लेवी ग्राफ: Difference between revisions

लेवी ग्राफ
लेवी ग्राफ
	पप्पस ग्राफ, पप्पस विन्यास से बने 18 शीर्षों के साथ एक लेवी ग्राफ। एकल अक्षरों से लेबल किए गए शीर्ष विन्यास में बिंदुओं के अनुरूप होते हैं; तीन अक्षरों से लेबल किए गए शीर्ष तीन बिंदुओं से होकर जाने वाली रेखाओं के अनुरूप होते हैं।
Girth	≥ 6
	Table of graphs and parameters

Revision as of 21:02, 6 May 2023

मिश्रित गणित में, लेवी ग्राफ या आपतन ग्राफ एक द्विपक्षीय ग्राफ है जो आपतन संरचना से जुड़ा होता है।^[1]^[2] आपतन ज्यामिति या प्रक्षेपी विन्यास में बिंदुओं और रेखाओं के संग्रह से, हम कोणबिंदु प्रति बिंदु, कोणबिंदु प्रति पंक्ति और बिंदु और रेखा के बीच प्रत्येक आपतन के लिए एक किनारे के साथ एक ग्राफ बनाते हैं। उनका नाम फ्रेडरिक विल्हेम लेवी के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1942 में उनके बारे में लिखा था।^[1]^[3]

बिंदुओं और रेखाओं की एक प्रणाली के लेवी ग्राफ में सामान्यतः कम से कम छः परिधि (ग्राफ सिद्धांत) होते हैं: कोई भी 4-चक्र ग्राफ समान दो बिंदुओं के माध्यम से दो पंक्तियों के अनुरूप होगा। इसके विपरीत किसी भी द्विपक्षीय ग्राफ को कम से कम छह परिधि के साथ अमूर्त आपतन संरचना के लेवी ग्राफ के रूप में देखा जा सकता है।^[1] कॉन्फ़िगरेशन के लेवी ग्राफ़ बिरेगुलर ग्राफ हैं, और कम से कम छह परिधि वाले प्रत्येक बायरेगुलर ग्राफ़ को एक अमूर्त कॉन्फ़िगरेशन के लेवी ग्राफ़ के रूप में देखा जा सकता है।^[4]

लेवी ग्राफ को अन्य प्रकार की आपतन संरचना के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है, जैसे कि यूक्लिडियन समष्टि में बिंदुओं और समतलो के बीच की आपतनएं है। प्रत्येक लेवी ग्राफ के लिए, समतुल्य हाइपरग्राफ है, और इसके विपरीत है।

उदाहरण

Heawood graph and Fano plane
Vertex 3 is part of the circular edge (3, 5, 6), the diagonal edge (3, 7, 4), and the side edge (1, 3, 2).

डेसरग्यूज़ ग्राफ डेसरग्यूज़ विन्यास का लेवी ग्राफ है, जो 10 बिंदुओं और 10 लाइनों से बना है। प्रत्येक लाइन पर 3 बिंदु हैं, और प्रत्येक बिंदु से गुजरने वाली 3 रेखाएं हैं। डेसरग्यूज़ ग्राफ को सामान्यीकृत पीटरसन ग्राफ G(10,3) या पैरामीटर 5,2 के साथ केनेसर ग्राफ के रूप में भी देखा जा सकता है। यह 20 कोने के साथ 3-समभुजकोणीय है।
हीवुड ग्राफ फानो विमान का लेवी ग्राफ है। इसे (3,6)-पिंजरे (ग्राफ़ सिद्धांत) के रूप में भी जाना जाता है, और यह 14 शीर्षों के साथ 3-नियमित है।
मोबियस-कैंटर ग्राफ मोबियस-कैंटर कॉन्फ़िगरेशन का लेवी ग्राफ है, जो 8 बिंदुओं और 8 रेखाओं की एक प्रणाली है जिसे यूक्लिडियन विमान में सीधी रेखाओं द्वारा महसूस नहीं किया जा सकता है। यह 16 शीर्षों के साथ 3-नियमित है।
पप्पू ग्राफ, पप्पस विन्यास का लेवी ग्राफ है, जो 9 बिंदुओं और 9 रेखाओं से बना है। Desargues कॉन्फ़िगरेशन की तरह प्रत्येक पंक्ति पर 3 बिंदु हैं और प्रत्येक बिंदु से गुजरने वाली 3 पंक्तियाँ हैं। यह 18 शीर्षों के साथ 3-नियमित है।
ग्रे ग्राफ पप्पू विन्यास का लेवी ग्राफ है जिसे महसूस किया जा सकता है $\mathbb {R} ^{3}$ के तौर पर $3\times 3\times 3$ 27 बिंदुओं का ग्रिड और उनके माध्यम से 27 ओर्थोगोनल रेखाएँ।
टुट्टे आठ-पिंजरा क्रेमोना-रिचमंड कॉन्फ़िगरेशन का लेवी ग्राफ है। इसे (3,8)-पिंजरे के रूप में भी जाना जाता है, और यह 30 कोने के साथ 3-नियमित है।
चार आयामी हाइपरक्यूब ग्राफ $Q_{4}$ दो आपस में आपतित टेट्राहेड्रा के बिंदुओं और तलों द्वारा गठित मोबियस विन्यास का लेवी ग्राफ है।
112 शीर्षों पर लजुब्जाना ग्राफ लजुब्जाना विन्यास का लेवी ग्राफ है।^[5]

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Grünbaum, Branko (2006), "Configurations of points and lines", The Coxeter Legacy, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. 179–225, MR 2209028. See in particular p. 181.
↑ Polster, Burkard (1998), A Geometrical Picture Book, Universitext, New York: Springer-Verlag, p. 5, doi:10.1007/978-1-4419-8526-2, ISBN 0-387-98437-2, MR 1640615.
↑ Levi, F. W. (1942), Finite Geometrical Systems, Calcutta: University of Calcutta, MR 0006834.
↑ Gropp, Harald (2007), "VI.7 Configurations", in Colbourn, Charles J.; Dinitz, Jeffrey H. (eds.), Handbook of combinatorial designs, Discrete Mathematics and its Applications (Boca Raton) (Second ed.), Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, Florida, pp. 353–355.
↑ Conder, Marston; Malnič, Aleksander; Marušič, Dragan; Pisanski, Tomaž; Potočnik, Primož (2002), The Ljubljana Graph (PDF), IMFM Preprint 40-845, University of Ljubljana Department of Mathematics.

बाहरी संबंध

Weisstein, Eric W. "Levi Graph". MathWorld.

[bg-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Grünbaum, Branko (2006), "Configurations of points and lines", The Coxeter Legacy, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. 179–225, MR 2209028. See in particular p. 181.

[2] Polster, Burkard (1998), A Geometrical Picture Book, Universitext, New York: Springer-Verlag, p. 5, doi:10.1007/978-1-4419-8526-2, ISBN 0-387-98437-2, MR 1640615.

[3] Levi, F. W. (1942), Finite Geometrical Systems, Calcutta: University of Calcutta, MR 0006834.

[4] Gropp, Harald (2007), "VI.7 Configurations", in Colbourn, Charles J.; Dinitz, Jeffrey H. (eds.), Handbook of combinatorial designs, Discrete Mathematics and its Applications (Boca Raton) (Second ed.), Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, Florida, pp. 353–355.

[LUB-5] Conder, Marston; Malnič, Aleksander; Marušič, Dragan; Pisanski, Tomaž; Potočnik, Primož (2002), The Ljubljana Graph (PDF), IMFM Preprint 40-845, University of Ljubljana Department of Mathematics.

[1]

[2]

[3]

[4]

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Infobox graph
-  | name     = Levi graph
+  | name     = लेवी ग्राफ
   | image    = [[File:Levi graph of Pappus Configuration.png|frameless]]
-  | image_caption = The [[Pappus graph]], a Levi graph with 18 vertices formed from the [[Pappus configuration]]. Vertices labeled with single letters correspond to points in the configuration; vertices labeled with three letters correspond to lines through three points.
+  | image_caption = [[पप्पस ग्राफ]], [[पप्पस विन्यास]] से बने 18 शीर्षों के साथ एक लेवी ग्राफ। एकल अक्षरों से लेबल किए गए शीर्ष विन्यास में बिंदुओं के अनुरूप होते हैं; तीन अक्षरों से लेबल किए गए शीर्ष तीन बिंदुओं से होकर जाने वाली रेखाओं के अनुरूप होते हैं।
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 }}
-[[साहचर्य]] में, एक लेवी ग्राफ या घटना ग्राफ एक द्विदलीय ग्राफ है जो एक [[घटना संरचना]] से जुड़ा होता है।<ref name="bg">{{citation
+[[साहचर्य|मिश्रित गणित]] में, लेवी ग्राफ या आपतन ग्राफ एक द्विपक्षीय ग्राफ है जो [[घटना संरचना|आपतन संरचना]] से जुड़ा होता है।<ref name="bg">{{citation
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-बिंदुओं और रेखाओं की एक प्रणाली के लेवी ग्राफ में आमतौर पर कम से कम छः गर्थ (ग्राफ सिद्धांत) होते हैं: कोई भी 4-चक्र ग्राफ समान दो बिंदुओं के माध्यम से दो पंक्तियों के अनुरूप होगा। इसके विपरीत किसी भी द्विदलीय ग्राफ को कम से कम छह परिधि के साथ एक अमूर्त घटना संरचना के लेवी ग्राफ के रूप में देखा जा सकता है।<ref name="bg"/>कॉन्फ़िगरेशन के लेवी ग्राफ़ [[बिरेगुलर ग्राफ]] हैं, और कम से कम छह परिधि वाले प्रत्येक बायरेगुलर ग्राफ़ को एक अमूर्त कॉन्फ़िगरेशन के लेवी ग्राफ़ के रूप में देखा जा सकता है।<ref>{{citation
+बिंदुओं और रेखाओं की एक प्रणाली के लेवी ग्राफ में सामान्यतः कम से कम छः परिधि (ग्राफ सिद्धांत) होते हैं: कोई भी 4-चक्र ग्राफ समान दो बिंदुओं के माध्यम से दो पंक्तियों के अनुरूप होगा। इसके विपरीत किसी भी द्विपक्षीय ग्राफ को कम से कम छह परिधि के साथ अमूर्त आपतन संरचना के लेवी ग्राफ के रूप में देखा जा सकता है।<ref name="bg" /> कॉन्फ़िगरेशन के लेवी ग्राफ़ [[बिरेगुलर ग्राफ]] हैं, और कम से कम छह परिधि वाले प्रत्येक बायरेगुलर ग्राफ़ को एक अमूर्त कॉन्फ़िगरेशन के लेवी ग्राफ़ के रूप में देखा जा सकता है।<ref>{{citation
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-लेवी ग्राफ को अन्य प्रकार की घटना संरचना के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है, जैसे कि [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में बिंदुओं और विमानों के बीच की घटनाएं। प्रत्येक लेवी ग्राफ के लिए एक समान [[ hypergraph ]] होता है, और इसके विपरीत।
+लेवी ग्राफ को अन्य प्रकार की आपतन संरचना के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है, जैसे कि [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन समष्टि]] में बिंदुओं और समतलो के बीच की आपतनएं है। प्रत्येक लेवी ग्राफ के लिए, समतुल्य [[ hypergraph |हाइपरग्राफ]] है, और इसके विपरीत है।
 == उदाहरण ==
@@ Line 60: / Line 62: @@
   | footer = Heawood graph and Fano plane<br><small>Vertex <span style="background-color: #eee; border: 1px solid #ddd;">3</span> is part of the circular edge <span style="background-color: #eee; border: 1px solid #ddd; white-space: nowrap;">(3, 5, 6)</span>, the diagonal edge <span style="background-color: #eee; border: 1px solid #ddd; white-space: nowrap;">(3, 7, 4)</span>, and the side edge <span style="background-color: #eee; border: 1px solid #ddd; white-space: nowrap;">(1, 3, 2)</span>.</small>
 }}
-* [[Desargues ग्राफ]]़ Desargues कॉन्फ़िगरेशन का लेवी ग्राफ़ है, जो 10 बिंदुओं और 10 रेखाओं से बना है। प्रत्येक रेखा पर 3 बिंदु होते हैं, और प्रत्येक बिंदु से होकर 3 रेखाएँ गुजरती हैं। Desargues ग्राफ को [[सामान्यीकृत पीटरसन ग्राफ]] G(10,3) या पैरामीटर 5,2 के साथ Kneser ग्राफ के रूप में भी देखा जा सकता है। यह 20 शीर्षों के साथ 3-नियमित है।
+* [[Desargues ग्राफ|डेसरग्यूज़ ग्राफ]] डेसरग्यूज़ विन्यास का लेवी ग्राफ है, जो 10 बिंदुओं और 10 लाइनों से बना है। प्रत्येक लाइन पर 3 बिंदु हैं, और प्रत्येक बिंदु से गुजरने वाली 3 रेखाएं हैं। डेसरग्यूज़ ग्राफ को [[सामान्यीकृत पीटरसन ग्राफ]] G(10,3) या पैरामीटर 5,2 के साथ केनेसर ग्राफ के रूप में भी देखा जा सकता है। यह 20 कोने के साथ 3-समभुजकोणीय है।
 * [[हीवुड ग्राफ]] [[फानो विमान]] का लेवी ग्राफ है। इसे (3,6)-पिंजरे (ग्राफ़ सिद्धांत) के रूप में भी जाना जाता है, और यह 14 शीर्षों के साथ 3-नियमित है।
 * मोबियस-कैंटर ग्राफ मोबियस-कैंटर कॉन्फ़िगरेशन का लेवी ग्राफ है, जो 8 बिंदुओं और 8 रेखाओं की एक प्रणाली है जिसे यूक्लिडियन विमान में सीधी रेखाओं द्वारा महसूस नहीं किया जा सकता है। यह 16 शीर्षों के साथ 3-नियमित है।

v t e Incidence structures
Representation	Incidence matrix Incidence graph
Fields	Combinatorics Block design Steiner system Geometry Incidence Projective plane Graph theory Hypergraph Statistics Blocking
Configurations	Complete quadrangle Fano plane Möbius–Kantor configuration Pappus configuration Hesse configuration Desargues configuration Reye configuration Schläfli double six Cremona–Richmond configuration Kummer configuration Grünbaum–Rigby configuration Klein configuration Dual
Theorems	Sylvester–Gallai theorem De Bruijn–Erdős theorem Szemerédi–Trotter theorem Beck's theorem Bruck–Ryser–Chowla theorem
Applications	Design of experiments Kirkman's schoolgirl problem

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