मोनोमियल ऑर्डर

गणित में, एकपदी प्रणाली (जिसे सत्र प्रणाली या स्वीकार्य प्रणाली कहा जाता है) एक दिए गए बहुपद वृत्त में सभी (असफल) एकपदी के सेट पर कुल अनुक्रम होता है, जो गुणन के गुण को संतुष्ट करता है, अर्थात,

• अगर $u\leq v$ और $w$ तब कोई अन्य एकपदी है $uw\leq vw$.

एकपदी क्रम का सबसे अधिक उपयोग ग्रोबनर बेस और बहुचर विभाजन के साथ किया जाता है। विशेष रूप से, ग्रोबनर बेस होने की संपत्ति हमेशा एक विशिष्ट एकपदी प्रणाली के सापेक्ष होती है।

परिभाषा, विवरण और विविधताएं

गुणन का सम्मान करने के अतिरिक्त, एकपदी प्रणाली को अधिकांशतः सुव्यवस्था होने की आवश्यकता होती है, चूंकि यह सुनिश्चित करता है कि बहुभिन्नरूपी विभाजन प्रक्रिया समाप्त हो जाएगी। चूंकि एकपदी स्थिति पर गुणा-सम्मानित क्रम संबंधों के लिए व्यावहारिक अनुप्रयोग भी हैं जो अच्छी स्थिति नहीं हैं।

परिमित रूप से कई चर के विषय में, एक एकपदी प्रणाली का सुव्यवस्थित क्रम निम्नलिखित दो स्थितियों के संयोजन के बराबर है:

1. अनुक्रम कुल प्रणाली है।
2. यदि u कोई एकपदी हैं तो $1\leq u$ है।

चूंकि इन शर्तों को एक स्पष्ट नियम के माध्यम से परिभाषित एक एकपदी प्रणाली के लिए सत्यापित करना आसान हो सकता है, सीधे यह प्रमाणित करने के लिए कि यह एक अच्छा क्रम है, उन्हें कभी-कभी एकपदी क्रम की परिभाषाओं में पसंद किया जाता है।

प्रमुख एकपदी, शर्तें और गुणांक

एकपदी कुल क्रम का चुनाव बहुपद की शर्तों को क्रमबद्ध करने की अनुमति देता है। एक बहुपद का अग्रणी शब्द इस प्रकार सबसे बड़ा एकपदी का पद है।

ठोस रूप से, R बहुपदों का कोई वलय हो। फिर सेट M (मोनिक) एकपदी में R का एक आधार है जिसे गुणांक के क्षेत्र में एक वेक्टर स्थान के रूप में माना जाता है। इस प्रकार, R में किसी भी शून्येतर बहुपद p का एक अद्वितीय व्यंजक होता है

$p=\textstyle \sum _{u\in S}c_{u}u$ एकपदी के एक रैखिक संयोजन के रूप में, जहां S, M का परिमित उपसमुच्चय है और cu सभी शून्येतर हैं। जब एक एकपदी क्रम चुना जाता है, तो अग्रणी एकपदी S में सबसे बड़ा u होता है अग्रणी गुणांक संबंधित cu है,  और अग्रणी शब्द संबंधित cuu है। शीर्ष एकपदी/गुणांक/शब्द को कभी-कभी "अग्रणी" के पर्याय के रूप में प्रयोग किया जाता है। कुछ लेखक एकपदी के अतिरिक्त समय और पावर प्रोडक्ट के अतिरिक्त एकपदी का उपयोग करते हैं। इस लेख में, एकपदी को गुणांक सम्मलित नहीं माना जाता है।

एकपदी प्रणाली की परिभाषित संपत्ति का तात्पर्य है कि एक बहुपद को एक एकपदी से गुणा करते समय शब्दों का क्रम रखा जाता है। साथ ही, बहुपदों के गुणनफल का अग्रणी पद गुणनखंडों के प्रमुख पदों का गुणनफल होता है।

उदाहरण

मंच पर $\left\{x^{n}\mid n\in \mathbb {N} \right\}$ किसी एक चर x की शक्तियों का, केवल एकपदी आदेश प्राकृतिक क्रम 1 < x < x हैं² < x³ < ... और इसका विलोम, जिसका बाद वाला क्रम ठीक नहीं है। इसलिए, एकपद क्रम की धारणा केवल बहु चरों के मामले में दिलचस्प हो जाती है।

मोनोमियल ऑर्डर का तात्पर्य व्यक्तिगत अनिश्चित पर एक आदेश से है। यह मानकर कि एकपदीय आदेशों के वर्गीकरण को आसान बनाया जा सकता है, यह मानकर कि निर्धारकों का नाम x रखा गया है₁, एक्स₂, एक्स₃, ... एकपदी क्रम के लिए घटते क्रम में माना जाता है, ताकि हमेशा x₁ > x₂ > x₃ > …. (यदि अपरिमित रूप से अनेक अनिश्चित हों, तो यह परिपाटी अच्छी क्रम वाली होने की शर्त के साथ असंगत है, और किसी को विपरीत क्रम का उपयोग करने के लिए बाध्य किया जाएगा; हालांकि अपरिमित रूप से कई चरों में बहुपदों के मामले पर शायद ही कभी विचार किया जाता है।) उदाहरण में नीचे हम x के बजाय x, y और z का उपयोग करते हैं₁, एक्स₂ और एक्स₃. इस सम्मेलन के साथ अभी भी विभिन्न मोनोमियल ऑर्डर के कई उदाहरण हैं।

लेक्सिकोग्राफिक क्रम

कोश संबंधी क्रम (लेक्स) पहले x के घातांकों की तुलना करता है₁ मोनोमियल में, और समानता के मामले में x के घातांक की तुलना करता है₂, इत्यादि। यह नाम शब्दकोशों के लिए कोशरचना में उपयोग किए जाने वाले सामान्य वर्णानुक्रमिक क्रम की समानता से लिया गया है, यदि मोनोमियल्स को अनिश्चित के प्रतिपादकों के अनुक्रम द्वारा दर्शाया जाता है। अगर अनिश्चित की संख्या निश्चित है (जैसा कि आमतौर पर होता है), लेक्सिकोग्राफिक ऑर्डर एक अच्छा क्रम है, हालांकि यह विभिन्न लंबाई के अनुक्रमों पर लागू लेक्सिकोोग्राफ़िकल ऑर्डर के मामले में नहीं है (देखें Lexicographic order § Ordering of sequences of various lengths). ग्रोबनर आधार संगणनाओं के लिए यह क्रम सबसे महंगा होता है; इस प्रकार जहां तक ​​संभव हो, अत्यंत सरल संगणनाओं को छोड़कर इससे बचना चाहिए।

ग्रेडेड लेक्सिकोग्राफिक ऑर्डर

ग्रेडेड लेक्सिकोग्राफ़िक ऑर्डर (डिग्री लेक्सिकोग्राफ़िक ऑर्डर के लिए ग्रेलेक्स, या डेग्लेक्स) पहले कुल डिग्री (सभी एक्सपोनेंट्स का योग) की तुलना करता है, और एक टाई के मामले में लेक्सिकोग्राफ़िक ऑर्डर लागू होता है। यह क्रम न केवल एक अच्छा क्रम है, इसमें यह गुण भी है कि कोई भी एकपदी केवल अन्य एकपदी की परिमित संख्या से पहले होता है; यह लेक्सिकोग्राफिक ऑर्डर का मामला नहीं है, जहां x की सभी (असीम रूप से कई) शक्तियां y से कम हैं (वह लेक्सिकोग्राफिक ऑर्डर फिर भी एक अच्छी तरह से ऑर्डरिंग एक अनंत घटती श्रृंखला के निर्माण की असंभवता से संबंधित है मोनोमियल्स का)। हालांकि बहुत स्वाभाविक है, इस क्रम का उपयोग शायद ही कभी किया जाता है: ग्रेडेड रिवर्स लेक्सिकोग्राफिक ऑर्डर के लिए ग्रोबनेर आधार, जो निम्नानुसार है, गणना करना आसान है और बहुपदों के इनपुट सेट पर समान जानकारी प्रदान करता है।

ग्रेडेड रिवर्स लेक्सिकोग्राफिक ऑर्डर

ग्रेडेड रिवर्स लेक्सिकोग्राफिक ऑर्डर (ग्रेव्लेक्स, या डिग्री रिवर्स लेक्सिकोग्राफिक ऑर्डर के लिए डीग्रेव्लेक्स) पहले कुल डिग्री की तुलना करता है, फिर टाई-ब्रेकर के रूप में रिवर्स लेक्सिकोग्राफिक ऑर्डर का उपयोग करता है, लेकिन यह लेक्सिकोग्राफिक तुलना के परिणाम को उलट देता है ताकि लेक्सिकोग्राफिक रूप से बड़े मोनोमियल उसी डिग्री के degrevlex छोटे माने जाते हैं। अंतिम आदेश के लिए पारंपरिक आदेश प्रदर्शित करने के लिए x₁ > x₂ > … > x_n अनिश्चित, इसके अलावा यह आवश्यक है कि टाई-ब्रेकर लेक्सिकोग्राफिक क्रम उलटने से पहले अंतिम अनिश्चित x पर विचार करता है_n सबसे बड़ा होना, जिसका अर्थ है कि इसे उस अनिश्चित से शुरू होना चाहिए। ग्रेडेड रिवर्स लेक्सिकोग्राफिक ऑर्डर के लिए एक ठोस नुस्खा इस प्रकार पहले कुल डिग्री से तुलना करना है, फिर अंतिम अनिश्चित एक्स के एक्सपोनेंट्स की तुलना करें_n लेकिन परिणाम को उलट देना (इसलिए क्रम में छोटे एक्सपोनेंट वाला मोनोमियल बड़ा होता है), एक्स की समान तुलना द्वारा पीछा किया जाता है (हमेशा केवल एक टाई के मामले में)।_n−1, और आगे एक्स के साथ समाप्त होता है₁. ग्रेडेड लेक्सिकोग्राफिक और ग्रेडेड रिवर्स लेक्सिकोग्राफिक ऑर्डर के बीच अंतर सूक्ष्म हैं, क्योंकि वे वास्तव में 1 और 2 अनिश्चित के लिए मेल खाते हैं। पहला अंतर डिग्री 2 मोनोमियल्स के लिए 3 अनिश्चित में आता है, जो वर्गीकृत लेक्सिकोग्राफिक के रूप में क्रमबद्ध हैं $x_{1}^{2}>x_{1}x_{2}>x_{1}x_{3}>x_{2}^{2}>x_{2}x_{3}>x_{3}^{2}$ लेकिन ग्रेडेड रिवर्स लेक्सिकोग्राफिक के रूप में आदेश दिया गया $x_{1}^{2}>x_{1}x_{2}>x_{2}^{2}>x_{1}x_{3}>x_{2}x_{3}>x_{3}^{2}$. सामान्य प्रवृत्ति यह है कि रिवर्स ऑर्डर किसी भी डिग्री के छोटे मोनोमियल्स के बीच सभी चर प्रदर्शित करता है, जबकि गैर-रिवर्स ऑर्डर के साथ किसी भी डिग्री के सबसे छोटे मोनोमियल्स के अंतराल केवल सबसे छोटे चर से बनते हैं।

निष्कासन आदेश

ब्लॉक ऑर्डर या एलिमिनेशन ऑर्डर (लेक्सडेग) को किसी भी संख्या में ब्लॉक के लिए परिभाषित किया जा सकता है, लेकिन सादगी के लिए, हम केवल दो ब्लॉकों के मामले पर विचार करते हैं (हालांकि, अगर ब्लॉक की संख्या चर की संख्या के बराबर होती है, तो यह ऑर्डर केवल लेक्सिकोग्राफिक ऑर्डर)। इस आदेश के लिए, वेरिएबल्स को दो ब्लॉक x में विभाजित किया गया है₁,..., एक्स_h और वाई₁,...,और_k और प्रत्येक ब्लॉक के लिए एक मोनोमियल ऑर्डरिंग चुना जाता है, आमतौर पर ग्रेडेड रिवर्स लेक्सिकोोग्राफिकल ऑर्डर। दो एकपदी की तुलना उनके x भाग की तुलना करके की जाती है, और टाई के मामले में उनके y भाग की तुलना करके की जाती है। यह क्रम महत्वपूर्ण है क्योंकि यह उन्मूलन की अनुमति देता है, एक ऑपरेशन जो बीजगणितीय ज्यामिति में प्रक्षेपण से मेल खाता है।

वजन क्रम

वजन क्रम एक वेक्टर पर निर्भर करता है $(a_{1},\ldots ,a_{n})\in \mathbb {R} _{\geq 0}^{n}$ वजन वेक्टर कहा जाता है। यह पहले इस वज़न वेक्टर के साथ मोनोमियल के एक्सपोनेंट अनुक्रमों के डॉट उत्पाद की तुलना करता है, और एक टाई के मामले में कुछ अन्य निश्चित मोनोमियल ऑर्डर का उपयोग करता है। उदाहरण के लिए, ऊपर दिए गए ग्रेडेड ऑर्डर कुल डिग्री वेट वेक्टर (1,1,...,1) के लिए वेट ऑर्डर हैं। अगर ए_i तर्कसंगत निर्भरता संख्याएं हैं (इसलिए विशेष रूप से उनमें से कोई भी शून्य नहीं है और सभी भिन्न हैं ${\tfrac {a_{i}}{a_{j}}}$ अपरिमेय हैं) तो एक टाई कभी नहीं हो सकता है, और वज़न वेक्टर स्वयं एक मोनोमियल ऑर्डरिंग निर्दिष्ट करता है। इसके विपरीत मामले में, संबंधों को तोड़ने के लिए एक और वजन वेक्टर का उपयोग किया जा सकता है, और इसी तरह; n रैखिक रूप से स्वतंत्र भार सदिशों का उपयोग करने के बाद, कोई शेष बंधन नहीं हो सकता। कोई वास्तव में वजन वैक्टर (#cox et al. पीपी। 72-73) के अनुक्रम द्वारा किसी मोनोमियल ऑर्डर को परिभाषित कर सकता है, उदाहरण के लिए (1,0,0,...,0), (0,1,0, ...,0), ... (0,0,...,1) लेक्स के लिए, या (1,1,1,...,1), (1,1,..., 1, 0), ... (1,0,...,0) ग्रेव्लेक्स के लिए।

उदाहरण के लिए, मोनोमियल्स पर विचार करें $xy^{2}z$, $z^{2}$, $x^{3}$, और $x^{2}z^{2}$; ऊपर दिए गए मोनोमियल ऑर्डर इन चार मोनोमियल्स को निम्नानुसार ऑर्डर करेंगे:

• लेक्स: $x^{3}>x^{2}z^{2}>xy^{2}z>z^{2}$ (किसकी सत्ता $x$ हावी है)।
• ग्रेलेक्स: $x^{2}z^{2}>xy^{2}z>x^{3}>z^{2}$ (कुल डिग्री हावी है; की उच्च शक्ति $x$ पहले दो के बीच टाई तोड़ दी)।
• ग्रेवलेक्स: $xy^{2}z>x^{2}z^{2}>x^{3}>z^{2}$ (कुल डिग्री हावी है; की कम शक्ति $z$ पहले दो के बीच टाई तोड़ दी)।
• वेट वेक्टर के साथ एक वेट ऑर्डर (1,2,4): $x^{2}z^{2}>xy^{2}z>z^{2}>x^{3}$ (डॉट उत्पाद 10>9>8>3 यहां टूटने के लिए कोई बंधन नहीं छोड़ते)।

संबंधित धारणाएँ

• एक विलोपन आदेश यह गारंटी देता है कि एक एकपदी जिसमें अनिश्चित का कोई भी समूह शामिल है, हमेशा उस एकपदी से बड़ा होगा जो उनमें से किसी को शामिल नहीं करता है।
• एक उत्पाद आदेश एक विलोपन आदेश का आसान उदाहरण है। यह उनके संघ पर एक मोनोमियल ऑर्डर में अनिश्चितताओं के असंबद्ध सेटों पर मोनोमियल ऑर्डर के संयोजन में शामिल है। यह पहले मोनोमियल ऑर्डर का उपयोग करके पहले सेट में अनिश्चित के घातांक की तुलना करता है, फिर दूसरे सेट के अनिश्चित पर अन्य मोनोमियल ऑर्डर का उपयोग करके संबंधों को तोड़ता है। यह विधि स्पष्ट रूप से अनिश्चित के समुच्चय के किसी भी असम्बद्ध मिलन का सामान्यीकरण करती है; लेक्सिकोग्राफिक ऑर्डर सिंगलटन सेट {x से प्राप्त किया जा सकता है₁}, {एक्स₂}, {एक्स₃}, ... (प्रत्येक सिंगलटन के लिए अद्वितीय मोनोमियल ऑर्डरिंग के साथ)।

ग्रोबनेर आधारों की गणना करने के लिए मोनोमियल ऑर्डरिंग का उपयोग करते समय, अलग-अलग ऑर्डर अलग-अलग परिणाम दे सकते हैं, और गणना की कठिनाई नाटकीय रूप से भिन्न हो सकती है। उदाहरण के लिए, ग्रेडेड रिवर्स लेक्सिकोग्राफिक ऑर्डर के पास उत्पादन के लिए एक प्रतिष्ठा है, लगभग हमेशा, ग्रोबनर बेस जो गणना करने में सबसे आसान हैं (यह इस तथ्य से लागू होता है कि, आदर्श पर सामान्य परिस्थितियों के तहत, ग्रोबनर आधार में बहुपदों में एक है डिग्री जो चर की संख्या में सबसे अधिक घातीय है; ऐसा कोई जटिलता परिणाम किसी अन्य आदेश के लिए मौजूद नहीं है)। दूसरी ओर, उन्मूलन सिद्धांत और सापेक्ष समस्याओं के लिए उन्मूलन आदेश आवश्यक हैं।

संदर्भ

• David Cox; John Little; Donal O'Shea (2007). Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra. Springer. ISBN 978-0-387-35650-1.