बीजगणितीय स्टैक

गणित में, बीजगणितीय स्टैक बीजगणितीय रिक्त समष्टि या योजनाओं (गणित) का एक विशाल सामान्यीकरण है जो मॉडुलि सिद्धांत का अध्ययन करने के लिए मूलभूत हैं। बीजगणितीय स्टैक के लिए विशिष्ट तकनीकों का उपयोग करके कई मोडुली रिक्त समष्टि बनाए जाते हैं, जैसे कि आर्टिन की प्रतिनिधित्व क्षमता का प्रमेय, जिसका उपयोग बीजगणितीय वक्र ${\mathcal {M}}_{g,n}$ के मोडुली समष्टि के निर्माण के लिए दीर्घवृत्तीय वक्र मे किया जाता है। मूल रूप से, उन्हें ग्रोथेंडिक द्वारा मोडुली समष्टि पर स्वसमाकृतिकता का नियंत्रण रखने के लिए प्रस्तुत किया गया था। एक ऐसी तकनीक जो इन मोडुली समष्टि को परिवर्तित करने की स्वीकृति देती है जैसे कि उनकी अंतर्निहित योजनाएं या बीजगणितीय समष्टि मे है लेकिन कई सामान्यीकरणों के माध्यम से बीजगणितीय स्टैक की धारणा अंततः माइकल आर्टिन द्वारा खोजी गई थी।

परिभाषा

प्रेरणा

बीजगणितीय स्टैक के प्रेरक उदाहरणों में से एक निश्चित योजना $S$ के ऊपर समूह योजना$(R,U,s,t,m)$ पर विचार करना है उदाहरण के लिए, यदि $R=\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}$$U=\mathbb {A} _{S}^{n}$, $s={\text{pr}}_{U}$ प्रक्षेपण मानचित्र है और $t$ समूह क्रिया है तब

$\zeta _{n}\cdot (x_{1},\ldots ,x_{n})=(\zeta _{n}x_{1},\ldots ,\zeta _{n}x_{n})$

और $m$ गुणन मानचित्र है:

$m:(\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n})\times _{\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}}(\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n})\to \mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}$

तब $S$ योजना $\pi :X\to S$ दिए जाने पर ग्रुपॉइड योजना $(R(X),U(X),s,t,m)$ एक ग्रुपॉइड बनाता है जहाँ $R,U$ उनके संबंधित प्रकार्यक हैं इसके अतिरिक्त यह निर्माण $(\mathrm {Sch} /S)$ पर क्रियात्मक है जो एक प्रतिपरिवर्ती 2-प्रकार्यक बनाता है:

$(R(-),U(-),s,t,m):(\mathrm {Sch} /S)^{\mathrm {op} }\to {\text{Cat}}$

जहाँ ${\text{Cat}}$ छोटी श्रेणियों की छोटी श्रेणी है इसे देखने का एक अन्य प्रकार ग्रोथेंडिक निर्माण के माध्यम से एक फाइब्रिन श्रेणी $[U/R]\to (\mathrm {Sch} /S)$ के रूप में है। सही तकनीकी स्थितियां प्राप्त करना जैसे $(\mathrm {Sch} /S)$ पर ग्रोथेंडिक सांस्थिति, एक बीजगणितीय स्टैक की परिभाषा देता है। उदाहरण के लिए, मूल वस्तु $0\in \mathbb {A} _{S}^{n}(k)$ पर क्षेत्र $k$ के लिए k-बिंदुओं के संबद्ध समूह में आकारिकी $\mu _{n}(k)$ का समूह होता है। ध्यान दें कि $[U/R]$ से एक बीजगणितीय स्टैक प्राप्त करने के लिए न कि केवल एक स्टैक के लिए, $[U/R]$ के लिए अतिरिक्त तकनीकी परिकल्पनाओं की आवश्यकता होती है।

बीजगणितीय स्टैक

यह $(\mathrm {Sch} /S)$ पर $fppf$ सांस्थिति (समतल और स्थानीय रूप से परिमित प्रस्तुति) का उपयोग करके $(\mathrm {Sch} /S)_{fppf}$ प्राप्त किया जाता है। जो बीजगणितीय स्टैक को परिभाषित करने के लिए आधार बनाता है। जिससे बीजगणितीय स्टैक की फाइब्रिन श्रेणी है:

$p:{\mathcal {X}}\to (\mathrm {Sch} /S)_{fppf}$

जैसे कि

1. ${\mathcal {X}}$ ग्रुपोइड्स में सूत्र वाली एक श्रेणी है जिसका अर्थ है कि $\pi :X\to S$ के लिए श्रेणी से अधिक एक ग्रुपॉइड है।
2. विकर्ण मानचित्र $\Delta :{\mathcal {X}}\to {\mathcal {X}}\times _{S}{\mathcal {X}}$ सूत्र वाली श्रेणियों की संख्या बीजगणितीय रिक्त समष्टि के रूप में प्रतिनिधित्व योग्य है।
3. $fppf$ योजना $U\to S$ मे सम्मिलित है और सूत्र वाली श्रेणियों ${\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}$ से जुड़ी 1-आकारिता सम्मिलित है जो कर्तृपदीय और समतल होता है जिसको मानचित्रावली कहते हैं।

तकनीकी स्थितियों की व्याख्या

$fppf$ सांस्थिति का प्रयोग करना

सबसे पहले, $fppf$ सांस्थिति का उपयोग किया जाता है क्योंकि यह प्रवणता सिद्धांत के संबंध में अच्छा व्यवहार करता है। उदाहरण के लिए, यदि $X,Y\in \operatorname {Ob} (\mathrm {Sch} /S)$ एक योजना हैं और $X\to Y$ को $Y$ के $fppf$ आच्छादन में परिशोधित किया जा सकता है यदि $X$ समतल है तब स्थानीय रूप से परिमित प्रकार या स्थानीय रूप से परिमित प्रस्तुति $Y$ के पास यह गुण है। इस प्रकार के विचार को लक्ष्य पर स्थानीय गुणों या आकारिकी $f:X\to Y$ के स्रोत पर विचार करके आगे बढ़ाया जा सकता है। हम कहते हैं कि $\{X_{i}\to X\}_{i\in I}$ एक संपत्ति ${\mathcal {P}}$ स्रोत पर स्थानीय है यदि

• $f:X\to Y$में ${\mathcal {P}}$ है यदि और केवल यदि प्रत्येक $X_{i}\to Y$ में ${\mathcal {P}}$ है।
• लक्ष्य पर स्थानीय नामक लक्ष्य एक समान है। इसका तात्पर्य है कि $\{Y_{i}\to Y\}_{i\in I}$ एक समाविष्ट है।
• $f:X\to Y$ में ${\mathcal {P}}$ है यदि और केवल यदि प्रत्येक $X\times _{Y}Y_{i}\to Y_{i}$ में ${\mathcal {P}}$ है।

$fppf$ सांस्थिति के लिए संलयन होना लक्ष्य पर स्थानीय है। $fppf$ सांस्थिति एफ के लिए स्रोत पर पिछले गुणों के अतिरिक्त सार्वभौमिक रूप से विवृत होने के कारण स्रोत पर भी स्थानीय है। इसके अतिरिक्त, स्थानीय रूप से नोथेरियन और जैकबसन स्रोत पर स्थानीय हैं और $fppf$ सांस्थिति के लिए लक्ष्य हैं। यह $fpqc$ सांस्थिति में नहीं है, तकनीकी गुणों की स्थिति में यह अपेक्षाकृत अच्छा नहीं होता है। हालांकि यह सच है कि $fpqc$ सांस्थिति पर बीजगणितीय स्टैक का उपयोग करना अभी भी इसका उपयोग है जैसे कि सह-समरूपता सिद्धांत में ऐसा इसलिए है क्योंकि औपचारिक समूहों का मोडुली स्टैक ${\mathcal {M}}_{fg}$ $fpqc$ बीजगणितीय स्टैक है।^{पेज 40}

प्रतिनिधित्व योग्य विकर्ण

परिभाषा के अनुसार 1- आकारिता$f:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}$ ग्रुपोइड्स में सूत्र की गई श्रेणियां बीजगणितीय रिक्त समष्टि द्वारा प्रस्तुत की जा सकती हैं। यदि किसी $fppf$ आकारिकी के लिए योजनाओ का $U\to S$ और कोई भी 1- आकारिता $y:(Sch/U)_{fppf}\to {\mathcal {Y}}$ से संबंधित श्रेणी ग्रुपोइड्स में सूत्र की गई है::

$(Sch/U)_{fppf}\times _{\mathcal {Y}}{\mathcal {X}}$

एक बीजगणितीय समष्टि के रूप में प्रतिनिधित्व योग्य है जिसका अर्थ है कि एक बीजगणितीय समष्टि सम्मिलित है:

$F:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Sets$

जैसे कि संबंधित सूत्रयुक्त श्रेणी ${\mathcal {S}}_{F}\to (Sch/S)_{fppf}$ के बराबर है $(Sch/U)_{fppf}\times _{\mathcal {Y}}{\mathcal {X}}$ विकर्ण के प्रतिनिधित्व के लिए कई समतुल्य शर्तें हैं। जो इस तकनीकी स्थिति के लिए अंतर्ज्ञान देने में सहायता करते हैं, लेकिन मुख्य प्रेरणाओं में से एक निम्नलिखित है एक योजना के लिए $U$ और वस्तुएं $x,y\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {X}}_{U})$ मे शीफ $\operatorname {Isom} (x,y)$ बीजगणितीय समष्टि के रूप में प्रतिनिधित्व करने योग्य है। विशेष रूप से, स्टैक पर किसी भी बिंदु के लिए स्थिरता समूह $x:\operatorname {Spec} (k)\to {\mathcal {X}}_{\operatorname {Spec} (k)}$ के रूप में प्रतिनिधित्व योग्य है बीजगणितीय समष्टि एक प्रतिनिधित्व योग्य विकर्ण होने का एक अन्य महत्वपूर्ण समकक्ष तकनीकी स्थिति है कि एक बीजगणितीय स्टैक में किसी भी दो बीजगणितीय रिक्त समष्टि का प्रतिच्छेदन एक बीजगणितीय समष्टि है जिसमे सूत्र उत्पादों का उपयोग करके सुधार किया गया है:

${\begin{matrix}Y\times _{\mathcal {X}}Z&\to &Y\\\downarrow &&\downarrow \\Z&\to &{\mathcal {X}}\end{matrix}}$

विकर्ण की प्रतिनिधित्व क्षमता $Y\to {\mathcal {X}}$ के समतुल्य है जो एक बीजगणितीय समष्टि $Y$ के लिए प्रतिनिधित्व योग्य है ऐसा इसलिए है क्योंकि दिए गए आकारिकी $Y\to {\mathcal {X}},Z\to {\mathcal {X}}$ बीजगणितीय समष्टि से मानचित्र विकर्ण ${\mathcal {X}}\times {\mathcal {X}}$ तक विस्तारित होते हैं बीजगणितीय रिक्त समष्टि के लिए एक समान कथन है जो एक बीजगणितीय समष्टि के रूप में $(F/S)_{fppf}$ पर एक शीफ की प्रतिनिधित्व क्षमता प्रदान करता है।

ध्यान दें कि विकर्ण की प्रतिनिधित्व क्षमता की एक समान स्थिति उच्च स्टैक के कुछ योगों के लिए होती है। जहां सूत्र उत्पाद एक $n$-स्टैक ${\mathcal {X}}$ के लिए एक $(n-1)$ स्टैक है।

विशेषण और चिकनी मानचित्र

2-योनेदा लेम्मा

एक $fppf$ योजना $U\to S$ का अस्तित्व और सूत्र वाली श्रेणियों का 1-आकारिकी ${\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}$ जो विशेषण है और सहज सूत्रयुक्त श्रेणियों के समतल और विशेषण आकारिकी को परिभाषित करने पर निर्भर करता है जहाँ $h_{U}:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Sets$ पर प्रदर्शित करने योग्य प्रकार्यक ${\mathcal {U}}$ से बीजगणितीय स्टैक है ग्रुपोइड्स में सूत्र की गई श्रेणियों में जहां श्रेणियों में केवल तुच्छ आकारिकी होती है। इसका तात्पर्य यह है कि समुच्चय $h_{U}(T)={\text{Hom}}_{(Sch/S)_{fppf}}(T,U)$ को एक श्रेणी के रूप में माना जाता है और $h_{\mathcal {U}}(T)$, $h_{U}(T)$ में वस्तुओं को $fppf$ के रूप में दर्शाया गया है और $f:T\to U$ को आकारिता की पहचान के रूप में दर्शाया गया है।

इसलिए

$h_{\mathcal {U}}:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Groupoids$

ग्रुपोइड्स का 2-प्रकार्यक है इस 2-प्रकार्यक को एक शीफ दिखाना 2-योनेदा लेम्मा योजना है। ग्रोथेंडिक निर्माण का उपयोग करते हुए ${\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}$ दर्शाए गए ग्रुपोइड्स में एक संबद्ध श्रेणी सूत्र की गई है।

ग्रुपोइड्स में सूत्र की गई श्रेणियों के प्रतिनिधित्व योग्य आकार

${\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}$ समतल या कर्तृपदीय है हमें प्रतिनिधित्व योग्य आकारिता को प्रस्तुत करना है। $p:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}$ पर ग्रुपोइड्स में सूत्र की गई श्रेणियों का एक आकारिकी $(Sch/S)_{fppf}$ को प्रतिनिधित्व योग्य कहा जाता है यदि वस्तु $T\to S$ में और एक वस्तु $(Sch/S)_{fppf}$ $t\in {\text{Ob}}({\mathcal {Y}}_{T})$ मे 2-सूत्र उत्पाद $(Sch/T)_{fppf}\times _{t,{\mathcal {Y}}}{\mathcal {X}}_{T}$ दिये गए है तब ये योजना द्वारा प्रतिनिधित्व योग्य है जिससे हम कह सकते हैं कि ग्रुपोइड्स $p$ में आकारिता वाली श्रेणियों का रूपवाद समतल और कर्तृपदीय है यदि संबंधित आकारिता$(Sch/T)_{fppf}\times _{t,{\mathcal {Y}}}{\mathcal {X}}_{T}\to (Sch/T)_{fppf}$ योजनाओं मे सहज और कर्तृपदीय है।

डेलिग्न-ममफोर्ड स्टैक

बीजगणितीय स्टैक, जिन्हें आर्टिन स्टैक के रूप में भी जाना जाता है परिभाषा के अनुसार एक समतल कर्तृपदीय मानचित्र ${\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}$ उपस्थित हैं जहां ${\mathcal {U}}$ स्टैक है किसी योजना से संबंधित $U\to S$ यदि मानचित्र ${\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}$ इसके अतिरिक्त ईटेल है तो ${\mathcal {X}}$ को डेलिग्न-ममफोर्ड स्टैक कहा जाता है।

डेलिग्न-ममफोर्ड स्टैक का उपवर्ग उपयोगी है क्योंकि यह माना जाने वाले कई प्राकृतिक स्टैक के लिए सही सेटिंग प्रदान करता है जैसे कि बीजगणितीय वक्रों का मोडुली स्टैक इसके अतिरिक्त, वे अपेक्षाकृत उपयोगी हैं कि डेलिग्न-ममफोर्ड स्टैक में बिंदुओं द्वारा प्रदर्शित की गई वस्तु में अतिसूक्ष्म स्वसमाकृतिकता नहीं होती है। यह बहुत महत्वपूर्ण है क्योंकि अतिसूक्ष्म स्वसमाकृतिकता आर्टिन स्टैक के विरूपण सिद्धांत का अध्ययन करना बहुत कठिन बना देती है। उदाहरण के लिए, आर्टिन स्टैक के विरूपण सिद्धांत $BGL_{n}=[*/GL_{n}]$ मे $n$ सदिश स्टैक के मोडुली स्टैक, आंशिक रूप से लाई बीजगणित ${\mathfrak {gl}}_{n}$ मे होते है। यह सामान्य रूप से विकृतियों और अवरोधों के एक अनंत अनुक्रम की ओर जाता है जो स्थिर समूह के मॉड्यूल के अध्ययन के लिए प्रेरणाओं में से एक है केवल लाइन समूह के विरूपण सिद्धांत की विशेष स्थिति में $[*/GL_{1}]=[*/\mathbb {G} _{m}]$ विरूपण सिद्धांत को ध्यान में रखा जा सकता है क्योंकि संबंधित लाई बीजगणितीय विनिमेय समूह है।

ध्यान दें कि कई स्टैक स्वाभाविक रूप से डेलिग्न-ममफोर्ड स्टैक के रूप में प्रदर्शित नहीं किए जा सकते हैं क्योंकि यह केवल सीमित आच्छादन या सीमित आच्छादन वाले बीजगणितीय स्टैक की स्वीकृति देता है। ध्यान दें कि क्योंकि प्रत्येक ईटेल आच्छादन समतल है और स्थानीय रूप से परिमित प्रस्तुति के है $fppf$ सांस्थिति के साथ परिभाषित बीजगणितीय स्टैक इस सिद्धांत को समाहित करते हैं लेकिन ये अभी भी उपयोगी है क्योंकि प्रकृति में पाए जाने वाले कई स्टैक इस रूप के हैं जैसे कि मॉड्यूल वक्र ${\mathcal {M}}_{g}$ इसके अतिरिक्त, इस प्रकार के स्टैक के अंतर-ज्यामितीय एनालॉग को कक्षीय संरचना कहा जाता है। एटेल स्थिति का तात्पर्य 2-प्रकार्यक से है:

$B\mu _{n}:(\mathrm {Sch} /S)^{\text{op}}\to {\text{Cat}}$

टोर्सर (बीजगणितीय ज्यामिति) $\mu _{n}$ के अपने समूह में एक योजना एटेल सांस्थिति पर एक स्टैक के रूप में प्रतिनिधित्व करने योग्य है लेकिन पिकार्ड-स्टैक $B\mathbb {G} _{m}$ का $\mathbb {G} _{m}$ टॉर्सर्स (समान रूप से लाइन स्टैक की श्रेणी) प्रतिनिधित्व योग्य नहीं है। इस रूप के स्टैक $fppf$ सांस्थिति पर स्टैक के रूप में प्रदर्शित किए जा सकते हैं। $fppf$ सांस्थिति और ईटेल सांस्थिति पर विचार करने का एक अन्य कारण 'कुमर-अनुक्रम' की विशेषता $p$ से अधिक होती है:

$0\to \mu _{p}\to \mathbb {G} _{m}\to \mathbb {G} _{m}\to 0$

केवल $fppf$ स्टैकों के अनुक्रम के रूप में यह शुद्ध हैलेकिन ईटेल स्टैकों के अनुक्रम के रूप में नहीं होता है।

अन्य सांस्थिति पर बीजगणितीय स्टैक को परिभाषित करना

अन्य ग्रोथेंडिक सांस्थिति का उपयोग करना $(F/S)$ बीजगणितीय स्टैक का वैकल्पिक सिद्धांत देता है जो या तो पर्याप्त सामान्य नहीं हैं या आच्छादन के आधार से आच्छादन की कुल समष्टि तक गुणों का आदान-प्रदान करने के संबंध में अच्छा व्यवहार नहीं करते हैं यह याद रखना उपयोगी है कि $(F/S)$ पर बड़ी सांस्थिति के सामान्यीकरण का निम्न पदानुक्रम है:

${\text{fpqc}}\supset {\text{fppf}}\supset {\text{smooth}}\supset {\text{etale}}\supset {\text{Zariski}}$

संरचना शीफ ​​

बीजगणितीय स्टैक की संरचना शीफ स्थिति $(Sch/S)_{fppf}$ पर सार्वभौमिक संरचना शीफ ${\mathcal {O}}$ से वापस प्राप्त की गई वस्तु है। इस सार्वभौमिक संरचना शीफ को निम्न रूप में परिभाषित किया गया है:

${\mathcal {O}}:(Sch/S)_{fppf}^{op}\to Rings,{\text{ where }}U/X\mapsto \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{U})$

इससे संबंधित संरचना शीफ ​​ग्रुपोइड्स में सूत्र वाली श्रेणी पर $p:{\mathcal {X}}\to (Sch/S)_{fppf}$ को ${\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}:=p^{-1}{\mathcal {O}}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।

जहां $p^{-1}$ ग्रोथेंडिक सांस्थिति के मानचित्र से प्राप्त होता है। विशेष रूप से, इसका अर्थ यह है कि $x\in {\text{Ob}}({\mathcal {X}})$ $U$के ऊपर स्थित है और $p(x)=U$ को {\${\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}(x)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{U})$ की जांच के रूप में विभिन्न सांस्थिति के लिए $S$-योजना $X$ से आने वाले ग्रुपोइड्स में सूत्र श्रेणी से इसकी तुलना करना उपयुक्त है।

उदाहरण के लिए, यदि $({\mathcal {X}}_{Zar},{\mathcal {O}}_{\mathcal {X}})=((Sch/X)_{Zar},{\mathcal {O}}_{X})$ $(Sch/S)_{fppf}$ पर ग्रुपोइड्स में सूत्र वाली एक श्रेणी है तब विवृत उपयोजना के लिए संरचना शीफ ​​$U\to X$ प्राप्त होता है:

${\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}(U)={\mathcal {O}}_{X}(U)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$

इसलिए यह परिभाषा एक योजना पर उत्कृष्ट संरचना शीफ ​​को पुनः प्राप्त करती है। इसके अतिरिक्त, भागफल स्टैक के लिए ${\mathcal {X}}=[X/G]$ संरचना शीफ ​​यह $G$- अचर बहुपद${\mathcal {O}}_{\mathcal {X}}(U)=\Gamma (U,u^{*}{\mathcal {O}}_{X})^{G}$ के लिए $u:U\to X$ में $(Sch/S)_{fppf}$ प्रदान करती है।

उदाहरण

स्टैक का वर्गीकरण

See also: भागफल स्टैक

बीजगणितीय समूहों के लिए कई वर्गीकृत स्टैक बीजगणितीय स्टैक हैं। वास्तव में एक बीजगणितीय समूह समष्टि $G$ के लिए योजना $S$ पर जो परिमित प्रस्तुति का समतल है और स्टैक $BG$ एक बीजगणितीय स्टैक है।^{प्रमेय 6.1}

यह भी देखें

• गेर्बर नियम
• चाउ समूह स्टैक
• सह-समरूपता स्टैक
• भागफल स्टैक
• बीजगणितीय शीफ स्टैक
• टोरिक स्टैक
• आर्टिन मानदंड
• पश्च स्टैक
• व्युत्पन्न बीजगणितीय ज्यामिति

बाहरी संबंध

आर्टिन के स्वयंसिद्ध

• https://stacks.math.columbia.edu/tag/07SZ - अभिगृहीत और बीजगणितीय स्टैक देखें
• आर्टिन बीजगणित और भागफल स्टैक - जैरोड एल्पर

कागजात

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• Hall, Jack; Rydh, David (2014). "हिल्बर्ट ढेर". Advances in Mathematics. 253: 194–233. arXiv:1011.5484. doi:10.1016/j.aim.2013.12.002. S2CID 55936583.
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अनुप्रयोग

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• Knudsen, Finn F. (1983). "स्थिर वक्रों के मोडुली स्थान की प्रोजेक्टिविटी, II: ढेर ${\mathcal {M}}_{g,n}$". Mathematica Scandinavica. 52: 161. doi:10.7146/math.scand.a-12001.
• Jiang, Yunfeng (2019). "सतहों पर प्रोजेक्टिव हिग्स बंडलों के मोडुली स्टैक के निर्माण पर". arXiv:1911.00250 [math.AG].

मैथोवरफ्लो धागे

• क्या बीजगणितीय स्टैक fpqc डिसेंट को संतुष्ट करते हैं?
• fpqc सांस्थिति में स्टैक
• fpqc स्टैक के आच्छादन

अन्य

• स्टैक के उदाहरण
• arxiv:math/0412512|ग्रोथेंडिक सांस्थिति, सूत्र्ड कैटेगरी और डिसेंट थ्योरी पर नोट्स
• बीजीय स्टैक पर नोट्स

श्रेणी:बीजगणितीय वक्र श्रेणी:मोडुली सिद्धांत श्रेणी:बीजगणितीय ज्यामिति