मिलनोर संख्या: Difference between revisions

Latest revision as of 17:27, 17 May 2023

गणित और विशेष रूप से विलक्षणता सिद्धांत में जॉन मिल्नोर के नाम पर मिल्नोर संख्या रोगाणु फलन का अचर है।

यदि f सम्मिश्र- मान पूर्णसममितिक रोगाणु फलन (गणित) है, तो f की मिल्नोर संख्या को μ(f) से निरूपित किया गया है, यद्यपि गैर नकारात्मक पूर्णांक या अपरिमित है। इसे ज्यामितीय अचर और बीजगणितीय अचर दोनों माना जा सकता है। इसी कारण यह बीजगणितीय ज्यामिति और विलक्षणता सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

बीजगणितीय परिभाषा

एक पूर्णसममितिक सम्मिश्र रोगाणु फलन पर विचार करें (गणित)

f:(\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ,0)\

और सभी रोगाणु फलन

(\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ,0)

के वलय को

{\mathcal {O}}_{n}

द्वारा निरूपित करें। फलन के प्रत्येक स्तर

\mathbb {C} ^{n}

में संकुल ऊनविम पृष्ठ है, इसलिए हम

f

को ऊनविम पृष्ठ विलक्षणता कहेंगे।

मान लें कि यह एक एकल विलक्षणता है: पूर्णसममितिक प्रतिचित्रण के स्थिति में कहा जा सकता हैं कि ऊनविम पृष्ठ विलक्षणता $f$ , $0\in \mathbb {C} ^{n}$ पर एकल है, यदि इसकी प्रवणता $\nabla f$ , $0$ पर शून्य होने की स्थिति में एक विलक्षण बिंदु को पृथक कर दिया जाता है, यदि यह पर्याप्ततः सूक्ष्म क्षेत्र में एकमात्र विलक्षण बिंदु है। विशेष रूप से, प्रवणता की बहुलता

\mu (f)=\dim _{\mathbb {C} }{\mathcal {O}}_{n}/\nabla f

रूकर के नलस्टेलेंसत्ज के अनुप्रयोग द्वारा परिमित है। यह संख्या $\mu (f)$ , $0$ विलक्षणता $f$ की मिलनोर संख्या है।

ध्यान दें कि प्रवणता की बहुलता परिमित है केवल यदि मूल f का एक पृथक क्रांतिक बिंदु है।

ज्यामितीय व्याख्या

मिल्नोर मूल रूप से ज्यामितीय शब्दों में^[1] $\mu (f)$ को ज्यामितीय नियमों में निम्नलिखित प्रकार से प्रस्तुत किया। मान $c$ के लिए सभी फाइबर $f^{-1}(c)$ , $0$ के समीप के वास्तविक आयाम $2(n-1)$ के कई गुना व्युत्क्रमणीय हैं। $0$ पर केंद्रित एक छोटी विवृत डिस्क $D_{\epsilon }$ के साथ उनका प्रतिच्छेदन स्मूथ मनिफॉल्ड $F$ है जिसे मिल्नोर फाइबर कहा जाता है। उनके अधिक सूक्ष्म होने की स्थिति में डिफियोमोर्फिज्म तक $F$ $c$ या $\epsilon$ पर निर्भर नहीं करता है। यह मिलनोर फिब्रेशन मैप के फाइबर के लिए भी भिन्न (डिफोमोर्फिक) है।

मिल्नोर फाइबर $F$ आयाम $2(n-1)$ के समान बहुरूपी है और $\mu (f)$ के क्षेत्रों $S^{n-1}$ में गुच्छ रूप के समान समस्थेयता प्रकार है। इसका अर्थ यह है कि इसकी मध्य बेट्टी संख्या $b_{n-1}(F)$ मिलनोर संख्या के समान है और इसमें $n-1$ से कम आयाम में एक बिंदु पर इसकी समरूपता है। उदाहरण के लिए, प्रत्येक एकल बिंदु $z_{0}$ के समीप एक सम्मिश्र समतल वक्र में $\mu _{z_{0}}(f)$ क्षेत्रों के पच्चर (वेज) के लिए इसकी मिल्नोर फाइबर समस्थानी है (मिल्नोर संख्या एक स्थानीय गुणधर्म है, इसलिए विभिन्न विलक्षण बिंदुओं पर इसके पृथक मान हो सकते हैं)।

इस प्रकार हमारे पास समानताएं हैं

मिलनोर संख्या = पच्चर में गोलों की संख्या =

F

की मध्य बेट्टी संख्या = मानचित्रण की डिग्री

z\to {\frac {{\nabla }f(z)}{\|{\nabla }f(z)\|}}

पर

S_{\epsilon }

= प्रवणता की बहुलता

\nabla f

मिल्नोर संख्या को देखने का एक अन्य तरीका क्षोभ सिद्धांत है। हम कहते हैं कि बिंदु एक पतित एकल बिंदु या f में एक अपभ्रष्ट विलक्षणता है तथा $z_{0}\in \mathbb {C} ^{n}$ पर यदि $z_{0}$ एक विलक्षण बिंदु है और दूसरे क्रम के सभी आंशिक डेरिवेटिव के हेसियन मैट्रिक्स का $z_{0}$ में शून्य निर्धारक है:

\det \left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial z_{i}\partial z_{j}}}\right)_{1\leq i\leq j\leq n}^{z=z_{0}}=0.

हम मानते हैं कि f में 0 पर एक पतित विलक्षणता है। हम इस पतित विलक्षणता की बहुलता के विषय में विचार करके यह कह सकते हैं कि कितने बिंदु अतिसूक्ष्‍म रूप से जुड़े हुए हैं। यदि हम अब क्षोभ सिद्धांत को एक निश्चित स्थिर तरह से व्यग्र करते हैं तो 0 पर पृथक पतित विलक्षणता अन्य पृथक विलक्षणताओं में विभाजित हो जाएगी जो अपतित हैं! ऐसी पृथक अपतित विलक्षणताओं की संख्या उन बिंदुओं की संख्या होगी जो अतिसूक्ष्‍म रूप से परस्पर जुड़ी हुई हैं।

संक्षेप में हम एक अन्य रोगाणु फलन g लेते हैं जो मूल बिंदु पर व्‍युत्‍क्रमणीय है और नए रोगाणु फलन h:= f + εg पर विचार करते हैं, जहां ε अतिसूक्ष्‍म है। जब ε = 0 तब h = f होता है। फलन h को मोर्स सिद्धांत का औपचारिक विकास कहा जाता है। फलन h की विलक्षणताओं की गणना करना बहुत कठिन है और वास्तव में यह अभिकलनीयतः असंभव हो सकता है। f की इस स्थानीय बहुलता को अतिसूक्ष्‍म रूप से चिपकाने वाले बिंदुओं की यह संख्या वास्तव में f की मिलनोर संख्या है।

आगे का योगदान^[2] बहुमुखी विकृतियों के स्थान के आयाम के संदर्भ में मिल्नोर संख्या को अर्थ देते हैं अर्थात मिल्नोर संख्या विकृतियों के पैरामीटर स्थान का न्यूनतम आयाम है जो प्रारंभिक विलक्षणता के विषय में सभी जानकारी लेती है।

उदाहरण

यहां हम दो चर राशियों में किए गए कुछ कार्यों का उदाहरण देते हैं। एक चर के साथ कार्य करना अधिक सरल है और तकनीकों के विषय में ज्ञात नहीं होता है किन्तु इसके विपरीत तीन चर राशियों के साथ कार्य करना अधिक जटिल हो सकता है। दो अच्छी संख्या है। साथ ही हम बहुपदों से चिपके रहते हैं। यदि f केवल पूर्णसममितिक(होलोमार्फिक) फलन तथा बहुपद नहीं है, तो हम f के घात श्रेणी विस्तरण के साथ कार्य कर सकते थे।

1

0 पर एक अनपभ्रष्ट विलक्षणता के साथ एक कार्य रोगाणु पर विचार करें, जिसे $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ कहते हैं। जैकबियन आदर्श सिर्फ $\langle 2x,2y\rangle =\langle x,y\rangle$ हैं। हम अगले स्थानीय बीजगणित की गणना करते हैं:

{\mathcal {A}}_{f}={\mathcal {O}}/\langle x,y\rangle =\langle 1\rangle .

इसके सत्यापन के लिए हैडामार्ड के स्वीकृत सिद्धांत का उपयोग कर सकते हैं जो कहती है कि हम कोई भी फलन $h\in {\mathcal {O}}$ लिख सकते हैं, जैसे

h(x,y)=k+xh_{1}(x,y)+yh_{2}(x,y)

${\mathcal {O}}$ में कुछ स्थिरांक k और फलन $h_{1}$ और $h_{2}$ के लिए (जहां $h_{1}$ या $h_{2}$ या दोनों यथार्थत: शून्य हो सकते हैं)। इसलिये x और y के मॉड्यूलो कार्यात्मक गुणक स्थिरांक को h के रूप में लिख सकते हैं। अचर फलन का स्थान 1 द्वारा फैला हुआ है, इसलिए ${\mathcal {A}}_{f}=\langle 1\rangle$

यह इस प्रकार है कि μ(f) = 1. यह जांचना सरल है कि 0 पर अनपभ्रष्ट विलक्षणता वाले किसी भी रोगाणु फलन g के लिए हमें μ(g) = 1 प्राप्त होता है।

ध्यान दें कि इस विधि को एक व्‍युत्‍क्रमणीय रोगाणु फलन g पर अनप्रयुक्‍त करने से हमें μ(g) = 0 प्राप्त होता है।

2

मान लें $f(x,y)=x^{3}+xy^{2}$ , तब

{\mathcal {A}}_{f}={\mathcal {O}}/\langle 3x^{2}+y^{2},xy\rangle =\langle 1,x,y,x^{2}\rangle .

तो इस स्थिति में $\mu (f)=4$ .

3

यदि कोई इसे प्रदर्शित कर सकता है $f(x,y)=x^{2}y^{2}+y^{3}$

तब $\mu (f)=\infty .$

इसे इस तथ्य से व्यक्त किया जा सकता है कि x-अक्ष के प्रत्येक बिंदु f पर एकल है।

वर्सल विकृति

मान लीजिए f परिमित मिलनोर संख्या μ और $g_{1},\ldots ,g_{\mu }$ स्थानीय बीजगणित के लिए एक सदिश समष्टि (रैखिक बीजगणित) के रूप में माना जाता है। तब f का एक मिनिवर्सल विरूपण किया जाता है

F:(\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{\mu },0)\to (\mathbb {C} ,0),

F(z,a):=f(z)+a_{1}g_{1}(z)+\cdots +a_{\mu }g_{\mu }(z),

जहाँ $(a_{1},\dots ,a_{\mu })\in \mathbb {C} ^{\mu }$ .

ये विकृतियाँ (या विकास(कार्य)) विज्ञान के अधिकांश क्षेत्रों में रुचि रखते हैं।^{[citation needed]}

अप्रसरण

तुल्यता वर्ग की रचना करने के लिए हम कार्य करने वाले रोगाणुओं को एक साथ एकत्रित कर सकते हैं। एक मानक तुल्यता A-समानक है। हम कहते हैं कि रोगाणु फलन $f,g:(\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ,0)$ A-समतुल्य हैं यदि वहाँ डिफियोमोर्फिज्म रोगाणु $\phi :(\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ^{n},0)$ और $\psi :(\mathbb {C} ,0)\to (\mathbb {C} ,0)$ उपस्थित हैं जैसे कि $f\circ \phi =\psi \circ g$ : फलन के डोमेन और श्रेणी दोनों में चर का एक डिफियोमॉर्फिक परिवर्तन उपस्थित है जो f से g तक ले जाता है।

यदि f और g, A-समतुल्य हैं तो μ(f) = μ(g) होगा।

तथापि, मिलनोर संख्या रोगाणु फलन के लिए एक पूर्ण अचर प्रदान नहीं करती है, अर्थात इसका परिवर्तन गलत है: रोगाणु फलन f और g, μ(f) = μ(g) के साथ उपस्थित A-समतुल्य नहीं हैं। इसे $f(x,y)=x^{3}+y^{3}$ और $g(x,y)=x^{2}+y^{5}$ देखने के लिए विचार करें। हमारे पास $\mu (f)=\mu (g)=4$ किंतु f और g स्पष्ट रूप से A-समतुल्य नहीं हैं क्योंकि f का हेसियन आव्यूह शून्य के बराबर है जबकि g का हेसियन आव्यूह शून्य के बराबर नहीं है (और हेसियन की श्रेणी A-अचर है, जो देखने में सरल है)।

संदर्भ

↑ Milnor, John (1969). कॉम्प्लेक्स हाइपरसर्फ्स के एकवचन बिंदु. Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press.
↑ Arnold, V.I.; Gusein-Zade, S.M.; Varchenko, A.N. (1988). अलग-अलग मानचित्रों की विलक्षणता. Vol. 2. Birkhäuser.

Arnold, V.I.; Gusein-Zade, S.M.; Varchenko, A.N. (1985). Singularities of differentiable maps. Vol. 1. Birkhäuser.
Gibson, Christopher G. (1979). Singular Points of Smooth Mappings. Research Notes in Mathematics. Pitman.
Milnor, John (1963). Morse Theory. Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press.
Milnor, John (1969). Singular points of Complex Hypersurfaces. Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press.

[1] Milnor, John (1969). कॉम्प्लेक्स हाइपरसर्फ्स के एकवचन बिंदु. Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press.

[2] Arnold, V.I.; Gusein-Zade, S.M.; Varchenko, A.N. (1988). अलग-अलग मानचित्रों की विलक्षणता. Vol. 2. Birkhäuser.

[1]

[2]

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 {{short description|Invariant that plays a role in algebraic geometry and singularity theory}}
-गणित में, और विशेष रूप से [[विलक्षणता सिद्धांत]], [[जॉन मिल्नोर]] के नाम पर मिलनोर संख्या, एक कार्य रोगाणु का एक अपरिवर्तनीय है।
+गणित और विशेष रूप से [[विलक्षणता सिद्धांत]] में [[जॉन मिल्नोर]] के नाम पर मिल्नोर संख्या रोगाणु फलन का अचर है।
-अगर ''f'' एक जटिल-मूल्यवान होलोमोर्फिक [[रोगाणु (गणित)]] है तो ''f'' की मिलनोर संख्या, जिसे ''μ''(''f'') कहा जाता है, या तो एक गैर-नकारात्मक [[पूर्णांक]] है, या अनंत है . इसे [[ अंतर ज्यामिति ]] इनवेरिएंट (गणित) और एक अमूर्त बीजगणित इनवेरिएंट दोनों माना जा सकता है। यही कारण है कि यह [[बीजगणितीय ज्यामिति]] और विलक्षणता सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।
+यदि f सम्मिश्र- मान पूर्णसममितिक [[रोगाणु (गणित)|रोगाणु फलन (गणित)]] है, तो f की मिल्नोर संख्या को μ(f) से निरूपित किया गया है, यद्यपि गैर नकारात्मक पूर्णांक या अपरिमित है। इसे [[ अंतर ज्यामिति |ज्यामितीय अचर]] और बीजगणितीय अचर दोनों माना जा सकता है। इसी कारण यह [[बीजगणितीय ज्यामिति]] और विलक्षणता सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।
 == बीजगणितीय परिभाषा ==
-एक होलोमोर्फिक जटिल संख्या रोगाणु पर विचार करें (गणित)
+एक पूर्णसममितिक सम्मिश्र रोगाणु फलन पर विचार करें (गणित)
-:<math> f : (\mathbb{C}^n,0) \to (\mathbb{C},0) \  </math> और द्वारा निरूपित करें <math>\mathcal{O}_n</math> सभी कार्यात्मक रोगाणुओं का वलय (गणित)। <math>(\mathbb{C}^n,0) \to (\mathbb{C},0)</math>.
+:<math> f : (\mathbb{C}^n,0) \to (\mathbb{C},0) \  </math> और सभी रोगाणु फलन <math>(\mathbb{C}^n,0) \to (\mathbb{C},0)</math> के वलय को <math>\mathcal{O}_n</math> द्वारा निरूपित करें। फलन के प्रत्येक स्तर <math>\mathbb{C}^n</math>में संकुल ऊनविम पृष्ठ है, इसलिए हम <math>f</math> को ऊनविम पृष्ठ विलक्षणता कहेंगे।
-फ़ंक्शन का प्रत्येक स्तर एक जटिल हाइपरसफेस है <math>\mathbb{C}^n</math>, इसलिए हम कॉल करेंगे <math>f</math> एक बीजगणितीय विविधता का एक हाइपरसफेस एकवचन बिंदु।
+मान लें कि यह एक [[पृथक विलक्षणता|एकल विलक्षणता]] है: पूर्णसममितिक प्रतिचित्रण के स्थिति में कहा जा सकता हैं कि ऊनविम पृष्ठ विलक्षणता <math>f</math>, <math>0 \in \mathbb{C}^n</math> पर एकल है, यदि इसकी प्रवणता <math>\nabla f</math>, <math>0 </math> पर शून्य होने की स्थिति में एक विलक्षण बिंदु को पृथक कर दिया जाता है, यदि यह पर्याप्ततः सूक्ष्म क्षेत्र में एकमात्र विलक्षण बिंदु है। विशेष रूप से, प्रवणता की बहुलता
-मान लें कि यह एक [[पृथक विलक्षणता]] है: होलोमोर्फिक मैपिंग के मामले में हम कहते हैं कि एक हाइपरसफेस विलक्षणता <math>f</math> पर एकवचन है <math>0 \in \mathbb{C}^n</math> अगर इसकी ढाल <math>\nabla f</math> पर शून्य है <math>0 </math>, एक विलक्षण बिंदु को अलग कर दिया जाता है यदि यह पर्याप्त रूप से छोटे [[पड़ोस (गणित)]] में एकमात्र एकवचन बिंदु है। विशेष रूप से, ढाल की बहुलता
 :<math> \mu(f) = \dim_{\mathbb{C}} \mathcal{O}_n/\nabla f </math>
-Hilbert's_Zero Places Set#Analytic_Zero Places Set_(Rueckert's_Zero Places Set)|Rueckert's Zero Places Set के एक अनुप्रयोग द्वारा परिमित है। यह नंबर <math> \mu(f)</math> विलक्षणता की मिलनोर संख्या है <math> f</math> पर <math>0</math>.
+रूकर के नलस्टेलेंसत्ज के अनुप्रयोग द्वारा परिमित है। यह संख्या <math> \mu(f)</math>, <math>0</math> विलक्षणता <math> f</math> की मिलनोर संख्या है।
-ध्यान दें कि ग्रेडिएंट की बहुलता परिमित है यदि और केवल यदि मूल f का पृथक विलक्षणता महत्वपूर्ण बिंदु है।
+ध्यान दें कि प्रवणता की बहुलता परिमित है केवल यदि मूल f का एक पृथक क्रांतिक बिंदु है।
 == ज्यामितीय व्याख्या ==
-मिलनोर मूल रूप से<ref>{{cite book | last=Milnor | first=John | authorlink=John Milnor | title=कॉम्प्लेक्स हाइपरसर्फ्स के एकवचन बिंदु| series=Annals of Mathematics Studies | year=1969 | publisher=[[Princeton University Press]]}}</ref> पुर: <math>\mu(f)</math> निम्नलिखित तरीके से ज्यामितीय शब्दों में। सभी फाइबर <math> f^{-1}(c) </math> मूल्यों के लिए <math>c</math> के करीब <math>0</math> वास्तविक आयाम के कई गुना विलक्षण हैं <math>2(n-1)</math>. एक छोटी खुली डिस्क के साथ उनका प्रतिच्छेदन <math>D_{\epsilon}</math> पर केंद्रित है <math>0</math> एक चिकना बहुरूपी है <math>F</math> मिलनोर फाइबर कहा जाता है। डिफियोमोर्फिज्म तक <math>F</math> पर निर्भर नहीं है <math>c</math> या <math>\epsilon</math> अगर वे काफी छोटे हैं। यह मिलनोर मानचित्र के तंतु के लिए भी भिन्न है।
+मिल्नोर मूल रूप से ज्यामितीय शब्दों में<ref>{{cite book | last=Milnor | first=John | authorlink=John Milnor | title=कॉम्प्लेक्स हाइपरसर्फ्स के एकवचन बिंदु| series=Annals of Mathematics Studies | year=1969 | publisher=[[Princeton University Press]]}}</ref> <math>\mu(f)</math> को ज्यामितीय नियमों में निम्नलिखित प्रकार से प्रस्तुत किया। मान <math>c</math>  के लिए सभी फाइबर <math> f^{-1}(c) </math>, <math>0</math> के समीप के वास्तविक आयाम <math>2(n-1)</math> के कई गुना व्युत्क्रमणीय हैं। <math>0</math> पर केंद्रित एक छोटी विवृत डिस्क <math>D_{\epsilon}</math> के साथ उनका प्रतिच्छेदन स्मूथ मनिफॉल्ड <math>F</math> है जिसे मिल्नोर फाइबर कहा जाता है। उनके अधिक सूक्ष्म होने की स्थिति में डिफियोमोर्फिज्म तक <math>F</math>  <math>c</math> या <math>\epsilon</math> पर निर्भर नहीं करता है। यह मिलनोर फिब्रेशन मैप के फाइबर के लिए भी भिन्न (डिफोमोर्फिक) है।
-द मिल्नोर फाइबर <math>F</math> आयाम का एक सहज कई गुना है <math>2(n-1)</math> और वेज योग के समान [[होमोटॉपी]] है <math>\mu(f)</math> क्षेत्रों <math>S^{n-1}</math>. कहने का मतलब यह है कि इसकी मध्य बेट्टी संख्या है  <math>b_{n-1}(F)</math> मिलनोर संख्या के बराबर है और इसमें आयाम में एक बिंदु की [[समरूपता (गणित)]] से कम है <math>n-1</math>. उदाहरण के लिए, प्रत्येक विलक्षण बिंदु के पास एक जटिल समतल वक्र <math>z_0</math> गुलाब (टोपोलॉजी) के लिए मिलनोर फाइबर होमोटोपिक है। की एक कील <math>\mu_{z_0}(f)</math> मंडलियां (मिल्नोर संख्या एक स्थानीय संपत्ति है, इसलिए अलग-अलग एकवचन बिंदुओं पर इसके अलग-अलग मान हो सकते हैं)।
+मिल्नोर फाइबर <math>F</math> आयाम <math>2(n-1)</math> के समान [[होमोटॉपी|बहुरूपी]] है और <math>\mu(f)</math> के क्षेत्रों <math>S^{n-1}</math>में गुच्छ रूप के समान समस्थेयता प्रकार है। इसका अर्थ यह है कि इसकी मध्य बेट्टी संख्या <math>b_{n-1}(F)</math> मिलनोर संख्या के समान है और इसमें <math>n-1</math> से कम आयाम में एक बिंदु पर इसकी समरूपता है। उदाहरण के लिए, प्रत्येक एकल बिंदु <math>z_0</math> के समीप एक सम्मिश्र समतल वक्र में <math>\mu_{z_0}(f)</math> क्षेत्रों के पच्चर (वेज) के लिए इसकी मिल्नोर फाइबर समस्थानी है (मिल्नोर संख्या एक स्थानीय गुणधर्म है, इसलिए विभिन्न विलक्षण बिंदुओं पर इसके पृथक मान हो सकते हैं)।
 इस प्रकार हमारे पास समानताएं हैं
-: मीलनोर संख्या = गोलों की संख्या में कील योग = मध्य की बेट्टी संख्या <math>F</math> = एक सतत मानचित्रण की डिग्री <math>z\to \frac{{\nabla} f(z)}{\|{\nabla} f(z)\|}</math> पर  <math>S_\epsilon</math> = ढाल की बहुलता <math>\nabla f</math>
+: मिलनोर संख्या = पच्चर में गोलों की संख्या = <math>F</math> की मध्य बेट्टी संख्या = मानचित्रण की डिग्री <math>z\to \frac{{\nabla} f(z)}{\|{\nabla} f(z)\|}</math> पर  <math>S_\epsilon</math> = प्रवणता की बहुलता <math>\nabla f</math>
-मिल्नोर संख्या को देखने का एक अन्य तरीका [[ गड़बड़ी सिद्धांत ]] है। हम कहते हैं कि एक बिंदु एक पतित विलक्षण बिंदु है, या कि f में एक पतित विलक्षणता है <math>z_0 \in \mathbb{C}^n</math> अगर <math>z_0</math> एक विलक्षण बिंदु है और दूसरे क्रम के सभी आंशिक डेरिवेटिव के [[हेसियन मैट्रिक्स]] में शून्य निर्धारक है <math>z_0</math>:
+मिल्नोर संख्या को देखने का एक अन्य तरीका [[ गड़बड़ी सिद्धांत |क्षोभ सिद्धांत]] है। हम कहते हैं कि बिंदु एक पतित एकल बिंदु या f में एक अपभ्रष्ट विलक्षणता है तथा <math>z_0 \in \mathbb{C}^n</math> पर यदि <math>z_0</math> एक विलक्षण बिंदु है और दूसरे क्रम के सभी आंशिक डेरिवेटिव के [[हेसियन मैट्रिक्स]] का <math>z_0</math> में शून्य निर्धारक है:
 :<math>  \det\left( \frac{\partial^2 f}{\partial z_i \partial z_j} \right)_{1 \le i \le j \le n}^{z = z_0} =0. </math>
-हम मानते हैं कि f में 0 पर एक पतित विलक्षणता है। हम इस पतित विलक्षणता की बहुलता के बारे में यह सोचकर बोल सकते हैं कि कितने बिंदु असीम रूप से चिपके हुए हैं। यदि हम अब गड़बड़ी सिद्धांत को एक निश्चित स्थिर तरीके से f की छवि 0 पर पृथक पतित विलक्षणता अन्य पृथक विलक्षणताओं में विभाजित कर देंगे जो गैर-पतित हैं! ऐसी पृथक गैर-पतित विलक्षणताओं की संख्या उन बिंदुओं की संख्या होगी जो असीम रूप से चिपकी हुई हैं।
+हम मानते हैं कि f में 0 पर एक पतित विलक्षणता है। हम इस पतित विलक्षणता की बहुलता के विषय में विचार करके यह कह सकते हैं कि कितने बिंदु अतिसूक्ष्‍म रूप से जुड़े हुए हैं। यदि हम अब [[ गड़बड़ी सिद्धांत |क्षोभ]] सिद्धांत को एक निश्चित स्थिर तरह से व्यग्र करते हैं तो 0 पर पृथक पतित विलक्षणता अन्य पृथक विलक्षणताओं में विभाजित हो जाएगी जो अपतित हैं! ऐसी पृथक अपतित विलक्षणताओं की संख्या उन बिंदुओं की संख्या होगी जो अतिसूक्ष्‍म रूप से परस्पर जुड़ी हुई हैं।
-संक्षेप में, हम एक अन्य फलन जर्म जी लेते हैं जो मूल बिंदु पर गैर-एकवचन है और नए फलन जर्म h := f + εg पर विचार करते हैं जहां ε बहुत छोटा है। जब ε = 0 तब h = f। फलन h को मोर्स सिद्धांत#f का औपचारिक विकास कहा जाता है। एच की विलक्षणताओं की गणना करना बहुत कठिन है, और वास्तव में यह कम्प्यूटेशनल रूप से असंभव हो सकता है। अंकों की यह संख्या जो असीम रूप से चिपकी हुई है, f की यह स्थानीय बहुलता, f की मिलनोर संख्या है।
+संक्षेप में हम एक अन्य रोगाणु फलन g लेते हैं जो मूल बिंदु पर व्‍युत्‍क्रमणीय है और नए रोगाणु फलन h:= f + εg पर विचार करते हैं, जहां ε अतिसूक्ष्‍म है। जब ε = 0 तब h = f होता है। फलन h को मोर्स सिद्धांत का औपचारिक विकास कहा जाता है। फलन h की विलक्षणताओं की गणना करना बहुत कठिन है और वास्तव में यह अभिकलनीयतः असंभव हो सकता है। f की इस स्थानीय बहुलता को अतिसूक्ष्‍म रूप से चिपकाने वाले बिंदुओं की यह संख्या वास्तव में f की मिलनोर संख्या है।
-आगे का योगदान<ref>{{Cite book | authorlink1=Vladimir Arnold | last1=Arnold | first1=V.I. | last2=Gusein-Zade | first2=S.M. | last3=Varchenko | first3=A.N. |authorlink3=Alexander Varchenko| title=अलग-अलग मानचित्रों की विलक्षणता| volume=2 | year=1988 | publisher=[[Birkhäuser]]}}</ref> [[विरूपण सिद्धांत]] के स्थान के आयाम के संदर्भ में मिल्नोर संख्या को अर्थ दें, यानी मिल्नोर संख्या विकृतियों के पैरामीटर स्थान का न्यूनतम आयाम है जो प्रारंभिक विलक्षणता के बारे में सभी जानकारी लेती है।
+आगे का योगदान<ref>{{Cite book | authorlink1=Vladimir Arnold | last1=Arnold | first1=V.I. | last2=Gusein-Zade | first2=S.M. | last3=Varchenko | first3=A.N. |authorlink3=Alexander Varchenko| title=अलग-अलग मानचित्रों की विलक्षणता| volume=2 | year=1988 | publisher=[[Birkhäuser]]}}</ref> [[विरूपण सिद्धांत|बहुमुखी विकृतियों]] के स्थान के आयाम के संदर्भ में मिल्नोर संख्या को अर्थ देते हैं अर्थात मिल्नोर संख्या विकृतियों के पैरामीटर स्थान का न्यूनतम आयाम है जो प्रारंभिक विलक्षणता के विषय में सभी जानकारी लेती है।
 == उदाहरण ==
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 === 1 ===
-'''0 पर एक अनपभ्रष्ट विलक्षणता के साथ एक कार्य रोगाणु पर विचार करें, कहते हैं <math>f(x,y) = x^2 + y^2</math>.''' जैकबियन आदर्श सिर्फ<math> \langle 2x, 2y \rangle = \langle x, y \rangle </math> हैं। हम अगले स्थानीय बीजगणित की गणना करते हैं:
+पर एक अनपभ्रष्ट विलक्षणता के साथ एक कार्य रोगाणु पर विचार करें, जिसे  <math>f(x,y) = x^2 + y^2</math> कहते हैं। जैकबियन आदर्श सिर्फ<math> \langle 2x, 2y \rangle = \langle x, y \rangle </math> हैं। हम अगले स्थानीय बीजगणित की गणना करते हैं:
 :<math> \mathcal{A}_f = \mathcal{O} / \langle x, y \rangle = \langle 1 \rangle . </math>
 इसके सत्यापन के लिए हैडामार्ड के स्वीकृत सिद्धांत का उपयोग कर सकते हैं जो कहती है कि हम कोई भी फलन <math>h\in\mathcal{O}</math> लिख सकते हैं, जैसे
 :<math> h(x,y) = k + xh_1(x,y) + yh_2(x,y) </math>
-<math>\mathcal{O}</math> में कुछ स्थिरांक ''k'' और फलन <math>h_1</math> और <math>h_2</math> के लिए (जहां <math>h_1</math> या <math>h_2</math> या दोनों यथार्थत: शून्य हो सकते हैं)। तो, x और y के मॉड्यूलो कार्यात्मक गुणक, हम एच को एक स्थिरांक के रूप में लिख सकते हैं। निरंतर कार्यों का स्थान 1 द्वारा फैला हुआ है, इसलिए  <math>\mathcal{A}_f = \langle 1 \rangle</math>
+<math>\mathcal{O}</math> में कुछ स्थिरांक ''k'' और फलन <math>h_1</math> और <math>h_2</math> के लिए (जहां <math>h_1</math> या <math>h_2</math> या दोनों यथार्थत: शून्य हो सकते हैं)। इसलिये x और y के मॉड्यूलो कार्यात्मक गुणक स्थिरांक को h के रूप में लिख सकते हैं। अचर फलन का स्थान 1 द्वारा फैला हुआ है, इसलिए  <math>\mathcal{A}_f = \langle 1 \rangle</math>
-यह इस प्रकार है कि μ(f) = 1. यह जांचना आसान है कि 0 पर गैर-पतित एकवचन के साथ किसी भी फ़ंक्शन जर्म जी के लिए हमें μ(g) = 1 मिलता है।
-ध्यान दें कि इस विधि को एक गैर-एकवचन फ़ंक्शन जर्म g पर लागू करने से हमें μ(g) = 0 मिलता है।
+यह इस प्रकार है कि μ(f) = 1. यह जांचना सरल है कि 0 पर अनपभ्रष्ट विलक्षणता वाले किसी भी रोगाणु फलन ''g'' के लिए हमें μ(g) = 1 प्राप्त होता है।
+ध्यान दें कि इस विधि को एक व्‍युत्‍क्रमणीय रोगाणु फलन ''g'' पर अनप्रयुक्‍त करने से हमें μ(g) = 0 प्राप्त होता है।
 === 2 ===
-होने देना <math>f(x,y) = x^3 + xy^2</math>, तब
+मान लें <math>f(x,y) = x^3 + xy^2</math>, तब
 :<math> \mathcal{A}_f = \mathcal{O} / \langle 3x^2 + y^2, xy \rangle = \langle 1, x, y, x^2 \rangle . </math>
-तो इस मामले में <math>\mu(f) = 4</math>.
+तो इस स्थिति में <math>\mu(f) = 4</math>.
 === 3 ===
-कोई दिखा सकता है कि अगर <math>f(x,y) = x^2y^2 + y^3</math> तब <math>\mu(f) = \infty.</math>
+यदि कोई इसे प्रदर्शित कर सकता है <math>f(x,y) = x^2y^2 + y^3</math>
-इसे इस तथ्य से समझाया जा सकता है कि x-अक्ष के प्रत्येक बिंदु पर f एकवचन है।
+तब <math>\mu(f) = \infty.</math>
+इसे इस तथ्य से व्यक्त किया जा सकता है कि x-अक्ष के प्रत्येक बिंदु f पर एकल है।
 == वर्सल विकृति ==
@@ Line 59: / Line 61: @@
 :<math> F : (\mathbb{C}^n \times \mathbb{C}^{\mu},0) \to (\mathbb{C},0) ,</math>
 :<math> F(z,a) := f(z) + a_1g_1(z) + \cdots + a_{\mu}g_{\mu}(z) ,</math>
-कहाँ <math>(a_1,\dots,a_{\mu})\in \mathbb{C}^{\mu}</math>.
+जहाँ <math>(a_1,\dots,a_{\mu})\in \mathbb{C}^{\mu}</math>.
 ये विकृतियाँ (या [[खुलासा (कार्य)|विकास(कार्य)]]) विज्ञान के अधिकांश क्षेत्रों में रुचि रखते हैं। {{Citation needed|date=July 2015}}
-== अपरिवर्तन ==
+== अप्रसरण ==
-हम [[तुल्यता वर्ग]]ों के निर्माण के लिए एक साथ कार्य करने वाले कीटाणुओं को एकत्र कर सकते हैं। एक मानक तुल्यता है A-तुल्यता|A-तुल्यता। हम कहते हैं कि दो रोगाणु कार्य करते हैं <math>f,g : (\mathbb{C}^n,0) \to (\mathbb{C},0)</math> ए-समतुल्य हैं यदि वहाँ [[डिफियोमोर्फिज्म]] रोगाणु मौजूद हैं <math> \phi : (\mathbb{C}^n,0) \to (\mathbb{C}^n,0)</math> और <math>\psi : (\mathbb{C},0) \to (\mathbb{C},0)</math> ऐसा है कि <math>f \circ \phi = \psi \circ g</math>: फ़ंक्शन के डोमेन और फ़ंक्शन की श्रेणी दोनों में चर का एक भिन्न परिवर्तन मौजूद है जो f से g तक ले जाता है।
+[[तुल्यता वर्ग]] की रचना करने के लिए हम कार्य करने वाले रोगाणुओं को एक साथ एकत्रित कर सकते हैं। एक मानक तुल्यता A-समानक है। हम कहते हैं कि रोगाणु फलन <math>f,g : (\mathbb{C}^n,0) \to (\mathbb{C},0)</math> A-समतुल्य हैं यदि वहाँ [[डिफियोमोर्फिज्म]] रोगाणु <math> \phi : (\mathbb{C}^n,0) \to (\mathbb{C}^n,0)</math> और <math>\psi : (\mathbb{C},0) \to (\mathbb{C},0)</math> उपस्थित हैं जैसे कि <math>f \circ \phi = \psi \circ g</math>: फलन के डोमेन और श्रेणी दोनों में चर का एक डिफियोमॉर्फिक परिवर्तन उपस्थित है जो f से g तक ले जाता है।
-अगर एफ और जी ए-समतुल्य हैं तो μ(f) = μ(g)।
+यदि ''f'' और ''g,'' A-समतुल्य हैं तो μ(f) = μ(g) होगा।
-फिर भी, मिलनॉर संख्या कार्यात्मक रोगाणुओं के लिए एक पूर्ण अपरिवर्तनीय प्रदान नहीं करती है, अर्थात इसका विलोम गलत है: μ(f) = μ(g) के साथ फ़ंक्शन रोगाणु f और g मौजूद हैं जो A-समतुल्य नहीं हैं। इसे देखने के लिए विचार करें <math>f(x,y) = x^3+y^3</math> और <math>g(x,y) = x^2+y^5</math>. अपने पास <math>\mu(f) = \mu(g) = 4</math> लेकिन एफ और जी स्पष्ट रूप से ए-समतुल्य नहीं हैं क्योंकि एफ का हेसियन मैट्रिक्स शून्य के बराबर है जबकि जी का नहीं है (और हेसियन का रैंक ए-इनवेरिएंट है, जैसा कि देखना आसान है)।
+तथापि, मिलनोर संख्या रोगाणु फलन के लिए एक पूर्ण अचर प्रदान नहीं करती है, अर्थात इसका परिवर्तन गलत है: रोगाणु फलन f और g,  μ(f) = μ(g) के साथ उपस्थित A-समतुल्य नहीं हैं। इसे   <math>f(x,y) = x^3+y^3</math> और <math>g(x,y) = x^2+y^5</math> देखने के लिए विचार करें। हमारे पास <math>\mu(f) = \mu(g) = 4</math> किंतु f और g स्पष्ट रूप से A-समतुल्य नहीं हैं क्योंकि f का हेसियन आव्यूह शून्य के बराबर है जबकि g का हेसियन आव्यूह शून्य के बराबर नहीं है (और हेसियन की श्रेणी A-अचर है, जो देखने में सरल है)।
 == संदर्भ ==
@@ Line 77: / Line 79: @@
 * {{cite book | last=Milnor | first=John | authorlink=John Milnor | title=Singular points of Complex Hypersurfaces | series=Annals of Mathematics Studies | year=1969 | publisher=[[Princeton University Press]]}}
-{{DEFAULTSORT:Milnor Number}}[[Category: विलक्षणता सिद्धांत]] [[Category: बीजगणितीय ज्यामिति]]
+{{DEFAULTSORT:Milnor Number}}
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:All articles with unsourced statements|Milnor Number]]
-[[Category:Created On 26/04/2023]]
+[[Category:Articles with unsourced statements from July 2015|Milnor Number]]
+[[Category:Created On 26/04/2023|Milnor Number]]
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