योज्य संख्या सिद्धांत: Difference between revisions
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'''[[संख्या सिद्धांत|योज्य संख्या सिद्धांत]]''' संख्या सिद्धांत का उपक्षेत्र है जो पूर्णांकों के उपसमुच्चय और योग के अंतर्गत उनके कार्यरत अध्ययन से संबंधित है। अधिक संक्षिप्त रूप से योज्य संख्या सिद्धांत के क्षेत्र में [[एबेलियन समूह|विनिमेय समूहों]] का अध्ययन और योग की संक्रिया के साथ [[ क्रमविनिमेय अर्धसमूह |क्रम विनिमेय अर्धसमूह]] सम्मिलित हैं। योज्य संख्या सिद्धांत का संयोजक संख्या सिद्धांत और [[संख्याओं की ज्यामिति]] के साथ घनिष्ठ संबंध है। अध्ययन की दो प्रमुख वस्तुएँ विनिमेय समूह G के तत्वों के दो उपसमुच्चय A और B का योग हैं: | |||
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योज्य संख्या सिद्धांत मुख्य रूप से (सामान्यतः) पूर्णांकों पर प्रत्यक्ष समस्याओं पर विचार करने के लिए समर्पित है अर्थात उदाहरण के लिए A की संरचना से ''hA'' की संरचना का निर्धारण करना और यह निर्धारित करना कि किन तत्वों को ''hA'' से योग के रूप में दर्शाया जा सकता है जहाँ A एक निश्चित उपसमुच्चय है।<ref>Nathanson (1996) II:1</ref> इस प्रकार की दो चिरसम्मत समस्याएँ हैं [[गोल्डबैक अनुमान]] अनुदार यह अनुमान है कि 2P में दो से अधिक सभी सम संख्याएँ हैं, जहाँ P [[अभाज्य संख्या|अभाज्य संख्याओं]] का समुच्चय है और वारिंग की समस्या के अनुसार hAk में सभी धनात्मक पूर्णांक होने का दायित्व करने के लिए h कितना बड़ा होना चाहिए, जहाँ <math>A_k=\{0^k,1^k,2^k,3^k,\ldots\}</math> k-वें घातों का समुच्चय है। | |||
इनमें से कई समस्याओं का अध्ययन [[हार्डी-लिटिलवुड सर्कल विधि|हार्डी-लिटिलवुड वृत्त पद्धति]] और [[चलनी सिद्धांत|सीव]] विधियों से उपकरणों का उपयोग करके किया जाता है। उदाहरण के लिए, विनोग्रादोव ने सिद्ध किया कि प्रत्येक पर्याप्त रूप से बड़ी विषम संख्या तीन अभाज्य संख्याओं का योग है और इसलिए प्रत्येक पर्याप्त रूप से बड़ा सम पूर्णांक चार अभाज्य संख्याओं का योग है। [[डेविड हिल्बर्ट]] ने सिद्ध किया कि, प्रत्येक पूर्णांक k > 1 के लिए, प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक k-वें घातों की एक सीमित संख्या का योग होता है सामान्यतः गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के एक समुच्चय को अनुक्रम h का आधार कहा जाता है यदि ''hA'' में सभी धनात्मक पूर्णांक होते हैं और इसे 'अनंतस्पर्शी' आधार कहा जाता है यदि ''hA'' में पर्याप्त रूप से बड़े पूर्णांक होते हैं। इस क्षेत्र में बहुत से वर्तमान शोध परिमित क्रम के सामान्य स्पर्शोन्मुख आधारों के गुणों से संबंधित हैं। उदाहरण के लिए एक समुच्चय A को अनुक्रम h का न्यूनतम अनंतस्पर्शी आधार कहा जाता है यदि A अनुक्रम h का एक अनंतस्पर्शी आधार है लेकिन A का कोई उपयुक्त उपसमुच्चय अनुक्रम h का एक अनंतस्पर्शी आधार नहीं है। यह सिद्ध हो गया है कि सभी h के लिए अनुक्रम h के न्यूनतम अनंतस्पर्शी आधार सम्मिलित हैं और अनुक्रम h के अनंतस्पर्शी आधार भी सम्मिलित हैं जिनमें अनुक्रम h का कोई न्यूनतम अनंतस्पर्शी आधार नहीं हैं। विचार करने के लिए एक अन्य प्रश्न यह है कि स्पर्शोन्मुख आधार में h तत्वों के योग के रूप में n के निरूपण की संख्या कितनी कम हो सकती है। यह योज्य आधारों पर एर्डोस-तुरान का अनुमानित आँकड़ा है। | |||
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योज्य संख्या सिद्धांत संख्या सिद्धांत का उपक्षेत्र है जो पूर्णांकों के उपसमुच्चय और योग के अंतर्गत उनके कार्यरत अध्ययन से संबंधित है। अधिक संक्षिप्त रूप से योज्य संख्या सिद्धांत के क्षेत्र में विनिमेय समूहों का अध्ययन और योग की संक्रिया के साथ क्रम विनिमेय अर्धसमूह सम्मिलित हैं। योज्य संख्या सिद्धांत का संयोजक संख्या सिद्धांत और संख्याओं की ज्यामिति के साथ घनिष्ठ संबंध है। अध्ययन की दो प्रमुख वस्तुएँ विनिमेय समूह G के तत्वों के दो उपसमुच्चय A और B का योग हैं:
और A का h गुना योग है,
योज्य संख्या सिद्धांत
योज्य संख्या सिद्धांत मुख्य रूप से (सामान्यतः) पूर्णांकों पर प्रत्यक्ष समस्याओं पर विचार करने के लिए समर्पित है अर्थात उदाहरण के लिए A की संरचना से hA की संरचना का निर्धारण करना और यह निर्धारित करना कि किन तत्वों को hA से योग के रूप में दर्शाया जा सकता है जहाँ A एक निश्चित उपसमुच्चय है।[1] इस प्रकार की दो चिरसम्मत समस्याएँ हैं गोल्डबैक अनुमान अनुदार यह अनुमान है कि 2P में दो से अधिक सभी सम संख्याएँ हैं, जहाँ P अभाज्य संख्याओं का समुच्चय है और वारिंग की समस्या के अनुसार hAk में सभी धनात्मक पूर्णांक होने का दायित्व करने के लिए h कितना बड़ा होना चाहिए, जहाँ k-वें घातों का समुच्चय है।
इनमें से कई समस्याओं का अध्ययन हार्डी-लिटिलवुड वृत्त पद्धति और सीव विधियों से उपकरणों का उपयोग करके किया जाता है। उदाहरण के लिए, विनोग्रादोव ने सिद्ध किया कि प्रत्येक पर्याप्त रूप से बड़ी विषम संख्या तीन अभाज्य संख्याओं का योग है और इसलिए प्रत्येक पर्याप्त रूप से बड़ा सम पूर्णांक चार अभाज्य संख्याओं का योग है। डेविड हिल्बर्ट ने सिद्ध किया कि, प्रत्येक पूर्णांक k > 1 के लिए, प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक k-वें घातों की एक सीमित संख्या का योग होता है सामान्यतः गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के एक समुच्चय को अनुक्रम h का आधार कहा जाता है यदि hA में सभी धनात्मक पूर्णांक होते हैं और इसे 'अनंतस्पर्शी' आधार कहा जाता है यदि hA में पर्याप्त रूप से बड़े पूर्णांक होते हैं। इस क्षेत्र में बहुत से वर्तमान शोध परिमित क्रम के सामान्य स्पर्शोन्मुख आधारों के गुणों से संबंधित हैं। उदाहरण के लिए एक समुच्चय A को अनुक्रम h का न्यूनतम अनंतस्पर्शी आधार कहा जाता है यदि A अनुक्रम h का एक अनंतस्पर्शी आधार है लेकिन A का कोई उपयुक्त उपसमुच्चय अनुक्रम h का एक अनंतस्पर्शी आधार नहीं है। यह सिद्ध हो गया है कि सभी h के लिए अनुक्रम h के न्यूनतम अनंतस्पर्शी आधार सम्मिलित हैं और अनुक्रम h के अनंतस्पर्शी आधार भी सम्मिलित हैं जिनमें अनुक्रम h का कोई न्यूनतम अनंतस्पर्शी आधार नहीं हैं। विचार करने के लिए एक अन्य प्रश्न यह है कि स्पर्शोन्मुख आधार में h तत्वों के योग के रूप में n के निरूपण की संख्या कितनी कम हो सकती है। यह योज्य आधारों पर एर्डोस-तुरान का अनुमानित आँकड़ा है।
यह भी देखें
- शैप्ली-फोकमैन लेम्मा
- गुणक संख्या सिद्धांत
संदर्भ
- ↑ Nathanson (1996) II:1
- Henry Mann (1976). Addition Theorems: The Addition Theorems of Group Theory and Number Theory (Corrected reprint of 1965 Wiley ed.). Huntington, New York: Robert E. Krieger Publishing Company. ISBN 0-88275-418-1.
- Nathanson, Melvyn B. (1996). Additive Number Theory: The Classical Bases. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 164. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94656-X. Zbl 0859.11002.
- Nathanson, Melvyn B. (1996). Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 165. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94655-1. Zbl 0859.11003.
- Tao, Terence; Vu, Van (2006). Additive Combinatorics. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 105. Cambridge University Press.
