सरल लाई बीजगणित: Difference between revisions

Revision as of 13:42, 21 April 2023

बीजगणित में, एक सरल लाई बीजगणित एक लाई बीजगणित है जो एबेलियन लाई बीजगणित गैर-अबेलियन है और इसमें कोई गैर-शून्य उचित आदर्श नहीं है। वास्तविक सरल लाई बीजगणित का वर्गीकरण विल्हेम किलिंग और एली कार्टन की प्रमुख उपलब्धियों में से एक है।

साधारण लाई बीजगणित के प्रत्यक्ष योग को अर्धसरल लाई बीजगणित कहा जाता है।

एक साधारण लाई समूह एक जुड़ा हुआ लाई समूह है जिसका लाई बीजगणित सरल है।

जटिल सरल लाई बीजगणित

एक परिमित-आयामी सरल जटिल बीजगणित निम्नलिखित में से किसी एक के लिए समरूपी है: ${\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C}$ , ${\mathfrak {so}}_{n}\mathbb {C}$ , ${\mathfrak {sp}}_{2n}\mathbb {C}$ (शास्त्रीय लाई बीजगणित) या पाँच असाधारण लाई बीजगणित में से एक।^[1]

प्रत्येक परिमित-आयामी जटिल अर्ध-सरल बीजगणित ${\mathfrak {g}}$ के लिए , एक संबंधित आरेख मौजूद है (जिसे डायनकिन आरेख कहा जाता है) जहां नोड्स सरल जड़ों को निरूपित करते हैं, नोड्स सरल जड़ों के बीच के कोणों के आधार पर कई पंक्तियों द्वारा जोड़ा जाता है (या संयुक्त नहीं किआ जाता है) | सरल जड़ों और तीरों के बीच के कोणों के आधार पर यह इंगित करने के लिए रखा जाता है कि क्या जड़ें लंबी या छोटी हैं। ^[2] ${\mathfrak {g}}$ का डायनकिन आरेख जुड़ा हुआ है अगर और केवल अगर ${\mathfrak {g}}$ साधारण है। सभी संभव कनेक्टेड डाइकिन डायग्राम निम्नलिखित हैं:^[3]

जहां n जहां n नोड्स (सरल जड़ें) की संख्या है। आरेखों और जटिल सरल लाई बीजगणित का मिलान इस प्रकार है:^[2]

(ए_n)

\quad {\mathfrak {sl}}_{n+1}\mathbb {C}

(बी_n)

\quad {\mathfrak {so}}_{2n+1}\mathbb {C}

(सी_n)

\quad {\mathfrak {sp}}_{2n}\mathbb {C}

(डी_n)

\quad {\mathfrak {so}}_{2n}\mathbb {C}

बाकी, असाधारण लाई बीजगणित।

वास्तविक सरल लाई बीजगणित

अगर ${\mathfrak {g}}_{0}$ एक परिमित-आयामी वास्तविक सरल लाई बीजगणित है, इसकी जटिलता या तो (1) सरल या (2) एक साधारण जटिल लाई बीजगणित का उत्पाद है और यह एक जटिल लाई बीजगणित का संयुग्म है। उदाहरण के लिए, ${\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C}$ की जटिलता वास्तविक लाई बीजगणित के रूप में सोचा जाता है ${\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} \times {\overline {{\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }}$ . इस प्रकार, एक वास्तविक सरल लाई बीजगणित को जटिल सरल लाई बीजगणित और कुछ अतिरिक्त जानकारी के वर्गीकरण द्वारा वर्गीकृत किया जा सकता है। यह दावा आरेखों द्वारा किया जा सकता है जो डाइंकिनआरेखों का सामान्यीकरण करते हैं। वास्तविक सरल लाई बीजगणित की आंशिक सूची के लिए लाई समूहों की तालिका असली लाई बीजगणित भी देखें।

एली कार्टन की प्रमुख उपलब्धियों में से एक है।

साधारण लाई बीजगणित के प्रत्यक्ष योग को अर्धसरल लाई बीजगणित कहा जाता है।

एक साधारण लाई समूह एक जुड़ा हुआ लाई समूह है जिसका लाई बीजगणित सरल है।

यह भी देखें

सरल लाई समूह
वोगेल विमान

संदर्भ

Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics (in British English). Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.
Jacobson, Nathan, Lie algebras, Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4; Chapter X considers a classification of simple Lie algebras over a field of characteristic zero.

"Lie algebra, semi-simple", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Simple Lie algebra at the nLab

[1] Fulton & Harris 1991, Theorem 9.26.

[21.1.-2] 2.0 ^2.1 Fulton & Harris 1991, § 21.1.

[3] Fulton & Harris 1991, § 21.2.

[1]

[2]

[3]

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 {{Lie groups}}
-बीजगणित में, एक सरल लाई बीजगणित एक लाई बीजगणित है जो एबेलियन लाई बीजगणित|गैर-अबेलियन है और इसमें कोई गैर-शून्य उचित आदर्श नहीं है। वास्तविक सरल [[झूठ बीजगणित]] का वर्गीकरण [[विल्हेम हत्या]] और एली कार्टन की प्रमुख उपलब्धियों में से एक है।
+बीजगणित में, एक सरल लाई बीजगणित एक लाई बीजगणित है जो एबेलियन लाई बीजगणित गैर-अबेलियन है और इसमें कोई गैर-शून्य उचित आदर्श नहीं है। वास्तविक सरल [[झूठ बीजगणित|लाई बीजगणित]] का वर्गीकरण [[विल्हेम हत्या|विल्हेम किलिंग]] और एली कार्टन की प्रमुख उपलब्धियों में से एक है।
 साधारण लाई बीजगणित के प्रत्यक्ष योग को अर्धसरल लाई बीजगणित कहा जाता है।
@@ Line 6: / Line 6: @@
 एक साधारण लाई समूह एक जुड़ा हुआ लाई समूह है जिसका लाई बीजगणित सरल है।
-== जटिल सरल झूठ बीजगणित ==
+== जटिल सरल लाई बीजगणित ==
-{{Main|root system}}
+{{Main|मूल प्रक्रिया}}
-एक परिमित-आयामी सरल जटिल बीजगणित निम्नलिखित में से किसी एक के लिए आइसोमोर्फिक है: <math>\mathfrak{sl}_n \mathbb{C}</math>, <math>\mathfrak{so}_n \mathbb{C}</math>, <math>\mathfrak{sp}_{2n} \mathbb{C}</math> ([[शास्त्रीय झूठ बीजगणित]]) या पाँच [[असाधारण झूठ बीजगणित]]ों में से एक।<ref>{{harvnb|Fulton|Harris|1991|loc=Theorem 9.26.}}</ref>
-प्रत्येक परिमित-आयामी जटिल अर्ध-सरल बीजगणित के लिए <math>\mathfrak{g}</math>, एक संबंधित आरेख मौजूद है (जिसे [[डायनकिन आरेख]] कहा जाता है) जहां नोड्स सरल जड़ों को निरूपित करते हैं, नोड्स सरल जड़ों के बीच के कोणों के आधार पर कई पंक्तियों द्वारा संयुक्त (या संयुक्त नहीं) होते हैं और यह इंगित करने के लिए तीर लगाए जाते हैं कि क्या जड़ें लंबी या छोटी होती हैं।<ref name="21.1.">{{harvnb|Fulton|Harris|1991|loc=§ 21.1.}}</ref> का डायनकिन आरेख <math>\mathfrak{g}</math> अगर और केवल अगर जुड़ा हुआ है <math>\mathfrak{g}</math> साधारण है। सभी संभव कनेक्टेड डाइकिन डायग्राम निम्नलिखित हैं:<ref>{{harvnb|Fulton|Harris|1991|loc=§ 21.2.}}</ref>
+एक परिमित-आयामी सरल जटिल बीजगणित निम्नलिखित में से किसी एक के लिए समरूपी है: <math>\mathfrak{sl}_n \mathbb{C}</math>, <math>\mathfrak{so}_n \mathbb{C}</math>, <math>\mathfrak{sp}_{2n} \mathbb{C}</math> ([[शास्त्रीय झूठ बीजगणित|शास्त्रीय लाई बीजगणित]]) या पाँच [[असाधारण झूठ बीजगणित|असाधारण लाई बीजगणित]] में से एक।<ref>{{harvnb|Fulton|Harris|1991|loc=Theorem 9.26.}}</ref>
-:[[File:Finite_Dynkin_diagrams.svg|डायनकिन डायग्राम|480px]]जहां n नोड्स (सरल जड़ें) की संख्या है। आरेखों और जटिल सरल झूठ बीजगणित का पत्राचार इस प्रकार है:<ref name="21.1." />:(ए<sub>''n''</sub>) <math>\quad \mathfrak{sl}_{n+1} \mathbb{C}</math>
+प्रत्येक परिमित-आयामी जटिल अर्ध-सरल बीजगणित <math>\mathfrak{g}</math> के लिए , एक संबंधित आरेख मौजूद है (जिसे [[डायनकिन आरेख]] कहा जाता है) जहां नोड्स सरल जड़ों को निरूपित करते हैं, नोड्स सरल जड़ों के बीच के कोणों के आधार पर कई पंक्तियों द्वारा जोड़ा जाता है  (या संयुक्त नहीं किआ जाता है) | सरल जड़ों और तीरों के बीच के कोणों के आधार पर  यह इंगित करने के लिए रखा जाता है  कि क्या जड़ें लंबी या छोटी हैं। <ref name="21.1.">{{harvnb|Fulton|Harris|1991|loc=§ 21.1.}}</ref> <math>\mathfrak{g}</math> का डायनकिन आरेख जुड़ा हुआ है अगर और केवल अगर  <math>\mathfrak{g}</math> साधारण है। सभी संभव कनेक्टेड डाइकिन डायग्राम निम्नलिखित हैं:<ref>{{harvnb|Fulton|Harris|1991|loc=§ 21.2.}}</ref>
+:[[File:Finite_Dynkin_diagrams.svg|डायनकिन डायग्राम|480px]]जहां n       जहां n नोड्स (सरल जड़ें) की संख्या है। आरेखों और जटिल सरल लाई बीजगणित का मिलान इस प्रकार है:<ref name="21.1." />
+:(ए<sub>''n''</sub>) <math>\quad \mathfrak{sl}_{n+1} \mathbb{C}</math>
 :(बी<sub>''n''</sub>) <math>\quad \mathfrak{so}_{2n+1} \mathbb{C}</math>
 :(सी<sub>''n''</sub>) <math>\quad \mathfrak{sp}_{2n} \mathbb{C}</math>
 :(डी<sub>''n''</sub>) <math>\quad \mathfrak{so}_{2n} \mathbb{C}</math>
-:बाकी, असाधारण झूठ बीजगणित।
+:बाकी, असाधारण लाई बीजगणित।
-== वास्तविक सरल झूठ बीजगणित ==
+== वास्तविक सरल लाई बीजगणित ==
-अगर <math>\mathfrak{g}_0</math> एक परिमित-आयामी वास्तविक सरल लाई बीजगणित है, इसकी जटिलता या तो (1) सरल या (2) एक साधारण जटिल लाई बीजगणित का एक उत्पाद है और यह एक जटिल लाई बीजगणित का संयुग्म है। उदाहरण के लिए, की जटिलता <math>\mathfrak{sl}_n \mathbb{C}</math> एक वास्तविक झूठ बीजगणित के रूप में सोचा जाता है <math>\mathfrak{sl}_n \mathbb{C} \times \overline{\mathfrak{sl}_n \mathbb{C}}</math>. इस प्रकार, एक वास्तविक सरल झूठ बीजगणित को जटिल सरल झूठ बीजगणित और कुछ अतिरिक्त जानकारी के वर्गीकरण द्वारा वर्गीकृत किया जा सकता है। यह Satake आरेखों द्वारा किया जा सकता है जो Dynkin आरेखों का सामान्यीकरण करते हैं। वास्तविक सरल झूठ बीजगणित की आंशिक सूची के लिए झूठ समूहों की तालिका#असली झूठ बीजगणित भी देखें।
+अगर <math>\mathfrak{g}_0</math> एक परिमित-आयामी वास्तविक सरल लाई बीजगणित है, इसकी जटिलता या तो (1) सरल या (2) एक साधारण जटिल लाई बीजगणित का  उत्पाद है और यह एक जटिल लाई बीजगणित का संयुग्म है। उदाहरण के लिए,<math>\mathfrak{sl}_n \mathbb{C}</math> की जटिलता  वास्तविक लाई बीजगणित के रूप में सोचा जाता है <math>\mathfrak{sl}_n \mathbb{C} \times \overline{\mathfrak{sl}_n \mathbb{C}}</math>. इस प्रकार, एक वास्तविक सरल लाई बीजगणित को जटिल सरल लाई बीजगणित और कुछ अतिरिक्त जानकारी के वर्गीकरण द्वारा वर्गीकृत किया जा सकता है। यह दावा आरेखों द्वारा किया जा सकता है जो डाइंकिनआरेखों का सामान्यीकरण करते हैं। वास्तविक सरल लाई बीजगणित की आंशिक सूची के लिए लाई समूहों की तालिका असली लाई बीजगणित भी देखें।
 '''एली कार्टन की प्रमुख उपलब्धियों में से एक है।'''
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 == यह भी देखें ==
-* सरल झूठ समूह
+* सरल लाई समूह
 * [[वोगेल विमान]]
 == संदर्भ ==
 * {{Fulton-Harris}}
-* Jacobson, Nathan, ''Lie algebras'', Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979.  {{ISBN|0-486-63832-4}}; Chapter X considers a classification of simple Lie algebras over a field of characteristic zero.<!-- which we should reproduce here. Helgason is also another good source.-->
+* Jacobson, Nathan, ''Lie algebras'', Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979.  {{ISBN|0-486-63832-4}}; Chapter X considers a classification of simple Lie algebras over a field of characteristic zero.
 *{{eom|oldid=44225|title=Lie algebra, semi-simple}}

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