समचतुर्भुज: Difference between revisions

Revision as of 13:22, 27 April 2023

समचतुर्भुज

प्रकार	प्रिज्म
रूप	6 समचतुर्भुज
किनारा	12
कोने	8
समरूपता समूह	C_i , [2⁺,2⁺], (×), क्रम 2
गुण	उत्तल, समबाहु, क्षेत्र, समांतरफलक

ज्यामिति में, समचतुर्भुज (जिसे समचतुर्भुज षट्भुज भी कहा जाता है ^[1] या, गलत विधि से, समचतुर्भुज) छह रूपों वाली एक त्रि-आयामी आकृति है जो समचतुर्भुज हैं। यह समानांतर चतुर्भुज का विशेष स्थिति है जहां सभी किनारों की लंबाई समान होती है। इसका उपयोग समकोण जाली प्रणाली, परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। समकोण कोशिकाओं के साथ मधुकोश (ज्यामिति) को घनक्षेत्र समचतुर्भुज का विशेष स्थिति है जिसमें सभी भुजाएँ वर्गाकार होती हैं।

सामान्यतः समचतुर्भुज में तीन प्रकार के विषमकोण रूप हो सकते हैं जो सर्वांगसम विपरीत जोड़े C_i समरूपता, क्रम (समूह सिद्धांत) 2 में होते हैं, ।

समचतुर्भुज के गैर-आसन्न कोने बनाने वाले चार बिंदु आवश्यक रूप से ऑर्थोसेन्ट्रिक चतुष्फलक के चार कोने बनाते हैं, और सभी ऑर्थोसेन्ट्रिक चतुष्फलक इस तरह से बन सकते हैं।^[2]

विषमकोणीय जालक तंत्र

विषमकोणीय जालक प्रणाली में विषमकोणीय कोशिकाएं होती हैं, जिसमें 6 सर्वांगसम समचतुर्भुज रूप होते हैं जो त्रिकोणीय समलम्ब चतुर्भुज बनाते हैं:

समरूपता द्वारा विशेष स्थितियां

समचतुर्भुज के विशेष स्थितियां

आकृति	घन	त्रिकोणीय समलम्ब चतुर्भुज	सही समचतुर्भुज प्रिज्म	तिर्यक समचतुर्भुज प्रिज्म
कोण प्रतिबंध	$\alpha =\beta =\gamma =90^{\circ }$	$\alpha =\beta =\gamma$	$\alpha =\beta =90^{\circ }$	$\alpha =\beta$
समरूपता	O_h क्रम 48	D_3d क्रम 12	D_2h क्रम 8	C_2h क्रम 4
रूप	6 वर्ग	6 सर्वांगसम समचतुर्भुज	2 समचतुर्भुज, 4 वर्ग	6 समचतुर्भुज

घन: ऑक्टाहेड्रल समरूपता के साथ O_h सममिति, कोटि 48. सभी फलक वर्गाकार हैं।
त्रिकोणीय समलम्बाकार (यह भी समफलकीय विषमफलक कहा जाता है):^[3] D_3d समरूपता के साथ, क्रम 12 रूपों के सभी गैर-आंशिक आंतरिक कोण समान हैं (सभी रूप सर्वांगसम समचतुर्भुज हैं)। यह घन को उसके विकर्ण अक्ष पर खींचकर देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, विपरीत रूपों पर जुड़े दो नियमित चतुष्फलक वाला नियमित अष्टफलक 60 डिग्री त्रिकोणीय समलम्बाकार का निर्माण करता है।
समचतुर्भुज प्रिज्म': D_2h समरूपता के साथ , क्रम 8 यह दो समचतुर्भुज और चार वर्गों द्वारा निर्मित है। इसे घन को उसके फलक-विकर्ण अक्ष पर खींचकर देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, नियमित त्रिकोणीय आधारों के साथ दो समकोण प्रिज्म (ज्यामिति) एक साथ जुड़े हुए है जो 60 डिग्री का समचतुर्भुज प्रिज्म बनता है।
'तिरछा समचतुर्भुज प्रिज्म':C_2h चक्रीय समरूपता के साथ, क्रम 4 है। इसमें समरूपता का केवल एक तल है। चार शीर्षों और छह समचतुर्भुज रूपों के माध्यम से समरूपता होती है |

ठोस ज्यामिति

इकाई के लिए (अर्थात: पार्श्व लंबाई 1 के साथ) समफलकीय विषमफलक,^[3] समचतुर्भुज तीव्र कोण के साथ $\theta ~$ , मूल बिंदु (0, 0, 0) पर शीर्ष के साथ, और किनारे के साथ x-अक्ष तीन उत्पन्न करने वाले सदिश हैं |

e₁ :

{\biggl (}1,0,0{\biggr )},

e₂ :

{\biggl (}\cos \theta ,\sin \theta ,0{\biggr )},

e₃ :

{\biggl (}\cos \theta ,{\cos \theta -\cos ^{2}\theta  \over \sin \theta },{{\sqrt {1-3\cos ^{2}\theta +2\cos ^{3}\theta }} \over \sin \theta }{\biggr )}.

अन्य निर्देशांक 3 दिशा सदिश e₁ + e₂ , e₁ + e₃ , e₂ + e₃ , और e₁ + e₂ + e₃ योग से प्राप्त किए जा सकते हैं |^[4]

समफलकीय समभुज का आयतन $V$ , इसकी पार्श्व लंबाई $a$ और इसके समचतुर्भुज तीव्र कोण $\theta ~$ के संदर्भ में एक समानांतर चतुर्भुज के आयतन का सरलीकरण है,और इसके द्वारा दिया जाता है |

V=a^{3}(1-\cos \theta ){\sqrt {1+2\cos \theta }}=a^{3}{\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}(1+2\cos \theta )}}=a^{3}{\sqrt {1-3\cos ^{2}\theta +2\cos ^{3}\theta }}~.

हम वॉल्यूम $V$ को दूसरे विधि से व्यक्त कर सकते हैं:|

V=2{\sqrt {3}}~a^{3}\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {1-{\frac {4}{3}}\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)}}~.

जैसा कि (समचतुर्भुज) आधार का क्षेत्रफल $a^{2}\sin \theta ~$ द्वारा दिया जाता है और एक समचतुर्भुज की ऊंचाई को इसके आधार के क्षेत्रफल से विभाजित आयतन द्वारा दिया जाता है, ऊंचाई $h$ एक समफलकीय समचतुर्भुज इसकी पार्श्व लंबाई $a$ और इसके विषमकोणीय तीव्र कोण $\theta$ के संदर्भ में दिया जाता है

h=a~{(1-\cos \theta ){\sqrt {1+2\cos \theta }} \over \sin \theta }=a~{{\sqrt {1-3\cos ^{2}\theta +2\cos ^{3}\theta }} \over \sin \theta }~.

टिप्पणी:

h=a~z

₃ , जहाँ

z

₃ e₃ का तीसरा निर्देशांक है |

तीव्र-कोण वाले शीर्षों के बीच का विकर्ण सबसे लंबा होता है। उस विकर्ण के बारे में घूर्णी समरूपता के द्वारा, अन्य तीन विकर्ण, विपरीत अधिक कोण वाले शीर्षों के तीन जोड़े के बीच, सभी समान लंबाई के होते हैं।

यह भी देखें

आकृतियों की सूची

संदर्भ

↑ "David Mitchell's Origami Heaven - Rhombic Polyhedra".
↑ Court, N. A. (October 1934), "Notes on the orthocentric tetrahedron", American Mathematical Monthly, 41 (8): 499–502, doi:10.2307/2300415, JSTOR 2300415.
↑ ^3.0 ^3.1 Lines, L (1965). Solid geometry: with chapters on space-lattices, sphere-packs and crystals. Dover Publications.
↑ "वेक्टर जोड़". Wolfram. 17 May 2016. Retrieved 17 May 2016.

बाहरी संबंध

[1] "David Mitchell's Origami Heaven - Rhombic Polyhedra".

[:1-2] Court, N. A. (October 1934), "Notes on the orthocentric tetrahedron", American Mathematical Monthly, 41 (8): 499–502, doi:10.2307/2300415, JSTOR 2300415.

[:0-3] 3.0 ^3.1 Lines, L (1965). Solid geometry: with chapters on space-lattices, sphere-packs and crystals. Dover Publications.

[4] "वेक्टर जोड़". Wolfram. 17 May 2016. Retrieved 17 May 2016.

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[3]

[4]

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 |bgcolor=#e7dcc3|गुण||[[convex set|उत्तल]], [[Equilateral polygon|समबाहु]], [[zonohedron|क्षेत्र]], [[parallelohedron|समांतरफलक]]
 |}
-[[ज्यामिति]] में,  समचतुर्भुज (जिसे समचतुर्भुज षट्भुज भी कहा जाता है <ref>{{Cite web|url=http://www.origamiheaven.com/rhombicpolyhedra.htm|title = David Mitchell's Origami Heaven - Rhombic Polyhedra}}</ref> या, गलत विधि से,  समचतुर्भुज) छह रूपों वाली एक त्रि-आयामी आकृति है जो समचतुर्भुज हैं। यह समानांतर चतुर्भुज का  विशेष स्थिति है जहां सभी किनारों की लंबाई समान होती है। इसका उपयोग [[rhombohedral जाली प्रणाली|समकोण जाली प्रणाली]], परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है।  समकोण कोशिकाओं के साथ  [[मधुकोश (ज्यामिति)]] को [[ घनक्षेत्र ]]  समचतुर्भुज का  विशेष स्थिति है जिसमें सभी भुजाएँ [[वर्ग|वर्गा]]कार होती हैं।
+[[ज्यामिति]] में, समचतुर्भुज (जिसे समचतुर्भुज षट्भुज भी कहा जाता है <ref>{{Cite web|url=http://www.origamiheaven.com/rhombicpolyhedra.htm|title = David Mitchell's Origami Heaven - Rhombic Polyhedra}}</ref> या, गलत विधि से, समचतुर्भुज) छह रूपों वाली एक त्रि-आयामी आकृति है जो समचतुर्भुज हैं। यह समानांतर चतुर्भुज का विशेष स्थिति है जहां सभी किनारों की लंबाई समान होती है। इसका उपयोग [[rhombohedral जाली प्रणाली|समकोण जाली प्रणाली]], परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। समकोण कोशिकाओं के साथ [[मधुकोश (ज्यामिति)]] को [[ घनक्षेत्र |घनक्षेत्र]]  समचतुर्भुज का विशेष स्थिति है जिसमें सभी भुजाएँ [[वर्ग|वर्गा]]कार होती हैं।
-सामान्यतः  ''समचतुर्भुज'' में तीन प्रकार के [[विषमकोण]] रूप हो सकते हैं जो सर्वांगसम विपरीत जोड़े ''C''<sub>''i''</sub> समरूपता, क्रम (समूह सिद्धांत) 2 में होते हैं, ।
+सामान्यतः ''समचतुर्भुज'' में तीन प्रकार के [[विषमकोण]] रूप हो सकते हैं जो सर्वांगसम विपरीत जोड़े ''C''<sub>''i''</sub> समरूपता, क्रम (समूह सिद्धांत) 2 में होते हैं, ।
-समचतुर्भुज के गैर-आसन्न कोने बनाने वाले चार बिंदु आवश्यक रूप से  [[ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉन|ऑर्थोसेन्ट्रिक चतुष्फलक]] के चार कोने बनाते हैं, और सभी ऑर्थोसेन्ट्रिक चतुष्फलक इस तरह से बन सकते हैं।<ref name=":1">{{citation|last=Court|first=N. A.|author-link=Nathan Altshiller Court|title=Notes on the orthocentric tetrahedron|journal=[[American Mathematical Monthly]]|date=October 1934|volume=41|issue=8|pages=499–502|jstor=2300415|doi=10.2307/2300415}}.</ref>
+समचतुर्भुज के गैर-आसन्न कोने बनाने वाले चार बिंदु आवश्यक रूप से [[ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉन|ऑर्थोसेन्ट्रिक चतुष्फलक]] के चार कोने बनाते हैं, और सभी ऑर्थोसेन्ट्रिक चतुष्फलक इस तरह से बन सकते हैं।<ref name=":1">{{citation|last=Court|first=N. A.|author-link=Nathan Altshiller Court|title=Notes on the orthocentric tetrahedron|journal=[[American Mathematical Monthly]]|date=October 1934|volume=41|issue=8|pages=499–502|jstor=2300415|doi=10.2307/2300415}}.</ref>
-'''समचतुर्भुज के गैर-आसन्न कोने बनाने वाले चार बिंदु आवश्यक रूप से  [[ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉन|ऑर्थोसेन्ट्रिक चतुष्फलक]] के चार कोने बनाते हैं, <br />'''
 == विषमकोणीय जालक तंत्र ==
 {{main|विषमकोणीय जालक प्रणाली}}
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 * घन: ऑक्टाहेड्रल समरूपता के साथ O<sub>h</sub> सममिति, कोटि 48. सभी फलक वर्गाकार हैं।
-* त्रिकोणीय समलम्बाकार (यह भी समफलकीय विषमफलक कहा जाता है):<ref name=":0">{{Cite book|title=Solid geometry: with chapters on space-lattices, sphere-packs and crystals|last=Lines|first=L|publisher=Dover Publications|year=1965}}</ref> D<sub>3d</sub>  समरूपता के साथ, क्रम 12 रूपों के सभी गैर-आंशिक आंतरिक कोण समान हैं (सभी रूप सर्वांगसम समचतुर्भुज हैं)। यह  घन को उसके विकर्ण अक्ष पर खींचकर देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, विपरीत रूपों पर जुड़े दो नियमित [[टेट्राहेड्रा|चतुष्फलक]] वाला  नियमित [[अष्टफलक]]  60 डिग्री त्रिकोणीय समलम्बाकार का निर्माण करता है।
+* त्रिकोणीय समलम्बाकार (यह भी समफलकीय विषमफलक कहा जाता है):<ref name=":0">{{Cite book|title=Solid geometry: with chapters on space-lattices, sphere-packs and crystals|last=Lines|first=L|publisher=Dover Publications|year=1965}}</ref> D<sub>3d</sub> समरूपता के साथ, क्रम 12 रूपों के सभी गैर-आंशिक आंतरिक कोण समान हैं (सभी रूप सर्वांगसम समचतुर्भुज हैं)। यह घन को उसके विकर्ण अक्ष पर खींचकर देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, विपरीत रूपों पर जुड़े दो नियमित [[टेट्राहेड्रा|चतुष्फलक]] वाला नियमित [[अष्टफलक]] 60 डिग्री त्रिकोणीय समलम्बाकार का निर्माण करता है।
-* [[रोम्बिक प्रिज्म|समचतुर्भुज प्रिज्म]]': D<sub>2h</sub> समरूपता के साथ , क्रम 8 यह दो समचतुर्भुज और चार वर्गों द्वारा निर्मित है। इसे  घन को उसके फलक-विकर्ण अक्ष पर खींचकर देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, नियमित त्रिकोणीय आधारों के साथ दो समकोण [[प्रिज्म (ज्यामिति)]] एक साथ जुड़े हुए है जो 60 डिग्री का समचतुर्भुज प्रिज्म बनता है।
+* [[रोम्बिक प्रिज्म|समचतुर्भुज प्रिज्म]]': D<sub>2h</sub> समरूपता के साथ , क्रम 8 यह दो समचतुर्भुज और चार वर्गों द्वारा निर्मित है। इसे घन को उसके फलक-विकर्ण अक्ष पर खींचकर देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, नियमित त्रिकोणीय आधारों के साथ दो समकोण [[प्रिज्म (ज्यामिति)]] एक साथ जुड़े हुए है जो 60 डिग्री का समचतुर्भुज प्रिज्म बनता है।
 * 'तिरछा समचतुर्भुज प्रिज्म':C<sub>2h</sub> चक्रीय समरूपता के साथ, क्रम 4 है। इसमें समरूपता का केवल एक तल है। चार शीर्षों और छह समचतुर्भुज रूपों के माध्यम से समरूपता होती है |
 == ठोस ज्यामिति ==
-इकाई के लिए (अर्थात: पार्श्व लंबाई 1 के साथ) समफलकीय विषमफलक,<ref name=":0" /> समचतुर्भुज तीव्र कोण के साथ <math>\theta~</math>, मूल बिंदु (0, 0, 0) पर  शीर्ष के साथ, और किनारे के साथ x-अक्ष  तीन उत्पन्न करने वाले सदिश हैं |
+इकाई के लिए (अर्थात: पार्श्व लंबाई 1 के साथ) समफलकीय विषमफलक,<ref name=":0" /> समचतुर्भुज तीव्र कोण के साथ <math>\theta~</math>, मूल बिंदु (0, 0, 0) पर शीर्ष के साथ, और किनारे के साथ x-अक्ष तीन उत्पन्न करने वाले सदिश हैं |
 :'''''e<sub>1</sub>''''' : <math>\biggl(1, 0, 0\biggr),</math>
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 :<math>V = a^3(1-\cos\theta)\sqrt{1+2\cos\theta} = a^3\sqrt{(1-\cos\theta)^2(1+2\cos\theta)} = a^3\sqrt{1-3\cos^2\theta+2\cos^3\theta}~.</math>
-हम वॉल्यूम <math>V</math> को दूसरे  विधि से व्यक्त कर सकते हैं:|
+हम वॉल्यूम <math>V</math> को दूसरे विधि से व्यक्त कर सकते हैं:|
 :<math>V = 2\sqrt{3} ~ a^3 \sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)  \sqrt{1-\frac{4}{3}\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}~.</math>
-जैसा कि (समचतुर्भुज) आधार का क्षेत्रफल <math>a^2\sin\theta~</math> द्वारा दिया जाता है और एक समचतुर्भुज की ऊंचाई को इसके आधार के क्षेत्रफल से विभाजित आयतन द्वारा दिया जाता है, ऊंचाई <math>h</math> एक समफलकीय समचतुर्भुज इसकी पार्श्व लंबाई  <math>a</math> और इसके विषमकोणीय तीव्र कोण <math>\theta</math> के संदर्भ में दिया जाता है
+जैसा कि (समचतुर्भुज) आधार का क्षेत्रफल <math>a^2\sin\theta~</math> द्वारा दिया जाता है और एक समचतुर्भुज की ऊंचाई को इसके आधार के क्षेत्रफल से विभाजित आयतन द्वारा दिया जाता है, ऊंचाई <math>h</math> एक समफलकीय समचतुर्भुज इसकी पार्श्व लंबाई <math>a</math> और इसके विषमकोणीय तीव्र कोण <math>\theta</math> के संदर्भ में दिया जाता है
 :<math>h = a~{(1-\cos\theta)\sqrt{1+2\cos\theta} \over \sin\theta} = a~{\sqrt{1-3\cos^2\theta+2\cos^3\theta} \over \sin\theta}~.</math>
@@ Line 84: / Line 82: @@
 :<math>h = a~z</math><sub>''3''</sub> , जहाँ <math>z</math><sub>''3''</sub> ''e<sub>3</sub>'' का तीसरा निर्देशांक है |
-तीव्र-कोण वाले शीर्षों के बीच का  विकर्ण सबसे लंबा होता है। उस विकर्ण के बारे में घूर्णी समरूपता के द्वारा, अन्य तीन  विकर्ण, विपरीत अधिक कोण वाले शीर्षों के तीन जोड़े के बीच, सभी समान लंबाई के होते हैं।
+तीव्र-कोण वाले शीर्षों के बीच का विकर्ण सबसे लंबा होता है। उस विकर्ण के बारे में घूर्णी समरूपता के द्वारा, अन्य तीन विकर्ण, विपरीत अधिक कोण वाले शीर्षों के तीन जोड़े के बीच, सभी समान लंबाई के होते हैं।
 == यह भी देखें ==

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