलय में [[एकीकरण (तर्क)]] [[निर्णायकता (तर्क)]] है,<ref>{{cite book|author1=Martin, U. |author2=Nipkow, T. | chapter=Unification in Boolean Rings| title=Proc. 8th CADE| year=1986| volume=230| pages=506–513| publisher=Springer| editor=Jörg H. Siekmann| series=LNCS|doi=10.1007/3-540-16780-3_115 |isbn=978-3-540-16780-8 }}</ref> अर्थात्, बूलियन रिंगों पर मनमाने समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम मौजूद हैं। सूक्ष्म रूप से उत्पन्न बीजगणित मुक्त बूलियन रिंगों में एकीकरण और मिलान दोनों एनपी-पूर्ण हैं, और दोनों ही बीजगणित बूलियन रिंगों में [[ एनपी कठिन ]] हैं।<ref>{{Cite book |doi = 10.1007/3-540-15976-2_17|chapter = An ideal-theoretic approach to word problems and unification problems over finitely presented commutative algebras|title = पुनर्लेखन तकनीक और अनुप्रयोग|volume = 202|pages = 345–364|series = Lecture Notes in Computer Science|year = 1985|last1 = Kandri-Rody|first1 = Abdelilah|last2 = Kapur|first2 = Deepak|last3 = Narendran|first3 = Paliath|isbn = 978-3-540-15976-6}}</ref> (वास्तव में, बूलियन वलय में किसी भी एकीकरण समस्या f(X) = g(X) को मिलान समस्या f(X) + g(X) = 0 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, समस्याएं समतुल्य हैं।)
+बूलियन वलय में [[एकीकरण (तर्क)]] [[निर्णायकता (तर्क)]] है,<ref>{{cite book|author1=Martin, U. |author2=Nipkow, T. | chapter=Unification in Boolean Rings| title=Proc. 8th CADE| year=1986| volume=230| pages=506–513| publisher=Springer| editor=Jörg H. Siekmann| series=LNCS|doi=10.1007/3-540-16780-3_115 |isbn=978-3-540-16780-8 }}</ref> अर्थात्, बूलियन वलय पर यादृच्छिक समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम उपस्थित हैं। सूक्ष्म रूप से उत्पन्न बीजगणित मुक्त बूलियन वलय में एकीकरण और मिलान दोनों एनपी-पूर्ण हैं, और दोनों ही बीजगणित बूलियन वलय में [[ एनपी कठिन ]]हैं जो परिमित रूप से प्रस्तुत बूलियन वलयों में हैं।<ref>{{Cite book |doi = 10.1007/3-540-15976-2_17|chapter = An ideal-theoretic approach to word problems and unification problems over finitely presented commutative algebras|title = पुनर्लेखन तकनीक और अनुप्रयोग|volume = 202|pages = 345–364|series = Lecture Notes in Computer Science|year = 1985|last1 = Kandri-Rody|first1 = Abdelilah|last2 = Kapur|first2 = Deepak|last3 = Narendran|first3 = Paliath|isbn = 978-3-540-15976-6}}</ref> (वास्तव में, बूलियन वलय में किसी भी एकीकरण समस्या f(X) = g(X) को मिलान समस्या f(X) + g(X) = 0 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, समस्याएं समतुल्य हैं।)
-बूलियन वलय में एकीकरण एकात्मक है यदि सभी अनपेक्षित फ़ंक्शन प्रतीक शून्य और परिमित हैं अन्यथा (अर्थात यदि बूलियन वलय के हस्ताक्षर में नहीं होने वाले फ़ंक्शन प्रतीक सभी स्थिरांक हैं तो एक सबसे सामान्य यूनिफ़ायर मौजूद है, और अन्यथा एकीकरण (कंप्यूटर विज्ञान) # एकीकरण समस्या, समाधान सेट परिमित है)।<ref>{{cite journal| author=A. Boudet| author2=J.-P. Jouannaud| author2-link=J.-P. Jouannaud| author3=M. Schmidt-Schauß| title=बूलियन रिंग्स और एबेलियन ग्रुप्स का एकीकरण| journal=[[Journal of Symbolic Computation]] | year=1989| volume=8| issue=5| pages=449–477 | doi=10.1016/s0747-7171(89)80054-9| doi-access=free}}</ref>
+बूलियन वलय में एकीकरण एकात्मक है यदि सभी अनपेक्षित फलन प्रतीक शून्य और परिमित हैं अन्यथा (अर्थात यदि बूलियन वलय के हस्ताक्षर में नहीं होने वाले फलन प्रतीक सभी स्थिरांक हैं तो एक सबसे सामान्य यूनिफ़ायर उपस्थित है, और अन्यथा यूनिफ़ायर का न्यूनतम पूर्ण सेट उपस्थित है) परिमित है)।<ref>{{cite journal| author=A. Boudet| author2=J.-P. Jouannaud| author2-link=J.-P. Jouannaud| author3=M. Schmidt-Schauß| title=बूलियन रिंग्स और एबेलियन ग्रुप्स का एकीकरण| journal=[[Journal of Symbolic Computation]] | year=1989| volume=8| issue=5| pages=449–477 | doi=10.1016/s0747-7171(89)80054-9| doi-access=free}}</ref>

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