बहुपद द्विपाशी: Difference between revisions
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<math> z^2+z+1|=1</math>]]गणित में, एक बहुपद | <math> z^2+z+1|=1</math>]]गणित में, एक बहुपद द्विपाशी या ''बहुपद स्तर वक्र'' घात 2n का एक [[बीजगणितीय वक्र]] है, जो घात ''n'' के जटिल गुणांक वाले बहुपद ''p'' से निर्मित होता है। | ||
ऐसे किसी बहुपद '' | ऐसे किसी बहुपद ''p'' और धनात्मक वास्तविक संख्या ''c'' के लिए, हम सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय को <math>|p(z)| = c</math> द्वारा परिभाषित कर सकते हैं संख्याओं के इस सम्मुच्चय को वास्तविक कार्तीय समतल में बिंदुओं के बराबर किया जा सकता है, जिससे एक बीजगणितीय वक्र ƒ(x, y) =c<sup>2 2n घात का होता है, जो z = x + iy के संदर्भ में <sup><math>p(z) \bar p(\bar z)</math>के विस्तार का परिणाम है। | ||
जब p | जब p घात 1 का बहुपद होता है तो परिणामी वक्र केवल एक वृत्त होता है जिसका केंद्र p का शून्य होता है। जब p घात 2 का बहुपद होता है तो वक्र [[कैसिनी अंडाकार]] होता है। | ||
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यह अभी भी सिद्ध नहीं हुआ है लेकिन फ्रायंटोव और [[फेडर नाज़रोव]] ने साबित किया है कि p a देता है | यह अभी भी सिद्ध नहीं हुआ है लेकिन फ्रायंटोव और [[फेडर नाज़रोव]] ने साबित किया है कि p a देता है | ||
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और यह सिद्ध हो चुका है कि यह वास्तव में | और यह सिद्ध हो चुका है कि यह वास्तव में घात चार में अधिकतम लंबाई है। एर्डोस द्विपाशी में तीन सामान्य एन-गुना बिंदु हैं, जिनमें से एक मूल में है, और (n − 1)(n − 2)/2 का एक [[ज्यामितीय जीनस]] है। व्युत्क्रम ज्यामिति द्वारा यूनिट सर्कल में एर्डोस द्विपाशी, घात n का एक गैर-एकवचन वक्र प्राप्त करता है। | ||
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सामान्य तौर पर, एक बहुपद | सामान्य तौर पर, एक बहुपद द्विपाशी मूल को स्पर्श नहीं करेगा, और केवल दो सामान्य n-गुना विलक्षणताएं होंगी, और इसलिए (n − 1) का एक जीनस होगा<sup>2</उप>। वास्तविक वक्र के रूप में, इसमें कई असंबद्ध घटक हो सकते हैं। इसलिए, यह एक [[limniscate]] की तरह नहीं लगेगा, जिससे नाम एक मिथ्या नाम बन जाएगा। | ||
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अगर हम पी | अगर हम पी सम्मुच्चय करते हैं<sub>0</sub> = जेड, और पी<sub>''n''</sub> = पी<sub>''n''−1</sub><sup>2</sup> + z, तो संगत बहुपद M को ले जाता है<sub>n</sub> द्वारा परिभाषित | पी<sub>''n''</sub>(जेड) | = 2 [[मैंडेलब्रॉट सेट|मैंडेलब्रॉट सम्मुच्चय]] की सीमा पर अभिसरण करता है।<ref>[https://www.desmos.com/calculator/coamqcajzq Desmos.com - The Mandelbrot Curves]</ref> | ||
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Revision as of 12:25, 7 May 2023
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गणित में, एक बहुपद द्विपाशी या बहुपद स्तर वक्र घात 2n का एक बीजगणितीय वक्र है, जो घात n के जटिल गुणांक वाले बहुपद p से निर्मित होता है।
ऐसे किसी बहुपद p और धनात्मक वास्तविक संख्या c के लिए, हम सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय को द्वारा परिभाषित कर सकते हैं संख्याओं के इस सम्मुच्चय को वास्तविक कार्तीय समतल में बिंदुओं के बराबर किया जा सकता है, जिससे एक बीजगणितीय वक्र ƒ(x, y) =c2 2n घात का होता है, जो z = x + iy के संदर्भ में के विस्तार का परिणाम है।
जब p घात 1 का बहुपद होता है तो परिणामी वक्र केवल एक वृत्त होता है जिसका केंद्र p का शून्य होता है। जब p घात 2 का बहुपद होता है तो वक्र कैसिनी अंडाकार होता है।
वन द्विपाशी
पॉल एर्डोस|एर्दोस का एक अनुमान जिसने काफी रुचि आकर्षित की है, एक बहुपद लेमनिस्केट की अधिकतम लंबाई ƒ(x, y) = 1 घात 2n जब p मोनिक बहुपद है, जिसे Erdős अनुमान प्राप्त किया गया था जब p(z) =zn − 1.
यह अभी भी सिद्ध नहीं हुआ है लेकिन फ्रायंटोव और फेडर नाज़रोव ने साबित किया है कि p a देता है स्थानीय अधिकतम।[1] मामले में जब n = 2, एर्दोस द्विपाशी या बर्नौली द्विपाशी है
और यह सिद्ध हो चुका है कि यह वास्तव में घात चार में अधिकतम लंबाई है। एर्डोस द्विपाशी में तीन सामान्य एन-गुना बिंदु हैं, जिनमें से एक मूल में है, और (n − 1)(n − 2)/2 का एक ज्यामितीय जीनस है। व्युत्क्रम ज्यामिति द्वारा यूनिट सर्कल में एर्डोस द्विपाशी, घात n का एक गैर-एकवचन वक्र प्राप्त करता है।
सामान्य बहुपद लेमनसेट
सामान्य तौर पर, एक बहुपद द्विपाशी मूल को स्पर्श नहीं करेगा, और केवल दो सामान्य n-गुना विलक्षणताएं होंगी, और इसलिए (n − 1) का एक जीनस होगा2</उप>। वास्तविक वक्र के रूप में, इसमें कई असंबद्ध घटक हो सकते हैं। इसलिए, यह एक limniscate की तरह नहीं लगेगा, जिससे नाम एक मिथ्या नाम बन जाएगा।
इस तरह के बहुपद लेम्निस्केट्स का एक दिलचस्प उदाहरण मैंडलब्रॉट वक्र हैं। अगर हम पी सम्मुच्चय करते हैं0 = जेड, और पीn = पीn−12 + z, तो संगत बहुपद M को ले जाता हैn द्वारा परिभाषित | पीn(जेड) | = 2 मैंडेलब्रॉट सम्मुच्चय की सीमा पर अभिसरण करता है।[2] मैंडेलब्रॉट वक्र 2 घात के हैंएन+1.[3]
टिप्पणियाँ
- ↑ Fryntov, A; Nazarov, F (2008). "New estimates for the length of the Erdos-Herzog-Piranian lemniscate". Linear and Complex Analysis. 226: 49–60. arXiv:0808.0717. Bibcode:2008arXiv0808.0717F.
- ↑ Desmos.com - The Mandelbrot Curves
- ↑ Ivancevic, Vladimir G.; Ivancevic, Tijana T. (2007), High-Dimensional Chaotic and Attractor Systems: A Comprehensive Introduction, Springer, p. 492, ISBN 9781402054563.
संदर्भ
- Alexandre Eremenko and Walter Hayman, On the length of lemniscates, Michigan Math. J., (1999), 46, no. 2, 409–415 [1]
- O. S. Kusnetzova and V. G. Tkachev, Length functions of lemniscates, Manuscripta Math., (2003), 112, 519–538 [2]
