मोनोमियल ऑर्डर: Difference between revisions

Latest revision as of 17:53, 17 May 2023

एकपद प्रणाली एक दिए गए बहुपद वृत्त में सभी (असफल) एकपद समूह पर कुल अनुक्रम होता है, जो गुणन के गुण को संतुष्ट करता है, अर्थात,

यदि $u\leq v$ और $w$ तब कोई अन्य एकपदी $uw\leq vw$ है।

एकपद क्रम का सबसे अधिक उपयोग ग्रोबनर आधार और बहुचर विभाजन के साथ किया जाता है। विशेष रूप से, ग्रोबनर आधार होने के गुण हमेशा एक विशिष्ट एकपद प्रणाली के सापेक्ष होती है।

परिभाषा, विवरण और विविधताएं

गुणन विषय के अतिरिक्त, एकपद प्रणाली को अधिकांशतः सुव्यवस्था होने की आवश्यकता होती है, चूंकि यह सुनिश्चित करता है कि बहुभिन्नरूपी विभाजन प्रक्रिया समाप्त हो जाएगी। चूंकि एकपद स्थिति पर गुणा-उचित क्रम संबंधों के लिए व्यावहारिक अनुप्रयोग भी हैं जीसकी अच्छी स्थिति नहीं हैं।

परिमित रूप से कई चर के विषय में, एक एकपद प्रणाली का सुव्यवस्थित क्रम निम्नलिखित दो स्थितियों के संयोजन के बराबर है:

अनुक्रम कुल प्रणाली है।
यदि u कोई एकपदी हैं तो $1\leq u$ है।

चूंकि इन शर्तों को एक स्पष्ट नियम के माध्यम से परिभाषित एक एकपद प्रणाली के लिए सत्यापित करना आसान हो सकता है, सीधे यह प्रमाणित करने के लिए कि यह एक अच्छा क्रम है, उन्हें कभी-कभी एकपदी क्रम की परिभाषाओं में पसंद किया जाता है।

प्रमुख एकपदी, शर्तें और गुणांक

एकपदीयों कुल क्रम का चुनाव बहुपद की शर्तों को क्रमबद्ध करने की अनुमति देता है। एक बहुपद का अग्रणी शब्द इस प्रकार सबसे बड़ा एकपदी का पद है।

ठोस रूप से, $R$ बहुपदों का कोई वलय हो। पुनः समूह $M$ एकपदीयों में $R$ का एक आधार है जिसे गुणांक के क्षेत्र में एक संवाहक स्थान के रूप में माना जाता है। इस प्रकार, $R$ में किसी भी शून्येतर बहुपद $p$ का एक अद्वितीय व्यंजक होता है

 $p=\textstyle \sum _{u\in S}c_{u}u$  एकपदी के एक रैखिक संयोजन के रूप में, जहां  $S$ ,  $M$  का परिमित उपसमुच्चय है और  $c u$  सभी शून्येतर हैं। जब एक एकपदी क्रम चुना जाता है, तो अग्रणी एकपदी  $S$  में सबसे बड़ा  $u$  होता है अग्रणी गुणांक संबंधित  $c u$  है,  और अग्रणी शब्द संबंधित  $c u u$  है। शीर्ष एकपदी/गुणांक/शब्द को कभी-कभी "अग्रणी" के पर्याय के रूप में प्रयोग किया जाता है। कुछ लेखक एकपदी के अतिरिक्त समय और अगणित गुणनफल के अतिरिक्त एकपदी का उपयोग करते हैं। इस लेख में, एकपदी को गुणांक सम्मलित नहीं माना जाता है।

एकपद क्रम के परिभाषित गुण का तात्पर्य है कि एक बहुपद को एकपदी से गुणा करते समय शब्दों का क्रम रखा जाता है। साथ ही, बहुपदों के गुणनफल का अग्रणी पद गुणनखंडों के प्रमुख पदों का गुणनफल होता है।

उदाहरण

$\left\{x^{n}\mid n\in \mathbb {N} \right\}$ किसी भी एक चर x की घात का, केवल एकपदी आदेश प्राकृतिक क्रम 1 < x < x हैं² < x³ < ... और इसका विलोम, जिसका उत्तरार्द्ध एक सुव्यवस्थित नहीं है। चूंकि, एकपद क्रम की धारणा केवल बहु चरों के महत्व में रोचक हो जाती है।

एकपदी प्रणाली का तात्पर्य व्यक्तिगत अनिश्चित पर एक प्रणाली से है। एकपदी प्रणाली के वर्गीकरण को सरल बनाया जा सकता है कि अनिर्धारकों को माना गया एकपदी प्रणाली के लिए घटते क्रम में x₁, x₂, x₃, ... नाम दिया गया है, , इसलिये हमेशा x₁ > x₂ > x₃ > …. उदाहरण में हम x₁, x₂ और x₃ के अतिरिक्त x, y और z का उपयोग करते हैं। इस अधिवेशन के साथ अभी भी विभिन्न एकपदी प्रणाली के कई उदाहरण हैं।

शब्दकोशीय क्रम

शब्दकोषीय क्रम पहले एकपदी में x1 के घातांकों की तुलना करता है, और समानता की स्थिति में x2 के घातांकों की तुलना करता है, यह नाम शब्दकोशों के लिए कोशरचना में उपयोग किए जाने वाले सामान्य वर्णानुक्रमिक क्रम की समानता से लिया गया है, यदि एकपदी को अनिश्चित के प्रतिपादकों के अनुक्रम द्वारा दर्शाया जाता है। यदि अनिश्चित की संख्या निश्चित है, कोशरचना प्रणाली एक अच्छा-अनुक्रम है, चूंकि यह विभिन्न लंबाई के अनुक्रमों पर कोशक्रमानुसार प्रणाली के स्थिति में नहीं है (कोशरचना प्रणाली § विभिन्न लंबाई के अनुक्रमों का क्रम)। ग्रोबनर आधार संगणनाओं के लिए यह क्रम सबसे बहुमूल्य होता है; इस प्रकार जहां तक संभव हो, अत्यंत सरल संगणनाओं को छोड़कर इससे बचना चाहिए।

क्रमिक शब्दकोशीय प्रणाली

क्रमिक शब्दकोशीय प्रणाली सभी प्रतिनिधि योग की तुलना करता है, और एक ग्रंथि की स्थिति में शब्दकोशीय प्रणाली उपयुक्त होती है। यह क्रम न केवल एक अच्छा क्रम है, इसमें यह गुण भी है कि कोई भी एकपदी केवल अन्य एकपदी की परिमित संख्या से पहले होता है; यह शब्दकोशीय प्रणाली के लिए स्थिति नहीं है, जहां x की सभी शक्तियां y से कम हैं। चूंकि बहुत स्वाभाविक है, इस क्रम का उपयोग शायद ही कभी किया जाता है: श्रेणीबद्ध शब्दकोशीय प्रणाली के लिए ग्रोबनेर आधार, जो निम्नानुसार है, जिसकी गणना करना आसान है और बहुपदों के सहयोग स्थित से समान जानकारी प्रदान करता है।

श्रेणीबद्ध विपरीत शब्दकोशीय प्रणाली

श्रेणीबद्ध विपरीत शब्दकोशीय प्रणाली पहले कुल मात्रा की तुलना करता है, पुनः निर्णायक काल के रूप में विपरीत शब्दकोशीय प्रणाली का उपयोग करता है, परंतु यह शब्दकोशीय तुलना के परिणाम को परिवर्तन कर देता है जिसके वजह से शब्दकोशीय रूप से एक ही मात्रा के बड़े एकपदी डेग्रेव्लेक्स को छोटा माना जाता है। पारंपरिक क्रम x1 > x2 > … > xn के अनिश्चित को प्रदर्शित करने के लिए अंतिम अनुक्रम के लिए, यह आवश्यक है कि विपरीत दिशा से पहले निर्णायक काल शब्दकोशीय क्रम अंतिम अनिश्चित xn को सबसे बड़ा मानते है, जिसका अर्थ है कि इसे उस अनिश्चित से प्रारंभ होना चाहिए। श्रेणीबद्ध विपरीत शब्दकोशीय प्रणाली के लिए पहले कुल मात्रा से तुलना करना है, पुनः अंतिम अनिश्चित xn के प्रतिपादक की तुलना करें परिणाम को परिवर्तन कर देता है, इसके अतिरिक्त xn−1 की समान तुलना द्वारा, और x1 के साथ समाप्त होती है। क्रमिक शब्दकोशीय और श्रेणीबद्ध विपरीत शब्दकोशीय प्रणाली के बीच अंतर सूक्ष्म हैं, चूंकि वे वास्तव में 1 और 2 अनिश्चित के लिए मेल खाते हैं। पहला अंतर घात 2 एकपदी के लिए 3 अनिश्चित में आता है, जो वर्गीकृत शब्दकोशीय के रूप में क्रमबद्ध हैं $x_{1}^{2}>x_{1}x_{2}>x_{1}x_{3}>x_{2}^{2}>x_{2}x_{3}>x_{3}^{2}$ परंतु श्रेणीबद्ध विपरीत शब्दकोशीय के रूप में मूलांक दिया गया $x_{1}^{2}>x_{1}x_{2}>x_{2}^{2}>x_{1}x_{3}>x_{2}x_{3}>x_{3}^{2}$ है। सामान्य प्रवृत्ति यह है कि प्रतिलोम प्रणाली किसी भी श्रेणी के छोटे एकपदी के बीच सभी चर प्रदर्शित करता है, जबकि गैर-प्रतिलोम प्रणाली के साथ किसी भी श्रेणी के सबसे छोटे एकपदी के अंतराल केवल सबसे छोटे चर से बनते हैं।

निष्कासन प्रणाली

विभाग प्रणाली या निष्कासन प्रणाली को किसी भी संख्या में विभाग के लिए परिभाषित किया जा सकता है, परंतु सहजता से, हम केवल दो विभागों की स्थिति पर विचार करते हैं। इस क्रम के लिए, चरों को दो विभागों x1,..., xh , y1,...,yk में विभाजित किया जाता है और प्रत्येक विभाग के लिए एक एकपदी क्रम चुना जाता है, सामान्यतः क्रमिक विपरीत कोषगत प्रणाली है। जो दो एकपदी की तुलना उनके x भाग की तुलना करके की जाती है, और ग्रंथि की स्थिति में y भाग की तुलना करके की जाती है। यह क्रम महत्वपूर्ण है चूंकि यह उन्मूलन की अनुमति देता है, एक शल्य कक्ष जो बीजगणितीय ज्यामिति के प्रक्षेपण से मेल खाता है।

वजन क्रम

वजन क्रम एक संवाहक पर निर्भर करता है $(a_{1},\ldots ,a_{n})\in \mathbb {R} _{\geq 0}^{n}$ जिसे आर्द्र संवाहक कहा जाता है। यह पहले इस आर्द्र संवाहक के साथ एकपदी के प्रतिनिधि अनुक्रमों के बिन्दु उत्पाद की तुलना करता है, और एक ग्रंथि की स्थिति में कुछ अन्य निश्चित एकपदी प्रणाली का उपयोग करता है। उदाहरण के लिए, क्रमिक प्रणाली "कुल मात्रा" आर्द्र संवाहक (1,1,...,1) के लिए आर्द्र प्रणाली हैं। यदि ए_i तर्कसंगत निर्भरता संख्याएं हैं तो एक ग्रंथि कभी नहीं हो सकती है, और आर्द्र संवाहक स्वयं एक एकपदी क्रम निर्दिष्ट करता है। इसके विपरीत स्थिति में, संबंधों को समाप्त करने के लिए एक और आर्द्र संवाहक का उपयोग किया जा सकता है, और इसी तरह; n रैखिक रूप से स्वतंत्र भार सदिशों का उपयोग करने के बाद, कोई शेष बंधन नहीं हो सकता। कोई वास्तव में आर्द्र संवाहक के अनुक्रम द्वारा किसी एकपदी प्रणाली को परिभाषित कर सकता है, उदाहरण के लिए (1,0,0,...,0), (0,1,0, ...,0), ... (0,0,...,1) विधि के लिए, या (1,1,1,...,1), (1,1,..., 1, 0), ... (1,0,...,0) ग्रेव्लेक्स के लिए।

उदाहरण के लिए, एकपदी प्रणाली $xy^{2}z$ , $z^{2}$ , $x^{3}$ , और $x^{2}z^{2}$ ; इन चार एकपदी पर निर्भार करती है।

विधि: $x^{3}>x^{2}z^{2}>xy^{2}z>z^{2}$ ( पावर $x$ की प्रमुखता है)।
विधि: $x^{2}z^{2}>xy^{2}z>x^{3}>z^{2}$ (कुल संख्या की प्रमुखता है; की उच्च शक्ति $x$ पहले दो के बीच ग्रंथि समाप्त कर दी है)।
महत्वपूर्ण विधि: $xy^{2}z>x^{2}z^{2}>x^{3}>z^{2}$ (कुल संख्या की प्रमुखता है; की न्यून शक्ति $z$ पहले दो के बीच ग्रंथि समाप्त कर दी है)।
आर्द्र संवाहक के साथ एक आर्द्र प्रणाली (1,2,4): $x^{2}z^{2}>xy^{2}z>z^{2}>x^{3}$ ( बिंदु उत्पाद 10>9>8>3 विश्लेषण के लिए कोई भी अनुबंध अवशिष्ट नहीं है)।

संदर्भ

David Cox; John Little; Donal O'Shea (2007). Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra. Springer. ISBN 978-0-387-35650-1.

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 {{short description|Order for the terms of a polynomial}}
-{{One source|date=November 2022}}
+[[Index.php?title=Index.php?title=Index.php?title एकपद|एकपद]] प्रणाली एक दिए गए बहुपद वृत्त में सभी ([[Index.php?title= असफल|असफल]]) एकपद समूह पर कुल अनुक्रम होता है, जो गुणन के गुण को संतुष्ट करता है, अर्थात,
-गणित में, एक [[ एकपद ]] ऑर्डर (कभी-कभी टर्म ऑर्डर या स्वीकार्य ऑर्डर कहा जाता है) किसी दिए गए बहुपद अंगूठी में सभी ([[मोनिक बहुपद]]) मोनोमियल के सेट पर कुल ऑर्डर होता है, जो गुणन के गुण को संतुष्ट करता है, यानी।
+* यदि <math>u \leq v</math> और <math>w</math> तब कोई अन्य एकपदी <math>uw \leq vw</math> है।
-* अगर <math>u \leq v</math> और <math>w</math> तब कोई अन्य एकपदी है <math>uw \leq vw</math>.
-मोनोमियल ऑर्डरिंग का सबसे अधिक उपयोग ग्रोबनर आधार | ग्रोबनर बेस और [[बहुभिन्नरूपी विभाजन एल्गोरिथ्म]] के साथ किया जाता है। विशेष रूप से, ग्रोबनर आधार होने की संपत्ति हमेशा एक विशिष्ट मोनोमियल ऑर्डर के सापेक्ष होती है।
+एकपद क्रम का सबसे अधिक उपयोग ग्रोबनर आधार और [[Index.php?title=Index.php?title=बहुचर विभाजन|बहुचर विभाजन]] के साथ किया जाता है। विशेष रूप से, ग्रोबनर आधार होने के गुण हमेशा एक विशिष्ट एकपद प्रणाली के सापेक्ष होती है।
 == परिभाषा, विवरण और विविधताएं ==
-गुणन का सम्मान करने के अलावा, मोनोमियल ऑर्डर को अक्सर अच्छी तरह से ऑर्डर करने की आवश्यकता होती है | वेल-ऑर्डर, क्योंकि यह सुनिश्चित करता है कि बहुभिन्नरूपी विभाजन प्रक्रिया समाप्त हो जाएगी। हालांकि मोनोमियल्स के सेट पर गुणा-सम्मानित ऑर्डर संबंधों के लिए व्यावहारिक अनुप्रयोग भी हैं जो अच्छी-ऑर्डर नहीं हैं।
+गुणन विषय के अतिरिक्त, एकपद प्रणाली को अधिकांशतः सुव्यवस्था होने की आवश्यकता होती है, चूंकि यह सुनिश्चित करता है कि बहुभिन्नरूपी विभाजन प्रक्रिया समाप्त हो जाएगी। चूंकि एकपद स्थिति पर गुणा-उचित क्रम संबंधों के लिए व्यावहारिक अनुप्रयोग भी हैं जीसकी अच्छी स्थिति नहीं हैं।
-परिमित रूप से कई चर के मामले में, एक मोनोमियल ऑर्डर का सुव्यवस्थित क्रम निम्नलिखित दो स्थितियों के संयोजन के बराबर है:
+परिमित रूप से कई चर के विषय में, एक एकपद प्रणाली का सुव्यवस्थित क्रम निम्नलिखित दो स्थितियों के संयोजन के बराबर है:
-# आदेश कुल आदेश है।
+# अनुक्रम कुल प्रणाली है।
-# यदि आप कोई एकपदी हैं तो <math>1 \leq u</math>.
+# यदि  ''u'' कोई एकपदी हैं तो <math>1 \leq u</math> है।
-चूंकि इन शर्तों को एक स्पष्ट नियम के माध्यम से परिभाषित एक एकपदी आदेश के लिए सत्यापित करना आसान हो सकता है, सीधे यह साबित करने के लिए कि यह एक अच्छा क्रम है, उन्हें कभी-कभी एकपदी क्रम की परिभाषाओं में पसंद किया जाता है। <!-- Totality by itself is needed for defining the leading monomial function. -->
+चूंकि इन शर्तों को एक स्पष्ट नियम के माध्यम से परिभाषित एक एकपद प्रणाली के लिए सत्यापित करना आसान हो सकता है, सीधे यह प्रमाणित करने के लिए कि यह एक अच्छा क्रम है, उन्हें कभी-कभी एकपदी क्रम की परिभाषाओं में पसंद किया जाता है। <!-- Totality by itself is needed for defining the leading monomial function. -->
 <!--
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 === प्रमुख एकपदी, शर्तें और गुणांक ===
-मोनोमियल्स पर कुल क्रम का चुनाव बहुपद की शर्तों को क्रमबद्ध करने की अनुमति देता है। एक बहुपद का अग्रणी शब्द इस प्रकार सबसे बड़ा एकपदी (चुने हुए एकपदी क्रम के लिए) का पद है।
+एकपदीयों कुल क्रम का चुनाव बहुपद की शर्तों को क्रमबद्ध करने की अनुमति देता है। एक बहुपद का अग्रणी शब्द इस प्रकार सबसे बड़ा एकपदी का पद है।
-ठोस रूप से, चलो {{math|''R''}} बहुपदों का कोई वलय हो। फिर सेट {{math|''M''}} (मोनिक) मोनोमियल्स में {{math|''R''}} का एक [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] है {{math|''R''}}, गुणांकों के [[क्षेत्र (गणित)]] पर सदिश स्थान के रूप में माना जाता है। इस प्रकार, कोई शून्येतर बहुपद {{math|''p''}} में {{math|''R''}} की अनूठी अभिव्यक्ति है
+ठोस रूप से, {{math|''R''}} बहुपदों का कोई वलय हो। पुनः समूह {{math|''M''}}  एकपदीयों में {{math|''R''}} का एक [[Index.php?title=आधार|आधार]] है जिसे गुणांक के [[Index.php?title=क्षेत्र|क्षेत्र]] में एक संवाहक स्थान के रूप में माना जाता है। इस प्रकार, {{math|''R''}} में किसी भी शून्येतर बहुपद  {{math|''p''}} का एक अद्वितीय व्यंजक होता है
-  <math> p = \textstyle\sum_{u \in S} c_u u </math> मोनोमियल्स के एक [[रैखिक संयोजन]] के रूप में, जहां {{math|''S''}} का परिमित उपसमुच्चय है {{math|''M''}} और यह {{math|''c''<sub>''u''</sub>}} सभी अशून्य हैं। जब एक एकपदी क्रम चुना जाता है, तो अग्रणी एकपदी सबसे बड़ा होता है {{math|''u''}} में {{math|''S''}}, अग्रणी गुणांक संगत है {{math|''c''<sub>''u''</sub>}}, और अग्रणी शब्द संगत है {{math|''c''<sub>''u''</sub>''u''}}. हेड मोनोमियल/गुणांक/टर्म को कभी-कभी अग्रणी के पर्याय के रूप में प्रयोग किया जाता है। कुछ लेखक मोनोमियल के बजाय टर्म और पावर प्रोडक्ट के बजाय मोनोमियल का उपयोग करते हैं। इस लेख में, एक मोनोमियल को एक गुणांक शामिल नहीं माना जाता है।
+  <math> p = \textstyle\sum_{u \in S} c_u u </math> एकपदी के एक [[रैखिक संयोजन]] के रूप में, जहां {{math|''S''}}, {{math|''M''}} का परिमित उपसमुच्चय है और {{math|''c''<sub>''u''</sub>}} सभी शून्येतर हैं। जब एक एकपदी क्रम चुना जाता है, तो अग्रणी एकपदी {{math|''S''}} में सबसे बड़ा {{math|''u''}} होता है अग्रणी गुणांक संबंधित {{math|''c''<sub>''u''</sub>}} है,  और अग्रणी शब्द संबंधित {{math|''c''<sub>''u''</sub>''u''}} है। शीर्ष एकपदी/गुणांक/शब्द को कभी-कभी "अग्रणी" के पर्याय के रूप में प्रयोग किया जाता है। कुछ लेखक एकपदी के अतिरिक्त समय और अगणित गुणनफल के अतिरिक्त एकपदी का उपयोग करते हैं। इस लेख में, एकपदी को गुणांक सम्मलित नहीं माना जाता है।
-मोनोमियल ऑर्डरिंग की परिभाषित संपत्ति का तात्पर्य है कि एक बहुपद को एक मोनोमियल से गुणा करते समय शब्दों का क्रम रखा जाता है। साथ ही, बहुपदों के गुणनफल का अग्रणी पद गुणनखंडों के प्रमुख पदों का गुणनफल होता है।
+एकपद क्रम के परिभाषित गुण का तात्पर्य है कि एक बहुपद को एकपदी से गुणा करते समय शब्दों का क्रम रखा जाता है। साथ ही, बहुपदों के गुणनफल का अग्रणी पद गुणनखंडों के प्रमुख पदों का गुणनफल होता है।
 == उदाहरण ==
-मंच पर <math> \left\{ x^n \mid n \in \mathbb{N} \right\} </math> किसी एक चर x की शक्तियों का, केवल एकपदी आदेश प्राकृतिक क्रम 1 < x < x हैं<sup>2</sup> < x<sup>3</sup> < ... और इसका विलोम, जिसका बाद वाला क्रम ठीक नहीं है। इसलिए, एकपद क्रम की धारणा केवल बहु चरों के मामले में दिलचस्प हो जाती है।
+<math> \left\{ x^n \mid n \in \mathbb{N} \right\} </math> किसी भी एक चर x की घात का, केवल एकपदी आदेश प्राकृतिक क्रम 1 < x < x हैं<sup>2</sup> < x<sup>3</sup> < ... और इसका विलोम, जिसका उत्तरार्द्ध एक सुव्यवस्थित नहीं है। चूंकि, एकपद क्रम की धारणा केवल बहु चरों के महत्व में रोचक हो जाती है।
-मोनोमियल ऑर्डर का तात्पर्य व्यक्तिगत अनिश्चित पर एक आदेश से है। यह मानकर कि एकपदीय आदेशों के वर्गीकरण को आसान बनाया जा सकता है, यह मानकर कि निर्धारकों का नाम x रखा गया है<sub>1</sub>, एक्स<sub>2</sub>, एक्स<sub>3</sub>, ... एकपदी क्रम के लिए घटते क्रम में माना जाता है, ताकि हमेशा {{nowrap|1=''x''<sub>1</sub> > ''x''<sub>2</sub> > ''x''<sub>3</sub> > &hellip;}}. (यदि अपरिमित रूप से अनेक अनिश्चित हों, तो यह परिपाटी अच्छी क्रम वाली होने की शर्त के साथ असंगत है, और किसी को विपरीत क्रम का उपयोग करने के लिए बाध्य किया जाएगा; हालांकि अपरिमित रूप से कई चरों में बहुपदों के मामले पर शायद ही कभी विचार किया जाता है।) उदाहरण में नीचे हम x के बजाय x, y और z का उपयोग करते हैं<sub>1</sub>, एक्स<sub>2</sub> और एक्स<sub>3</sub>. इस सम्मेलन के साथ अभी भी विभिन्न मोनोमियल ऑर्डर के कई उदाहरण हैं।
+एकपदी प्रणाली का तात्पर्य व्यक्तिगत अनिश्चित पर एक प्रणाली से है। एकपदी प्रणाली के वर्गीकरण को सरल बनाया जा सकता है कि अनिर्धारकों को माना गया एकपदी प्रणाली के लिए घटते क्रम में  x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub>, ... नाम दिया गया है, , इसलिये हमेशा {{nowrap|1=''x''<sub>1</sub> > ''x''<sub>2</sub> > ''x''<sub>3</sub> > &hellip;}}. उदाहरण में हम x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub> और x<sub>3</sub> के अतिरिक्त x, y और z का उपयोग करते हैं। इस अधिवेशन के साथ अभी भी विभिन्न एकपदी प्रणाली के कई उदाहरण हैं।
-=== लेक्सिकोग्राफिक क्रम ===
+=== शब्दकोशीय क्रम ===
-कोश संबंधी क्रम (लेक्स) पहले ''x'' के घातांकों की तुलना करता है<sub>1</sub> मोनोमियल में, और समानता के मामले में x के घातांक की तुलना करता है<sub>2</sub>, इत्यादि। यह नाम शब्दकोशों के लिए [[कोशरचना]] में उपयोग किए जाने वाले सामान्य वर्णानुक्रमिक क्रम की समानता से लिया गया है, यदि मोनोमियल्स को अनिश्चित के प्रतिपादकों के अनुक्रम द्वारा दर्शाया जाता है। अगर अनिश्चित की संख्या निश्चित है (जैसा कि आमतौर पर होता है), [[लेक्सिकोग्राफिक ऑर्डर]] एक अच्छा क्रम है, हालांकि यह विभिन्न लंबाई के अनुक्रमों पर लागू लेक्सिकोोग्राफ़िकल ऑर्डर के मामले में नहीं है (देखें {{slink|Lexicographic order|Ordering of sequences of various lengths}}). ग्रोबनर आधार संगणनाओं के लिए यह क्रम सबसे महंगा होता है; इस प्रकार जहां तक संभव हो, अत्यंत सरल संगणनाओं को छोड़कर इससे बचना चाहिए।
+शब्दकोषीय क्रम पहले एकपदी में x1 के घातांकों की तुलना करता है, और समानता की स्थिति में x2 के घातांकों की तुलना करता है, यह नाम शब्दकोशों के लिए [[कोशरचना]] में उपयोग किए जाने वाले सामान्य वर्णानुक्रमिक क्रम की समानता से लिया गया है, यदि एकपदी को अनिश्चित के प्रतिपादकों के अनुक्रम द्वारा दर्शाया जाता है। यदि अनिश्चित की संख्या निश्चित है, [[Index.php?title= कोशरचना प्रणाली|कोशरचना प्रणाली]] एक अच्छा-अनुक्रम है, चूंकि यह विभिन्न लंबाई के अनुक्रमों पर कोशक्रमानुसार प्रणाली के स्थिति में नहीं है ({{slink|कोशरचना प्रणाली|विभिन्न लंबाई के अनुक्रमों का क्रम}})। ग्रोबनर आधार संगणनाओं के लिए यह क्रम सबसे बहुमूल्य होता है; इस प्रकार जहां तक संभव हो, अत्यंत सरल संगणनाओं को छोड़कर इससे बचना चाहिए।
-=== ग्रेडेड लेक्सिकोग्राफिक ऑर्डर ===
+=== क्रमिक शब्दकोशीय प्रणाली ===
-ग्रेडेड लेक्सिकोग्राफ़िक ऑर्डर (डिग्री लेक्सिकोग्राफ़िक ऑर्डर के लिए ग्रेलेक्स, या डेग्लेक्स) पहले कुल डिग्री (सभी एक्सपोनेंट्स का योग) की तुलना करता है, और एक टाई के मामले में लेक्सिकोग्राफ़िक ऑर्डर लागू होता है। यह क्रम न केवल एक अच्छा क्रम है, इसमें यह गुण भी है कि कोई भी एकपदी केवल अन्य एकपदी की परिमित संख्या से पहले होता है; यह लेक्सिकोग्राफिक ऑर्डर का मामला नहीं है, जहां '' x '' की सभी (असीम रूप से कई) शक्तियां '' y '' से कम हैं (वह लेक्सिकोग्राफिक ऑर्डर फिर भी एक अच्छी तरह से ऑर्डरिंग एक अनंत घटती श्रृंखला के निर्माण की असंभवता से संबंधित है मोनोमियल्स का)। हालांकि बहुत स्वाभाविक है, इस क्रम का उपयोग शायद ही कभी किया जाता है: ग्रेडेड रिवर्स लेक्सिकोग्राफिक ऑर्डर के लिए ग्रोबनेर आधार, जो निम्नानुसार है, गणना करना आसान है और बहुपदों के इनपुट सेट पर समान जानकारी प्रदान करता है।
+क्रमिक शब्दकोशीय प्रणाली सभी प्रतिनिधि योग की तुलना करता है, और एक ग्रंथि की स्थिति में शब्दकोशीय प्रणाली उपयुक्त होती है। यह क्रम न केवल एक अच्छा क्रम है, इसमें यह गुण भी है कि कोई भी एकपदी केवल अन्य एकपदी की परिमित संख्या से पहले होता है; यह शब्दकोशीय प्रणाली के लिए स्थिति नहीं है, जहां x की सभी शक्तियां y से कम हैं। चूंकि बहुत स्वाभाविक है, इस क्रम का उपयोग शायद ही कभी किया जाता है: श्रेणीबद्ध शब्दकोशीय प्रणाली के लिए ग्रोबनेर आधार, जो निम्नानुसार है, जिसकी गणना करना आसान है और बहुपदों के सहयोग स्थित से समान जानकारी प्रदान करता है।
-=== ग्रेडेड रिवर्स लेक्सिकोग्राफिक ऑर्डर ===
+=== श्रेणीबद्ध विपरीत शब्दकोशीय प्रणाली ===
-ग्रेडेड रिवर्स लेक्सिकोग्राफिक ऑर्डर (ग्रेव्लेक्स, या डिग्री रिवर्स लेक्सिकोग्राफिक ऑर्डर के लिए डीग्रेव्लेक्स) पहले कुल डिग्री की तुलना करता है, फिर टाई-ब्रेकर के रूप में रिवर्स लेक्सिकोग्राफिक ऑर्डर का उपयोग करता है, लेकिन यह लेक्सिकोग्राफिक तुलना के ''परिणाम को उलट देता है'' ताकि लेक्सिकोग्राफिक रूप से बड़े मोनोमियल उसी डिग्री के degrevlex छोटे माने जाते हैं। अंतिम आदेश के लिए पारंपरिक आदेश प्रदर्शित करने के लिए {{nowrap|1=''x''<sub>1</sub> > ''x''<sub>2</sub> > &hellip; > ''x''<sub>n</sub>}} अनिश्चित, इसके अलावा यह आवश्यक है कि टाई-ब्रेकर लेक्सिकोग्राफिक क्रम उलटने से पहले अंतिम अनिश्चित x पर विचार करता है<sub>n</sub> सबसे बड़ा होना, जिसका अर्थ है कि इसे उस अनिश्चित से शुरू होना चाहिए। ग्रेडेड रिवर्स लेक्सिकोग्राफिक ऑर्डर के लिए एक ठोस नुस्खा इस प्रकार पहले कुल डिग्री से तुलना करना है, फिर अंतिम अनिश्चित एक्स के एक्सपोनेंट्स की तुलना करें<sub>''n''</sub> लेकिन परिणाम को उलट देना (इसलिए क्रम में छोटे एक्सपोनेंट वाला मोनोमियल बड़ा होता है), एक्स की समान तुलना द्वारा पीछा किया जाता है (हमेशा केवल एक टाई के मामले में)।<sub>''n''−1</sub>, और आगे एक्स के साथ समाप्त होता है<sub>1</sub>. <!-- Unlike for graded lexicographic order, the ungraded version of this ordering does not give a monomial ordering, since the (increasing) powers of any single indeterminate would form an infinite decreasing chain. Indeed, thanks to the comparison of total degree first, the reversal of subsequent comparisons can be interpreted informally as follows: the monomial with a smaller power of ''x''<sub>''n''</sub> necessarily has a higher power of some (unspecified) ''x''<sub>''i''</sub> with ''i''&lt;''n'' (indeed it has greater total degree with respect to all indeterminates other than ''x''<sub>''n''</sub>). -->
+श्रेणीबद्ध विपरीत शब्दकोशीय प्रणाली पहले कुल मात्रा की तुलना करता है, पुनः निर्णायक काल के रूप में विपरीत शब्दकोशीय प्रणाली का उपयोग करता है, परंतु यह शब्दकोशीय तुलना के परिणाम को परिवर्तन कर देता है जिसके वजह से शब्दकोशीय रूप से एक ही मात्रा के बड़े एकपदी डेग्रेव्लेक्स को छोटा माना जाता है। पारंपरिक क्रम x1 > x2 > … > xn के अनिश्चित को प्रदर्शित करने के लिए अंतिम अनुक्रम के लिए, यह आवश्यक है कि विपरीत दिशा से पहले निर्णायक काल शब्दकोशीय क्रम अंतिम अनिश्चित xn को सबसे बड़ा मानते है, जिसका अर्थ है कि इसे उस अनिश्चित से प्रारंभ होना चाहिए। श्रेणीबद्ध विपरीत शब्दकोशीय प्रणाली के लिए पहले कुल मात्रा से तुलना करना है, पुनः अंतिम अनिश्चित xn के प्रतिपादक की तुलना करें परिणाम को परिवर्तन कर देता है, इसके अतिरिक्त xn−1 की समान तुलना द्वारा, और x1 के साथ समाप्त होती है। <!-- Unlike for graded lexicographic order, the ungraded version of this ordering does not give a monomial ordering, since the (increasing) powers of any single indeterminate would form an infinite decreasing chain. Indeed, thanks to the comparison of total degree first, the reversal of subsequent comparisons can be interpreted informally as follows: the monomial with a smaller power of ''x''<sub>''n''</sub> necessarily has a higher power of some (unspecified) ''x''<sub>''i''</sub> with ''i''&lt;''n'' (indeed it has greater total degree with respect to all indeterminates other than ''x''<sub>''n''</sub>). -->
-ग्रेडेड लेक्सिकोग्राफिक और ग्रेडेड रिवर्स लेक्सिकोग्राफिक ऑर्डर के बीच अंतर सूक्ष्म हैं, क्योंकि वे वास्तव में 1 और 2 अनिश्चित के लिए मेल खाते हैं। पहला अंतर डिग्री 2 मोनोमियल्स के लिए 3 अनिश्चित में आता है, जो वर्गीकृत लेक्सिकोग्राफिक के रूप में क्रमबद्ध हैं <math> x_1^2 > x_1 x_2 > x_1 x_3 > x_2^2 > x_2 x_3 > x_3^2 </math> लेकिन ग्रेडेड रिवर्स लेक्सिकोग्राफिक के रूप में आदेश दिया गया <math> x_1^2 > x_1 x_2 > x_2^2 > x_1 x_3 > x_2 x_3 > x_3^2 </math>. सामान्य प्रवृत्ति यह है कि रिवर्स ऑर्डर किसी भी डिग्री के छोटे मोनोमियल्स के बीच सभी चर प्रदर्शित करता है, जबकि गैर-रिवर्स ऑर्डर के साथ किसी भी डिग्री के सबसे छोटे मोनोमियल्स के अंतराल केवल सबसे छोटे चर से बनते हैं।
+क्रमिक शब्दकोशीय और श्रेणीबद्ध विपरीत शब्दकोशीय प्रणाली के बीच अंतर सूक्ष्म हैं, चूंकि वे वास्तव में 1 और 2 अनिश्चित के लिए मेल खाते हैं। पहला अंतर घात 2 एकपदी के लिए 3 अनिश्चित में आता है, जो वर्गीकृत शब्दकोशीय के रूप में क्रमबद्ध हैं <math> x_1^2 > x_1 x_2 > x_1 x_3 > x_2^2 > x_2 x_3 > x_3^2 </math> परंतु श्रेणीबद्ध विपरीत शब्दकोशीय के रूप में मूलांक दिया गया  <math> x_1^2 > x_1 x_2 > x_2^2 > x_1 x_3 > x_2 x_3 > x_3^2 </math> है। सामान्य प्रवृत्ति यह है कि प्रतिलोम प्रणाली किसी भी श्रेणी के छोटे एकपदी के बीच सभी चर प्रदर्शित करता है, जबकि गैर-प्रतिलोम प्रणाली के साथ किसी भी श्रेणी के सबसे छोटे एकपदी के अंतराल केवल सबसे छोटे चर से बनते हैं।
-=== निष्कासन आदेश ===
+=== निष्कासन प्रणाली ===
-ब्लॉक ऑर्डर या एलिमिनेशन ऑर्डर (लेक्सडेग) को किसी भी संख्या में ब्लॉक के लिए परिभाषित किया जा सकता है, लेकिन सादगी के लिए, हम केवल दो ब्लॉकों के मामले पर विचार करते हैं (हालांकि, अगर ब्लॉक की संख्या चर की संख्या के बराबर होती है, तो यह ऑर्डर केवल लेक्सिकोग्राफिक ऑर्डर)। इस आदेश के लिए, वेरिएबल्स को दो ब्लॉक ''x'' में विभाजित किया गया है<sub>1</sub>,..., एक्स<sub>''h''</sub> और वाई<sub>1</sub>,...,और<sub>''k''</sub> और प्रत्येक ब्लॉक के लिए एक मोनोमियल ऑर्डरिंग चुना जाता है, आमतौर पर ग्रेडेड रिवर्स लेक्सिकोोग्राफिकल ऑर्डर। दो एकपदी की तुलना उनके x भाग की तुलना करके की जाती है, और टाई के मामले में उनके y भाग की तुलना करके की जाती है। यह क्रम महत्वपूर्ण है क्योंकि यह उन्मूलन की अनुमति देता है, एक ऑपरेशन जो बीजगणितीय ज्यामिति में प्रक्षेपण से मेल खाता है।
+विभाग प्रणाली या निष्कासन प्रणाली को किसी भी संख्या में विभाग के लिए परिभाषित किया जा सकता है, परंतु सहजता से, हम केवल दो विभागों की स्थिति पर विचार करते हैं। इस क्रम के लिए, चरों को दो विभागों x1,..., xh , y1,...,yk में विभाजित किया जाता है और प्रत्येक विभाग के लिए एक एकपदी क्रम चुना जाता है, सामान्यतः क्रमिक विपरीत कोषगत प्रणाली है। जो दो एकपदी की तुलना उनके x भाग की तुलना करके की जाती है, और ग्रंथि की स्थिति में y भाग की तुलना करके की जाती है। यह क्रम महत्वपूर्ण है चूंकि यह उन्मूलन की अनुमति देता है, एक शल्य कक्ष जो बीजगणितीय ज्यामिति के प्रक्षेपण से मेल खाता है।
 === वजन क्रम ===
-वजन क्रम एक वेक्टर पर निर्भर करता है <math>(a_1,\ldots,a_n)\in\R_{\geq0}^n</math> वजन वेक्टर कहा जाता है। यह पहले इस वज़न वेक्टर के साथ मोनोमियल के एक्सपोनेंट अनुक्रमों के [[डॉट उत्पाद]] की तुलना करता है, और एक टाई के मामले में कुछ अन्य निश्चित मोनोमियल ऑर्डर का उपयोग करता है। उदाहरण के लिए, ऊपर दिए गए ग्रेडेड ऑर्डर कुल डिग्री वेट वेक्टर (1,1,...,1) के लिए वेट ऑर्डर हैं। अगर ए<sub>''i''</sub> [[तर्कसंगत निर्भरता]] संख्याएं हैं (इसलिए विशेष रूप से उनमें से कोई भी शून्य नहीं है और सभी भिन्न हैं <math>\tfrac{a_i}{a_j}</math> अपरिमेय हैं) तो एक टाई कभी नहीं हो सकता है, और वज़न वेक्टर स्वयं एक मोनोमियल ऑर्डरिंग निर्दिष्ट करता है। इसके विपरीत मामले में, संबंधों को तोड़ने के लिए एक और वजन वेक्टर का उपयोग किया जा सकता है, और इसी तरह; n रैखिक रूप से स्वतंत्र भार सदिशों का उपयोग करने के बाद, कोई शेष बंधन नहीं हो सकता। कोई वास्तव में वजन वैक्टर (#cox et al. पीपी। 72-73) के अनुक्रम द्वारा किसी मोनोमियल ऑर्डर को परिभाषित कर सकता है, उदाहरण के लिए (1,0,0,...,0), (0,1,0, ...,0), ... (0,0,...,1) लेक्स के लिए, या (1,1,1,...,1), (1,1,..., 1, 0), ... (1,0,...,0) ग्रेव्लेक्स के लिए।
+वजन क्रम एक संवाहक पर निर्भर करता है <math>(a_1,\ldots,a_n)\in\R_{\geq0}^n</math> जिसे आर्द्र संवाहक कहा जाता है। यह पहले इस आर्द्र संवाहक के साथ एकपदी के प्रतिनिधि अनुक्रमों के [[Index.php?title= बिन्दु उत्पाद|बिन्दु उत्पाद]] की तुलना करता है, और एक ग्रंथि की स्थिति में कुछ अन्य निश्चित एकपदी प्रणाली का उपयोग करता है। उदाहरण के लिए, क्रमिक प्रणाली "कुल मात्रा" आर्द्र संवाहक  (1,1,...,1) के लिए आर्द्र प्रणाली हैं। यदि ए<sub>''i''</sub> [[तर्कसंगत निर्भरता]] संख्याएं हैं तो एक ग्रंथि कभी नहीं हो सकती है, और आर्द्र संवाहक स्वयं एक एकपदी क्रम निर्दिष्ट करता है। इसके विपरीत स्थिति में, संबंधों को समाप्त करने के लिए एक और आर्द्र संवाहक का उपयोग किया जा सकता है, और इसी तरह; n रैखिक रूप से स्वतंत्र भार सदिशों का उपयोग करने के बाद, कोई शेष बंधन नहीं हो सकता। कोई वास्तव में आर्द्र संवाहक के अनुक्रम द्वारा किसी एकपदी प्रणाली को परिभाषित कर सकता है, उदाहरण के लिए (1,0,0,...,0), (0,1,0, ...,0), ... (0,0,...,1)  विधि के लिए, या (1,1,1,...,1), (1,1,..., 1, 0), ... (1,0,...,0) ग्रेव्लेक्स के लिए।
-उदाहरण के लिए, मोनोमियल्स पर विचार करें <math>xy^2z</math>, <math>z^2</math>, <math>x^3</math>, और <math>x^2z^2</math>; ऊपर दिए गए मोनोमियल ऑर्डर इन चार मोनोमियल्स को निम्नानुसार ऑर्डर करेंगे:
+उदाहरण के लिए, एकपदी प्रणाली <math>xy^2z</math>, <math>z^2</math>, <math>x^3</math>, और <math>x^2z^2</math>; इन चार एकपदी पर निर्भार करती है।
-* लेक्स: <math>x^3 > x^2z^2 > xy^2z > z^2</math> (किसकी सत्ता <math>x</math> हावी है)।
+* विधि: <math>x^3 > x^2z^2 > xy^2z > z^2</math> ( पावर <math>x</math> की प्रमुखता है)।
-* ग्रेलेक्स: <math>x^2z^2 > xy^2z > x^3 > z^2</math> (कुल डिग्री हावी है; की उच्च शक्ति <math>x</math> पहले दो के बीच टाई तोड़ दी)।
+* विधि: <math>x^2z^2 > xy^2z > x^3 > z^2</math> (कुल संख्या की प्रमुखता है; की उच्च शक्ति <math>x</math> पहले दो के बीच ग्रंथि समाप्त कर दी है)।
-* ग्रेवलेक्स: <math>xy^2z > x^2z^2 > x^3 > z^2</math> (कुल डिग्री हावी है; की कम शक्ति <math>z</math> पहले दो के बीच टाई तोड़ दी)।
+* महत्वपूर्ण विधि: <math>xy^2z > x^2z^2 > x^3 > z^2</math> (कुल संख्या की प्रमुखता है; की न्यून शक्ति <math>z</math> पहले दो के बीच ग्रंथि समाप्त कर दी है)।
-* वेट वेक्टर के साथ एक वेट ऑर्डर (1,2,4): <math>x^2z^2 > xy^2z > z^2 > x^3</math> (डॉट उत्पाद 10>9>8>3 यहां टूटने के लिए कोई बंधन नहीं छोड़ते)।
+* आर्द्र संवाहक  के साथ एक आर्द्र प्रणाली (1,2,4): <math>x^2z^2 > xy^2z > z^2 > x^3</math> ( बिंदु उत्पाद 10>9>8>3 विश्लेषण के लिए कोई भी अनुबंध अवशिष्ट नहीं है)।
 == संबंधित धारणाएँ ==
-* एक विलोपन आदेश यह गारंटी देता है कि एक एकपदी जिसमें अनिश्चित का कोई भी समूह शामिल है, हमेशा उस एकपदी से बड़ा होगा जो उनमें से किसी को शामिल नहीं करता है।
+* विलोपन प्रणाली यह निश्चित करती है कि एक एकपदी जिसमें अनिश्चित का कोई भी समूह सम्मलित है, जो हमेशा उस एकपदी से बड़ा है और उनमें से किसी को अंतर्विष्ट नहीं करता है।
-* एक उत्पाद आदेश एक विलोपन आदेश का आसान उदाहरण है। यह उनके संघ पर एक मोनोमियल ऑर्डर में अनिश्चितताओं के असंबद्ध सेटों पर मोनोमियल ऑर्डर के संयोजन में शामिल है। यह पहले मोनोमियल ऑर्डर का उपयोग करके पहले सेट में अनिश्चित के घातांक की तुलना करता है, फिर दूसरे सेट के अनिश्चित पर अन्य मोनोमियल ऑर्डर का उपयोग करके संबंधों को तोड़ता है। यह विधि स्पष्ट रूप से अनिश्चित के समुच्चय के किसी भी असम्बद्ध मिलन का सामान्यीकरण करती है; लेक्सिकोग्राफिक ऑर्डर सिंगलटन सेट {''x'' से प्राप्त किया जा सकता है<sub>1</sub>}, {एक्स<sub>2</sub>}, {एक्स<sub>3</sub>}, ... (प्रत्येक सिंगलटन के लिए अद्वितीय मोनोमियल ऑर्डरिंग के साथ)।
+* उत्पादन प्रणाली एक उन्मूलन प्रणाली का आसान उदाहरण है। यह उनके संघ पर एकपद प्रणाली में अनिश्चितताओं के असंबद्ध स्थितयों पर एकपद प्रणाली के संयोजन में सम्मलित है। यह पहले एकपद प्रणाली का उपयोग करके पहले स्थित में अनिश्चित के घातांक की तुलना करता है, पुनः दूसरी स्थित के अनिश्चित पर अन्य एकपद प्रणाली का उपयोग करके संबंधों का खंडन करता है। यह विधि स्पष्ट रूप से अनिश्चित के समुच्चय के किसी भी असम्बद्ध मिलन का सामान्यीकरण करती है;  शब्दकोशीय प्रणाली एकल स्थित {x1}, {x2}, {x3}, ... से प्राप्त किया जा सकता है।
-ग्रोबनेर आधारों की गणना करने के लिए मोनोमियल ऑर्डरिंग का उपयोग करते समय, अलग-अलग ऑर्डर अलग-अलग परिणाम दे सकते हैं, और गणना की कठिनाई नाटकीय रूप से भिन्न हो सकती है। उदाहरण के लिए, ग्रेडेड रिवर्स लेक्सिकोग्राफिक ऑर्डर के पास उत्पादन के लिए एक प्रतिष्ठा है, लगभग हमेशा, ग्रोबनर बेस जो गणना करने में सबसे आसान हैं (यह इस तथ्य से लागू होता है कि, आदर्श पर सामान्य परिस्थितियों के तहत, ग्रोबनर आधार में बहुपदों में एक है डिग्री जो चर की संख्या में सबसे अधिक घातीय है; ऐसा कोई जटिलता परिणाम किसी अन्य आदेश के लिए मौजूद नहीं है)। दूसरी ओर, [[उन्मूलन सिद्धांत]] और सापेक्ष समस्याओं के लिए उन्मूलन आदेश आवश्यक हैं।
+ग्रोबनर आधारों की गणना करने के लिए एकपद क्रम का उपयोग करते समय, अलग-अलग प्रणाली अलग-अलग परिणाम दे सकते हैं, और गणना की समस्या आकस्मिक रूप से भिन्न हो सकती है। उदाहरण के लिए, क्रमिक विपरीत शब्दकोशीय प्रणाली के पास उत्पादन के लिए एक प्रतिष्ठा है, लगभग हमेशा, ग्रोबनर आधार जो गणना करने में सबसे आसान हैं। दूसरी ओर, [[उन्मूलन सिद्धांत]] और सापेक्ष समस्याओं के लिए उन्मूलन प्रणाली आवश्यक हैं।
 ==संदर्भ==
 * {{cite book |author1=David Cox |author2=John Little |author3=Donal O'Shea |year=2007 |title=Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra |publisher=Springer |isbn=978-0-387-35650-1|ref=cox}}
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